Příklad násobení obdélníkové matice. Maticové násobení

Postupně „vyloučíme“ neznámé. Za tímto účelem ponecháme první rovnici systému nezměněnou a transformujeme druhou a třetí:

1) ke druhé rovnici přidáme první, vynásobenou –2, a převedeme do tvaru –3 X 2 –2X 3 = –2;

2) ke třetí rovnici přidáme první, vynásobenou – 4, a dovedeme do tvaru –3 X 2 – 4X 3 = 2.

V důsledku toho bude neznámá z druhé a třetí rovnice vyloučena X 1 a systém bude mít formu

Druhou a třetí rovnici soustavy vynásobíme –1, dostaneme

Koeficient 1 v první rovnici pro první neznámou X 1 se nazývá vedoucí prvek první krok eliminace.

Ve druhém kroku zůstávají první a druhá rovnice nezměněny a stejný způsob eliminace proměnné je aplikován na třetí rovnici X 2 . Vedoucí prvek druhého kroku je koeficient 3. Ke třetí rovnici přidáme druhou, vynásobenou –1, pak se systém převede do tvaru

(1.2)

Proces redukce systému (1.1) na formu (1.2) se nazývá přímý pokrok metody Gauss.

Je volána procedura pro řešení systému (1.2). opačně. Z poslední rovnice dostaneme X 3 = –2. Dosazením této hodnoty do druhé rovnice dostaneme X 2 = 2. Poté dává první rovnice X 1 = 1. Je tedy řešením soustavy (1.1).

Koncept matice

Uvažujme veličiny zahrnuté v systému (1.1). Sada devíti číselných koeficientů vystupujících před neznámými v rovnicích tvoří tabulku čísel tzv matice:

A= .

(1.3)

Volají se čísla stolů Prvky matrice. Prvky se tvoří řádky a sloupce matrice. Počet řádků a počet sloupců tvoří dimenze matrice. Matice A má rozměr 3´3 („tři na tři“), přičemž první číslo udává počet řádků a druhé počet sloupců. Matice se často označuje uvedením jejího rozměru A (3´ 3). Vzhledem k počtu řádků a sloupců v matici A stejně se nazývá matice náměstí. Počet řádků (a sloupců) ve čtvercové matici se nazývá její v pořádku, Proto A- matice třetí řád.

Pravé strany rovnic tvoří také tabulku čísel, tzn. matice:

Každý řádek této matice je tvořen jedním prvkem, tzn B(3 ' 1) se nazývá maticový sloupec, jeho rozměr je 3´1. Množina neznámých může být také reprezentována jako sloupcová matice:

Násobení čtvercové matice sloupcovou maticí

S maticemi můžete provádět různé operace, které budou podrobně popsány později. Zde rozebereme pouze pravidlo pro násobení čtvercové matice sloupcovou maticí. Podle definice, výsledek násobení matice A(3'3) na sloupec V(3' 1) je sloupec D(3 ´ 1), jehož prvky se rovnají součtům součinů prvků řádků matice A ke sloupovým prvkům V:

2)druhý sloupcový prvek D rovna součtu součinů prvků druhý maticové řádky A ke sloupovým prvkům V:

Z výše uvedených vzorců je zřejmé, že násobení matice sloupcem V je možné pouze v případě, že počet sloupců matice A rovný počtu prvků ve sloupci V.

Podívejme se na další dva numerické příklady násobení matic (3 ´3) na sloupec (3 ´1):

Příklad 1.1

AB =
.

Příklad 1.2

AB= .

Tato příručka vám pomůže naučit se, jak to provést operace s maticemi: sčítání (odčítání) matic, transpozice matice, násobení matic, hledání inverzní matice. Veškerý materiál je prezentován jednoduchou a přístupnou formou, jsou uvedeny relevantní příklady, takže i nepřipravený člověk se může naučit provádět akce s maticemi. Pro vlastní monitorování a vlastní testování si můžete zdarma stáhnout maticovou kalkulačku >>>.

Pokusím se minimalizovat teoretické výpočty v některých místech jsou možná vysvětlení „na prstech“ a použití nevědeckých termínů. Milovníci solidní teorie, prosím, nezapojujte se do kritiky, naším úkolem je naučit se provádět operace s maticemi.

Pro SUPER RYCHLOU přípravu na téma (kdo „hoří“) je zde intenzivní pdf kurz Matice, determinant a test!

Matice je obdélníková tabulka některých Prvky. Tak jako Prvky budeme uvažovat čísla, tedy číselné matice. ŽIVEL je termín. Termín je vhodné si zapamatovat, bude se objevovat často, není náhoda, že jsem pro jeho zvýraznění použil tučné písmo.

Označení: matrice se obvykle označují velkými latinskými písmeny

Příklad: Zvažte matici dva na tři:

Tato matice se skládá ze šesti Prvky:

Všechna čísla (prvky) uvnitř matice existují samy o sobě, to znamená, že o žádném odčítání nemůže být řeč:

Je to jen tabulka (množina) čísel!

Taky se dohodneme nepřestavujtečísla, pokud není ve vysvětlivkách uvedeno jinak. Každé číslo má své vlastní umístění a nelze je zamíchat!

Dotyčná matice má dva řádky:

a tři sloupce:

STANDARD: když mluvíme o velikostech matrice, pak nejprve uveďte počet řádků a teprve potom počet sloupců. Právě jsme rozebrali matici dva na tři.

Pokud je počet řádků a sloupců matice stejný, pak se matice zavolá náměstí, Například: – matice tři krát tři.

Pokud má matice jeden sloupec nebo jeden řádek, pak se takové matice také nazývají vektory.

Ve skutečnosti známe pojem matice již ze školy, uvažujme například bod se souřadnicemi „x“ a „y“: . Souřadnice bodu se v podstatě zapisují do matice jedna po dvou. Mimochodem, zde je příklad toho, proč na pořadí čísel záleží: a jsou to dva zcela odlišné body v rovině.

Nyní přejděme ke studiu operace s maticemi:

1) První dějství. Odstranění minusu z matice (zavedení minusu do matice).

Vraťme se k našemu matrixu . Jak jste si pravděpodobně všimli, v této matici je příliš mnoho záporných čísel. To je velmi nepohodlné z hlediska provádění různých akcí s maticí, je nepohodlné psát tolik mínusů a designově to vypadá prostě nevzhledně.

Posuňme mínus mimo matici změnou znaménka KAŽDÉHO prvku matice:

Při nule, jak víte, se znaménko nemění;

Opačný příklad: . Vypadá to ošklivě.

Zaveďme do matice mínus změnou znaménka KAŽDÉHO prvku matice:

No, dopadlo to mnohem lépe. A co je nejdůležitější, bude snazší provádět jakékoli akce s matricí. Protože existuje takové matematické lidové znamení: čím více mínusů, tím více zmatků a chyb.

2) Druhé dějství. Násobení matice číslem.

Příklad:

Je to jednoduché, k vynásobení matice číslem potřebujete každý prvek matice vynásobený daným číslem. V tomto případě - trojka.

Další užitečný příklad:

– násobení matice zlomkem

Nejprve se podívejme, co dělat NENÍ TŘEBA:

NENÍ NUTNÉ zadávat do matice zlomek, za prvé to jen komplikuje další úkony s maticí a za druhé to učiteli znesnadňuje kontrolu řešení (zejména pokud; – konečná odpověď na úkol).

a hlavně, NENÍ TŘEBA vydělte každý prvek matice mínus sedmi:

Z článku Matematika pro figuríny aneb kde začít, pamatujeme si, že ve vyšší matematice se snaží desetinným zlomkům s čárkami všemožně vyhýbat.

Jediná věc je nejlépe Co udělat v tomto příkladu je přidat do matice mínus:

Ale kdyby jen VŠECHNO maticové prvky byly rozděleny 7 beze stopy, pak by bylo možné (a nutné!) rozdělit.

Příklad:

V tomto případě můžete POTŘEBOVAT vynásobte všechny prvky matice číslem , protože všechna čísla matice jsou dělitelná 2 beze stopy.

Poznámka: V teorii středoškolské matematiky neexistuje pojem „dělení“. Místo toho, abyste řekli „toto děleno tím“, můžete vždy říci „toto násobeno zlomkem“. To znamená, že dělení je speciální případ násobení.

3) Třetí dějství. Matrix Transpose.

Abyste mohli matici transponovat, musíte její řádky zapsat do sloupců transponované matice.

Příklad:

Transponovací matice

Zde je pouze jeden řádek a podle pravidla je třeba jej zapsat do sloupce:

– transponovaná matice.

Transponovaná matice je obvykle označena horním indexem nebo prvočíslem vpravo nahoře.

Příklad krok za krokem:

Transponovací matice

Nejprve přepíšeme první řádek do prvního sloupce:

Poté přepíšeme druhý řádek do druhého sloupce:

A nakonec přepíšeme třetí řádek do třetího sloupce:

Připraveno. Zhruba řečeno, transpozice znamená otočení matrice na bok.

4) Čtvrté dějství. Součet (rozdíl) matic.

Součet matic je jednoduchá operace.
NE VŠECHNY MATICE LZE SLOŽIT. Pro sčítání (odčítání) matic je nutné, aby byly STEJNĚ VELKÉ.

Pokud je například uvedena matice dva na dva, pak může být přidána pouze s maticí dva na dva a žádná jiná!

Příklad:

Přidejte matice A

Chcete-li přidat matice, musíte přidat jejich odpovídající prvky:

Pro rozdíl matic je pravidlo podobné, je nutné najít rozdíl odpovídajících prvků.

Příklad:

Najděte maticový rozdíl ,

Jak můžete tento příklad jednodušeji vyřešit, abyste se nespletli? Je vhodné se zbavit zbytečných mínusů, abyste to udělali, přidejte do matice mínus:

Poznámka: V teorii středoškolské matematiky neexistuje pojem „odčítání“. Místo toho, abyste řekli „odečtěte toto od tohoto“, můžete vždy říci „přičtěte k tomu záporné číslo“. To znamená, že odčítání je speciální případ sčítání.

5) Páté dějství. Maticové násobení.

Jaké matice lze násobit?

Aby mohla být matice vynásobena maticí, je to nutné takže počet sloupců matice se rovná počtu řádků matice.

Příklad:
Je možné vynásobit matici maticí?

To znamená, že maticová data lze násobit.

Ale pokud jsou matice přeskupeny, pak v tomto případě násobení již není možné!

Proto násobení není možné:

Není tak vzácné, že se setkáte s úlohami s trikem, kdy je žák vyzván k násobení matic, jejichž násobení je evidentně nemožné.

Je třeba poznamenat, že v některých případech je možné násobit matice oběma způsoby.
Například pro matice je možné jak násobení, tak násobení

1. ročník, vyšší matematika, studium matrice a základní akce na nich. Zde systematizujeme základní operace, které lze s maticemi provádět. Kde začít se seznamováním s matrikami? Samozřejmě od těch nejjednodušších věcí – definic, základních pojmů a jednoduchých operací. Ujišťujeme vás, že matrikám bude rozumět každý, kdo se jim alespoň trochu věnuje!

Definice matice

Matice je obdélníková tabulka prvků. Jednoduše řečeno – tabulka čísel.

Obvykle jsou matice označovány velkými latinskými písmeny. Například matice A , matice B a tak dále. Matice mohou mít různé velikosti: obdélníkové, čtvercové a existují také řádkové a sloupcové matice zvané vektory. Velikost matice je určena počtem řádků a sloupců. Zapišme si například obdélníkovou matici velikosti m na n , Kde m – počet řádků a n - počet sloupců.

Položky, pro které i=j (a11, a22, .. ) tvoří hlavní úhlopříčku matice a nazývají se diagonální.

Co můžete dělat s matricemi? Přidat/Odečíst, vynásobit číslem, množit se mezi sebou, přemístit. Nyní o všech těchto základních operacích s maticemi v pořádku.

Operace sčítání a odčítání matic

Okamžitě vás upozorníme, že můžete přidat pouze matice stejné velikosti. Výsledkem bude matice stejné velikosti. Přidávání (nebo odečítání) matic je jednoduché - stačí sečíst jejich odpovídající prvky . Uveďme příklad. Proveďme sečtení dvou matic A a B o velikosti dva po dvou.

Odečítání se provádí analogicky, pouze s opačným znaménkem.

Libovolnou matici lze vynásobit libovolným číslem. Udělat toto, musíte vynásobit každý jeho prvek tímto číslem. Vynásobme například matici A z prvního příkladu číslem 5:

Operace násobení matic

Ne všechny matice lze násobit dohromady. Například máme dvě matice - A a B. Lze je vzájemně násobit pouze v případě, že počet sloupců matice A je roven počtu řádků matice B. V tomto případě každý prvek výsledné matice, umístěný v i-tém řádku a j-tém sloupci, se bude rovnat součtu součinů odpovídajících prvků v i-tém řádku prvního faktoru a j-tém sloupci druhý. Abychom porozuměli tomuto algoritmu, zapišme si, jak se násobí dvě čtvercové matice:

A příklad s reálnými čísly. Vynásobme matice:

Operace maticové transpozice

Maticová transpozice je operace, při které dochází k záměně odpovídajících řádků a sloupců. Například transponujme matici A z prvního příkladu:

Maticový determinant

Determinant neboli determinant je jedním ze základních pojmů lineární algebry. Kdysi lidé vymýšleli lineární rovnice a po nich měli přijít s determinantem. Nakonec je na vás, abyste se s tím vším vypořádali, takže poslední tlak!

Determinant je numerická charakteristika čtvercové matice, která je potřebná k řešení mnoha problémů.
Pro výpočet determinantu nejjednodušší čtvercové matice je třeba vypočítat rozdíl mezi součiny prvků hlavní a vedlejší úhlopříčky.

Determinant matice prvního řádu, která se skládá z jednoho prvku, je roven tomuto prvku.

Co když je matice tři na tři? Je to náročnější, ale dá se to zvládnout.

Pro takovou matici je hodnota determinantu rovna součtu součinů prvků hlavní úhlopříčky a součinů prvků ležících na trojúhelnících s plochou rovnoběžnou s hlavní úhlopříčkou, z nichž součin prvky vedlejší úhlopříčky a součin prvků ležících na trojúhelnících s lícem rovnoběžné vedlejší úhlopříčky se odečítají.

Naštěstí je v praxi jen zřídka nutné počítat determinanty matic velkých velikostí.

Zde jsme se podívali na základní operace s maticemi. Samozřejmě v reálném životě se možná nikdy nesetkáte ani s náznakem maticového systému rovnic, nebo se naopak můžete setkat s mnohem složitějšími případy, kdy si budete muset opravdu lámat hlavu. Právě pro takové případy existují profesionální studentské služby. Požádejte o pomoc, získejte kvalitní a detailní řešení, užívejte si studijní úspěchy a volný čas.

Toto téma se bude zabývat operacemi, jako je sčítání a odečítání matic, násobení matice číslem, násobení matice maticí a transpozice matice. Všechny symboly použité na této stránce jsou převzaty z předchozího tématu.

Sčítání a odčítání matic.

Součet $A+B$ matic $A_(m\krát n)=(a_(ij))$ a $B_(m\krát n)=(b_(ij))$ se nazývá matice $C_(m \times n) =(c_(ij))$, kde $c_(ij)=a_(ij)+b_(ij)$ pro všechny $i=\overline(1,m)$ a $j=\overline( 1,n) $.

Podobná definice je zavedena pro rozdíl matic:

Rozdíl mezi maticemi $A-B$ $A_(m\krát n)=(a_(ij))$ a $B_(m\krát n)=(b_(ij))$ je matice $C_(m\krát n)=( c_(ij))$, kde $c_(ij)=a_(ij)-b_(ij)$ pro všechny $i=\overline(1,m)$ a $j=\overline(1, n) $.

Vysvětlení položky $i=\overline(1,m)$: show\hide

Zápis "$i=\overline(1,m)$" znamená, že parametr $i$ se pohybuje od 1 do m. Například zápis $i=\overline(1,5)$ znamená, že parametr $i$ nabývá hodnot 1, 2, 3, 4, 5.

Za zmínku stojí, že operace sčítání a odčítání jsou definovány pouze pro matice stejné velikosti. Obecně platí, že sčítání a odčítání matic jsou operace, které jsou intuitivně jasné, protože v podstatě znamenají jen sčítání nebo odečítání odpovídajících prvků.

Příklad č. 1

Jsou uvedeny tři matice:

$$ A=\left(\begin(pole) (ccc) -1 & -2 & 1 \\ 5 & 9 & -8 \end(pole) \right)\;\; B=\left(\begin(pole) (ccc) 10 & -25 & 98 \\ 3 & 0 & -14 \end(pole) \right); \;\; F=\left(\begin(pole) (cc) 1 & 0 \\ -5 & 4 \end(pole) \right). $$

Je možné najít matici $A+F$? Najděte matice $C$ a $D$, pokud $C=A+B$ a $D=A-B$.

Matice $A$ obsahuje 2 řádky a 3 sloupce (jinými slovy, velikost matice $A$ je $2\krát 3$) a matice $F$ obsahuje 2 řádky a 2 sloupce. Velikosti matic $A$ a $F$ se neshodují, nemůžeme je tedy sčítat, tzn. operace $A+F$ není pro tyto matice definována.

Velikosti matic $A$ a $B$ jsou stejné, tzn. Data matice obsahují stejný počet řádků a sloupců, takže operace sčítání se na ně vztahuje.

$$ C=A+B=\left(\začátek(pole) (ccc) -1 & -2 & 1 \\ 5 & 9 & -8 \end(pole) \vpravo)+ \left(\začátek(pole ) (ccc) 10 & -25 & 98 \\ 3 & 0 & -14 \end(pole) \right)=\\= \left(\begin(pole) (ccc) -1+10 & -2+( -25) & 1+98 \\ 5+3 & 9+0 & -8+(-14) \end(pole) \right)= \left(\begin(pole) (ccc) 9 & -27 & 99 \\ 8 & 9 & -22 \end(pole) \vpravo) $$

Pojďme najít matici $D=A-B$:

$$ D=A-B=\left(\begin(pole) (ccc) -1 & -2 & 1 \\ 5 & 9 & -8 \end(pole) \right)- \left(\begin(pole) ( ccc) 10 & -25 & 98 \\ 3 & 0 & -14 \end(pole) \right)=\\= \left(\begin(pole) (ccc) -1-10 & -2-(-25 ) & 1-98 \\ 5-3 & 9-0 & -8-(-14) \end(pole) \right)= \left(\begin(pole) (ccc) -11 & 23 & -97 \ \2 & 9 & 6 \end(pole) \vpravo) $$

Odpovědět: $C=\left(\begin(pole) (ccc) 9 & -27 & 99 \\ 8 & 9 & -22 \end(array) \right)$, $D=\left(\begin(pole) (ccc) -11 & 23 & -97 \\ 2 & 9 & 6 \end(pole) \right)$.

Násobení matice číslem.

Součin matice $A_(m\krát n)=(a_(ij))$ číslem $\alpha$ je matice $B_(m\krát n)=(b_(ij))$, kde $ b_(ij)= \alpha\cdot a_(ij)$ pro všechny $i=\overline(1,m)$ a $j=\overline(1,n)$.

Jednoduše řečeno, vynásobení matice určitým číslem znamená vynásobení každého prvku dané matice tímto číslem.

Příklad č. 2

Matice je dána: $ A=\left(\begin(pole) (ccc) -1 & -2 & 7 \\ 4 & 9 & 0 \end(pole) \right)$. Najděte matice $3\cdot A$, $-5\cdot A$ a $-A$.

$$ 3\cdot A=3\cdot \left(\begin(pole) (ccc) -1 & -2 & 7 \\ 4 & 9 & 0 \end(pole) \right) =\left(\begin( pole) (ccc) 3\cdot(-1) & 3\cdot(-2) & 3\cdot 7 \\ 3\cdot 4 & 3\cdot 9 & 3\cdot 0 \end(array) \right)= \left(\begin(pole) (ccc) -3 & -6 & 21 \\ 12& 27 & 0 \end(array) \right).\\ -5\cdot A=-5\cdot \left(\begin (pole) (ccc) -1 & -2 & 7 \\ 4 & 9 & 0 \end(pole) \right) =\left(\begin(pole) (ccc) -5\cdot(-1) & - 5\cdot(-2) & -5\cdot 7 \\ -5\cdot 4 & -5\cdot 9 & -5\cdot 0 \end(pole) \right)= \left(\begin(pole) ( ccc) 5 & 10 & -35 \\ -20 & -45 & 0 \end(pole) \vpravo). $$

Zápis $-A$ je zkrácený zápis pro $-1\cdot A$. To znamená, že k nalezení $-A$ musíte vynásobit všechny prvky matice $A$ číslem (-1). V podstatě to znamená, že znaménko všech prvků matice $A$ se změní na opačné:

$$ -A=-1\cdot A=-1\cdot \left(\begin(pole) (ccc) -1 & -2 & 7 \\ 4 & 9 & 0 \end(pole) \right)= \ left(\begin(pole) (ccc) 1 & 2 & -7 \\ -4 & -9 & 0 \end(array) \right) $$

Odpovědět: $3\cdot A=\left(\začátek(pole) (ccc) -3 & -6 & 21 \\ 12& 27 & 0 \end(pole) \vpravo);\; -5\cdot A=\left(\začátek(pole) (ccc) 5 & 10 & -35 \\ -20 & -45 & 0 \end(pole) \vpravo);\; -A=\left(\begin(pole) (ccc) 1 & 2 & -7 \\ -4 & -9 & 0 \end(pole) \right)$.

Součin dvou matic.

Definice této operace je těžkopádná a na první pohled nejasná. Nejprve tedy naznačím obecnou definici a poté podrobně rozebereme, co to znamená a jak s ní pracovat.

Součin matice $A_(m\krát n)=(a_(ij))$ maticí $B_(n\krát k)=(b_(ij))$ je matice $C_(m\krát k )=(c_( ij))$, pro které je každý prvek $c_(ij)$ roven součtu součinů odpovídajících prvků i-tého řádku matice $A$ prvky j -tý sloupec matice $B$: $$c_(ij)=\součet\limity_ (p=1)^(n)a_(ip)b_(pj), \;\; i=\overline(1,m), j=\overline(1,n).$$

Podívejme se na násobení matic krok za krokem na příkladu. Měli byste však okamžitě poznamenat, že ne všechny matice lze násobit. Pokud chceme matici $A$ vynásobit maticí $B$, pak se musíme nejprve ujistit, že počet sloupců matice $A$ je roven počtu řádků matice $B$ (takové matice se často nazývají dohodnuté). Například matici $A_(5\krát 4)$ (matice obsahuje 5 řádků a 4 sloupce) nelze násobit maticí $F_(9\krát 8)$ (9 řádků a 8 sloupců), protože číslo sloupců matice $A $ není roven počtu řádků matice $F$, tzn. $4\neq 9$. Ale můžete vynásobit matici $A_(5\krát 4)$ maticí $B_(4\krát 9)$, protože počet sloupců matice $A$ se rovná počtu řádků matice $ B$. V tomto případě bude výsledkem vynásobení matic $A_(5\krát 4)$ a $B_(4\krát 9)$ matice $C_(5\krát 9)$ obsahující 5 řádků a 9 sloupců:

Příklad č. 3

Dané matice: $ A=\left(\begin(array) (cccc) -1 & 2 & -3 & 0 \\ 5 & 4 & -2 & 1 \\ -8 & 11 & -10 & -5 \end (pole) \right)$ a $ B=\left(\begin(pole) (cc) -9 & 3 \\ 6 & 20 \\ 7 & 0 \\ 12 & -4 \end(pole) \right) $. Najděte matici $C=A\cdot B$.

Nejprve okamžitě určíme velikost matice $C$. Protože matice $A$ má velikost $3\krát 4$ a matice $B$ má velikost $4\krát 2$, pak velikost matice $C$ je: $3\krát 2$:

Takže jako výsledek součinu matic $A$ a $B$ bychom měli získat matici $C$, skládající se ze tří řádků a dvou sloupců: $ C=\left(\begin(array) (cc) c_ (11) & c_( 12) \\ c_(21) & c_(22) \\ c_(31) & c_(32) \end(pole) \vpravo)$. Pokud označení prvků vyvolává otázky, pak se můžete podívat na předchozí téma: „Typy matic Základní pojmy“, na jehož začátku je vysvětleno označení prvků matice. Náš cíl: najít hodnoty všech prvků matice $C$.

Začněme prvkem $c_(11)$. Chcete-li získat prvek $c_(11)$, musíte najít součet součinů prvků prvního řádku matice $A$ a prvního sloupce matice $B$:

Pro nalezení samotného prvku $c_(11)$ je potřeba vynásobit prvky prvního řádku matice $A$ odpovídajícími prvky prvního sloupce matice $B$, tzn. první prvek na první, druhý na druhý, třetí na třetí, čtvrtý na čtvrtý. Shrneme získané výsledky:

$$ c_(11)=-1\cdot (-9)+2\cdot 6+(-3)\cdot 7 + 0\cdot 12=0. $$

Pokračujme v řešení a najdeme $c_(12)$. K tomu budete muset vynásobit prvky prvního řádku matice $A$ a druhého sloupce matice $B$:

Podobně jako u předchozího máme:

$$ c_(12)=-1\cdot 3+2\cdot 20+(-3)\cdot 0 + 0\cdot (-4)=37. $$

Všechny prvky prvního řádku matice $C$ byly nalezeny. Přejdeme na druhý řádek, který začíná prvkem $c_(21)$. Abyste to našli, budete muset vynásobit prvky druhého řádku matice $A$ a prvního sloupce matice $B$:

$$ c_(21)=5\cdot (-9)+4\cdot 6+(-2)\cdot 7 + 1\cdot 12=-23. $$

Další prvek $c_(22)$ najdeme vynásobením prvků druhého řádku matice $A$ odpovídajícími prvky druhého sloupce matice $B$:

$$ c_(22)=5\cdot 3+4\cdot 20+(-2)\cdot 0 + 1\cdot (-4)=91. $$

Chcete-li najít $c_(31)$, vynásobte prvky třetího řádku matice $A$ prvky prvního sloupce matice $B$:

$$ c_(31)=-8\cdot (-9)+11\cdot 6+(-10)\cdot 7 + (-5)\cdot 12=8. $$

A konečně, abyste našli prvek $c_(32)$, budete muset vynásobit prvky třetího řádku matice $A$ odpovídajícími prvky druhého sloupce matice $B$:

$$ c_(32)=-8\cdot 3+11\cdot 20+(-10)\cdot 0 + (-5)\cdot (-4)=216. $$

Všechny prvky matice $C$ byly nalezeny, zbývá pouze napsat, že $C=\left(\begin(array) (cc) 0 & 37 \\ -23 & 91 \\ 8 & 216 \end( pole) \vpravo)$ . Nebo abych napsal celý:

$$ C=A\cdot B =\left(\begin(pole) (cccc) -1 & 2 & -3 & 0 \\ 5 & 4 & -2 & 1 \\ -8 & 11 & -10 & - 5 \end(pole) \right)\cdot \left(\begin(pole) (cc) -9 & 3 \\ 6 & 20 \\ 7 & 0 \\ 12 & -4 \end(pole) \right) =\left(\begin(pole) (cc) 0 & 37 \\ -23 & 91 \\ 8 & 216 \end(pole) \right). $$

Odpovědět: $C=\left(\begin(pole) (cc) 0 & 37 \\ -23 & 91 \\ 8 & 216 \end(pole) \right)$.

Mimochodem, často není důvod podrobně popisovat umístění každého prvku výsledné matice. Pro matice, jejichž velikost je malá, můžete provést toto:

Za zmínku také stojí, že maticové násobení je nekomutativní. To znamená, že v obecném případě $A\cdot B\neq B\cdot A$. Pouze u některých typů matic, které jsou tzv permutabilní(nebo dojíždění), platí rovnost $A\cdot B=B\cdot A$. Právě na základě nekomutativnosti násobení potřebujeme přesně uvést, jak násobíme výraz konkrétní maticí: vpravo nebo vlevo. Například fráze „vynásobte obě strany rovnosti $3E-F=Y$ maticí $A$ vpravo“ znamená, že chcete získat následující rovnost: $(3E-F)\cdot A=Y\cdot A$.

Transponovaná vzhledem k matici $A_(m\krát n)=(a_(ij))$ je matice $A_(n\krát m)^(T)=(a_(ij)^(T))$, pro prvky, které $a_(ij)^(T)=a_(ji)$.

Jednoduše řečeno, abyste získali transponovanou matici $A^T$, musíte nahradit sloupce v původní matici $A$ odpovídajícími řádky podle tohoto principu: byl první řádek - bude první sloupec ; tam byl druhý řádek - bude druhý sloupec; byl tam třetí řádek - bude tam třetí sloupec a tak dále. Například najdeme transponovanou matici na matici $A_(3\krát 5)$:

Pokud tedy původní matice měla velikost $3\krát 5$, pak transponovaná matice má velikost $5\krát 3$.

Některé vlastnosti operací s maticemi.

Zde se předpokládá, že $\alpha$, $\beta$ jsou nějaká čísla a $A$, $B$, $C$ jsou matice. Pro první čtyři vlastnosti jsem uvedl jména, zbytek lze pojmenovat analogicky s prvními čtyřmi.

1. $A+B=B+A$ (komutativity sčítání)
2. $A+(B+C)=(A+B)+C$ (asociativita sčítání)
3. $(\alpha+\beta)\cdot A=\alpha A+\beta A$ (distributivity násobení maticí s ohledem na sčítání čísel)
4. $\alpha\cdot(A+B)=\alpha A+\alpha B$ (distributivity násobení číslem vzhledem k sčítání matice)
5. $A(BC)=(AB)C$
6. $(\alpha\beta)A=\alpha(\beta A)$
7. $A\cdot (B+C)=AB+AC$, $(B+C)\cdot A=BA+CA$.
8. $A\cdot E=A$, $E\cdot A=A$, kde $E$ je matice identity odpovídajícího řádu.
9. $A\cdot O=O$, $O\cdot A=O$, kde $O$ je nulová matice příslušné velikosti.
10. $\left(A^T \right)^T=A$
11. $(A+B)^T=A^T+B^T$
12. $(AB)^T=B^T\cdot A^T$
13. $\left(\alpha A \right)^T=\alpha A^T$

V další části se budeme zabývat operací umocnění matice na nezápornou celočíselnou mocninu a také vyřešíme příklady, ve kterých je potřeba provést s maticemi několik operací.

V předchozí lekci jsme se tedy podívali na pravidla pro sčítání a odečítání matic. Jsou to tak jednoduché operace, že jim většina studentů rozumí doslova hned od začátku.

Radujete se však brzy. Darmo je u konce – přejděme k násobení. Hned vás varuji: násobení dvou matic vůbec není násobením čísel v buňkách se stejnými souřadnicemi, jak si možná myslíte. Všechno je tu mnohem zábavnější. A budeme muset začít s předběžnými definicemi.

Shodné matice

Jednou z nejdůležitějších vlastností matice je její velikost. Už jsme o tom mluvili stokrát: zápis $A=\left[ m\times n \right]$ znamená, že matice má přesně $m$ řádků a $n$ sloupců. Také jsme již probrali, jak nezaměňovat řádky se sloupci. Teď je důležité něco jiného.

Definice. Matice tvaru $A=\left[ m\times n \right]$ a $B=\left[ n\times k \right]$, ve kterých se počet sloupců v první matici shoduje s počtem řádků ve druhém se nazývají konzistentní.

Ještě jednou: počet sloupců v první matici se rovná počtu řádků ve druhé! Odtud dostáváme dva závěry najednou:

1. Pořadí matic je pro nás důležité. Například matice $A=\left[ 3\times 2 \right]$ a $B=\left[ 2\times 5 \right]$ jsou konzistentní (2 sloupce v první matici a 2 řádky ve druhé) , ale naopak — matice $B=\left[ 2\times 5 \right]$ a $A=\left[ 3\times 2 \right]$ již nejsou konzistentní (5 sloupců v první matici nejsou 3 řádky ve druhém).
2. Konzistenci lze snadno zkontrolovat zapsáním všech rozměrů jeden po druhém. Na příkladu z předchozího odstavce: „3 2 2 5“ - uprostřed jsou stejná čísla, takže matice jsou konzistentní. Ale „2 5 3 2“ nejsou konzistentní, protože uprostřed jsou různá čísla.

Navíc se zdá, že Captain Obviousness naznačuje, že čtvercové matice stejné velikosti $\left[ n\times n \right]$ jsou vždy konzistentní.

V matematice, kdy je důležité pořadí vypisování objektů (například ve výše diskutované definici je důležité pořadí matic), často mluvíme o uspořádaných dvojicích. Setkali jsme se s nimi už ve škole: Myslím, že není jasné, že souřadnice $\left(1;0 \right)$ a $\left(0;1 \right)$ definují různé body v rovině.

Takže: souřadnice jsou také uspořádané dvojice, které se skládají z čísel. Nic vám ale nebrání si takový pár z matric vyrobit. Pak můžeme říci: „Spořádaný pár matic $\left(A;B \right)$ je konzistentní, pokud je počet sloupců v první matici stejný jako počet řádků ve druhé.

No, tak co?

Definice násobení

Uvažujme dvě konzistentní matice: $A=\left[ m\times n \right]$ a $B=\left[ n\times k \right]$. A my jim definujeme operaci násobení.

Definice. Součin dvou shodných matic $A=\left[ m\times n \right]$ a $B=\left[ n\times k \right]$ je nová matice $C=\left[ m\times k \ vpravo] $, jehož prvky se vypočítají pomocí vzorce:

\[\begin(align) & ((c)_(i;j))=((a)_(i;1))\cdot ((b)_(1;j))+((a)_ (i;2))\cdot ((b)_(2;j))+\ldots +((a)_(i;n))\cdot ((b)_(n;j))= \\ & =\sum\limits_(t=1)^(n)(((a)_(i;t))\cdot ((b)_(t;j))) \end(align)\]

Takový produkt se označí standardním způsobem: $C=A\cdot B$.

Ti, kteří tuto definici vidí poprvé, mají hned dvě otázky:

1. Co je to za divokou hru?
2. proč je to tak těžké?

No, první věci. Začněme první otázkou. Co znamenají všechny tyto indexy? A jak nedělat chyby při práci s reálnými matricemi?

Nejprve si všimneme, že dlouhý řádek pro výpočet $((c)_(i;j))$ (speciálně jsem mezi indexy vložil středník, abych se nepletl, ale není třeba je vkládat obecné - sám jsem unavený psaním vzorce do definice) ve skutečnosti vychází z jednoduchého pravidla:

1. Vezměte $i$-tý řádek v první matici;
2. Vezměte $j$tý sloupec ve druhé matici;
3. Dostaneme dvě posloupnosti čísel. Prvky těchto posloupností vynásobíme stejnými čísly a výsledné součiny pak sečteme.

Tento proces je snadno pochopitelný z obrázku:

Schéma pro násobení dvou matic

Ještě jednou: opravíme řádek $i$ v první matici, sloupec $j$ v druhé matici, vynásobíme prvky stejnými čísly a poté sečteme výsledné produkty - dostaneme $((c)_(ij))$ . A tak dále pro všechny $1\le i\le m$ a $1\le j\le k$. Tito. Takových „perverzí“ bude celkem $m\krát k$.

S maticovým násobením jsme se totiž ve školním vzdělávacím programu již setkali, jen ve značně redukované podobě. Nechť jsou dány vektory:

\[\begin(align) & \vec(a)=\left(((x)_(a));((y)_(a));((z)_(a)) \right); \\ & \overrightarrow(b)=\left(((x)_(b));((y)_(b));((z)_(b)) \right). \\ \end(zarovnat)\]

Pak bude jejich skalární součin přesně součtem párových součinů:

\[\overrightarrow(a)\times \overrightarrow(b)=((x)_(a))\cdot ((x)_(b))+((y)_(a))\cdot ((y )_(b))+((z)_(a))\cdot ((z)_(b))\]

V podstatě, když byly stromy zelenější a obloha jasnější, jednoduše jsme vynásobili řádkový vektor $\overrightarrow(a)$ sloupcovým vektorem $\overrightarrow(b)$.

Dnes se nic nezměnilo. Jde jen o to, že nyní existuje více těchto řádkových a sloupcových vektorů.

Ale dost teorie! Podívejme se na reálné příklady. A začneme tím nejjednodušším případem – čtvercovými maticemi.

Násobení čtvercové matice

Úkol 1. Proveďte násobení:

\[\left[ \begin(pole)(*(35)(r)) 1 & 2 \\ -3 & 4 \\\end(pole) \right]\cdot \left[ \begin(pole)(* (35)(r)) -2 & 4 \\ 3 & 1 \\\konec (pole) \vpravo]\]

Řešení. Máme tedy dvě matice: $A=\left[ 2\times 2 \right]$ a $B=\left[ 2\times 2 \right]$. Je jasné, že jsou konzistentní (čtvercové matice stejné velikosti jsou vždy konzistentní). Proto provedeme násobení:

\[\begin(zarovnat) & \left[ \begin(pole)(*(35)(r)) 1 & 2 \\ -3 & 4 \\\end(pole) \right]\cdot \left[ \ begin(pole)(*(35)(r)) -2 & 4 \\ 3 & 1 \\\end(pole) \right]=\left[ \begin(pole)(*(35)(r)) 1\cdot \left(-2 \right)+2\cdot 3 & 1\cdot 4+2\cdot 1 \\ -3\cdot \left(-2 \right)+4\cdot 3 & -3\cdot 4+4\cdot 1 \\\end(pole) \right]= \\ & =\left[ \begin(array)(*(35)(r)) 4 & 6 \\ 18 & -8 \\\ konec(pole)\vpravo]. \end(zarovnat)\]

To je vše!

Odpověď: $\left[ \begin(pole)(*(35)(r))4 & 6 \\ 18 & -8 \\\end(pole) \right]$.

Úkol 2. Proveďte násobení:

\[\left[ \begin(matice) 1 & 3 \\ 2 & 6 \\\end(matice) \right]\cdot \left[ \begin(array)(*(35)(r))9 & 6 \\ -3 & -2 \\\konec (pole) \vpravo]\]

Řešení. Opět konzistentní matice, takže provedeme následující akce:\[\]

\[\begin(zarovnat) & \left[ \begin(matice) 1 & 3 \\ 2 & 6 \\\end(matice) \right]\cdot \left[ \begin(array)(*(35)( ) r)) 9 & 6 \\ -3 & -2 \\\konec(pole) \vpravo]=\vlevo[ \začátek(pole)(*(35)(r)) 1\cdot 9+3\cdot \ left(-3 \right) & 1\cdot 6+3\cdot \left(-2 \right) \\ 2\cdot 9+6\cdot \left(-3 \right) & 2\cdot 6+6 \ cdot \left(-2 \right) \\\end(pole) \right]= \\ & =\left[ \begin(matice) 0 & 0 \\ 0 & 0 \\\end(matice) \right ]. \end(zarovnat)\]

Jak vidíte, výsledkem je matice vyplněná nulami

Odpověď: $\left[ \begin(matice) 0 & 0 \\ 0 & 0 \\\end(matice) \right]$.

Z výše uvedených příkladů je zřejmé, že maticové násobení není tak složitá operace. Alespoň pro čtvercové matice 2 x 2.

V procesu výpočtů jsme sestavili střední matici, kde jsme přímo popsali, která čísla jsou obsažena v konkrétní buňce. To je přesně to, co by se mělo dělat při řešení skutečných problémů.

Základní vlastnosti matricového produktu

Ve zkratce. Maticové násobení:

1. Nekomutativní: $A\cdot B\ne B\cdot A$ v obecném případě. Existují samozřejmě speciální matice, pro které platí rovnost $A\cdot B=B\cdot A$ (například pokud $B=E$ je matice identity), ale v drtivé většině případů to nefunguje ;
2. Asociativně: $\left(A\cdot B \right)\cdot C=A\cdot \left(B\cdot C \right)$. Zde nejsou žádné možnosti: sousední matice lze násobit, aniž byste se museli starat o to, co je nalevo a napravo od těchto dvou matic.
3. Distribučně: $A\cdot \left(B+C \right)=A\cdot B+A\cdot C$ a $\left(A+B \right)\cdot C=A\cdot C+B\cdot C $ (z důvodu nekomutativnosti produktu je nutné zvlášť specifikovat pravou a levou distributivitu.

A teď - vše je stejné, ale podrobněji.

Maticové násobení je v mnoha ohledech podobné klasickému násobení čísel. Ale existují rozdíly, z nichž nejdůležitější je ten Maticové násobení je, obecně řečeno, nekomutativní.

Podívejme se znovu na matice z úlohy 1. Již známe jejich přímý součin:

\[\left[ \begin(pole)(*(35)(r)) 1 & 2 \\ -3 & 4 \\\end(pole) \right]\cdot \left[ \begin(pole)(* (35)(r)) -2 & 4 \\ 3 & 1 \\\konec (pole) \vpravo]=\left[ \begin(pole)(*(35)(r))4 & 6 \\ 18 & -8 \\\konec (pole) \vpravo]\]

Pokud ale matice prohodíme, dostaneme úplně jiný výsledek:

\[\left[ \begin(pole)(*(35)(r)) -2 & 4 \\ 3 & 1 \\\end(pole) \right]\cdot \left[ \begin(pole)(* (35)(r)) 1 & 2 \\ -3 & 4 \\\konec (pole) \vpravo]=\levý[ \začátek (matice) -14 & 4 \\ 0 & 10 \\\konec (matice )\že jo]\]

Ukázalo se, že $A\cdot B\ne B\cdot A$. Kromě toho je operace násobení definována pouze pro konzistentní matice $A=\left[ m\times n \right]$ a $B=\left[ n\times k \right]$, ale nikdo nezaručil, že jsou zůstanou konzistentní, pokud budou vyměněny. Například matice $\left[ 2\times 3 \right]$ a $\left[ 3\times 5 \right]$ jsou zcela konzistentní v uvedeném pořadí, ale stejné matice $\left[ 3\times 5 \right] $ a $\left[ 2\krát 3 \right]$ zapsané v opačném pořadí již nejsou konzistentní. Smutný.:(

Mezi čtvercovými maticemi dané velikosti $n$ budou vždy ty, které dávají stejný výsledek jak při přímém, tak i opačném násobení. Jak popsat všechny takové matice (a kolik jich obecně je) je téma na samostatnou lekci. O tom se dnes bavit nebudeme :)

Násobení matic je však asociativní:

\[\left(A\cdot B \right)\cdot C=A\cdot \left(B\cdot C \right)\]

Když tedy potřebujete násobit několik matic za sebou najednou, není to vůbec nutné dělat rovnou: je docela možné, že některé sousední matice po vynásobení dají zajímavý výsledek. Například nulová matice, jako v problému 2 diskutovaném výše.

V reálných úlohách se nejčastěji musí násobit čtvercové matice velikosti $\left[ n\times n \right]$. Množina všech takových matic je označena $((M)^(n))$ (tj. položky $A=\left[ n\times n \right]$ a \ znamenají totéž) nutně obsahovat matici $E$, která se nazývá matice identity.

Definice. Matice identity o velikosti $n$ je matice $E$ taková, že pro jakoukoli čtvercovou matici $A=\left[ n\krát n \right]$ platí rovnost:

Taková matice vypadá vždy stejně: na její hlavní diagonále jsou jedničky a ve všech ostatních buňkách nuly.

\[\begin(align) & A\cdot \left(B+C \right)=A\cdot B+A\cdot C; \\ & \left(A+B \right)\cdot C=A\cdot C+B\cdot C. \\ \end(align)\]

Jinými slovy, pokud potřebujete vynásobit jednu matici součtem dvou dalších, můžete ji vynásobit každou z těchto „dalších dvou“ a poté sečíst výsledky. V praxi většinou musíme provést opačnou operaci: všimneme si stejné matice, vyjmeme ji ze závorek, provedeme sčítání a tím si zjednodušíme život :)

Poznámka: k popisu distributivity jsme museli napsat dva vzorce: kde je součet ve druhém faktoru a kde je součet v prvním. Děje se to právě proto, že násobení matic je nekomutativní (a obecně v nekomutativní algebře existuje spousta zábavných věcí, které nás při práci s obyčejnými čísly ani nenapadnou). A pokud si třeba tuto vlastnost potřebujete zapsat u zkoušky, pak určitě napište oba vzorce, jinak se učitel může trochu zlobit.

Dobře, tohle všechno byly pohádky o čtvercových matricích. A co ty obdélníkové?

Případ pravoúhlých matic

Ale nic – vše je jako u hranatých.

Úkol 3. Proveďte násobení:

\[\left[ \begin(matice) \begin(matice) 5 \\ 2 \\ 3 \\\end(matice) & \begin(matice) 4 \\ 5 \\ 1 \\\end(matice) \ \\end(matice) \right]\cdot \left[ \begin(pole)(*(35)(r)) -2 & 5 \\ 3 & 4 \\\end(pole) \right]\]

Řešení. Máme dvě matice: $A=\left[ 3\times 2 \right]$ a $B=\left[ 2\times 2 \right]$. Zapišme si čísla označující velikosti v řadě:

Jak vidíte, centrální dvě čísla se shodují. To znamená, že matice jsou konzistentní a lze je násobit. Navíc na výstupu dostaneme matici $C=\left[ 3\krát 2 \right]$:

\[\begin(zarovnat) & \left[ \begin(matice) \begin(matice) 5 \\ 2 \\ 3 \\\end(matice) & \begin(matice) 4 \\ 5 \\ 1 \\ \end(matice) \\\end(matice) \right]\cdot \left[ \begin(pole)(*(35)(r)) -2 & 5 \\ 3 & 4 \\\end(pole) \right]=\left[ \begin(pole)(*(35)(r)) 5\cdot \left(-2 \right)+4\cdot 3 & 5\cdot 5+4\cdot 4 \\ 2 \cdot \left(-2 \right)+5\cdot 3 & 2\cdot 5+5\cdot 4 \\ 3\cdot \left(-2 \right)+1\cdot 3 & 3\cdot 5+1 \cdot 4 \\\end(pole) \right]= \\ & =\left[ \begin(pole)(*(35)(r)) 2 & 41 \\ 11 & 30 \\ -3 & 19 \ \\end(pole) \vpravo]. \end(zarovnat)\]

Vše je jasné: konečná matice má 3 řádky a 2 sloupce. Docela $=\left[ 3\krát 2 \vpravo]$.

Odpověď: $\left[ \begin(pole)(*(35)(r)) \begin(pole)(*(35)(r)) 2 \\ 11 \\ -3 \\\end(array) & \začátek(matice) 41 \\ 30 \\ 19 \\\konec (matice) \\\konec (pole) \vpravo]$.

Nyní se podíváme na jeden z nejlepších tréninkových úkolů pro ty, kteří s maticemi teprve začínají. V něm není třeba jen rozmnožit dvě tablety, ale nejprve určit: je takové množení přípustné?

Úloha 4. Najděte všechny možné párové součiny matic:

\\]; $B=\left[ \begin(matice) \begin(matice) 0 \\ 2 \\ 0 \\ 4 \\\end(matice) & \begin(matice) 1 \\ 0 \\ 3 \\ 0 \ \\konec(matice) \\\konec(matice) \vpravo]$; $C=\left[ \začátek(matice)0 & 1 \\ 1 & 0 \\\konec(matice) \vpravo]$.

Řešení. Nejprve si zapišme velikosti matic:

\;\ B=\levá[ 4\krát 2 \vpravo];\ C=\vlevo[ 2\krát 2 \vpravo]\]

Zjistíme, že matici $A$ lze sladit pouze s maticí $B$, protože počet sloupců $A$ je 4 a pouze $B$ má tento počet řádků. Proto můžeme najít produkt:

\\cdot \left[ \begin(pole)(*(35)(r)) 0 & 1 \\ 2 & 0 \\ 0 & 3 \\ 4 & 0 \\\end(pole) \right]=\ vlevo[ \začátek(pole)(*(35)(r))-10 & 7 \\ 10 & 7 \\\konec(pole) \vpravo]\]

Doporučuji čtenáři, aby mezikroky absolvoval samostatně. Jen poznamenám, že je lepší určit velikost výsledné matice předem, ještě před jakýmikoli výpočty:

\\cdot \left[ 4\times 2 \right]=\left[ 2\times 2 \right]\]

Jinými slovy, jednoduše odstraníme „tranzitní“ koeficienty, které zajistily konzistenci matic.

Jaké další možnosti jsou možné? Samozřejmě lze najít $B\cdot A$, protože $B=\left[ 4\times 2 \right]$, $A=\left[ 2\times 4 \right]$, takže objednaný pár $\ left(B ;A \right)$ je konzistentní a rozměr produktu bude:

\\cdot \left[ 2\times 4 \right]=\left[ 4\times 4 \right]\]

Stručně řečeno, výstupem bude matice $\left[ 4\krát 4 \right]$, jejíž koeficienty lze snadno vypočítat:

\\cdot \left[ \begin(pole)(*(35)(r)) 1 & -1 & 2 & -2 \\ 1 & 1 & 2 & 2 \\\end(pole) \right]=\ vlevo[ \begin(array)(*(35)(r))1 & 1 & 2 & 2 \\ 2 & -2 & 4 & -4 \\ 3 & 3 & 6 & 6 \\ 4 & -4 & 8 & -8 \\\konec (pole) \vpravo]\]

Samozřejmě se můžete také dohodnout na $C\cdot A$ a $B\cdot C$ – a je to. Proto si výsledné produkty jednoduše zapíšeme:

Bylo to lehké.:)

Odpověď: $AB=\left[ \begin(pole)(*(35)(r)) -10 & 7 \\ 10 & 7 \\\end(pole) \right]$; $BA=\left[ \begin(pole)(*(35)(r)) 1 & 1 & 2 & 2 \\ 2 & -2 & 4 & -4 \\ 3 & 3 & 6 & 6 \\ 4 & -4 & 8 & -8 \\\konec(pole) \vpravo]$; $CA=\left[ \begin(pole)(*(35)(r)) 1 & 1 & 2 & 2 \\ 1 & -1 & 2 & -2 \\\end(pole) \right]$; $BC=\left[ \begin(pole)(*(35)(r))1 & 0 \\ 0 & 2 \\ 3 & 0 \\ 0 & 4 \\\end(pole) \right]$.

Obecně velmi doporučuji udělat tento úkol sami. A ještě jeden podobný úkol, který je v domácím úkolu. Tyto zdánlivě jednoduché myšlenky vám pomohou procvičit všechny klíčové fáze násobení matrice.

Tím ale příběh nekončí. Přejděme ke speciálním případům násobení :).

Řádkové vektory a sloupcové vektory

Jednou z nejběžnějších operací s maticí je násobení maticí, která má jeden řádek nebo jeden sloupec.

Definice. Sloupcový vektor je matice velikosti $\left[ m\times 1 \right]$, tzn. skládající se z několika řádků a pouze jednoho sloupce.

Řádkový vektor je matice velikosti $\left[ 1\times n \right]$, tzn. skládající se z jednoho řádku a několika sloupců.

Ve skutečnosti jsme se s těmito objekty již setkali. Například obyčejný trojrozměrný vektor ze stereometrie $\overrightarrow(a)=\left(x;y;z \right)$ není nic jiného než řádkový vektor. Z teoretického hlediska není mezi řádky a sloupci téměř žádný rozdíl. Jen je potřeba být opatrný při koordinaci s okolními multiplikačními maticemi.

Úkol 5. Proveďte násobení:

\[\left[ \begin(pole)(*(35)(r)) 2 & -1 & 3 \\ 4 & 2 & 0 \\ -1 & 1 & 1 \\\end(pole) \right] \cdot \left[ \begin(pole)(*(35)(r)) 1 \\ 2 \\ -1 \\\end(pole) \right]\]

Řešení. Zde máme součin spárovaných matic: $\left[ 3\times 3 \right]\cdot \left[ 3\times 1 \right]=\left[ 3\times 1 \right]$. Pojďme najít tento kousek:

\[\left[ \begin(pole)(*(35)(r)) 2 & -1 & 3 \\ 4 & 2 & 0 \\ -1 & 1 & 1 \\\end(pole) \right] \cdot \left[ \begin(pole)(*(35)(r)) 1 \\ 2 \\ -1 \\\end(pole) \right]=\left[ \begin(pole)(*(35 )(r)) 2\cdot 1+\left(-1 \right)\cdot 2+3\cdot \left(-1 \right) \\ 4\cdot 1+2\cdot 2+0\cdot 2 \ \ -1\cdot 1+1\cdot 2+1\cdot \left(-1 \right) \\\end(pole) \right]=\left[ \begin(array)(*(35)(r) ) -3 \\ 8 \\ 0 \\\konec (pole) \vpravo]\]

Odpověď: $\left[ \begin(pole)(*(35)(r))-3 \\ 8 \\ 0 \\\end(pole) \right]$.

Úkol 6. Proveďte násobení:

\[\left[ \begin(pole)(*(35)(r)) 1 & 2 & -3 \\\end(pole) \right]\cdot \left[ \begin(pole)(*(35) (r)) 3 & 1 & -1 \\ 4 & -1 & 3 \\ 2 & 6 & 0 \\\konec (pole) \vpravo]\]

Řešení. Opět je vše odsouhlaseno: $\left[ 1\krát 3 \vpravo]\cdot \left[ 3\krát 3 \vpravo]=\vlevo[ 1\krát 3 \vpravo]$. Počítáme produkt:

\[\left[ \begin(pole)(*(35)(r)) 1 & 2 & -3 \\\end(pole) \right]\cdot \left[ \begin(pole)(*(35) (r)) 3 & 1 & -1 \\ 4 & -1 & 3 \\ 2 & 6 & 0 \\\end(pole) \right]=\left[ \begin(pole)(*(35)( ) r))5 & -19 & 5 \\\konec (pole) \vpravo]\]

Odpověď: $\left[ \začátek(matice) 5 & -19 & 5 \\\konec (matice) \vpravo]$.

Jak vidíte, když vynásobíme řádkový vektor a sloupcový vektor čtvercovou maticí, výsledkem je vždy řádek nebo sloupec stejné velikosti. Tato skutečnost má mnoho aplikací – od řešení lineárních rovnic až po nejrůznější transformace souřadnic (které v konečném důsledku sahají i k soustavám rovnic, ale nemluvme o smutných věcech).

Myslím, že zde bylo vše zřejmé. Přejděme k závěrečné části dnešní lekce.

Umocňování matice

Mezi všemi operacemi násobení si zvláštní pozornost zaslouží umocňování - to je, když násobíme stejný objekt několikrát sám sebou. Matice nejsou výjimkou, mohou být také povýšeny na různé pravomoci.

Takové práce jsou vždy dohodnuty:

\\cdot \left[ n\krát n \vpravo]=\vlevo[ n\krát n \vpravo]\]

A jsou označeny přesně stejným způsobem jako běžné stupně:

\[\begin(align) & A\cdot A=((A)^(2)); \\ & A\cdot A\cdot A=((A)^(3)); \\ & \underbrace(A\cdot A\cdot \ldots \cdot A)_(n)=((A)^(n)). \\ \end(zarovnat)\]

Na první pohled je vše jednoduché. Pojďme se podívat, jak to vypadá v praxi:

Úkol 7. Zvedněte matici na uvedenou sílu:

$((\left[ \begin(matice) 1 & 1 \\ 0 & 1 \\\end(matice) \right])^(3))$

Řešení. Dobře, pojďme stavět. Nejprve to dáme na druhou:

\[\begin(zarovnat) & ((\left[ \begin(matice) 1 & 1 \\ 0 & 1 \\\end(matice) \right])^(2))=\left[ \begin(matice ) 1 & 1 \\ 0 & 1 \\\konec (matice) \vpravo]\cdot \left[ \začátek (matice) 1 & 1 \\ 0 & 1 \\\konec (matice) \vpravo]= \\ & =\left[ \begin(pole)(*(35)(r)) 1\cdot 1+1\cdot 0 & 1\cdot 1+1\cdot 1 \\ 0\cdot 1+1\cdot 0 & 0\cdot 1+1\cdot 1 \\\end(pole) \right]= \\ & =\left[ \begin(pole)(*(35)(r)) 1 & 2 \\ 0 & 1 \ \\end(array) \right] \end(align)\]

\[\begin(zarovnat) & ((\left[ \begin(matice) 1 & 1 \\ 0 & 1 \\\end(matice) \right])^(3))=((\left[ \begin (matice) 1 & 1 \\ 0 & 1 \\\konec (matice) \vpravo])^(3))\cdot \left[ \začátek(matice) 1 & 1 \\ 0 & 1 \\\konec( matice) \right]= \\ & =\left[ \begin(pole)(*(35)(r)) 1 & 2 \\ 0 & 1 \\\end(pole) \right]\cdot \left[ \začátek(matice) 1 & 1 \\ 0 & 1 \\\konec (matice) \vpravo]= \\ & =\levý[ \začátek(pole)(*(35)(r)) 1 & 3 \\ 0 & 1 \\\konec (pole) \vpravo] \konec (zarovnání)\]

To je vše.:)

Odpověď: $\left[ \begin(matice)1 & 3 \\ 0 & 1 \\\end(matice) \right]$.

Problém 8. Zvedněte matici na uvedený výkon:

\[((\left[ \begin(matice) 1 & 1 \\ 0 & 1 \\\end(matice) \right])^(10))\]

Řešení. Jen teď nebreč kvůli tomu, že „titul je příliš velký“, „svět není spravedlivý“ a „učitelé úplně ztratili své břehy“. Je to vlastně snadné:

\[\začátek(zarovnání) & ((\left[ \začátek(matice) 1 & 1 \\ 0 & 1 \\\konec (matice) \right])^(10))=((\left[ \začátek (matice) 1 & 1 \\ 0 & 1 \\\konec (matice) \vpravo])^(3))\cdot ((\left[ \begin(matice) 1 & 1 \\ 0 & 1 \\\ konec(matice) \right])^(3))\cdot ((\left[ \begin(matice) 1 & 1 \\ 0 & 1 \\\end(matice) \right])^(3))\ cdot \left[ \begin(matice) 1 & 1 \\ 0 & 1 \\\end(matice) \right]= \\ & =\left(\left[ \begin(matice) 1 & 3 \\ 0 & 1 \\\konec (matice) \vpravo]\cdot \left[ \začátek (matice) 1 & 3 \\ 0 & 1 \\\konec (matice) \vpravo] \vpravo\cdot \left(\levý[ \začátek(matice) 1 & 3 \\ 0 & 1 \\\konec (matice) \vpravo]\cdot \left[ \začátek(matice) 1 & 1 \\ 0 & 1 \\\konec (matice) \vpravo ] \right)= \\ & =\left[ \begin(matice) 1 & 6 \\ 0 & 1 \\\end(matice) \right]\cdot \left[ \begin(matice) 1 & 4 \\ 0 & 1 \\\konec (matice) \vpravo]= \\ & =\vlevo[ \začátek (matice) 1 & 10 \\ 0 & 1 \\\konec (matice) \vpravo] \konec (zarovnání)\ ]

Všimněte si, že ve druhém řádku jsme použili asociativitu násobení. Ve skutečnosti jsme to použili v předchozí úloze, ale tam to bylo implicitní.

Odpověď: $\left[ \začátek(matice) 1 & 10 \\ 0 & 1 \\\konec (matice) \vpravo]$.

Jak vidíte, na povýšení matrixu na moc není nic složitého. Poslední příklad lze shrnout:

\[((\left[ \begin(matice) 1 & 1 \\ 0 & 1 \\\end(matice) \right])^(n))=\left[ \begin(array)(*(35) (r)) 1 & n \\ 0 & 1 \\\konec (pole) \vpravo]\]

Tuto skutečnost lze snadno dokázat matematickou indukcí nebo přímým násobením. Ne vždy je však možné zachytit takové vzorce při navyšování na moc. Buďte proto opatrní: často násobení několika matic „náhodně“ se ukáže být jednodušší a rychlejší než hledání nějakých vzorů.

Obecně nehledejte vyšší smysl tam, kde žádný není. Na závěr uvažujme umocnění větší matice – až $\left[ 3\krát 3 \right]$.

Problém 9. Zvedněte matici na uvedený výkon:

\[((\left[ \begin(matice) 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\\end(matice) \right])^(3))\]

Řešení. Nehledejme vzory. Pracujeme dopředu:

\[((\left[ \begin(matice) 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\\end(matice) \right])^(3))=(( \left[ \begin(matice) 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\\end(matice) \right])^(2))\cdot \left[ \begin (matice)0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\\konec (matice) \vpravo]\]

Nejprve uveďme tuto matici na druhou:

\[\začátek(zarovnat) & ((\left[ \začátek(matice) 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\\konec (matice) \vpravo])^( 2))=\left[ \begin(matice) 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\\end(matice) \right]\cdot \left[ \begin(matice ) 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\\konec (matice) \right]= \\ & =\left[ \begin(array)(*(35)(r )) 2 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \\\end(pole) \vpravo] \end(zarovnat)\]

Teď to dáme na kostky:

\[\začátek(zarovnat) & ((\left[ \začátek(matice) 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\\konec (matice) \vpravo])^( 3))=\left[ \begin(pole)(*(35)(r)) 2 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \\\end(pole) \right] \cdot \left[ \begin(matice) 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\\end(matice) \right]= \\ & =\left[ \begin( pole)(*(35)(r)) 2 & 3 & 3 \\ 3 & 2 & 3 \\ 3 & 3 & 2 \\\end(pole) \right] \end(align)\]

To je vše. Problém je vyřešen.

Odpověď: $\left[ \začátek(matice) 2 & 3 & 3 \\ 3 & 2 & 3 \\ 3 & 3 & 2 \\\konec (matice) \vpravo]$.

Jak vidíte, objem výpočtů se zvětšil, ale význam se vůbec nezměnil :).

Tím lekce končí. Příště zvážíme inverzní operaci: pomocí stávajícího produktu budeme hledat původní faktory.

Jak už asi tušíte, budeme hovořit o inverzní matici a metodách jejího nalezení.