Domov › Nastavení › Příklady řešení neurčitých integrálů metodou změny proměnné. Metoda změny proměnné v neurčitém integrálu. Příklady řešení

Příklady řešení neurčitých integrálů metodou změny proměnné. Metoda změny proměnné v neurčitém integrálu. Příklady řešení

Pokud má funkce x=φ(t) spojitou derivaci, pak v daném neurčitém integrálu ∫f(x)dx můžete vždy přejít na novou proměnnou t pomocí vzorce

∫f(x)dx=∫f(φ(t))φ"(t)dt

Poté najděte integrál z pravé strany a vraťte se k původní proměnné. V tomto případě se integrál na pravé straně této rovnosti může ukázat jako jednodušší než integrál na levé straně této rovnosti, nebo dokonce tabulkový. Tato metoda hledání integrálu se nazývá metoda změny proměnné.

Příklad 7. ∫x√x-5dx

Abychom se zbavili kořene, nastavíme √x-5=t. Odtud x=t 2 +5 a tedy dx=2tdt. Při substituci máme důsledně:

∫x√x-5dx=∫(t 2 +5) 2tdt=∫(2t 4 +10t 2)dt=2∫t 4 dt+10∫t 2 dt=

III. Metoda integrace po částech

Metoda integrace po částech je založena na následujícím vzorci:

∫udv=uv-∫vdu

kde u(x),v(x) jsou spojitě diferencovatelné funkce. Vzorec se nazývá vzorec integrace po částech. Tento vzorec ukazuje, že integrál ∫udv vede k integrálu ∫vdu, který se může ukázat jako jednodušší než ten původní, nebo dokonce tabulkový.

Příklad 12. Najděte neurčitý integrál ∫xe -2x dx

Použijme metodu integrace po částech. Položme u=x, dv=e -2x dx. Pak du=dx, v=∫xe -2x dx=-e -2x +C Máme tedy podle vzorce: ∫xe -2x dx=x(-e -2x)-∫- -2 dx=-e -2x -e -2x +C

23 . Racionální zlomek je zlomek, jehož čitatel a jmenovatel jsou polynomy.

Racionální zlomky. Nejjednodušší racionální zlomky a jejich integrace

Jakákoli racionální funkce může být reprezentována jako racionální zlomek, to znamená jako poměr dvou polynomů:

Je-li stupeň v čitateli nižší než stupeň ve jmenovateli, nazývá se zlomek opravit, jinak se nazývá zlomek špatně.

Pokud je zlomek nevlastní, pak dělením čitatele jmenovatelem (podle pravidla pro dělení polynomů) můžete tento zlomek reprezentovat jako součet polynomu a nějakého vlastního zlomku: , Kde M(x)- polynom, ale vlastní zlomek.

Příklad: Dostaneme nesprávný racionální zlomek.

Pak , protože při dělení rohem dostaneme zbytek (4x-6).

Protože integrace polynomů nepředstavuje žádné zásadní potíže, hlavní potíž při integraci racionálních zlomků spočívá v integraci správných racionálních zlomků.

Existuje několik typů racionálních zlomků:

II. Typ: (k-kladné celé číslo ³2).

IY. Pohled: (k-celé číslo³2).

Uvažujme integrály nejjednodušších racionálních zlomků.

já .

II. =A .

24 .Integrování racionálních zlomků

Nechť integrand je racionální zlomek kde a jsou polynomy (polynomy) stupňů k A n respektive. Bez ztráty obecnosti to můžeme předpokládat k < n, protože jinak můžete vždy uvést čitatel ve tvaru P(x) = Q(x)R(x) + S(x), kde R(x) a S(x) jsou polynomy, obvykle nazývané jako v případě reálná čísla, kvocient a zbytek a stupeň polynomu S(x) je menší n. Pak

, (1.1)

a můžeme vypočítat integrál polynomu R(x). Ukažme si na příkladu, jak získat expanzi (1.1). Nechť P(x) = x 7 + 3x 6 + 3x 5 – 3x 3 + 4x 2 + x -2, Q(x) = x + 3x 2 + x-2. Vydělme polynom P(x) polynomem Q(x) stejně jako dělíme reálná čísla (řešení získáme pomocí kalkulačky na dělení sloupců). Dostali jsme tedy celou část zlomku (podíl z dělení polynomu P polynomem Q) R(x) = x 4 + 2x 2 – 4x + 7 a zbytek S(x) = 9x 2 – 14x +12 z této divize. Podle základní věty algebry lze libovolný polynom rozložit na jednoduché faktory, tedy reprezentované ve tvaru , kde se kořeny polynomu Q(x) opakují tolikrát, kolikrát je jejich násobnost. Nechť polynom Q(x) má n různých kořenů. Pak může být správný racionální zlomek reprezentován jako , kde jsou čísla k určení. Je-li odmocninou násobnosti α, pak při rozkladu na jednoduché zlomky odpovídají členům α . Je-li x j komplexním kořenem násobnosti polynomu s reálnými koeficienty, pak je komplexně sdružené číslo také kořenem násobnosti α tohoto polynomu. Abychom se při integrování racionálních zlomků nezabývali komplexními čísly, jsou členy v expanzi vlastního racionálního zlomku odpovídající dvojicím komplexně sdružených odmocnin spojeny a zapsány jako jeden člen tvaru , jestliže - kořeny násobnosti jedna. Jestliže jsou kořeny násobnosti , pak odpovídají členům a odpovídající rozšíření má tvar

Integrace správných racionálních zlomků se tedy zredukovala na integraci nejjednodušších zlomků, z nichž ty tabulkové lze najít pomocí rekurentního vzorce, který se získá integrací po částech. Integrály, v případě, kdy má jmenovatel komplexní kořeny (diskriminační), se redukují pomocí výběru úplného čtverce na integrály nahrazením. Jedním ze způsobů, jak najít koeficienty v expanzi správného racionálního zlomku, je následující. Pravá strana výsledného rozšíření s neurčenými koeficienty je redukována na společného jmenovatele. Vzhledem k tomu, že jmenovatelé pravé a levé strany jsou si rovni, musí se rovnat i čitatele, což jsou polynomy. Přirovnáním koeficientů ve stejných stupních (protože polynomy jsou stejné, pokud jsou koeficienty ve stejných stupních stejné), získáme systém lineárních rovnic pro určení těchto koeficientů.

25. Integrace iracionálních funkcí - Obecným principem integrace iracionálních výrazů je nahrazení proměnné, což vám umožní zbavit se kořenů v integrandu. U některých funkčních tříd je tohoto cíle dosaženo pomocí standardních substitucí.

Integrály formuláře .

Integrály formuláře se vypočítávají nahrazením nebo .

26 . Integrace iracionálních funkcí - Obecným principem integrace iracionálních výrazů je nahrazení proměnné, což vám umožní zbavit se kořenů v integrandu. U některých funkčních tříd je tohoto cíle dosaženo pomocí standardních substitucí.

Integrály formuláře , kde je racionální funkce jeho argumentů, se vypočítají nahrazením .

Integrály formuláře se vypočítávají nahrazením nebo .

Integrály formuláře se vypočítávají nahrazením nebo . Integrály formuláře se vypočítávají nahrazením nebo .

V této lekci se seznámíme s jednou z nejdůležitějších a nejběžnějších technik, která se používá při řešení neurčitých integrálů – metodou změny proměnné. Úspěšné zvládnutí látky vyžaduje počáteční znalosti a integrační dovednosti. Pokud máte v integrálním počtu pocit prázdné plné konvice, měli byste se nejprve seznámit s materiálem, kde jsem přístupnou formou vysvětlil, co je integrál, a podrobně rozebral základní příklady pro začátečníky.

Technicky je metoda změny proměnné v neurčitém integrálu implementována dvěma způsoby:

– Přičtení funkce pod diferenciální znaménko;
– Ve skutečnosti nahrazení proměnné.

V podstatě se jedná o totéž, ale design řešení vypadá jinak.

Začněme jednodušším případem.

Přičtení funkce pod diferenciální znaménko

Na lekci Neurčitý integrál. Příklady řešení naučili jsme se, jak otevřít diferenciál, připomínám vám příklad, který jsem uvedl:

To znamená, že odhalení diferenciálu je formálně téměř stejné jako nalezení derivace.

Příklad 1

Proveďte kontrolu.

Podíváme se na tabulku integrálů a najdeme podobný vzorec: . Problém je ale v tom, že pod sinem nemáme jen písmeno „X“, ale komplexní výraz. Co dělat?

Přivedeme funkci pod diferenciální znaménko:

Otevřením diferenciálu je snadné zkontrolovat, že:

Ve skutečnosti a je záznam toho samého.

Otázkou však zůstalo, jak jsme došli k myšlence, že v prvním kroku musíme zapsat náš integrál přesně takto: ? Proč tomu tak je a ne jinak?

Vzorec (a všechny ostatní vzorce tabulky) jsou platné a použitelné NEJEN pro proměnnou, ale také pro jakýkoli komplexní výraz POUZE JAKO ARGUMENT FUNKCE(- v našem příkladu) A VÝRAZ POD DIFERENČNÍM ZNAMENÍM BYLY STEJNÝ .

Mentální uvažování při řešení by proto mělo být asi toto: „Potřebuji vyřešit integrál. Podíval jsem se do tabulky a našel podobný vzorec . Ale mám složitý argument a nemohu okamžitě použít vzorec. Pokud se mi to však podaří dostat pod znaménko diferenciálu, tak bude vše v pořádku. Když to napíšu, tak. Ale v původním integrálu není žádný faktor tři, proto, aby se funkce integrandu nezměnila, musím ji vynásobit ". V průběhu přibližně takového mentálního uvažování se rodí záznam:

Nyní můžete použít tabulkový vzorec :

Připraveno

Jediný rozdíl je v tom, že nemáme písmeno „X“, ale složitý výraz.

Pojďme zkontrolovat. Otevřete tabulku derivací a diferencujte odpověď:

Původní funkce integrandu byla získána, což znamená, že integrál byl nalezen správně.

Upozorňujeme, že při ověřování jsme použili pravidlo pro odlišení komplexní funkce . V podstatě přičtení funkce pod diferenciální znaménko a - to jsou dvě vzájemně inverzní pravidla.

Příklad 2

Pojďme analyzovat funkci integrand. Zde máme zlomek a jmenovatel je lineární funkce (s „x“ na první mocninu). Podíváme se na tabulku integrálů a najdeme nejpodobnější věc: .

Přivedeme funkci pod diferenciální znaménko:

Ti, pro které je obtížné okamžitě zjistit, kterým zlomkem násobit, mohou rychle odhalit diferenciál v návrhu: . Jo, ukázalo se, že to znamená, že aby se nic nezměnilo, musím vynásobit integrál .
Dále použijeme tabulkový vzorec :

Zkouška:

Původní funkce integrandu byla získána, což znamená, že integrál byl nalezen správně.

Příklad 3

Najděte neurčitý integrál. Proveďte kontrolu.

Příklad 4

Najděte neurčitý integrál. Proveďte kontrolu.

Toto je příklad, který můžete vyřešit sami. Odpověď je na konci lekce.

S určitými zkušenostmi s řešením integrálů se takové příklady budou zdát snadné a budou klapat jako ořechy:

Na konci této části bych se také rád zastavil u „volného“ případu, kdy do lineární funkce vstupuje proměnná s jednotkovým koeficientem, například:

Přesně řečeno, řešení by mělo vypadat takto:

Jak vidíte, přičtení funkce pod znaménko diferenciálu bylo „bezbolestné“, bez jakýchkoli násobení. Proto se v praxi takto dlouhé řešení často zanedbává a hned se to zapisuje . Ale buďte připraveni v případě potřeby vysvětlit učiteli, jak jste to vyřešili! Protože v tabulce vlastně žádný integrál není.

Metoda změny proměnné v neurčitém integrálu

Přejděme k obecnému případu – metodě změny proměnných v neurčitém integrálu.

Příklad 5

Najděte neurčitý integrál.

Jako příklad jsem vzal integrál, na který jsme se podívali na samém začátku lekce. Jak jsme již řekli, k řešení integrálu se nám líbil tabulkový vzorec , a rád bych celou záležitost zredukoval na ni.

Myšlenkou náhradní metody je nahradit složitý výraz (nebo nějakou funkci) jediným písmenem.
V tomto případě žádá:
Druhým nejoblíbenějším náhradním písmenem je písmeno .
V zásadě můžete použít jiná písmena, ale stále se budeme držet tradic.

Tak:
Ale když ho vyměníme, zůstane nám ! Pravděpodobně mnozí hádali, že pokud dojde k přechodu na novou proměnnou, pak by v novém integrálu mělo být vše vyjádřeno písmenem a pro diferenciál tam vůbec není místo.
Logickým závěrem je, že je to nutné proměnit v nějaký výraz, který závisí pouze na.

Akce je následující. Poté, co jsme vybrali náhradu, v tomto příkladu musíme najít diferenciál. S diferenciály si myslím, že každý už navázal přátelství.

Od té doby

Po rozebrání diferenciálu doporučuji co nejstručněji přepsat konečný výsledek:
Nyní, podle pravidel proporce, vyjádříme, co potřebujeme:

Nakonec:
Tím pádem:

A to už je nejvíce tabulkový integrál (tabulka integrálů samozřejmě platí i pro proměnnou).

Nakonec zbývá pouze provést zpětnou výměnu. Připomeňme si to.

Připraveno.

Konečný návrh uvažovaného příkladu by měl vypadat nějak takto:

“

Pojďme nahradit:

“

Ikona nemá žádný matematický význam, znamená to, že jsme přerušili řešení pro přechodná vysvětlení.

Při přípravě příkladu do sešitu je lepší označit obrácenou záměnu jednoduchou tužkou.

Pozornost! V následujících příkladech nebude hledání diferenciálu podrobně popisováno.

A nyní je čas si vzpomenout na první řešení:

Jaký je rozdíl? Není v tom žádný zásadní rozdíl. Je to vlastně to samé. Ale z hlediska návrhu úlohy je metoda subsumování funkce pod diferenciální znaménko mnohem kratší.

Nabízí se otázka. Pokud je první metoda kratší, proč tedy používat náhradní metodu? Faktem je, že pro řadu integrálů není tak snadné „napasovat“ funkci na znaménko diferenciálu.

Příklad 6

Najděte neurčitý integrál.

Udělejme náhradu: (tady je těžké vymyslet jinou náhradu)

Jak je vidět, v důsledku výměny se původní integrál výrazně zjednodušil - zredukoval na obyčejnou mocninnou funkci. K tomu slouží náhrada – zjednodušení integrálu.

Pokročilí líní mohou tento integrál snadno vyřešit tím, že funkci přiřadí pod diferenciální znaménko:

Další věc je, že takové řešení zjevně není pro všechny studenty. Navíc již v tomto příkladu použití metody subsumování funkce pod diferenciální znaménko výrazně zvyšuje riziko záměny při rozhodování.

Příklad 7

Najděte neurčitý integrál. Proveďte kontrolu.

Příklad 8

Najděte neurčitý integrál.

Výměna, nahrazení:
V co se promění, se teprve uvidí

Dobře, vyjádřili jsme to, ale co dělat s tím „X“ zbývajícím v čitateli?!
Čas od času se při řešení integrálů setkáme s následujícím trikem: vyjádříme ze stejné náhrady !

Příklad 9

Najděte neurčitý integrál.

Toto je příklad, který můžete vyřešit sami. Odpověď je na konci lekce.

Příklad 10

Najděte neurčitý integrál.

Určitě si někteří lidé všimli, že v mé vyhledávací tabulce není žádné pravidlo pro nahrazení proměnné. To bylo provedeno záměrně. Pravidlo by způsobilo zmatek ve vysvětlení a porozumění, protože se ve výše uvedených příkladech výslovně neobjevuje.

Nyní je čas promluvit si o základním předpokladu použití metody variabilní substituce: integrand musí obsahovat nějakou funkci a její derivaci:(funkce nemusí být součástí produktu)

V tomto ohledu se při hledání integrálů často musíte dívat na tabulku derivací.

V uvažovaném příkladu si všimneme, že stupeň čitatele je o jeden menší než stupeň jmenovatele. V tabulce derivací najdeme vzorec, který právě sníží stupeň o jedničku. A to znamená, že pokud to označíte jako jmenovatel, pak je velká šance, že se čitatel promění v něco dobrého.

Přejděme k obecnému případu – metodě změny proměnných v neurčitém integrálu.

Příklad 5

Myšlenkou náhradní metody je nahradit složitý výraz (nebo nějakou funkci) jediným písmenem.
V tomto případě žádá:
Druhým nejoblíbenějším náhradním písmenem je písmeno .
V zásadě můžete použít jiná písmena, ale stále se budeme držet tradic.

Akce je následující. Poté, co jsme vybrali náhradu, v tomto příkladu musíme najít diferenciál. S diferenciály si myslím, že každý už navázal přátelství.

Od té doby

Po rozebrání diferenciálu doporučuji co nejstručněji přepsat konečný výsledek:
Nyní, podle pravidel proporce, vyjádříme, co potřebujeme:

Nakonec:
Tím pádem:

A to už je nejvíce tabulkový integrál (tabulka integrálů platí samozřejmě i pro proměnnou ).

Nakonec zbývá pouze provést zpětnou výměnu. Připomeňme si to.

Připraveno.

Konečný návrh uvažovaného příkladu by měl vypadat nějak takto:

“

Pojďme nahradit:

“

Ikona nemá žádný matematický význam, znamená to, že jsme přerušili řešení pro přechodná vysvětlení.

Při přípravě příkladu do sešitu je lepší označit obrácenou záměnu jednoduchou tužkou.

Pozornost! V následujících příkladech nebude hledání diferenciálu podrobně popisováno.

A nyní je čas si vzpomenout na první řešení:

Jaký je rozdíl? Není v tom žádný zásadní rozdíl. Je to vlastně to samé. Ale z hlediska návrhu úlohy je metoda subsumování funkce pod diferenciální znaménko mnohem kratší.

Příklad 6

Najděte neurčitý integrál.

Udělejme náhradu: (tady je těžké vymyslet jinou náhradu)

Jak je vidět, v důsledku výměny se původní integrál výrazně zjednodušil - zredukoval na obyčejnou mocninnou funkci. K tomu slouží náhrada – zjednodušení integrálu.

Pokročilí líní mohou tento integrál snadno vyřešit tím, že funkci přiřadí pod diferenciální znaménko:

Příklad 7

Najděte neurčitý integrál. Proveďte kontrolu.

Příklad 8

Najděte neurčitý integrál.

Příklad 9

Najděte neurčitý integrál.

Toto je příklad, který můžete vyřešit sami. Odpověď je na konci lekce.

Příklad 10

Najděte neurčitý integrál.

Nyní je čas promluvit si o základním předpokladu použití metody variabilní substituce: integrand musí obsahovat nějakou funkci a jeho derivát : (funkce nemusí být součástí produktu)

V tomto ohledu se při hledání integrálů často musíte dívat na tabulku derivací.

Výměna, nahrazení:

Mimochodem, není tak těžké podřadit funkci pod diferenciální znaménko:

Nutno podotknout, že u zlomků jako je tento trik již nebude fungovat (přesněji bude nutné aplikovat nejen techniku nahrazování). Můžete se naučit integrovat některé zlomky ve třídě. Integrace některých zlomků.

Zde je několik dalších typických příkladů nezávislých řešení ze stejné opery:

Příklad 11

Najděte neurčitý integrál.

Příklad 12

Najděte neurčitý integrál.

Řešení na konci lekce.

Příklad 13

Najděte neurčitý integrál.

Podíváme se na tabulku derivací a najdeme náš arkus cosinus: . V našem integrandu máme arkus kosinus a něco podobného jeho derivaci.

Obecné pravidlo:
Za označujeme samotnou funkci(a ne jeho derivát).

V tomto případě: . Zbývá zjistit, v co se promění zbývající část integrandu.

V tomto příkladu podrobně popíšu nález, protože se jedná o komplexní funkci.

Nebo ve zkratce:
Pomocí pravidla proporce vyjádříme zbytek, který potřebujeme:

Tím pádem:

Zde již není tak snadné podřadit funkci pod diferenciální znaménko.

Příklad 14

Najděte neurčitý integrál.

Příklad pro nezávislé řešení. Odpověď je velmi blízko.

Pozorní čtenáři si jistě všimli, že jsem uvažoval o několika příkladech s goniometrickými funkcemi. A to není náhoda, protože integrálům goniometrických funkcí je věnována samostatná lekce. Kromě toho tato lekce poskytuje několik užitečných pokynů pro nahrazení proměnné, což je zvláště důležité pro figuríny, kteří ne vždy a ne hned chápou, jaký druh nahrazení je třeba provést v konkrétním integrálu. Některé typy substitucí můžete vidět také v článku Jednoznačný integrál. Příklady řešení.

Zkušenější studenti se mohou chtít seznámit s typickými substitucemi v integrálech s iracionálními funkcemi. Substituce při integraci kořenů je specifická a technika její implementace se liší od té, kterou jsme probírali v této lekci.

Přeji ti úspěch!

Řešení a odpovědi:

Příklad 3: Řešení:

Příklad 4: Řešení:

Příklad 7: Řešení:

Příklad 9: Řešení:

Výměna, nahrazení:

Příklad 11: Řešení:

Pojďme nahradit:

(viz článek Metoda změny proměnné v neurčitém integrálu ) nebo je integrál zapnutý integrace metodou dílů.

Jako vždy byste měli mít po ruce: Tabulka integrálů A Tabulka derivátů. Pokud je ještě nemáte, navštivte prosím sklad mého webu: Matematické vzorce a tabulky. Nenechám se opakovat – je lepší si vše vytisknout. Pokusím se prezentovat veškerý materiál konzistentně, jednoduše a jasně, při integraci částí nejsou žádné zvláštní potíže.

Jaký problém řeší metoda integrace po částech? Metoda integrace po částech řeší velmi důležitý problém, umožňuje integrovat některé funkce, které nejsou v tabulce, práce

3) , , jsou goniometrické funkce vynásobené nějakým polynomem.

4) , – inverzní goniometrické funkce („oblouky“), „oblouky“ násobené nějakým polynomem.

Některé zlomky jsou také převzaty po částech, budeme také podrobně zvažovat odpovídající příklady.

A způsoby, jak redukovat integrály na tabulkové Vypsali jsme pro vás:

metoda variabilní náhrady;

způsob integrace po částech;

Metoda přímé integrace

metody reprezentace neurčitých integrálů přes tabulkové pro integrály racionálních zlomků;

metody pro reprezentaci neurčitých integrálů pomocí tabulkových integrálů pro integrály iracionálních výrazů;

způsoby vyjádření neurčitých integrálů pomocí tabulkových pro integrály goniometrických funkcí.

Neurčitý integrál mocninné funkce

Neurčitý integrál exponenciální funkce

Ale neurčitý integrál logaritmu není tabulkový integrál, ale vzorec je tabulkový:

Neurčité integrály goniometrických funkcí: Integrály sinu, kosinu a tangens

Neurčité integrály s inverzními goniometrickými funkcemi

Redukce do tabulkové formy nebo metoda přímé integrace. Pomocí identických transformací integrandu je integrál redukován na integrál, pro který platí základní pravidla integrace a je možné použít tabulku základních integrálů.

Příklad

Cvičení. Najděte integrál

Řešení. Využijme vlastnosti integrálu a zredukujme tento integrál do tabulkové formy.

Odpovědět.

Technicky variabilní metoda náhrady v neurčitém integrálu se implementuje dvěma způsoby:

– Přičtení funkce pod diferenciální znaménko. – Skutečná změna proměnné.

Přičtení funkce pod diferenciální znaménko

Příklad 2

Najděte neurčitý integrál. Proveďte kontrolu.

Pojďme analyzovat funkci integrand. Zde máme zlomek a jmenovatel je lineární funkce (s „x“ na první mocninu). Podíváme se na tabulku integrálů a najdeme nejpodobnější věc: .

Přivedeme funkci pod diferenciální znaménko:

Zkouška: Původní funkce integrandu byla získána, což znamená, že integrál byl nalezen správně.

Metoda změny proměnné v neurčitém integrálu

Příklad 5

Najděte neurčitý integrál.

Myšlenkou náhradní metody je nahradit složitý výraz (nebo nějakou funkci) jediným písmenem. V tomto případě se navrhuje: Druhým nejoblíbenějším písmenem pro nahrazení je písmeno . V zásadě můžete použít jiná písmena, ale stále se budeme držet tradic.

Tak: Ale když ho vyměníme, zůstane nám ! Pravděpodobně mnozí hádali, že pokud dojde k přechodu na novou proměnnou, pak by v novém integrálu mělo být vše vyjádřeno písmenem a pro diferenciál tam vůbec není místo. Logickým závěrem je, že je to nutné proměnit v nějaký výraz, který závisí pouze na.

Akce je následující. Poté, co jsme vybrali náhradu, v tomto příkladu musíme najít diferenciál. S diferenciály si myslím, že každý už navázal přátelství.

Od té doby

Po vyřešení diferenciálu doporučuji co nejstručněji přepsat konečný výsledek: Nyní podle pravidel proporce vyjádříme ten, který potřebujeme:

Nakonec: Tím pádem: A to už je nejvíce tabulkový integrál (tabulka integrálů platí samozřejmě i pro proměnnou ).

Nakonec zbývá pouze provést zpětnou výměnu. Připomeňme si to.

Připraveno.

Konečný návrh uvažovaného příkladu by měl vypadat nějak takto:

“

Pojďme nahradit:

“

Ikona nemá žádný matematický význam, znamená to, že jsme přerušili řešení pro přechodná vysvětlení.

Při přípravě příkladu do sešitu je lepší označit obrácenou záměnu jednoduchou tužkou.

Pozornost! V následujících příkladech nebude hledání diferenciálu podrobně popisováno.

A nyní je čas si vzpomenout na první řešení:

Jaký je rozdíl? Není v tom žádný zásadní rozdíl. Je to vlastně to samé. Ale z hlediska návrhu úlohy je metoda subsumování funkce pod diferenciální znaménko mnohem kratší. Nabízí se otázka. Pokud je první metoda kratší, proč tedy používat náhradní metodu? Faktem je, že pro řadu integrálů není tak snadné „napasovat“ funkci na znaménko diferenciálu.

Integrace po částech. Příklady řešení

Integrály logaritmů

Příklad 1

Najděte neurčitý integrál.

Klasický. Čas od času lze tento integrál najít v tabulkách, ale není vhodné používat hotovou odpověď, protože učitel má jarní nedostatek vitamínů a bude tvrdě nadávat. Protože uvažovaný integrál není v žádném případě tabulkový - bere se po částech. rozhodujeme se:

Pro mezilehlá vysvětlení řešení přerušíme.

Používáme vzorec integrace podle částí:

Vzorec se aplikuje zleva doprava

Podíváme se na levou stranu: . Je zřejmé, že v našem příkladu (a ve všech ostatních, které budeme zvažovat), je třeba něco označit jako , a něco jako .

V integrálech uvažovaného typuvždy značeno logaritmem.

Technicky je návrh řešení realizován následovně do sloupce zapíšeme:

To znamená, že jsme logaritmus označili a - zbývající část integrandový výraz.

Další fáze: najděte rozdíl: