K nalezení se používá metoda Lagrangeova multiplikátoru. Modelování dynamických systémů (Lagrangeova metoda a Bondův graf). Algoritmus pro studium funkce dvou proměnných pro podmíněný extrém

Najít polynom znamená určit hodnoty jeho koeficientu . Chcete-li to provést, pomocí podmínky interpolace můžete vytvořit lineární systém algebraické rovnice(SLAU).

Determinant tohoto SLAE se obvykle nazývá Vandermondův determinant. Vandermondův determinant není roven nule pro for , to znamená v případě, že ve vyhledávací tabulce nejsou žádné odpovídající uzly. Lze však namítnout, že SLAE má řešení a toto řešení je jedinečné. Po vyřešení SLAE a určení neznámých koeficientů můžete sestrojit interpolační polynom.

Polynom, který splňuje podmínky interpolace, je při interpolaci Lagrangeovou metodou zkonstruován ve formě lineární kombinace polynomů n-tého stupně:

Polynomy se obvykle nazývají základní polynomy. V následujících situacích Lagrangeův polynom splňuje podmínky interpolace, je nesmírně důležité, aby pro jeho základní polynomy byly splněny následující podmínky:

Pro .

Pokud jsou tyto podmínky splněny, pak pro všechny máme:

Splnění specifikovaných podmínek pro základní polynomy navíc znamená, že jsou splněny i podmínky interpolace.

Určeme typ bázových polynomů na základě omezení, která jsou na ně kladena.

1. podmínka: na .

2. podmínka: .

Nakonec pro základní polynom můžeme napsat:

Dosazením výsledného výrazu pro základní polynomy do původního polynomu získáme konečný tvar Lagrangeova polynomu:

Konkrétní forma Lagrangeova polynomu at se obvykle nazývá lineární interpolační vzorec:

.

Lagrangeův polynom přijatý v se obvykle nazývá kvadratický interpolační vzorec:

Lagrangeova metoda. - koncepce a typy. Klasifikace a vlastnosti kategorie "Lagrangeova metoda." 2017, 2018.

Metoda pro určení podmíněného extrému začíná konstrukcí pomocné Lagrangeovy funkce, která v oblasti proveditelných řešení dosahuje maxima pro stejné hodnoty proměnných. X 1 , X 2 , ..., X n , což je stejné jako účelová funkce z . Nechť je vyřešen problém určení podmíněného extrému funkce z = f(X) pod omezeními φ i ( X 1 , X 2 , ..., X n ) = 0, i = 1, 2, ..., m , m < n

Složíme funkci

který se nazývá Lagrangeova funkce. X , - konstantní faktory (Lagrangeovy multiplikátory). Všimněte si, že Lagrangeovým multiplikátorům lze přiřadit ekonomický význam. Li f(x 1 , X 2 , ..., X n ) - příjem v souladu s plánem X = (x 1 , X 2 , ..., X n ) a funkce φ i (X 1 , X 2 , ..., X n ) - náklady na i-tý zdroj odpovídající tomuto plánu, pak X , - cena (ocenění) i-tého zdroje, charakterizující změnu extrémní hodnoty Objektivní funkce v závislosti na změně velikosti i-tého zdroje (mezní odhad). L(X) - funkce n+m proměnné (X 1 , X 2 , ..., X n , λ 1 , λ 2 , ..., λ n ) . Určení stacionárních bodů této funkce vede k řešení soustavy rovnic

To je snadné vidět . Tedy úkol najít podmíněný extrém funkce z = f(X) redukuje na nalezení lokálního extrému funkce L(X) . Pokud je nalezen stacionární bod, pak je otázka existence extrému v nejjednodušších případech vyřešena na základě dostatečných podmínek pro extrém - studium znaménka druhého diferenciálu d 2 L(X) ve stacionárním bodě za předpokladu, že se proměnná zvyšuje Δx i - spojeno vztahy

získané derivováním vazebných rovnic.

Řešení soustavy nelineárních rovnic o dvou neznámých pomocí nástroje Najít řešení

Nastavení Hledání řešení umožňuje najít řešení systému nelineární rovnice se dvěma neznámými:

Kde
- nelineární funkce proměnných X A y ,
- libovolná konstanta.

Je známo, že pár ( X , y ) je řešením soustavy rovnic (10) právě tehdy, když je řešením následující rovnice o dvou neznámých:

S na druhé straně řešením systému (10) jsou průsečíky dvou křivek: F ] (X, y) = C A F 2 (x, y) = C 2 na povrchu XOY.

To vede k metodě hledání kořenů systému. nelineární rovnice:

Určete (alespoň přibližně) interval existence řešení soustavy rovnic (10) nebo rovnice (11). Zde je třeba vzít v úvahu typ rovnic obsažených v soustavě, definiční obor každé jejich rovnice atd. Někdy se používá volba počáteční aproximace řešení;

Sepište do tabulky řešení rovnice (11) pro proměnné x a y na zvoleném intervalu nebo sestrojte grafy funkcí F 1 (X, y) = C a F 2 (x,y) = C 2 (systém(10)).

Lokalizovat předpokládané kořeny soustavy rovnic - najít několik minimální hodnoty z tabulky zapište do tabulky kořeny rovnice (11) nebo určete průsečíky křivek zahrnutých v soustavě (10).

4. Najděte kořeny pro soustavu rovnic (10) pomocí doplňku Hledání řešení.

LAGRANGEOVA METODA

Metoda pro redukci kvadratické formy na součet čtverců, kterou v roce 1759 naznačil J. Lagrange. Ať je dáno

z proměnných x 0 , X 1 ,..., x str. s koeficienty z oboru k charakteristika Je požadováno, aby tento formulář byl kanonický. mysl

pomocí nedegenerovaných lineární transformace proměnné. L. m. sestává z následujícího. Můžeme předpokládat, že ne všechny koeficienty tvaru (1) jsou rovny nule. Jsou tedy možné dva případy.

1) Pro některé G, diagonální Pak

kde tvar f 1 (x) neobsahuje proměnnou x g . 2) Pokud všechno Ale Že

kde tvar f 2 (x) neobsahuje dvě proměnné x g A x h . Tvary pod čtvercovými znaménky v (4) jsou lineárně nezávislé. Aplikací transformací tvaru (3) a (4) se tvar (1) po konečném počtu kroků zredukuje na součet čtverců lineárně nezávislých lineární formy. Pomocí parciálních derivací lze zapsat vzorce (3) a (4) ve tvaru

Lit.: G a n t m a k h e r F. R., Teorie matic, 2. vyd., M., 1966; K u r o sh A. G., Kurz vyšší algebry, 11. vyd., M., 1975; Alexandrov P. S., Přednášky z analytické geometrie..., M., 1968. I. V. Proskuryakov.

Matematická encyklopedie. - M.: Sovětská encyklopedie. I. M. Vinogradov. 1977-1985.

Podívejte se, co je "LAGRANGE METODA" v jiných slovnících:

Lagrangeova metoda- Lagrangeova metoda - metoda pro řešení řady tříd problémů matematické programování nalezením sedlového bodu (x*, λ*) Lagrangeovy funkce, čehož dosáhneme vyrovnáním parciálních derivací této funkce vzhledem k... ... Ekonomický a matematický slovník

Lagrangeova metoda- Metoda pro řešení řady tříd úloh matematického programování nalezením sedlového bodu (x*, ?*) Lagrangeovy funkce, čehož dosáhneme přirovnáním parciálních derivací této funkce vzhledem k xi a?i k nule. . Viz Lagrangian. )