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Optimización del corte de piezas lineales. Corte óptimo. Problema de corte de material

ivanov iván

Al finalizar el tema de métodos numéricos, los estudiantes ya saben trabajar con hojas de cálculo y escribir programas en Pascal. El trabajo es de carácter combinado Diseñado para 40 minutos. El propósito del trabajo es repetir y consolidar las habilidades de trabajar con programas EXCEL, ABCPascal. El material contiene 2 archivos. Uno contiene material teórico, pues es el que se ofrece al estudiante. En el segundo archivo hay un ejemplo del trabajo de Iván, alumno de Ivanov.

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Resolver ecuaciones

Solución analítica de algunas ecuaciones que contienen, por ejemplo funciones trigonométricas sólo se puede obtener para casos especiales aislados. Por ejemplo, no hay manera de resolver analíticamente ni siquiera una ecuación tan simple como cos x=x

Los métodos numéricos permiten encontrar un valor aproximado de la raíz con cualquier precisión determinada.

El hallazgo aproximado suele constar de dos etapas:

1) separación de raíces, es decir establecer intervalos posiblemente precisos que contengan sólo una raíz de la ecuación;

2) aclaración de raíces aproximadas, es decir llevándolos a un determinado grado de precisión.

Consideraremos soluciones a ecuaciones de la forma f(x)=0. Función f(x)definido y continuo en el segmento[a.b]. Valor x 0 se llama raíz de la ecuación si f(x 0 )=0

Para separar las raíces, partiremos de las siguientes disposiciones:

Si f(a)* f(b] \a,b\ hay al menos una raíz
Si la función y = f(x) continuo en el segmento, y f(a)*f(b) y f "(x) en el intervalo (a, b) conserva el signo, luego dentro del segmento[a,b] solo hay una raíz de la ecuación

También se puede realizar gráficamente una separación aproximada de raíces. Para ello, la ecuación (1) se reemplaza por la ecuación equivalente p(x) = φ(x), donde las funciones p(x) y φ(x] más simple que la función f(x). Luego, trazando las funciones y = p(x) y y = f(x), obtenemos las raíces requeridas como las abscisas de los puntos de intersección de estas gráficas

método de dicotomía

Para aclarar la raíz, divida el segmento.[a,b] por la mitad y calcular el valor de la función f(x) en el punto x señor =(a+b)/2. Elige una de las mitades o , en cuyos extremos la función f(x) tiene signos opuestos. Continuamos el proceso de dividir el segmento por la mitad y realizamos la misma consideración hasta. longitud será menor que la precisión especificada. En el último caso, cualquier punto del segmento se puede tomar como valor aproximado de la raíz (por regla general, se toma su punto medio).El algoritmo es muy eficiente, ya que en cada turno (iteración) el intervalo de búsqueda se reduce a la mitad; por lo tanto, 10 iteraciones lo reducirán mil veces. Pueden surgir dificultades con la separación de raíces para funciones complejas.

Para determinar aproximadamente el segmento en el que se encuentra la raíz, puede utilizar un procesador de tabla construyendo una gráfica de la función.

EJEMPLO : Determinemos gráficamente la raíz de la ecuación.. Sea f1(x) = x, a y construir gráficas de estas funciones. (Cronograma). La raíz se encuentra en el intervalo de 1 a 2. Aquí aclararemos el valor de la raíz con una precisión de 0,001 (encabezado de la tabla en el tablero)

Algoritmo para la implementación de software.

a:=borde izquierdo b:=borde derecho
m:= (a+b)/2 medio
definir f(a) y f(m)
si f(a)*f(m)
si (a-b)/2>e repetir a partir del punto 2

Método de acordes

Los puntos de la gráfica de una función en los extremos del intervalo están conectados por una cuerda. El punto de intersección de la cuerda y el eje Ox (x*) se utiliza como punto de prueba. A continuación razonamos de la misma manera que en método anterior: si f(x a ) y f(x*) del mismo signo en el intervalo, el límite inferior se mueve al punto x*; de lo contrario, movemos el límite superior. A continuación dibujamos un nuevo acorde, etc.

Todo lo que queda es aclarar cómo encontrar x*. Básicamente, el problema se reduce a lo siguiente: a través de 2 puntos con coordenadas desconocidas (x 1, y 1) y (x 2, y 2 ) se traza una línea recta; encuentre el punto de intersección de esta línea y el eje Ox.

Escribamos la ecuación de una línea recta usando dos puntos:

En el punto de intersección de esta línea y el eje Ox, y=0, y x=x*, es decir

Dónde

el proceso de cálculo de valores aproximados continúa hasta dos aproximaciones sucesivas raíz x′ y x p_1 la condición abs(xn-x n-1) mi - precisión especificada

La convergencia del método es mucho mayor que el anterior.

El algoritmo difiere solo en el punto de cálculo del punto medio: la intersección de la cuerda con el eje de abscisas y las condiciones de parada (la diferencia entre dos puntos de intersección adyacentes)

Ecuaciones para decisión independiente: (nosotros mismos buscamos el segmento en Excel)

pecado(x/2)+1=x^2 (x=1,26)

x-cosx=0 (x=0,739)

x^2+4senx=0 (x=-1.933)

x=(x+1) 3 (x=-2.325)

Mientras luchan en la escuela para resolver ecuaciones en las lecciones de matemáticas, muchos estudiantes a menudo están convencidos de que están perdiendo el tiempo en vano y, sin embargo, esa habilidad será útil en la vida no solo para aquellos que decidan seguir los pasos de Descartes, Euler o Lobachevsky.

En la práctica, por ejemplo en medicina o economía, a menudo hay situaciones en las que un especialista necesita saber cuándo la concentración del principio activo de un fármaco en particular alcanzará el nivel requerido en la sangre del paciente o necesita calcular el tiempo necesario para un determinado negocio para que sea rentable.

Más a menudo estamos hablando de sobre la resolución de ecuaciones no lineales varios tipos. Los métodos numéricos permiten hacer esto lo más rápido posible, especialmente usando una computadora. Han sido bien estudiados y han demostrado desde hace mucho tiempo su eficacia. Estos incluyen el método de la tangente de Newton, que es el tema de este artículo.

Declaración del problema

EN en este caso hay una función g, que se define en el intervalo (a, b) y lo toma ciertos valores, es decir, cada x perteneciente a (a, b) puede asociarse con un número específico g(x).

Se requiere establecer todas las raíces de la ecuación a partir del intervalo entre los puntos ayb (incluidos los extremos), para lo cual la función se establece en cero. Obviamente, estos serán los puntos de intersección de y = g(x) con OX.

En algunos casos, es más conveniente reemplazar g(x)=0 por uno similar, como g 1 (x) = g 2 (x). En este caso, las abscisas (valor x) de los puntos de intersección de las gráficas g 1 (x) y g 2 (x) actúan como raíces.

Solución ecuación no lineal También es importante para problemas de optimización en los que la condición para un extremo local es que la derivada de la función sea 0. En otras palabras, dicho problema puede reducirse a encontrar las raíces de la ecuación p(x) = 0, donde p(x) es idéntica a g"(x).

Métodos de solución

Para algunos tipos de ecuaciones no lineales, como las ecuaciones cuadráticas o trigonométricas simples, las raíces se pueden encontrar de formas bastante sencillas. En particular, todo escolar conoce fórmulas que pueden utilizarse para encontrar fácilmente los valores del argumento de los puntos donde desaparece el trinomio cuadrático.

Los métodos para extraer raíces de ecuaciones no lineales generalmente se dividen en analíticos (directos) e iterativos. En el primer caso, la solución deseada tiene la forma de una fórmula, mediante la cual para un cierto número operaciones aritméticas podrás encontrar el significado de las raíces que buscas. Métodos similares diseñado para exponencial, trigonométrica, logarítmica y más simple ecuaciones algebraicas. Para el resto, hay que utilizar métodos numéricos especiales. Son fáciles de implementar mediante computadoras, que permiten encontrar las raíces con la precisión requerida.

Estos incluyen los llamados método numérico tangentes. Este último fue propuesto por el gran científico Isaac Newton a finales del siglo XVII. En los siglos siguientes, el método fue mejorado repetidamente.

Localización

Métodos numéricos para resolver ecuaciones complejas sin soluciones analíticas, se acostumbra realizar en 2 etapas. Primero necesitas localizarlos. Esta operación consiste en encontrar segmentos en OX en los que exista una raíz de la ecuación que se está resolviendo.

Consideremos el segmento. Si g(x) no tiene discontinuidades y toma valores de diferentes signos en los puntos finales, entonces entre a y b o en ellos hay al menos 1 raíz de la ecuación g(x) = 0. Para que Para ser único, se requiere que g(x) no sea monótono. Como se sabe, tendrá esta propiedad siempre que el signo de g’(x) sea constante.

En otras palabras, si g(x) no tiene discontinuidades y aumenta o disminuye monótonamente, y sus valores en los puntos finales no tienen los mismos signos, entonces hay 1 y solo 1 raíz de g(x).

Sin embargo, debes saber que este criterio no se aplicará a las raíces de ecuaciones que sean múltiples.

Resolver una ecuación reduciendo a la mitad

Antes de considerar tangentes numéricas más complejas y sus variedades, vale la pena familiarizarse con las más complejas. de una manera sencilla identificar raíces. Se llama dicotomía y se refiere a la forma intuitiva de encontrar raíces, basándose en el teorema de que si para g(x), continuo, se cumple la condición de signos diferentes, entonces en el segmento considerado hay al menos 1 raíz g( x) = 0.

Para encontrarlo, debes dividir el segmento por la mitad y designar el punto medio como x 2. Entonces son posibles dos opciones: g(x 0) * g(x 2) o g(x 2) * g(x 1) son iguales o menores que 0. Elegimos aquella para la cual una de estas desigualdades es verdadera. Repetimos el procedimiento descrito anteriormente hasta que la longitud sea menor que un cierto valor preseleccionado que determina la precisión de determinar la raíz de la ecuación en .

Las ventajas del método incluyen su confiabilidad y simplicidad, pero la desventaja es la necesidad de identificar inicialmente los puntos en los que g(x) toma diferentes signos, por lo tanto, no se puede utilizar para raíces con multiplicidad uniforme. Además, no se generaliza al caso de un sistema de ecuaciones o si hablamos de raíces complejas.

Ejemplo 1

Queremos resolver la ecuación g(x) = 2x 5 + x - 1 = 0. Para no perder mucho tiempo buscando un segmento adecuado, construimos una gráfica usando, por ejemplo, programa famoso"Sobresalir". Vemos que es mejor tomar valores del intervalo como segmento para localizar la raíz. Podemos estar seguros de que existe al menos una raíz de la ecuación requerida.

g"(x) = 10x 4 + 1, es decir, esta es una función que aumenta monótonamente, por lo que solo hay 1 raíz en el segmento seleccionado.

Sustituimos los puntos finales en la ecuación. Tenemos 0 y 1 respectivamente. En el primer paso tomamos el punto 0,5 como solución. Entonces g(0,5) = -0,4375. Esto significa que el siguiente segmento a reducir a la mitad será . Su punto medio es 0,75. En él, el valor de la función es 0,226. Tomamos en consideración el segmento y su centro, que se sitúa en el punto 0,625. Calculamos que el valor de g(x) es 0,625. Es igual a -0,11, es decir negativo. En base a este resultado, seleccionamos el segmento. Obtenemos x = 0,6875. Entonces g(x) = -0,00532. Si la precisión de la solución es 0,01, entonces podemos suponer que el resultado deseado es 0,6875.

Base teórica

Este método para encontrar raíces utilizando el método tangente de Newton es popular debido a su muy rápida convergencia.

Se basa en el hecho comprobado de que si x n es una aproximación a la raíz f(x) = 0, tal que f" C 1, entonces la siguiente aproximación será en el punto donde se encuentra la ecuación de la tangente a f(x) se pone a cero, es decir

Sustituye x = x n+1 y establece y en cero.

Entonces las tangentes quedan así:

Ejemplo 2

Intentemos utilizar el método tangente clásico de Newton y encontrar una solución a alguna ecuación no lineal que sea difícil o imposible de encontrar analíticamente.

Sea necesario identificar las raíces de x 3 + 4x - 3 = 0 con cierta precisión, por ejemplo 0,001. Como se sabe, la gráfica de cualquier función en forma de polinomio de grado impar debe cruzar el eje OX al menos una vez, es decir, no hay duda sobre la existencia de raíces.

Antes de resolver nuestro ejemplo usando el método tangente, construimos una gráfica f(x) = x 3 + 4x - 3 puntualmente. Esto es muy fácil de hacer, por ejemplo, utilizando un procesador de hojas de cálculo Excel. Del gráfico resultante quedará claro que no se cruza con el eje OX y la función y = x 3 + 4x - 3 aumenta monótonamente. Podemos estar seguros de que la ecuación x 3 + 4x - 3 = 0 tiene solución y es única.

Algoritmo

Cualquier solución de ecuaciones por el método tangente comienza con el cálculo de f "(x). Tenemos:

Entonces la segunda derivada será x * 6.

Usando estas expresiones, podemos escribir una fórmula para identificar las raíces de una ecuación usando el método tangente en la forma:

A continuación, debe elegir una aproximación inicial, es decir, decidir qué punto considerar como punto de partida (volumen x 0) para el proceso iterativo. Consideramos los extremos del segmento. Usaremos aquel para el cual la condición de que la función y su segunda derivada en x 0 sean de diferentes signos es verdadera. Como vemos, al sustituir x 0 = 0 se rompe, pero x 0 = 1 es bastante adecuado.

entonces, si estamos interesados en resolver el método de la tangente con precisión e, entonces se puede considerar que el valor x n satisface los requisitos del problema, siempre que la desigualdad |f(x n) / f’(x n)|< e.

En el primer paso tangente tenemos:

x 1 = x 0 - (x 0 3 + 4x 0 - 3) / (3x 0 2 + 4) = 1- 0,2857 = 0,71429;
como no se cumple la condición, seguimos adelante;
obtenemos un nuevo valor para x 2, que es igual a 0,674;
Si notamos que la relación entre el valor de la función y su derivada en x 2 es menor que 0,0063, detenemos el proceso.

Método tangente en Excel

Puede resolver el ejemplo anterior mucho más fácil y rápido si no realiza los cálculos manualmente (en una calculadora), sino que utiliza las capacidades. procesador de mesa de Microsoft.

Para hacer esto en Excel necesitas crear nueva pagina y llena sus celdas con las siguientes fórmulas:

en C7 escribimos “= GRADO (B7;3) + 4 * B7 - 3”;
en D7 ingresamos “= 4 + 3 * GRADO (B7;2)”;
en E7 escribimos “= (GRADO (B7;3)- 3 + 4 * B7) / (3* GRADO (B7;2) + 4)”;
en D7 ingresamos la expresión “=B7 - E7”;
en B8 ingresamos la fórmula de condición “=SI(E7< 0,001;"Завершение итераций"; D7)».

EN tarea especifica Ya en la celda B10 aparecerá la inscripción “Completando iteraciones”, y para resolver el problema deberás tomar el número escrito en la celda ubicada una línea arriba. También puede seleccionar una columna "estirable" separada ingresando allí una condición de fórmula, según la cual el resultado se escribirá allí si el contenido en una u otra celda de la columna B toma la forma "Finalización de iteraciones".

Implementación en Pascal

Intentemos obtener una solución a la ecuación no lineal y = x 4 - 4 - 2 * x usando el método de la tangente en Pascal.

Utilizamos una función auxiliar que nos ayudará a realizar un cálculo aproximado f"(x) = (f(x + delta) - f(x)) / delta. Como condición para completar el proceso iterativo, elegimos el cumplimiento de la desigualdad |x 0 -x 1 |< некого малого числа. В Паскале его запишем, как abs(x0 - x1)<= epsilon.

El programa destaca por el hecho de que no requiere el cálculo manual de la derivada.

Método de acordes

Consideremos otra forma de identificar las raíces de ecuaciones no lineales. El proceso de iteración consiste en que como aproximaciones sucesivas a la raíz deseada para f(x) = 0, se toman los valores de los puntos de intersección de la cuerda con las abscisas de los puntos extremos a y b con OX, denotado como x 1, ..., x n. Tenemos:

Para el punto donde la cuerda corta al eje OX, la expresión se escribirá como:

Sea la segunda derivada positiva para x £ (el caso contrario se reducirá al que estamos considerando si escribimos f(x) = 0). En este caso, la gráfica y = f(x) es una curva, convexa en la parte inferior y ubicada debajo de la cuerda. AB. Pueden darse 2 casos: cuando la función tiene un valor positivo en el punto a o es negativo en el punto b.

En el primer caso, elegimos el extremo a como fijo y tomamos el punto b como x 0. Luego, las sucesivas aproximaciones según la fórmula presentada anteriormente forman una secuencia que disminuye monótonamente.

En el segundo caso, el extremo b se fija en x 0 = a. Los valores de x obtenidos en cada paso de iteración forman una secuencia que aumenta monótonamente.

Así, podemos afirmar que:

en el método de cuerdas, el extremo fijo del segmento donde no coinciden los signos de la función y su segunda derivada;
las aproximaciones para la raíz x - x m - se encuentran en el lado donde f(x) tiene un signo que no coincide con el signo de f"" (x).

Las iteraciones pueden continuar hasta que se cumplan las condiciones para la proximidad de las raíces en este paso de iteración y en el anterior módulo abs(x m - x m - 1)< e.

Método modificado

El método combinado de cuerdas y tangentes permite establecer las raíces de una ecuación acercándose a ellas desde diferentes lados. Este valor, en el que la gráfica f(x) intersecta a OX, le permite refinar la solución mucho más rápido que usar cada uno de los métodos por separado.

Supongamos que necesitamos encontrar las raíces de f(x)=0, si existen en . Puede aplicar cualquiera de los métodos descritos anteriormente. Sin embargo, es mejor probar una combinación de ellos, lo que mejorará significativamente la precisión de la raíz.

Consideramos el caso con una aproximación inicial correspondiente a la condición de que la primera y la segunda derivada sean de diferente signo en un punto específico x.

En tales condiciones, resolver ecuaciones no lineales mediante el método tangente permite encontrar una raíz con exceso si x 0 =b, y el método que utiliza cuerdas con un extremo fijo b conduce a encontrar una raíz aproximada con deficiencia.

Fórmulas utilizadas:

Ahora se debe buscar la raíz x requerida en el intervalo. En el siguiente paso, deberá aplicar el método combinado a este segmento. Procediendo de esta forma obtenemos fórmulas de la forma:

Si la primera y segunda derivada tienen signos diferentes, entonces, razonando de manera similar, para aclarar la raíz obtenemos las siguientes fórmulas recurrentes:

La condición utilizada es la desigualdad estimada| segundo norte +1 - un norte +1 |< e. Иными словами, на практике приходится находить решение при помощи двух методов, но на каждом шаге требуется выяснять, насколько полученные результаты близки друг другу.

Si la desigualdad anterior es cierta, entonces como raíz de la ecuación no lineal en un segmento dado, tome el punto que está exactamente a medio camino entre las soluciones encontradas en un paso de iteración específico.

El método combinado se implementa fácilmente en el entorno TURBO PASCAL. Si realmente lo deseas, puedes intentar realizar todos los cálculos utilizando el método tabular en Excel.

En este último caso, se asignan varias columnas para resolver el problema utilizando cuerdas y por separado para el método propuesto por Isaac Newton.

En este caso, cada línea se utiliza para registrar cálculos en un paso de iteración específico utilizando dos métodos. Luego, en el lado izquierdo del área de solución, se resalta una columna en la página de trabajo activa, en la que se ingresa el resultado del cálculo del módulo de diferencia de valores del siguiente paso iterativo para cada uno de los métodos. Se puede utilizar otro para introducir los resultados de los cálculos basados en la fórmula para calcular el constructo lógico "SI", que se utiliza para averiguar si una condición es verdadera o no.

Ahora sabes cómo resolver ecuaciones complejas. El método tangente, como ya has visto, se implementa de forma bastante sencilla, tanto en Pascal como en Excel. Por lo tanto, siempre puedes determinar las raíces de una ecuación que es difícil o imposible de resolver mediante fórmulas.

Como se desprende de las secciones anteriores, el concepto de mapa de corte óptimo es ambiguo. Un mapa de corte con un alto valor de CMM puede ser completamente de baja tecnología y viceversa. Sin embargo, siempre es posible generar planes de corte que satisfagan el máximo número de requisitos relevantes para un proceso tecnológico específico. A continuación se ofrecen una serie de recomendaciones prácticas sobre métodos de corte.

Cuando se utilizan losas de cierto tamaño, se pueden formar mapas de corte que tienen un valor de CMM insatisfactorio o una baja capacidad de fabricación. Si es posible comprar losas de otros tamaños, tiene sentido cortar la misma lista de paneles, pero con un tamaño de losa diferente. Quizás la calidad de los mapas cortados sea mayor. Además, no es en absoluto necesario que en losas de gran superficie los mapas de corte sean de mayor calidad.

Después de cortar, asegúrese de analizar las tarjetas resultantes. En primer lugar, es necesario evaluar los tamaños de los recortes resultantes desde el punto de vista de cuánto difieren los tamaños de los recortes de los paneles del producto que tienen el tamaño más cercano. Es posible cambiar las dimensiones de algunas piezas o de todo el producto para obtener mejores mapas de corte.

Pongamos un ejemplo sencillo. Que quede una losa de 2000x1000 mm. Ancho de corte 0 mm. Es necesario cortar 12 piezas de 1001x501 mm. Obviamente, solo cabe un panel en una losa, es decir, se necesitan 12 losas para completar el pedido y el valor de CMM es aproximadamente el 25%. Pero, si las dimensiones del panel se reducen solo 1 mm, entonces se colocarán cuatro paneles con dimensiones de 1000x500 mm sobre una losa de 2000x1000 mm, y el valor CMM será igual al 100%. A pesar de la convencionalidad del ejemplo, ilustra claramente cómo, cambiando las dimensiones de los paneles en una cantidad que, por regla general, no es crítica para la funcionalidad y las características estéticas de los muebles, se puede obtener una ganancia significativa en todos los principales. indicadores: costo, intensidad de mano de obra y tiempo de producción del producto.

En el caso de que no se puedan cambiar las dimensiones de los paneles, se puede intentar variar el espesor del revestimiento. Veamos un ejemplo. Los paneles del producto están revestidos por todos lados con material de 0,5 mm de espesor y el revestimiento se aplica con el contorno del panel recortado. Esto significa que las dimensiones de aserrado de los paneles se reducen en dos espesores de borde para cada dimensión: largo y ancho, es decir, 1 mm. Generamos y analizamos mapas de corte. Digamos que no están satisfechos con la calidad. Regresamos al modelo del producto en los módulos BAZIS-Furniture Maker o BAZIS-Closet y ejecutamos el comando para reemplazar el material de revestimiento en grupo por uno nuevo de 2,0 mm de espesor (o el comando para reemplazar el material de revestimiento en los bordes individuales de los paneles ). En este caso, las dimensiones de corte del panel disminuirán en 4 mm, pero las dimensiones del panel terminado seguirán siendo las mismas. Recortamos y analizamos los resultados. Bien puede resultar que el valor de la MMC aumente considerablemente, ya que estos son precisamente los milímetros que no fueron suficientes para obtener un corte de alta calidad. Por supuesto, el nuevo material de revestimiento es más caro, es decir, con un nuevo corte perdemos el coste del material de revestimiento, pero ahorramos en el coste del aglomerado, que puede “cubrir” el aumento de precio resultante. Esto da como resultado una situación paradójica: los muebles más caros (debido al costoso revestimiento) resultan más baratos de producir debido al ahorro de material. Tenga en cuenta que todos los cálculos de los costos de los productos se realizan de forma automática y casi instantáneamente en el módulo BAZIS-Estimat.

Una aclaración más. Los algoritmos de corte de materiales de losa para la industria del mueble se basan en la ideología del corte con cortes de guillotina, es decir, cortes directos que cortan la tira actual en dos partes. Uno de los requisitos para la capacidad de fabricación del corte es la precisión de las dimensiones de las piezas, teniendo en cuenta las tolerancias y los ajustes. En consecuencia, los algoritmos para generar mapas de corte deben funcionar de tal manera que obtengan paneles con las dimensiones más precisas.

Veamos un fragmento del mapa de corte que se muestra en la Fig. 5.1.

La última tira, que contiene once paneles de dimensiones 200x120 mm, se puede cortar de diferentes formas. Supongamos que los topes se ajustan con una precisión de ±0,5 mm, que es la precisión habitual al cortar paneles. Ancho de corte - 5 mm. Realizamos el corte. Primero recortamos la losa, luego cortamos la tira con estos paneles, es decir, realizamos un corte “horizontal”. Después de esto, puede hacer un corte a una distancia de 200*11+5*10 = 2250 mm para cortar los residuos. Pero este tamaño se puede fijar 0,5 mm menos (precisión de los topes), es decir, 2249,5 mm. Hacemos un corte y establecemos el tamaño del ancho en 120 mm, que en realidad, debido a la precisión de la instalación, puede resultar igual a 120-0,5 = 119,5 mm. Luego establecemos el tamaño en 200 mm, que en realidad puede ser igual a 200 + 0,5 = 200,5 mm. Cortamos diez paneles y las dimensiones del último panel se forman automáticamente. Medimos su longitud y encontramos que mide 194,5 mm, es decir, 5,5 mm menos de lo necesario. ¿Cómo sucedió esto si todas las dimensiones se establecieron con una precisión de 0,5 mm? Sin embargo, esto es fácil de demostrar: 2249,5 - 200,5*10 - 5*10 = 194,5 mm. El tamaño real del último panel resultó ser 194,5x119,5 mm, lo que es un defecto irreparable. Este ejemplo ilustra cómo el orden de corte afecta las dimensiones reales de las piezas.

Nunca debemos olvidar que un documento tecnológico (en este caso, un mapa de corte) es una instrucción para un trabajador, que contiene toda la tecnología de fabricación y las dimensiones de control, y no solo un dibujo geométrico. En una producción seria, un trabajador no debe agregar ni estimar nada. Debe seguir estrictamente las instrucciones de acuerdo con la documentación del proceso tecnológico de fabricación del producto.

Análisis de optimización, fabricabilidad y viabilidad de mapas de corte.

En este apartado se ofrecen ejemplos de algunos mapas de corte obtenidos en diversos programas, con un análisis de los problemas e inconvenientes que pueden surgir a la hora de implementarlos en equipos de corte. Esto permitirá al lector obtener una comprensión más completa de parámetros tan importantes del corte de tarjetas como su capacidad de fabricación y viabilidad. Varios ejemplos de mapas de corte y comentarios sobre ellos, con el consentimiento del autor, están tomados del artículo, algunos del foro de muebles profesionales htpp://mebelsoft.net.

Supondremos que se ha completado la operación tecnológica de recortar los bordes de la losa por ambos lados para proporcionar una base de medición (el borde desde el cual se toma el recuento), por lo que no se considera al describir la secuencia de acciones de corte. Para simplificar el análisis, asumiremos que el ancho de corte es cero.

Analicemos el mapa de corte que se muestra en la Fig. 5.2. Desde el punto de vista de la CMM, esta tarjeta es bastante buena. Consideremos el proceso de su ejecución en una sierra circular: realizamos sucesivamente el corte horizontal 1 y el corte vertical 2.

Para cortar el resto de la hoja, las únicas bases son los bordes izquierdo y superior. Para realizar el siguiente corte, por ejemplo el corte horizontal 3, es necesario sumar el ancho de las tiras (480+394+394 mm). Esto significa que en este paso es imposible establecer un tamaño exacto: la base se ha perdido.

A primera vista parece que no pasó nada terrible. Sin embargo, ¿dónde está la garantía de que el trabajador no se equivocará y que parte de la hoja no se desperdiciará? Segundo punto, más serio. No se puede realizar ninguna operación con precisión, ya que en tecnología no existen dimensiones sin tolerancias. Están garantizados por la precisión de la máquina, el sistema de reglas y topes, la precisión de los instrumentos de medida, etc. En el primer y segundo paso, el tamaño de la tira se estableció exactamente desde la base, por lo que el error de tamaño es mínimo. Al cortar tiras en la parte restante de la hoja (corte horizontal 3), el tamaño de la tira cortada se establecerá con un error de 0,5 mm. En consecuencia, puede establecer el tamaño en 480+394+394=1268-0,5 mm=1267,5 mm.

Los cortes verticales 4, 5 y 6 se realizan con una precisión satisfactoria. A continuación, cogemos una tira de 509x1267,5 mm y la cortamos con cortes horizontales. Para realizar el corte 7, al establecer el tamaño en 480 mm con una precisión de 0,5 mm, el tamaño en realidad se configuró en 480,5 mm, y al realizar el corte 8, al establecer el tamaño en 394 mm, con una precisión de 0,5 mm, el En realidad, el tamaño se fijó en 394,5 mm.

La última pieza resultó tener un tamaño de 392,5 mm, 1,5 mm menos que el valor nominal. Para una producción seria, esto ya es un defecto irreparable, ya que la precisión de ejecución especificada es de 0,5 mm.

Para el mapa mostrado en la Fig. 5.3, incluso para el primer corte es imposible establecer el tamaño exacto. El primer corte (corte vertical 1) debe realizarse a una distancia de 6*363 mm. Para seguir cortando, estableceremos el tamaño en 363 mm con una precisión de 0,5 mm, es decir, las primeras cinco tiras se cortarán a un tamaño de 363,5 mm. Es fácil calcular que el tamaño de la última tira será de 360 mm, y esto ya es un defecto irreparable de cuatro partes. Por supuesto, podemos conseguir cinco tiras de 362,5 mm, y la última tira de 366 mm. Este ya es un defecto reparable, pero para corregirlo tendrás que hacer un corte adicional.

Miremos el mapa que se muestra en la Fig. 5.4. Como puede ver, la colocación de los paneles es bastante densa, pero el mapa en sí no es viable, es decir, es simplemente imposible cortarlo de acuerdo con él. Consideremos una posible secuencia de acciones:

▼ realizar un corte vertical 1 del tamaño 872 mm;
▼ realizar un corte horizontal 2 del tamaño 868 mm;
▼ realizando un corte horizontal 3 al tamaño 550+90 mm.

Además, no se puede realizar ningún corte pasante, por ejemplo, cortes horizontales 4, 6 o cortes verticales 5. Es bueno que el trabajador se dé cuenta de esto antes de cortar. De lo contrario, se rechazarán una o más hojas de material.

El mapa mostrado en la Fig. 5,5, es factible y tiene un buen valor de CMM. La secuencia de su corte es la siguiente: corte vertical 1, limado de cantos, torneado, corte horizontal 2, limado de cantos, torneado, corte vertical 3, etc. En otras palabras, después de casi cada corte habrá que rotar la losa, lo que significa que la complejidad del corte aumenta significativamente.

Mapa en la Fig. 5.6 a primera vista no se puede mejorar: tanto la MMC es máxima como la capacidad de fabricación está garantizada. Veamos la secuencia de corte. Primero limamos el lado derecho (corte vertical 1), y luego, girando la losa 90°, cortamos las tiras. El inconveniente radica en la necesidad de voltear casi toda la losa, ya que, por ejemplo, el peso medio de una losa de aglomerado de 2750x1830 mm y 16 mm de espesor es de unos 60 kg. Sería mucho más fácil cortar primero las tiras y solo luego limar el borde de cada una de ellas.

Consideremos la secuencia de corte de la tarjeta que se muestra en la Fig. 5.7. Realizamos corte vertical 1 a un tamaño de 2000 mm. A continuación hay que cortarlo en tiras horizontales, la primera de las cuales tiene un tamaño de 1999x50 mm. Debido a la presencia de tensiones internas en la losa, es probable que una tira tan estrecha y larga se doble y sea necesario desecharla. Lo mismo puede suceder con la tira vertical situada más a la derecha (corte vertical N) de 100 mm de ancho.

El mapa de corte mostrado en la Fig. 5.8, resuelve el problema de la posible flexión de una tira estrecha de 50 mm de ancho colocándola en el centro de la lámina. Este efecto se logró eligiendo un método de clasificación en el que se ubican franjas estrechas en el interior. Sin embargo, esto "deterioró" significativamente la capacidad de fabricación de las tiras restantes: la instalación alternativa de topes para reducir y aumentar el tamaño de las tiras cortadas del segundo nivel y superiores contribuye a una disminución en la precisión dimensional. Esto sucedió debido al hecho de que el método de clasificación seleccionado afecta a franjas de todos los niveles.

Este problema se puede resolver habilitando la opción Las tiras estrechas del primer nivel se encuentran en el interior, que se encuentra en la pestaña Criterios de selección en el cuadro de diálogo para configurar los parámetros de corte. En este caso, como se puede observar en la Fig. 5.9, la tira de 50 mm de ancho todavía está ubicada en el medio de la losa, pero en cada tira resultante los paneles se clasifican según un método específico, por ejemplo, del tamaño máximo al tamaño mínimo.

El mapa de corte mostrado en la Fig. 5.10 es generalmente imposible de implementar, ya que no hay cortes directos en el fragmento seleccionado.

Así, un análisis de los mapas de corte obtenidos automáticamente en varios programas de corte muestra que no tener en cuenta los factores de optimización tecnológica conduce, en el mejor de los casos, a la producción de mapas de corte cuya implementación requiere mucha mano de obra y, en el peor de los casos, a daños irreparables. defectos. Por estas razones, los algoritmos tradicionales para optimizar el corte basados en el valor máximo de CMM no siempre lo proporcionan.

Reducir la intensidad laboral del corte.

La tarea de reducir la intensidad de mano de obra de la operación de corte es relevante para cualquier empresa de muebles. Consideremos posibles opciones para solucionarlo. Supongamos que la empresa utiliza centros de aserrado que pueden realizar cortes por lotes y sierras circulares convencionales. Obtendremos información para construir la estrategia de corte que requiera menos mano de obra a partir de la información estadística emitida por el módulo BAZIS-Cutting.

Digamos que se ha cortado un trabajo que contiene aproximadamente cincuenta tamaños estándar de paneles con un número total de al menos 150 piezas, y el número de paneles es de aproximadamente 3000 piezas. En la tabla se muestra una versión de un fragmento de datos estadísticos generados por el módulo BAZIS-Cutting. 5.1.

La calidad del corte realizado es bastante buena. Dado que el equipo utilizado permite cortar simultáneamente hasta seis losas en un lote, la tabla muestra las características de todas las opciones posibles de corte por lotes. Mirémoslos.

El número total de platos utilizados es de 162 piezas. Si realiza el corte solo con una sierra circular, una losa por ciclo, entonces el número de ciclos será igual al número de losas: 162 ciclos.

Al cortar dos losas en un paquete, el número de ciclos será 84. Al cambiar a cortar tres losas, el número de ciclos disminuye ligeramente, a 83. Otras características también mejoran, pero sólo ligeramente. Pero cuando se pasa a cortar cuatro losas a la vez, todos los valores mejoran drásticamente, casi el doble. Por ejemplo, el número de ciclos ya es 45.

Un aumento adicional en el número de losas en el paquete no cambia en absoluto las características de corte. A primera vista esto no es lógico. Sin embargo, la explicación es bastante sencilla: en esta realización, el conjunto de paneles es tal que resulta imposible formar paquetes de cinco losas para cortarlo. La mejor opción sería cortar cuatro losas en un paquete.

No siempre se produce una mejora tan marcada en las características del corte por lotes. Consideremos otro ejemplo, cuya información se proporciona en la tabla. 5.2. Se produjo una fuerte disminución en el número de ciclos solo durante la transición al corte por lotes, y luego se volvió suave.

Expliquemos cómo se calcula el número de ciclos. Supongamos que necesitamos cortar 12 losas según algún mapa de corte. Con cuatro losas en un paquete se requieren tres ciclos (12:4 = 3), y con cinco losas, dos paquetes de cinco losas y un paquete de dos losas, es decir, los mismos tres ciclos.

La longitud total de los cortes depende del número de ciclos, y de ello depende el desgaste de la sierra. Serrar con herramientas desafiladas aumenta el consumo de energía, degrada la calidad del producto y puede provocar fallas en la sierra. Volvamos al primer ejemplo. Al cortar una losa a la vez, la longitud de los cortes es 4654,266 m, y al cortar cuatro losas a la vez es menor: 1302,112 m. Por otro lado, el espesor total de la losa "cortada" en el primer caso. es menos (una losa), y en el segundo, más (cuatro losas). En consecuencia, el desgaste de la sierra será casi el mismo.

Sin embargo, esto no es del todo cierto. Se sabe que el desgaste de una herramienta de corte depende de muchos factores: velocidad de avance, estado técnico de la máquina, etc., incluido el número de impactos de los dientes sobre la superficie del material y la cantidad de material aserrado. En igualdad de condiciones, el impacto representa aproximadamente un tercio del desgaste y el corte en sí representa aproximadamente dos tercios. Es fácil adivinar que el número de golpes al cortar una losa será mucho mayor, lo que provocará un mayor desgaste de la sierra. Conclusión: es preferible cortar en lotes con el máximo número posible de losas. Esto no sólo ahorra tiempo y reduce la intensidad de mano de obra, sino que también prolonga la vida útil de la herramienta de corte.

Práctica de apilamiento de paneles

Como se señaló anteriormente, la solución del problema del corte óptimo de materiales tiene aspectos no solo económicos y tecnológicos, sino también organizativos, que permiten incrementar la productividad tanto de la propia sección de corte como de muchas áreas asociadas a ella. Analicemos las tarjetas de corte para un orden determinado, como se muestra en la Fig. 5.11 y fig. 5.12.

La información general sobre el corte (en el módulo BAZIS-Nesting se muestra antes de la primera tarjeta) se proporciona en la tabla. 5.3.

Desde el punto de vista del valor de las MMC y la capacidad de fabricación, pueden considerarse óptimas. Consideremos la secuencia de corte. Numeraremos condicionalmente las tarjetas de izquierda a derecha y de arriba a abajo en la Fig. 5.11 continúa en la Fig. 5.12. Numeramos las cartas de la Fig. 1 de forma similar. 5.13 continúa en la Fig. 5.14.

Después de cortar la primera tarjeta, se forman en el sitio pilas de 40 paneles de 800x350 mm (posición 3), 48 paneles de tamaño 600x290 mm (posición 1) y 192 paneles de tamaño 500x146 mm (posición 2). Los últimos paneles se pueden enviar para su posterior procesamiento, ya que han sido cortados por completo. Los paneles restantes permanecen en el sitio. Después de cortar la segunda tarjeta, la pila de paneles de 800x350 mm (posición 3) aumenta en otros 30 paneles, pero aún permanece en el sitio. Sólo después de cortar la cuarta tarjeta se pueden transferir los paneles de 800x350 mm (posición 3) para su posterior procesamiento, pero los paneles de 600x290 mm (posición 1) permanecen en obra. Además aparece una pila de paneles de 480x352 mm (posición 4) en la cantidad de 20 piezas. Sólo después de cortar la tercera tarjeta queda en el sitio la única pila de paneles de 480x352 mm (posición 4). Así, durante la ejecución de un pedido, en la zona de corte hay constantemente un número importante de pilas de paneles de diferentes tamaños, que esperan ser enviados para su posterior procesamiento. Y esto, como muestra la práctica, está lejos de ser el pedido más grande. Esta situación conlleva al menos dos consecuencias negativas:

▼ con paneles de tamaños similares en diferentes pilas, existe una alta probabilidad de que se produzca un error subjetivo por parte del trabajador, que simplemente puede confundir los paneles y colocarlos en la pila equivocada;
▼ tiempo de inactividad de otras secciones de la empresa (revestimiento, fresado y aditivos, etc.) mientras se esperan los paneles.

Realicemos el corte de la misma tarea sin cambiar los criterios y la configuración de parámetros, pero teniendo en cuenta la tecnología de colocación óptima. Para hacer esto, en el cuadro de diálogo de configuración de parámetros de corte en la pestaña Criterios de selección, configure el modo de apilamiento del área. El resultado se muestra en la Fig. 5.13 y 5.14, y la información general sobre los resultados del nuevo corte se proporciona en la tabla. 5.4.

Analicemos los resultados del corte. El valor de la MMC disminuyó un 5,48%, pero el valor de la MMC teniendo en cuenta los recortes se mantuvo prácticamente sin cambios. El número y el área de los restos, así como el número de tarjetas cortadas, han aumentado en dos piezas. Para cortar el pedido, se necesitó una losa adicional de material. El número y la duración total de los recortes se mantuvieron prácticamente sin cambios.

Como punto positivo, observamos una reducción al doble en el número de ajustes de tamaño. Consideremos la secuencia de corte de hojas. Después de cortar la primera tarjeta, se forma en el sitio una única pila de paneles de 800x350 mm (posición 3), que, después de cortar la cuarta tarjeta, se puede enviar a las siguientes etapas de procesamiento. En su lugar, se forma una pila de paneles de 600x290 mm (posición 1). Cortamos secuencialmente la sexta y segunda tarjeta, después de lo cual enviamos estos paneles más. Todavía queda una pila de paneles en el lugar, que ahora mide 480x352 mm (posición 4). Después de cortar la séptima tarjeta, también se envían a etapas de procesamiento posteriores. La última (tercera) tarjeta contiene solo paneles de 500x146 mm (posición 2). Así, en un momento dado no hay más de dos pilas de paneles de distintos tamaños en la zona de corte, una de las cuales ya está totalmente preparada para su traslado a otras zonas.

Como puedes ver, ambas opciones de corte tienen sus ventajas y desventajas. La elección, como siempre, está determinada por la situación de producción específica. Lo principal es que la tecnología de apilamiento óptima brinda a los especialistas en producción de muebles oportunidades adicionales para organizar una carga uniforme de equipos en todas las áreas tecnológicas. Su uso o no depende de muchos factores, el principal de los cuales es la capacidad de analizar y evaluar todos los costos que surgen al implementar un pedido en particular.

La eficiencia económica de la producción de aserraderos depende en gran medida del grado de uso de materias primas. El equipo utilizado en la producción, el corte racional de troncos según las entregas óptimas, la planificación competente del corte determinan el uso eficiente de los recursos y, en consecuencia, la alta calidad de los productos.

Esquemas básicos para cortar materias primas aserradas.

Los métodos y esquemas para cortar troncos dependen directamente de los requisitos de calidad y tamaño de los productos producidos, las características de las materias primas y el tipo de equipo utilizado.

Métodos básicos de aserrado de troncos.
a - contonearse; b - con madera; b’ - con la recepción de dos vigas; b" - colapso de las vigas; c - sector; c’ - aserrar el sector en tablas radiales; c" - en tableros tangenciales; g - segmentario; g’ - segmento colapsado; g" - segmento de madera; re - circular; 1 - tablas sin cortar; 2 - tablas con bordes; 3 - rejilla; 4- barras; 5 — partes de troncos en forma de sectores; 6 — partes de troncos en forma de segmentos; 7 - tableros con bordes de una cara

Cortar los troncos anadear Consiste en dividirlo a lo largo de planos paralelos mediante una o más herramientas de corte. Este esquema permite obtener tableros sin cortar con diferente disposición de capas en relación con las capas anuales. El método es racional cuando se cortan troncos de hasta 18 cm de diámetro y para troncos con curvatura de troncos (se utiliza con mayor frecuencia en los casos de corte de materias primas de abedul, que en el 70% de los casos tienen una curvatura simple o compleja).

Las tablas sin cortar obtenidas después del corte por volteo se procesan para obtener tablas con bordes o se transfieren para cortarlas en espacios en blanco sin cortar.

Si la cantidad predominante de productos terminados debe tener dimensiones de sección transversal establecidas, se utiliza el método de corte. con madera. Este esquema también se utiliza para cortar troncos de gran diámetro en la producción de madera aserrada para uso general.

El aserrado con vigas se realiza en equipos de múltiples cortes en dos pasadas. En este caso, en la primera etapa, a partir de madera en rollo se obtienen vigas con un espesor igual al ancho del tablero requerido. Luego, estas vigas se dividen en tableros del espesor y tamaño requeridos.

Para cortar crestas de gran tamaño utilizan segmento y sector métodos. Vale la pena señalar que estos esquemas son específicos y se utilizan en tipos especiales de producción para producir madera aserrada tangencial y radial.

Se realiza el corte individual de troncos grandes y con podredumbre interna. de manera circular.

Procesamiento de madera en rollo mediante el método de fresado.

La formación de una sección transversal de materias primas aserradas mediante fresado se lleva a cabo combinando este método con el aserrado. En este caso, se utilizan tres esquemas de corte principales:

obtener una viga de doble filo en el primer nodo;
obtención de tableros sin cortar y madera de doble filo en la máquina principal;
obtención de vigas perfiladas con dimensiones correspondientes a las dimensiones de la sección transversal de la madera canteada con la producción de tableros en un solo equipo.

La madera de doble filo es un producto semiacabado para la producción posterior de madera aserrada dividiendo la madera en tablas.

Métodos básicos para cortar troncos mediante fresado.
a - producción de madera de doble filo en la máquina principal; b - producción de madera de doble filo y tableros sin cortar; c - obtención de una viga perfilada; d - obtención de madera con bordes largos; d - producción de madera aserrada de diversas longitudes; e - producción de madera aserrada de diversas longitudes y anchos; 1 - zona de madera; 2 - madera con bordes; 3 - viga rizada; 4 - viga de doble filo; 5- madera sin cortar

El concepto de entrega para aserrar madera en rollo.

Un soporte es un conjunto de sierras, abrazaderas y espaciadores entre sierras instalados en un marco de sierra para producir madera con parámetros de espesor específicos.

En otras palabras, la entrega es un plan para cortar materias primas aserradas (troncos) de calidad y tamaño uniformes en productos de parámetros y calidad determinados.

Al serrar, el movimiento se realiza mediante una serie digital que muestra el espesor de las tablas que se cortan en milímetros:

19-19-32-32-19-19.

Esta serie de números significa que se cortan dos tablas de 32 mm de espesor de la parte central del tronco y cuatro tablas de 19 mm de espesor de las partes laterales.

Al realizar peraltes con encofrado, por ejemplo, el ajuste se escribe en dos filas de números, para aserrar troncos (primera pasada) y madera (segunda pasada):

19-19-150-19-19 (primer pase);

19-32-40-40-32-19 (segunda pasada).

Como en el ejemplo anterior, estas cifras significan que en la máquina principal de la primera fila, en la que se corta el tronco, se coloca una viga de 150 mm de espesor y, en consecuencia, cuatro tablas sin cortar de 19 mm cada una (dos a cada lado). ) se obtienen, y en la máquina de las segundas filas se corta la madera resultante en tablas de 40, 32 y 19 mm de espesor.

Al aserrar troncos en máquinas de una sola sierra, la posición determina el orden de corte.

Preparación de entregas

Elaborar un conjunto significa esencialmente determinar las dimensiones y proporciones óptimas de las tablas en términos de espesor, asegurando un uso racional de la sección transversal del diámetro del tronco.

Reglas básicas para realizar una entrega.:

las posiciones deben ser simétricas;
en un juego no debe haber tablas que difieran en espesor en menos de 5 mm;
Al elaborar el suministro, comience con la sección transversal de madera más grande;
el grosor de las tablas debe disminuir desde el eje del tronco hacia la periferia;
no prever el corte de más de dos tablas delgadas (16, 19 mm) en el borde del suministro al cortar materias primas en marcos de aserraderos;
seleccione la altura de la madera en la primera pasada de acuerdo con el ancho de los espesores de los tableros enumerados en las especificaciones;
vio la cara de la madera aserrada en la segunda pasada en tablas del mismo espesor;
al preparar suministros para madera aserrada sin especificar especificaciones, utilice métodos tabulares o gráficos;
al aserrar con el método de la viga, determine el grosor de la viga a partir de la relación (0,06-0,08) del diámetro superior del tronco - d;
el ajuste no debe exceder la cobertura máxima del diámetro del tronco;
determinar el espesor mínimo de los tableros centrales mediante esta mesa:

Método gráfico de elaboración de entregas.

Es posible elaborar una entrega racional de acuerdo con GOST sin especificar dimensiones de sección transversal específicas (sin asignaciones en forma de especificaciones), utilizando gráficos especiales.

Un ejemplo de uso de la tabla de espesor máximo de madera según P.P. aksenov

Para determinar el espesor máximo, en el eje de abscisas se traza la distancia desde el eje del soporte hasta la parte interior de la cara del soporte del tablero deseado. Luego se dibuja una línea vertical hasta que se cruza con una línea inclinada que corresponde a un diámetro dado, y el punto de intersección resultante se mueve al eje de coordenadas.