Co je hlavním článkem informační a počítačové sítě. Informační a počítačové sítě, jejich klasifikace a typy. IVS jsou klasifikovány podle řady kritérií

Dvě náhodné proměnné $X$ a $Y$ se nazývají nezávislé, pokud se distribuční zákon jedné náhodné proměnné nemění v závislosti na tom, co možné hodnoty vzal další náhodnou veličinu. To znamená, že pro libovolné $x$ a $y$ jsou události $X=x$ a $Y=y$ nezávislé. Protože události $X=x$ a $Y=y$ jsou nezávislé, pak podle věty o součinu pravděpodobností nezávislých událostí $P\left(\left(X=x\right)\left(Y=y\ vpravo)\vpravo)=P \vlevo(X=x\vpravo)P\vlevo (Y=y\vpravo)$.

Příklad 1 . Nechť náhodná proměnná $X$ vyjadřuje peněžní výhry z tiketů jedné loterie " ruské loto“, a náhodná proměnná $Y$ vyjadřuje peněžní výhry z tiketů jiné loterie „Zlatý klíč“. Je zřejmé, že náhodné veličiny $X,\Y$ budou nezávislé, protože výhry z tiketů jedné loterie nezávisí na zákonu o rozdělení výher z tiketů jiné loterie. V případě, že by náhodné veličiny $X,\Y$ vyjadřovaly výhru stejné loterie, pak by tyto náhodné veličiny byly samozřejmě závislé.

Příklad 2 . Dva dělníci pracují v různých dílnách a vyrábějí různé produkty, které spolu nesouvisí výrobní technologií a použitými surovinami. Distribuční zákon pro počet vadných výrobků vyrobených prvním pracovníkem za směnu má následující podobu:

$\begin(pole)(|c|c|)
\hline
Počet \ vadných \ produktů \ x & 0 & 1 \\
\hline
Pravděpodobnost & 0,8 & 0,2 \\
\hline
\end(pole)$

Počet vadných výrobků vyrobených druhým pracovníkem za směnu se řídí následujícím distribučním zákonem.

$\begin(pole)(|c|c|)
\hline
Počet \ vadných \ produktů \ y & 0 & 1 \\
\hline
Pravděpodobnost & 0,7 a 0,3 \\
\hline
\end(pole)$

Najdeme distribuční zákon pro počet vadných výrobků vyrobených dvěma pracovníky za směnu.

Nechť náhodná proměnná $X$ je počet vadných výrobků vyrobených prvním pracovníkem za směnu a $Y$ počet vadných výrobků vyrobených druhým pracovníkem za směnu. Podle podmínky jsou náhodné proměnné $X,\Y$ nezávislé.

Počet vadných výrobků vyrobených dvěma pracovníky za směnu je náhodná veličina $X+Y$. Jeho možné hodnoty jsou $0,\ 1$ a $2$. Najdeme pravděpodobnosti, se kterými náhodná veličina $X+Y$ nabývá svých hodnot.

$P\levá (X+Y=0\vpravo)=P\vlevo (X=0,\Y=0\vpravo)=P\levá (X=0\vpravo)P\levá (Y=0\vpravo) =0,8\cdot 0,7=0,56,$

$P\levá(X+Y=1\vpravo)=P\vlevo (X=0,\ Y=1\ nebo\ X=1,\ Y=0\vpravo)=P\vlevo (X=0\vpravo )P\levá(Y=1\vpravo)+P\vlevo (X=1\vpravo)P\vlevo (Y=0\vpravo)=0,8\cdot 0,3+0,2\cdot 0,7 =0,38,$

$P\levá(X+Y=2\vpravo)=P\vlevo (X=1,\Y=1\vpravo)=P\levá (X=1\vpravo)P\vlevo (Y=1\vpravo) =0,2\cdot 0,3=0,06,$

Pak zákon o rozdělení počtu vadných výrobků vyrobených dvěma pracovníky za směnu:

$\begin(pole)(|c|c|)
\hline
Počet \ vadných \ produktů & 0 & 1 & 2 \\
\hline
Pravděpodobnost & 0,56 & 0,38 & 0,06\\
\hline
\end(pole)$

V předchozím příkladu jsme provedli operaci s náhodnými proměnnými $X,\Y$, konkrétně jsme zjistili jejich součet $X+Y$. Uveďme nyní přesnější definici operací (sčítání, rozdíl, násobení) nad náhodnými veličinami a uveďme příklady řešení.

Definice 1. Součin $kX$ náhodné proměnné $X$ by konstantní hodnotu$k$ je náhodná proměnná, která nabývá hodnot $kx_i$ se stejnou pravděpodobností $p_i$ $\left(i=1,\ 2,\ \dots ,\ n\right)$.

Definice 2. Součet (rozdíl nebo produkt) náhodné proměnné$X$ a $Y$ je náhodná proměnná, která nabývá všech možných hodnot ve tvaru $x_i+y_j$ ($x_i-y_i$ nebo $x_i\cdot y_i$), kde $i=1,\ 2, \dots ,\ n$, s pravděpodobnostmi $p_(ij)$, že náhodná proměnná $X$ bude mít hodnotu $x_i$ a $Y$ hodnotu $y_j$:

$$p_(ij)=P\vlevo[\vlevo(X=x_i\vpravo)\vlevo (Y=y_j\vpravo)\vpravo].$$

Protože náhodné proměnné $X,\Y$ jsou nezávislé, pak podle věty o násobení pravděpodobnosti pro nezávislé události: $p_(ij)=P\left(X=x_i\right)\cdot P\left(Y=y_j\ vpravo)= p_i\cdot p_j$.

Příklad 3 . Nezávislé náhodné proměnné $X,\ Y$ jsou specifikovány svými zákony rozdělení pravděpodobnosti.

$\begin(pole)(|c|c|)
\hline
x_i & -8 & 2 & 3 \\
\hline
p_i & 0,4 & 0,1 & 0,5 \\
\hline
\end(pole)$

$\begin(pole)(|c|c|)
\hline
y_i & 2 & 8 \\
\hline
p_i & 0,3 & 0,7 \\
\hline
\end(pole)$

Formulujme zákon rozdělení náhodné veličiny $Z=2X+Y$. Součet náhodných proměnných $X$ a $Y$, tedy $X+Y$, je náhodná proměnná, která nabývá všech možných hodnot ve tvaru $x_i+y_j$, kde $i=1,\ 2 ,\tečky ,\ n$ , s pravděpodobnostmi $p_(ij)$, že náhodná proměnná $X$ nabude hodnotu $x_i$ a $Y$ hodnotu $y_j$: $p_(ij)=P\left [\left(X=x_i\right )\left(Y=y_j\right)\right]$. Protože náhodné proměnné $X,\Y$ jsou nezávislé, pak podle věty o násobení pravděpodobnosti pro nezávislé události: $p_(ij)=P\left(X=x_i\right)\cdot P\left(Y=y_j\ vpravo)= p_i\cdot p_j$.

Má tedy distribuční zákony pro náhodné proměnné $2X$ a $Y$.

$\begin(pole)(|c|c|)
\hline
x_i & -16 & 4 & 6 \\
\hline
p_i & 0,4 & 0,1 & 0,5 \\
\hline
\end(pole)$

$\begin(pole)(|c|c|)
\hline
y_i & 2 & 8 \\
\hline
p_i & 0,3 & 0,7 \\
\hline
\end(pole)$

Pro usnadnění nalezení všech hodnot součtu $Z=2X+Y$ a jejich pravděpodobností sestavíme pomocnou tabulku, do jejíž každé buňky umístíme do levého rohu hodnoty součtu $ Z=2X+Y$ a v pravém rohu - pravděpodobnosti těchto hodnot získané jako výsledek násobení pravděpodobností odpovídajících hodnot náhodných proměnných $2X$ a $Y$.

Výsledkem je rozdělení $Z=2X+Y$:

$\begin(pole)(|c|c|)
\hline
z_i & -14 & -8 & 6 & 12 & 10 & 16 \\
\hline
p_i & 0,12 & 0,28 & 0,03 & 0,07 & 0,15 & 0,35 \\
\hline
\end(pole)$

Nechť jsou známé směrodatné odchylky několika vzájemně nezávislých náhodných veličin. Jak zjistit směrodatnou odchylku součtu těchto veličin? Odpověď na tuto otázku dává následující věta.

Teorém. Směrodatná odchylka součtu konečného počtu vzájemně nezávislých náhodných veličin je rovna odmocnina ze součtu druhých mocnin směrodatných odchylek těchto veličin.“

Důkaz. Označme podle X součet uvažovaných vzájemně nezávislých veličin:

Rozptyl součtu více vzájemně nezávislých náhodných veličin je roven součtu rozptylů členů (viz § 5, důsledek 1), proto

nebo konečně

Identicky rozdělené vzájemně nezávislé náhodné veličiny

Je již známo, že podle distribučního zákona lze najít číselné charakteristiky náhodné veličiny. Z toho vyplývá, že pokud má několik náhodných proměnných totožné rozdělení, pak jsou jejich číselné charakteristiky stejné.

Uvažujme P vzájemně nezávislé náhodné veličiny X v X v ..., Xfi, které mají stejná rozdělení, a tedy i stejné charakteristiky (matematické očekávání, disperze atd.). Největší zájem je o studium numerických charakteristik aritmetického průměru těchto veličin, čemuž se budeme věnovat v této části.

Označme aritmetický průměr uvažovaných náhodných veličin X:

Následující tři ustanovení stanoví souvislost mezi číselnými charakteristikami aritmetického průměru X a odpovídající charakteristiky každé jednotlivé veličiny.

1. Matematické očekávání aritmetického průměru identicky rozdělených vzájemně nezávislých náhodných proměnných se rovná matematickému očekávání a každé z proměnných:

Důkaz. Použití vlastností matematického očekávání ( konstantní faktor lze vyjmout jako znak matematického očekávání; matematické očekávání součtu se rovná součtu matematických očekávání členů), máme

S přihlédnutím k tomu, že matematické očekávání každé z veličin podle podmínky se rovná A, dostaneme

2. Disperze aritmetického průměru n shodně rozdělených vzájemně nezávislých náhodných veličin je nkrát menší než disperze D každé z proměnných.:

Důkaz. Pomocí vlastností disperze (konstantní faktor lze ze znaménka disperze vyjmout jeho kvadraturou; disperze součtu nezávislých veličin je rovna součtu disperzí členů)

§ 9. Identicky rozdělené vzájemně nezávislé náhodné veličiny 97

Vezmeme-li v úvahu, že rozptyl každé z veličin podle podmínky je roven D, dostáváme

3. Směrodatná odchylka aritmetického průměru n shodně rozdělených vzájemně nezávislých náhodných

hodnoty jsou 4nkrát menší než standardní odchylka a každé z hodnot:

Důkaz. Protože D(X) = D/n pak směrodatná odchylka X rovná se

Obecný závěr ze vzorců (*) a (**): Když si pamatujeme, že rozptyl a směrodatná odchylka slouží jako míry rozptylu náhodné veličiny, docházíme k závěru, že aritmetický průměr je dostatečný velké číslo vzájemně nezávislé náhodné veličiny má

podstatně menší rozptyl než každá jednotlivá hodnota.

Vysvětleme si na příkladu význam tohoto závěru pro praxi.

Příklad. Obvykle nějaké změřit Fyzické množství proveďte několik měření a poté najděte aritmetický průměr získaných čísel, který je brán jako přibližná hodnota naměřené hodnoty. Za předpokladu, že se měření provádějí za stejných podmínek, prokažte:

• a) aritmetický průměr poskytuje spolehlivější výsledek než jednotlivá měření;
• b) s nárůstem počtu měření roste spolehlivost tohoto výsledku.

Řešení, a) Je známo, že jednotlivá měření dávají nestejné hodnoty měřené veličiny. Výsledek každého měření závisí na mnoha náhodných příčinách (změny teploty, kolísání přístroje atd.), které nelze předem plně zohlednit.

Proto máme právo zvážit možné výsledky P jednotlivá měření jako náhodné veličiny X v X 2,..., X str(index označuje číslo měření). Tyto veličiny mají stejné rozdělení pravděpodobnosti (měření se provádějí stejnou technikou a stejnými přístroji), a tedy stejné číselné charakteristiky; navíc jsou vzájemně nezávislé (výsledek každého jednotlivého měření nezávisí na jiných měřeních).

Již víme, že aritmetický průměr takových veličin má menší rozptyl než každá jednotlivá veličina. Jinými slovy, aritmetický průměr se ukáže být bližší skutečné hodnotě naměřené hodnoty než výsledek samostatného měření. To znamená, že aritmetický průměr několika měření dává výsledek více případů než jedno měření.

b) Již víme, že s rostoucím počtem jednotlivých náhodných veličin se rozptyl aritmetického průměru zmenšuje. To znamená, že s rostoucím počtem měření se aritmetický průměr několika měření liší od skutečné hodnoty naměřené hodnoty stále méně. Zvýšením počtu měření tedy získáme více spolehlivý výsledek.

Pokud je například směrodatná odchylka jednotlivého měření a = 6 m, a celkem P= 36 měření, pak je směrodatná odchylka aritmetického průměru těchto měření skutečně pouze 1 m.

Vidíme, že aritmetický průměr několika měření, jak by se dalo očekávat, se ukázal být bližší skutečné hodnotě naměřené hodnoty než výsledek jednoho měření.

Práce na kurzu

na téma: „Zákony vysoká čísla»

Identicky rozdělené náhodné veličiny

K vyřešení mnoha praktické problémy je nutné znát komplex podmínek, kvůli kterým je výsledek kumulativního dopadu velké množství náhodné faktory jsou téměř nezávislé na náhodě. Tyto podmínky jsou popsány v několika větách tzv běžné jméno zákon velkých čísel, kde náhodná veličina k je rovna 1 nebo 0 podle toho, zda je výsledkem k-tého pokusu úspěch nebo neúspěch. Sn je tedy součtem n vzájemně nezávislých náhodných proměnných, z nichž každá nabývá hodnot 1 a 0 s pravděpodobnostmi p a q.

Nejjednodušší forma zákon velkých čísel – Bernoulliho teorém, který říká, že pokud je pravděpodobnost jevu ve všech pokusech stejná, pak s rostoucím počtem pokusů se četnost jevu blíží pravděpodobnosti jevu a přestává být náhodná .

Poissonův teorém říká, že frekvence události v sérii nezávislých pokusů směřuje k aritmetickému průměru jejích pravděpodobností a přestává být náhodná.

Limitní věty teorie pravděpodobnosti, Moivre-Laplaceova věta vysvětlují povahu stability frekvence výskytu události. Tato povaha spočívá v tom, že limitní rozdělení počtu výskytů události s neomezeným nárůstem počtu pokusů (pokud je pravděpodobnost události ve všech pokusech stejná) je normální rozdělení.

Centrální limitní teorém vysvětluje rozšířené rozdělení zákona o normálním rozdělení. Věta říká, že kdykoli vznikne náhodná veličina jako výsledek sčítání velkého počtu nezávislých náhodných veličin s konečnými rozptyly, zákon rozdělení této náhodné veličiny se ukáže jako téměř normální zákon.

Ljapunovova věta vysvětluje rozšířené rozdělení zákona normálního rozdělení a vysvětluje mechanismus jeho vzniku. Věta nám umožňuje konstatovat, že kdykoli vznikne náhodná veličina v důsledku přidání velkého počtu nezávislých náhodných veličin, jejichž rozptyly jsou malé ve srovnání s disperzí součtu, zákon rozdělení této náhodné veličiny se změní je to téměř normální zákon. A protože náhodné veličiny jsou vždy generovány nekonečným počtem příčin a nejčastěji žádná z nich nemá rozptyl srovnatelný s rozptylem samotné náhodné veličiny, podléhá většina náhodných veličin, se kterými se v praxi setkáváme, zákonu normálního rozdělení.

Kvalitativní a kvantitativní výroky zákona velkých čísel jsou založeny na Čebyševova nerovnost. Určuje horní hranici pravděpodobnosti, že odchylka hodnoty náhodné veličiny od jejího matematického očekávání je větší než určité zadané číslo. Je pozoruhodné, že Čebyševova nerovnost dává odhad pravděpodobnosti události pro náhodnou veličinu, jejíž rozdělení je neznámé, je známo pouze její matematické očekávání a rozptyl.

Čebyševova nerovnost. Pokud má náhodná veličina x rozptyl, pak pro libovolné x > 0 platí nerovnost, kde M x a D x - matematické očekávání a rozptyl náhodné veličiny x.

Bernoulliho věta. Nechť x n je počet úspěchů v n Bernoulliho pokusech a p pravděpodobnost úspěchu v individuálním pokusu. Potom pro libovolné s > 0, .

Ljapunovova věta. Nechť s 1 , s 2 , …, s n , … je neomezená posloupnost nezávislých náhodných veličin s matematickými očekáváními m 1, m 2, …, m n, … a rozptyly s 1 2, s 2 2, …, s n 2 … . Označme , , , .

Pak = Ф(b) - Ф(a) pro libovolné reálná čísla aab, kde Ф(x) je funkce normálního rozdělení.

Nechť je dána diskrétní náhodná veličina. Uvažujme závislost počtu úspěchů Sn na počtu pokusů n. Pro každý pokus se Sn zvýší o 1 nebo 0. Toto tvrzení lze zapsat jako:

Sn = 1 +…+ n. (1.1)

Zákon velkých čísel. Nechť (k) je posloupnost vzájemně nezávislých náhodných proměnných s identickým rozdělením. Pokud existuje matematické očekávání = M(k), pak pro libovolné > 0 pro n

Jinými slovy, pravděpodobnost, že se průměr S n / n liší od matematického očekávání o méně než libovolně daná hodnota, má tendenci k jedné.

Teorém centrálního limitu. Nechť (k) je posloupnost vzájemně nezávislých náhodných proměnných s identickým rozdělením. Předpokládejme, že existují. Nechť Sn = 1 +…+ n , Pak pro libovolné pevné

F () - F () (1,3)

Zde Ф(х) je normální distribuční funkce. Tuto větu formuloval a dokázal Linlberg. Ljapunov a další autoři to dokázali dříve, za přísnějších podmínek. Je třeba si představit, že výše formulovaná věta je jen velmi speciálním případem mnohem více obecná věta, což zase úzce souvisí s mnoha dalšími limitními teorémy. Všimněte si, že (1.3) je mnohem silnější než (1.2), protože (1.3) poskytuje odhad pravděpodobnosti, že rozdíl je větší než . Na druhou stranu zákon velkých čísel (1.2) platí, i když náhodné veličiny k nemají konečný rozptyl, takže platí pro více obecný případ než centrální limitní věta (1.3). Ukažme si poslední dvě věty na příkladech.

Příklady. a) Uvažujme posloupnost nezávislých hodů symetrickou kostkou. Nechť k je počet bodů spadlých, když k-tý hod. Pak

M(k)=(1+2+3+4+5+6)/6=3,5,

a D(k)=(1 2 +2 2 +3 2 +4 2 +5 2 +6 2)/6-(3,5) 2 =35/12 a Sn/n

je průměrný počet bodů z n hodů.

Zákon velkých čísel říká, že je pravděpodobné, že pro velké n bude tento průměr blízký 3,5. Centrální limitní věta udává pravděpodobnost, že |Sn - 3,5n |< (35n/12) 1/2 близка к Ф() - Ф(- ). При n = 1000 и а=1 мы находим, что вероятность неравенства 3450 < Sn < 3550 равна примерно 0,68. Выбрав для а значение а 0 = 0,6744, удовлетворяющее соотношению Ф( 0)- Ф(- 0)=1/2, мы получим, что для Sn шансы находиться внутри или вне интервала 3500 36 примерно одинаковы.

b) Odběr vzorků. Předpokládejme, že v běžné populaci

skládající se z N rodin, Nk rodin má každá přesně k dětem

(k = 0, 1 ...; Nk = N). Pokud je náhodně vybrána rodina, pak počet dětí v ní je náhodná veličina, která nabývá hodnoty s pravděpodobností p = N /N. Při výběru zády k sobě lze na vzorek velikosti n nahlížet jako na soubor n nezávislých náhodných proměnných nebo „pozorování“ 1, ..., n, které mají všechny stejné rozdělení; S n / n je výběrový průměr. Zákon velkých čísel říká, že pro dostatečně velký náhodný vzorek se průměr pravděpodobně blíží hodnotě , tedy průměru populace. Centrální limitní teorém umožňuje odhadnout pravděpodobnou velikost nesouladu mezi těmito průměry a určit velikost vzorku potřebnou pro spolehlivý odhad. V praxi a jsou obvykle neznámé; ve většině případů je však snadné získat předběžný odhad a lze jej vždy uzavřít do spolehlivých hranic. Pokud chceme pravděpodobnost 0,99 nebo větší, že se průměr vzorku S n / n liší od průměru neznámé populace o méně než 1/10, pak velikost vzorku musí být brána taková, že

Kořen x rovnice F(x) - F(- x) = 0,99 je x = 2,57 ..., a proto n musí být takové, že 2,57 nebo n > 660. Opatrný předběžný odhad umožňuje najít požadovanou velikost vzorku.

c) Poissonovo rozdělení.

Předpokládejme, že náhodné veličiny k mají Poissonovo rozdělení (p(k; )). Potom má Sn Poissonovo rozdělení se střední hodnotou a rozptylem rovným n.

Píšeme-li místo n, dojdeme k závěru, že pro n

Sčítání se provádí přes všechna k od 0 do . Ph-la (1.5) také platí, když libovolným způsobem.

Výše jsme se zabývali otázkou nalezení PDF pro součet statisticky nezávislých náhodných proměnných. V této části budeme opět uvažovat součet statisticky nezávislých proměnných, ale náš přístup bude odlišný a nezávisí na dílčích PDF náhodných proměnných v součtu. Zejména předpokládejme, že součtové členy jsou statisticky nezávislé a identicky rozdělené náhodné proměnné, z nichž každá má ohraničené průměry a ohraničený rozptyl.

Nechť je definováno jako normalizovaný součet, nazývaný výběrový průměr

Nejprve určíme horní hranice pravděpodobnosti ocasu a poté dokážeme velmi důležitou větu, která určuje PDF v limitě, když má tendenci k nekonečnu.

S náhodnou proměnnou definovanou (2.1.187) se často setkáváme při odhadování průměru náhodné veličiny v průběhu řady pozorování, . Jinými slovy, může být považováno za nezávislé realizace vzorku z distribuce a je odhadem průměru.

Matematické očekávání je

.

Rozptyl je

Pokud to považujeme za odhad průměru, vidíme, že jeho matematické očekávání je rovno a jeho rozptyl se snižuje s rostoucí velikostí vzorku. Pokud se zvyšuje bez omezení, rozptyl má tendenci k nule. Odhad parametru (v v tomto případě), který splňuje podmínky, že jeho matematické očekávání směřuje ke skutečné hodnotě parametru a rozptyl se striktně blíží nule, se nazývá konzistentní odhad.

Koncová pravděpodobnost náhodné veličiny lze odhadnout shora pomocí mezí uvedených v části. 2.1.5. Čebyševova nerovnost ve vztahu k má tvar

,

. (2.1.188)

V limitu kdy , z (2.1.188) vyplývá

. (2.1.189)

V důsledku toho pravděpodobnost, že se odhad průměru liší od skutečné hodnoty o více než , má tendenci k nule, pokud roste bez omezení. Toto tvrzení je formou zákona velkých čísel. Protože horní mez konverguje k nule relativně pomalu, tzn. obráceně. se nazývá výraz (2.1.188). slabý zákon velkých čísel.

Aplikujeme-li Chernoffovu vazbu na náhodnou veličinu, která obsahuje exponenciální závislost na , pak získáme těsnou horní hranici pravděpodobnosti s jedním koncem. Podle postupu uvedeného v kap. 2.1.5 zjistíme, že koncová pravděpodobnost pro je určena výrazem

kde a . Jsou však statisticky nezávislé a identicky distribuované. Proto,

kde je jedna z veličin. Parametr , který dává nejpřesnější horní hranici, se získá derivováním (2.1.191) a přirovnáním derivace k nule. To vede k rovnici

(2.1.192)

Označme řešení (2.1.192) . Pak je hranice pravděpodobnosti horního ocasu

, . (2.1.193)

Podobně zjistíme, že nižší pravděpodobnost má hranici

, . (2.1.194)

Příklad 2.1.7. Nechť , je řada statisticky nezávislých náhodných proměnných definovaných takto:

Chceme definovat pevnou horní hranici pravděpodobnosti, že součet je větší než nula. Od , částka bude mít negativní význam pro matematické očekávání (průměr) proto budeme hledat pravděpodobnost horního konce. Protože v (2.1.193) máme

, (2.1.195)

kde je řešení rovnice

Proto,

. (2.1.197)

Následně pro hranici v (2.1.195) dostáváme

Vidíme, že horní mez klesá exponenciálně s , jak se očekávalo. Naproti tomu podle Čebyševovy vazby pravděpodobnost ocasu klesá nepřímo úměrně k .

Teorém centrálního limitu. V této části zvažujeme extrémně užitečnou větu týkající se IDF součtu náhodných veličin v limitě, když počet členů součtu roste neomezeně. Existuje několik verzí této věty. Dokažme větu pro případ, kdy náhodné sčítatelné proměnné , , jsou statisticky nezávislé a shodně rozdělené, každá z nich má omezený průměr a omezený rozptyl.

Pro usnadnění definujeme normalizovanou náhodnou proměnnou

Má tedy nulový průměr a jednotkový rozptyl.

Teď nech

Protože každý součet součtu má nulový průměr a jednotkový rozptyl, hodnota normalizovaná (faktorem ) má nulový průměr a jednotkový rozptyl. Chceme definovat FMI pro limit, kdy .

Charakteristická funkce je rovna

, (2.1.200).

,

nebo ekvivalentně,

. (2.1.206)

Ale to je právě charakteristická funkce Gaussovy náhodné veličiny s nulovým středním a jednotkovým rozptylem. Máme tedy důležitý výsledek; PDF součtu statisticky nezávislých a identicky distribuovaných náhodných proměnných s omezeným průměrem a rozptylem se blíží Gaussovu at . Tento výsledek je známý jako teorém centrálního limitu.

I když jsme předpokládali, že náhodné veličiny se sčítají rovnoměrně, lze tento předpoklad zmírnit za předpokladu, že je to jisté dodatečná omezení se stále překrývají s vlastnostmi náhodně sčítaných veličin. Existuje jedna obměna věty, například když se opustí předpoklad identického rozdělení náhodných veličin ve prospěch podmínky uložené na třetím absolutním momentu náhodných veličin součtu. Pro diskusi o této a dalších verzích centrální limitní věty se čtenář odkazuje na Cramera (1946).

Je již známo, že podle distribučního zákona lze najít číselné charakteristiky náhodné veličiny. Z toho vyplývá, že pokud má několik náhodných proměnných totožné rozdělení, pak jsou jejich číselné charakteristiky stejné.

Uvažujme n vzájemně nezávislé náhodné veličiny X 1 , X 2 , …,Xn, které mají stejná rozdělení, a tedy i stejné charakteristiky (matematické očekávání, disperze atd.). Největší zájem je o studium numerických charakteristik aritmetického průměru těchto veličin.

Označme aritmetický průměr uvažovaných náhodných veličin:

.

Následující tři ustanovení stanoví souvislost mezi číselnými charakteristikami aritmetického průměru a odpovídajícími charakteristikami každé jednotlivé veličiny.

1. Matematické očekávání aritmetického průměru shodně rozdělených vzájemně nezávislých náhodných veličin se rovná matematickému očekávání a každé z proměnných:

Důkaz. Pomocí vlastností matematického očekávání (konstantní faktor lze vyjmout ze znaménka matematického očekávání; matematické očekávání součtu se rovná součtu matematických očekávání členů)

S přihlédnutím k tomu, že matematické očekávání každé z veličin podle podmínky se rovná A, dostaneme

.

2. Rozptyl aritmetického průměru n shodně rozložené vzájemně nezávislé náhodné veličiny v n krát menší rozptyl D každé z množství:

Důkaz. Pomocí vlastností disperze (konstantní faktor lze ze znaménka disperze vyjmout jeho kvadraturou; disperze součtu nezávislých veličin je rovna součtu disperzí členů)

S přihlédnutím k tomu, že rozptyl každé z veličin podle podmínky je roven D, dostaneme

.

3. Směrodatná odchylka aritmetického průměru n identicky rozdělené vzájemně nezávislé náhodné proměnné jsou krát menší než standardní odchylka a každé z hodnot:

Důkaz. Od , pak je směrodatná odchylka rovna

.

Obecný závěr ze vzorců (7.3) a (7.4): připomeneme-li, že rozptyl a směrodatná odchylka slouží jako míry disperze náhodné veličiny, docházíme k závěru, že aritmetický průměr dostatečně velkého počtu vzájemně nezávislých náhodných veličin má podstatně méně rozptyl než každá jednotlivá hodnota.

Vysvětleme si na příkladu význam tohoto závěru pro praxi.

Příklad. Obvykle se pro měření určité fyzikální veličiny provede několik měření a pak se zjistí aritmetický průměr získaných čísel, který se bere jako přibližná hodnota měřené veličiny. Za předpokladu, že se měření provádějí za stejných podmínek, prokažte:

a) aritmetický průměr poskytuje spolehlivější výsledek než jednotlivá měření;

b) s nárůstem počtu měření roste spolehlivost tohoto výsledku.

Řešení. a) Je známo, že jednotlivá měření dávají různé hodnoty měřené veličiny. Výsledek každého měření závisí na mnoha náhodných příčinách (změny teploty, kolísání přístroje atd.), které nelze předem plně zohlednit.

Proto máme právo zvážit možné výsledky n jednotlivá měření jako náhodné veličiny X 1 , X 2 , …,Xn(index označuje číslo měření). Tyto veličiny mají stejné rozdělení pravděpodobnosti (měření se provádějí stejnou metodou a stejnými přístroji), a tedy i stejné číselné charakteristiky; navíc jsou vzájemně nezávislé (výsledek každého jednotlivého měření nezávisí na jiných měřeních).

Jak bylo ukázáno, aritmetický průměr takových veličin má menší rozptyl než každá jednotlivá veličina. Jinými slovy, aritmetický průměr se ukáže být bližší skutečné hodnotě naměřené hodnoty než výsledek samostatného měření. To znamená, že aritmetický průměr několika měření poskytuje spolehlivější výsledek než jedno měření.

b) Je známo, že s rostoucím počtem jednotlivých náhodných veličin se rozptyl aritmetického průměru snižuje. To znamená, že s rostoucím počtem měření se aritmetický průměr několika měření liší od skutečné hodnoty naměřené hodnoty stále méně. Zvýšením počtu měření se tedy získá spolehlivější výsledek.

Pokud je například směrodatná odchylka jednotlivého měření s = 6 m, a celkem n= 36 měření, pak je směrodatná odchylka aritmetického průměru těchto měření skutečně pouze 1 m.

.

Je zřejmé, že aritmetický průměr několika měření, jak by se dalo očekávat, se ukázal být bližší skutečné hodnotě naměřené hodnoty než výsledek samostatného měření.