La fuerza de atracción mutua entre las placas del condensador. Fórmulas para condensadores. Capacitancia eléctrica de un condensador de placas paralelas.
Los movimientos representan la intersección de isosuperficies de las integrales de movimiento correspondientes. Por ejemplo, el gráfico de Poinsot muestra que sin torsión, la rotación sólido representa la intersección de una esfera (conservación del momento angular total) y un elipsoide (conservación de energía), una trayectoria que es difícil de derivar y visualizar. Por tanto, encontrar integrales de movimiento es un objetivo importante en mecánica.
Métodos para encontrar integrales de movimiento.
Existen varios métodos para encontrar integrales de movimiento:
- Lo más sencillo, pero también lo menos. método estricto Consiste en un enfoque intuitivo, a menudo basado en datos experimentales y la posterior prueba matemática de la conservación de la cantidad.
- La ecuación de Hamilton-Jacobi ofrece un método riguroso y directo para encontrar integrales de movimiento, especialmente si el hamiltoniano toma la forma funcional familiar en coordenadas ortogonales.
- Otro enfoque consiste en correlacionar una cantidad conservada y algún tipo de simetría lagrangiana. El teorema de Noether proporciona una forma sistemática de derivar tales cantidades a partir de simetrías. Por ejemplo, la ley de conservación de la energía es el resultado de que el lagrangiano no cambia con respecto a un desplazamiento en el tiempo; la ley de conservación del momento equivale a la invariancia del lagrangiano con respecto a un desplazamiento del tiempo; origen en el espacio ( simetría de traducción) y la ley de conservación del momento angular se deriva de la isotropía del espacio (el lagrangiano no cambia cuando se gira el sistema de coordenadas). Lo contrario también es cierto: cada simetría del Lagrangiano corresponde a una integral de movimiento.
- Magnitud A se conserva si no depende explícitamente del tiempo y sus corchetes de Poisson con el hamiltoniano del sistema son iguales a cero
Otro resultado útil se conoce como teorema de poisson, que establece que si hay dos integrales de movimiento A Y B luego corchetes de Poisson ( A,B) de estas dos cantidades es también la integral del movimiento.
Sistema con norte grados de libertad y norte Las integrales de movimiento tales que los corchetes de Poisson de cualquier par de integrales son iguales a cero se conocen como un sistema completamente integrable. Se dice que tal conjunto de integrales de movimiento están en involución entre sí.
En mecánica cuántica
Valor observado q se conserva si conmuta con el hamiltoniano h, que no depende explícitamente del tiempo. Es por eso
donde se utiliza la relación de conmutación
.Conclusión
Que haya algo observable q, que depende de la coordenada, el impulso y el tiempo.
Calcular la derivada temporal del valor medio de lo observado. q Se utiliza la regla de diferenciación de productos y el resultado después de algunas manipulaciones se muestra a continuación.
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Como resultado obtenemos
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Relación con el caos cuántico y la integrabilidad cuántica
En la mecánica clásica existe el teorema de Liouville, según el cual un sistema en el que el número de integrales de movimiento en una involución coincide con el número de grados de libertad norte, se puede integrar (resolver) completamente mediante el método de separación de variables en la ecuación de Hamilton-Jacobi. Un sistema de este tipo es un sistema integrado. La trayectoria de tal sistema es 2 norte-El espacio de fase dimensional se puede representar en variables adecuadas (variables de ángulo de acción) como devanado en norte-toro dimensional. Los sistemas en los que el número de integrales es menor que el número de grados de libertad exhiben un comportamiento caótico, es decir, trayectorias en el espacio de fase con estrechas condiciones iniciales puede divergir exponencialmente. Con una ligera deformación del sistema integrable a uno no integrable norte-toro dimensional en 2 norte-El espacio de fase dimensional se destruye (“difumina”), convirtiéndose, por ejemplo, en un atractor extraño.
Se desconoce el análogo cuántico del teorema de Liouville; sin embargo, incluso en el caso cuántico, los sistemas se pueden dividir en integrables y no integrables. Por integrables en este caso nos referimos a sistemas que permiten una solución exacta, en el sentido de poder encontrarlo todo. valores propios Y funciones nativas Hamiltoniano en forma razonable. Se conoce un análogo cuántico del método de separación de variables, pero su aplicación no es tan universal en los casos clásicos. Ejemplos bien conocidos muestran que en los sistemas cuánticos integrables, así como en los clásicos, existe norte Integrales de movimiento que se desplazan entre sí. Sin embargo, la presencia norte Las integrales de movimiento, aparentemente, aún no garantizan la integrabilidad cuántica. El problema de la cuantificación de sistemas integrables es la búsqueda de un sistema cuántico que permita una solución exacta y dé un resultado determinado. sistema clasico en el límite clásico. También hay ejemplos de sistemas cuánticos integrables que no tienen análogos clásicos integrables. Esto ocurre cuando el sistema puede resolverse con valores especiales de los parámetros del hamiltoniano cuántico, o cuando el sistema no admite una descripción clásica (como por ejemplo un sistema de espines).
Todos los demás sistemas cuánticos exhiben, en un grado u otro, signos de caos cuántico. Los sistemas caóticos clásicos admiten la cuantificación en el sentido de que su espacio de estados y el hamiltoniano pueden determinarse correctamente; sin embargo, tanto los sistemas caóticos clásicos como los cuánticos aparentemente no permiten solución exacta. Pueden estudiarse mediante métodos aproximados, como la teoría de la perturbación y el método variacional, y también estudiarse numéricamente utilizando métodos de dinámica molecular en el caso clásico o la diagonalización numérica del hamiltoniano en el caso cuántico.
Ver también
Literatura
- Introducción a la mecánica cuántica (2ª ed.). - Prentice Hall, 2004. - ISBN 0-13-805326-X
- Landau, L. D., Lifshits, E. M. Mecánica. - 4ª edición, revisada. - M.: Nauka, 1988. - 215 p. - (“Física Teórica”, tomo I). -ISBN 5-02-013850-9
- Arnaldo V.I. Métodos matemáticos Mecánica clásica", de. 5°, M.: Editorial URSS, 2003, ISBN 5-354-00341-5
Fundación Wikimedia.
2010.
Vea qué es "Integral de movimiento" en otros diccionarios: integral de movimiento
- judėjimo integralas statusas T sritis fizika atitikmenys: engl. integral de movimiento vok. Bewegungsintegral, n rus. integral de movimiento, m pranc. integral de movimiento, f … Fizikos terminų žodynas Integral (ver también Antiderivada, Integración numérica, Integración por partes) operador matemático : Integral definida Integral indefinida
varias definiciones de integrales: Integral es una extensión del concepto de suma Ito Integral... ... Wikipedia La integral de Cauchy Lagrange es la integral de las ecuaciones de movimiento de un fluido ideal (ecuaciones de Euler) en el caso de flujos potenciales. Contenido 1 Opciones de título 2 Antecedentes históricos
...Wikipedia Término de la ecuación cinética de Boltzmann igual al cambio en la función de distribución de partículas (o cuasipartículas) por unidad de tiempo en un elemento del volumen de fase debido a colisiones entre ellas; su nombre también un operador de colisión. Es. igual (con... ...
Enciclopedia física uno de matemático análisis y todas las matemáticas, cuyo surgimiento está asociado con dos problemas: la restauración de una función a partir de su derivada (por ejemplo, el problema de encontrar la ley del movimiento de un punto material a lo largo de una línea recta ... ... Enciclopedia Matemática
Impulso (cantidad de movimiento) integral aditiva del movimiento sistema mecanico; la ley de conservación correspondiente está asociada con la simetría y homogeneidad fundamentales del espacio. Contenido 1 Historia del término 2 Definición de “escuela”... ... Wikipedia
La formulación a través de la integral de camino de la mecánica cuántica es una descripción. teoría cuántica, que generaliza el principio de funcionamiento de la mecánica clásica. Reemplaza la notación clásica de una trayectoria única y única para un sistema con una suma, o... ... Wikipedia
- (integral de trayectoria, integral de trayectoria, integral de trayectoria de Feynman) registro o resultado de la integración funcional (integración de trayectoria). encuentra mayor aplicación en física cuántica (teoría cuántica... Wikipedia
- Traducción
La simulación física realiza pequeñas predicciones basadas en las leyes de la física. Estas predicciones son en realidad bastante simples, algo así como “si un objeto está aquí y se mueve a esta velocidad en esta dirección, en un corto período de tiempo terminará aquí”. Hacemos estas predicciones utilizando una técnica matemática llamada integración.
El tema de este artículo será la implementación de dicha integración.
Integrando las ecuaciones de movimiento
Quizás recuerdes de la escuela secundaria o la universidad que la fuerza es igual a la masa multiplicada por la aceleración.Reorganicemos esta ecuación y veamos que la aceleración es igual a la fuerza dividida por la masa. Esto coincide con nuestras expectativas intuitivas porque los objetos pesados son más difíciles de lanzar.
La aceleración es la tasa de cambio de velocidad a lo largo del tiempo:
De manera similar, la velocidad es la tasa de cambio de posición a lo largo del tiempo:
Esto significa que si conocemos la posición y velocidad actuales de un objeto, así como las fuerzas que se le aplican, podemos integrarlos para encontrar su posición y velocidad en un momento determinado.
Integración numérica
Si no estudiaste ecuaciones diferenciales en la universidad, entonces puedes respirar tranquilo: estás casi en la misma situación que quienes las estudiaron, porque no resolveremos ecuaciones diferenciales analíticamente. En lugar de eso buscaremos una solución. integración numérica.Así es como funciona integración numérica: Primero, comencemos con la posición y velocidad originales, luego demos un pequeño paso hacia adelante para encontrar la velocidad y posición en el futuro. Luego repetimos esto, avanzando en pequeños pasos, utilizando el resultado de los cálculos anteriores como punto de partida para el siguiente.
Pero, ¿cómo encontramos el cambio de velocidad y posición en cada paso?
La respuesta está en ecuaciones de movimiento.
llamemos al nuestro hora actual t, y el paso de tiempo dt o "tiempo delta".
Ahora podemos presentar las ecuaciones de movimiento en una forma que todos puedan entender:
Aceleración = fuerza/masa cambio de posición = velocidad * dt cambio de velocidad = aceleración * dt
Intuitivamente, esto está claro: si estás en un coche que circula a una velocidad de 60 km/h, en una hora recorrerás 60 km. De manera similar, un automóvil que acelera a 10 km/h por segundo se moverá 100 km/h más rápido después de 10 segundos.
Por supuesto, esta lógica sólo se cumple cuando la aceleración y la velocidad son constantes. Pero incluso si cambian, para empezar, ésta es una aproximación bastante buena.
Pongamos esto en código. Empecemos con objeto estacionario que pesa un kilogramo y aplicarle fuerza constante en 10 kN (kilonewtons) y vaya un paso más allá, suponiendo que un paso de tiempo es igual a un segundo:
Doble t = 0,0; flotador dt = 1,0f; velocidad de flotación = 0,0f;<= 10.0)
{
position = position + velocity * dt;
velocity = velocity + (force / mass) * dt;
t += dt;
}
posición flotante
= 0,0f;
fuerza de flotación = 10,0f;
masa flotante = 1,0f;
mientras(t Este es el resultado:.T=0: posición = 0 velocidad = 0 t=1: posición = 0 velocidad = 10 t=2: posición = 10 velocidad = 20 t=3: posición = 30 velocidad = 30 t=4: posición = 60 velocidad = 40 t=5: posición = 100 velocidad = 50 t=6: posición = 150 velocidad = 60 t=7: posición = 210 velocidad = 70 t=8: posición = 280 velocidad = 80 t=9: posición = 360 velocidad = 90 t=10: posición = 450 velocidad = 100
Como puedes ver, en cada paso conocemos tanto la posición como la velocidad del objeto. Esta es la integración numérica.
Método de Euler explícito
¿Pero qué tan grande es este error? ¡Descubrámoslo!
Existe una solución analítica para el movimiento de un objeto bajo aceleración constante. Podemos usarlo para comparar la posición numéricamente integrada con el resultado exacto:
S = ut + 0,5at^2 s = 0,0*t + 0,5at^2 s = 0,5(10)(10^2) s = 0,5(10)(100) s = 500 metros
Después de 10 segundos, el objeto debería haberse movido 500 metros, pero el método explícito de Euler nos da un resultado de 450. Es decir, ¡un error de hasta 50 metros en sólo 10 segundos!
Esto parece increíblemente malo, pero en los juegos el intervalo de tiempo para un paso de física no suele ser tan largo. De hecho, la física normalmente se calcula a una velocidad aproximadamente igual a la velocidad de fotogramas de la pantalla.
Si estableces el paso dt= 1 ⁄ 100, entonces obtenemos un resultado mucho mejor:
T=9.90: posición = 489.552155 velocidad = 98.999062 t=9.91: posición = 490.542145 velocidad = 99.099060 t=9.92: posición = 491.533142 velocidad = 99.199059 t=9.93: posición = 492.525146 velocidad = 99.2 99057 t=9,94: posición = 493,518127 velocidad = 99.399055 t=9.95: posición = 494.512115 velocidad = 99.499054 t=9.96: posición = 495.507111 velocidad = 99.599052 t=9.97: posición = 496.503113 velocidad = 99.699051 t=9.98: posición = 092 velocidad = 99,7 99049 t=9,99: posición = 498,498077 velocidad = 99.899048 t=10.00: posición = 499.497070 velocidad = 99.999046
Como puedes ver, este es un resultado bastante bueno, definitivamente suficiente para el juego.
Por qué el método explícito de Euler no es (siempre) tan bueno
Con un paso de tiempo suficientemente pequeño, el método explícito de Euler con aceleración constante da resultados bastante decentes, pero ¿qué sucede si la aceleración no es constante?Un buen ejemplo de aceleración variable es el sistema de amortiguación de resortes.
En este sistema, una masa está unida a un resorte y su movimiento es amortiguado por algo parecido a la fricción. Hay una fuerza proporcional a la distancia del objeto, que lo atrae hacia su punto de partida, y una fuerza proporcional a la velocidad del objeto, pero dirigida en la dirección opuesta, que lo frena.
En este caso, la aceleración ciertamente cambia durante un intervalo de tiempo, pero esta función en constante cambio es una combinación de posición y velocidad, que a su vez cambian constantemente a lo largo de un intervalo de tiempo.
La mayoría de los motores de física de juegos comerciales utilizan este integrador.
La transición del método de Euler explícito al simpléctico consiste únicamente en la sustitución:
Posición += velocidad * dt;
velocidad += aceleración * dt;
a:
Usando el integrador simpléctico de Euler para dt= 1 ⁄ 100 para un sistema de amortiguador de resorte da un resultado estable, muy cercano a la solución exacta:
Aunque el método simpléctico de Euler tiene el mismo grado de precisión que el método explícito (grado 1), al integrar las ecuaciones de movimiento obtenemos un resultado mucho mejor porque es simpléctico.
Hay muchos otros métodos de integración.
Y ahora algo completamente diferente.RK4 es un integrador de cuarto orden, es decir, el error acumulado es del orden de la cuarta derivada. Esto hace que el método sea muy preciso, mucho más preciso que los métodos explícitos e implícitos de Euler, que son sólo de primer orden.
Pero aunque es más preciso, no se puede decir que RK4 sea automáticamente un "mejor" integrador, o incluso que sea mejor que el método simpléctico de Euler. Todo es mucho más complicado. Aún así, es un integrador bastante interesante y vale la pena explorarlo.
Implementación de RK4
Ya existen muchas explicaciones de las matemáticas utilizadas en RK4. Por ejemplo: , y . Recomiendo ampliamente estudiar su derivación y entender cómo y por qué funciona a nivel matemático. Pero entiendo que el público objetivo de este artículo son los programadores, no los matemáticos, por lo que aquí solo consideraremos la implementación. Así que comencemos.Antes de comenzar, definamos el estado del objeto como una estructura en C++ para que podamos almacenar convenientemente la posición y la velocidad en un solo lugar:
Estado de la estructura ( float x; // posición float v; // velocidad );
También necesitamos una estructura para almacenar valores de estado derivados:
Derivada de estructura ( float dx; // dx/dt = velocidad float dv; // dv/dt = aceleración );
Ahora necesitamos una función para calcular el estado de la física desde t hasta t+dt usando un conjunto de derivadas, y luego calcular las derivadas en el nuevo estado:
Evaluación derivada(const Estado e inicial, doble t, flotante dt, const Derivada y d) ( Estado estado; estado.x = inicial.x + d.dx*dt; estado.v = inicial.v + d.dv*dt ; salida derivada; salida.dx = estado.v; aceleración(estado, t+dt);
La función de aceleración controla toda la simulación. Usémoslo en un sistema de amortiguador de resorte y devolvamos la aceleración por unidad de masa:
Aceleración de flotación (const Estado y estado, doble t) ( const float k = 15.0f; const float b = 0.1f; return -k * state.x - b * state.v; )
Lo que se debe escribir aquí dependerá, por supuesto, de la simulación, pero es necesario estructurar la simulación de tal manera que la aceleración pueda calcularse dentro de este método para un estado y tiempo determinados; de lo contrario, no será adecuado para el Integrador RK4.
Finalmente, obtenemos el procedimiento de integración en sí:
Integración vacía (Estado y estado, doble t, flotante dt) (Derivada a,b,c,d; a = evaluar(estado, t, 0.0f, Derivada()); b = evaluar(estado, t, dt*0.5 f, a); c = evaluar(estado, t, dt*0.5f, b); d = evaluar(estado, t, dt, c); float dxdt = 1.0f / 6.0f * (a.dx + 2.0f); * (b.dx + c.dx) + d.dx); flotante dvdt = 1.0f / 6.0f * (a.dv + 2.0f * (b.dv + c.dv) + d.dv =); estado.x + dxdt * dt; estado.v = estado.v + dvdt * dt)
El integrador RK4 toma muestras de la derivada en cuatro puntos para determinar la curvatura. Observe cómo la derivada de a se usa en el cálculo de b, b se usa en el cálculo de c y c de d. Esta transferencia de la derivada actual al cálculo de la siguiente es lo que le da precisión al integrador RK4.
Lo importante es que cada una de estas derivadas a, b, cy d será diferente, cuando la tasa de cambio en estas cantidades es función del tiempo o del estado mismo. Por ejemplo, en nuestro sistema de amortiguador de resorte, la aceleración es función de la posición y velocidad actuales, que cambian en un paso de tiempo.
Después de calcular las cuatro derivadas, la mejor derivada general se calcula como la suma ponderada obtenida de la expansión de la serie de Taylor. Esta derivada combinada se utiliza para mover la posición y la velocidad hacia adelante en el tiempo, tal como lo hicimos en el integrador explícito de Euler.
Comparación del método simpléctico de Euler y RK4
Pongamos a prueba el integrador RK4.Obviamente, dado que es un integrador de orden superior (cuarto frente a primero), será claramente más preciso que el método simpléctico de Euler, ¿verdad?
No es cierto. Ambos integradores están tan cerca del resultado exacto que a esta escala es casi imposible notar la diferencia entre ellos. Ambos integradores son estables y repiten muy bien la solución exacta cuando dt= 1 ⁄ 100 .
Tras la ampliación, queda claro que RK4 en realidad más preciso que el método simpléctico de Euler, pero ¿esa precisión vale la complejidad y el tiempo de ejecución adicional de RK4? Es difícil juzgar.
Intentemos ver si podemos encontrar una diferencia significativa entre los dos integradores. Desafortunadamente, no podremos observar este sistema por mucho tiempo porque rápidamente decae hasta cero, así que pasemos a un oscilador armónico simple que oscila indefinidamente y sin decaer.
Este es el resultado exacto al que aspiraremos:
Para dificultar las cosas a los integradores, aumentemos el paso de tiempo a 0,1 segundos.
Ahora ejecutemos los integradores durante 90 segundos y acerquemos:
Después de 90 segundos, el método simpléctico de Euler (curva naranja) estaba desfasado con la solución exacta porque su frecuencia era ligeramente diferente, mientras que la curva verde RK4 coincide con la frecuencia pero pierde energía.
Podemos notar esto claramente aumentando el paso de tiempo a 0,25 segundos.
RK4 mantiene la frecuencia correcta pero pierde energía:
En promedio, el método simpléctico de Euler conserva mucho mejor la energía:
Pero se desfasa. ¡Qué resultado tan interesante! Como puede ver, si RK4 tiene un orden de precisión más alto, entonces no es necesariamente "mejor". Hay muchos matices en esta cuestión.
Conclusión
Implementamos tres integradores diferentes y comparamos los resultados.- masa flotante = 1,0f;
- El método simpléctico de Euler
- Método Runge-Kutta orden 4 (RK4)
Si realmente necesita una mayor precisión que el método simpléctico de Euler, le recomiendo buscar integradores simplécticos de orden superior diseñados para Agregar etiquetas.
La palabra "integral" proviene del latín integralis - integral. Este nombre fue propuesto en el siglo XVII. alumno del gran Leibniz (y también un destacado matemático) I. Bernoulli. ¿Qué es una integral en el sentido moderno? A continuación intentaremos dar una respuesta completa a esta pregunta.
Antecedentes históricos del surgimiento del concepto de integral.
A principios del siglo XVII. Los principales científicos consideraron una gran cantidad de problemas físicos (principalmente mecánicos) en los que era necesario estudiar la dependencia de unas cantidades de otras. Los problemas más obvios y apremiantes eran determinar la velocidad instantánea del movimiento desigual de un cuerpo en cualquier momento y el problema inverso de encontrar la distancia recorrida por el cuerpo durante un cierto período de tiempo durante dicho movimiento. Hoy ya sabemos cuál es la integral de la velocidad de movimiento: esta es la distancia recorrida. Pero la comprensión de cómo calcularlo, conociendo la velocidad en cada momento, no apareció de inmediato.
Al principio, a partir de la consideración de tales dependencias de cantidades físicas, por ejemplo, la trayectoria y la velocidad, se formó el concepto matemático de la función y = f(x). El estudio de las propiedades de diversas funciones condujo al nacimiento del análisis matemático. Los científicos han estado buscando activamente formas de estudiar las propiedades de diversas funciones.
¿Cómo surgió el cálculo de integrales y derivadas?
Después de que Descartes creó las bases de la geometría analítica y el surgimiento de la capacidad de representar gráficamente las dependencias funcionales en los ejes del sistema de coordenadas cartesiano, los investigadores se enfrentaron a dos nuevos problemas importantes: cómo dibujar una tangente a una línea curva en cualquier punto y cómo encontrar el área de una figura acotada arriba por esta curva y rectas paralelas a los ejes de coordenadas. Inesperadamente, resultó que el primero de ellos equivale a encontrar la velocidad instantánea y el segundo equivale a encontrar la distancia recorrida. Después de todo, durante el movimiento desigual, se representaba en los ejes de coordenadas cartesianos "distancia" y "tiempo" mediante una línea curva.
El genio de Leibniz y Newton a mediados del siglo XVII. Se crearon métodos que permitieron resolver ambos problemas. Resultó que para trazar una tangente a una curva en un punto, es necesario encontrar el valor de la llamada derivada de la función que describe esta curva en el punto considerado, y este valor resulta ser igual a la tasa de cambio de la función, es decir, en relación con la dependencia del “camino de la velocidad” misma de la velocidad instantánea del cuerpo.
Para encontrar el área delimitada por una línea curva, era necesario calcular una determinada integral, que daba su valor exacto. Derivada e integral son los conceptos básicos del cálculo diferencial e integral, que son la base del análisis matemático moderno, la rama más importante de las matemáticas superiores.
Área bajo una línea curva
Entonces, ¿cómo determinar su valor exacto? Intentemos revelar en detalle el proceso de calcularlo a través de la integral, desde lo más básico.
Sea f una función continua en el intervalo. Considere la curva y = f(x), que se muestra en la siguiente figura. ¿Cómo encontrar el área de la región delimitada por la curva), el eje x y las rectas x = a y x = b? Es decir, el área de la figura sombreada en la figura.
El caso más sencillo es cuando f es una función constante; es decir, la curva es una línea horizontal f(X) = k, donde k es constante y k ≥ 0, como se muestra en la siguiente figura.
En este caso, el área bajo la curva es simplemente un rectángulo con altura k y ancho (b - a), por lo que el área se define como: k · (b - a).
Las áreas de algunas otras figuras simples, como el triángulo, el trapezoide y el semicírculo, vienen dadas por fórmulas de planimetría.
El área bajo cualquier curva continua y = f(x) está dada por una integral definida, que se escribe de la misma manera que una integral ordinaria.
suma de riemann
Antes de profundizar en la respuesta detallada a la pregunta de qué es una integral, resaltemos algunas ideas básicas.
Primero, el área bajo la curva se divide en un cierto número n de franjas verticales de ancho suficientemente pequeño Δx. A continuación, cada franja vertical se reemplaza por un rectángulo vertical con altura f(x), ancho Δx y área f(x)dx. El siguiente paso es formar la suma de las áreas de todos estos rectángulos, llamada suma de Riemann (ver imágenes a continuación).
Al dibujar nuestros rectángulos de ancho Δx, podemos tomar su altura igual al valor de la función en el borde izquierdo de cada franja, es decir, los puntos más a la izquierda de sus lados cortos superiores de ancho Δx estarán en la curva. Además, en la sección donde la función crece y su curva es convexa, todos los rectángulos están debajo de esta curva, es decir, su suma seguramente será menor que el área exacta bajo la curva en esta sección (ver la figura a continuación). Este método de aproximación se llama del lado izquierdo.
En principio, se pueden dibujar rectángulos aproximados de modo que los puntos más a la derecha de sus lados cortos superiores de ancho Δx se encuentren en la curva. Entonces estarán por encima de la curva y la aproximación del área en esta sección será mayor que su valor exacto, como se muestra en la siguiente figura. Este método se llama diestro.
Pero también podemos tomar la altura de cada uno de los rectángulos aproximados, que es simplemente igual a algún valor de la función en un punto arbitrario x* i dentro de la franja correspondiente Δx i (ver figura a continuación). En este caso, es posible que ni siquiera tomemos el mismo ancho en todas las franjas.
Compongamos la suma de Riemann:
Transición de la suma de Riemann a la integral definida
En matemáticas superiores se demuestra un teorema que establece que si, con un aumento ilimitado del número n de rectángulos aproximados, su mayor anchura tiende a cero, entonces la suma de Riemann An tiende a un cierto límite A. El número A es el Lo mismo ocurre con cualquier método para formar rectángulos aproximados y para cualquier elección de puntos x* i.
En la siguiente figura se ofrece una explicación visual del teorema.
Muestra que cuanto más estrechos son los rectángulos, más cerca está el área de la figura escalonada del área bajo la curva. Cuando el número de rectángulos es n→∞, su ancho es Δx i →0, y el límite A de la suma An es numéricamente igual al área requerida. Este límite es la integral definida de la función f (x):
El símbolo integral, que es una letra S en cursiva modificada, fue introducido por Leibniz. JB Fourier sugirió poner los límites por encima y por debajo de la notación integral. Los valores inicial y final de x están claramente indicados.
Interpretación geométrica y mecánica de la integral definida.
Intentemos dar una respuesta detallada a la pregunta de ¿qué es una integral? Consideremos la integral en un intervalo de una función positiva f(x) dentro de él, y asumimos que el límite superior es mayor que el inferior a Si las ordenadas de la función f(x) son negativas en su interior, entonces el valor absoluto de la integral es igual al área entre el eje de abscisas y la gráfica y=f(x), mientras que la integral en sí es negativa. En el caso de una intersección única o repetida de la gráfica y=f(x) con el eje de abscisas en el segmento , como se muestra en la siguiente figura, para calcular la integral, es necesario determinar la diferencia en la que estará el minuendo. igual al área total de las secciones ubicadas sobre el eje de abscisas, y el sustraendo será igual al área total de las secciones ubicadas debajo del mismo. Entonces, para la función que se muestra en la figura anterior, la integral definida de aab será igual a (S1 + S3) - (S2 + S4). La interpretación mecánica de una integral definida está estrechamente relacionada con la geométrica. Volvamos a la sección “Suma de Riemann” e imaginemos que la gráfica que se muestra en las figuras expresa la función de velocidad v=f(t) para el movimiento desigual de un punto material (el eje x es el eje del tiempo). Entonces, el área de cualquier rectángulo aproximado con ancho Δt, que construimos al formar la suma de Riemann, expresará aproximadamente la trayectoria del punto en el tiempo Δt, es decir, v(t*)Δt. La suma total de las áreas de los rectángulos en el segmento de t 1 =a a t 2 =b expresará aproximadamente la trayectoria s durante el tiempo t 2 - t 1, y su límite, es decir, la integral (definida) de a a b de la función v = f(t ) por dt dará el valor exacto del camino s. Si volvemos a su designación, entonces es muy posible suponer que a = constante y b es un valor específico de alguna variable independiente x. Entonces la integral definida con límite superior x̃ de un número específico se convierte en una función de x̃. Esta integral es igual al área de la figura bajo la curva, indicada por los puntos aABb en la siguiente figura. Con una línea estacionaria aA y una línea en movimiento Bb, esta área se convierte en una función de f(x̃), y los incrementos de Δx̃ todavía se trazan a lo largo del eje x, y los incrementos de la función f(x̃) son los incrementos de el área bajo la curva. Supongamos que le dimos a la variable x̃ = b un pequeño incremento Δx̃. Entonces el incremento en el área de la figura aABb es la suma del área del rectángulo (sombreado en la figura) Bb∙Δx̃ y el área de la figura BDC bajo la curva. El área del rectángulo es igual a Bb∙Δx̃ = f(x̃)Δx̃, es decir, es una función lineal del incremento de la variable independiente. El área de la figura BDC es obviamente menor que el área del rectángulo BDCK = Δx̃∙Δy, y a medida que Δx̃ →0 tiende, disminuye aún más rápido. Esto significa que f(x̃)Δx̃ = f(x̃)dx̃ es el diferencial del área variable aABb, es decir, el diferencial de una integral definida De esto podemos concluir que el cálculo de integrales consiste en encontrar funciones a partir de expresiones dadas de sus diferenciales. El cálculo integral es precisamente un sistema de métodos para encontrar dichas funciones utilizando sus diferenciales conocidos. Conecta la relación entre diferenciación e integración y muestra que existe una operación inversa a la diferenciación de una función: su integración. También muestra que si cualquier función f(x) es continua, entonces al aplicarle esta operación matemática se puede encontrar un conjunto completo (conjunto, conjunto) de funciones que son antiderivadas para ella (o, de lo contrario, encontrar su integral indefinida). ). Sea la función F(x) el resultado de la integración de la función f(x). La correspondencia entre estas dos funciones como resultado de integrar la segunda de ellas se denota de la siguiente manera: Como se puede observar, con el símbolo integral no existen límites de integración. Esto significa que de una integral definida se transforma a una integral indefinida. La palabra "indefinido" significa que el resultado de la operación de integración en este caso no es una, sino muchas funciones. Después de todo, además de la función F(x) en sí, las últimas expresiones también las satisface cualquier función F(x)+C, donde C = const. Esto implica que el término constante en el conjunto de primitivas se puede especificar arbitrariamente. Cabe destacar que si una integral definida por una función es un número, entonces una integral indefinida es una función, o más precisamente, un conjunto de ellas. El término "integración" se utiliza para definir la operación de encontrar ambos tipos de integrales. Es exactamente lo contrario de la regla correspondiente de diferenciación. ¿Cómo se toman las integrales indefinidas? Veremos ejemplos de este procedimiento utilizando funciones específicas. Veamos una función de potencia general: Una vez que hayamos hecho esto siendo integrable cada término de la expresión de la función (si hay más de uno), agregamos una constante al final. Recuerde que tomar la derivada de un valor constante lo destruye, por lo que tomar la integral de cualquier función nos dará la restauración de esta constante. Lo llamamos C porque se desconoce la constante; ¡podría ser cualquier número! Por tanto podemos tener un número infinito de expresiones para la integral indefinida. Veamos integrales indefinidas simples, cuyos ejemplos se muestran a continuación. Supongamos que necesitamos encontrar la integral de la función: f(x) = 4x 2 + 2x - 3. Comencemos con el primer término. Observamos el exponente de 2 y lo aumentamos en 1, luego dividimos el primer término por el exponente resultante de 3. Obtenemos: 4(x 3) / 3. Luego miramos al siguiente miembro y hacemos lo mismo. Como tiene exponente 1, el exponente resultante será 2. Entonces dividimos este término entre 2: 2(x 2) / 2 = x 2. El último término tiene un factor x, pero simplemente no lo vemos. Podemos pensar en el último término como (-3x 0). Esto es equivalente a (-3)∙(1). Si usamos la regla de integración, sumaremos 1 al exponente para elevarlo a la primera potencia y luego dividiremos el último término entre 1. Obtenemos 3x. Esta regla de integración funciona para todos los valores de n excepto n = - 1 (porque no podemos dividir por 0). Analizamos el ejemplo más simple de encontrar una integral. En general, resolver integrales no es una tarea fácil y la experiencia ya acumulada en matemáticas es de gran ayuda. En la sección anterior vimos que de cada fórmula de diferenciación se obtiene una fórmula de integración correspondiente. Por lo tanto, todas sus opciones posibles se han obtenido y recopilado durante mucho tiempo en las tablas adecuadas. La siguiente tabla de integrales contiene fórmulas para integrar funciones algebraicas básicas. Estas fórmulas hay que saberlas de memoria, memorizándolas poco a poco a medida que se van consolidando con ejercicios. Otra tabla de integrales contiene funciones trigonométricas básicas: Resulta que hacer esto, saber integrar, es decir, encontrar integrales indefinidas, es muy sencillo. Y la fórmula de los fundadores del cálculo integrodiferencial, Newton y Leibniz, ayuda en esto. Según él, el cálculo de la integral deseada consiste en la primera etapa en encontrar el indefinido, luego calcular el valor de la primitiva encontrada F(x) sustituyendo x, que es primero igual al límite superior, luego al inferior, y, finalmente, determinar la diferencia de estos valores. En este caso, no es necesario anotar la constante C. porque desaparece cuando se realiza la resta. Veamos algunas integrales con soluciones detalladas. Encontremos el área del área debajo de una sinusoide de media onda. Calculemos el área sombreada debajo de la hipérbola. Consideremos ahora las integrales con una solución detallada. ,
usando la propiedad de aditividad en el primer ejemplo, y la sustitución de una variable de integración intermedia en el segundo. Calculemos la integral definida de la función racional fraccionaria: y=(1+t)/t 3 de t=1 a t=2. Ahora mostraremos cómo puedes simplificar la integral introduciendo una variable intermedia. Supongamos que necesitamos calcular la integral de (x+1) 2. Hablamos de la integral definida para un intervalo finito de una función f(x) continua en él. Pero una serie de problemas específicos llevan a la necesidad de ampliar el concepto de integral al caso en que los límites (uno o ambos) son iguales al infinito, o para una función discontinua. Por ejemplo, al calcular las áreas bajo curvas que se acercan asintóticamente a los ejes de coordenadas. Para extender el concepto de integral a este caso, además de pasar al límite al calcular la suma riemanniana de rectángulos aproximados, se realiza un paso más. Con este doble paso al límite se obtiene una integral impropia. Por el contrario, todas las integrales analizadas anteriormente se denominan propias. Analicemos ahora el problema opuesto. En lugar de una tabla de distancias, nos darán una tabla de velocidades en varios tiempos, comenzando desde cero. EN mesa 8.4 Se presenta la dependencia de la velocidad de una bola que cae con el tiempo. Se puede compilar una tabla similar para un automóvil si registra las lecturas del velocímetro cada minuto o medio minuto. Pero, ¿es posible, conociendo la velocidad del coche en cada momento, calcular la distancia que ha recorrido? Este problema es el inverso del que acabamos de ver. ¿Cómo solucionarlo si la velocidad del coche no es constante, si acelera a 90 km/h, luego frena, luego se detiene en algún lugar en un semáforo, etc.? No es difícil hacer esto. Necesitamos usar la misma idea y expresar la distancia total en términos de sus partes infinitesimales. Sea la velocidad vi en el primer segundo, luego usando la fórmula Δs= v 1 \Δt puedes calcular la distancia recorrida durante este segundo. En el siguiente segundo, la velocidad será ligeramente diferente, aunque quizás cercana a la original, y la distancia recorrida por el coche en el segundo segundo será igual a la nueva velocidad multiplicada por el intervalo de tiempo (1 segundo). Este proceso puede continuar más allá, hasta el final del camino. Como resultado, obtendremos muchos segmentos pequeños, que en total darán el camino completo. Así, la trayectoria es la suma de las velocidades multiplicada por los intervalos de tiempo individuales, o s - ∑vΔt, donde la letra griega ∑ (sigma) significa suma. Más precisamente, será la suma de velocidades en algunos momentos de tiempo, digamos t i, multiplicada por Δt: y cada momento posterior t i+1 se encuentra según la regla t i+1 =t + Δt. Pero la distancia obtenida con este método no será exacta, ya que la velocidad aún cambia con el tiempo Δt. La salida a esta situación es tomar intervalos cada vez más pequeños Δt, es decir, dividir el tiempo de movimiento en un número cada vez mayor de segmentos más pequeños. Al final llegaremos a la siguiente expresión, ahora exacta, para el camino recorrido: Los matemáticos idearon un símbolo especial para este límite, al igual que para el diferencial. El símbolo Δ se convierte en d, recordándonos que el intervalo de tiempo es arbitrariamente pequeño y donde v(t) es la velocidad en el tiempo t. La operación de sumar estos términos en sí se llama integración. Es lo opuesto a la operación de diferenciación en el sentido de que la derivada de esta integral es igual a v(t), de modo que un operador (d/dt) “destruye” al otro (∫). Esto permite obtener fórmulas para integrales invirtiendo fórmulas para diferenciales: la integral de la función en la columna derecha de la Tabla 8.3 será igual a la función en la columna izquierda. Al diferenciar todo tipo de funciones, usted mismo puede crear una tabla de integrales. Cualquier función dada en forma analítica, es decir, expresada a través de una combinación de funciones que conocemos, se diferencia de manera muy simple: toda la operación se realiza de manera puramente algebraica y, como resultado, siempre obtenemos alguna función conocida. Sin embargo, la integral de no todas las funciones se puede escribir en forma analítica. Por supuesto, para cada integral parcial, siempre primero intentan encontrar una función que, cuando se deriva, dé la función que aparece después del signo de la integral (se llama integrando). Sin embargo, esto no siempre es posible. En tales casos, la integral se calcula simplemente mediante suma, es decir, las sumas del tipo (8.6) se calculan a intervalos cada vez más pequeños hasta que se obtiene el resultado con suficiente precisión. ¡Atención! Las vistas previas de diapositivas tienen únicamente fines informativos y es posible que no representen todas las características de la presentación. Si está interesado en este trabajo, descargue la versión completa. Objetivo de la lección: Plan de lección: 1. Esquema para resolver problemas sobre aplicaciones de una integral definida. Tipo de lección: integrado. Trabajo educativo: ampliar los horizontes y la actividad cognitiva de los estudiantes, desarrollar el pensamiento lógico y la capacidad de aplicar sus conocimientos. Apoyo técnico: tablero interactivo. Computadora y disco. Solicitud :"Rapsodia de la naturaleza". PROGRESO DE LA LECCIÓN I. Momento organizacional II. Establecer un objetivo de lección – Me gustaría impartir la lección bajo el lema de Gottfried Wilhelm Leibniz, filósofo, lógico, matemático y físico alemán: “El arte general de los signos es una ayuda maravillosa, ya que alivia la imaginación... Se debe tener cuidado de que las designaciones son convenientes para los descubrimientos. Las designaciones expresan y reflejan brevemente la esencia de las cosas. Entonces el trabajo del pensamiento se reduce sorprendentemente”. III. Repasemos los conceptos básicos y respondamos las preguntas: – ¿Dime la definición básica de integral? IV. Explicación de material nuevo (repaso de teoría): 1. Esquema para resolver problemas sobre aplicaciones de una integral definida. Utilizando una integral definida, se pueden resolver diversos problemas de física, mecánica, etc., que son difíciles o imposibles de resolver utilizando los métodos de las matemáticas elementales. Así, el concepto de integral definida se utiliza para resolver problemas de cálculo del trabajo de una fuerza variable, la presión de un fluido sobre una superficie vertical, la trayectoria recorrida por un cuerpo con velocidad variable y varios otros. A pesar de la diversidad de estos problemas, están unidos por el mismo patrón de razonamiento para resolverlos. La cantidad deseada (recorrido, trabajo, presión, etc.) corresponde a un cierto intervalo de cambio en la cantidad variable, que es la variable de integración. Esta cantidad variable se denota por X, y el intervalo de su cambio se denota por [a, b]. El segmento se divide en n partes iguales, en cada una de las cuales se puede despreciar el cambio en la variable. Esto se puede lograr aumentando el número de particiones del segmento. En cada una de estas partes, el problema se resuelve utilizando fórmulas para cantidades constantes. I = , donde f(x) es la función dada según las condiciones del problema (fuerza, velocidad, etc.). 2. Encontrar el camino recorrido por un cuerpo durante el movimiento lineal. Como se sabe, la trayectoria recorrida por un cuerpo durante el movimiento uniforme en el tiempo t se calcula mediante la fórmula S = vt. Si un cuerpo se mueve de manera desigual en una dirección y su velocidad cambia dependiendo del tiempo t, es decir, v = f(t), entonces para encontrar el camino recorrido por el cuerpo durante el tiempo desde hasta , dividimos este período de tiempo en n partes iguales Δt. En cada una de estas partes, la velocidad se puede considerar constante e igual al valor de velocidad al final de este intervalo. Entonces el camino recorrido por el cuerpo será aproximadamente igual a la suma, es decir Si la función v(t) es continua, entonces 3. Cálculo del trabajo de fuerza producido durante el movimiento rectilíneo de un cuerpo. Deje que un cuerpo, bajo la acción de una fuerza F, se mueva a lo largo de una línea recta s, y la dirección de la fuerza coincide con la dirección del movimiento. Es necesario encontrar el trabajo realizado por la fuerza F al mover un cuerpo desde la posición a posicionar b. Si la fuerza F es constante, entonces el trabajo se calcula según la fórmula (el producto de la fuerza por la longitud del camino). Supongamos que sobre un cuerpo que se mueve a lo largo de una línea recta Ox actúa una fuerza F, que varía según la distancia recorrida, es decir Para encontrar el trabajo realizado por la fuerza F en un segmento de trayectoria desde A a b, divide este segmento en n partes iguales. Supongamos que la fuerza permanece constante en cada parte. Recopilamos una suma integral que sea aproximadamente igual al valor del trabajo realizado: aquellos. el trabajo realizado por esta fuerza en el área de a a b es aproximadamente pequeña en cantidad: Entonces, el trabajo de una fuerza variable se calcula mediante la fórmula: 4. Cálculo del trabajo invertido en estirar o comprimir un resorte. Según la ley de Hooke, la fuerza F necesaria para estirar o comprimir un resorte es proporcional a la cantidad de tensión o compresión. Sea x la cantidad de tensión o compresión del resorte. Entonces, donde k es un coeficiente de proporcionalidad que depende de la propiedad del resorte. El trabajo en el sitio se expresará mediante la fórmula, y todo el trabajo realizado o. Si entonces el error en la cantidad de trabajo tiende a cero. Para encontrar la verdadera cantidad de trabajo, debes ir al límite. 5. Determinación de la fuerza de presión del líquido sobre una placa vertical. Se sabe por la física que la fuerza P de la presión del fluido sobre una plataforma S ubicada horizontalmente, cuya profundidad de inmersión es igual a h, está determinada por la fórmula: Derivemos una fórmula para calcular la fuerza de presión del fluido sobre una placa ubicada verticalmente de forma arbitraria si su borde superior está sumergido a una profundidad a y el borde inferior a una profundidad b. Dado que diferentes partes de la placa vertical están a diferentes profundidades, la fuerza de presión del fluido sobre ellas no es la misma. Para derivar la fórmula, debes dividir la placa en franjas horizontales de igual altura. Cada franja puede considerarse aproximadamente un rectángulo (Fig. 199). Según la ley de Pascal, la fuerza de presión del fluido sobre dicha tira es igual a la fuerza del movimiento del fluido sobre una placa ubicada horizontalmente de la misma área, sumergida a la misma profundidad. Entonces, de acuerdo con la fórmula (4), la fuerza de presión sobre la tira ubicada a una distancia x de la superficie será Compongamos la suma integral y encontremos su límite, igual a la fuerza de presión del fluido sobre toda la placa: Si el borde superior de la placa coincide con la superficie del líquido, entonces a = 0 y la fórmula (5) toma la forma El ancho de cada tira depende de la forma de la placa y es función de la profundidad x de inmersión de una tira determinada. Para una placa de ancho constante, la fórmula (5) se simplifica, porque esta constante se puede sacar del signo integral: V. Análisis de problemas sobre el tema. 1) La velocidad de movimiento de un punto material viene dada por la fórmula = (4 m/s. Encuentre el camino recorrido por el punto en los primeros 4 s desde el inicio del movimiento. 2) La velocidad del movimiento cambia según la ley m/s. Encuentre la longitud del camino recorrido por el cuerpo en el tercer segundo de su movimiento. 3) La velocidad del cuerpo viene dada por la ecuación m/s. Determine la distancia recorrida por el cuerpo desde el inicio del movimiento hasta el final. La velocidad del movimiento de un cuerpo es cero en el momento en que comienza a moverse y se detiene. Encontremos el momento en que el cuerpo se detiene, para lo cual equiparamos la velocidad a cero y resolvemos la ecuación para t; obtenemos Por eso, 4) Un cuerpo es lanzado verticalmente hacia arriba con una velocidad que varía según la ley Encontremos el tiempo durante el cual el cuerpo ascendió: 29,4–9,8t=0 (en el momento de mayor ascenso, la velocidad es cero); t = 3 s. Es por eso 5) ¿Cuánto trabajo realiza una fuerza de 10 N cuando el resorte se estira 2 cm? Según la ley de Hooke, la fuerza F que estira el resorte es proporcional al estiramiento del resorte, es decir F = kx. Usando la condición, encontramos (N/m), es decir F = 500x. obtenemos 6) Una fuerza de 60 N estira un resorte 2 cm. La longitud inicial del resorte es 14 cm. ¿Cuánto trabajo se debe hacer para estirarlo hasta 20 cm?
Diferencial de una integral definida
Relación fundamental del cálculo integral.
Regla básica de integración
Tablas integrales
Cómo calcular una integral definida
Acerca de las integrales impropias
el signo de suma se convierte en ∫, una S mayúscula distorsionada, la primera letra de la palabra latina "Sumrna". Este símbolo se llama integral. Así escribimos 
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2. Encontrar el camino recorrido por un cuerpo durante el movimiento lineal.
3. Cálculo del trabajo de fuerza producido durante el movimiento rectilíneo de un cuerpo.
4. Cálculo del trabajo empleado en estirar o comprimir un resorte.
5. Determinación de la fuerza de presión del líquido sobre una placa vertical.
– ¿Qué sabes sobre la integral (propiedades, teoremas)?
– ¿Conoces algún ejemplo de problemas que utilicen integrales?
Entonces, 
, donde es la densidad del líquido.
, donde está el área de la franja.
EM. Encuentre la mayor altura de elevación.
