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Propiedades de la función. Función creciente y decreciente en un intervalo. Condiciones suficientes para el extremo de una función.

Para determinar la naturaleza de una función y hablar de su comportamiento, es necesario encontrar intervalos de aumento y disminución. Este proceso se llama investigación de funciones y representación gráfica. El punto extremo se utiliza para encontrar los valores más grande y más pequeño de una función, ya que en ellos la función aumenta o disminuye con respecto al intervalo.

Este artículo revela las definiciones, formula un signo suficiente de aumento y disminución en el intervalo y una condición para la existencia de un extremo. Esto se aplica a la resolución de ejemplos y problemas. La sección sobre diferenciación de funciones debe repetirse, porque la solución deberá utilizar la búsqueda de la derivada.

Yandex.RTB R-A-339285-1 Definición 1

La función y = f (x) aumentará en el intervalo x cuando, para cualquier x 1 ∈ X y x 2 ∈ X, x 2 > x 1, se satisface la desigualdad f (x 2) > f (x 1). En otras palabras, valor más alto el argumento corresponde al valor mayor de la función.

Definición 2

La función y = f (x) se considera decreciente en el intervalo x cuando, para cualquier x 1 ∈ X, x 2 ∈ X, x 2 > x 1, la igualdad f (x 2) > f (x 1) se considera verdadero. En otras palabras, un valor de función mayor corresponde a un valor de argumento menor. Considere la siguiente figura.

Comentario: Cuando la función es definida y continua en los extremos del intervalo de aumento y decrecimiento, es decir (a; b), donde x = a, x = b, los puntos se incluyen en el intervalo de aumento y decrecimiento. Esto no contradice la definición; significa que tiene lugar en el intervalo x.

Las principales propiedades de las funciones elementales del tipo y = sen x son la certeza y la continuidad para los valores reales de los argumentos. De aquí obtenemos que el seno aumenta en el intervalo - π 2; π 2, entonces el aumento en el segmento tiene la forma - π 2; π 2.

Definición 3

El punto x 0 se llama punto máximo para la función y = f (x), cuando para todos los valores de x es válida la desigualdad f (x 0) ≥ f (x). Función máxima es el valor de la función en un punto y se denota por y m a x .

El punto x 0 se denomina punto mínimo para la función y = f (x), cuando para todos los valores de x es válida la desigualdad f (x 0) ≤ f (x). Funciones mínimas es el valor de la función en un punto y tiene una designación de la forma y m i n .

Se consideran barrios del punto x 0 puntos extremos, y el valor de la función que corresponde a los puntos extremos. Considere la siguiente figura.

Extremos de la función con el mayor y con valor más bajo funciones. Considere la siguiente figura.

La primera imagen muestra lo que necesitas encontrar. valor más alto funciones del segmento [a; b ] . Se encuentra usando puntos máximos e iguales. valor máximo funciones, y la segunda figura es más como encontrar el punto máximo en x = b.

Condiciones suficientes para que una función aumente y disminuya

Para encontrar los máximos y mínimos de una función, es necesario aplicar signos de extremo en el caso de que la función satisfaga estas condiciones. El primer signo se considera el más utilizado.

La primera condición suficiente para un extremo.

Definición 4

Sea una función y = f (x), que es diferenciable en una vecindad ε del punto x 0, y tiene continuidad en el punto dado x 0. De aquí entendemos eso

cuando f " (x) > 0 con x ∈ (x 0 - ε ; x 0) y f " (x)< 0 при x ∈ (x 0 ; x 0 + ε) , тогда x 0 является точкой максимума;
cuando f "(x)< 0 с x ∈ (x 0 - ε ; x 0) и f " (x) >0 para x ∈ (x 0 ; x 0 + ε), entonces x 0 es el punto mínimo.

Es decir, obtenemos sus condiciones para fijar el signo:

cuando la función es continua en el punto x 0, entonces tiene una derivada con signo cambiante, es decir, de + a -, lo que significa que el punto se llama máximo;
cuando la función es continua en el punto x 0, entonces tiene una derivada con un signo cambiante de - a +, lo que significa que el punto se llama mínimo.

Para determinar correctamente los puntos máximo y mínimo de una función, debes seguir el algoritmo para encontrarlos:

encontrar el dominio de definición;
encuentre la derivada de la función en esta área;
identificar ceros y puntos donde la función no existe;
determinar el signo de la derivada en intervalos;
seleccione los puntos donde la función cambia de signo.

Consideremos el algoritmo resolviendo varios ejemplos de cómo encontrar los extremos de una función.

Ejemplo 1

Encuentra puntos máximos y mínimos. función dada y = 2 (x + 1) 2 x - 2 .

Solución

El alcance de una función determinada lo es todo. números reales excepto x = 2. Primero, encontremos la derivada de la función y obtengamos:

y " = 2 x + 1 2 x - 2 " = 2 x + 1 2 " (x - 2) - (x + 1) 2 (x - 2) " (x - 2) 2 = = 2 2 (x + 1) (x + 1) " (x - 2) - (x + 1) 2 1 (x - 2) 2 = 2 2 (x + 1) (x - 2 ) - (x + 2) 2 (x - 2) 2 = = 2 · (x + 1) · (x - 5) (x - 2) 2

De aquí vemos que los ceros de la función son x = - 1, x = 5, x = 2, es decir, cada paréntesis debe equipararse a cero. Marquémoslo en el eje numérico y obtengamos:

Ahora determinamos los signos de la derivada de cada intervalo. Es necesario seleccionar un punto incluido en el intervalo y sustituirlo en la expresión. Por ejemplo, puntos x = - 2, x = 0, x = 3, x = 6.

lo entendemos

y " (- 2) = 2 · (x + 1) · (x - 5) (x - 2) 2 x = - 2 = 2 · (- 2 + 1) · (- 2 - 5) (- 2 - 2) 2 = 2 · 7 16 = 7 8 > 0, lo que significa que el intervalo - ∞ - 1 tiene una derivada positiva De manera similar, encontramos que.

y " (0) = 2 · (0 + 1) · 0 - 5 0 - 2 2 = 2 · - 5 4 = - 5 2< 0 y " (3) = 2 · (3 + 1) · (3 - 5) (3 - 2) 2 = 2 · - 8 1 = - 16 < 0 y " (6) = 2 · (6 + 1) · (6 - 5) (6 - 2) 2 = 2 · 7 16 = 7 8 > 0

Dado que el segundo intervalo resultó ser menor que cero, significa que la derivada del intervalo será negativa. El tercero con menos, el cuarto con más. Para determinar la continuidad, es necesario prestar atención al signo de la derivada; si cambia, entonces este es un punto extremo.

Encontramos que en el punto x = - 1 la función será continua, lo que significa que la derivada cambiará de signo de + a -. Según el primer signo, tenemos que x = - 1 es un punto máximo, lo que significa que obtenemos

y m a x = y (- 1) = 2 (x + 1) 2 x - 2 x = - 1 = 2 (- 1 + 1) 2 - 1 - 2 = 0

El punto x = 5 indica que la función es continua y la derivada cambiará de signo de – a +. Esto significa que x = -1 es el punto mínimo, y su determinación tiene la forma

y m i n = y (5) = 2 (x + 1) 2 x - 2 x = 5 = 2 (5 + 1) 2 5 - 2 = 24

Imagen gráfica

Respuesta: y m a x = y (- 1) = 0, y m i n = y (5) = 24.

Vale la pena prestar atención al hecho de que el uso del primer criterio suficiente para un extremo no requiere que la función sea diferenciable en el punto x 0, lo que simplifica el cálculo.

Ejemplo 2

Encuentra los puntos máximo y mínimo de la función y = 1 6 x 3 = 2 x 2 + 22 3 x - 8.

Solución.

El dominio de una función son todos los números reales. Esto se puede escribir como un sistema de ecuaciones de la forma:

1 6 x 3 - 2 x 2 - 22 3 x - 8 , x< 0 1 6 x 3 - 2 x 2 + 22 3 x - 8 , x ≥ 0

Entonces necesitas encontrar la derivada:

y " = 1 6 x 3 - 2 x 2 - 22 3 x - 8 " , x< 0 1 6 x 3 - 2 x 2 + 22 3 x - 8 " , x >0 y " = - 1 2 x 2 - 4 x - 22 3 , x< 0 1 2 x 2 - 4 x + 22 3 , x > 0

El punto x = 0 no tiene derivada, porque los valores de los límites unilaterales son diferentes. Obtenemos eso:

lim y " x → 0 - 0 = lim y x → 0 - 0 - 1 2 x 2 - 4 x - 22 3 = - 1 2 (0 - 0) 2 - 4 (0 - 0) - 22 3 = - 22 3 lim y "x → 0 + 0 = lim y x → 0 - 0 1 2 x 2 - 4 x + 22 3 = 1 2 (0 + 0) 2 - 4 (0 + 0) + 22 3 = + 22 3

Se deduce que la función es continua en el punto x = 0, entonces calculamos

lím y x → 0 - 0 = lím x → 0 - 0 - 1 6 x 3 - 2 x 2 - 22 3 x - 8 = = - 1 6 · (0 - 0) 3 - 2 · (0 - 0) 2 - 22 3 (0 - 0) - 8 = - 8 lím y x → 0 + 0 = lím x → 0 - 0 1 6 x 3 - 2 x 2 + 22 3 x - 8 = = 1 6 (0 + 0) 3 - 2 · (0 + 0) 2 + 22 3 · (0 + 0) - 8 = - 8 y (0) = 1 6 x 3 - 2 x 2 + 22 3 x - 8 x = 0 = 1 6 · 0 3 - 2 0 2 + 22 3 0 - 8 = - 8

Es necesario realizar cálculos para encontrar el valor del argumento cuando la derivada se vuelve cero:

1 2 x 2 - 4 x - 22 3 , x< 0 D = (- 4) 2 - 4 · - 1 2 · - 22 3 = 4 3 x 1 = 4 + 4 3 2 · - 1 2 = - 4 - 2 3 3 < 0 x 2 = 4 - 4 3 2 · - 1 2 = - 4 + 2 3 3 < 0

1 2 x 2 - 4 x + 22 3 , x > 0 D = (- 4) 2 - 4 1 2 22 3 = 4 3 x 3 = 4 + 4 3 2 1 2 = 4 + 2 3 3 > 0 x 4 = 4 - 4 3 2 1 2 = 4 - 2 3 3 > 0

Todos los puntos obtenidos deben marcarse en línea recta para determinar el signo de cada intervalo. Por tanto, es necesario calcular la derivada en puntos arbitrarios para cada intervalo. Por ejemplo, podemos tomar puntos con valores x = - 6, x = - 4, x = - 1, x = 1, x = 4, x = 6. lo entendemos

y " (- 6) = - 1 2 x 2 - 4 x - 22 3 x = - 6 = - 1 2 · - 6 2 - 4 · (- 6) - 22 3 = - 4 3< 0 y " (- 4) = - 1 2 x 2 - 4 x - 22 3 x = - 4 = - 1 2 · (- 4) 2 - 4 · (- 4) - 22 3 = 2 3 >0 y " (- 1) = - 1 2 x 2 - 4 x - 22 3 x = - 1 = - 1 2 · (- 1) 2 - 4 · (- 1) - 22 3 = 23 6< 0 y " (1) = 1 2 x 2 - 4 x + 22 3 x = 1 = 1 2 · 1 2 - 4 · 1 + 22 3 = 23 6 >0 y "(4) = 1 2 x 2 - 4 x + 22 3 x = 4 = 1 2 4 2 - 4 4 + 22 3 = - 2 3< 0 y " (6) = 1 2 x 2 - 4 x + 22 3 x = 6 = 1 2 · 6 2 - 4 · 6 + 22 3 = 4 3 > 0

La imagen en línea recta parece

Esto significa que llegamos a la conclusión de que es necesario recurrir al primer signo de un extremo. Calculemos y encontremos que

x = - 4 - 2 3 3 , x = 0 , x = 4 + 2 3 3 , entonces a partir de aquí los puntos máximos tienen los valores x = - 4 + 2 3 3 , x = 4 - 2 3 3

Pasemos al cálculo de los mínimos:

y m i n = y - 4 - 2 3 3 = 1 6 x 3 - 2 2 + 22 3 x - 8 x = - 4 - 2 3 3 = - 8 27 3 y m i n = y (0) = 1 6 x 3 - 2 2 + 22 3 x - 8 x = 0 = - 8 y m yo n = y 4 + 2 3 3 = 1 6 x 3 - 2 2 + 22 3 x - 8 x = 4 + 2 3 3 = - 8 27 3

Calculemos los máximos de la función. lo entendemos

y m a x = y - 4 + 2 3 3 = 1 6 x 3 - 2 2 + 22 3 x - 8 x = - 4 + 2 3 3 = 8 27 3 y m a x = y 4 - 2 3 3 = 1 6 x 3 - 2 2 + 22 3 x - 8 x = 4 - 2 3 3 = 8 27 3

Imagen gráfica

Respuesta:

y m i n = y - 4 - 2 3 3 = - 8 27 3 y m i n = y (0) = - 8 y m i n = y 4 + 2 3 3 = - 8 27 3 y m a x = y - 4 + 2 3 3 = 8 27 3 y m a x = y 4 - 2 3 3 = 8 27 3

Si se da una función f "(x 0) = 0, entonces si f "" (x 0) > 0, obtenemos que x 0 es un punto mínimo si f "" (x 0)< 0 , то точкой максимума. Признак связан с нахождением производной в точке x 0 .

Ejemplo 3

Encuentra los máximos y mínimos de la función y = 8 x x + 1.

Solución

Primero, encontramos el dominio de definición. lo entendemos

D(y) : x ≥ 0 x ≠ - 1 ⇔ x ≥ 0

Es necesario diferenciar la función, después de lo cual obtenemos

y " = 8 x x + 1 " = 8 x " (x + 1) - x (x + 1) " (x + 1) 2 = = 8 1 2 x (x + 1) - x 1 (x + 1) 2 = 4 x + 1 - 2 x (x + 1) 2 x = 4 - x + 1 (x + 1) 2 x

En x = 1, la derivada se vuelve cero, lo que significa que el punto es un posible extremo. Para aclarar, es necesario encontrar la segunda derivada y calcular el valor en x = 1. Obtenemos:

y "" = 4 - x + 1 (x + 1) 2 x " = = 4 (- x + 1) " (x + 1) 2 x - (- x + 1) x + 1 2 x " (x + 1) 4 x = = 4 (- 1) (x + 1) 2 x - (- x + 1) x + 1 2 " x + (x + 1) 2 x " (x + 1) 4 x = = 4 - (x + 1) 2 x - (- x + 1) 2 x + 1 (x + 1) " x + (x + 1) 2 2 x (x + 1) 4 x = = - (x + 1) 2 x - (- x + 1) x + 1 2 x + x + 1 2 x (x + 1) 4 x = = 2 3 x 2 - 6 x - 1 x + 1 3 x 3 ⇒ y "" (1 ) = 2 3 1 2 - 6 1 - 1 (1 + 1) 3 (1) 3 = 2 · - 4 8 = - 1< 0

Esto significa que usando la condición suficiente para un extremo, obtenemos que x = 1 es un punto máximo. De lo contrario, la entrada se verá así y m a x = y (1) = 8 1 1 + 1 = 4.

Imagen gráfica

Respuesta: y m a x = y (1) = 4 ..

Definición 5

La función y = f (x) tiene su derivada hasta el enésimo orden en la vecindad ε punto dado x 0 y derivada hasta n + 1er orden en el punto x 0 . Entonces f " (x 0) = f "" (x 0) = f " " " (x 0) = . . . = f norte (x 0) = 0 .

De ello se deduce que cuando n es un número par, entonces x 0 se considera un punto de inflexión, cuando n es un número impar, entonces x 0 es un punto extremo y f (n + 1) (x 0) > 0, entonces x 0 es un punto mínimo, f (n + 1) (x 0)< 0 , тогда x 0 является точкой максимума.

Ejemplo 4

Encuentra los puntos máximo y mínimo de la función y y = 1 16 (x + 1) 3 (x - 3) 4.

Solución

La función original es una función entera racional, lo que significa que el dominio de definición son todos los números reales. Es necesario diferenciar la función. lo entendemos

y " = 1 16 x + 1 3 " (x - 3) 4 + (x + 1) 3 x - 3 4 " = = 1 16 (3 (x + 1) 2 (x - 3) 4 + (x + 1) 3 4 (x - 3) 3) = = 1 16 (x + 1) 2 (x - 3) 3 (3 x - 9 + 4 x + 4) = 1 16 (x + 1) 2 (x - 3) 3 (7x-5)

Esta derivada irá a cero en x 1 = - 1, x 2 = 5 7, x 3 = 3. Es decir, los puntos pueden ser posibles puntos extremos. Es necesario aplicar la tercera condición suficiente para el extremo. Encontrar la segunda derivada le permite determinar con precisión la presencia de un máximo y un mínimo de una función. La segunda derivada se calcula en los puntos de su posible extremo. lo entendemos

y "" = 1 16 x + 1 2 (x - 3) 3 (7 x - 5) " = 1 8 (x + 1) (x - 3) 2 (21 x 2 - 30 x - 3) y "" (- 1) = 0 y "" 5 7 = - 36864 2401< 0 y "" (3) = 0

Esto significa que x 2 = 5 7 es el punto máximo. Aplicando el tercer criterio suficiente, encontramos que para n = 1 y f (n + 1) 5 7< 0 .

Es necesario determinar la naturaleza de los puntos x 1 = - 1, x 3 = 3. Para hacer esto, necesitas encontrar la tercera derivada y calcular los valores en estos puntos. lo entendemos

y " " " = 1 8 (x + 1) (x - 3) 2 (21 x 2 - 30 x - 3) " = = 1 8 (x - 3) (105 x 3 - 225 x 2 - 45 x + 93) y " " " (- 1) = 96 ≠ 0 y " " " (3) = 0

Esto significa que x 1 = - 1 es el punto de inflexión de la función, ya que para n = 2 y f (n + 1) (- 1) ≠ 0. Es necesario investigar el punto x 3 = 3. Para ello, encontramos la cuarta derivada y realizamos cálculos en este punto:

y (4) = 1 8 (x - 3) (105 x 3 - 225 x 2 - 45 x + 93) " = = 1 2 (105 x 3 - 405 x 2 + 315 x + 57) y (4) ( 3) = 96 > 0

De lo decidido anteriormente, concluimos que x 3 = 3 es el punto mínimo de la función.

Imagen gráfica

Respuesta: x 2 = 5 7 es el punto máximo, x 3 = 3 es el punto mínimo de la función dada.

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Derivado. Si la derivada de una función es positiva para cualquier punto del intervalo, entonces la función aumenta; si es negativa, disminuye.

Para encontrar los intervalos de aumento y disminución de una función, es necesario encontrar su dominio de definición, derivada, resolver desigualdades de la forma F’(x) > 0 y F’(x)

Solución.

3. Resuelve las desigualdades y’ > 0 y y’ 0;
(4 - x)/x³

Solución.
1. Encontremos el dominio de definición de la función. Obviamente, la expresión en el denominador siempre debe ser distinta de cero. Por tanto, 0 está excluido del dominio de definición: la función está definida para x ∈ (-∞; 0)∪(0; +∞).

2. Calcula la derivada de la función:
y'(x) = ((3 x² + 2 x - 4)' x² – (3 x² + 2 x - 4) (x²)')/x^4 = ((6 x + 2) x² – (3 x² + 2 x - 4) 2 x)/x^4 = (6 x³ + 2 x² – 6 x³ – 4 x² + 8 x)/x^ 4 = (8 x – 2 x²)/x^4 = 2 (4 -x)/x³.

3. Resuelve las desigualdades y’ > 0 y y’ 0;
(4 - x)/x³

4. Lado izquierdo la desigualdad tiene un real x = 4 y se convierte en x = 0. Por lo tanto, el valor x = 4 está incluido tanto en el intervalo como en el intervalo decreciente, y el punto 0 no está incluido.
Entonces, función requerida aumenta en el intervalo x ∈ (-∞; 0) ∪ .

4. El lado izquierdo de la desigualdad tiene un x = 4 real y se convierte en x = 0. Por lo tanto, el valor x = 4 está incluido tanto en el intervalo como en el intervalo decreciente, y el punto 0 no está incluido.
Entonces, la función requerida aumenta en el intervalo x ∈ (-∞; 0) ∪.

Fuentes:

cómo encontrar intervalos decrecientes en una función

Una función representa una dependencia estricta de un número de otro, o el valor de una función (y) de un argumento (x). Cada proceso (no sólo en matemáticas) puede describirse mediante su propia función, que tendrá rasgos característicos: intervalos decrecientes y crecientes, puntos de mínimos y máximos, etc.

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Instrucciones

Ejemplo 2.
Encuentra los intervalos decrecientes f(x)=senx +x.
La derivada de esta función será igual a: f’(x)=cosx+1.
Resolviendo la desigualdad cosx+1

Intervalo monotonía una función puede denominarse intervalo en el que la función solo aumenta o solo disminuye. Una serie de acciones específicas ayudarán a encontrar dichos rangos para una función, lo que a menudo se requiere en problemas algebraicos. este tipo.

Instrucciones

El primer paso para resolver el problema de determinar los intervalos en los que una función aumenta o disminuye monótonamente es calcular esta función. Para hacer esto, averigüe todos los valores de los argumentos (valores a lo largo del eje x) para los cuales puede encontrar el valor de la función. Marque los puntos donde se observan discontinuidades. Encuentra la derivada de la función. Una vez que hayas determinado la expresión que representa la derivada, igualala a cero. Después de esto, debes encontrar las raíces del resultado. No sobre el área permitida.

Los puntos en los que la función o su derivada es igual a cero representan los límites de los intervalos. monotonía. Estos rangos, así como los puntos que los separan, deben ingresarse secuencialmente en la tabla. Encuentra el signo de la derivada de la función en los intervalos resultantes. Para hacer esto, sustituya cualquier argumento del intervalo en la expresión correspondiente a la derivada. Si el resultado es positivo, la función en este rango aumenta, en caso contrario disminuye. Los resultados se ingresan en la tabla.

En la línea que denota la derivada de la función f'(x), se escriben los valores correspondientes de los argumentos: "+" - si la derivada es positiva, "-" - negativa o "0" - igual a cero. EN siguiente línea Nótese la monotonía de la propia expresión original. Una flecha hacia arriba corresponde a un aumento y una flecha hacia abajo corresponde a una disminución. Consulta las funciones. Estos son los puntos en los que la derivada es cero. Un extremo puede ser un punto máximo o un punto mínimo. Si el apartado anterior de la función aumentó y el actual disminuyó, este es el punto máximo. En el caso de que la función antes de un punto dado estuviera decreciendo y ahora esté aumentando, este es el punto mínimo. Ingrese los valores de la función en los puntos extremos en la tabla.

Fuentes:

¿Cuál es la definición de monotonía?

El comportamiento de una función que tiene una dependencia compleja del argumento se estudia mediante la derivada. Por la naturaleza del cambio en la derivada, se pueden encontrar puntos críticos y áreas de crecimiento o disminución de la función.

Para comprender este tema, consideremos una función representada en una gráfica // Mostremos cómo la gráfica de una función le permite determinar sus propiedades.

Veamos las propiedades de una función usando un ejemplo.

El dominio de definición de la función es lapso [ 3,5; 5.5].

El rango de valores de la función es lapso [ 1; 3].

1. En x = -3, x = - 1, x = 1,5, x = 4,5, el valor de la función es cero.

El valor del argumento en el que el valor de la función es cero se llama función cero.

//aquellos. para esta función los números son -3;-1;1.5; 4,5 son ceros.

2. A intervalos [ 4,5; 3) y (1; 1.5) y (4.5; 5.5] la gráfica de la función f se ubica arriba del eje de abscisas, y en los intervalos (-3; -1) y (1.5; 4.5) debajo del eje de abscisas, esto se explica de la siguiente manera: en los intervalos [ 4.5; 3) y (1; 1.5) y (4.5; 5.5] la función toma valores positivos, y en los intervalos (-3; -1) y ( 1.5; 4.5) negativos.

Cada uno de los intervalos indicados (donde la función toma valores del mismo signo) se denomina intervalo de signo constante de la función f.//es decir. por ejemplo, si tomamos el intervalo (0; 3), entonces no es un intervalo de signo constante para esta función.

En matemáticas, al buscar intervalos de signo constante de una función, se acostumbra indicar los intervalos longitud máxima. //Aquellos. el intervalo (2; 3) es intervalo de constancia de signo función f, pero la respuesta debe incluir el intervalo [ 4.5; 3) que contiene el intervalo (2; 3).

3. Si te mueves a lo largo del eje x de 4,5 a 2, notarás que la gráfica de la función baja, es decir, los valores de la función disminuyen. //En matemáticas se acostumbra decir que en el intervalo [ 4.5; 2] la función disminuye.

A medida que x aumenta de 2 a 0, la gráfica de la función aumenta, es decir los valores de la función aumentan. //En matemáticas se acostumbra decir que en el intervalo [ 2; 0] la función aumenta.

Se llama a una función f si para dos valores cualesquiera del argumento x1 y x2 de este intervalo tales que x2 > x1, se cumple la desigualdad f (x2) > f (x1). // o se llama a la función aumentando en algún intervalo, si para cualquier valor del argumento de este intervalo, un valor mayor del argumento corresponde a un valor mayor de la función.//es decir. cuanto más x, más y.

La función f se llama disminuyendo en algún intervalo, si para dos valores cualesquiera del argumento x1 y x2 de este intervalo tales que x2 > x1, la desigualdad f(x2) disminuye en algún intervalo, si para cualquier valor del argumento de este intervalo el valor mayor del argumento corresponde al valor menor de la función. //aquellos. cuanto más x, menos y.

Si una función aumenta en todo el dominio de definición, entonces se llama creciente.

Si una función disminuye en todo el dominio de definición, entonces se llama decreciente.

Ejemplo 1. gráfica de funciones crecientes y decrecientes respectivamente.