Cuando se utiliza el método de programación dinámica. El método de programación dinámica, como expresión algorítmica de una teoría de control bastante general. Etapa I. Optimización condicional

Dualidad en programación lineal

1. Problemas duales programación lineal

De cualquier problema de LP es posible asociar algún otro problema de PL, que en relación al primero se denomina dual. Entonces el problema original se llamará directo.

Consideremos un problema estándar de LP con n variables y m restricciones en forma de desigualdades.

f(x) = c 1incógnita 1+c 2incógnita 2 + …+ c norte incógnita norte máximo, 11 incógnita 1 + un 12 incógnita 2 + … + un 1n incógnita norte b 1,21 incógnita 1 + un 22 incógnita 2 + … + un 2n xn b 2,

…………………………………….……m1 incógnita 1 + un m2 incógnita 2 + … + un Minnesota incógnita norte b metro ,j 0, j = 1, 2,…, norte.

El dual se llama problema LP. el siguiente tipo:

g(y) = b 1 y 1+b 2 y 2 + …+ b metro y metro ??min 11 y 1 + un 21 y 2 + … + un m1 y metro do 112 y 1 + un 22 y 2 + … + un m2 años metro do 2

………………………….………………1n y 1 + un 2n y 2 + … + un mn y metro do norte

yi 0, yo = 1, 2,…, metro.

Escribir las matrices de condiciones para la línea y problema dual

vemos que Adv = ATpr.

Por lo tanto, un par de problemas duales se pueden escribir en forma matricial:

< c, x >máx; Ax ?b, x ?0.g(y) =< b, y >mín.; EN y ?с, y ?0.

2. Par simétrico de problemas duales.

Un par de problemas duales en los que el problema directo es el estándar se denomina par simétrico de problemas duales.

Reglas para construir el problema dual al problema LP estándar.

· El número de variables del problema dual es igual al número de restricciones principales del problema directo y viceversa.

· Si el problema directo es un problema para max bajo restricciones "", entonces el problema dual es un problema para min bajo restricciones "".

· Lados derechos de las restricciones del problema directo - números b i - se convierten en coeficientes de la función objetivo del problema dual.

· Coeficientes de la función objetivo del problema directo - números c j - se convierten en los lados derechos de las restricciones del problema dual LP.

· La j-ésima columna de la matriz de condiciones del problema directo se convierte en la j-ésima fila de la matriz de condiciones del problema dual.

· Las variables de los problemas directo y dual no son negativas.

Ejemplo. Consideremos un problema de LP estándar con dos variables, tres restricciones en forma de desigualdades y condiciones de no negatividad.

f(x)=2x 1-4x 2máx;1 + 3x 2 8,

3x 1+ x 2 -7,

2x 1 - 5x 2 10,

incógnita 1.x 2 0.

Construyamos para ello un problema dual, guiados por las reglas. Tendrá tres variables y dos restricciones.

g(y)=8 y 1-7 años 2+10 años 3mín.; 1 - 3 años 2+ 2 años 3 2,

3 años 1+ y 2 -5 años 3 -4,1, y 2 0.

demostremos que El LP dual al problema dual coincide con la línea directa. problema de LP,para lo cual usaremos el ejemplo anterior.

Primero reducimos el problema dual a vista estándar

g(y)= -8y 1+7 años 2-10 años 3máx; 1+ 3 años 2 - 2 años 3 -2,

3 años 1 -y 2+ 5 años 3 4,1, y 2 0.

Construyamos un problema dual de acuerdo con las reglas 1 a 6, denotando las variables duales por x1, incógnita 2.

f(x)= - 2x 1+ 4x 2mín.;

x1 - 3x 2 -8,

incógnita 1-x 2 7,

2x 1+ 5x2 -10,

incógnita 1.x 2 0.

Para obtener el problema original, basta con multiplicar los coeficientes de la función objetivo y todas las restricciones por (-1).

De lo anterior se deduce que si el problema directo tiene la forma:

f(x) =< c, x >mín.; segundo, x 0,

entonces la tarea será doble para él

g(y) =< b, y >máx; t y s, y 0.

3. Significado económico de la doble tarea

Considere lo siguiente tarea de producción.

Después de lanzar el producto principal, la empresa tiene excedentes de recursos de dos tipos: R 1- 10 unidades, R 2- 8 unidades. Hay dos formas de gestionar estos recursos:

· organizar el lanzamiento de 3 nuevos tipos de productos a partir de ellos: P 1, P2 , PAG 3.

· venderlos.

Consideremos ambos métodos.

Los datos iniciales se muestran en la tabla:

RecursosConsumo de recursos por unidad de producciónExistencias de recursosP 1PAG 2PAG 3R 112110R 22138Beneficio específico$6$4$4

De acuerdo a primer método, es necesario elaborar un plan de producción que maximice el beneficio total. vamos a construir modelo matemático esta tarea.

sea ​​x j - plan de producción Pj.

Entonces la función objetivo se verá así:

f(x)=6x 1+4x2 +4x 3máx;

Límites de recursos:

1+2x2 +x 3 10,

incógnita 1+x 2+3x 3 8,j 0,j=1,2,3.

Recibimos un problema de LP estándar.

consideremos segunda manerauso de los recursos, es decir, su venta.

El interés de la empresa es vender recursos a precios a los que los ingresos por la venta de recursos no sean inferiores a las ganancias que se pueden recibir por la venta de productos elaborados a partir de estos recursos.

A su vez, el comprador está interesado en adquirir recursos a precios en los que los costos de compra sean mínimos.

El problema de acordar precios de recursos que convengan a ambas partes puede describirse mediante el siguiente modelo matemático.

deja que y 1- precio de una unidad de recurso R 1,y 2- precio de una unidad de recurso R2.

El interés del comprador se expresará mediante una función objetivo igual al costo total de los recursos comprados.

g(y) = 10y 1+ 8 años 2mín.

El interés del vendedor estará sujeto a las siguientes restricciones:

y 1+2 años 2 6,

y1 +y 2 4,

y1 +3 años 2 4,

en el cual lado izquierdo significa el costo de los recursos gastados en la producción de una unidad del producto correspondiente, y el correcto es el beneficio específico de su venta.

Añadiendo condiciones naturales para que los precios no sean negativos:

y 1, y2 , y 3 0,

obtenemos problema de doble LP.

Por lo tanto, a un par simétrico de problemas duales se le puede dar una cierta sentido económico.

tarea directaDetermine dicho plan de producción x =(x 1, x 2,…,x norte ), utilizando reservas limitadas de recursos, en las que el beneficio de la venta de productos será máximo. Doble problemaEstablecer tal conjunto de precios de recursos y =(y 1, y 2,…, y metro ), en el que el costo de los recursos gastados en la producción de una unidad de producto no será menor que el beneficio de su venta, pero al mismo tiempo el costo total de los costos será mínimo.

Precios de recursos 1, y 2,…, y metro se denominan precios sombra, implícitos o internos. Estos nombres los distinguen de los precios “externos”, conocidos previamente, con 1, Con 2,…, Con norte para productos manufacturados. Precios 1, y 2,…, y metro porque los recursos se determinan a partir de la solución de un problema dual y caracterizan el costo de producción de tipos específicos de productos, por lo que a menudo se les llama estimaciones de recursos duales.

4. Par asimétrico de problemas duales.

Sea ahora el problema original canónico, es decir, tenga la forma:

f(x) =< c, x >máx;(4.1)Ax = b,(4.2)x 0.(4.3)

Aquí x = (x 1,...,x norte ), c = (c 1,...,c norte) , segundo = (segundo 1,…, b metro ), por lo que el número de ecuaciones en el sistema (4.2) es igual a m.

Para construir el problema dual al problema (4.1) - (4.3), lo reducimos a forma estándar.

Reemplazamos cada igualdad en (4.2) con un par de desigualdades

o lo que es lo mismo

Obtenemos un problema LP estándar con restricciones de 2m.

f(x)=< c, x >máx;b,

Construyamos un problema de LP dual de acuerdo con reglas conocidas.

Para ello, introducimos variables duales:

tu = (tu 1,…, tú metro) 0,

v = (v 1,…,v metro) 0.

Tenga en cuenta que dado que había 2 m de restricciones en el problema PL directo, habrá 2 m de variables en el problema dual.

Función objetivo el problema dual tomará la forma:

g(u,v)=< b, u > + < - b, v >minuto,

y las restricciones se escribirán así:

EN tu - un t vc,

Reescribamos este problema de manera más compacta:

g(u,v)=< b, u - v>menta (u - v) c, 0, v 0.

vamos a presentar nuevo vector variables duales y = (y 1,y 2,..., y metro) con coordenadas y i = tu i -v i . Dado que la diferencia de números no negativos también puede ser negativa (por ejemplo, 2-5 = -3), entonces las variables duales y i no tiene restricciones de señales.

Así, el problema dual al canónico tendrá la forma:

g(y) =< b, y >menta y 0,

Variable cualquier señal!

5. Tablas para la construcción del problema dual

Para cualquier problema de PL, se puede construir uno dual. Para hacer esto, debe reducirlo a un estándar o forma canónica. También puede utilizar las tablas siguientes.

Problema de programación lineal directaProblema de programación lineal dualFunción objetiva< c, x >máximo< b, y >minFunción objetivaTipo de restricción i-ésima i b i y i 0Signo de la i-ésima variable i b i y i 0i = segundo i y i j 0j do j Tipo j-restricciónx j 0j do j incógnita j ? variable libre j =c j

Problema de programación lineal directaProblema de programación lineal dualFunción objetiva< c, x >mín.< b, y >?maxFunción objetivaTipo de restricción i-ésima i b i y i ?0Signo de la i-ésima variable i b i y i 0i = segundo i y i - cualquier signoSigno de la j-ésima variablex j 0j do j Tipo j-restricciónx j 0j do j incógnita j ? variable libre j =c j

Ejercicio. Redacte problemas duales para los siguientes problemas de LP.

1.f(x) = 2x 1- 2x 2+ 3x3 - 6x 4máximo

incógnita 1+x 2 - 2x 3 +x 4 = -101- 5x 2-incógnita 3 + 2x 4= 35j 0,j=1,2,3,4

F(x) = -x 1 - 3x 2+x 3mín. 1+x 2+x 3 61-incógnita 2+x 3 8j 0,j=1,2,3

F(x) = 9x 1+ 2x 2+ 3x3 + 2x 4mín.

incógnita 1+ x2 + 2x 3 = 2

incógnita 1+x 2-incógnita 3 - 4x 4= -1j 0,j=1,2,3,4

F(x) = x 1 - 2x 2máx1 +x 2 4

x1 -incógnita 2 8

x1 +x 2 0

x2 0

6. Relación entre planes de problemas duales

Considere un par simétrico de problemas duales:

f(x) =< c, x >máx;(4.4)g(y) =< b, y >mín;(4.7)Axb(4.5)A t y c(4.8)x 0(4.6)(y 0(4.9)x = (x 1,…,x norte) y = (y1 ,…, y metro)

Existe una estrecha conexión entre las soluciones a estos problemas, que se refleja en las siguientes propiedades y teoremas.

7. Primer teorema de la dualidad

Además de la principal desigualdad y un signo suficiente de optimidad de los planes para problemas mutuamente duales, existen otras conexiones entre sus soluciones. Es importante establecer si la presencia o ausencia de una solución para uno de un par de problemas afecta la existencia de una solución para el otro. La respuesta a esta pregunta viene dada por el siguiente teorema, conocido como primer teorema de la dualidad.

Teorema 1. Si uno de un par de problemas duales tiene plan optimo, entonces ambos tienen un plan óptimo y los valores de las funciones objetivo en estos planes son iguales

(incógnita *) = g(x *) o< c, x*> = < b, y*>.

Si la función objetivo de uno de los dos problemas duales no está limitada a su conjunto de planes (directo - desde arriba, dual - desde abajo), entonces el conjunto de planes del otro problema está vacío.

De la primera parte del teorema, que presentamos sin demostración, se deduce que la igualdad (4.14) no sólo es una condición suficiente, sino también necesaria para la optimización de los planes para un par de problemas duales.

El enunciado de la segunda parte del teorema se puede demostrar fácilmente por contradicción. Supongamos que en el problema directo (4.4) - (4.6) la función objetivo no está acotada desde arriba en el conjunto X, es decir, max f(x) ¥ , x Î X, pero el conjunto de planes Y del problema dual no está vacío: hay al menos un punto y Î Y. Entonces, debido a la principal desigualdad de la teoría de la dualidad: max f(x) g(y), lo que contradice la ilimitación de la función objetivo del problema directo. Por tanto, la función objetivo es ilimitada desde arriba. problema original Implica la incompatibilidad de las restricciones del problema dual. De manera similar, se demuestra que dado que la función objetivo dual g(y) en el conjunto Y no está acotada desde abajo, se deduce que el conjunto de planes X del problema directo está vacío.

Curiosamente, lo contrario no es cierto. El vacío del conjunto de planes para un problema no implica necesariamente que la función objetiva en su problema dual sea ilimitada. (Ambos conjuntos pueden estar vacíos).

El primer teorema de la dualidad nos permite examinar la optimización de cualquier plan dado.

8. Segundo teorema de la dualidad

Teorema 2. Planes x * = (x 1*,…,x norte *) y y * = (y 1*,…, y metro *) - son óptimos (cada uno en su propia tarea), si y sólo si se cumplen las siguientes condiciones:

< Ax*- por* > = 0,(4.15)

< At y *-c,x* > = 0,(4.16)

Prueba.

Realicemos la prueba para un par asimétrico de problemas duales.

Problema de LP directoProblema de LP dualf(x) =< c, x >máxg(y) =< b, y >mín(4.17) Hacha = bAT y cx 0

Necesidad.

sea ​​x *, y *- planes óptimos para los problemas directos y duales, respectivamente. Demostremos que se cumplen las condiciones (4.15), (4.16).

Tenga en cuenta que para x = x *de (4.17) se sigue (4.15). desde hacha *- b= 0, lo que significa el producto escalar *- por * > también es cero. Por el primer teorema de dualidad para planes óptimos x *, y *la igualdad se cumple:< c, x* > = < b, y*>. Sustituyamos aquí la expresión para b de (14): b = Ax *. Usando la regla de transferencia obtenemos:

< c, x* > = < Ax*, y * >= < x*, A t y * > = < At y* , x * >,

de donde sigue< At y *-c,x * > = 0. Y esto no es más que la condición (4.16)

Adecuación.

Dejar para planes admisibles x *, y *(4.15), (4.16) son verdaderas. Demostremos su optimidad.

Las condiciones (4.15) y (4.16) se pueden escribir de la siguiente manera

< Ax*, y * > = < b, y* >, < At y *, x * > = < c, x* >.

Según la regla de transferencia< Ax*, y * > = < At y *, x *>. Como los lados izquierdos de las condiciones son iguales, los lados derechos también son iguales:

< b, y* > = < c, x* >,

de aquí, por la propiedad 2, concluimos que x *- plan óptimo para el problema directo, *- plan óptimo para un problema dual. Q.E.D.

. Condiciones de equilibrio

Continuaremos nuestro estudio de las condiciones necesarias y suficientes para la optimización de planes para problemas mutuamente duales, demostrados en el segundo teorema de la dualidad.

< Ax*- por* > = 0,(4.18)

< At y *-c,x* > = 0. (4.19)

Problema de LPD directoProblema de LPD doblef(x) = c 1incógnita 1+ … + c norte incógnita norte máxg(y) = b 1 y 1+ …+ b metro y metro ??mina i1 incógnita 1 + … + un en incógnita norte b i , i =1,…, mamá 1j y 1 + … + un mj y metro do j , j = 1,…, nx j 0, j = 1,…, nyi 0, yo = 1,…, metro

Al desarrollar productos escalares, describimos las condiciones (4.18) y (4.19) con más detalle.

å ( a i1 incógnita 1*+ … + un en incógnita norte * -b i ) yi * = 0,(4.20)

å ( a 1j y 1*+ … + un mj y metro * -do j )xj * = 0.(4.21)

En la suma (4.20), cada término es el producto de la diferencia entre los lados izquierdo y derecho de la restricción del problema directo por la variable dual correspondiente. Es obvio que todos los términos tienen el mismo signo “0”, ya que las diferencias entre paréntesis son menores o iguales a cero, y y i 0. Se deduce que la suma (4.20) es igual a cero si y sólo si cada término de ella es igual a cero.

(a i1 incógnita 1*+ … + un en incógnita norte * -b i )y i * = 0, yo =1,…, metro. (4.22)

dualidad desigualdad equilibrio lineal

En la suma (4.21), cada término es igual al producto de la diferencia entre los lados izquierdo y derecho de la restricción del problema dual y la variable correspondiente del problema directo. Todos los términos de esta suma tienen el mismo signo (0), ya que las diferencias están entre paréntesis y las variables x j *no negativo. Para que la suma sea igual a cero, cualquier término de la suma debe ser igual a cero.

(a 1j y 1*+ … + un mj y metro * -do j )incógnita j * = 0, j = 1,…, norte. (4.23)

Teniendo en cuenta los signos de los factores en el producto (4.22), del mismo podemos obtener un par de condiciones

si un i1 incógnita 1*+ … + un en incógnita norte * <b i , entonces yi * = 0. (4.22a)

si i * > 0, entonces un i1 incógnita 1*+ … + un en incógnita norte * = bi . (4.22b)

De manera similar, de (6) se sigue un par de condiciones

si un 1j y 1*+ … + un mj y metro * >do j , entonces xj * = 0. (4.23a)

si x j * > 0, entonces un 1j y 1*+ … + un mj y metro *cj. (4.23b)

Así, para un par de problemas duales

· Si cualquier restricción de un problema en el plan óptimo se satisface como una desigualdad estricta, entonces la coordenada correspondiente del plan óptimo de otro problema es igual a cero (condiciones (4.22a) y (4.23a)).

· Si alguna coordenada del plan óptimo de un problema es positiva, entonces la restricción correspondiente del otro problema se convierte en igualdad (condiciones (4.22b) y (4.23b)).

Estas condiciones se denominan condiciones de holgura complementarias o condiciones de equilibrio.

. Significado geométrico de las condiciones de equilibrio.

Definición 1 . Limitación de un problema de programación lineal estándar

a i1 incógnita 1 + … + un en incógnita nb i (4.24)

se llama conexo o activo en el plano x" si en este plano se convierte en igualdad

a i1 incógnita 1"+ … + un en xn " b i .

Definición 2. La restricción (4.24) se llama desconectada (inactiva, pasiva) en el plano x" si en este plano se cumple como una desigualdad estricta

a i1 incógnita 1"+ … + un en incógnita norte " <b i .

Geométricamente, una restricción que está activa en el punto x" pasa por ese punto, mientras que una restricción inactiva no.

En la figura en el punto x" P 1y p 3- restricciones activas y coherentes; PAG 2- restricción inactiva. En el punto x» P 1,PAG 2 - restricciones activas; PAG 3- restricción inactiva.

Ahora a las condiciones de equilibrio se les puede dar un significado geométrico.

Sobre planes óptimos para problemas duales.

· una restricción inactiva de una tarea corresponde a una variable de plan nula de otra tarea.

· la variable positiva del plan óptimo de una tarea corresponde a la restricción activa de otra tarea.

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2. La teoría de la dualidad en programación lineal. Método simplex dual

Para cada problema de programación lineal existe otro problema llamado dual o conjugado en relación con el original. La teoría de la dualidad ha demostrado ser útil para realizar investigaciones cualitativas sobre problemas de programación lineal.

2.1. Definición y significado económico de APP dual

Dejemos que el problema directo se escriba en forma canónica:

https://pandia.ru/text/78/450/images/image005_76.jpg" width="23" height="25 src=">la función objetivo del problema directo se convierte en el vector del lado derecho de las restricciones del problema dual, y el vector del lado derecho del problema directo - vector de la función objetivo del problema dual.

5) Si se maximiza la función objetivo del problema directo, entonces se minimiza la función objetivo del problema dual y las restricciones tienen la forma, y ​​viceversa.

Problema directo Problema dual

https://pandia.ru/text/78/450/images/image009_48.jpg" ancho="288" alto="272">

Ejemplo 2.1. Crear una tarea dual al siguiente problema:

con restricciones:

Solución.

1. Dado que el problema original es la maximización, reducimos todas las desigualdades del sistema de restricciones a la forma , para lo cual multiplicamos ambas partes de la primera y cuarta desigualdad por -1. obtenemos

2. Creemos una matriz extendida del sistema.

3. Encuentra la matriz transpuesta a A

4. Formulemos un problema dual:

bajo restricciones

6.1. Interpretación económica del problema dual al problema del uso de recursos.

Anteriormente, se consideró el problema del uso de recursos (el modelo económico y matemático y la interpretación significativa de este problema se presentan en el lado izquierdo de la Tabla 6.1)..jpg" width="48" height="23"> - el número de unidades del recurso consumido en la producción de una unidad de producto https://pandia.ru/text/78/450/images/image024_16.jpg" width="16" height="24 src="> - beneficio (ingresos ) de la venta de una unidad de producto (o precio del producto).

Supongamos que alguna organización ha decidido comprar recursos https://pandia.ru/text/78/450/images/image027_10.jpg" width="95" height="24">está interesada en los costos de todos los recursos Z en cantidades a precios acordes eran mínimos, es decir

Productos terminados" href="/text/category/gotovaya_produktciya/" rel="bookmark">productos terminados. Para la producción de una unidad del producto P1, se consumen unidades de recursos, unidades de recursos, unidades de recursos, ..., unidades de recursos a un precio, respectivamente, por lo tanto, para cumplir con los requisitos, los costos de vendedor de los recursos consumidos en la producción de una unidad del producto P1 no deben ser menores que su precio c1, es decir.

https://pandia.ru/text/78/450/images/image040_4.jpg" width="113" height="20 src=">. El modelo económico-matemático y la interpretación significativa del problema dual II así obtenido son figuran en la parte derecha de la tabla 6.1.

Elaborar dicho plan de producción X = (*], x2, ..., x"), en el cual el beneficio (ingresos) por la venta de productos será máximo, siempre que el consumo de recursos para cada tipo de producto no exceda las reservas disponibles

Encuentre tal conjunto de precios (estimaciones) de recursos Y = (yh уъ ..., ut), en el que los costos totales de los recursos serán mínimos, siempre que los costos de los recursos en la producción de cada tipo de producto no sean menores que la ganancia (ingresos) de la venta de estos productos.

Precios de los recursos recibió varios nombres en la literatura económica: contabilidad, implícita, sombra. El significado de estos nombres es que es condicional, Precios "falsos".jpg" width="113" height="25 src=">son interno, porque no vienen dados desde el exterior, sino que se determinan directamente como resultado de la resolución del problema, por eso se les llama más a menudo estimaciones recursos.

2.2. Disposiciones básicas de la teoría de la dualidad.

https://pandia.ru/text/78/450/images/image048_0.jpg" width="47" height="37 src="> - planes para ZLP directo y dual, luego

(2.12)

Teorema 2, Sean los planes del PLP directo y dual, respectivamente, y

, entonceshttps://pandia.ru/text/78/450/images/image051_0.jpg" width="195" height="32"> (2.13)

Si la ZLP directa (dual) no tiene solución, entonces la ZLP dual (directa) no tiene solución.

Comentario. Si en uno de los problemas mutuamente duales se viola la unicidad de la solución óptima, entonces la solución óptima al problema dual es degenerada. Esto se debe al hecho de que si se viola la unicidad de la solución óptima al problema original en la expresión función lineal a su solución óptima a través de variables no principales le falta al menos una de las variables principales.

Con la ayuda de los teoremas de dualidad, es posible, resolviendo el problema original utilizando el método simplex, encontrar la solución óptima y óptima al problema dual.

El método en el que primero método simplex se resuelve el problema dual y luego se encuentran el óptimo y la solución óptima del problema original utilizando teoremas de dualidad, llamado método dual simplex. Este método puede resultar ventajoso cuando la primera solución básica del problema original es inaceptable o, por ejemplo, cuando el número de sus restricciones metro mas numero variables norte.

3. Enterosmodelos de investigación de operaciones

La programación entera se centra en la resolución de problemas de programación matemática en los que todas o algunas variables deben tomar sólo valores enteros.

Un problema se llama completamente entero si se impone la condición de entero a todas sus variables; cuando esta condición se aplica sólo a algunas variables, el problema se llama parcialmente entero. Si la función objetivo y las funciones incluidas en las restricciones son lineales, entonces el problema es entero lineal.

Una parte importante de los problemas económicos relacionados con los problemas de programación lineal requieren una solución entera. Estas incluyen tareas en las que las variables significan el número de unidades de productos indivisibles, por ejemplo, la distribución de tareas de producción entre empresas, corte de materiales, carga de equipos, distribución de barcos a lo largo de líneas, aviones entre vuelos, así como tareas para el producción de productos indivisibles. Si una unidad constituye una pequeña parte del volumen total de producción, entonces la solución óptima se encuentra utilizando el método simplex habitual, redondeando a unidades enteras, según el significado del problema. De lo contrario, el redondeo puede dar como resultado una solución que esté lejos de la solución entera óptima.

Ejemplo 3.2, En el taller de la empresa se decidió instalar. equipo adicional, para cuya colocación se destinan 19,3 m de superficie. Una empresa puede gastar 10 mil dólares en la compra de equipos. Es decir, puede comprar dos tipos de equipos. Un conjunto de equipos de 1 tipo cuesta 1000 USD. e., y tipo II - 3000 USD. e. La compra de un juego de equipo tipo 1 le permite aumentar la producción por turno en 2 unidades y un juego de equipo tipo II en 3 unidades. Sabiendo que para instalar un juego de equipos tipo 1 se requieren 2 m2 de espacio y los equipos tipo II requieren 1 https://pandia.ru/text/78/450/images/image053_0.jpg" width="19" height ="17 src ="> conjuntos de equipos de tipo 1 y conjuntos de equipos de tipo II. Entonces las variables y deben satisfacer las siguientes desigualdades:

(3.11)

Si la empresa compra la cantidad especificada de equipo, entonces el aumento total de la producción será

(3.12)

Según su contenido económico, las variables INCÓGNITA\ Y X2 solo puedo aceptar entero valores no negativos, es decir.,

(3..jpg" width="55" height="29 src=">, maximizando forma lineal

(Z.1)

y cumpliendo las condiciones:

https://pandia.ru/text/78/450/images/image064_0.jpg" width="22" height="30 src="> - una variable entera cuyo valor está en solución óptima el problema debilitado es fraccionario. Intervalo

no contiene componentes de solución enteros válidos. Por lo tanto, un valor entero válido debe satisfacer una de las desigualdades

La introducción de estas condiciones en un problema con restricciones relajadas da lugar a dos problemas no relacionados. En este caso, se dice que la tarea original se ramifica (o divide) en dos subtareas. Tener en cuenta las condiciones enteras necesarias durante el proceso de ramificación permite excluir partes del poliedro de soluciones admisibles que no contienen puntos con coordenadas enteras.

Luego, cada subproblema se resuelve como un problema de programación lineal (con la función objetivo del problema original). Si el óptimo resultante resulta aceptable para problema de enteros, dicha solución debería registrarse como la mejor. En este caso, no es necesario continuar “ramificando” la subtarea, ya que obviamente no será posible mejorar la solución resultante. De lo contrario, la subtarea, a su vez, debe dividirse en dos subtareas, nuevamente teniendo en cuenta la condición de variables enteras cuyos valores en la solución óptima no sean enteros. Por supuesto, tan pronto como la recepción sea aceptable. solución entera una de las subtareas resulta ser mejor que la existente, se arregla en lugar de la previamente fijada. El proceso de ramificación continúa tanto como sea posible hasta que cada subproblema conduzca a una solución entera o hasta que se determine que la solución existente no se puede mejorar. En este caso, la solución factible fija es óptima.

La eficiencia del esquema computacional del método se puede aumentar teniendo en cuenta el concepto de límite, sobre cuya base se llega a la conclusión sobre la necesidad de una mayor división de cada una de las subtareas. Si la solución óptima a un subproblema con restricciones relajadas proporciona un valor peor de la función objetivo que la solución existente, este subproblema no debe considerarse más a fondo. En tales casos, se dice que la subtarea está sondeada y puede eliminarse de la lista de subtareas generadas por la tarea original. En otras palabras, tan pronto como se obtiene una solución entera admisible para un determinado subproblema, el valor correspondiente de la función objetivo se puede utilizar como (superior en el caso de minimización y menor en el caso de maximización) vinculado, cuya presencia nos permite formalizar el procedimiento para eliminar los subproblemas investigados.

3.2. Problema del vendedor ambulante

Hay n ciudades numeradas 1,2,...,n..jpg" width="64" height="20">entre ellas..jpg" width="37" height="18 src=">- cambio momento al cambiar del procesamiento de piezas iA procesamiento de la pieza j. Se requiere encontrar una secuencia de procesamiento de piezas que minimice tiempo total cambios.

Para escribir el planteamiento del problema en términos de programación lineal entera, definimos las variables booleanas de la siguiente manera: si un viajante de comercio se traslada de la i-ésima ciudad a la j-ésima; https://pandia.ru/text/78/450/images/image075.jpg" width="33" height="28 src=">satisfaciendo las siguientes relaciones:

Depósito" href="/text/category/vodohranilishe/" rel="bookmark">depósitos y muchos otros. Además, el modelo se puede modificar para tener en cuenta el transporte de varios tipos de productos.

El problema de transporte es un problema de programación lineal, pero su estructura específica permite modificar el método simplex de tal manera que los procedimientos computacionales se vuelvan más eficientes. Al desarrollar un método de solución. problema de transporte La teoría de la dualidad juega un papel importante.

El problema clásico del transporte considera el transporte (directo o con puntos intermedios) uno o más tipos de productos desde los puntos de origen hasta los puntos de destino. Este problema se puede modificar para incluir restricciones superiores en rendimiento comunicaciones de transporte. El problema de asignación y el problema de gestión de inventarios pueden considerarse problemas de tipo transporte.

Consideremos la construcción de un modelo económico y matemático de un problema de transporte usando un ejemplo.

Ejemplo 4.1. Construya un modelo económico y matemático del siguiente problema. Hay tres proveedores y cuatro consumidores. La capacidad de los proveedores y las demandas de los consumidores, así como el costo de transportar una unidad de carga para cada par proveedor-consumidor, se resumen en la tabla de oferta (Tabla 7.1).

https://pandia.ru/text/78/450/images/image078.jpg" width="33" height="19">-celdas (i - número

pauta, j - número de columna) es el llamado factor de costo - costos de transporte de una unidad de carga del i-ésimo proveedor

https://pandia.ru/text/78/450/images/image080.jpg" width="491" height="79 src=">

Ahora podemos dar una formulación matemática del problema (sin hacer referencia a su significado económico sustantivo).

Sobre el conjunto de soluciones no negativas del sistema de restricciones. (7.1) Y(7.2) encuentre una solución de este tipo https://pandia.ru/text/78/450/images/image082.jpg" width="17" height="18 src=">.jpg" width="16" height="17 src =" >en el número de unidades. Costo conocido cij transporte de una unidad de carga desde el proveedor i-ro hasta el j-ésimo consumidor.

Se puede formular reglas para obtener el problema dual del problema original.

1. Si en el problema original se busca el máximo de la función objetivo, entonces en su problema dual se busca el mínimo.

2. Los coeficientes de variables en la función objetivo de un problema son miembros libres del sistema de restricciones de otro problema.

3. En el ZLP original, todas las restricciones funcionales son desigualdades de la forma “≤”, y en el problema dual, son desigualdades de la forma “≥”.

4. Los coeficientes de variables en sistemas de restricciones de problemas mutuamente duales se describen mediante matrices transpuestas entre sí.

5. El número de desigualdades en el sistema de restricciones de un problema coincide con el número de variables del otro.

6. En ambos problemas se conserva la condición de no negatividad de las variables.

La conexión entre planes óptimos para problemas mutuamente duales se establece mediante teoremas de dualidad.

Teorema 1.Si uno de los problemas duales tiene un óptimo final, entonces el otro también tiene un óptimo final y los valores extremos de las funciones objetivo coinciden:

Por lo tanto, si un componente del plan óptimo es mayor que cero, entonces al sustituir en la restricción correspondiente del problema dual del plan óptimo, esta restricción se convierte en una verdadera igualdad, y viceversa.

Teorema de estimación.Los valores de las variables en la solución óptima del problema dual son estimaciones de la influencia de los términos libres. b yo en el sistema de restricciones del problema directo sobre el valor de la función objetivo:

(2.8)

Los componentes de la solución óptima del problema dual suelen denominarse evaluaciones duales. También se utiliza a menudo el término “evaluaciones determinadas objetivamente”.

El análisis económico y matemático de la distribución de recursos se basa en las propiedades de las evaluaciones duales. Dentro de los límites de estabilidad de las estimaciones duales, tienen lugar las propiedades que se analizan a continuación.

Al describir las propiedades de las estimaciones duales, utilizaremos el problema de los palos de hockey y los juegos de ajedrez para ilustrar claramente las disposiciones que estamos considerando.

Formulación del problema directo (inicial):

y 1 ≥ 0, y 2 ≥ 0, y 3 ≥ 0.

Como resultado de la solución obtenemos los siguientes planes óptimos:

= (24, 4); = (1/3, 1/3, 0).

Es fácil comprobar que al sustituir planes óptimos en las funciones objetivo de los problemas, ambos valores resultantes son iguales a 64.

Pasemos a considerar las propiedades de las estimaciones duales.

Propiedad 1. Evaluaciones como medida de escasez de recursos. Las evaluaciones duales reflejan la escasez comparativa de factores de producción. Cuanto mayor sea el valor de la estimación, mayor será la escasez del i-ésimo recurso. Los factores calificados como cero no son escasos y no limitan la producción.

En nuestro ejemplo, el tercer recurso ( = 0) recibió una puntuación de cero, por lo que no es escaso, es decir, desde el punto de vista de la tarea, el fondo de tiempo de trabajo en el sitio C no limita la producción. Por el contrario, los recursos primero (sección A) y segundo (sección B) son escasos y limitan la producción en la misma medida ( = 1/3).

La última afirmación se puede confirmar fácilmente sustituyendo y en las restricciones del problema original:

4ּ24 + 6ּ4 = 120, 2ּ24 + 6ּ4 = 72, 4< 10.

Esto muestra que al implementar el plan óptimo, el fondo de tiempo de trabajo de la sección C no se gasta por completo.

Propiedad 2. Estimaciones como medida de la influencia de las restricciones sobre el valor de la función objetivo. La magnitud de la evaluación dual de cualquier recurso muestra cuánto aumentaría valor máximo función objetivo, si el volumen de este recurso aumentado en uno. En este sentido, el valor de una evaluación determinada objetivamente a veces se denomina precio sombra de un recurso. El precio sombra es el costo por unidad de recurso en la solución óptima.

Sin embargo, hay que tener en cuenta que las evaluaciones duales permiten medir la eficacia de sólo un ligero cambio en el volumen de recursos. Con cambios significativos, se puede obtener un nuevo plan óptimo y nuevas estimaciones duales.

Para nuestro ejemplo, un aumento (disminución) en el fondo de tiempo en la sección A o B debería conducir a un aumento (disminución) en la ganancia máxima de $1/3. En consecuencia, por ejemplo, si el fondo de tiempo de la sección A aumenta en 12 n horas, el beneficio total debería aumentar en 4 dólares (1/3 y 12).

Propiedad 3. Las evaluaciones como herramienta para determinar la efectividad de las decisiones comerciales individuales. Mediante evaluaciones duales, es posible determinar la rentabilidad del lanzamiento de nuevos productos y la efectividad de nuevos métodos tecnológicos de producción. En este caso, puede considerarse efectiva la opción de producción en la que la cantidad de ganancias perdidas debido a la desviación de recursos escasos será menor que las ganancias recibidas. La diferencia entre estos valores (Δ j) se calcula como:

(2.9)

En el caso de que Δ j ≤ 0, la opción de producción es rentable, si Δ j > 0, la opción no es rentable.

Volvamos a nuestro ejemplo. Deje que la empresa planee lanzar nueva apariencia productos: bates de béisbol. Para producir un murciélago, es necesario dedicar 3 horas de trabajo en el área A, 4 horas de trabajo en el área B y 1 hora de trabajo en el área C. La ganancia obtenida por la venta de una broca es de $3. ¿Es rentable para una empresa producir? nuevos productos?

Para responder a la pregunta, calculemos Δ j usando la fórmula (2.9):

Δ j = 3ּ + 4ּ + 1ּ - 3 = 3ּ1/3 + 4ּ1/3 + 1ּ0 - 3 = -2/3,

Δj< 0, значит производить бейсбольные биты выгодно.

Propiedad 4. Estimaciones como medida de la sustituibilidad relativa de los recursos en términos del efecto final. Por ejemplo, la relación / muestra cuántas unidades del k-ésimo recurso se pueden liberar cuando el volumen del i-ésimo recurso aumenta en uno, de modo que el máximo de la función objetivo permanece en el mismo nivel; o viceversa, cuántas unidades del k-ésimo recurso se deben introducir adicionalmente al disminuir el volumen del i-ésimo recurso en una unidad si queremos que el valor de la función objetivo permanezca sin cambios.

En nuestro ejemplo, las valoraciones duales del primer y segundo recurso son iguales. Esto significa que, por ejemplo, si el fondo de tiempo de la sección A se reduce en 1 hora, es necesario aumentar el fondo de tiempo de la sección B en 1 hora para que el beneficio total recibido por la empresa permanezca sin cambios.

Concluyendo nuestra consideración del tema, observamos que el uso de teoremas de dualidad (es decir, las relaciones (2.6) y (2.7)) permite, conociendo la solución óptima de uno de los problemas mutuamente duales, encontrar fácilmente la solución óptima de otro problema. .

Ilustremos esta afirmación. ejemplo.

Para producir cuatro tipos de productos A 1, A 2, A 3 y A 4, la planta debe utilizar tres tipos de materias primas I, II y III. Los inventarios de materias primas para el período de planificación son, respectivamente, 1000, 600 y 150 unidades.

Los coeficientes tecnológicos (consumo de cada tipo de materia prima para la producción de una unidad de cada producto) y el beneficio por la venta de una unidad de cada producto se muestran en la Tabla 2.12.

Tabla 2.12 - Datos iniciales del problema sobre cuatro tipos de productos

Se requiere, conociendo la solución a un problema dado, resolver el problema dual del mismo.

Formulemos el ZLP inicial.

Los principales enunciados sobre problemas mutuamente duales están contenidos en los siguientes teoremas.

Primer teorema de la dualidad. Si uno de un par de problemas duales tiene una solución óptima, entonces el otro tiene una solución óptima y los valores extremos de las funciones objetivo correspondientes son iguales a

Si uno de estos problemas tiene una función objetivo ilimitada, entonces su problema dual no tiene soluciones admisibles. Finalmente, si uno de estos problemas no tiene soluciones factibles, entonces su problema dual tampoco tiene soluciones factibles o tiene una función objetivo ilimitada.

Segundo teorema de la dualidad. Para que haya dos soluciones factibles
Y Ud.=(en 1 , y 2 , ..., y metro ) pares de problemas duales son óptimos si y sólo si satisfacen las llamadas “condiciones de holgura complementarias”:

1)

2)

aquellos. de modo que el producto de los valores de cualquier variable de un problema y la diferencia entre los valores de la izquierda y partes correctas la restricción correspondiente del problema dual.

Tercer teorema de la dualidad(teorema de estimación). Valores variables en i en la solución óptima del problema dual, representan estimaciones de la influencia de los términos libres de las restricciones del problema original sobre el valor extremo de su función objetivo. z máximo , es decir.

.

3.3 Interpretación económica de los problemas duales

La sección 3.1 presenta una de las posibles opciones para la interpretación económica de problemas duales. En el caso de considerar el problema de planificar el trabajo de una empresa que produce norte tipos de productos que utilizan metro tipos de recursos, la solución al problema original es plan de producción
, y la solución al problema dual es el conjunto de precios (estimaciones duales) de los recursos Ud.=(en 1 , y 2 , ..., y metro ), correspondiente a este plan.

Existe una estrecha conexión entre las soluciones de un par de problemas duales.

De acuerdo a tercer teorema de la dualidad evaluaciones de recursos Ud.=(en 1 , y 2 , ..., y metro ) actuar como una medida de la influencia de los volúmenes de recursos en el valor de la producción máxima comercializable ( z máximo ). Muestran cuánto aumentará el valor de la función objetivo cuando un recurso dado aumenta en unidad. Por lo tanto, si i-el recurso aumentará en
unidades, entonces la función objetivo aumentará en consecuencia en
guarida. unidades Sin embargo, debemos recordar que esto sólo es cierto para aquellos incrementos de recursos que no causarán un cambio en la base del problema original.

Para determinar el límite de aumento de un recurso que no conduce a un cambio en la base en la tabla simplex óptima, considere los coeficientes de la tabla que pertenecen a la columna de la variable adicional correspondiente al recurso. Estos coeficientes muestran cuánto aumentarán los valores de las variables básicas (si el coeficiente es mayor que 0) y cuánto disminuirán (si el coeficiente es menor que 0) si se introduce una unidad adicional de recurso en el problema. . El límite para aumentar el recurso se encuentra a partir de la condición de que los nuevos valores de las variables básicas no sean negativos. Por lo tanto, se calcula como un mínimo del módulo de la relación entre los valores de las variables básicas y los coeficientes negativos de la columna de la variable adicional. Por ejemplo, para un recurso con un índice j el límite de aumento es

para coeficientes
.

En la sección 2.2 se proporciona un ejemplo de cómo calcular el límite de aumento de recursos para la tarea 2.1. En este problema, con un aumento en el recurso 2 que no excede las 6000 unidades, su estimación es válida y 2 , que es una solución al problema dual.

Creemos que en un plan rentable, el costo de todos los costos de producción debe ser igual al costo del producto elaborado:

.

De segundo teorema de la dualidad se deduce que si la estimación en i unidades de recurso es positivo, entonces con un plan de producción óptimo este recurso se utiliza por completo, es decir, es por definición escasa y en i llamado grado de escasez. Si el recurso no se utiliza en su totalidad, entonces su evaluación es igual a 0. Asimismo, si j-I Los productos se utilizan en la producción, es decir.
, entonces, en estimaciones duales óptimas, no es rentable (rentable), pero si no es rentable (no rentable), entonces no se utiliza en la producción (
). Evaluación dual en j tales productos se llaman grado de falta de rentabilidad.

Por tanto, los valores óptimos de variables duales son una herramienta para evaluar la rentabilidad (eficiencia) de productos o tecnologías y una medida de la escasez de recursos.

La solución al problema dual se obtiene en la última tabla simplex del problema original (3.1)-(3.3), en la (M+1)ésima fila.

Si el modelo (3.4)-(3.6) sirve como problema inicial, entonces la solución a su dual (3.1)-(3.3) se obtiene multiplicando por (-1) los elementos correspondientes de la (M+1)ésima fila de la última tabla simplex del problema (3.4)-(3.6).

Para escribir correctamente la solución del problema dual a partir de la tabla simplex, es necesario establecer la correspondencia de las variables de los problemas directo y dual, en función de su forma canónica:

– las variables principales del problema directo corresponden a variables adicionales del problema dual;

– las variables adicionales del original corresponden a las variables principales del modelo dual.

Los valores de las variables principales del problema dual se ubican en las columnas de las variables adicionales de la (M+1)ésima fila de la tabla simplex del problema directo, y los valores de las variables adicionales se ubican en las columnas de las variables principales de una misma fila.

Consideremos el plan óptimo para el problema 2.1 (Tabla 3.1).

Anotemos la correspondencia entre las variables de los problemas directo y dual.

problema original	incógnita 1	incógnita 2	incógnita 3	incógnita 4	incógnita 5	incógnita 6
Doble problema	en 4	en 5	en 6	en 1	en 2	en 3

En la Tabla 3.1 se copia la última tabla simplex del Problema 2.1 y se firman las designaciones de las variables duales, cuyos valores se obtienen simultáneamente con la solución del problema original.

Tabla 3.1 – Ubicación del plan dual óptimo

problemas en la tabla simplex del modelo original

		incógnita 1	incógnita 2	incógnita 3	incógnita 4	incógnita 5	incógnita 6
incógnita 4 incógnita 3 incógnita 6
Variables duales		en 4	en 5	en 6	en 1	en 2	en 3

Plan óptimo:

,
,
.

,
,
,

.

Plan óptimo para el problema dual:

,
,
,

,

.

.

Es con variables duales que en la Sección 2.2 se llevó a cabo un análisis económico de la solución al problema de programación lineal.

Cada problema de programación lineal se puede asociar con otro problema de programación lineal: dual. Al resolver uno de ellos, el otro problema se resuelve automáticamente. Estos problemas se denominan mutuamente duales. Los problemas duales tienen un significado económico importante; la teoría de la dualidad nos permite encontrar algunas características económicas. procesos de producción, realizar un análisis de sensibilidad.

Consideremos el problema de la planificación de la producción y resolvámoslo utilizando el método simplex directo. Y luego construiremos y resolveremos el problema que le es dual y discutiremos el significado económico de los resultados obtenidos.

Tarea 8 (sobre el plan). La empresa dispone de tres tipos de materias primas y pretende producir cuatro tipos de productos. Los coeficientes tecnológicos de la tabla (Cuadro 2.12) indican los costos del tipo correspondiente de materia prima por 1 unidad de un determinado tipo de producto, así como el beneficio de la venta de 1 unidad de producto y las reservas totales de recursos. Encuentre el plan de producción óptimo que garantice el máximo beneficio.

Tabla 2.12

Creemos un modelo matemático. Dejar el número de productos del tipo I, II, III, IV, respectivamente, en el plan. Entonces la cantidad de materias primas utilizadas y sus reservas se expresarán en las desigualdades:

La función objetivo expresa el beneficio total total recibido por la venta de todos los productos planificados. Y cada una de las desigualdades expresa los costos de un determinado tipo de materia prima. Está claro que los costos no deben exceder las reservas de materias primas.

Reduzcamos el problema a forma canónica, introduciendo variables adicionales en cada una de las desigualdades. Obviamente, si el primer recurso es necesario para la producción de los productos planificados, entonces denota el excedente del primer recurso como la diferencia entre el stock disponible y el requerido para la producción. Asimismo. Entonces, variables adicionales del problema de PL indican exceso de materias primas, tiempo y otros recursos restantes en producción para un plan óptimo dado.

Escribamos el problema en una tabla, habiendo escrito primero su forma canónica.

.

Etapa I. Este problema es de un tipo especial, la base está formada por variables. , los lados derechos de las ecuaciones no son negativos, el plan de referencia es admisible. Corresponde a la tabla simplex (Tabla 2.13).

Tabla 2.13

base gratuita					lados derechos
		0,4		0,5
					100
	-3	-5	-4	-5

Etapa II. Comprobemos que el plan sea óptimo. Dado que hay elementos negativos en la línea F del índice, el plan no es óptimo, pasemos a la etapa III.

Etapa III. Mejora plan de referencia. Elijamos la cuarta columna como columna de resolución también podríamos haber elegido la segunda, porque en ambos – 5. Elijamos 1 como elemento resolutivo, porque es donde se logra el mínimo de relaciones . Con el elemento de resolución transformamos la tabla según las reglas 3.1 a 3.5 (Tabla 2.14).

Tabla 2.14

base gratuita					lados derechos
	4,5	0,4	1,5	-0,5
	-1		-1	-1	200
		-5

El plan resultante tampoco es óptimo, porque hay un elemento negativo –5 en la fila, esta columna es permisiva. Elegimos 5 como elemento resolutivo, porque .

Volvamos a calcular la tabla. Tenga en cuenta que es conveniente iniciar el recálculo desde la línea de índice, porque si todos sus elementos no son negativos, entonces el plan es óptimo, y para escribirlo basta con recalcular la columna de términos libres, no es necesario calcular el "interior" de la tabla; Escribamos los resultados en la Tabla 2.15.

Tabla 2.15

base gratuita					lados derechos

El plan es óptimo porque no hay elementos negativos en la línea de índice, escríbalo.

Etapa IV. Variables básicas tome valores de la columna de términos libres y las variables libres son iguales a 0. Entonces, el plan óptimo y

De hecho, es decir Para obtener una ganancia máxima de 700 rublos, la empresa debe producir productos del tipo II en una cantidad de 40 piezas, tipo IV en una cantidad de 100 piezas, los productos de los tipos I y III no son rentables. Al mismo tiempo, recordemos el significado de variables adicionales: estas son materias primas excedentes, por lo tanto, las materias primas del segundo y tercer tipo se consumirán por completo y quedarán 334 unidades de materias primas del primer tipo, porque .

Formulemos las reglas para construir el problema dual.

1. El número de variables en el problema dual es igual al número de desigualdades en el original (sin tener en cuenta las desigualdades no negativas).

2. La matriz de coeficientes del problema dual se transpone a la matriz de coeficientes del problema original.

3. La columna de términos libres del original es una fila de coeficientes para la función objetivo dual y viceversa.

4. La función objetivo en un problema se maximiza, en otro se minimiza.

5. Las condiciones para la no negatividad de las variables del problema original corresponden a las desigualdades-restricciones del dual, dirigidas en la otra dirección. Una restricción de tipo igualdad corresponde a una variable sin signo.

Al escribir problemas, deben colocarse cuidadosamente uno al lado del otro, determinando con precisión la correspondencia de las desigualdades (que se muestran con flechas).