Domov › Nastavení › Datový typ řetězec c#. Operace s řetězci. Operátory třídy String

Datový typ řetězec c#. Operace s řetězci. Operátory třídy String

Nechte signál s(t) je specifikována jako neperiodická funkce a existuje pouze na intervalu ( t 1 ,t 2) (příklad - jediný impuls). Zvolme si libovolné časové období T, včetně intervalu ( t 1 ,t 2) (viz obr. 1).

Označme periodický signál získaný z s(t), tak jako ( t). Pak pro něj můžeme napsat Fourierovu řadu

Chcete-li přejít na funkci s(t) následuje ve výrazu ( t) nasměrujte periodu do nekonečna. V tomto případě počet harmonických složek s frekvencemi w=n 2p/T budou nekonečně velké, vzdálenost mezi nimi bude mít tendenci k nule (k nekonečnu malá velikost:

amplitudy složek budou také nekonečně malé. Proto již není možné hovořit o spektru takového signálu, protože spektrum se stává spojitým.

Vnitřní integrál je funkcí frekvence. Říká se jí spektrální hustota signálu, neboli frekvenční charakteristika signálu a označuje se tzn.

Pro obecnost lze meze integrace nastavit na nekonečno, protože je vše stejné, kde s(t) se rovná nule a integrál se rovná nule.

Výraz pro spektrální hustotu se nazývá přímá Fourierova transformace. Inverzní Fourierova transformace určuje časovou funkci signálu z jeho spektrální hustoty

Přímé (*) a inverzní (**) Fourierovy transformace se společně nazývají dvojice Fourierových transformací. Modul spektrální hustoty

určuje amplitudově-frekvenční odezvu (AFC) signálu a jeho argument se nazývá fázově-frekvenční odezva (PFC) signálu. Frekvenční odezva signálu je sudá funkce a fázová odezva je lichá.

Význam modulu S(w) je definována jako amplituda signálu (proud nebo napětí) na 1 Hz v nekonečně úzkém frekvenčním pásmu, které zahrnuje danou frekvenci w. Jeho rozměr je [signál/frekvence].

Energetické spektrum signálu. Pokud má funkce s(t) Fourierovu hustotu výkonu signálu ( spektrální hustota energie signálu) je určeno výrazem:

w(t) = s(t)s*(t) = |s(t)|2  |S()|2 = S()S*() = W(). (5.2.9)

Výkonové spektrum je W()-reálná nezáporná sudá funkce, která se obvykle nazývá energetické spektrum. Výkonové spektrum jako druhá mocnina modulu spektrální hustoty signálu neobsahuje fázovou informaci o jeho frekvenčních složkách, a proto je rekonstrukce signálu z výkonového spektra nemožná. To také znamená, že signály s různými fázovými charakteristikami mohou mít stejná výkonová spektra. Zejména posun signálu se neprojeví v jeho výkonovém spektru. Ten nám umožňuje získat vyjádření pro energetické spektrum přímo z výrazů (5.2.7). V limitě pro shodné signály u(t) a v(t) s posunem t 0 má imaginární část spektra Wuv () tendenci k nulové hodnoty a skutečná část - k hodnotám modulu spektra. S úplnou časovou kombinací signálů máme:

těch. energie signálu je rovna integrálu druhé mocniny jeho modulu frekvenční spektrum- součet energie jeho frekvenčních složek, a je vždy reálnou veličinou.

Pro libovolný signál s(t) rovnost

obvykle nazývaná Parsevalova rovnost (v matematice - Plancherelova věta, ve fyzice - Rayleighův vzorec). Rovnost je zřejmá, protože reprezentace souřadnic a frekvence jsou v podstatě pouze odlišné matematická zobrazení stejný signál. Podobně pro energii interakce dvou signálů:

Parsevalova rovnost implikuje neměnnost Tečkovaný produkt signály a normy týkající se Fourierovy transformace:

Celkově čisté praktické problémy registrace a přenosu signálů je energetické spektrum signálu velmi významné. Periodické signály jsou převedeny do spektrální oblasti ve formě Fourierových řad. Zapišme periodický signál s periodou T ve tvaru Fourierovy řady v komplexním tvaru:

Interval 0-T obsahuje celočíselný počet period všech exponentů integrandu a je roven nule, s výjimkou exponenciály v k = -m, pro kterou je integrál roven T. Průměrná mocnina periodický signál se rovná součtu čtverců modulů koeficientů jeho Fourierovy řady:

Energetické spektrum signálu – jde o rozložení energie základních signálů, které tvoří neharmonický signál na frekvenční ose. Matematicky se energetické spektrum signálu rovná druhé mocnině modulu spektrální funkce:

V souladu s tím amplitudově-frekvenční spektrum ukazuje množinu amplitud složek základních signálů na frekvenční ose a fázově frekvenční spektrum ukazuje množinu fází

Modul spektrální funkce se často nazývá amplitudové spektrum , a jeho argument je fázové spektrum.

Kromě toho existuje také inverzní konverze Fourier, který umožňuje obnovit původní signál se znalostí jeho spektrální funkce:

Vezměte například obdélníkový impuls:

Další příklad spektra:

Nyquistova frekvence, Kotelnikovův teorém .

Nyquistova frekvence - V digitální zpracování signály na frekvenci rovné polovině vzorkovací frekvence. Pojmenováno po Harrym Nyquistovi. Z Kotelnikovovy věty vyplývá, že při diskretizaci analogový signál Ke ztrátě informace nedojde pouze v případě, že spektrum (spektrální hustota) (nejvyšší frekvence užitečného signálu) signálu je rovno nebo nižší než Nyquistova frekvence. V opačném případě při obnově analogového signálu dojde k překrytí spektrálních „ocasů“ (substituce frekvence, maskování frekvence) a tvar obnoveného signálu bude zkreslený. Pokud spektrum signálu nemá žádné složky nad Nyquistovou frekvencí, pak může být (teoreticky) vzorkováno a následně rekonstruováno bez zkreslení. Ve skutečnosti je „digitalizace“ signálu (převod analogového signálu na digitální) spojena s kvantováním vzorků – každý vzorek je zapsán ve tvaru digitální kód konečná bitová hloubka, v důsledku čehož se ke vzorkům přidávají kvantizační chyby (zaokrouhlování), za určitých podmínek považovaných za „kvantizační šum“.

Reálné signály s konečnou dobou trvání mají vždy nekonečno široký rozsah, který se s rostoucí frekvencí více či méně rychle snižuje. Vzorkování signálu tedy vždy vede ke ztrátě informace (zkreslení tvaru signálu při vzorkování a rekonstrukci), bez ohledu na to, jak vysoká je vzorkovací frekvence. Při zvolené vzorkovací frekvenci lze zkreslení snížit potlačením spektrálních složek analogového signálu (před vzorkováním) nad Nyquistovou frekvencí, což vyžaduje filtr velmi vysokého řádu, aby se zabránilo aliasingu ocasů. Praktické provedení Takový filtr je velmi složitý, protože amplitudově-frekvenční charakteristiky filtrů nejsou pravoúhlé, ale hladké a mezi propustným a potlačovacím pásmem je vytvořeno určité pásmo přechodových frekvencí. Proto se vzorkovací frekvence volí s rezervou, např. u audio CD se používá vzorkovací frekvence 44100 Hz, zatímco nejvyšší frekvence ve spektru zvukové signály Frekvence se považuje za 20 000 Hz. Nyquistova frekvenční rezerva 44 100 / 2 - 20 000 = 2 050 Hz umožňuje vyhnout se substituci frekvence při použití implementovaného filtru nízkého řádu.

Kotelnikovova věta

Aby bylo možné obnovit původní nepřetržitý signál z navzorkovaného vzorku s malými zkresleními (chybami), je nutné racionálně zvolit krok vzorkování. Proto při převodu analogového signálu na diskrétní nutně vyvstává otázka velikosti kroku vzorkování. Intuitivně není obtížné pochopit následující myšlenku. Pokud má analogový signál nízkofrekvenční spektrum omezené určitou horní frekvencí Fe (tj. funkce u(t) má tvar plynule se měnící křivky, bez prudkých změn amplitudy), pak je nepravděpodobné, že by tato funkce mohla se výrazně změní v určitém malém časovém intervalu vzorkování. Je zcela zřejmé, že přesnost rekonstrukce analogového signálu ze sekvence jeho vzorků závisí na velikosti intervalu vzorkování, čím je kratší, tím méně se bude funkce u(t) lišit od hladké křivky procházející vzorkem body. S klesajícím intervalem vzorkování se však výrazně zvyšuje složitost a objem zpracovatelského zařízení. Pokud je vzorkovací interval dostatečně velký, zvyšuje se pravděpodobnost zkreslení nebo ztráty informace při rekonstrukci analogového signálu. Optimální hodnotu vzorkovacího intervalu stanoví Kotelnikovova věta (jiná jména jsou výběrová věta, věta K. Shannona, věta X. Nyquista: věta byla poprvé objevena v matematice O. Cauchyho a poté znovu popsána D. Carson a R. Hartley), kterou dokázal v roce 1933 V. A. Kotelnikovův teorém má důležité teoretické a praktický význam: umožňuje správně vzorkovat analogový signál a určuje optimální způsob jeho obnovení na přijímací straně z hodnot vzorků.

Podle jedné z nejznámějších a nejjednodušších interpretací Kotelnikovovy věty lze libovolný signál u(t), jehož spektrum je omezeno určitou frekvencí Fe, zcela rekonstruovat z posloupnosti jeho referenčních hodnot, následovaných časem. interval

Vzorkovací interval a frekvence Fe(1) se v radiotechnice často nazývají interval, respektive Nyquistova frekvence. Analyticky je Kotelnikovův teorém uveden vedle

kde k je číslo vzorku; - hodnota signálu v referenčních bodech - horní frekvence spektra signálu.

Frekvenční reprezentace diskrétních signálů .

Většina signálů může být reprezentována jako Fourierova řada:

Ve statistické radiotechnice a fyzice při studiu deterministické signály a náhodných procesů, jejich spektrální reprezentace ve formě spektrální hustoty, která je založena na Fourierova transformace.

Pokud má proces konečnou energii a je kvadraticky integrovatelný (a to je nestacionární proces), pak pro jednu implementaci procesu můžeme určit Fourierova transformace jako náhodný komplexní funkce frekvence:

X (f) = ∫ − ∞ ∞ x (t) e − i 2 π f t d t . (\displaystyle X(f)=\int \limits _(-\infty )^(\infty )x(t)e^(-i2\pi ft)dt.)

(1)

Pro popis ansámblu se však ukazuje jako téměř zbytečný. Východiskem z této situace je zahodit některé parametry spektra, konkrétně fázové spektrum, a sestrojit funkci, která charakterizuje rozložení energie procesu podél frekvenční osy. Pak podle Parsevalova věta energie

E x = ∫ − ∞ ∞ | x(t) | 2 d t = ∫ − ∞ ∞ | X (f) | 2 d f . (\displaystyle E_(x)=\int \limits _(-\infty )^(\infty )|x(t)|^(2)dt=\int \limits _(-\infty )^(\infty ) |X(f)|^(2)df.)

(2)

Funkce S x (f) = | X (f) | 2 (\displaystyle S_(x)(f)=|X(f)|^(2)) tedy charakterizuje rozložení energie implementace podél frekvenční osy a nazývá se spektrální hustota implementace. Zprůměrováním této funkce přes všechny implementace lze získat spektrální hustotu procesu.

Přejděme nyní ke stacionáru v širokém slova smyslu centrovaný náhodný proces x (t) (\displaystyle x(t)), jehož realizace s pravděpodobností 1 mají nekonečnou energii, a proto nemají Fourierovu transformaci. Spektrální hustota výkonu takový proces lze nalézt na základě věty Vinera-Khinchin Jak Fourierova transformace z korelační funkce:

S x (f) = ∫ − ∞ ∞ k x (τ) e − i 2 π f τ d τ . (\displaystyle S_(x)(f)=\int \limits _(-\infty )^(\infty )k_(x)(\tau)e^(-i2\pi f\tau )d\tau.)

(3)

Pokud existuje přímou konverzi, pak je tu také inverzní Fourierova transformace, který podle známé definice určuje k x (τ) (\displaystyle k_(x)(\tau)):

k x (τ) = ∫ − ∞ ∞ S x (f) e i 2 π f τ d f . (\displaystyle k_(x)(\tau)=\int \limits _(-\infty )^(\infty )S_(x)(f)e^(i2\pi f\tau )df.)

(4)

Předpokládáme-li ve vzorcích (3) a (4). f = 0 (\displaystyle f=0) A τ = 0 (\displaystyle \tau =0), my máme

S x (0) = ∫ − ∞ ∞ k x (τ) d τ , (\displaystyle S_(x)(0)=\int \limits _(-\infty )^(\infty )k_(x)(\tau )d\tau,)

(5)

σ x 2 = k x (0) = ∫ − ∞ ∞ S x (f) d f . (\displaystyle \sigma _(x)^(2)=k_(x)(0)=\int \limits _(-\infty )^(\infty )S_(x)(f)df.)

(6)

Vzorec (6) s přihlédnutím k (2) ukazuje, že určuje disperze plná energie stacionární náhodný proces, která se rovná ploše pod křivkou spektrální hustoty. Rozměrová hodnota S x (f) d f (\displaystyle S_(x)(f)df) lze interpretovat jako část energie koncentrované v malém frekvenčním rozsahu od f − d f / 2 (\displaystyle f-df/2) před f + d f / 2 (\displaystyle f+df/2). Pokud tím myslíme x (t) (\displaystyle x(t)) náhodné (kolísání) proudu nebo napětí, pak hodnota S x (f) (\displaystyle S_(x)(f)) bude mít energetický rozměr [V 2 /Hz] = [V 2 s]. Proto S x (f) (\displaystyle S_(x)(f)) někdy nazýván energetické spektrum. V literatuře často najdete jiný výklad: σ x 2 (\displaystyle \sigma _(x)^(2))– je považován za průměrný výkon uvolněný proudem nebo napětím přes odpor 1 ohm. Zároveň hodnota S x (f) (\displaystyle S_(x)(f)) volal výkonové spektrum náhodný proces.

Encyklopedický YouTube

1 / 3

Spektrum a spektrální hustota

Spektrální hustota obdélníkového pulzu

Spektrální hustota trojúhelníkového pulsu

Spektrální hustota a signál spolu souvisí dvojicí Fourierových transformací:

Všechny vlastnosti spektrální hustoty jsou spojeny v základních větách o spektrech.

I. Vlastnost linearity.

Pokud existuje určitá množina signálů a,..., pak je vážený součet signálů Fourierově transformován následovně:

Zde jsou libovolné číselné koeficienty.

II. Věta o posunu.

Předpokládejme, že signál má známou shodu. Uvažujme stejný signál, ale vyskytující se o několik sekund později. Vezmeme-li bod jako nový začátek času, označujeme tento posunutý signál jako. Zavedeme změnu proměnné: . Pak,

Modul komplexní číslo pro libovolný je roven 1, proto amplitudy elementárních harmonických složek, které tvoří signál, nezávisí na jeho poloze na časové ose. Informace o této charakteristice signálu je obsažena ve fázovém spektru.

III. Věta o měřítku.

Předpokládejme, že původní signál podléhá změně časového měřítka. To znamená, že roli času hraje nová nezávislá proměnná (- některé reálné číslo.) Je-li > 1, dojde ke „kompresi“ původního signálu; pokud 0<<1, то сигнал “растягивается” во времени. Если, то:

Nahradíme proměnnou, pak to bude následovat:

Když je signál na časové ose stlačen faktorem jedna, jeho spektrum na frekvenční ose se rozšíří o stejnou hodnotu. V tomto případě se modul spektrální hustoty sníží o faktor.

Je zřejmé, že když je signál natažen v čase (tj<1) имеет место сужение спектра и увеличение модуля спектральной плотности.

IV. Věta o spektru derivačního a neurčitého integrálu.

Nechť je dán signál a jeho spektrální rovina. Budeme studovat nový signál a stanovíme si cíl najít jeho spektrální hustotu.

A-priory:

Fourierova transformace je lineární operace, což znamená, že rovnost (2.3) platí i pro spektrální hustoty. Pomocí věty o posunu dostaneme:

Znázornění exponenciální funkce jako Taylorova řada:

Dosadíme-li tuto řadu do (2.6) a omezíme se na první dva členy řady, zjistíme

Takže diferenciace signálu s ohledem na čas je ekvivalentní jednoduché algebraické operaci násobení spektrální hustoty faktorem. Proto se o imaginárním čísle říká, že je to operátor diferenciace pracující ve frekvenční oblasti.

Druhá část věty. Uvažovaná funkce je vzhledem k funkci neurčitý integrál. Tento integrál existuje, což znamená jeho spektrální hustotu, a ze vzorce (2.7) se rovná:

Multiplikátor tedy slouží jako integrační operátor ve frekvenční doméně.

V. Konvoluční teorém.

Při sčítání signálů se sčítají jejich spektra. Spektrum součinu signálů se však nerovná součinu spekter, ale je vyjádřeno nějakým speciálním integrálním vztahem mezi spektry faktorů.

Nechť a být dva signály, pro které jsou známé korespondence. Vytvořme součin těchto signálů: a vypočítejme jeho spektrální hustotu. Jako obecné pravidlo: