Filtrado de señal adaptativo. Filtrado adaptativo. ¿Cuál es la diferencia entre el algoritmo propuesto y el conocido?

Las ecuaciones en matemáticas son tan importantes como los verbos en ruso. Sin la capacidad de encontrar la raíz de una ecuación, es difícil decir que el estudiante domina el curso de álgebra. Además, cada tipo tiene sus propias soluciones especiales.

¿Qué es?

Una ecuación son dos expresiones arbitrarias que contienen variables, entre las cuales se coloca un signo igual. Además, el número de cantidades desconocidas puede ser arbitrario. La cantidad mínima es una.

Resolverlo significa averiguar si existe una raíz de la ecuación. Es decir, el número que la convierte en una verdadera igualdad. Si no hay ninguna, entonces la respuesta es la afirmación de que “no hay raíces”. Pero lo contrario también puede ser cierto, cuando la respuesta es un conjunto de números.

¿Qué tipos de ecuaciones existen?

Lineal. Contiene una variable cuyo grado es igual a uno.

• Cuadrado. La variable tiene una potencia de 2, o las transformaciones dan como resultado la aparición de dicha potencia.
• Ecuación de mayor grado.
• Racional-fraccional. Cuando una variable aparece en el denominador de una fracción.
• Con módulo.
• Irracional. Es decir, aquel que contiene una raíz algebraica.

¿Cómo resolver una ecuación lineal?

Es básico. Esta es la apariencia que todos los demás se esfuerzan por lograr. Ya que es bastante fácil encontrar la raíz de la ecuación.

• Primero es necesario realizar posibles transformaciones, es decir, abrir los corchetes y traer términos similares.
• Mover todos los monomios de variable al lado izquierdo de la igualdad, dejando términos libres al lado derecho.
• Da términos similares en cada parte de la ecuación que se está resolviendo.
• En la igualdad resultante, la mitad izquierda contendrá el producto del coeficiente y la variable, y la mitad derecha contendrá el número.
• Queda por encontrar la raíz de la ecuación dividiendo el número de la derecha por el coeficiente delante de la incógnita.

¿Cómo encontrar las raíces de una ecuación cuadrática?

Primero debe ser llevado a vista estándar, es decir, abrir todos los corchetes, traer términos similares y mover todos los monomios al lado izquierdo. Sólo debería quedar cero en el lado derecho de la igualdad.

• Utilice la fórmula discriminante. Eleva al cuadrado el coeficiente de la incógnita con la potencia “1”. Multiplica el monomio libre y el número delante de la variable al cuadrado con el número 4. Resta el producto del cuadrado resultante.
• Estima el valor del discriminante. Es negativo: la solución es completa porque no tiene raíces. Igual a cero: la respuesta será un número. Positivo: la variable tiene dos valores.

¿Cómo resolver una ecuación cúbica?

Primero encuentra la raíz de la ecuación x. Se determina seleccionando números que sean divisores del término libre. Es conveniente considerar este método en ejemplo específico. Sea la ecuación: x 3 - 3x 2 - 4x + 12 = 0.

Su término ficticio es 12. Entonces los divisores que deben verificarse son positivos y números negativos: 1, 2, 3, 4, 6 y 12. La búsqueda ya se puede completar en el número 2. Da la igualdad correcta en la ecuación. Es decir, su lado izquierdo resulta ser cero. entonces el numero 2 es el primero raíz cúbica ecuaciones

Ahora necesitas dividir la ecuación original por la diferencia de la variable y la primera raíz. En el ejemplo específico es (x - 2). Una simple transformación lleva al numerador a la siguiente factorización: (x - 2)(x + 2)(x - 3). Los mismos factores del numerador y denominador se cancelan, y los dos paréntesis restantes, cuando se abren, dan una simple ecuación cuadrática: x 2 - x - 6 = 0.

Aquí, encuentra las dos raíces de la ecuación usando el principio descrito en la sección anterior. Resultan ser números: 3 y -2.

En total, una ecuación cúbica particular tiene tres raíces: 2, -2 y 3.

Cómo se resuelven los sistemas ecuaciones lineales?

Aquí se propone un método para eliminar incógnitas. Consiste en expresar una incógnita en términos de otra en una ecuación y sustituir esta expresión en otra. Además, la solución de un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas es siempre un par de variables.

Si las variables en ellos se designan con las letras x 1 y x 2, entonces es posible derivar, por ejemplo, x 2 de la primera igualdad. Luego se sustituye por el segundo. Realizado transformación necesaria: abriendo paréntesis y trayendo términos similares. El resultado es una ecuación lineal simple, cuya raíz es fácil de calcular.

Ahora regresa a la primera ecuación y encuentra la raíz de la ecuación x 2 usando la ecuación resultante. Estos dos números son la respuesta.

Para estar seguro de la respuesta recibida se recomienda comprobar siempre. No es necesario que esté escrito.

Si se resuelve una ecuación, entonces cada una de sus raíces debe sustituirse en la igualdad original y obtener los mismos números en ambos lados. Todo salió bien: la decisión fue correcta.

Al trabajar con el sistema, se deben insertar raíces en cada solución y todas posibles acciones. ¿Es correcta la ecuación? Entonces la decisión es correcta.

Un sistema de ecuaciones lineales es una unión de n ecuaciones lineales, cada una de las cuales contiene k variables. Está escrito así:

Muchos, cuando se encuentran por primera vez con el álgebra superior, creen erróneamente que el número de ecuaciones debe coincidir necesariamente con el número de variables. En álgebra escolar esto suele suceder, pero en álgebra superior, en general, no es cierto.

La solución de un sistema de ecuaciones es una secuencia de números (k 1, k 2, ..., k n), que es la solución de cada ecuación del sistema, es decir al sustituir en esta ecuación en lugar de las variables x 1, x 2, ..., x n da la igualdad numérica correcta.

En consecuencia, resolver un sistema de ecuaciones significa encontrar el conjunto de todas sus soluciones o demostrar que este conjunto está vacío. Dado que el número de ecuaciones y el número de incógnitas pueden no coincidir, son posibles tres casos:

1. El sistema es inconsistente, es decir. el conjunto de todas las soluciones está vacío. Un caso bastante raro que se detecta fácilmente sin importar el método que se utilice para solucionar el sistema.
2. El sistema es consistente y determinado, es decir. tiene exactamente una solución. Versión clásica, muy conocido desde la época escolar.
3. El sistema es consistente e indefinido, es decir tiene infinitas soluciones. Esto es lo mas opción difícil. No basta con indicar que “el sistema tiene un conjunto infinito de soluciones”; es necesario describir cómo está estructurado este conjunto.

Una variable x i se considera permitida si está incluida en una sola ecuación del sistema y con un coeficiente de 1. En otras palabras, en otras ecuaciones el coeficiente de la variable x i debe ser igual a cero.

Si seleccionamos una variable permitida en cada ecuación, obtenemos un conjunto de variables permitidas para todo el sistema de ecuaciones. El sistema en sí, escrito de esta forma, también se denominará resuelto. En general, un mismo sistema original puede reducirse a diferentes permitidos, pero por ahora esto no nos preocupa. A continuación se muestran ejemplos de sistemas permitidos:

Ambos sistemas se resuelven respecto de las variables x 1 , x 3 y x 4 . Sin embargo, con el mismo éxito se puede argumentar que el segundo sistema se resuelve con respecto a x 1, x 3 y x 5. Basta con reescribir la última ecuación en la forma x 5 = x 4.

Ahora veamos más caso general. Tengamos k variables en total, de las cuales r están permitidas. Entonces son posibles dos casos:

1. El número de variables permitidas r es igual al número total de variables k: r = k. Obtenemos un sistema de k ecuaciones en el que r = k variables permitidas. Tal sistema es conjunto y definido, porque x 1 = segundo 1, x 2 = segundo 2, ..., x k = segundo k;
2. El número de variables permitidas r es menor que el número total de variables k: r< k . Остальные (k − r ) переменных называются свободными - они могут принимать любые значения, из которых легко вычисляются разрешенные переменные.

Entonces, en los sistemas anteriores, las variables x 2, x 5, x 6 (para el primer sistema) y x 2, x 5 (para el segundo) son libres. El caso en el que hay variables libres se formula mejor como un teorema:

Tenga en cuenta: esto es muy punto importante! Dependiendo de cómo escriba el sistema resultante, la misma variable puede estar permitida o libre. La mayoría de los profesores de matemáticas superiores recomiendan escribir las variables en orden lexicográfico, es decir, índice ascendente. Sin embargo, usted no tiene ninguna obligación de seguir este consejo.

Teorema. Si en un sistema de n ecuaciones las variables x 1, x 2, ..., x r están permitidas, y x r + 1, x r + 2, ..., x k son libres, entonces:

1. Si establecemos los valores de las variables libres (x r + 1 = t r + 1, x r + 2 = t r + 2, ..., x k = t k), y luego encontramos los valores x 1, x 2, ..., x r, obtenemos una de decisiones.
2. Si en dos soluciones coinciden los valores de las variables libres, entonces también coinciden los valores de las variables permitidas, es decir las soluciones son iguales.

¿Cuál es el significado de este teorema? Para obtener todas las soluciones de un sistema de ecuaciones resuelto, basta con aislar las variables libres. Luego, asignando a variables libres diferentes significados, recibiremos soluciones listas para usar. Eso es todo: de esta manera podrá obtener todas las soluciones del sistema. No hay otras soluciones.

Conclusión: el sistema de ecuaciones resuelto es siempre consistente. Si el número de ecuaciones en un sistema resuelto es igual al número de variables, el sistema será definido; si es menor, será indefinido.

Y todo estaría bien, pero surge la pregunta: ¿cómo sistema original¿Se resuelven las ecuaciones? Para esto hay

Una ecuación lineal es una ecuación algebraica cuyo grado total de polinomios es igual a uno. Resolver ecuaciones lineales - parte plan de estudios escolar, y no el más difícil. Sin embargo, algunos todavía tienen dificultades para completar este tema. Esperamos después de leer. este material, todas las dificultades para usted serán cosa del pasado. Entonces, averigüémoslo. cómo resolver ecuaciones lineales.

Vista general

La ecuación lineal se representa como:

• ax + b = 0, donde a y b son números cualesquiera.

Aunque a y b pueden ser cualquier número, sus valores afectan el número de soluciones de la ecuación. Hay varios casos especiales de solución:

• Si a=b=0, la ecuación tiene un número infinito de soluciones;
• Si a=0, b≠0, la ecuación no tiene solución;
• Si a≠0, b=0, la ecuación tiene solución: x = 0.

En el caso de que ambos números no tengan valores cero, la ecuación debe resolverse para derivar la expresión final de la variable.

¿Cómo decidir?

Resolver una ecuación lineal significa encontrar a qué es igual la variable. ¿Cómo hacer esto? Sí, es muy sencillo: utilizar operaciones algebraicas sencillas y seguir las reglas de transferencia. Si la ecuación aparece frente a ti en forma general, estás de suerte; todo lo que necesitas hacer es:

1. Mover b a lado derecho ecuaciones, sin olvidar cambiar el signo (¡regla de transferencia!), así, de una expresión de la forma ax + b = 0, se debe obtener una expresión de la forma: ax = -b.
2. Aplique la regla: para encontrar uno de los factores (x - en nuestro caso), debe dividir el producto (-b en nuestro caso) por otro factor (a - en nuestro caso). Por lo tanto, debería obtener una expresión de la forma: x = -b/a.

Eso es todo: ¡se ha encontrado una solución!

Ahora veamos un ejemplo específico:

1. 2x + 4 = 0 - mover b igual a en este caso 4, a la derecha
2. 2x = -4 - divide b entre a (no te olvides del signo menos)
3. x = -4/2 = -2

¡Eso es todo! Nuestra solución: x = -2.

Como puedes ver, la solución a una ecuación lineal con una variable es bastante sencilla de encontrar, pero todo es tan sencillo si tenemos la suerte de encontrarnos con la ecuación en su forma general. En la mayoría de los casos, antes de resolver la ecuación en los dos pasos descritos anteriormente, también es necesario reducir la expresión existente a apariencia general. Sin embargo, esta tampoco es una tarea extremadamente difícil. Veamos algunos casos especiales usando ejemplos.

Resolver casos especiales

Primero, veamos los casos que describimos al principio del artículo y expliquemos qué significa tener un número infinito de soluciones y ninguna solución.

• Si a=b=0, la ecuación quedará así: 0x + 0 = 0. Realizando el primer paso, obtenemos: 0x = 0. ¡Qué significa esta tontería, exclamas! Después de todo, no importa qué número multipliques por cero, ¡siempre obtendrás cero! ¡Bien! Por eso dicen que la ecuación tiene un número infinito de soluciones: no importa qué número tomes, la igualdad será verdadera, 0x = 0 o 0 = 0.
• Si a=0, b≠0, la ecuación se verá así: 0x + 3 = 0. Realiza el primer paso, obtenemos 0x = -3. ¡Tonterías otra vez! ¡Es obvio que esta igualdad nunca será cierta! Por eso dicen que la ecuación no tiene soluciones.
• Si a≠0, b=0, la ecuación quedará así: 3x + 0 = 0. Realizando el primer paso obtenemos: 3x = 0. ¿Cuál es la solución? Es fácil, x = 0.

Perdido en la traducción

Los casos especiales descritos no son todo lo que nos pueden sorprender las ecuaciones lineales. A veces la ecuación es difícil de identificar a primera vista. Veamos un ejemplo:

• 12x - 14 = 2x + 6

¿Es esta una ecuación lineal? ¿Qué pasa con el cero del lado derecho? No nos apresuremos a sacar conclusiones, actuemos: transfiramos todos los componentes de nuestra ecuación a lado izquierdo. Obtenemos:

• 12x - 2x - 14 - 6 = 0

Ahora restamos me gusta de me gusta, obtenemos:

• 10x - 20 = 0

¿Lo descubriste? ¡La ecuación más lineal jamás creada! cuya solución es: x = 20/10 = 2.

¿Y si tenemos este ejemplo?

• 12((x + 2)/3) + x) = 12 (1 - 3x/4)

Sí, esta también es una ecuación lineal, solo que es necesario realizar más transformaciones. Primero, abramos los corchetes:

1. (12(x+2)/3) + 12x = 12 - 36x/4
2. 4(x+2) + 12x = 12 - 36x/4
3. 4x + 8 + 12x = 12 - 9x - ahora realizamos la transferencia:
4. 25x - 4 = 0 - queda por encontrar una solución utilizando el esquema ya conocido:
5. 25x = 4,
6. x = 4/25 = 0,16

Como ves, todo se puede solucionar, lo principal es no preocuparse, sino actuar. Recuerde, si su ecuación contiene solo variables de primer grado y números, tiene una ecuación lineal que, sin importar cómo se vea inicialmente, se puede reducir a una forma general y resolver. ¡Esperamos que todo te salga bien! ¡Buena suerte!

En este video analizaremos un conjunto completo de ecuaciones lineales que se resuelven usando el mismo algoritmo; por eso se les llama los más simples.

Primero, definamos: ¿qué es una ecuación lineal y cuál se llama la más simple?

Una ecuación lineal es aquella en la que sólo hay una variable, y sólo de primer grado.

La ecuación más simple significa la construcción:

Todas las demás ecuaciones lineales se reducen a las más simples mediante el algoritmo:

1. Amplíe los paréntesis, si los hubiera;
2. Mover los términos que contienen una variable a un lado del signo igual y los términos sin variable al otro;
3. Dé términos similares a la izquierda y a la derecha del signo igual;
4. Divide la ecuación resultante por el coeficiente de la variable $x$.

Por supuesto, este algoritmo no siempre ayuda. El hecho es que a veces después de todas estas maquinaciones el coeficiente de la variable $x$ resulta ser igual a cero. En este caso, son posibles dos opciones:

1. La ecuación no tiene ninguna solución. Por ejemplo, cuando resulta algo como $0\cdot x=8$, es decir a la izquierda está el cero y a la derecha un número distinto de cero. En el vídeo a continuación veremos varias razones por las que esta situación es posible.
2. La solución son todos los números. El único caso en el que esto es posible es cuando la ecuación se ha reducido a la construcción $0\cdot x=0$. Es bastante lógico que no importa qué $x$ sustituyamos, seguirá resultando “cero es igual a cero”, es decir igualdad numérica correcta.

Ahora veamos cómo funciona todo esto usando ejemplos de la vida real.

Ejemplos de resolución de ecuaciones.

Hoy nos ocupamos de ecuaciones lineales, y solo de las más simples. En general, una ecuación lineal significa cualquier igualdad que contenga exactamente una variable y llegue solo al primer grado.

Estas construcciones se resuelven aproximadamente de la misma forma:

1. En primer lugar, debe ampliar los paréntesis, si los hay (como en nuestro último ejemplo);
2. Luego combine similares
3. Finalmente, aísle la variable, es decir mueva todo lo relacionado con la variable (los términos en los que está contenida) a un lado, y mueva todo lo que quede sin ella al otro lado.

Luego, como regla general, es necesario traer iguales a cada lado de la igualdad resultante, y luego solo queda dividir por el coeficiente "x", y obtendremos la respuesta final.

En teoría, esto parece hermoso y simple, pero en la práctica, incluso los estudiantes de secundaria experimentados pueden cometer errores ofensivos en situaciones bastante simples. ecuaciones lineales. Por lo general, se cometen errores al abrir los corchetes o al calcular los "más" y los "menos".

Además, sucede que una ecuación lineal no tiene solución alguna, o que la solución es la recta numérica entera, es decir cualquier número. Consideraremos estas sutilezas en la lección de hoy. Pero comenzaremos, como ya entendiste, con el mismo tareas simples.

Esquema para resolver ecuaciones lineales simples.

Primero, permítanme escribir una vez más el esquema completo para resolver las ecuaciones lineales más simples:

1. Amplíe los corchetes, si los hay.
2. Aislamos las variables, es decir Movemos todo lo que contiene “X” a un lado y todo lo que no tiene “X” al otro.
3. Presentamos términos similares.
4. Dividimos todo por el coeficiente de “x”.

Por supuesto, este esquema no siempre funciona; ciertas sutilezas y trucos, y ahora los conoceremos.

Resolver ejemplos reales de ecuaciones lineales simples.

Tarea número 1

El primer paso requiere que abramos los corchetes. Pero no están en este ejemplo, así que los omitimos. esta etapa. En el segundo paso necesitamos aislar las variables. Tenga en cuenta: estamos hablando de sólo sobre términos individuales. Anotémoslo:

Presentamos términos similares a izquierda y derecha, pero esto ya se ha hecho aquí. Por tanto, pasamos al cuarto paso: dividir por el coeficiente:

\[\frac(6x)(6)=-\frac(72)(6)\]

Entonces obtuvimos la respuesta.

Tarea número 2

Podemos ver los paréntesis en este problema, así que ampliémoslos:

Tanto a la izquierda como a la derecha vemos aproximadamente el mismo diseño, pero actuemos según el algoritmo, es decir. separando las variables:

Aquí hay algunos similares:

¿En qué raíces funciona esto? Respuesta: para cualquiera. Por lo tanto, podemos escribir que $x$ es cualquier número.

Tarea número 3

La tercera ecuación lineal es más interesante:

\[\left(6-x \right)+\left(12+x \right)-\left(3-2x \right)=15\]

Aquí hay varios paréntesis, pero no se multiplican por nada, simplemente van precedidos de signos diferentes. Vamos a desglosarlos:

Realizamos el segundo paso que ya conocemos:

\[-x+x+2x=15-6-12+3\]

Hagamos los cálculos:

realizamos último paso— dividir todo por el coeficiente de “x”:

\[\frac(2x)(x)=\frac(0)(2)\]

Cosas para recordar al resolver ecuaciones lineales

Si ignoramos tareas demasiado simples, me gustaría decir lo siguiente:

• Como dije anteriormente, no todas las ecuaciones lineales tienen solución; a veces simplemente no hay raíces;
• Incluso si hay raíces, puede que no haya ninguna entre ellas; eso no tiene nada de malo.

El cero es el mismo número que los demás; no debes discriminarlo de ninguna manera ni asumir que si obtienes cero, entonces hiciste algo mal.

Otra característica está relacionada con la apertura de corchetes. Tenga en cuenta: cuando hay un "menos" delante de ellos, lo eliminamos, pero entre paréntesis cambiamos los signos a opuesto. Y luego podemos abrirlo usando algoritmos estándar: obtendremos lo que vimos en los cálculos anteriores.

Comprender este simple hecho te ayudará a evitar cometer errores estúpidos e hirientes en la escuela secundaria, cuando hacer esas cosas se da por sentado.

Resolver ecuaciones lineales complejas

Pasemos a ecuaciones más complejas. Ahora las construcciones se volverán más complejas y al realizar diversas transformaciones aparecerá una función cuadrática. Sin embargo, esto no debe tener miedo, porque si, según el plan del autor, resolvemos una ecuación lineal, durante el proceso de transformación todos los monomios que contienen una función cuadrática necesariamente se cancelarán.

Ejemplo No. 1

Evidentemente, el primer paso es abrir los corchetes. Hagamos esto con mucho cuidado:

Ahora echemos un vistazo a la privacidad:

\[-x+6((x)^(2))-6((x)^(2))+x=-12\]

Aquí hay algunos similares:

Obviamente, esta ecuación no tiene soluciones, así que escribiremos esto en la respuesta:

\[\varnada\]

o no hay raíces.

Ejemplo No. 2

Realizamos las mismas acciones. Primer paso:

Movamos todo con una variable hacia la izquierda y sin ella, hacia la derecha:

Aquí hay algunos similares:

Obviamente, esta ecuación lineal no tiene solución, así que la escribiremos de esta manera:

\[\varnada\],

o no hay raíces.

Matices de la solución.

Ambas ecuaciones están completamente resueltas. Usando estas dos expresiones como ejemplo, una vez más nos convencimos de que incluso en las ecuaciones lineales más simples, todo puede no ser tan simple: puede haber una, ninguna o infinitas raíces. En nuestro caso, consideramos dos ecuaciones, las cuales simplemente no tienen raíces.

Pero me gustaría llamar su atención sobre otro hecho: cómo trabajar con paréntesis y cómo abrirlos si delante de ellos hay un signo menos. Considere esta expresión:

Antes de abrir, debes multiplicar todo por “X”. Tenga en cuenta: se multiplica cada término individual. En el interior hay dos términos, respectivamente, dos términos y multiplicados.

Y solo después de que se hayan completado estas transformaciones aparentemente elementales, pero muy importantes y peligrosas, se puede abrir el corchete desde el punto de vista del hecho de que detrás de él hay un signo menos. Sí, sí: solo ahora, cuando se completan las transformaciones, recordamos que delante de los corchetes hay un signo menos, lo que significa que todo lo que está debajo simplemente cambia de signo. Al mismo tiempo, los corchetes desaparecen y, lo más importante, también desaparece el "menos" frontal.

Hacemos lo mismo con la segunda ecuación:

No es casualidad que preste atención a estos pequeños hechos aparentemente insignificantes. Porque resolver ecuaciones es siempre una secuencia. transformaciones elementales, donde la incapacidad de realizar de forma clara y competente pasos simples lleva al hecho de que los estudiantes de secundaria vienen a mí y nuevamente aprenden a resolver ecuaciones tan simples.

Por supuesto, llegará el día en que perfeccionarás estas habilidades hasta el punto de la automaticidad. Ya no tendrás que realizar tantas transformaciones cada vez; escribirás todo en una sola línea. Pero mientras recién estás aprendiendo, debes escribir cada acción por separado.

Resolver ecuaciones lineales aún más complejas

Lo que vamos a resolver ahora difícilmente puede considerarse la tarea más sencilla, pero el significado sigue siendo el mismo.

Tarea número 1

\[\left(7x+1 \right)\left(3x-1 \right)-21((x)^(2))=3\]

Multipliquemos todos los elementos de la primera parte:

Hagamos algo de privacidad:

Aquí hay algunos similares:

Completemos el último paso:

\[\frac(-4x)(4)=\frac(4)(-4)\]

Aquí está nuestra respuesta final. Y, a pesar de que en el proceso de resolución teníamos coeficientes con función cuadrática, se cancelaron entre sí, lo que hace que la ecuación sea lineal y no cuadrática.

Tarea número 2

\[\left(1-4x \right)\left(1-3x \right)=6x\left(2x-1 \right)\]

Realicemos con cuidado el primer paso: multiplique cada elemento del primer paréntesis por cada elemento del segundo. Después de las transformaciones se deberían obtener un total de cuatro nuevos términos:

Ahora realicemos cuidadosamente la multiplicación en cada término:

Movamos los términos con "X" hacia la izquierda y los que no la tienen, hacia la derecha:

\[-3x-4x+12((x)^(2))-12((x)^(2))+6x=-1\]

Aquí hay términos similares:

Una vez más hemos recibido la respuesta final.

Matices de la solución.

La nota más importante sobre estas dos ecuaciones es la siguiente: en cuanto comenzamos a multiplicar paréntesis que contienen más de un término, esto se hace según la siguiente regla: tomamos el primer término del primero y multiplicamos con cada elemento de el segundo; luego tomamos el segundo elemento del primero y lo multiplicamos de manera similar con cada elemento del segundo. Como resultado, tendremos cuatro términos.

Sobre la suma algebraica

Con este último ejemplo, me gustaría recordar a los estudiantes qué es una suma algebraica. En matemáticas clásicas, por $1-7$ nos referimos a una construcción simple: restar siete a uno. En álgebra nos referimos a lo siguiente: al número "uno" le sumamos otro número, es decir, "menos siete". Ésta es la diferencia entre una suma algebraica y una suma aritmética ordinaria.

Tan pronto como, al realizar todas las transformaciones, cada suma y multiplicación, comiences a ver construcciones similares a las descritas anteriormente, simplemente no tendrás ningún problema en álgebra cuando trabajes con polinomios y ecuaciones.

Finalmente, veamos un par de ejemplos más que serán aún más complejos que los que acabamos de ver, y para resolverlos tendremos que expandir ligeramente nuestro algoritmo estándar.

Resolver ecuaciones con fracciones

Para resolver tales tareas, tendremos que agregar un paso más a nuestro algoritmo. Pero primero, déjame recordarte nuestro algoritmo:

1. Abre los corchetes.
2. Variables separadas.
3. Trae unos similares.
4. Dividir por la proporción.

Por desgracia, este maravilloso algoritmo, a pesar de su eficacia, resulta no del todo apropiado cuando tenemos fracciones frente a nosotros. Y en lo que veremos a continuación, tenemos una fracción tanto a la izquierda como a la derecha en ambas ecuaciones.

¿Cómo trabajar en este caso? ¡Sí, es muy sencillo! Para hacer esto, debe agregar un paso más al algoritmo, que se puede realizar tanto antes como después de la primera acción, es decir, deshacerse de las fracciones. Entonces el algoritmo será el siguiente:

1. Deshazte de las fracciones.
2. Abre los corchetes.
3. Variables separadas.
4. Trae unos similares.
5. Dividir por la proporción.

¿Qué significa "deshacerse de las fracciones"? ¿Y por qué se puede hacer esto antes y después del primer paso estándar? De hecho, en nuestro caso, todas las fracciones son numéricas en su denominador, es decir En todas partes el denominador es sólo un número. Por tanto, si multiplicamos ambos lados de la ecuación por este número, nos libraremos de las fracciones.

Ejemplo No. 1

\[\frac(\left(2x+1 \right)\left(2x-3 \right))(4)=((x)^(2))-1\]

Eliminemos las fracciones en esta ecuación:

\[\frac(\left(2x+1 \right)\left(2x-3 \right)\cdot 4)(4)=\left(((x)^(2))-1 \right)\cdot 4\]

Tenga en cuenta: todo se multiplica por “cuatro” una vez, es decir Sólo porque tengas dos paréntesis no significa que tengas que multiplicar cada uno por "cuatro". Anotemos:

\[\left(2x+1 \right)\left(2x-3 \right)=\left(((x)^(2))-1 \right)\cdot 4\]

Ahora ampliemos:

Aislamos la variable:

Realizamos la reducción de términos similares:

\[-4x=-1\izquierda| :\izquierda(-4 \derecha) \derecha.\]

\[\frac(-4x)(-4)=\frac(-1)(-4)\]

Hemos recibido la solución final, pasemos a la segunda ecuación.

Ejemplo No. 2

\[\frac(\left(1-x \right)\left(1+5x \right))(5)+((x)^(2))=1\]

Aquí realizamos las mismas acciones:

\[\frac(\left(1-x \right)\left(1+5x \right)\cdot 5)(5)+((x)^(2))\cdot 5=5\]

\[\frac(4x)(4)=\frac(4)(4)\]

El problema está resuelto.

Eso, de hecho, es todo lo que quería contarles hoy.

Puntos clave

Los hallazgos clave son:

• Conoce el algoritmo para la resolución de ecuaciones lineales.
• Posibilidad de abrir corchetes.
• No te preocupes si ves funciones cuadráticas Lo más probable es que en el proceso de futuras transformaciones disminuyan.
• Hay tres tipos de raíces en las ecuaciones lineales, incluso las más simples: una sola raíz, toda la recta numérica es una raíz y ninguna raíz.

Espero que esta lección te ayude a dominar un tema simple pero muy importante para una mayor comprensión de todas las matemáticas. Si algo no te queda claro, accede al sitio y resuelve los ejemplos allí presentados. ¡Estad atentos que os esperan muchas más cosas interesantes!