Внешняя рамка css. Отступы и рамки CSS. Внешний и внутренний отступы

Столь же интересно и не менее важно поле диполя, возникающее при других обстоятельствах. Пусть у нас есть тело со сложным распределением заряда, скажем, как у молекулы воды (см. фиг. 6.2), а нас интересует только поле вдали от него. Мы покажем, что можно получить сравнительно простое выражение для полей, пригодное для расстояний, много больших, чем размеры тела.

Мы можем смотреть на это тело, как на скопление точечных зарядов в некоторой ограниченной области (фиг. 6.7). (Позже, если понадобится, мы заменим на .) Пускай заряд удален от начала координат, выбранного где-то внутри группы зарядов, на расстояние . Чему равен потенциал в точке , расположенной где-то на отлете, на расстоянии , много большем, чем самое большое из ? Потенциал всего нашего скопления выражается формулой

, (6.21)

где - расстояние от до заряда (длина вектора ). Если расстояние от зарядов до (до точки наблюдения) чрезвычайно велико, то каждое из можно принять за . Каждый член в сумме станет равным , и можно будет вынести из-под знака суммы. Получится простой результат

, (6.22)

где - суммарный заряд тела. Таким образом, мы убедились, что из точек, достаточно удаленных от скопления зарядов, оно кажется просто точечным зарядом. Этот результат в общем не очень удивителен.

Фигура 6.7. Вычисление потенциала в точке , сильно удаленной от группы зарядов.

Но что, если положительных и отрицательных зарядов в группе окажется поровну? Суммарный заряд тогда будет равен нулю. Это не такой уж редкий случай; мы знаем, что большинство тел нейтрально. Нейтральна молекула воды, но заряды в ней размещаются отнюдь не в одной точке, так что, приблизившись вплотную, мы должны будем заметить какие-то признаки того, что заряды разделены. Для потенциала произвольного распределения зарядов в нейтральном теле мы нуждаемся в приближении, лучшем, чем даваемое формулой (6.22). Уравнение (6.21) по-прежнему годится, но полагать больше нельзя. Для нужно выражение поточнее. В хорошем приближении можно считать отличающимся от (если точка сильно удалена) на проекцию вектора на вектор (см. фиг. 6.7, но вы должны только представлять себе, что намного дальше, чем показано). Иными словами, если - единичный вектор в направлении , то за следующее приближение к нужно принять

Но нам ведь нужно не , а ; оно в нашем приближении (с учетом ) равно

(6.24)

Подставив это в (6.21), мы увидим, что потенциал равен

(6.25)

Многоточие указывает члены высшего порядка по , которыми мы пренебрегли. Как и те члены, которые мы выписали, это последующие члены разложения в ряд Тэйлора в окрестности по степеням .

Первый член в (6.25) мы уже получили; в нейтральных телах он пропадает. Второй член, как и у диполя, зависит от . Действительно, если мы определим

как величину, описывающую распределения зарядов, то второй член потенциала (6.25) обратится в

т. е. как раз в дипольный потенциал. Величина называется дипольным моментом распределения. Это обобщение нашего прежнего определения; оно сводится к нему в частном случае точечных зарядов.

В итоге мы выяснили, что достаточно далеко от любого набора зарядов потенциал оказывается дипольным, лишь бы этот набор был в целом нейтральным. Он убывает, как , и меняется, как , а величина его зависит от дипольного момента распределения зарядов. Именно по этой причине поля диполей и важны; сами же по себе пары точечных зарядов встречаются крайне редко.

У молекулы воды, например, дипольный момент довольно велик. Электрическое поле, создаваемое этим моментом, ответственно за некоторые важные свойства воды. А у многих молекул, скажем у , дипольный момент исчезает благодаря их симметрии. Для таких молекул разложение нужно проводить еще точнее, до следующих членов потенциала, убывающих как и называемых квадрупольным потенциалом. Эти случаи мы рассмотрим позже.

где каждое

Подставив, получаем:

Для непрерывного распределения аналогично:

где V - область пространства, где расположены заряды (ненулевая плотность заряда), или всё пространство, - радиус-вектор точки, для которой считаем , - радиус-вектор источника, пробегающий все точки области ^ V при интегрировании, dV - элемент объема.

Электрическое поле, в котором напряженность одинакова по модулю и направлению в любой точке пространства, называется однородным электрическим полем .

Приблизительно однородным является электрическое поле между двумя разноименно заряженными плоскими металлическими пластинами. Линии напряженности в однородном электрическом поле параллельны друг другу

При равномерном распределении электрического заряда q по поверхности площади S поверхностная плотность заряда постоянна и равна

4.Потенц. электростат. поля. Эквипотенц. поверхн. Ур-е эквип. поверхн.

Электростатическим полем называется электрическое поле неподвижных в выбранной системе отсчета зарядов. Основными характеристиками электростатического поля являются напряженность и потенциал. Потенциал в какой либо точке эл.стат. поля есть физическая величина, определяемая потенциальной энергией положительного заряда, помещённого в эту точку.

Разность потенциалов двух точек равна работе при перемещении единичного положительного заряда из точки 1 в точку 2.

За нулевой потенциал часто удобно принимать потенциал бесконечно удаленной точки пространства. Потенциал – энергетическая характеристика электростатического поля. Если нулевой уровень потенциальной энергии системы зарядов условно выбрать на бесконечности, то выражение представляет собой работу внешней силы по перемещению единичного положительного заряда из бесконечности в рассматриваемую точку В: ;

Поверхность, во всех точках которой потенциал электрического поля имеет одинаковые значения, называется эквипотенциальной поверхностью.

Между двумя любыми точками на эквипотзенциальной поверхности разность потенциалов равна нулю, поэтому работа сил электрического поля при любом перемещении заряда по эквипотенциальной поверхности равна нулю. Это означает, что вектор силы Fэ в любой точке траектории движения заряда по эквипотенциальной поверхности перпендикулярен вектору скорости. Следовательно, линии напряженности электростатического поля перпендикулярны эквипотенциальной поверхности.

Если потенциал задан как функция координат (x, y, z), то уравнение эквипотенциальной поверхности имеет вид:

φ(x, y, z) = const

Эквипотенциальными поверхностями поля точечного электрического заряда являются сферы, в центре которых расположен заряд. Эквипотенциальные поверхности однородного электрического поля представляют собой плоскости, перпендикулярные линиям напряженности.

5.Связь между напряж.и потенциалом. Потенциалы полей точечного заряда и произв. заряж. тела. Потенц. однородного поля.

Найдем взаимосвязь между напряженностью электростатического поля, являющейся его силовой характеристикой, и потенциалом - энергетической характеристикой поля.

Работа по перемещению единичного точечного положительного заряда из одной точки в другую вдоль оси х при условии, что точки расположены бесконечно близко друг к равна А=Exdxq0. Та же работа равна A=(1-2)q0=-d Приравняв оба выражения, можем записать

Ex=-д/дx. Анлогично Ey=-д/дy, Ez=-д/z. Следовательно Е= Exi+ Eyj+ Ezk, где i, j, k - единичные векторы координатных осей х, у, z. Тогдат. е. напряженность Е поля равна градиенту потенциала со знаком минус. Знак минус определяется тем, что вектор напряженности Е поля направлен в сторону убывания потенциала.

Для графического изображения распределения потенциала электростатического поля, как и в случае ноля тяготения, пользуются эквипотенциальными поверхностями - поверхностями, во всех точках которых потенциал  имеет одно и то же значение.

Если поле создается точечным зарядом, то его потенциал, согласно, =(1/40)Q/r. Таким образом, эквипотенциальные поверхности в данном случае - концентрические сферы.

С другой стороны, линии напряженности в случае точечного заряда - радиальные прямые. Следовательно, линии напряженности в случае точечного заряда перпендикулярны эквипотенциальным поверхностям.

^ Потенциал поля точечного заряда Q в однородной изотропной среде с диэлектрической проницаемостью  :

Потенциал однородного поля :
φ = W п / q = -E x x + C
Значение потенциала в данной точке зависит от выбора нулевого уровня для отсчёта потенциала. Этот уровень выбирают произвольно.

6. работа сил элктростат. поля по переносу точечного заряда. Циркуляция и ротор электростат. Поля

Элементарная работа, совершаемая силой F при перемещении точечного электрического заряда qпр из одной точки электростатического поля в другую на отрезке пути dl , по определению равна

где - угол между вектором силы F и направлением движения dl. Если работа совершается внешними силами, то dA=0. Интегрируя последнее выражение, получим, что работа против сил поля при перемещении пробного заряда qпр из точки “а” в точку “b” будет равна…

где - кулоновская сила, действующая на пробный заряд qпр в каждой точке поля с напряженностью Е. Тогда работа…

Пусть заряд перемещается в поле заряда q из точки “а”, удалённой от q на расстоянии в точку “b”, удаленную от q на расстоянии (рис 1.12).

Как видно из рисунка тогда получим

Как было сказано выше, работа сил электростатического поля, совершаемая против внешних сил, равна по величине и противоположна по знаку работе внешних сил, следовательно

Работа электростатических сил по любому замкнутому контуру равна нулю. т.е. циркуляция электростатического поля по любому контуру равна нулю. Возьмем любую поверхность S , опирающуюся на контур Г .

По теореме Стокса: так как это для любой поверхности

Существует тождество: . т.е. силовые линии электростатического поля не циркулируют в пространстве.

7. т-ма гауса для поля вектора E(r). Диверг. Электростат. Поля. Ур-е Пуасона для потенц. Электростат. Поля

^ Теорема Гаусса - основная теорема электродинамики, которая применяется для вычисления электрических полей. Она выражает связь между потоком напряжённости электрического поля сквозь замкнутую поверхность и зарядом в объёме, ограниченной этой поверхностью.

Поток вектора напряжённости электрического поля через любую, произвольно выбранную замкнутую поверхность пропорционален заключённому внутри этой поверхности электрическому заряду. , где Для теоремы Гаусса справедлив принцип суперпозиции, то есть поток вектора напряжённости через поверхность не зависит от распределения заряда внутри поверхности.

Теорема Гаусса для вектора напряженности электростатического поля может быть сформулирована и в дифференциальной форме. Действительно, рассмотрим поле точечного электрического заряда , расположенного в начале координат: Из соотношения следует

Легко проверить, что для , то есть для точки наблюдения, в которой нет электрического заряда, справедливо соотношение: (1.55) Математическая операция в левой части соотношения (1.55) имеет специальное название "дивергенция векторного поля и специальное обозначение

Уравнение Пуассона - эллиптическое ду в частных производных, которое, среди прочего, описывает электростатическое поле. Это уравнение имеет вид:

где Δ - оператор Лапласа или лапласиан, а f - действительная или комплексная функция на некотором многообразии.

В трёхмерной декартовой системе координат уравнение принимает форму:

В декартовой системе координат оператор Лапласа записывается в форме и уравнение Пуассона принимает вид: Если f стремится к нулю, то уравнение Пуассона превращается в ур-е Лапласа: где Ф - электростатический потенциал, - объёмная плотность заряда, а - диэлектрическая проницаемость вакуума.

В области пространства, где нет непарной плотности заряда, имеем: =0 и уравнение для потенциала превращается в уравнение Лапласа:

Электростатическое поле - поле, созданное неподвижными в пространстве и неизменными во времени электрическими зарядами (при отсутствии электрических токов).

Если в пространстве имеется система заряженных тел, то в каждой точке этого пространства существует силовое электрическое поле. Оно определяется через силу, действующую на пробный заряд, помещённый в этом поле. Пробный заряд должен быть малым, чтобы не повлиять на характеристику электростатического поля.

В силу принципа суперпозиции потенциал всей совокупности зарядов равен сумме потенциалов, создаваемых в данной точке поля каждым из зарядов в отдельности: : *

Величинаназывается электрическим дипольным моментом системы зарядов.

^ Электрич. дипольным моментом или просто дипольным моментом системы зарядов q i называется сумма произведений величин зарядов на их радиус-векторы .

Обычно дипольный момент обозначается латинской буквой d или латинской буквой p.

Дипольный момент имеет чрезвычайное значение в физике при изучении нейтральных систем. Действие электрического поля на нейтральную систему зарядов и электрическое поле создано нейтральной системой определяются в первую очередь дипольным моментом. Это, в частности, касается атомов и молекул.

Нейтральные системы зарядов с отличным от нуля дипольным моментом называют диполями.

Свойства: Всего определенный выше дипольный момент зависит от системы отсчета. Однако для нейтральной системы сумма всех зарядов равна нулю, поэтому зависимость от системы отсчета исчезает.

Самый диполь состоит из двух одинаковых по абсолютной величине, но противоположных по направлению зарядов + q и-q, которые находятся на определенном расстоянии r друг от друга. Дипольный момент тогда равна по абсолютной величине qr и направлен от положительного до отрицательного заряда. В случае непрерывного распределения заряда с плотностью дипольный момент определяется интегрированием

9. Диполь во внешнем электростат. Поле. Момент сил, действующий на диполь, потенц. Энергия диполя в однородном поле.

Электрическим диполем называют систему двух одинаковых по величине разноименных точечных зарядов и , расстояние между которыми значительно меньше расстояния до тех точек, в которых определяется поле системы. Прямая, проходящая через оба заряда, называется осью диполя. В соответствии с принципом суперпозиции потенциал поля в некоторой точке А равен: .

Пусть точка А выбрана так, что длина намного меньше расстояний и . В этом случае можно положить, что ; и формулу для потенциала диполя можно переписать:	где - угол между осью диполя и направлением к точке А, проведенным от диполя. Произведение называется электрическим моментом диполя или дипольным моментом . Вектор направлен по оси диполя от отрицательного заряда к положительному. Таким образом, произведение в формуле для является дипольным моментом и соответственно:

Момент сил, действующий на диполь во внешнем электрическом поле.

Поместим диполь в электрическое поле. Пусть направление диполя составляет с направлением вектора напряженности некоторый угол . На отрицательный заряд действует сила , направленная против поля, на положительный заряд действует сила , направленная вдоль поля. Эти силы образуют пару сил с вращающим моментом: В векторном виде:

^ Диполь в однородном внешнем поле поворачивается под действием вращающего момента таким образом, чтобы сила, действующая на положительный заряд диполя, совпадала по направлению с вектором и осью диполя. Этому положению соответствует и

10. Диэлектрики в электростат. Поле. Векторы поляризованности и эл. Смещения. Диэл. Восприимч. И прониц. Среды. Связь между ними.

Диэлектрики – вещества, не имеющие практически свободных носителей заряда. Поэтому они не проводят ток, заряды не переходят, но поляризуются. диэлектрики – это вещества молекулярного строения, силы связи их зарядов внутри больше сил внешнего поля и они связаны, замкнуты внутри молекул и вовнешнем поле лишь частично сдвигаются, вызывая поляризацию.

При наличии внешнего электростатического поля напряженностью молекулы диэлектрика деформируются. Положительный заряд смещается по направлению внешнего поля, а отрицательный – в противоположном направлении, образуя диполь – связанный заряд. В диэлектриках, имеющих дипольные молекулы, их электрические моменты под влиянием внешнего поля частично ориентируются по направлению поля. У большинства диэлектриков направление вектора поляризованности совпадает с направлением вектора напряженности внешнего поля, а направление вектора напряженности поляризованных зарядов противоположно направлению вектора напряженности внешнего поля (от + Q к – Q ).

Вектор поляризованности определяют по геометрической сумме электрических моментов диполей в единице объема. Для большинства диэлектриков где k – относительная диэлектрическая восприимчивость.

В электротехнических расчетах используется также вектор электрического смещения (индукции): ,где .Вектор зависит как от свободных, так и от связанных зарядов.

Диэлектрическая проницаемость среды ε показывает, во сколько раз сила взаимодействия двух электрических зарядов в среде меньше, чем в вакууме. Диэлектрическая восприимчивость (поляризуемость ) вещества - физическая величина, мера способности вещества поляризоваться под действием электрического поля. Поляризуемость связана с диэлектрической проницаемостью ε соотн: , или.

11. т-ма Гаусса для полей векторов P(r) и D(r) в интегр. И деф. Формах

Теорема Гаусса для вектора :поток вектора поляризованности сквозь замкнутую поверхность равна взятому с противоположным знаком избыточному связанному заряду диэлектрика в объеме, охватываемом поверхностью .

Дифференциальная форма: дивергенция вектора поляризованности равна взятой с противоположным знаком объемной плотности избыточного связанного заряда в этой же точке.

Точки, где - источники поля (из них линии поля расходятся), и наоборот, точки, где - стоки поля .

Плотность; , когда:

1) - диэлектрик неоднороден; 2) - поле неоднородно.

При поляризации однородного изотропного диэлектрика появляются только поверхностные связанные заряды, а объемные – нет.

^ Теорема Гаусса для вектора D

Поток вектора электрического смещения D сквозь замкнутую поверхность S равен алгебраической сумме свободных зарядов, расположенных в объеме, ограниченном этой поверхностью, т. е. (1)

Если не зависит от координат (изотропная среда), то

Из ур-я (1) следует, что когда заряд расположен вне объема, ограниченного замкнутой поверхностью S , поток вектора D сквозь поверхность S равен нулю.

Применяя к левой части (1) теорему Гаусса - Остроградского и выражая q через объемную плотность заряда р, получаем:

Так как объем выбран произвольно, то подынтегральные ф-ции равны:

Дифференциальная форма теоремы Гаусса - Остроградского (2-78) утверждает, что источниками вектора электрического смещения являются электрические заряды. В тех областях пространства, где р=0, источников вектора электрического смещения нет и, следовательно, силовые линии не имеют разрывов, т. к. div D=0. Для сред с абсолютной диэлектрической проницаемостью, ие зависящей от координат, можно записать:

В металлических проводниках имеются свободные носители заряда – электроны проводимости (свободные электроны), которые могут под действием внешнего электрического поля перемещаться по всему проводнику. В отсутствие внешнего поля электрические поля электронов проводимости и положительных ионов металла взаимно компенсируются. Если металлический проводник внести во внешнее электростатическое поле, то под действием этого поля электроны проводимости перераспределяются в проводнике таким образом, чтобы в любой точке внутри проводника электрическое поле электронов проводимости и положительных ионов скомпенсировало внешнее поле.

^ Явлением электростатической индукции называется перераспределение зарядов в проводнике под влиянием внешнего электростатического поля. При этом на проводнике возникают заряды, численно равные друг другу, но противоположные по знакам – индуцированные (наведенные) заряды, которые исчезают, как только проводник удаляется из электрического поля.

Поскольку внутри проводника E=-grad фи=0 то потенциал будет постоянной величиной. Нескомпенсированные заряды располагаются в проводнике только на его поверхности.

при помещении нейтрального проводника во внешнее поле свободные заряды начнут перемещаться: положительные – по полю, а отрицательные – против поля. На одном конце проводника будет избыток положительных зарядов, на другом – отрицательных. Окончательно внутри проводника напряженность поля станет равна нулю, а линии напряженности вне проводника – перпендикулярными его поверхности.

• 
  ^ Электроемкость уединенного проводника.

Емкость уединённого проводника определяется зарядом сообщение которого проводнику изменяет его потенциал на единицу. С=Q/.

для шара радиусом R

• 
  Конденсаторы.

Конденсаторы - устройства способные накапливать значительные по величине заряды. Емкость конденсатора – физическая величина равная отношению заряда Q накопленного в конденсаторе к разности потенциалов между его обкладками. C=Q/( 1 - 2). для плоского кон-ра .

У паралельно соединённых кон-ров разность потенциалов одинакова, у последовательно соединённых кон-ров заряды всех обкладок равны по модулю.

14.Энергия заряженного конденсатора. Энергия и плотность энергии электростатического поля.

Как всякий заряженный проводник, конденсатор обладает энергией, которая равна

W = C ()2/2=Q/2=Q2/(2C), (1) где Q - заряд конденсатора, С - его емкость,  - разность потенциалов между обкладками.

Используя выражение (1), можно найти механическую силу, с которой пластины конденсатора притягивают друг друга. Для этого предположим, что расстояние х между пластинами меняется, например, на величину Ах. Тогда действующая сила совершает работу dA=Fdx , вследствие уменьшения потенциальной энергии системы

Fdx=-dW, откуда F=dW/dx. (2)

Производя дифференцирование при конкретном значении энергии найдем искомую силу:

где знак минус указывает, что сила F является силой притяжения.

^ Энергия электростатического поля.

Преобразуем формулу (1), выражающую энергию плоского конденсатора посредством зарядов и потенциалов, воспользовавшись выражением для емкости плоского конденсатора (C = 0/d) и разности потенциалов между его обкладками ( =Ed). Тогда получим

где V=Sd - объем конденсатора. Данная ф-ла показывает, что энергия конденсатора выражается через величину, характеризующую электростатическое поле,- напряженность Е.

Объемная плотность энергии электростатического поля (энергия единицы объема)

w=W/V=0E2/2 = ED/2. (95.8)

Выражение (95.8) справедливо только для изотропного диэлектрика, для которого

выполняется соотношение Р=0Е.

Формулы (1) и (95.7) соответственно связывают энергию конденсатора с зарядом на его обкладках и с напряженностью поля.

• 
  Электромагни́тное по́ле - тензор электромагнитного поля .
• 
  ^ Вектор магнитной индукции.

Вектор магнитной индукции является количественной характеристикой магнитного поля.

Магнитная индукция однородного магнитного поля определяется максимальным вращающим моментом действующим на рамку с магн. моментом равным единице, когда нормаль перпендикулярна направлению поля.

^ Принцип суперпозиции магнитных полей : если магнитное поле создано несколькими проводниками с токами, то вектор магнитной индукции в какой-либо точке этого поля равен векторной сумме магнитных индукций, созданных в этой точке каждым током в отдельности:

• 
  Сила Лоренца.

Сила действующая на эл. заряд Q движущийся в магн. поле со скоростью v называется силой Лоренца. F=Q. Направление силы Лоренца определяется по правилу левой руки. Магнитное поле не действует на покоящийся заряд. Если на движущийся заряд помимо магн. поля действует эл. поле то результирующая сила равна векторной сумме сил. F=QE+Q.

Модуль силы Лоренца равен произведению модуля индукции магнитного поля B(вектор), в котором находится заряженная частица, модуля заряда q этой частицы, ее скорости υ и синуса угла между направлениями скорости и вектора индукции магнитного поля Так как сила Лоренца перпендикулярна вектору скорости частицы, то она не может изменить значение скорости, а изменяет только ее направление и, следовательно, не совершает работы.

^ Движение заряженных частиц в магнитном поле.

Если заряженная частица движется в магн. поле перпендикулярно вектору В, то сила Лоренца постоянна по модулю и нормальна к траектории движения частицы.

^ Электрический ток - это упорядоченное движение заряженных частиц в проводнике. Чтобы он возник, следует предварительно создать электрическое поле, под действием которого вышеупомянутые заряженные частицы придут в движение.

^ Закон Ома -Сила тока в однородном участке цепи прямо пропорциональна напряжению, приложенному к участку, и обратно пропорциональна электрическому сопротивлению этого участка.

Сила тока - скалярная физическая величина, определяемая отношением заряда Δq, проходящего через поперечное сечение проводника за некоторый промежуток времени Δt, к этому промежутку времени.

Тело, находящееся в потенциальном поле сил (электростатическое поле), обладает потенциальной энергией, за счет которой силами поля совершается работа. Работа консервативных сил совершается за счет убыли потенциальной энергии. Поэтому работу сил электро­статического поля можно представить как разность потенциальных энергий, которыми обладает точечный заряд Q 0 в начальной и конечной точках поля заряда Q : , откуда следует, что потенциальная энергия заряда q 0 в поле заряда Q равна . Она определяется неоднозначно, а с точностью до произвольной постоянной С . Если считать, что при удалении заряда в бесконечность (r ®¥) потенци­альная энергия обращается в нуль (U =0), то С =0 и потенциальная энергия заряда Q 0 , находящегося в поле заряда Q на расстоянии г от него, равна . Для одноименных зарядов Q 0 Q> 0 и потенциальная энергия их взаимодействия (оттал­кивания) положительна, для разноименных зарядов Q 0 Q <0 и потенциальная энергия их взаимодействия (притяжения) отрицательна.

Потенциал j в какой-либо точке электростатического поля есть физическая величина, определяемая потенциальной энергией единичного положительного заряда, помещен­ного в эту точку. Из чего следует, что потенциал поля, создаваемого точечным зарядом Q , равен . Работа, совершаемая силами электростатического поля при перемещении заряда Q 0 из точки 1 в точку 2 , может быть представлена как , т. е. равна произведению перемещаемого заряда на разность потенциалов в начальной и конечной точках.Разность потенциалов двух точек 1 и 2 в электростатическом поле определяется работой, совершаемой силами поля, при перемещении единичного поло­жительного заряда из точки 1 в точку 2 . Работа сил поля при перемещении заряда Q 0 из точки 1 в точку 2 может быть записана также в виде . Выражение для разности потенциалов: , где интегрирование можно производить вдоль любой линии, соединяющей начальную и конечную точки, так как работа сил электростатического поля не зависит от траек­тории перемещения.

Если перемещать заряд Q 0 из произвольной точки за пределы поля, т. е. в бесконеч­ность, где, по условию, потенциал равен нулю, то работа сил электростатического поля A ¥ =Q 0 j откуда

Потенциал - физическая величина, определяемая работой по переме­щению единичного положительного заряда при удалении его из данной точки поля в бесконечность. Эта работа численно равна работе, совершаемой внешними силами (против сил электростатического поля) по перемещению единичного положительного заряда из бесконечности в данную точку поля. Единица потенциала -вольт (В): 1 В есть потен­циал такой точки поля, в которой заряд в 1 Кл обладает потенциальной энергией 1 Дж (1 В = 1 Дж/Кл).

В случае электростатического поля потенциальная энергия служит мерой взаимодействия зарядов. Пусть в пространстве существует система точечных зарядов Q i (i = 1, 2, ... ,n ). Энергиявзаимодействия всех n зарядов определится соотношением

где r ij - расстояние между соответствующими зарядами, а суммирование производится таким образом, чтобы взаимодействие между каждой парой зарядов учитывалось один раз.

Из этого следует, что потенциал поля системы зарядов равен алгебраической сумме потенциалов полей всех этих зарядов:

Рассматривая электрическое поле, созданное системой зарядов, следует для определения потенциала поля использовать принцип суперпозиции:

Потенциал электрического поля системы зарядов в данной точке пространства равен алгебраической сумме потенциалов электрических полей, создаваемых в данной точке пространства, каждым зарядом системы в отдельности:

6. Эквипотенциальные поверхности и их свойства. Связь между разностью потенциалов и напряжённостью электростатического поля.
Воображаемая поверхность, все точки которой имеют одинаковый потенциал, называется эквипотенциальной поверхностью. Уравнение этой поверхности

Если поле создается точечным зарядом, то его потенциал Таким образом, эквипотенциальные поверхности в данном случае - кон­центрические сферы. С другой стороны, линии напряженности в случае точечного заряда - радиальные прямые. Следовательно, линии напряженности в случае точеч­ного заряда перпендикулярны эквипотенциальным поверхностям.

Все точки эквипотенциальной поверхности имеют одинаковый потенциал, поэтому работа по перемещению заряда вдоль этой поверхности равна нулю, т. е. электростатические силы, действующие на заряд, всегда направлены по нормалям к эквипотенциальным поверхностям. Следовательно, вектор Е всегда нормален к эк­випотенциальным поверхностям, а поэтому линии вектора Е ортогональны этим повер­хностям.

Эквипотенциальных поверхностей вокруг каждого заряда и каждой системы заря­дов можно провести бесчисленное множество. Однако их обычно проводят так, чтобы разности потенциалов между любыми двумя соседними эквипотенциальными поверх­ностями были одинаковы. Тогда густота эквипотенциальных поверхностей наглядно характеризует напряженность поля в разных точках. Там, где эти поверхности рас­положены гуще, напряженность поля больше.

Итак, зная расположение линий напряженности электростатического поля, можно построить эквипотенциальные поверхности и, наоборот, по известному расположению эквипотенциальных поверхностей можно определить в каждой точке поля модуль и направление напряженности поля.

Найдем взаимосвязь между напряженностью электростатического поля, являющейся его силовой характеристикой, и потенциалом - энергетической характеристикой поля.

Работа по перемещению единичного точечного положительного заряда из одной точки поля в другую вдоль оси х при условии, что точки расположены бесконечно близко друг к другу и x 2 -x 1 = dx, равна E x dx. Та же работа равна j 1 -j 2 =dj. Приравняв оба выражения, можем записать

где символ частной производной подчеркивает, что дифференцирование производится только по х. Повторив аналогичные рассуждения для осей у и z, можем найти вектор Е :

гдеi, j, k - единичные векторы координатных осей х, у, z.

Из определения градиента следует, что

т. е. напряженность Е поля равна градиенту потенциала со знаком минус. Знак минус определяется тем, что вектор напряженности Е поля направлен в сторону убывания потенциала.

Для графического изображения распределения потенциала электростатического поля,как и в случае поля тяготения, пользуютсяэквипотенциальными поверхностями - поверхностями, во всех точках которых потенциал j имеет одно и то же значение.

Поле точечного заряда.

Пусть имеется один точечный заряд q . Это частный случай сферической симметрии. У нас есть формула: , где
– заряд внутри сферы радиусаr , но если заряд точки, то для точечного заряда
, при любомr . Понятно почему, на любом радиусе внутри сферы точка остаётся точкой. И для точечного заряда
. Это поле точечного заряда. Потенциал поля точечного заряда:
.

Поле системы точечных зарядов. Принцип суперпозиции.

Пусть мы имеем систему зарядов
, тогда напряжённость поля, создаваемая системой точечных зарядов, в любой точке равна сумме напряжённостей, создаваемых каждым из зарядов. Я мог бы сразу написать
, если бы вы свободно читали формулы. Учитесь читать формулы повествовательно. Зарядумножьте на вектор
, и разделите на модуль этого вектора, а что такое модуль вектора это длина. Эта вся штука даёт вектор, направленный вдоль вектора
.

То, что поля складываются это совершенно не очевидно. Это следствие линейности уравнений Максвелла. Уравнения линейны по . Это означает, что, если вы нашли два решения, то они складываются. Бывают ли поля, для которых не выполняется принцип суперпозиции? Бывают. Гравитационное поле не в ньютоновской теории, а в правильной, не удовлетворяет принципу суперпозиции. Земля создаёт в некоторой точке определённую напряжённость. Луна тоже. Поставили Землю и Луну, напряжённость в точке не равна сумме напряжённостей. Уравнение поля не линейно, физически это означат, что гравитационное поле является само себе источником. Так. Всё, конец.

В прошлый раз мы остановились на обсуждении поля, создаваемом системой зарядов. И мы видели, что поля, создаваемые каждым зарядом в отдельности в данной точке, складываются. При этом я подчеркнул, что это не самая очевидная вещь, - это свойство электромагнитного взаимодействия. Физически оно связано с тем, что поле само для себя не является источником, формально это следствие того, что уравнения линейны. Есть примеры физических полей, которые сами для себя являются источником. То есть, если в каком-то объёме это поле есть, так оно создаёт само поле в окружающем пространстве, формально это проявляется в том, что уравнения не линейны. Я там написал формулу для напряжённости
, напишем ещё формулу для потенциала.

Потенциал системы точечных зарядов.

Имеется система зарядов
и т.д. И тогда для некоторой точкимы напишем такую формулу:
. Значит, вот такой рецепт для потенциала. Напряжённость равна сумме напряжённостей, потенциал равен сумме потенциалов.

Замечание. Практически всегда удобнее вычислять потенциал, а не напряжённость, по понятным причинам: напряжённость – это вектор, и векторы надо складывать по правилу сложения векторов, ну, правилу параллелограмма, это занятие, конечно, более скучное, чем складывать числа, потенциал – это скалярная величина. Поэтому, практически всегда, когда мы имеем достаточно плотное распределение заряда, ищем потенциал, напряжённость поля потом находим по формуле:
. 1)

Поле, создаваемое произвольным ограниченным распределением заряда 1).

Ну, что тут означает эпитет «ограниченный»? То, что заряд локализован в конечной области пространства, то есть мы можем охватить этот заряд замкнутой поверхностью такой, что вне этой поверхности заряда нет. Понятно, что с точки зрения физики это не ограничение, ну, и, действительно, мы имеем дело практически всегда только с ограниченными распределениями, нет такой ситуации, чтобы заряд был размазан по всей вселенной, он концентрируется в определённых областях.

В

от такая проблема: областьзанята зарядом, по этой области размазан электрический заряд, мы должны полностью охарактеризовать этот заряд и найти создаваемое им поле. Что значит полностью охарактеризовать распределение заряда? Возьмём элемент объёма
, положение этого элемента задаётся радиус-вектором, в этом элементе сидит заряд
. Для того, чтобы найти поле, нам нужно знать заряд каждого элемента объёма, это означает, что нам нужно знать плотность заряда в каждой точке. Вот эта функция
предъявлена, она для нашей цели исчерпывающе характеризует распределение заряда, больше ничего знать не надо.

Пусть нас интересует поле в точке . А дальше принцип суперпозиции. Мы можем считать зарядdq , который сидит в этом элементе объёма, точечным 2). Мы можем написать сразу выражение для потенциала, который создаёт этот элемент в этой точке:
, это потенциал, создаваемый элементом в точке. А теперь понятно, что полный потенциал в этой точке мы найдём суммированием по всем элементам. Ну, и напишем эту сумму как интеграл:
. 3)

Этот рецепт срабатывает железно для любого предъявленного распределения заряда, никаких проблем, кроме вычисления интеграла, нет, но компьютер такую сумму посчитает. Напряжённость поля находится:
. Когда интеграл вычислен, то напряжённость находится просто дифференцированием.

Столь же интересно и не менее важно поле диполя, возникающее при других обстоятельствах. Пусть у нас есть тело со сложным распределением заряда, скажем, как у молекулы.воды (см. фиг. 6.2), а нас интересует только поле вдали от него. Мы покажем, что можно получить сравнительно простое выражение для полей, пригодное для расстояний, много больших, чем размеры тела.

Мы можем смотреть на это тело, как на скопление точечных зарядов q ¡ в некоторой ограниченной области (фиг. 6.7). (Позже, если понадобится, мы q ¡ заменим на ρdV .) Пускай заряд q ¡ удален от начала координат, выбранного где-то внутри группы зарядов, на расстояние d ¡ . Чему равен потенциал в точке Р, расположенной где-то на отлете, на расстоянии R, много большем, чем самое большое из d ¡ ? Потенциал всего нашего скопления выражается формулой

где r ¡ — расстояние от Р до заряда q ¡ (длина вектора R-d ¡). Если расстояние от зарядов до Р (до точки наблюдения) чрезвычайно велико, то каждое из r ¡ можно принять за R . Каждый член в сумме станет равным q ¡ /R , и 1/R можно будет вынести из-под знака суммы. Получится простой результат

где Q — суммарный заряд тела. Таким образом, мы убедились, что из точек, достаточно удаленных от скопления зарядов, оно кажется просто точечным зарядом. Этот результат в общем не очень удивителен.

Но что, если положительных и отрицательных зарядов в группе окажется поровну? Суммарный заряд Q тогда будет равен нулю. Это не такой уж редкий случай; мы знаем, что большинство тел нейтрально. Нейтральна молекула воды, но заряды в ней размещаются отнюдь не в одной точке, так что, приблизившись вплотную, мы должны будем заметить какие-то признаки того, что заряды разделены. Для потенциала произвольного распределения зарядов в нейтральном теле мы нуждаемся в приближении, лучшем, чем даваемое формулой (6.22). Уравнение (6.21) по-прежнему годится, но полагать r ¡ = R больше нельзя. Для r ¡ нужно выражение поточнее. В хорошем приближении r ¡ можно считать отличающимся от R (если точка Р сильно удалена) на проекцию вектора d на вектор R (см. фиг. 6.7, но вы должны только представлять себе, что Р намного дальше, чем показано). Иными словами, если е r — единичный вектор в направлении R, то за следующее приближение к r ¡ нужно принять

Но нам ведь нужно не r ¡ а 1/r ¡ ; оно в нашем приближении (с учетом d¡«R) равно

Подставив это в (6.21), мы увидим, что потенциал равен

Многоточие указывает члены высшего порядка по d / R , которыми мы пренебрегли. Как и те члены, которые мы выписали, это последующие члены разложения 1/ r ¡ в ряд Тэйлора в окрестности 1/R по степеням d ¡ / R .

Первый член в (6.25) мы уже получили; в нейтральных телах он пропадает. Второй член, как и у диполя, зависит от 1/R 2 . Действительно, если мы определим

как величину, описывающую распределения зарядов, то второй член потенциала (6.25) обратится в

т. е. как раз в диполъный потенциал. Величина р называется диполъным моментом распределения. Это обобщение нашего прежнего определения; оно сводится к нему в частном случав точечных зарядов.

В итоге мы выяснили, что достаточно далеко от любого набора зарядов потенциал оказывается дипольным, лишь бы этот набор был в целом нейтральным. Он убывает, как 1/ R 3 , и меняется, как cos θ, а величина его зависит от дипольного момента распределения зарядов. Именно по этой причине поля диполей и важны; сами же по себе пары точечных зарядов встречаются крайне редко.

У молекулы воды, например, дипольный момент довольно велик. Электрическое поле, создаваемое этим моментом, ответственно за некоторые важные свойства воды. А у многих молекул, скажем у СО 2 , дипольный момент исчезает благодаря их симметрии. Для таких молекул разложение нужно проводить еще точнее, до следующих членов потенциала, убывающих как 1/ R 3 и называемых квадрупольным потенциалом. Эти случаи мы рассмотрим позже.