Interpolační vzorec mezi dvěma hodnotami. Jak provést interpolaci. Implementace interpolačního algoritmu pomocí Lagrangeových vzorců v prostředí programu Microsoft Excel

Nejjednodušší a nejčastěji používaný typ lokální interpolace je lineární interpolace. To je ono dané body (X i , y i) na ( i = 0,1, ..., n) jsou spojeny přímými segmenty a funkcí F(X) křivka s vrcholy v těchto bodech se blíží.

Rovnice každého segmentu přerušované čáry jsou obecně odlišné. Protože existuje n intervalů ( X i - 1, X i), pak se pro každý z nich použije rovnice přímky procházející dvěma body jako rovnice interpolačního polynomu. Zejména pro i-tý interval můžeme napsat rovnici přímky procházející body ( X i -1, y i -1 ) A ( X i , y i), tak jako

a i =

Při použití lineární interpolace je tedy nutné nejprve určit interval, do kterého hodnota argumentu x spadá, a poté jej dosadit do vzorce (*) a najít přibližnou hodnotu funkce v tomto bodě.

Obrázek 3-3-Graf lineární interpolace.

1. Řešení profesionálního problému

Uchováváme experimentální data

ORIGIN:=0 Začátek datového pole - počítání od začátku

i:=1..6 Počet prvků v poli

Experimentální data jsou organizována do dvou vektorů

Proveďme interpolaci pomocí vestavěných funkcí MathCad

Lineární interpolace

Lf(x i):=linterp(x,y,x)

Interpolace kubické borovice

CS:=cspline(x,y)

Konstrukce kubické spline pomocí experimentálních dat

Lf(x i):=linterp(x,y,xi)

B-spline interpolace

Nastavte pořadí interpolace. Vektor u musí mít (n-1) méně prvků než vektor X a první prvek musí být menší než nebo rovná prvnímuživel X a poslední je větší nebo rovno poslednímu prvku x.

BS:=bspline(x,y,u,n)

Zkonstruujeme B-spline na základě experimentálních dat

BSf(x i):=(BS, x,y,xi)

Sestavíme graf všech aproximačních funkcí na jedné souřadnicové rovině.

Obrázek 4.1-Graf všech aproximačních funkcí na jedné souřadnicové rovině.

Závěr

Ve výpočetní matematice hraje významnou roli interpolace funkcí, tzn. stavba podle danou funkci jiný (obvykle jednodušší), jehož hodnoty se shodují s hodnotami dané funkce v určitém počtu bodů. Kromě toho má interpolace praktický i teoretický význam. V praxi často nastává problém rekonstruovat spojitou funkci z jejích tabelovaných hodnot, získaných například v průběhu nějakého experimentu. Pro vyhodnocení mnoha funkcí se ukazuje jako efektivní je aproximovat pomocí polynomů nebo zlomkových racionálních funkcí. Teorie interpolace se používá při konstrukci a studiu kvadraturních vzorců pro numerickou integraci, k získání metod řešení diferenciálních a integrálních rovnic. Hlavní nevýhodou polynomiální interpolace je, že je nestabilní na jedné z nejpohodlnějších a běžně používaných mřížek – mřížce s ekvidistantními uzly. Pokud to úloha umožňuje, lze tento problém vyřešit výběrem sítě s uzly Čebyšev. Pokud si nemůžeme libovolně vybrat interpolační uzly, nebo prostě potřebujeme algoritmus, který není příliš náročný na výběr uzlů, pak může být racionální interpolace vhodnou alternativou k polynomiální interpolaci.

Mezi výhody spline interpolace patří vysoká rychlost zpracování výpočtového algoritmu, protože spline je po částech polynomická funkce a během interpolace jsou data současně zpracována pro malý počet měřicích bodů patřících k fragmentu, který je uvažován v tento moment. Interpolovaný povrch popisuje prostorovou variabilitu různá měřítka a zároveň je hladký. Posledně jmenovaná okolnost umožňuje přímou analýzu geometrie a topologie povrchu pomocí analytických postupů

Toto je kapitola z knihy Billa Jelena.

Výzva: Některé konstrukční problémy vyžadují použití tabulek k výpočtu hodnot parametrů. Protože jsou tabulky diskrétní, návrhář používá lineární interpolaci k získání střední hodnoty parametru. Tabulka (obr. 1) obsahuje výšku nad zemí (kontrolní parametr) a rychlost větru (vypočítaný parametr). Pokud například potřebujete zjistit rychlost větru odpovídající výšce 47 metrů, měli byste použít vzorec: 130 + (180 – 130) * 7 / (50 – 40) = 165 m/s.

Stáhněte si poznámku ve formátu nebo formátu, příklady ve formátu

Co když existují dva ovládací parametry? Je možné provádět výpočty pomocí jednoho vzorce? V tabulce (obr. 2) jsou uvedeny hodnoty tlaku větru pro různé výšky a rozpětí konstrukcí. Je třeba vypočítat tlak větru ve výšce 25 metrů a rozpětí 300 metrů.

Řešení: Problém vyřešíme rozšířením metody použité pro případ o jeden řídicí parametr. Následuj tyto kroky:

Začněte tabulkou zobrazenou na obr. 2. Přidejte zdrojové buňky pro výšku a rozpětí v J1 a J2 (obrázek 3).

Rýže. 3. Vzorce v buňkách J3:J17 vysvětlují fungování megavzorce

Pro usnadnění použití vzorců definujte názvy (obr. 4).

Sledujte práci vzorce postupným přesunem z buňky J3 do buňky J17.

K vytvoření megaformule použijte reverzní sekvenční substituci. Zkopírujte text vzorce z buňky J17 do J19. Nahraďte odkaz na J15 ve vzorci hodnotou v buňce J15: J7+(J8-J7)*J11/J13. A tak dále. Výsledkem je vzorec skládající se z 984 znaků, který nelze v této podobě vnímat. Můžete se na to podívat v přiloženém souboru Excel. Nejsem si jistý, zda je tento druh megaformule užitečný.

Shrnutí: Lineární interpolace se používá k získání střední hodnoty parametru if tabulkové hodnoty specifikováno pouze pro hranice rozsahu; Je navržena metoda výpočtu využívající dva regulační parametry.

Interpolace je typ aproximace, při které křivka konstruované funkce prochází přesně dostupnými datovými body.

K interpolaci se blíží i úloha, která spočívá v aproximaci některých komplexní funkce další, jednodušší funkce. Pokud je určitá funkce pro produktivní výpočty příliš složitá, můžete zkusit vypočítat její hodnotu v několika bodech a z nich sestavit, tedy interpolovat, více jednoduchá funkce. Použití zjednodušené funkce samozřejmě neposkytuje tak přesné výsledky jako původní funkce. Ale v některých třídách problémů může dosažený zisk v jednoduchosti a rychlosti výpočtů převážit nad výslednou chybou ve výsledcích.

Za zmínku také stojí zcela jiný typ matematické interpolace známý jako operátorová interpolace. NA klasická díla o operátorové interpolaci zahrnují Riesz-Thorinův teorém a Marcinkiewiczův teorém, které jsou základem pro mnoho dalších prací.

Definice

Uvažujme systém neshodných bodů () z určité oblasti. Nechť jsou hodnoty funkcí známé pouze v těchto bodech:

Úkolem interpolace je takovou funkci najít daná třída funkce, které

Příklad

1. Nechte nás mít funkce tabulky, jako je ten popsaný níže, který pro několik hodnot určuje odpovídající hodnoty:

Interpolace nám pomáhá zjistit, jakou hodnotu může mít taková funkce v jiném než uvedeném bodě (např X = 2,5).

Nyní je jich mnoho různými způsoby interpolace. Výběr nejvhodnějšího algoritmu závisí na odpovědích na otázky: jak přesná je zvolená metoda, jaké jsou náklady na její použití, jak hladká je interpolační funkce, kolik datových bodů vyžaduje atd.

2. Najděte střední hodnotu (lineární interpolací).

Interpolační metody

Interpolace nejbližšího souseda

Nejjednodušší metodou interpolace je interpolace nejbližšího souseda.

Interpolace polynomy

V praxi se nejčastěji používá interpolace polynomy. Důvodem je především skutečnost, že polynomy lze snadno vypočítat, jejich deriváty lze snadno analyticky najít a množina polynomů je hustá v prostoru. spojité funkce(Weierstrassova věta).

• IMN-1 a IMN-2
• Lagrangeův polynom (interpolační polynom)
• Podle Aitkenova schématu

Inverzní interpolace (výpočet x dané y)

• Reverzní interpolace pomocí Newtonova vzorce

Interpolace funkce více proměnných

Jiné interpolační metody

• Trigonometrická interpolace

Související pojmy

• Extrapolace - metody hledání bodů mimo daný interval (prodloužení křivky)
• Aproximace - metody pro konstrukci přibližných křivek

viz také

• Experimentální vyhlazení dat

Nadace Wikimedia. 2010.

Podívejte se, co je „Interpolace“ v jiných slovnících:

1) způsob, jak z řady daných hodnot jakéhokoli matematického výrazu určit jeho střední hodnoty; takže např. dostřelem dělové koule při elevačním úhlu osy kanálu děla 1°, 2°, 3°, 4° atd. lze určit pomocí... ... Slovník cizích slov ruského jazyka

Vkládání, interpolace, inkluze, vyhledávání Slovník ruských synonym. interpolace, viz rámeček Slovník synonym ruského jazyka. Praktický průvodce. M.: Ruský jazyk. Z. E. Alexandrova. 2... Slovník synonym

interpolace- Výpočet střední hodnoty mezi dvěma známými body. Například: lineární lineární interpolace exponenciální exponenciální interpolace Proces výstupu barevného obrazu, když pixely patřící do oblasti mezi dvěma barvami... ... Technická příručka překladatele

- (interpolace) Odhad hodnoty neznámé veličiny umístěné mezi dvěma body v řadě známých veličin. Pokud například znáte ukazatele počtu obyvatel země získané ze sčítání lidu prováděného v intervalech 10 let, můžete... ... Slovník obchodních podmínek

Z latiny vlastně „falešný“. Toto je název pro chybné úpravy nebo pozdější vložení do rukopisů vytvořené opisovači nebo čtenáři. Tento termín se používá zvláště často v kritice rukopisů starověkých spisovatelů. V těchto rukopisech...... Literární encyklopedie

Hledání středních hodnot určitého vzoru (funkce) na základě řady jeho známých hodnot. V angličtině: Interpolation Viz též: Transformace dat Finanční slovník Finam... Finanční slovník

interpolace- a f. interpolace f. lat. změna interpolace; změna, zkreslení. 1. Vložení pozdějšího původu, ve kterém l. text, který nepatří k originálu. BAS 1. Ve starověkých rukopisech je mnoho interpolací zavedených písaři. Ush. 1934. 2 … Historický slovník galicismů ruského jazyka

INTERPOLACE- (interpolatio), doplňování empirických. řada hodnot veličiny s chybějícími mezihodnotami. Interpolaci lze provést třemi způsoby: matematickým, grafickým. a logické. Jsou založeny na společné hypotéze, že... Velká lékařská encyklopedie

- (z latinského interpolatio změna, alterace), nalezení mezilehlých hodnot veličiny na základě některých jejích známých hodnot. Například nalezení hodnot funkce y = f(x) v bodech x ležících mezi body x0 a xn, x0 ... Moderní encyklopedie

- (z latinského interpolatio change alteration), v matematice a statistice, hledání středních hodnot veličiny na základě některých jejích známých hodnot. Například nalezení hodnot funkce f(x) v bodech x ležících mezi body xo x1 ... xn, by... ... Velký encyklopedický slovník

Mnozí z nás se setkali nesrozumitelné termíny v různých vědách. Je ale jen velmi málo lidí, které nesrozumitelná slova nevyděsí, ale naopak povzbudí a nutí jít hlouběji do probírané látky. Dnes budeme mluvit o takové věci, jako je interpolace. Jedná se o metodu konstrukce grafů pomocí známých bodů, umožňující s minimálním množstvím informací o funkci předpovídat její chování na konkrétních částech křivky.

Než přejdeme k podstatě samotné definice a promluvíme si o ní podrobněji, pojďme se ponořit trochu hlouběji do historie.

Příběh

Interpolace je známá již od starověku. Tento fenomén však vděčí za svůj rozvoj několika nejvýznamnějším matematikům minulosti: Newtonovi, Leibnizovi a Gregorymu. Byli to oni, kdo vyvinul tento koncept s pomocí pokročilejších matematické metody v té době k dispozici. Předtím se samozřejmě interpolace používala a používala ve výpočtech, ale dělali to zcela nepřesnými způsoby, které vyžadovaly velké množství data k sestavení modelu více či méně blízkého realitě.

Dnes si dokonce můžeme vybrat, která interpolační metoda je vhodnější. Vše bylo přeloženo do počítačový jazyk, který s velkou přesností dokáže předpovídat chování funkce na určité oblasti, omezeno na známé body.

Interpolace je poměrně úzký pojem, takže její historie není tak bohatá na fakta. V další části zjistíme, co to vlastně interpolace je a jak se liší od svého opaku – extrapolace.

Co je interpolace?

Jak jsme již řekli, toto běžné jméno způsoby, jak sestavit graf podle bodů. Ve škole se to dělá hlavně tak, že se nakreslí tabulka, označí se body v grafu a zhruba se nakreslí čáry, které je spojují. Poslední akce se provádí na základě úvah o podobnosti zkoumané funkce s jinými, jejichž typ grafů je nám znám.

Existují však i další, složitější a přesné způsoby dokončete úkol sestrojit bod po bodu grafu. Interpolace je tedy vlastně „předpověď“ chování funkce v určité oblasti omezené známými body.

Se stejnou oblastí je spojen podobný koncept – extrapolace. Představuje také předpověď grafu funkce, ale za známými body grafu. Pomocí této metody se provede předpověď na základě chování funkce ve známém intervalu a poté se tato funkce aplikuje na neznámý interval. Tato metoda je velmi vhodná pro praktická aplikace a aktivně se využívá např. v ekonomii k predikci vzestupů a pádů na trhu a k predikci demografické situace v zemi.

Ale to jsme se vzdálili od hlavního tématu. V další části zjistíme, co se stane interpolací a jaké vzorce lze použít k provedení této operace.

Typy interpolací

Nejvíc jednoduchý pohled je interpolace pomocí metody nejbližšího souseda. Pomocí této metody získáme velmi hrubý graf složený z obdélníků. Pokud jste někdy viděli vysvětlení geometrického významu integrálu na grafu, pochopíte, o jaké grafické podobě mluvíme.

Kromě toho existují další interpolační metody. Nejznámější a nejoblíbenější souvisí s polynomy. Jsou přesnější a umožňují předpovídat chování funkce s poměrně skromným souborem hodnot. První interpolační metodou, na kterou se podíváme, je lineární polynomiální interpolace. Jedná se o nejjednodušší metodu v této kategorii a pravděpodobně ji každý z vás používal ve škole. Jeho podstatou je sestrojit přímky mezi známými body. Jak víte, jedna přímka prochází dvěma body v rovině, jejíž rovnici lze najít na základě souřadnic těchto bodů. Po sestrojení těchto přímek dostaneme přerušený graf, který přinejmenším, ale odráží přibližné hodnoty funkcí a v obecný obrys odpovídá realitě. Takto se provádí lineární interpolace.

Pokročilé typy interpolace

Je tam jeden zajímavější, ale zároveň víc těžká cesta interpolace. Vynalezl jej francouzský matematik Joseph Louis Lagrange. Proto je po ní pojmenován výpočet interpolace pomocí této metody: interpolace pomocí Lagrangeovy metody. Trik je v tomto: pokud metoda popsaná v předchozím odstavci používá pouze lineární funkce, pak expanze Lagrangeovou metodou zahrnuje také více použití polynomů vysoké stupně. Najít samotné interpolační vzorce ale není tak snadné různé funkce. A čím více bodů je známo, tím přesnější je interpolační vzorec. Ale existuje mnoho dalších metod.

Existuje pokročilejší způsob výpočtu, který se blíží realitě. V něm použitý interpolační vzorec je množina polynomů, z nichž aplikace každého závisí na úseku funkce. Tato metoda se nazývá spline funkce. Kromě toho existují také způsoby, jak udělat něco jako interpolaci funkcí dvou proměnných. Existují pouze dvě metody. Mezi nimi je bilineární nebo dvojitá interpolace. Tato metoda umožňuje snadno sestavit graf pomocí bodů v trojrozměrném prostoru. Nebudeme se dotýkat jiných metod. Obecně je interpolace univerzálním názvem pro všechny tyto způsoby konstrukce grafů, ale rozmanitost způsobů, jakými lze tuto akci provést, nás nutí rozdělit je do skupin v závislosti na typu funkce, která je předmětem této akce. To znamená, že interpolace, na jejíž příklad jsme se podívali výše, se týká přímých metod. Existuje také inverzní interpolace, která se liší tím, že umožňuje vypočítat nikoli přímou, ale inverzní funkce(tj. x z y). Zvážit nejnovější možnosti nebudeme, protože je to docela obtížné a vyžaduje dobrou základnu matematických znalostí.

Přejděme snad k jedné z nejdůležitějších částí. Z ní se dozvídáme, jak a kde se v životě uplatňuje soubor metod, o kterých diskutujeme.

aplikace

Matematika, jak víme, je královnou věd. I když tedy zpočátku v určitých operacích nevidíte smysl, neznamená to, že jsou zbytečné. Například se zdá, že interpolace je zbytečná věc, s jejíž pomocí lze sestavit pouze grafy, které nyní málokdo potřebuje. Pro jakékoli výpočty v technice, fyzice a mnoha dalších vědách (například biologie) je však nesmírně důležité podat poměrně úplný obrázek o jevu a mít přitom určitý soubor hodnot. Samotné hodnoty, rozptýlené po grafu, nedávají vždy jasnou představu o chování funkce v konkrétní oblasti, o hodnotách jejích derivací a průsečíků s osami. A to je velmi důležité pro mnoho oblastí našeho života.

Jak to bude užitečné v životě?

Na takovou otázku může být velmi těžké odpovědět. Ale odpověď je jednoduchá: v žádném případě. Tyto znalosti vám nebudou k ničemu. Ale pokud pochopíte tento materiál a metody, kterými se tyto akce provádějí, budete trénovat svou logiku, která bude v životě velmi užitečná. Hlavní nejsou znalosti samotné, ale dovednosti, které člověk získává v procesu studia. Ne nadarmo se říká: "Žij věčně, uč se věčně."

Související pojmy

Sami můžete pochopit, jak důležitá tato oblast matematiky byla (a stále je), když se podíváte na řadu dalších pojmů s ní spojených. O extrapolaci jsme již mluvili, ale existuje také aproximace. Možná jste toto slovo už slyšeli. V každém případě jsme v tomto článku také probrali, co to znamená. Aproximace, stejně jako interpolace, jsou pojmy související s konstrukcí grafů funkcí. Rozdíl mezi prvním a druhým je ale v tom, že představuje přibližnou konstrukci grafu na základě podobného slavných žebříčků. Tyto dva pojmy jsou si velmi podobné, a proto je o to zajímavější studovat každý z nich.

Závěr

Matematika není tak složitá věda, jak se na první pohled zdá. Je docela zajímavá. A v tomto článku jsme se vám to pokusili dokázat. Podívali jsme se na pojmy související s vykreslováním grafů, dozvěděli jsme se, co je to dvojitá interpolace, a podívali jsme se na příklady, kde se používá.