Hustota rozdělení spojů. Viz stránky, kde je zmíněn pojem hustota spár. Společná funkce hustoty pravděpodobnosti dvou náhodných veličin

1. ročník, vyšší matematika, studium matrice a základní akce na nich. Zde systematizujeme základní operace, které lze s maticemi provádět. Kde začít se seznamováním s matrikami? Samozřejmě od těch nejjednodušších věcí – definic, základních pojmů a jednoduchých operací. Ujišťujeme vás, že matrikám bude rozumět každý, kdo se jim alespoň trochu věnuje!

Definice matice

Matice je obdélníková tabulka prvků. No, co kdyby jednoduchým jazykem– tabulka čísel.

Typicky jsou matice označeny velkými písmeny latinkou. Například matice A , matice B a tak dále. Matice mohou být různé velikosti: obdélníkový, čtvercový, existují také řádkové matice a sloupcové matice zvané vektory. Velikost matice je určena počtem řádků a sloupců. Například pišme obdélníková matice velikost m na n , Kde m – počet řádků a n – počet sloupců.

Položky, pro které i=j (a11, a22, .. ) formulář hlavní úhlopříčka matice a nazývají se diagonální.

Co můžete dělat s matricemi? Přidat/Odečíst, vynásobit číslem, množit se mezi sebou, přemístit. Nyní o všech těchto základních operacích s maticemi v pořádku.

Operace sčítání a odčítání matic

Okamžitě vás upozorníme, že můžete přidat pouze matice stejné velikosti. Výsledkem bude matice stejné velikosti. Přidávání (nebo odečítání) matic je jednoduché - stačí sečíst jejich odpovídající prvky . Uveďme příklad. Proveďme sečtení dvou matic A a B o velikosti dva po dvou.

Odečítání se provádí analogicky, pouze s opačným znaménkem.

Libovolnou matici lze vynásobit libovolným číslem. K tomu musíte vynásobit každý jeho prvek tímto číslem. Vynásobme například matici A z prvního příkladu číslem 5:

Operace násobení matic

Ne všechny matice lze násobit dohromady. Například máme dvě matice - A a B. Lze je vzájemně násobit pouze v případě, že počet sloupců matice A je roven počtu řádků matice B. V tomto případě každý prvek výsledné matice umístěný v i-té řadě a j-tý sloupec, se bude rovnat součtu součinů odpovídajících prvků v i-tý řádek prvního faktoru a j-tý sloupec druhého. Abychom porozuměli tomuto algoritmu, zapišme si, jak se násobí dvě čtvercové matice:

A příklad s reálná čísla. Vynásobme matice:

Operace maticové transpozice

Maticová transpozice je operace, při které dochází k záměně odpovídajících řádků a sloupců. Například transponujme matici A z prvního příkladu:

Maticový determinant

Determinant neboli determinant je jedním ze základních pojmů lineární algebry. Kdysi dávno lidé přišli s lineární rovnice, a za nimi jsme museli přijít s determinantem. Nakonec je na vás, abyste se s tím vším vypořádali, takže poslední tlak!

Determinant je numerická charakteristika čtvercové matice, která je potřebná k řešení mnoha problémů.
Pro výpočet determinantu nejjednodušší čtvercové matice je třeba vypočítat rozdíl mezi součiny prvků hlavní a vedlejší úhlopříčky.

Determinant matice prvního řádu, která se skládá z jednoho prvku, je roven tomuto prvku.

Co když je matice tři na tři? Je to složitější, ale dá se to zvládnout.

Pro takovou matici je hodnota determinantu rovna součtu součinů prvků hlavní úhlopříčky a součinů prvků ležících na trojúhelnících s plochou rovnoběžnou s hlavní úhlopříčkou, z nichž součin prvky vedlejší úhlopříčky a součin prvků ležících na trojúhelnících s lícem rovnoběžné vedlejší úhlopříčky se odečítají.

Naštěstí počítání determinantů matic velké velikosti v praxi je to zřídka nutné.

Zde jsme se podívali na základní operace s maticemi. Samozřejmě v skutečný život možná se nikdy nesetkáte ani s náznakem maticového systému rovnic, nebo naopak můžete potkat mnohem více složité případy když si opravdu musíte dát rozum. Právě pro takové případy existují profesionální studentské služby. Požádejte o pomoc, získejte kvalitu a detailní řešení, užijte si studijní úspěchy a volný čas.

Nech to být čtvercová matice n-tý řád

Je volána matice A -1 inverzní matice ve vztahu k matici A, pokud A*A -1 = E, kde E je matice identity n-tý řád.

Matice identity- taková čtvercová matice, ve které jsou všechny prvky podél hlavní diagonály procházející zleva horní roh v pravém dolním rohu jsou jedničky a zbytek jsou nuly, například:

Inverzní matice může existovat pouze pro čtvercové matice těch. pro ty matice, ve kterých se počet řádků a sloupců shoduje.

Věta pro podmínku existence inverzní matice

Aby matice měla inverzní matici, je nutné a postačující, aby byla nesingulární.

Zavolá se matice A = (A1, A2,...A n). nedegenerované, pokud jsou sloupcové vektory lineárně nezávislé. Počet lineárně nezávislých sloupcových vektorů matice se nazývá hodnost matice. Proto můžeme říci, že k tomu, aby existoval inverzní matice je nutné a postačující, aby se hodnost matice rovnala jejímu rozměru, tzn. r = n.

Algoritmus pro nalezení inverzní matice

1. Do tabulky pro řešení soustav rovnic Gaussovou metodou zapište matici A a přiřaďte jí vpravo (na místo pravých stran rovnic) matici E.
2. Pomocí Jordanových transformací redukujte matici A na matici sestávající z jednotkových sloupců; v tomto případě je nutné současně transformovat matici E.
3. V případě potřeby přeuspořádejte řádky (rovnice) poslední tabulky tak, abyste pod maticí A původní tabulky dostali matici identity E.
4. Zapište inverzní matici A -1, která se nachází v poslední tabulce pod maticí E původní tabulky.

Příklad 1

Pro matici A najděte inverzní matici A -1

Řešení: Napíšeme matici A a vpravo přiřadíme matici identity E Pomocí Jordanových transformací redukujeme matici A na matici identity E. Výpočty jsou uvedeny v tabulce 31.1.

Zkontrolujme si správnost výpočtů vynásobením původní matice A a inverzní matice A -1.

Jako výsledek násobení matic byla získána matice identity. Proto byly výpočty provedeny správně.

Odpověď:

Řešení maticových rovnic

Maticové rovnice mohou vypadat takto:

AX = B, HA = B, AXB = C,

kde A, B, C jsou specifikované matice, X je požadovaná matice.

Maticové rovnice se řeší vynásobením rovnice inverzními maticemi.

Chcete-li například najít matici z rovnice, musíte tuto rovnici vynásobit vlevo.

Proto, abyste našli řešení rovnice, musíte najít inverzní matici a vynásobit ji maticí na pravé straně rovnice.

Ostatní rovnice jsou řešeny obdobně.

Příklad 2

Řešte rovnici AX = B jestliže

Řešení: Protože inverzní matice je rovna (viz příklad 1)

Maticová metoda v ekonomické analýze

Spolu s jinými se také používají maticové metody. Tyto metody jsou založeny na lineární a vektor-maticové algebře. Tyto metody se používají pro účely analýzy složitých a vícerozměrných ekonomických jevů. Nejčastěji se tyto metody používají, když je potřeba provést srovnávací hodnocení fungování organizací a jejich strukturálního členění.

V procesu aplikace metod maticové analýzy lze rozlišit několik fází.

V první fázi vytváří se systém ekonomických ukazatelů a na jeho základě se sestavuje matice výchozích údajů, což je tabulka, ve které se podle svého samostatné řádky jsou zobrazena systémová čísla (i = 1,2,...,n), a ve svislých sloupcích - čísla ukazatelů (j = 1,2,....,m).

Ve druhé fázi Pro každý vertikální sloupec je identifikována největší z dostupných hodnot indikátoru, která je brána jako jedna.

Poté se všechny částky uvedené v tomto sloupci vydělí nejvyšší hodnotu a vytvoří se matice standardizovaných koeficientů.

Ve třetí fázi všechny složky matice jsou odmocněny. Pokud mají různou významnost, pak je každému maticovému indikátoru přiřazen určitý váhový koeficient k. Hodnota posledně jmenovaného je stanovena znaleckým posudkem.

Na té poslední, čtvrtá etapa nalezené hodnoty hodnocení R j jsou seskupeny v pořadí jejich zvýšení nebo snížení.

Nastíněné maticové metody by se měly použít například tehdy, když srovnávací analýza různých investičních akcí, jakož i při posuzování dalších ekonomických ukazatelů organizací.

Matice velikost m ? n je obdélníková tabulka čísel obsahující m řádků a n sloupců. Volají se čísla, která tvoří matici prvky matrice.

Matice se označují velkými písmeny latinské abecedy ( A,B,C...) a k označení prvků matice, které používáme malá písmena s dvojitým indexováním:

Kde i- číslo řádku, j- číslo sloupce.

Například matice

Nebo zkráceně A=(); i=1,2…, m; j=1,2, …, n.

Používají se i jiné maticové zápisy, například: , ? ?

Dvě matrice A A V se nazývají stejné velikosti rovný, pokud se prvek po prvku shodují, tzn. = , kde i= 1, 2, 3, …, m, A j= 1, 2, 3, …, n.

Podívejme se na hlavní typy matic:

1. Nechť m = n, pak matice A je čtvercová matice, která má řád n:

Prvky tvoří hlavní diagonálu, prvky tvoří vedlejší diagonálu.

Čtvercová matice se nazývá úhlopříčka, pokud jsou všechny jeho prvky, snad kromě prvků hlavní diagonály, rovny nule:

Nazývá se diagonální, a tedy čtvercová matice singl, pokud jsou všechny prvky hlavní diagonály rovny 1:

Všimněte si, že matice identity je maticovým analogem jednotky v sadě reálná čísla a také zdůraznit, že matice identity je definována pouze pro čtvercové matice.

Zde jsou příklady matic identity:

Čtvercové matice

se nazývají horní a dolní trojúhelníkové.

• 2. Nechat m= 1, pak matice A- řádková matice, která vypadá takto:
• 3. Nechat n=1, pak matice A- sloupcová matice, která vypadá takto:

4. Nulová matice je matice řádu mn, jejíž všechny prvky jsou rovny 0:

Všimněte si, že nulová matice může být čtvercová matice, řádková matice nebo sloupcová matice. Nulová matice je maticový analog nuly v množině reálných čísel.

5. Matice se nazývá transponovaná na matici a označuje se, pokud její sloupce jsou řádky matice odpovídající číslem.

Příklad. Nechat

Všimněte si, že pokud matice A má řád mn, pak má transponovaná matice pořadí nm.

6. Matice A se nazývá symetrická, pokud A =, a šikmo symetrická, pokud A =.

Příklad. Zkontrolujte symetrii matice A A V.

proto matrice A- symetrický, protože A =.

proto matrice V- šikmo symetrický, od B = -.

Všimněte si, že symetrické a šikmo symetrické matice jsou vždy čtvercové. Jakékoli prvky mohou být na hlavní diagonále symetrické matice a symetricky vzhledem k hlavní diagonále musí být identické prvky, to znamená, že hlavní diagonála šikmo symetrické matice vždy obsahuje nuly a symetricky vzhledem k hlavní diagonále

matrice square laplace zrušení