Análisis de regresión en decodificación excel. Análisis de correlación y regresión en Excel: instrucciones para su ejecución. Conexión del paquete de análisis
El paquete MS Excel le permite construir una ecuación regresión lineal la mayoría de hacer el trabajo muy rápidamente. Es importante entender cómo interpretar los resultados obtenidos. Para construir un modelo de regresión, debe seleccionar Herramientas\Análisis de datos\Regresión (en Excel 2007 este modo está en el bloque Datos/Análisis de datos/Regresión). Luego copie los resultados en un bloque para su análisis.
Para los territorios de la región, se proporcionan datos para 200X.
| Número de región | Salario digno promedio per cápita por día de una persona sana, frotar, x | Salario diario medio, rublos, años |
|---|---|---|
| 1 | 78 | 133 |
| 2 | 82 | 148 |
| 3 | 87 | 134 |
| 4 | 79 | 154 |
| 5 | 89 | 162 |
| 6 | 106 | 195 |
| 7 | 67 | 139 |
| 8 | 88 | 158 |
| 9 | 73 | 152 |
| 10 | 87 | 162 |
| 11 | 76 | 159 |
| 12 | 115 | 173 |
Ejercicio:
1. Construya un campo de correlación y formule una hipótesis sobre la forma de la conexión.
2. Calcular los parámetros de la ecuación de regresión lineal.
4. Utilizando el coeficiente de elasticidad promedio (general), proporcione una evaluación comparativa de la fuerza de la relación entre el factor y el resultado.
7. Calcule el valor previsto del resultado si el valor previsto del factor aumenta en un 10% desde su nivel promedio. Determine el intervalo de confianza del pronóstico para el nivel de significancia.
Solución:
vamos a decidir esta tarea utilizando Excel.
1. Al comparar los datos disponibles x e y, por ejemplo, clasificándolos en orden creciente de factor x, se puede observar la presencia de una relación directa entre las características, cuando un aumento en el nivel de subsistencia promedio per cápita aumenta el promedio diario salario. En base a esto, podemos suponer que la relación entre las características es directa y puede describirse mediante una ecuación lineal. La misma conclusión se confirma basándose en el análisis gráfico.
Para crear un campo de correlación, puede utilizar Excel PPP. Ingrese los datos iniciales en secuencia: primero x, luego y.
Selecciona el área de celdas que contiene datos.
Luego elige: Insertar/Gráfico de dispersión/Dispersión con marcadores como se muestra en la Figura 1.
Figura 1 Construcción del campo de correlación
El análisis del campo de correlación muestra la presencia de una dependencia cercana a la lineal, ya que los puntos están ubicados casi en línea recta.
2. Calcular los parámetros de la ecuación de regresión lineal.
usemos el incorporado función estadística ESTILO LINEAL.
Para hacer esto:
1) abierto archivo existente, que contiene los datos analizados;
2) Seleccione un área celdas vacias 5x2 (5 filas, 2 columnas) para mostrar los resultados de las estadísticas de regresión.
3) Activar Asistente de funciones: en el menú principal seleccione Fórmulas/Insertar función.
4) En la ventana Categoría elegir Estadístico, en la ventana de funciones - ESTILO LINEAL. Haga clic en el botón DE ACUERDO como se muestra en la Figura 2;
Figura 2 Cuadro de diálogo del asistente de funciones
5) Complete los argumentos de la función:
Valores conocidos para
Valores conocidos de x
Constante- un valor lógico que indica la presencia o ausencia de un término libre en la ecuación; si Constante = 1, entonces el término libre se calcula de la forma habitual, si Constante = 0, entonces el término libre es 0;
Estadística- un valor lógico que indica si se debe mostrar información adicional sobre el análisis de regresión o no. Si Estadísticas = 1, entonces información adicional se muestra, si Estadísticas = 0, entonces solo se muestran estimaciones de los parámetros de la ecuación.
Haga clic en el botón DE ACUERDO;
Figura 3 Cuadro de diálogo Argumentos de función ESTIMACIÓN LINEAL
6) El primer elemento de la mesa final aparecerá en la celda superior izquierda del área seleccionada. Para abrir toda la tabla, presione la tecla
Se generarán estadísticas de regresión adicionales en el orden que se muestra en el siguiente diagrama:
| Valor del coeficiente b | Coeficiente un valor |
| Error estándarb | error estándar a |
| error estándar y | |
| Estadística F | |
| Regresión suma de cuadrados
|
Figura 4 Resultado del cálculo de la función ESTIMACIÓN LINEAL
Obtuvimos el nivel de regresión:
Concluimos: con un aumento del nivel medio de subsistencia per cápita de 1 rub. el salario medio diario aumenta en una media de 0,92 rublos.
Significa 52% de variación salarios(y) se explica por la variación del factor x -el nivel medio de subsistencia per cápita, y 48%- por la acción de otros factores no incluidos en el modelo.
Utilizando el coeficiente de determinación calculado, se puede calcular el coeficiente de correlación: 
.
La conexión se considera estrecha.
4. Utilizando el coeficiente de elasticidad promedio (general), determinamos la fuerza de la influencia del factor en el resultado.
Para una ecuación en línea recta, determinamos el coeficiente de elasticidad promedio (total) usando la fórmula:
Encontraremos los valores promedio seleccionando el área de celdas con valores de x y seleccionando Fórmulas / Autosuma / Promedio, y haremos lo mismo con los valores de y.
Figura 5 Cálculo de valores de función promedio y argumento.
Por lo tanto, si el costo de vida promedio per cápita cambia en un 1% con respecto a su valor promedio, el salario diario promedio cambiará en un promedio de 0,51%.
Usando una herramienta de análisis de datos Regresión puedes conseguir:
- resultados de las estadísticas de regresión,
- resultados del análisis de varianza,
- resultados de intervalos de confianza,
- gráficos de residuos y ajuste de líneas de regresión,
- residuos y probabilidad normal.
El procedimiento es el siguiente:
1) comprobar el acceso a Paquete de análisis. En el menú principal, seleccione: Archivo/Opciones/Complementos.
2) En la lista desplegable Control seleccionar elemento complementos de excel y presione el botón Ir.
3) En la ventana Complementos marcar la casilla Paquete de análisis y luego haga clic en el botón DE ACUERDO.
Si Paquete de análisis no en la lista de campos Complementos disponibles, presione el botón Revisar para realizar una búsqueda.
Si recibe un mensaje que indica que el paquete de análisis no está instalado en su computadora, haga clic en Sí para instalarlo.
4) En el menú principal, seleccione: Datos / Análisis de datos / Herramientas de análisis / Regresión y luego haga clic en el botón DE ACUERDO.
5) Complete el cuadro de diálogo de parámetros de entrada y salida de datos:
Intervalo de entrada Y- rango que contiene datos del atributo resultante;
Intervalo de entrada X- rango que contiene datos de la característica del factor;
Etiquetas- una bandera que indica si la primera línea contiene nombres de columnas o no;
Constante - cero- una bandera que indica la presencia o ausencia de un término libre en la ecuación;
Intervalo de salida- basta con indicar la celda superior izquierda del rango futuro;
6) Nueva hoja de trabajo: puede especificar un nombre arbitrario para la nueva hoja.
Luego haga clic en el botón DE ACUERDO.
Figura 6 Cuadro de diálogo para ingresar parámetros para la herramienta Regresión
Resultados análisis de regresión Los problemas de datos se presentan en la Figura 7.
Figura 7 Resultado del uso de la herramienta de regresión
5. Evaluamos la calidad de las ecuaciones utilizando el error de aproximación promedio. Utilicemos los resultados del análisis de regresión presentado en la Figura 8.
Figura 8 Resultado del uso de la herramienta de regresión “Retiro del resto”
vamos a componer nueva mesa como se muestra en la Figura 9. En la columna C, calculamos el error de aproximación relativo usando la fórmula:
Figura 9 Cálculo del error de aproximación promedio
El error de aproximación promedio se calcula mediante la fórmula:
La calidad del modelo construido se valora como buena, ya que no supera el 8 - 10%.
6. De la tabla con estadísticas de regresión (Figura 4) anotamos el valor real de la prueba F de Fisher: 
Desde 
a un nivel de significancia del 5%, entonces podemos concluir que la ecuación de regresión es significativa (la relación ha sido probada).
8. Evaluación significancia estadística Realizaremos parámetros de regresión utilizando el estadístico t de Student y calculando el intervalo de confianza de cada indicador.
Planteamos la hipótesis H 0 sobre una diferencia estadísticamente insignificante entre los indicadores y cero:
.
para el número de grados de libertad
La Figura 7 tiene los valores reales del estadístico t:
La prueba t para el coeficiente de correlación se puede calcular de dos formas:
Método I:
Dónde 
- error aleatorio coeficiente de correlación.
Tomaremos los datos para el cálculo de la tabla de la Figura 7.
Método II:
Los valores reales del estadístico t exceden los valores de la tabla:
Por tanto, se rechaza la hipótesis H 0, es decir, los parámetros de regresión y el coeficiente de correlación no difieren de cero por casualidad, pero son estadísticamente significativos.
El intervalo de confianza para el parámetro a se define como
Para el parámetro a, los límites del 95% como se muestran en la Figura 7 fueron:
El intervalo de confianza para el coeficiente de regresión se define como
Para el coeficiente de regresión b, los límites del 95% como se muestra en la Figura 7 fueron:
El análisis de los límites superior e inferior de los intervalos de confianza lleva a la conclusión de que con probabilidad 
los parámetros a y b, estando dentro de los límites especificados, no aceptan valores cero, es decir. no son estadísticamente insignificantes y significativamente diferentes de cero.
7. Las estimaciones obtenidas de la ecuación de regresión permiten utilizarla para realizar pronósticos. Si el costo de vida previsto es:
Entonces el valor previsto del costo de vida será:
Calculamos el error de pronóstico mediante la fórmula:
Dónde 
También calcularemos la varianza usando Excel PPP. Para hacer esto:
1) Activar Asistente de funciones: en el menú principal seleccione Fórmulas/Insertar función.
3) Complete el rango que contiene los datos numéricos de la característica del factor. Hacer clic DE ACUERDO.
Figura 10 Cálculo de la varianza
Obtuvimos el valor de la varianza. 
Para calcular la varianza residual por grado de libertad, utilizaremos los resultados del análisis de varianza como se muestra en la Figura 7.
Los intervalos de confianza para predecir valores individuales de y con una probabilidad de 0,95 están determinados por la expresión:
El intervalo es bastante amplio, principalmente debido al pequeño volumen de observaciones. En general, la previsión del salario medio mensual resultó fiable.
La condición del problema está tomada de: Taller de econometría: Proc. subsidio / I.I. Eliseeva, S.V. Kurysheva, N.M. Gordeenko y otros; Ed. I.I. Eliseeva. - M.: Finanzas y Estadísticas, 2003. - 192 p.: ill.
El paquete MS Excel le permite realizar la mayor parte del trabajo muy rápidamente al construir una ecuación de regresión lineal. Es importante entender cómo interpretar los resultados obtenidos.
Requiere un complemento para funcionar Paquete de análisis, que debe estar habilitado en el elemento del menú Servicio\Complementos
En Excel 2007, para habilitar el paquete de análisis, debe hacer clic en Ir al bloque Opciones de Excel pulsando el botón de la izquierda esquina superior y luego el botón Opciones de Excel"en la parte inferior de la ventana:
Para construir un modelo de regresión, debe seleccionar el elemento Servicio\Análisis de datos\Regresión. (En Excel 2007, este modo está en el bloque Datos/Análisis de datos/Regresión). Aparecerá un cuadro de diálogo que deberá completar:
1) Intervalo de entrada Y¾ contiene un enlace a las celdas que contienen los valores de la característica resultante y. Los valores deben estar ordenados en una columna;
2) Intervalo de entrada X¾ contiene un enlace a celdas que contienen valores de factores. Los valores deben estar ordenados en columnas;
3) firmar Etiquetas se establece si las primeras celdas contienen texto explicativo(firmas de datos);
4) Nivel de confiabilidad¾ es el nivel de confianza, que por defecto se considera del 95%. Si no está satisfecho con este valor, debe habilitar este indicador e ingresar el valor requerido;
5) firmar Cero constante se incluye si es necesario construir una ecuación en la que la variable libre sea ;
6) Opciones de salida determinar dónde deben colocarse los resultados. Por defecto el modo de compilación Nueva hoja de trabajo;
7) Bloquear Sobras le permite incluir la salida de residuos y la construcción de sus gráficas.
Como resultado, la información que contiene todos información necesaria y agrupados en tres bloques: Estadísticas de regresión, Análisis de varianza, Retiro de saldo. Echemos un vistazo más de cerca.
1. Estadísticas de regresión:
múltiple R está determinado por la fórmula ( Coeficiente de correlación de Pearson);
R 
(coeficiente de determinación);
Normalizado R-cuadrado se calcula usando la fórmula 
(usado para regresión múltiple);
error estándar S calculado por la fórmula 
;
Observaciones ¾ es la cantidad de datos norte.
2. Análisis de varianza, línea Regresión:
Parámetro df es igual metro(número de conjuntos de factores incógnita);
Parámetro SS está determinado por la fórmula ;
Parámetro EM está determinado por la fórmula ;
Estadística F está determinado por la fórmula ;
Significado F. Si el número resultante excede , entonces se acepta la hipótesis (no existe una relación lineal); en caso contrario, se acepta la hipótesis (existe una relación lineal).
3. Análisis de varianza, línea Resto:
Parámetro df igual a ;
Parámetro SS está determinado por la fórmula 
;
Parámetro EM está determinado por la fórmula.
4. Análisis de varianza, línea Total contiene la suma de las dos primeras columnas.
5. Análisis de varianza, línea Intersección en Y contiene el coeficiente, el error estándar y t-estadística.
PAG-valor ¾ es el valor de los niveles de significancia correspondientes al calculado t-estadísticos. Determinado por la función ESTUDISTA( t-estadística; ). Si PAG-el valor excede, entonces la variable correspondiente es estadísticamente insignificante y puede excluirse del modelo.
95% inferior Y 95% superior¾ son los límites inferior y superior de los intervalos de confianza del 95 por ciento para los coeficientes de la ecuación teórica de regresión lineal. Si el valor de probabilidad de confianza en el bloque de entrada de datos se dejó en su valor predeterminado, las dos últimas columnas duplicarán las anteriores. Si el usuario ingresó un valor de confianza, las dos últimas columnas contienen los valores límite inferior y superior para el nivel de confianza especificado.
6. Análisis de varianza, las líneas contienen los valores de coeficientes, errores estándar, t-estadístico, PAG-valores e intervalos de confianza para el correspondiente.
7. Bloquear Retiro de saldo contiene los valores predichos y(en nuestra notación esto es ) y residuos .
EN Sobresalir hay una aún más rápida y manera conveniente construya un gráfico de regresión lineal (e incluso los principales tipos de regresiones no lineales, ver más abajo). Esto se puede hacer de la siguiente manera:
1) seleccionar columnas con datos incógnita Y Y(¡deberían estar en ese orden!);
2) llamar Asistente de gráficos y seleccionar en el grupo Tipo – Lugar e inmediatamente presione Listo;
3) sin deseleccionar el diagrama, seleccione el elemento del menú principal que aparece Diagrama, en el que deberás seleccionar el elemento Agregar una línea de tendencia;
4) en el cuadro de diálogo que aparece Línea de tendencia en la pestaña Tipo elegir Lineal;
5) en la pestaña Opciones puedes activar el interruptor Mostrar ecuación en el diagrama, lo que le permitirá ver la ecuación de regresión lineal (4.4), en la que se calcularán los coeficientes (4.5).
6) En la misma pestaña puedes activar el interruptor. Coloque el valor de confiabilidad de aproximación (R^2) en el diagrama. Este valor es el cuadrado del coeficiente de correlación (4.3) y muestra qué tan bien la ecuación calculada describe la dependencia experimental. Si R 2 está cerca de la unidad, entonces la ecuación de regresión teórica describe bien la dependencia experimental (la teoría concuerda bien con el experimento), y si R 2 es cercano a cero, entonces esta ecuación no es adecuada para describir la dependencia experimental (la teoría no concuerda con el experimento).
Como resultado de realizar las acciones descritas, obtendrá un diagrama con un gráfico de regresión y su ecuación.
§4.3. Tipos principales regresión no lineal
Regresión parabólica y polinómica.
Parabólico dependencia del valor Y del tamaño incógnita se llama dependencia expresada función cuadrática(parábola de segundo orden):
Esta ecuación se llama ecuación de regresión parabólica Y en incógnita. Opciones A, b, Con son llamados coeficientes de regresión parabólica. Calcular los coeficientes de regresión parabólica siempre es engorroso, por lo que se recomienda utilizar una computadora para los cálculos.
La ecuación (4.8) de regresión parabólica es un caso especial de una regresión más general llamada polinomio. Polinomio dependencia del valor Y del tamaño incógnita se llama dependencia expresada por un polinomio norte-ésimo orden:
donde estan los numeros y yo (i=0,1,…, norte) se llaman coeficientes de regresión polinómica.
Regresión de poder.
Fuerza dependencia del valor Y del tamaño incógnita se llama una dependencia de la forma:
Esta ecuación se llama ecuación de regresión de potencia Y en incógnita. Opciones A Y b son llamados coeficientes de regresión de potencia.
ln = ln a+b en incógnita. (4.11)
Esta ecuación describe una línea recta en un plano con ejes de coordenadas logarítmicos ln incógnita y en. Por lo tanto, el criterio para la aplicabilidad de la regresión de potencia es el requisito de que los puntos de los logaritmos de datos empíricos ln xyo y en y yo estaban más cerca de la línea recta (4.11).
Regresión exponencial.
Indicativo(o exponencial) dependencia del valor Y del tamaño incógnita se llama una dependencia de la forma:
(o ). (4.12)
Esta ecuación se llama ecuación exponencial(o exponencial) regresión y en incógnita. Opciones A(o k) Y b son llamados coeficientes exponenciales(o exponencial) regresión.
Si tomamos el logaritmo de ambos lados de la ecuación de regresión de potencias, obtenemos la ecuación
en = incógnita en a+en b(o en = k x+en b). (4.13)
Esta ecuación describe dependencia lineal logaritmo de una cantidad en de otra cantidad incógnita. Por lo tanto, el criterio para la aplicabilidad de la regresión de potencia es el requisito de que los puntos de datos empíricos del mismo valor xyo y logaritmos de otra cantidad en y yo estaban más cerca de la línea recta (4.13).
Regresión logarítmica.
logarítmico dependencia del valor Y del tamaño incógnita se llama una dependencia de la forma:
=a+b en incógnita. (4.14)
Esta ecuación se llama ecuación de regresión logarítmica Y en incógnita. Opciones A Y b son llamados coeficientes de regresión logarítmica.
Regresión hiperbólica.
Hiperbólico dependencia del valor Y del tamaño incógnita se llama una dependencia de la forma:
Esta ecuación se llama ecuación regresión hiperbólica Y en incógnita. Opciones A Y b son llamados coeficientes de regresión hiperbólica y están determinados por el método mínimos cuadrados. La aplicación de este método conduce a las fórmulas:
En las fórmulas (4.16-4.17), la suma se realiza sobre el índice. i de uno al número de observaciones norte.
Desafortunadamente, en Sobresalir no existen funciones que calculen coeficientes de regresión hiperbólica. En los casos en los que no se sabe que las cantidades medidas están relacionadas por proporcionalidad inversa, se recomienda buscar una ecuación de regresión de potencia en lugar de la ecuación de regresión hiperbólica, por lo que en Sobresalir Existe un procedimiento para encontrarlo. Si se supone una dependencia hiperbólica entre las cantidades medidas, entonces sus coeficientes de regresión deberán calcularse utilizando tablas de cálculo auxiliares y operaciones de suma utilizando las fórmulas (4.16-4.17).
La construcción de una regresión lineal, la evaluación de sus parámetros y su significado se pueden realizar mucho más rápido cuando se utiliza el paquete de análisis Excel (Regresión). Consideremos la interpretación de los resultados obtenidos en caso general (k variables explicativas) según el ejemplo 3.6.
en la mesa estadísticas de regresión se dan los siguientes valores:
Múltiple R – coeficiente de correlación múltiple;
R- cuadrado– coeficiente de determinación R 2 ;
Normalizado R - cuadrado– ajustado R 2 ajustado por el número de grados de libertad;
error estándar– error estándar de regresión S;
Observaciones – número de observaciones norte.
en la mesa Análisis de varianza se dan:
1. columna df - número de grados de libertad igual a
para cuerda Regresión df = k;
para cuerda Restodf = norte – k – 1;
para cuerda Totaldf = norte– 1.
2. columna SS – la suma de las desviaciones al cuadrado igual a
para cuerda Regresión ;
para cuerda Resto ;
para cuerda Total .
3. Columna EM variaciones determinadas por la fórmula EM = SS/df:
para cuerda Regresión– dispersión de factores;
para cuerda Resto– varianza residual.
4. Columna F – valor calculado F-criterio calculado mediante la fórmula
F = EM(regresión)/ EM(resto).
5. Columna Significado F – valor del nivel de significancia correspondiente al calculado F-estadística .
Significado F= DISTR.FD( F- estadística, df(regresión), df(resto)).
si significancia F < nivel estándar importancia, entonces R 2 es estadísticamente significativo.
| Impares | error estándar | estadística t | valor p | 95% inferior | 95% superior | |
| Y | 65,92 | 11,74 | 5,61 | 0,00080 | 38,16 | 93,68 |
| incógnita | 0,107 | 0,014 | 7,32 | 0,00016 | 0,0728 | 0,142 |
Esta tabla muestra:
1. Impares– valores de coeficiente a, b.
2. Error estándar–errores estándar coeficientes de regresión S un, S b.
3. t- estadística – valores calculados t -criterios calculados por la fórmula:
Estadístico t = Coeficientes/Error estándar.
4.R-valor (significado t) es el valor del nivel de significancia correspondiente al cálculo t- estadística.
R-valor = ESTUDIDISTA(t-estadística, df(resto)).
Si R-significado< стандартного уровня значимости, то соответствующий коэффициент статистически значим.
5. 95% inferior y 95% superior– límites inferior y superior de los intervalos de confianza del 95% para los coeficientes de la ecuación teórica de regresión lineal.
| RETIRO DEL RESTO | ||
| Observación | Predicho y | residuos e |
| 72,70 | -29,70 | |
| 82,91 | -20,91 | |
| 94,53 | -4,53 | |
| 105,72 | 5,27 | |
| 117,56 | 12,44 | |
| 129,70 | 19,29 | |
| 144,22 | 20,77 | |
| 166,49 | 24,50 | |
| 268,13 | -27,13 |
en la mesa RETIRO DEL RESTO indicado:
en columna Observación– número de observación;
en columna Predicho y – valores calculados de la variable dependiente;
en columna Sobras mi – la diferencia entre los valores observados y calculados de la variable dependiente.
Ejemplo 3.6. Hay datos (unidades convencionales) sobre costos de alimentos. y y el ingreso per cápita incógnita para nueve grupos de familias:
| incógnita | |||||||||
| y |
Utilizando los resultados del paquete de análisis Excel (Regresión), analizaremos la dependencia de los costos de los alimentos del ingreso per cápita.
Los resultados del análisis de regresión generalmente se escriben en la forma:
donde los errores estándar de los coeficientes de regresión se indican entre paréntesis.
Coeficientes de regresión A = 65,92 y b= 0,107. Dirección de comunicación entre y Y incógnita determina el signo del coeficiente de regresión b= 0,107, es decir la conexión es directa y positiva. Coeficiente b= 0,107 muestra que con un aumento del ingreso per cápita en 1 convencional. unidades Los costos de los alimentos aumentan en 0,107 unidades convencionales. unidades
Evaluemos la importancia de los coeficientes del modelo resultante. Importancia de los coeficientes ( a, b) es verificado por t-prueba:
Valor p ( a) = 0,00080 < 0,01 < 0,05
Valor p ( b) = 0,00016 < 0,01 < 0,05,
por lo tanto, los coeficientes ( a, b) son significativos al nivel del 1%, y aún más al nivel de significancia del 5%. Por tanto, los coeficientes de regresión son significativos y el modelo es adecuado a los datos originales.
Los resultados de la estimación de regresión son compatibles no solo con los valores obtenidos de los coeficientes de regresión, sino también con un determinado conjunto de ellos (intervalo de confianza). Con una probabilidad del 95%, los intervalos de confianza para los coeficientes son (38,16 – 93,68) para a y (0,0728 – 0,142) para b.
La calidad del modelo se evalúa mediante el coeficiente de determinación. R 2 .
Magnitud R 2 = 0,884 significa que el factor ingreso per cápita puede explicar el 88,4% de la variación (dispersión) del gasto en alimentos.
Significado R 2 es verificado por F- prueba: significancia F = 0,00016 < 0,01 < 0,05, следовательно, R 2 es significativo al nivel del 1%, y aún más al nivel de significancia del 5%.
En el caso de regresión lineal por pares, el coeficiente de correlación se puede definir como 
. El valor obtenido del coeficiente de correlación indica que la relación entre el gasto en alimentación y el ingreso per cápita es muy estrecha.
