Курсовая работа: Симплекс метод в форме презентации. Смотреть страницы где упоминается термин модифицированный симплекс-метод. Модифицированный симплекс-метод решения задач линейного программирования
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
Подобные документы
Геометрический способ решения стандартных задач линейного программирования с двумя переменными. Универсальный метод решения канонической задачи. Основная идея симплекс-метода, реализация на примере. Табличная реализация простого симплекс-метода.
реферат , добавлен 15.06.2010
Виды задач линейного программирования и формулировка задачи. Сущность оптимизации как раздела математики и характеристика основных методов решения задач. Понятие симплекс-метода, реальные прикладные задачи. Алгоритм и этапы решения транспортной задачи.
курсовая работа , добавлен 17.02.2010
Решение задачи линейного программирования графическим и симплекс-методом. Решение задачи двойственной к исходной. Определение оптимального плана закрепления потребителей за поставщиками однородного груза при условии минимизации общего пробега автомобилей.
контрольная работа , добавлен 15.08.2012
Использование симплексного метода решения задач линейного программирования для расчета суточного объема производства продукции. Проверка плана на оптимальность. Пересчет симплексной таблицы методом Жордана-Гаусса. Составление модели транспортной задачи.
контрольная работа , добавлен 18.02.2014
Экономико-математическая модель получения максимальной прибыли, её решение графическим методом. Алгоритм решения задачи линейного программирования симплекс-методом. Составление двойственной задачи и её графическое решение. Решение платёжной матрицы.
контрольная работа , добавлен 11.05.2014
Основы математического моделирования экономических процессов. Общая характеристика графического и симплексного методов решения прямой и двойственной задач линейного программирования. Особенности формулирования и методика решения транспортной задачи.
курсовая работа , добавлен 12.11.2010
Составление математической модели задачи. Расчёт оптимального плана перевозок с минимальной стоимостью с использованием метода потенциалов. Оптимальный вариант специального передвижного оборудования для технического обеспечения управления производством.
контрольная работа , добавлен 01.06.2014
Рассмотрим метод решения задачи ЦП, использующий идеи симплексного метода. Основная особенность задач ЦП заключается в конструкции целевой функции и в переменных, которые показывают отклонения от желаемого уровня достижения целей. Если учесть эти особенности, то для решения таких задач может быть применён обычный симплексный метод. Проиллюстрируем это на рассмотренном ранее примере. Алгоритм в некоторой степени упрощается из-за того, что исходное базисное решение здесь очевидно. Роль базисных переменных для начального плана здесь играют отрицательные отклонения «d », которые включены в модель с коэффициентами +1. Сложнее со строкой для коэффициентов целевой функции, т.е. с оценочной строкой. Как мы знаем, коэффициентами для отклонений в целевой функции задачи ЦП служат веса, ранжирующие цели по приоритетам. Их численные значения, как правило, не определены. Важно, чтобы коэффициент при отклонении для целевого ограничения с более высоким приоритетом был бы значимо больше коэффициента при отклонении от цели с более низким приоритетом. Поэтому для удобства расчетов оценочная строка разбивается на несколько строк (по числу приоритетов), и вычисления ведутся по каждой строке в отдельности.
Итак, пусть решается задача min Z = P 1 d 1 - + P 2 d 2 - + P 3 d 3 + + P 4 d 4 - ,
при условии, что
7x 1 + 6x 2 + d 1 - – d 1 + = 30;
2x 1 + 3x 2 + d 2 - – d 2 + = 12;
6x 1 + 5x 2 + d 3 - – d 3 + = 30;
x 2 + d 4 - – d 4 + = 7;
x 1 , x 2 , d i - , d i + ³ 0 (i = ).
Составим исходную симплексную таблицу (таблица 5.1.)
Таблица 5.1 – Исходная симплексная таблица
| C j C B | Базис | Реше-ние | 0 x 1 | 0 x 2 | P 1 d 1 - | P 2 d 2 - | d 3 - | P 4 d 4 - | d 1 + | d 2 + | P 3 d 3 + | d 4 + | q |
| P 1 P 2 P 4 | d 1 - d 2 - d 3 - d 4 - | 7 | -1 | -1 | -1 | -1 | 30/7 30/6 - | ||||||
| Z j – С j | P 4 P 3 P 2 P 1 | -1 | -1 | -1 | -1 |
Как известно, элементы оценочной строки (Z j – C j) рассчитываются по правилу: «от суммы произведений элементов столбца «С в » на элементы соответствующего столбца отнимается элемент верхней строки». Например, для столбца «решение» элемент «Z j – C j » равен: Р 1 *30 + Р 2 *12 + 0* 30 + р 4 *7 – 0 = 30Р 1 + 12Р 2 + 7Р 4 и коэффициенты при соответствующих P i (i = ) выписаны в этом столбце в блоке «Z j – C j » (читать снизу вверх). Для столбца «х 1 »: Р 1 *7 + Р 2 *2 + 0 * 6 + Р 4 *0 – 0 = 7Р 1 + 2Р 2 , а это и есть коэффициенты при Р 1 и Р 2 в блоке «Z j – C j » и т.д.
Поскольку задача ЦП всегда решается на минимум, то решение будет оптимальным, если все элементы оценочной строки будут не положительны. В нашем случае две оценки (в столбцах «х 1 » и «х 2 ») положительны, следовательно, план не оптимальный. Для определения переменной, входящей в базис, на первой итерации определяем наибольшую положительную оценку. Определяется она по знаку коэффициента при Р 1 , т.к. P 1 >> P 2 >> P 3 >> P 4 . При равных коэффициентах при Р 1 , «поднимаемся» на строку выше и выбираем наибольший коэффициент там. В случае полного равенства по всем строкам – выбирается любой из них. В нашем случае разрешающим столбцом будет столбец «х 1 » (т.к. 7 > 6). Разрешающая строка выбирается так же как и в симплексном методе – по наименьшему симплексному отношению q (элементы столбца «решение» делим на положительные элементы разрешающего столбца). В таблице 5.1 наименьшее отношение q находится в первой строке. Итак, на следующей итерации в базис вводится переменная «х 1 », выводится «d 1 - ». Пересчитываем таблицу как в обычном симплекс-методе (таблица 5.2.)
Таблица 5.2 – Вторая симплексная таблица
| C j C B | Базис | Решение | x 1 | x 2 | P 1 d 1 - | P 2 d 2 - | d 3 - | P 4 d 4 - | d 1 + | d 2 + | P 3 d 3 + | d 4 + | q |
| P 2 P 4 | x 1 d 2 - d 3 - d 4 - | 30/7 24/7 30/7 | 6/7 9/7 1/7 | 1/7 2/7 6/7 | 1/7 2/7 6/7 | -1 | -1 | -1 | 30/6 24/9 - | ||||
| Z j – C j | P 4 P 3 P 2 P 1 | 24/7 | 9/7 | 2/7 -1 | 2/7 | -1 | -1 | -1 |
Как видим, на второй итерации из базиса выводится d 2 - , в базис вводится х 2 . И т.д., пока не получим оптимальное решение. После 4-й итерации получим таблицу 5.3.
Таблица 5.3 – Итоговая симплексная таблица
| C j C B | Базис | Реше-ние | x 1 | x 2 | P 1 d 1 - | P 2 d 2 - | d 3 - | P 4 d 4 - | d 1 + | d 2 + | P 3 d 3 + | d 4 + |
| P 4 | d 2 + x 2 d 1 + d 4 - | 1,6 1,2 0,2 -1,2 | -1 | -1 | 0,6 0,2 1,2 -0,2 | -0,6 -0,2 -1,2 0,2 | -1 | |||||
| Z j – C j | P 4 P 3 P 2 P 1 | -1,2 | -1 | -1 | -0,2 | 0,2 -1 | -1 |
Тот факт, что в строке при P 4 имеется положительный элемент (в столбце d 3 +) означает, что четвёртая цель выполнена не полностью. При этом, целевая функция равна Р 4 , это минимально возможное её значение. В целом оценка переменной d 3 + равна (0,2 Р 4 – Р 3), и поскольку Р 3 >> Р 4 , то в итоге она отрицательна. Все остальные оценки неположительны, следовательно, план с точки зрения симплексного метода оптимален.
Решение этой задачи можно прокомментировать следующим образом. Для выполнения поставленной задачи необходимо выпустить вторую продукцию в объёме 6 ед. (х 2 = 6). Первую продукцию не выпускать. При этом первая и вторая цели перевыполнены на 6 ед. (d 1 + = d 2 + = 6), а четвёртая недовыполнена на 1ед. (d 4 - =1). Таким образом, прибыли получили на 6 ед. больше желаемого уровня, первый ресурс использован сверх нормального лимита на 6 ед., а продукцию 2-го вида выпустить в желаемом объёме не получилось – вместо 7 ед. выпустили 6 (не хватило 2-го ресурса; его «экономия» – цель более высокого приоритета).
В заключение в качестве примера составления модели задачи ЦП составим модель ещё одной задачи.
Пример 5.2 . Администрация города планирует расширить спортивную базу. На эти цели в городском бюджете выделено 5,4 млн руб. Было запланировано дополнительно построить четыре типа спортивных сооружений: теннисные корты, плавательные бассейны, микростадионы (атлетические площадки) и гимнастические залы. Данные относительно этих проектов следующие (таблица 5.4).
Таблица 5.4 – Информация о строящихся объектах
Решение. В городе для этих целей выделено 20 га свободных площадей, но при необходимости эта площадь может быть увеличена. При реализации этого проекта администрация ставит следующие цели в порядке их важности:
1) уложиться в отведённую бюджетом сумму;
2) построенные спортивные сооружения должны обеспечить не менее 14 000 посещений в неделю;
3) по возможности удовлетворить ожидаемый спрос на спортивные сооружения. При формировании целевой функции для этих целевых ограничений использовать веса, пропорциональные ожидаемому использованию;
4) при осуществлении проекта по возможности не занимать более отведённого свободного пространства в 20 га.
При составлении модели этой задачи будем иметь в виду, что ограничения при формулировке целей не категоричные и могут быть как пере-, так и недовыполнены.
Переменные задачи: х 1 , х 2 , х 3 , х 4 – соответственно количество построенных сооружений: теннисных кортов, плавательных бассейнов, атлетических площадок и гимнастических залов.
Все ограничения будут целевыми, системных ограничений нет.
Первая цель – уложиться в отведённую сумму:
120х 1 + 600х 2 + 480х 3 + 1 200х 4 + d 1 - – d 1 + = 5 400 .
Минимизируем «перерасход»: min Z = P 1 d 1 + .
Вторая цель – не менее 14 000 посещений в неделю:
500 x 1 + 1 000x 2 + 2 000x 3 + 1 500x 4 + d 2 - – d 2 + = 14 000
Минимизируем «недопосещения». С учётом первой цели имеем:
min Z = P 1 d 1 + + P 2 d 2 - .
Реализация третьей цели потребует выполнения 4 ограничений по каждому виду сооружений:
x 1 + d 3 - – d 3 + = 8;
x 2 + d 4 - – d 4 + = 3;
x 3 + d 5 - – d 5 + = 3;
x 4 + d 6 - – d 6 + = 2.
Минимизируем «недовыполнение». Это третья по важности цель, поэтому в целевой функции все 4 слагаемых будут иметь коэффициент Р 3 , но с разными весами:
min Z = P 1 d 1 + + P 2 d 2 - + 0,5P 3 d 3 - + P 3 d 4 - + 2P 3 d 5 - + 1,5P 3 d 6 - .
Четвёртая цель: 0,8x 1 + 5x 2 + 3,2x 3 + 1,6x 4 + d 7 - – d 7 + = 20.
Целевая функция с учётом всех целей:
min Z = P 1 d 1 + + P 2 d 2 - + 0,5P 3 d 3 - + P 3 d 4 - + 2P 3 d 5 - + 1,5P 3 d 6 - + P 4 d 7 + .
Итак, модель задачи примет вид:
Найти min Z = P 1 d 1 + + P 2 d 2 - + 0,5P 3 d 3 - + P 3 d 4 - + 2P 3 d 5 - + 1,5P 3 d 6 - + P 4 d 7 +
при условии, что
120x 1 + 600x 2 + 480x 3 + 1200x 4 + d 1 - – d 1 + = 5 400,
500x 1 + 1 000x 2 + 2 000x 3 + 1 500x 4 + d 2 - – d 2 + = 14 000,
x 1 + d 3 - – d 3 + = 8,
x 2 + d 4 - – d 4 + = 3,
x 3 + d 5 - – d 5 + = 3,
x 4 + d 6 - – d 6 + = 2,
0,8x 1 + 2x 2 + 3,2x 3 + 1,6x 4 + d 7 - – d 7 + = 20.
x j ³ 0 (j = ) ; d i - , d i + ³ 0 (i = ).
Если эту задачу решать обычным симплексным методом, то весам P i надо придавать конкретные значения, но учитывать, что P 1 >> P 2 >>…>> P 7 . Разработаны специальные программы для решения таких задач. Реализуя одну из них (программа QM for Window), получим следующее оптимальное решение (таблица 5.5):
Таблица 5.5 – Решение задачи из примера 5.2.
(Целевое программирование)
x 1 = 8, x 2 = 3, x 3 = 3, x 4 = 1, d 2 + = 500, d 6 - = 1, d 7 + = 3,6. (d 7 + = –653 994 – это закодированное число 3,6 – оно указано в строке Priority 4). Указанное недовыполнение (Nonachievement) в строке Priority 3, равное 1,5 – это с учётом весового коэффициента в целевой функции при ).
Итак, на выделенные средства можно построить 8 теннисных кортов, 3 плавательных бассейна, 3 министадиона и один гимнастический зал. Как видим, четвёртая цель недовыполнена на 1 (d = 1), т.е. вместо двух запланированных будет построен один гимнастический зал. Вторая цель перевыполнена (d 2 + = 500), т.е. вместо 14 000 посещений возможны 14 500. Перевыполнена так же 4-я цель (d 7 + = 3,6), т.е. вместо отведённых 20 га под эти спортивные сооружения потребуется 23,6 га.
Глава 6. Методы сетевого планирования и управления
Методы сетевого планирования позволяют осуществить анализ комплекса работ, который включает в себя большое число взаимосвязанных операций. Можно определить вероятную продолжительность выполнения всех работ, их стоимость, возможные размеры экономии времени или денежных средств, а также то, выполнение каких операций нельзя отсрочить, не задержав при этом срок выполнения проекта в целом. Немаловажным является и проблема обеспечения ресурсами. Методы сетевого анализа могут быть использованы при составлении календарного плана выполнения операций, удовлетворяющего существующим ограничениям на обеспечение ресурсами.
Анализ любого проекта осуществляется в три этапа:
1. Расчленение проекта на ряд отдельных работ (или операций), из которых затем составляется логическая схема.
2. Оценка продолжительности выполнения каждой операции; составление календарного плана выполнения проекта и выделение работ, которые определяют завершение выполнения проекта в целом.
3. Оценка потребностей каждой операции в ресурсах; пересмотр плана выполнения операций с учётом обеспечения ресурсами либо
перераспределение денежных или других ресурсов, которое улучшит план.
После того как составлен список, логическая последовательность выполнения операций может быть проиллюстрировала с помощью графа. Существуют различные типы графов, но наиболее широкое применение получили, так называемые вершинные и стрелочные графы.
3. Модифицированный симплекс-метод
В основу данной разновидности симплекс-метода положены такие особенности линейной алгебры, которые позволяют в ходе решения задачи работать с частью матрицы ограничений. Иногда метод называют методом обратной матрицы.
В процессе работы алгоритма происходит спонтанное обращение матрицы ограничений по частям, соответствующим текущим базисным векторам. Указанная способность делает весьма привлекательной машинную реализацию вычислений вследствие экономии памяти под промежуточные переменные и значительного сокращения времени счёта. Способность хороша для ситуаций, когда число переменных n значительно превышает число ограничений m.
В целом, метод отражает традиционные черты общего подхода к решению задач линейного программирования, включающего в себя канонизацию условий задачи, расчёт симплекс – разностей, проверку условий оптимальности, принятие решений о коррекции базиса и исключение Жордана – Гаусса. Особенности заключаются в наличии двух таблиц – основной и вспомогательной, порядке их заполнения и некоторой специфичности расчётных формул.
Зная оптимальный план этой задачи, на основе соотношений получаем оптимальный план исходной задачи.
Таким образом, процесс нахождения решения задачи нелинейного программирования включает следующие этапы:
1. Первоначальную задачу сводят к задаче линейного программирования.
2. Находят решение линейной задачи
Используя соотношения, определяют оптимальный план исходной задачи и находят максимальное значение целевой функции нелинейной задачи.
Первый этап: Получение задания к курсовой работе
1. Все числовые данные, касающиеся предполагаемых производственных и экономических процессов, берутся на основе шестизначного шифра:
Под каждую цифру записываются буквы a, b, c, d, e, f в следующем виде:
из последней строки таблицы индивидуальных заданий находим столбцы соответствующие буквам a, b, c, d, e, f. Тогда числовыми данными, необходимыми для выполнения данной курсовой работы, будут данные находящиеся в а – том столбце в строке 9, b – том столбце в строке 5, c – том столбце в строке 5, d – том столбце в строке 8, e – том столбце в строке 7и f – том столбце в строке 2.
По таблице исходных заданий для любого варианта заданий по столбцу а исполнитель получает вариант выполняемого задания. В моем случае для цифры 9 соответствует вариант 9.
На некотором заводе производится три вида продукта и при этом расходуется два вида ресурсов. Производственная функция каждого вида продукта на предприятии опишется равенствами:
где С i и - постоянные величины, i = 1, 2, 3;
X 1 – трудовые ресурсы в человеко-днях;
Х 2 – денежно-материальные средства, в тенге;
У i – получаемый продукт
Х 1 = а 1 х 1 + b 1 x 2 + c 1 x 3
Х 2 = а 2 х 1 + b 2 x 2 + c 2 x 3
Найти все неотрицательные базисные решения и определить оптимальный план F = y 1 + y 2 + y 3 .
Известно, что продукт для производства j – того вида затрачивается a ij единиц i – того ресурса. Эти затраты даются в таблицах 3.9.1. – 3.9.10
Последующие числовые данные берутся только из таблицы исходных данных выбранного варианта задания т.е. из таблицы №3.9.11.
2. По столбцу таблицы №3.9.11 для строки 8 исходной таблицей затрат единиц ресурса, будет таблица №3.9.4 т.е. следующая таблица:
| Продукты ресурсы | |||
| I | 8 | 4 | 6 |
| II | 160 | 240 | 200 |
3. По столбцу c – на 3 строке находим с 1 =6, α 1 =0,6
4. По столбцу d – на 5 строке определяем с 2 =5, α 2 =0,5
5. По столбцу e – по 4 строке установим, что с 3 =8, α 3 =0,4.
6. И наконец по столбцу f – в 1 строке найдем Т чел.дней =1000, П тенге = 280000
Для производства имеются трудовые ресурсы Т чел.дней и денежно-материальные средства П тенге.
Требуется найти оптимальный план выпуска продукции, при котором выпускаемый продукт будет наибольшим.
Второй этап – составление математической модели задачи
1. На основании полученных в первом этапе исходных данных и описания заданного производственного процесса составляется следующая таблица:
| Продукты ресурсы | ||||
| I | 8 | 4 | 6 | 1000 |
| II | 160 | 240 | 200 | 280000 |
Через Х 1 обозначим ресурсы I вида.
Через Х 2 обозначим ресурсы II вида.
2. Обращаясь к условиям задачи, определяем все возможные ограничения, объединяя их в систему ограничений.
8Х 1 + 4Х 2 + 6Х 3 ≤ 1000
240Х 1 + 200Х 2 + 160Х 3 ≤ 280000
Таким образом, получили задачу нелинейного программирования. Такие задачи называются задачами нелинейного программирования.
Решение задач нелинейного программирования осуществляется приведением их к задачам линейного программирования.
Для решения задачи линейного программирования применяется симплекс – метод.
Третий этап – выбор метода решения полученной математической задачи
1. Для решения задач линейного программирования симплекс – методом задача приводиться к каноническому виду:
8Х 1 + 4Х 2 + 6Х 3 + Х 4 = 1000
240Х 1 + 200Х 2 + 160Х 3 + Х 5 = 280000
Разрабатываются методы отыскания экстремальных значений целевой функции среди множества ее возможных значений, определяемых ограничениями. Наличие ограничений делает задачи математического программирования принципиально отличными от классических задач математического анализа по отысканию экстремальных значений функции. Методы математического анализа для поиска экстремума функции в задачах...
Нахождение точки Куна-Таккера обеспечивает получение оптимального решения задачи нелинейного программирования. Теорему 2 можно также использовать для доказательства оптимальности данного решения задачи нелинейного программирования. В качестве иллюстрации опять рассмотрим пример: Минимизировать при ограничениях С помощью теоремы 2 докажем, что решение является оптимальным. Имеем Так...
Лучей, исходящих из одной точки, называется многогранным выпуклым конусом с вершиной в данной точке. 1.4 Математические основы решения задачи линейного программирования графическим способом 1.4.1 Математический аппарат Для понимания всего дальнейшего полезно знать и представлять себе геометрическую интерпретацию задач линейного программирования, которую можно дать для случаев n = 2 и n = ...
Положит в такой симплекс-таблице текущие базисные переменные равными Ai,0, а свободные - нулю, то будет получено оптимальное решение. Практика применения симплекс метода показала, что число итераций, требуемых для решения задачи линейного программирования обычно колеблется от 2m до 3m, хотя для некоторых специально построенных задач вычисления по правилам симплекс метода превращаются в прямой...
С учетом возможностей современных ППП, использующих модифицированный симплекс-метод с мультипликативным представлением матрицы, отнесение очередного вектора к классу векторов, обеспечивающих совместность или несовместность, требует проведения всего нескольких итераций после модификации обобщенной матрицы
МОДИФИЦИРОВАННЫЙ СИМПЛЕКС-МЕТОД
Вычислительная схема, основанная на преобразовании обратных матриц. Анализируя вычислительную процедуру симплекс-метода с позиций оценки трудоемкости, нетрудно заметить, что наиболее критичным в этом плане является э ап пересчета значений А и b при переходе от одного базисного плана к другому (п. 3 алгоритма). Однако в том случае, когда число ограничений задачи m явно меньше количества переменных я, можно добиться существенной экономии, выполняя на очередной итерации q преобразование Жордана-Гаусса не над матрицей Л(р() по Д Чр(ведущий столбец аЧр О. Данные соображения положены в основу вычислительной схемы симплекс-метода , основанной на преобразовании обратных матриц, которую также называют модифицированным симплекс-методом. Впервые данный алгоритм был предложен в 1951 г. в работах Л. В. Канторовича.
Вычислительной схеме модифицированного симплекс-метода соответствует система таблиц 7] и T q). Таблица 7J (рис. 1.7) является общей для всех итераций и служит для получения
По аналогии с п. 1.4.1 опишем формальную схему алгоритма модифицированного симплекс-метода.
В завершение подчеркнем, что в силу приведенных выше преимуществ именно модифицированный симплекс-метод реально применяется в программном обеспечении , предназначенном для решения канонических задач линейного программирования.
Пример решения ЗЛП модифицированным симплекс-методом. Приведем решение рассмотренной ранее задачи (1.34)-(1.35), основанное на использовании процедуры модифицированного симплекс-метода. По аналогии с п. 1.4.3
Еще раз вернемся к таблице Т (рис. 1.8), получаемой на финальной итерации процедуры модифицированного симплекс--метода. Более подробно рассмотрим нулевую строку матрицы A 4p(
Таким образом, существенным преимуществом модифицированного симплекс-метода является то, что он позволяет одновременно найти оптимальные планы как прямой, так и двойственной задачи.
В заключение отметим, что в настоящем параграфе был рассмотрен вариант двойственного алгоритма, соответствующий стандартному симплекс-методу . Нетрудно догадаться, что существует и вариант, построенный на базе модифицированного симплекса (схемы, связанной с преобразованием обратных матриц), но, поскольку этот вопрос представляет интерес в основном с точки зрения техники организации вычислений, мы на нем останавливаться не будем. При желании с глубоким и детальным описанием данной версии алгоритма можно ознакомиться в . Отметим лишь, что она обладает теми же принципиальными преимуществами, что и модифицированный симплекс-метод.
Модифицированный симплекс-метод - вычислительная схема, связанная с преобразованием обратных матриц.
Сформулируйте основные отличия модифицированного симплекс-метода по отношению к стандартному.
Перечислите преимущества модифицированного симплекс-метода.
Будет ли отличаться количество итераций при решении одной и той же задачи при решении ее стандартным и модифицированным симплекс-методом
Метод разложения (декомпозиции) был разработан для решения задач линейного программирования большой размерности, имеющих блочную структуру. Его вычислительная процедура главным образом основана на идеях модифицированного симплекс-метода. Однако значение метода Данцига-Вулфа состоит не только и (не столько) в его вычислительных преимуществах, сколько в возможности дать содержательную экономическую интерпретацию . Метод предусматривает разложение исходной задачи (5.6)-(5.9) на локальные задачи, соответствующие обособленным частям объединения (в данном случае предприятиям), и главную задачу (соответствует объединению в целом и связывает эти локальные задачи).
Р. Б. Д у б и н а, К. Е. Ч е р н и н. Программа образования и записи на М. Б. матрицы для модифицированного симплекс-метода.- Сборник программ для ЭВМ Урал. Л., Аркт. и антаркт. ин-т, 1966.
Среди методов нахождения оптимального решения наибольшее распространение приобрёл метод последо -ват. улучшения допустимого решения (МНУ), к-рый имеет большое число вычислит, реализаций (
1.5.1. Вычислительная схема, основанная на преобразовании обратных матриц. Анализируя вычислительную процедуру симплекс-метода с позиций оценки трудоемкости, нетрудно заметить, что наиболее критичным в этом плане является этап пересчета значений А и b при переходе от одного базисного плана к другому (п. 3 алгоритма). Однако в том случае, когда число ограничений задачи m явно меньше количества переменных n , можно добиться существенной «экономии», выполняя на очередной итерации q преобразование Жордана-Гаусса не над матрицей А (β ( q )), а над матрицей Δ -1 (β ( q )). При этом учитывается и то, что при необходимости, применяя формулу (1.26), всегда можно получить А (β ( q )) по Δ -1 (β ( q )). Более того, для выполнения описанных выше действий симплекс-процедуры нам в действительности не требовалась матрица А (β ( q )) целиком. Реально в ней использовались только строка оценок a 0 (β ( q )) и ведущий столбец a l (β ( q )). Данные соображения положены в основу вычислительной схемы симплекс-метода, основанной на преобразовании обратных матриц, которую также называют модифицированным симплекс-методом . Впервые данный алгоритм был предложен в 1951 г. в работах Л. В. Канторовича.
Вычислительной схеме модифицированного симплекс-метода соответствует система таблиц T 1 и Т 2 ( q ) . Таблица T 1 (рис. 1.7 ) является общей для всех итераций и служит для получения строки оценок текущего базисного плана a 0 (β ( q )). Если обозначить через δ i (β ( q )) (i Î 0: m ) строки матрицы Δ -1 (β ( q )), то из (1.26), в частности, следует, что
Как видно из рис. 1.7 , T 1 состоит из трех блоков:
Ø Ø в центре содержится матрица А ;
Ø Ø в левом блоке таблицы на каждой итерации дописываются нулевые строки матрицы Δ -1 (β ( q ))для текущего базиса ;
Ø Ø нижний блок, расположенный под матрицей А , на каждой итерации дополняется строкой оценок текущего плана, вычисленной по формуле (1.42).
Симплекс-таблица Т 2 ( q ) , изображенная на рис. 1.8 , соответствует допустимому базису КЗЛП β ( q ) , получаемому на q -й итерации. Столбец N (β ( q )) содержит номера базисных столбцов (в последовательности вхождения в базис); столбец b (β ( q )) - компоненты вектора ограничений относительно текущего базиса β ( q ) ; Δ -1 (β ( q )) - матрица, обратная по отношению к матрице расширенных столбцов текущего базиса β ( q ) ; графа а l содержит расширенный вектор условий, вводимый в базис на текущей итерации, а следующая графа - координаты а l (β ( q )) этого же столбца в текущем базисе β ( q ) .
По аналогии с п. 1.4.1 опишем формальную схему алгоритма модифицированного симплекс-метода.
0-этап. Нахождение допустимого базисного плана.
1. Для поиска допустимого базиса может быть применен метод минимизации невязок, рассмотренный в п. 1.4.5. При этом для решения вспомогательной задачи используется процедура модифицированного симплекс-метода. В результате 0-этапа мы получаем допустимый базисный план x (β (1)) и соответствующие ему матрицу Δ -1 (β (1)) и вектор b (β (1)).
2. Заполняем центральную часть таблицы T 1 , содержащую матрицу А .
3. Содержимое матрицы Δ -1 (β (1)) и вектора b (β (1)), полученных на этапе поиска допустимого базисного плана, переносится в таблицу T 2 (1) .
4. Полагаем номер текущей итерации q равным 1 и переходим к I-этапу.
1-этап. Стандартная итерация алгоритма - выполняется для очередного базисного плана x (β ( q )).
1°. Проверка оптимальности текущего базисного плана . Содержимое нулевой строки таблицы T 2 ( q ) - δ 0 (β ( q )) переписывается в соответствующую графу таблицы T 1 . По формуле (1.42) рассчитываем и заполняем строку a 0 (β ( q )). Осуществляем просмотр строки оценок a 0 (β ( q )). Возможны два варианта:
1΄. a 0 (β ( q ))≥0 -план, соответствующий текущему базису задачи, оптимален. Вычислительный процесс закончен. Согласно формулам (1.33) и (1.32) выписываются оптимальный план задачи х * = x (β ( q )) и оптимальное значение целевой функции f (х *) = f (x (β ( q ))).
1". В строке оценок a 0 (β ( q )) существует по меньшей мере один элемент a 0, j (β ( q ))<0, т. е. имеющий отрицательную оценку. Следовательно, план x (β ( q )) - неоптимален . Выбирается номер l , соответствующий элементу, имеющему минимальную (максимальную по абсолютной величине) отрицательную оценку:
l -й столбец матрицы A становится ведущим и должен быть введен в очередной базис. Переходим к пункту 2° алгоритма.
2°. Определение столбца, выводимого из базиса . Переписываем ведущий столбец а l из таблицы T 1 в текущую таблицу Т 2 ( q ) . По формуле а l (β ( q )) = Δ -1 (β ( q ))а l заполняем соответствующий столбец в таблице Т 2 ( q ) . Возможны два варианта:
2". Для всех i Î 1: m а i , l (β ( q ))≤0. Делается вывод о неограниченности целевой функции и завершается вычислительный процесс.
2". Существует по крайней мере один индекс i Î 1: m , для которого а i , l (β ( q ))>0. Согласно правилу (1.27) определяются место r и номер N r (β ( q )) для столбца, выводимого из базиса. Переходим к пункту 3° алгоритма.
3°. Пересчет относительно нового базиса элементов столбца b и матрицы Δ -1 . Переход к новому базису β ( q +1) , который получается введением в базис β ( q ) столбца а l и выводом из него столбца а r , осуществляется по формулам, аналогичным формулам (1.28)-(1.31). Они имеют вид:
Полагаем номер текущей итерации q : =q +l и переходим к первому пункту алгоритма.
В завершение подчеркнем, что в силу приведенных выше преимуществ именно модифицированный симплекс-метод реально применяется в программном обеспечении, предназначенном для решения канонических задач линейного программирования.
1.5.2. Пример решения ЗЛП модифицированным симплекс-методом. Приведем решение рассмотренной ранее задачи (1.34)-(1.35), основанное на использовании процедуры модифицированного симплекс-метода. По аналогии с п. 1.4.3 оно начинается с выбора очевидного исходного базиса, образуемого столбцами {5,2,3}. Для него уже были вычислены Δ -1 (β ( q )) и b (β ( q )), поэтому заполнение начальных таблиц T 1 и Т 2 (1) не представляет труда.
На первой итерации мы переписываем нулевую строку
из Т 2 (1) в T 1 и, умножив ее на матрицу A , получаем строку оценок
Так как a 0 (β (1)) содержит отрицательные элементы, то делаем вывод о неоптимальности плана, соответствующего базису β (1) , и, выбрав наименьшую отрицательную оценку (-88), получаем номер столбца, вводимого в базис, l = 4.
Переписываем столбец
из таблицы T 1 в Т 2 (1) и пересчитываем его координаты относительно текущего базиса, т. е. умножаем матрицу Δ -1 (β ( q )), расположенную в таблице Т 2 (1) слева, на а 4 .
После заполнения таблицы Т 2 (1) данными по вводимому в новый базис столбцу можно перейти к определению номера выводимого столбца. Эта процедура осуществляется в полной аналогии с обычным симплекс-методом. Рассмотрев отношения элементов b i (β (1)) и a i , l (β (1)) для {i Î1:m| a i , l (β (1))>0} и определив минимальное из них, находим, что r = 2. Следовательно, столбец с номером N 2 (β ( q )) = 2 должен быть выведен из базиса. Таким образом, получаем очередной допустимый базис задачи с N (β (2)) = {5, 4, 3}. Элемент a 2,3 (β (1)) является ведущим (обведен кружком). Применив формулы (1.43)-(1.46), переходим к симплекс-таблице, соответствующей второй итерации Т 2 (2) , и полагаем индекс текущей итерации q = 2.
Повторяя те же самые действия (их легко проследить по приводимым здесь таблицам Т 2 (2) и Т 2 (3) , на третьей итерации мы получим оптимальный план задачи и оптимальное значение целевой функции, которые извлекаются из второго столбца таблицы Т 2 (3) . Легко заметить, что в процессе решения мы «прошли» по той же самой последовательности допустимых базисных планов, которая встречалась в п. 1.4.3.
