Síla vzájemné přitažlivosti mezi deskami kondenzátoru. Vzorce pro kondenzátory. Elektrická kapacita paralelního deskového kondenzátoru

Pohyby představují průsečík izoploch odpovídajících integrálů pohybu. Například Poinsotův graf ukazuje, že bez točivého momentu rotace solidní představuje průsečík koule (zachování celkového momentu hybnosti) a elipsoidu (zachování energie), což je trajektorie, kterou je obtížné odvodit a vizualizovat. Proto je nalezení integrálů pohybu důležitým cílem v mechanice.

Metody hledání integrálů pohybu

Existuje několik metod, jak najít integrály pohybu:

• Nejjednodušší, ale také nejméně přísná metoda spočívá v intuitivním přístupu, často založeném na experimentálních datech a následném matematickém důkazu zachování množství.

• Hamiltonova–Jacobiho rovnice nabízí rigorózní a přímou metodu pro nalezení integrálů pohybu, zvláště pokud Hamiltonián nabývá známý funkční tvar v ortogonálních souřadnicích.

• Dalším přístupem je korelovat konzervované množství a nějaký druh Lagrangovy symetrie. Noetherova věta poskytuje systematický způsob, jak odvodit takové veličiny ze symetrií. Například zákon zachování energie je výsledkem skutečnosti, že Lagrangian se nemění s ohledem na posun v čase, zákon zachování hybnosti je ekvivalentní invarianci Lagrangianu vzhledem k posunu původ ve vesmíru ( symetrie překladu) a zákon zachování momentu hybnosti vyplývá z izotropie prostoru (Lagrangián se při rotaci souřadnicového systému nemění). Platí to i obráceně: každá symetrie Lagrangianu odpovídá integrálu pohybu.

• Velikost A je zachována, pokud nezávisí explicitně na čase a její Poissonovy závorky s Hamiltoniánem systému jsou rovny nule

Další užitečný výsledek je známý jako Poissonova věta, který říká, že pokud existují dva integrály pohybu A A B pak Poissonovy závorky ( A,B) těchto dvou veličin je také integrálem pohybu.

Systém s n stupně volnosti a n integrál pohybu takový, že Poissonovy závorky jakékoli dvojice integrálů jsou rovné nule, je známý jako zcela integrovatelný systém. Říká se, že takový soubor integrálů pohybu je ve vzájemné involuci.

V kvantové mechanice

Pozorované množství Q je zachována, pokud komutuje s hamiltoniánem H, která nezávisí vysloveně na čase. Proto

kde se používá komutační poměr

.

Závěr

Ať je nějaká pozorovatelná Q, která závisí na souřadnici, hybnosti a čase

Pro výpočet časové derivace průměrné hodnoty pozorovaného Q používá se pravidlo diferenciace produktu a výsledek po některých manipulacích je uveden níže

Jako výsledek dostáváme

Vztah ke kvantovému chaosu a kvantové integrovatelnosti

V klasické mechanice existuje Liouvilleův teorém, podle kterého systém, ve kterém se počet integrálů pohybu v involuci shoduje s počtem stupňů volnosti n, lze plně integrovat (řešit) metodou separace proměnných v Hamiltonově-Jacobiho rovnici. Takový systém je integrovaným systémem. Dráha takového systému je 2 n-rozměrný fázový prostor může být reprezentován ve vhodných proměnných (proměnné akčního úhlu) jako navíjení n-rozměrný torus. Systémy, ve kterých je počet integrálů menší než počet stupňů volnosti, vykazují chaotické chování, tj. trajektorie ve fázovém prostoru s blízkým počáteční podmínky se může exponenciálně lišit. S mírnou deformací integrovatelného systému do neintegrovatelného n-rozměrný torus ve 2 n-rozměrný fázový prostor je zničen („rozmazaný“) a mění se například v podivný atraktor.

Kvantová analogie Liouvilleovy věty není známa, nicméně v kvantovém případě lze systémy rozdělit na integrovatelné a neintegrovatelné. Integrovatelným v tomto případě rozumíme systémy, které umožňují přesné řešení ve smyslu umět najít vše vlastní čísla A nativní funkce Hamiltonián v rozumné formě. Je známá kvantová obdoba metody separace proměnných, ale její použití není v klasických případech tak univerzální. Známé příklady ukazují, že v kvantově integrovatelných systémech, stejně jako v těch klasických, existuje n integrály pohybu vzájemně dojíždějící. Nicméně přítomnost n integrály pohybu zjevně ještě nezaručují kvantovou integrovatelnost. Problémem kvantování integrovatelných systémů je hledání kvantového systému, který by umožňoval přesné řešení a dával by daný klasický systém v klasickém limitu. Existují také příklady integrovatelných kvantových systémů, které nemají integrovatelné klasické analogy. K tomu dochází, když lze systém řešit speciálními hodnotami parametrů kvantového hamiltoniánu, nebo když systém nepřipouští klasický popis (např. systém spinů).

Všechny ostatní kvantové systémy vykazují v té či oné míře známky kvantového chaosu. Klasické chaotické systémy připouštějí kvantování v tom smyslu, že jejich stavový prostor a hamiltonián lze správně určit, nicméně klasické chaotické systémy i kvantové zjevně neumožňují přesné řešení. Mohou být studovány přibližnými metodami, jako je poruchová teorie a variační metoda, a také numericky pomocí metod molekulární dynamiky v klasickém případě nebo numerické diagonalizace Hamiltoniánu v kvantovém případě.

Viz také

Literatura

• Úvod do kvantové mechaniky (2. vydání). - Prentice Hall, 2004. - ISBN ISBN 0-13-805326-X
• Landau, L. D., Lifshits, E. M. Mechanika. - 4. vydání, přepracované. - M.: Nauka, 1988. - 215 s. - („Teoretická fyzika“, svazek I). - ISBN 5-02-013850-9
• Arnold V.I. Matematické metody klasická mechanika“, od. 5th, M.: Editorial URSS, 2003, ISBN 5-354-00341-5

Nadace Wikimedia.

2010.

Podívejte se, co je „Integral of motion“ v jiných slovnících: integrál pohybu

- judėjimo integrationas statusas T sritis fizika atitikmenys: engl. integrál pohybu vok. Bewegungsintegral, n rus. integrál pohybu, m pranc. intégrale de mouvement, f … Fizikos terminų žodynas Integrální (viz také primitivní, numerická integrace, integrace po částech) matematický operátor : Určitý integrál Neurčitý integrál

různé definice integrálů: Integrál je rozšířením pojmu součet Ito Integrál... ... Wikipedie Cauchyho Lagrangeův integrál je integrálem pohybových rovnic ideální tekutiny (eulerovské rovnice) v případě potenciálních toků. Obsah 1 Možnosti názvu 2 Historické pozadí

... Wikipedie Pojem v Boltzmannově kinetické rovnici rovný změně distribuční funkce částic (nebo kvazičástic) za jednotku času v prvku fázového objemu v důsledku srážek mezi nimi; jeho jméno také kolizní operátor. I.s. rovná se (s ... ...

Fyzická encyklopedie Jeden z matematický analýza a veškerá matematika, jejíž vznik je spojen se dvěma problémy: obnovením funkce z její derivace (například problém nalezení zákona o pohybu hmotného bodu po přímce ... ... Matematická encyklopedie

Impulzní (velikost pohybu) aditivní integrál pohybu mechanický systém; odpovídající zákon zachování je spojen se základní symetrií a homogenitou prostoru. Obsah 1 Historie pojmu 2 Definice „školy“... ... Wikipedie

Formulace přes dráhový integrál kvantové mechaniky je popis kvantová teorie, který zobecňuje princip fungování klasické mechaniky. Nahrazuje klasický zápis jediné, jedinečné trajektorie pro systém součtem, nebo... ... Wikipedie

- (integrál cesty, integrál cesty, integrál Feynmanovy cesty) záznam nebo výsledek funkční integrace (integrace cesty). Nálezy největší uplatnění v kvantové fyzice (kvantová teorie... Wikipedie

• Překlad

Fyzikální simulace dělá malé předpovědi založené na fyzikálních zákonech. Tyto předpovědi jsou ve skutečnosti docela jednoduché, něco jako „pokud je zde objekt a pohybuje se touto rychlostí tímto směrem, za krátkou dobu zde skončí“. Tyto předpovědi provádíme pomocí matematické techniky zvané integrace.

Tématem tohoto článku bude implementace takové integrace.

Integrace pohybových rovnic

Možná si pamatujete ze střední nebo vysoké školy, že síla se rovná hmotnost krát zrychlení.
Změňme uspořádání této rovnice a uvidíme, že zrychlení se rovná síle dělené hmotností. To odpovídá našim intuitivním očekáváním, protože těžké předměty je těžší házet.
Zrychlení je rychlost změny rychlosti v čase:

Podobně rychlost je rychlost změny polohy v průběhu času:

To znamená, že pokud známe aktuální polohu a rychlost objektu, stejně jako síly na něj působící, můžeme integrací najít jeho polohu a rychlost v určitém časovém okamžiku.

Numerická integrace

Pokud jste nestudovali diferenciální rovnice na vysoké škole, pak můžete klidně dýchat - jste v téměř stejné situaci jako ti, kteří je studovali, protože nebudeme diferenciální rovnice řešit analyticky. Místo toho budeme hledat řešení numerická integrace.

Zde je návod, jak to funguje numerická integrace: Nejprve začněme s původní pozicí a rychlostí, pak udělejte malý krok vpřed, abyste našli rychlost a pozici v budoucnu. Potom to opakujeme, postupujeme vpřed po malých krocích, přičemž výsledek předchozích výpočtů použijeme jako výchozí bod pro další.

Jak ale zjistíme změnu rychlosti a polohy při každém kroku?

Odpověď spočívá v pohybové rovnice.

Zavolejme našim aktuální čas t a časový krok dt nebo "delta čas".

Nyní můžeme prezentovat pohybové rovnice ve formě, které každý rozumí:

Zrychlení = změna síly/hmoty v poloze = rychlost * dt změna rychlosti = zrychlení * dt
Intuitivně je to jasné: pokud jste v autě pohybujícím se rychlostí 60 km/h, tak za jednu hodinu ujedete 60 km. Podobně auto zrychlující rychlostí 10 km/h se po 10 sekundách pohne o 100 km/h rychleji.

Tato logika samozřejmě platí pouze při konstantním zrychlení a rychlosti. Ale i když se změní, je to pro začátek docela dobrá aproximace.

Pojďme to dát do kódu. Začněme s stacionární objekt o hmotnosti jednoho kilogramu a naneste na něj konstantní síla v 10 kN (kilonewtonech) a udělejte to o krok dále, za předpokladu, že jeden časový krok se rovná jedné sekundě:

Double t = 0,0; float dt = 1,0f; plovoucí rychlost = 0,0f;<= 10.0) { position = position + velocity * dt; velocity = velocity + (force / mass) * dt; t += dt; }
plovoucí poloha

= 0,0f;
plovoucí síla = 10,0f;

hmotnost plováku = 1,0f;

zatímco (t Toto bude výsledek:.

T=0: poloha = 0 rychlost = 0 t=1: poloha = 0 rychlost = 10 t=2: poloha = 10 rychlost = 20 t=3: poloha = 30 rychlost = 30 t=4: poloha = 60 rychlost = 40 t=5: poloha = 100 rychlost = 50 t=6: poloha = 150 rychlost = 60 t=7: poloha = 210 rychlost = 70 t=8: poloha = 280 rychlost = 80 t=9: poloha = 360 rychlost = 90 t=10: poloha = 450 rychlost = 100

Jak vidíte, v každém kroku známe jak polohu, tak rychlost objektu. Toto je numerická integrace.

Explicitní Eulerova metoda

Ale jak velká je tato chyba? Pojďme to zjistit!

Existuje analytické řešení pohybu objektu při konstantním zrychlení. Můžeme jej použít k porovnání číselně integrované polohy s přesným výsledkem:

S = ut + 0,5at^2 s = 0,0*t + 0,5at^2 s = 0,5(10)(10^2) s = 0,5(10)(100) s = 500 metrů
Po 10 sekundách by se měl objekt posunout o 500 metrů, ale explicitní Eulerova metoda nám dává výsledek 450. To je chyba až 50 metrů za pouhých 10 sekund!

Zdá se to neuvěřitelně špatné, ale ve hrách není časový interval pro fyzikální krok obvykle tak dlouhý. Ve skutečnosti je fyzika obvykle počítána rychlostí zhruba rovnou snímkové frekvenci displeje.

Pokud nastavíte krok dt= 1 ⁄ 100, pak dostaneme mnohem lepší výsledek:

T = 9,90: poloha = 489,552155 rychlost = 98,999062 t = 9,91: poloha = 490,542145 rychlost = 99,099060 t = 9,92: poloha = 491,533142 rychlost = 491,533142 rychlost = 90,5 t = 2 46 rychlost = 99,2 99057 t = 9,94: poloha = 493,518127 rychlost = 99,399055 t = 9,95: poloha = 494,512115 rychlost = 99,499054 t = 9,96: poloha = 495,507111 rychlost = 99,599052 t = 9,97: poloha = 46905,59 = 36916519:9. poloha = 497,500092 rychlost = 99,7 99049 t = 9,99: poloha = 498,498077 rychlost = 99,899048 t = 10,00: poloha = 499,497070 rychlost = 99,999046
Jak vidíte, je to docela dobrý výsledek, na hru rozhodně stačí.

Proč Explicitní Eulerova metoda není (vždy) tak skvělá

S dostatečně malým časovým krokem dává explicitní Eulerova metoda s konstantním zrychlením docela slušné výsledky, ale co se stane, když zrychlení není konstantní?

Dobrým příkladem proměnného zrychlení je systém pružinových tlumičů.

V tomto systému je hmota připevněna k pružině a její pohyb je tlumen něčím jako třením. Existuje síla úměrná vzdálenosti objektu, která jej táhne k výchozímu bodu, a síla úměrná rychlosti objektu, ale nasměrovaná opačným směrem, což jej zpomaluje.

Zde se zrychlení jistě mění během časového kroku, ale tato neustále se měnící funkce je kombinací polohy a rychlosti, které se samy o sobě neustále mění v průběhu časového kroku.

Většina komerčních herních fyzikálních motorů používá tento integrátor.

Přechod od explicitní k symplektické Eulerově metodě spočívá pouze v nahrazení:

Poloha += rychlost * dt;
rychlost += zrychlení * dt;

na:
Použití Eulerova symplektického integrátoru pro dt= 1 ⁄ 100 pro systém pružinového tlumiče poskytuje stabilní výsledek, velmi blízký přesnému řešení:

I když má Eulerova symplektická metoda stejný stupeň přesnosti jako explicitní metoda (1. stupeň), při integraci pohybových rovnic dostaneme mnohem lepší výsledek, protože je symplektická.

Existuje mnoho dalších integračních metod

A teď něco úplně jiného.

RK4 je integrátor čtvrtého řádu, to znamená, že akumulovaná chyba je řádu čtvrté derivace. Díky tomu je metoda velmi přesná, mnohem přesnější než explicitní a implicitní Eulerovy metody, které jsou pouze prvního řádu.

Ale ačkoliv je přesnější, nedá se říci, že RK4 je automaticky „lepší“ integrátor, nebo dokonce, že je lepší než Eulerova symplektická metoda. Všechno je mnohem složitější. Přesto je to docela zajímavý integrátor a stojí za to ho prozkoumat.

Realizace RK4

Existuje již mnoho vysvětlení matematiky použité v RK4. Například: , a . Vřele doporučuji prostudovat si jeho odvození a pochopit, jak a proč funguje na matematické úrovni. Ale chápu, že cílovou skupinou tohoto článku jsou programátoři, nikoli matematici, takže zde budeme uvažovat pouze o implementaci. Pojďme tedy začít.

Než začneme, definujme stav objektu jako strukturu v C++, abychom mohli pohodlně uložit polohu a rychlost na jednom místě:

Stav struktury ( float x; // pozice float v; // rychlost );
Potřebujeme také strukturu pro ukládání odvozených hodnot stavu:

Struct Derivative ( float dx; // dx/dt = rychlost float dv; // dv/dt = zrychlení );
Nyní potřebujeme funkci pro výpočet stavu fyziky od t do t+dt pomocí jedné sady derivací a potom pro výpočet derivací v novém stavu:

Vyhodnocení derivátu (konst. stav & počáteční, dvojité t, plovoucí dt, konst. derivace & d) ( Stav stavu; stav.x = počáteční.x + d.dx*dt; stav.v = počáteční.v + d.dv*dt ; Výstup derivace.dx = stav.v;
Funkce zrychlení řídí celou simulaci. Použijme to v systému pružinových tlumičů a vraťme zrychlení pro jednotkovou hmotnost:

Zrychlení plovoucí (const State & state, double t) ( const float k = 15,0f; const float b = 0,1f; return -k * state.x - b * state.v; )
Co je zde potřeba napsat, bude samozřejmě záviset na simulaci, ale je nutné simulaci strukturovat tak, aby bylo možné v rámci této metody vypočítat zrychlení pro daný stav a čas, jinak nebude vhodná pro integrátor RK4.

Nakonec se dostaneme k samotnému integračnímu postupu:

Void integrate (Stav & stav, dvojité t, plovoucí dt) ( Derivace a,b,c,d; a = vyhodnotit (stav, t, 0,0f, Derivace()); b = vyhodnotit (stav, t, dt*0,5 f, a); c = vyhodnotit (stav, t, dt*0,5f, b); d = vyhodnotit (stav, t, dt, c); * (b.dx + c.dx) + d.dx); stav.x + dxdt * dt; stav.v = stav.v + dvdt * dt)
Integrátor RK4 vzorkuje derivaci ve čtyřech bodech, aby určil zakřivení. Všimněte si, jak se derivace a používá při výpočtu b, b se používá při výpočtu c ac d. Tento převod proudové derivace do výpočtu následující je to, co dává integrátoru RK4 jeho přesnost.

Důležité je, že každá z těchto derivací a, b, c a d bude jiný, kdy rychlost změny těchto veličin je funkcí času nebo funkcí samotného stavu. Například v našem systému pružinových tlumičů je zrychlení funkcí aktuální polohy a rychlosti, která se mění v časovém kroku.

Po výpočtu čtyř derivací se vypočítá nejlepší celková derivace jako vážený součet získaný z rozšíření Taylorovy řady. Tato kombinovaná derivace se používá k posunutí polohy a rychlosti vpřed v čase, stejně jako jsme to udělali v explicitním Eulerově integrátoru.

Srovnání Symplectic Eulerovy metody a RK4

Vyzkoušejme integrátor RK4.

Je zřejmé, že jelikož se jedná o integrátor vyššího řádu (čtvrtý versus první), bude jednoznačně přesnější než Eulerova symplektická metoda, že?

Není pravda. Oba integrátory jsou tak blízko přesnému výsledku, že v tomto měřítku je téměř nemožné mezi nimi rozeznat rozdíl. Oba integrátory jsou stabilní a velmi dobře opakují přesné řešení dt= 1 ⁄ 100 .

Po zvětšení je jasné, že RK4 opravdu přesnější než Eulerova symplektická metoda, ale stojí tato přesnost za složitost a extra dobu běhu RK4? Těžko soudit.

Zkusme se podívat, jestli najdeme významný rozdíl mezi těmito dvěma integrátory. Bohužel tuto soustavu nebudeme moci dlouho pozorovat, protože se rychle rozpadá na nulu, přejděme tedy k jednoduchému harmonickému oscilátoru, který kmitá donekonečna a bez rozpadu.

Zde je přesný výsledek, o který se budeme snažit:

Abychom integrátorům situaci ztížili, zvyšme časový krok na 0,1 sekundy.

Nyní spustíme integrátory po dobu 90 sekund a přiblížíme:

Po 90 sekundách byla Eulerova symplektická metoda (oranžová křivka) mimo fázi s přesným řešením, protože její frekvence byla mírně odlišná, zatímco zelená křivka RK4 odpovídá frekvenci, ale ztrácí energii!

Jasně si toho všimneme zvýšením časového kroku na 0,25 sekundy.

RK4 udržuje správnou frekvenci, ale ztrácí energii:

V průměru Eulerova symplektická metoda šetří energii mnohem lépe:

Ale to se posune mimo fázi. Jaký zajímavý výsledek! Jak vidíte, pokud má RK4 vyšší řád přesnosti, pak nemusí být nutně "lepší". Tento problém má mnoho nuancí.

Závěr

Implementovali jsme tři různé integrátory a porovnali výsledky.

1. hmotnost plováku = 1,0f;
2. Eulerova symplektická metoda
3. Metoda Runge-Kutta, objednávka 4 (RK4)

Který integrátor byste tedy měli ve své hře použít?

Pokud opravdu potřebujete větší přesnost než Eulerova symplektická metoda, doporučuji se podívat na symplektické integrátory vyššího řádu určené pro Add labels

Slovo integrál pochází z latinského integrationis - integrál. Tento název byl navržen v 17. století. žák velkého Leibnize (a také vynikající matematik) I. Bernoulli. Co je integrál v moderním smyslu? Níže se pokusíme dát vyčerpávající odpověď na tuto otázku.

Historická východiska pro vznik pojmu integrál

Na počátku 17. stol. Přední vědci uvažovali o velkém množství fyzikálních (především mechanických) problémů, ve kterých bylo nutné studovat závislost některých veličin na jiných. Nejzjevnějšími a nejnaléhavějšími problémy bylo určení okamžité rychlosti nerovnoměrného pohybu tělesa v libovolném časovém okamžiku a obrácený problém zjištění vzdálenosti, kterou těleso urazilo za určitý časový úsek během takového pohybu. Dnes už víme, co je to integrál rychlosti pohybu – to je ujetá vzdálenost. Ale pochopení toho, jak to vypočítat, znát rychlost v každém okamžiku v čase, se neobjevilo okamžitě.

Nejprve z uvažování takových závislostí fyzikálních veličin, například dráhy na rychlosti, vznikl matematický koncept funkce y = f(x). Studium vlastností různých funkcí vedlo ke zrodu matematické analýzy. Vědci aktivně hledali způsoby, jak studovat vlastnosti různých funkcí.

Jak vzniklo počítání integrálů a derivací?

Poté, co Descartes vytvořil základy analytické geometrie a objevil se schopnosti graficky znázornit funkční závislosti v osách kartézského souřadnicového systému, stáli vědci před dvěma velkými novými problémy: jak nakreslit tečnu ke zakřivené přímce v libovolném bodě a jak najít oblast obrázku ohraničenou výše touto křivkou a přímkami, rovnoběžné se souřadnicovými osami. Nečekaně se ukázalo, že první z nich je ekvivalentní zjištění okamžité rychlosti a druhé je ekvivalentní zjištění ujeté vzdálenosti. Ostatně při nerovnoměrném pohybu byla v kartézských souřadných osách „vzdálenost“ a „čas“ znázorněna nějakou zakřivenou čarou.

Génius Leibnize a Newtona v polovině 17. století. byly vytvořeny metody, které umožnily vyřešit oba tyto problémy. Ukázalo se, že pro nakreslení tečny ke křivce v bodě je nutné najít hodnotu tzv. derivace funkce popisující tuto křivku v jejím uvažovaném bodě a tato hodnota se ukáže být rovna k rychlosti změny funkce, tedy ve vztahu k samotné závislosti „dráhy na rychlosti“ okamžité rychlosti tělesa.

Pro nalezení oblasti ohraničené zakřivenou čárou bylo nutné vypočítat určitý integrál, který dával jeho přesnou hodnotu. Derivace a integrál jsou základními pojmy diferenciálního a integrálního počtu, které jsou základem moderní matematické analýzy - nejdůležitějšího odvětví vyšší matematiky.

Oblast pod zakřivenou čarou

Jak tedy určit jeho přesnou hodnotu? Pokusme se odhalit postup jeho výpočtu přes integrál podrobně, od úplných základů.

Nechť f je funkce spojitá na intervalu. Uvažujme křivku y = f(x), zobrazenou na obrázku níže. Jak najít oblast oblasti ohraničenou křivkou), osu x a přímky x = a a x = b? To znamená oblast stínované postavy na obrázku.

Nejjednodušší případ je, když f je konstantní funkce; to znamená, že křivka je vodorovná přímka f(X) = k, kde k je konstantní a k ≥ 0, jak je znázorněno na obrázku níže.

V tomto případě je oblast pod křivkou pouze obdélník s výškou k a šířkou (b - a), takže oblast je definována jako: k · (b - a).

Plochy některých dalších jednoduchých obrazců, jako je trojúhelník, lichoběžník a půlkruh, jsou dány vzorci z planimetrie.

Plocha pod libovolnou spojitou křivkou y = f(x) je dána určitým integrálem, který se zapisuje stejně jako obyčejný integrál.

Riemannův součet

Než se ponoříme do podrobné odpovědi na otázku, co je to integrál, vyzdvihněme některé základní myšlenky.

Nejprve se oblast pod křivkou rozdělí na určitý počet n svislých pruhů dostatečně malé šířky Δx. Dále je každý svislý pruh nahrazen svislým obdélníkem s výškou f(x), šířkou Δx a plochou f(x)dx. Dalším krokem je vytvoření součtu obsahů všech těchto obdélníků, který se nazývá Riemannův součet (viz obrázky níže).

Při kreslení našich obdélníků o šířce Δx můžeme vzít jejich výšku rovnou hodnotě funkce na levém okraji každého proužku, tj. body nejvíce vlevo na jejich horních krátkých stranách o šířce Δx budou ležet na křivce. Navíc v části, kde funkce roste a její křivka je konvexní, jsou všechny obdélníky pod touto křivkou, tj. jejich součet bude jistě menší než přesná plocha pod křivkou v této části (viz obrázek níže). Tato metoda aproximace se nazývá levostranná.

V zásadě lze nakreslit aproximující obdélníky tak, že body nejvíce vpravo na jejich horních krátkých stranách o šířce Δx leží na křivce. Potom budou nad křivkou a aproximace plochy v této části bude větší než její přesná hodnota, jak je znázorněno na obrázku níže. Tato metoda se nazývá pravotočivá.

Můžeme ale také vzít výšku každého z aproximačních obdélníků, která se jednoduše rovná nějaké hodnotě funkce v libovolném bodě x* i uvnitř odpovídajícího pruhu Δx i (viz obrázek níže). V tomto případě možná ani nebudeme brát stejnou šířku všech pruhů.

Složme Riemannův součet:

Přechod od Riemannova součtu k určitému integrálu

Ve vyšší matematice je dokázána věta, která říká, že pokud při neomezeném nárůstu počtu n aproximačních obdélníků, jejich největší šířka směřuje k nule, pak Riemannův součet A n směřuje k určité limitě A. Číslo A je stejné pro jakoukoli metodu vytváření aproximačních obdélníků a pro jakoukoli volbu bodů x* i .

Vizuální vysvětlení věty je uvedeno na obrázku níže.

Ukazuje, že čím užší jsou obdélníky, tím blíže je oblast stupňovité postavy k oblasti pod křivkou. Když je počet obdélníků n→∞, jejich šířka je Δx i →0 a limita A součtu A n je číselně rovna požadované ploše. Tato limita je určitý integrál funkce f (x):

Integrální symbol, kterým je upravené písmeno S kurzívou, zavedl Leibniz. J. B. Fourier navrhl umístit limity nad a pod integrální zápis. Počáteční a koncové hodnoty x jsou jasně vyznačeny.

Geometrická a mechanická interpretace určitého integrálu

Pokusme se podrobně odpovědět na otázku, co je integrál? Uvažujme integrál na intervalu kladné funkce f(x) uvnitř něj a předpokládáme, že horní mez je větší než dolní a

Pokud jsou souřadnice funkce f(x) uvnitř záporné, pak se absolutní hodnota integrálu rovná ploše mezi osou úsečky a grafem y=f(x), zatímco samotný integrál je záporný.

V případě jediného nebo opakovaného průsečíku grafu y=f(x) s osou úsečky na segmentu, jak je znázorněno na obrázku níže, musíte pro výpočet integrálu určit rozdíl, ve kterém bude minuend rovná celkové ploše sekcí umístěných nad osou úsečky a subtrahend se bude rovnat celkové ploše pozemků umístěných pod ní.

Takže pro funkci znázorněnou na obrázku výše bude určitý integrál od a do b roven (S1 + S3) - (S2 + S4).

Mechanický výklad určitého integrálu úzce souvisí s geometrickým. Vraťme se do sekce „Riemannův součet“ a představme si, že graf na obrázcích vyjadřuje rychlostní funkci v=f(t) pro nerovnoměrný pohyb hmotného bodu (osa x je časová osa). Pak plocha libovolného aproximačního obdélníku o šířce Δt, který jsme sestrojili při tvorbě Riemannovy sumy, bude přibližně vyjadřovat dráhu bodu v čase Δt, konkrétně v(t*)Δt.

Celkový součet ploch obdélníků na úsečce od t 1 =a do t 2 =b bude přibližně vyjadřovat dráhu s za čas t 2 - t 1 a její limitu, tj. integrál (definovaný) od a do b funkce v = f(t ) pomocí dt dá přesnou hodnotu cesty s.

Diferenciál určitého integrálu

Pokud se vrátíme k jejímu označení, pak je docela možné předpokládat, že a = const, a b je konkrétní hodnota nějaké nezávisle proměnné x. Potom se určitý integrál s horní mezí x̃ z konkrétního čísla změní na funkci x̃. Tento integrál se rovná ploše obrázku pod křivkou, označené body aABb na obrázku níže.

Se stacionární přímkou ​​aA a pohyblivou přímkou ​​Bb se tato plocha stane funkcí f(x̃) a přírůstky Δx̃ jsou stále vyneseny podél osy x a přírůstky funkce f(x̃) jsou přírůstky oblast pod křivkou.

Předpokládejme, že jsme dali proměnné x̃ = b malý přírůstek Δx̃. Potom přírůstek v oblasti obrázku aABb je součtem plochy obdélníku (na obrázku stínované) Bb∙Δx̃ a plochy obrázku BDC pod křivkou. Plocha obdélníku je rovna Bb∙Δx̃ = f(x̃)Δx̃, tj. je lineární funkcí přírůstku nezávisle proměnné. Plocha obrazce BDC je zjevně menší než plocha obdélníku BDCK = Δx̃∙Δy, a jak Δx̃ →0 má tendenci, zmenšuje se ještě rychleji. To znamená, že f(x̃)Δx̃ = f(x̃)dx̃ je diferenciál proměnné plochy aABb, tj. diferenciál určitého integrálu

Z toho můžeme usoudit, že výpočet integrálů spočívá v hledání funkcí z daných výrazů jejich diferenciálů. Integrální počet je právě systém metod pro nalezení takových funkcí pomocí jejich známých diferenciálů.

Základní vztah integrálního počtu

Propojuje vztah mezi diferenciací a integrací a ukazuje, že existuje operace inverzní k derivaci funkce - její integrace. Ukazuje také, že pokud je nějaká funkce f(x) spojitá, pak aplikací této matematické operace na ni lze najít celý soubor (množinu, množinu) funkcí, které jsou pro ni primitivní (nebo jinak, najít její neurčitý integrál). ).

Nechť funkce F(x) označuje výsledek integrace funkce f(x). Korespondence mezi těmito dvěma funkcemi v důsledku integrace druhé z nich je označena takto:

Jak je vidět, s integrálním symbolem se meze integrace nekladou. To znamená, že z určitého se transformuje na neurčitý integrál. Slovo „neurčito“ znamená, že výsledkem integrační operace v tomto případě není jedna, ale mnoho funkcí. Ostatně poslední výrazy kromě samotné funkce F(x) splňuje i libovolná funkce F(x)+C, kde C = konst. To znamená, že konstantní člen v souboru primitivních derivátů může být specifikován libovolně.

Je třeba zdůraznit, že je-li integrál definovaný funkcí číslo, pak neurčitý integrál je funkcí, přesněji řečeno jejich množinou. Termín „integrace“ se používá k definování operace hledání obou typů integrálů.

Základní pravidlo integrace

Je to přesný opak odpovídajícího pravidla pro diferenciaci. Jak se berou neurčité integrály? Podíváme se na příklady tohoto postupu pomocí konkrétních funkcí.

Podívejme se na obecnou mocninnou funkci:

Jakmile to uděláme s tím, že každý člen ve výrazu funkce je integrovatelný (pokud je více než jedna), přidáme na konec konstantu. Připomeňme, že použití derivace konstantní hodnoty ji zničí, takže použití integrálu jakékoli funkce nám zajistí obnovení této konstanty. Říkáme tomu C, protože konstanta je neznámá - může to být libovolné číslo! Proto můžeme mít nekonečný počet výrazů pro neurčitý integrál.

Podívejme se na jednoduché neurčité integrály, jejichž příklady jsou uvedeny níže.

Předpokládejme, že potřebujeme najít integrál funkce:

f(x) = 4x 2 + 2x - 3.

Začněme prvním termínem. Podíváme se na exponent 2 a zvětšíme ho o 1, pak vydělíme první člen výsledným exponentem 3. Dostaneme: 4(x 3) / 3.

Pak se podíváme na dalšího člena a uděláme to samé. Protože má exponent 1, výsledný exponent bude 2. Tento člen tedy vydělíme 2: 2(x 2) / 2 = x 2.

Poslední člen má faktor x, ale my ho prostě nevidíme. Poslední člen si můžeme představit jako (-3x 0). To je ekvivalentní (-3)∙(1). Pokud použijeme pravidlo integrace, přidáme k exponentu 1, abychom jej zvýšili na první mocninu, a pak vydělíme poslední člen 1. Dostaneme 3x.

Toto integrační pravidlo funguje pro všechny hodnoty n kromě n = - 1 (protože nemůžeme dělit 0).

Podívali jsme se na nejjednodušší příklad hledání integrálu. Obecně platí, že řešení integrálů není snadný úkol a již nasbírané zkušenosti z matematiky jsou dobrým pomocníkem.

Integrální tabulky

Ve výše uvedené části jsme viděli, že z každého derivačního vzorce se získá odpovídající integrační vzorec. Všechny jejich možné možnosti jsou proto již dávno získány a shrnuty v příslušných tabulkách. Níže uvedená tabulka integrálů obsahuje vzorce pro integraci základních algebraických funkcí. Tyto vzorce je třeba znát nazpaměť a postupně si je zapamatovat, jak se upevňují pomocí cvičení.

Další tabulka integrálů obsahuje základní goniometrické funkce:

Jak vypočítat určitý integrál

Ukazuje se, že to udělat, vědět, jak integrovat, tedy najít neurčité integrály, je velmi jednoduché. A pomáhá k tomu vzorec zakladatelů integro-diferenciálního počtu, Newtona a Leibnize

Výpočet požadovaného integrálu podle ní spočívá v první fázi v nalezení neurčitého, pak ve výpočtu hodnoty nalezené primitivní funkce F(x) dosazením x, které se nejprve rovná horní hranici, poté dolní, a nakonec určení rozdílu těchto hodnot. V tomto případě se konstanta C nemusí zapisovat. protože zmizí, když se provede odečítání.

Podívejme se na některé integrály s podrobným řešením.

Najděte oblast oblasti pod jednou půlvlnnou sinusoidou.

Vypočítejme zastíněnou plochu pod hyperbolou.

Uvažujme nyní integrály s detailním řešením , použití vlastnosti aditivity v prvním příkladu a substituce mezilehlé integrační proměnné ve druhém. Vypočítejme určitý integrál zlomkově-racionální funkce:

y=(1+t)/t3 od t=1 do t=2.

Nyní si ukážeme, jak si můžete zjednodušit převzetí integrálu zavedením meziproměnné. Předpokládejme, že potřebujeme vypočítat integrál (x+1) 2 .

O nevlastních integrálech

Mluvili jsme o určitém integrálu pro konečný interval funkce f(x) na něm spojité. Řada specifických problémů však vede k potřebě rozšířit pojem integrálu na případ, kdy se limity (jedna nebo obě) rovnají nekonečnu nebo pro nespojitou funkci. Například při výpočtu ploch pod křivkami, které se asymptoticky přibližují k souřadnicovým osám. Pro rozšíření konceptu integrálu na tento případ se kromě přechodu na limitu při výpočtu Riemannovy sumy aproximačních obdélníků provede ještě jeden krok. Při takovém dvojitém přechodu k limitě se získá nevlastní integrál. Naproti tomu všechny výše uvedené integrály se nazývají vlastní.

Pojďme nyní diskutovat o opačném problému. Uveďme místo tabulky vzdáleností tabulku rychlostí v různých časech, počínaje nulou.

V tabulka 8.4 Je prezentována závislost rychlosti padající koule na čase. Podobnou tabulku lze sestavit i pro automobil, pokud zaznamenáváte údaje tachometru každou minutu nebo půl minuty. Je však možné při znalosti rychlosti auta v každém okamžiku vypočítat vzdálenost, kterou ujelo? Tento problém je opakem toho, na který jsme se právě podívali. Jak to vyřešit, když rychlost auta není konstantní, pokud buď zrychlí na 90 km/h, pak zpomalí, pak zastaví někde na semaforu atd.? Není těžké to udělat. Musíme použít stejnou myšlenku a vyjádřit celkovou vzdálenost pomocí jejích nekonečně malých částí. Nechte rychlost vi v první sekundě, pak pomocí vzorce Δs= v 1 \Δt můžete vypočítat vzdálenost ujetou během této sekundy. V další sekundě bude rychlost mírně odlišná, i když se možná bude blížit té původní, a vzdálenost, kterou auto urazí ve druhé sekundě, se bude rovnat nové rychlosti vynásobené časovým intervalem (1 sekunda). Tento proces může pokračovat dále, až do samého konce cesty. V důsledku toho získáme mnoho malých segmentů, které v součtu dají celou cestu. Dráha je tedy součtem rychlostí vynásobených jednotlivými časovými intervaly neboli s - ∑vΔt, kde řecké písmeno ∑ (sigma) znamená součet. Přesněji řečeno, bude to součet rychlostí v určitých časových okamžicích, řekněme t i, vynásobený Δt:

a každý následující moment t i+1 se najde podle pravidla t i+1 =t + Δt. Vzdálenost získaná touto metodou však nebude přesná, protože rychlost se stále mění s časem Δt. Východiskem z této situace je brát stále menší intervaly Δt, tedy dělit čas pohybu na stále větší počet menších úseků. Nakonec dojdeme k následujícímu, nyní přesnému výrazu pro ušlou cestu:

Matematici přišli se speciálním symbolem pro tuto limitu, stejně jako pro diferenciál. Symbol Δ se změní na d, což nám připomíná, že časový interval je libovolně malý a
součtový znak se stává ∫ - zdeformované velké S, první písmeno latinského slova "Sumrna". Tento symbol se nazývá integrál. Tak píšeme

kde v(t) je rychlost v čase t. Samotná operace sčítání těchto pojmů se nazývá integrace. Je opakem operace derivace v tom smyslu, že derivace tohoto integrálu je rovna v(t), takže jeden operátor (d/dt) „ničí“ druhý (∫). To umožňuje získat vzorce pro integrály invertováním vzorců pro diferenciály: integrál funkce v pravém sloupci tabulky 8.3 se bude rovnat funkci v levém sloupci. Odlišením všech typů funkcí můžete sami vytvořit tabulku integrálů.

Jakákoli funkce zadaná v analytické formě, tedy vyjádřená kombinací nám známých funkcí, je diferencována velmi jednoduše - celá operace se provádí čistě algebraicky a ve výsledku vždy získáme nějakou známou funkci. Avšak integrál ne každé funkce lze zapsat v analytické formě. Pro každý dílčí integrál se samozřejmě vždy nejprve snaží najít funkci, která by při derivaci dávala funkci, která se objevuje za znaménkem integrálu (říká se tomu integrand). To však není vždy možné. V takových případech se integrál počítá jednoduše sčítáním, to znamená, že součty typu (8.6) se počítají v menších a menších intervalech, dokud není výsledek získán s dostatečnou přesností.

Zpět Vpřed

Pozor! Náhledy snímků mají pouze informativní charakter a nemusí představovat všechny funkce prezentace. Pokud vás tato práce zaujala, stáhněte si prosím plnou verzi.

Cíl lekce:

• shrnout a upevnit klíčové úkoly k tématu;
• naučit se pracovat s teoretickou problematikou tématu;
• naučit se používat integrál k řešení fyzikálních problémů.

Plán lekce:

1. Schéma řešení úloh o aplikacích určitého integrálu
2. Nalezení dráhy, kterou urazí těleso při přímočarém pohybu
3. Výpočet silové práce vyvolané při přímočarém pohybu tělesa
4. Výpočet práce vynaložené na natažení nebo stlačení pružiny
5. Stanovení síly tlaku kapaliny na svislou desku

Typ lekce: integrovaný.

Vzdělávací práce: rozšiřování obzorů a kognitivní činnosti žáků, rozvíjení logického myšlení a schopnosti aplikovat své znalosti.

Technická podpora: interaktivní tabule. Počítač a disk.

Aplikace:„Rhapsody of Nature“.

PRŮBĚH LEKCE

I. Organizační moment

II. Stanovení cíle lekce

– Lekci bych rád vedl pod heslem Gottfrieda Wilhelma Leibnize, německého filozofa, logika, matematika, fyzika: „Obecné umění znaků je skvělá pomůcka, protože uvolňuje představivost... Je třeba dbát na to, aby označení jsou vhodná pro objevy. Označení stručně vyjadřují a odrážejí podstatu věcí. Pak se práce na myšlení úžasně zmenší.“

III. Pojďme si zopakovat základní pojmy a odpovědět na otázky:

– Řekněte mi základní definici integrálu?
– Co víte o integrálu (vlastnosti, věty)?
– Znáte nějaké příklady úloh s integrálem?

IV. Vysvětlení nového materiálu (přehled teorie):

1. Schéma řešení úloh o aplikacích určitého integrálu

Pomocí určitého integrálu lze řešit různé úlohy z fyziky, mechaniky atd., které je obtížné nebo nemožné řešit metodami elementární matematiky.

Pojem určitého integrálu se tedy používá při řešení problémů výpočtu práce proměnné síly, tlaku kapaliny na svislém povrchu, dráhy, kterou urazí těleso s proměnnou rychlostí a řady dalších.

Přes různorodost těchto problémů je při jejich řešení spojuje stejný vzorec uvažování. Požadované veličině (dráha, práce, tlak atd.) odpovídá určitý interval změny proměnné veličiny, která je proměnnou integrace. Tuto proměnnou veličinu označíme X a interval její změny [a, b].

Segment je rozdělen na n stejných částí, v každé z nich lze zanedbat změnu proměnné. Toho lze dosáhnout zvýšením počtu oddílů segmentu. V každé takové části je problém řešen pomocí vzorců pro konstantní veličiny.

I = , kde f(x) je funkce daná podle podmínek problému (síla, rychlost atd.).

2. Nalezení dráhy, kterou urazí těleso při lineárním pohybu

Jak je známo, dráha, kterou urazí těleso při rovnoměrném pohybu za čas t, se vypočítá podle vzorce S = vt.

Pohybuje-li se těleso nerovnoměrně jedním směrem a jeho rychlost se mění v závislosti na čase t, tj. v = f(t), pak pro zjištění dráhy, kterou těleso urazilo za dobu od do , rozdělíme tento časový úsek na n stejných dílů. Δt. V každé z těchto částí lze rychlost považovat za konstantní a rovnou hodnotě rychlosti na konci tohoto intervalu. Potom bude dráha, kterou těleso urazí, přibližně rovna součtu, tzn.

Pokud je funkce v(t) spojitá, pak

Tak,

3. Výpočet silové práce vyvolané při přímočarém pohybu tělesa

Nechť se těleso působením síly F pohybuje po přímce s a směr síly se shoduje se směrem pohybu. Je nutné najít práci vykonanou silou F při pohybu tělesa z polohy A do polohy b.

Pokud je síla F konstantní, pak se práce zjistí podle vzorce (součin síly a délky dráhy).

Na těleso pohybující se po přímce Ox nechť působí síla F, která se mění v závislosti na ujeté vzdálenosti, tzn. Abychom našli práci vykonanou silou F na segmentu cesty z A na b, rozdělte tento segment na n stejných částí. Předpokládejme, že síla zůstává na každé části konstantní

Sestavme integrální součet, který se přibližně rovná hodnotě vykonané práce:

těch. práce vykonaná touto silou v oblasti od a do b je přibližně malá v množství:

Práce proměnné síly se tedy vypočítá podle vzorce:

4. Výpočet práce vynaložené na natažení nebo stlačení pružiny

Podle Hookova zákona je síla F potřebná k natažení nebo stlačení pružiny úměrná velikosti napětí nebo stlačení.

Nechť x je velikost napětí nebo stlačení pružiny. Potom , kde k je koeficient úměrnosti v závislosti na vlastnosti pružiny.

Práce na webu bude vyjádřena vzorcem a veškerá vynaložená práce resp. Pokud pak má chyba v množství práce tendenci k nule.

Chcete-li najít skutečné množství práce, musíte jít na limit

5. Stanovení síly tlaku kapaliny na svislou desku

Z fyziky je známo, že síla P tlaku kapaliny na vodorovně umístěné plošině S, jejíž hloubka ponoření je rovna h, je určena vzorcem:

, kde je hustota kapaliny.

Odvoďme vzorec pro výpočet síly tlaku tekutiny na svisle umístěnou desku libovolného tvaru, je-li její horní okraj ponořen v hloubce a a spodní okraj v hloubce b.

Protože různé části vertikální desky jsou v různých hloubkách, síla tlaku kapaliny na ně není stejná. Chcete-li odvodit vzorec, musíte desku rozdělit na vodorovné pruhy stejné výšky. Každý pruh lze přibližně považovat za obdélník (obr. 199).

Podle Pascalova zákona je síla tlaku tekutiny na takový pásek rovna síle pohybu tekutiny na vodorovně umístěné desce stejné plochy, ponořené do stejné hloubky.

Potom podle vzorce (4) bude tlaková síla na pás umístěný ve vzdálenosti x od povrchu , kde je plocha proužku.

Složme integrální součet a najdeme jeho limit, rovný síle tlaku tekutiny na celou desku:

Pokud se horní okraj desky kryje s povrchem kapaliny, pak a = 0 a vzorec (5) má tvar

Šířka každého pásu závisí na tvaru desky a je funkcí hloubky x ponoření daného pásu.

Pro desku konstantní šířky je vzorec (5) zjednodušen, protože tuto konstantu lze vyjmout ze znaménka integrálu:

V. Analýza problémů k tématu

1) Rychlost pohybu hmotného bodu je dána vzorcem = (4 m/s. Najděte dráhu, kterou bod urazil za první 4 s od začátku pohybu.

2) Rychlost pohybu se mění podle zákona m/s. Najděte délku dráhy, kterou urazí těleso ve 3. sekundě svého pohybu.

3) Rychlost tělesa je dána rovnicí m/s. Určete vzdálenost, kterou tělo urazí od začátku pohybu do zastavení.

Rychlost pohybu tělesa je nulová v okamžiku, kdy se začne pohybovat a zastaví se. Najdeme okamžik zastavení tělesa, pro který srovnáme rychlost s nulou a vyřešíme rovnici pro t; dostaneme

Proto,

4) Těleso je vrženo svisle nahoru rychlostí, která se mění podle zákona paní. Najděte největší výšku zdvihu.

Najděte dobu, za kterou se těleso zvedlo: 29,4–9,8t=0 (v okamžiku největšího vzestupu je rychlost nulová); t = 3 s. Proto

5) Jak velkou práci vykoná síla 10 N při natažení pružiny o 2 cm?

Podle Hookova zákona je síla F natahující pružinu úměrná natažení pružiny, tzn. F = kx. Pomocí podmínky zjistíme (N/m), tzn. F = 500x. Dostáváme

6) Síla 60N natáhne pružinu o 2 cm Počáteční délka pružiny je 14 cm.