Библиотечные функции обработки строк c. Ввод и вывод символьных строк в си. Стандартные функции для работы со строками

(к примеру, в задаче о маятнике с трением о воздух), (пример - самовозбуждающиеся колебания в контуре с положительной обратной связью), или некоторая ограниченная область с неустойчивыми траекториями внутри (как у странного аттрактора).

Существуют различные формализации понятия стремления, что приводит к различным определениям аттрактора, задающим, соответственно, потенциально различные множества (зачастую - вложенные одно в другое). Наиболее употребительными определениями являются максимальный аттрактор (зачастую - в своей малой окрестности, см. ниже), аттрактор Милнора и неблуждающее множество .

Классификация [ | ]

Аттракторы классифицируют по:

Также, есть известные «именные» примеры аттракторов: Лоренца , Плыкина , соленоид Смейла-Вильямса , гетероклинический аттрактор (пример Боуэна).

Свойства и связанные определения [ | ]

При всех определениях аттрактор полагается замкнутым и (полностью) инвариантным множеством.

С понятием аттрактора также тесно связано понятие меры Синая-Рюэлля-Боуэна : инвариантной меры на нём, к которой стремятся временные средние типичной (в смысле меры Лебега) начальной точки либо временные средние итераций меры Лебега. Впрочем, такая мера существует не всегда (что иллюстрирует, в частности, пример Боуэна).

Виды формализации определения [ | ]

Поскольку всё фазовое пространство в любом случае сохраняется динамикой, формальное определение аттрактора можно давать, исходя из философии, что «аттрактор это наименьшее множество, к которому всё стремится» - иными словами, выкидывая из фазового пространства всё, что может быть выкинуто.

Максимальный аттрактор [ | ]

Пусть для динамической системы задана область U {\displaystyle U} , которая переводится строго внутрь себя динамикой:

Тогда максимальным аттрактором системы в ограничении на U называется пересечение всех его образов под действием динамики:

То же самое определение можно применить и для потоков: в этом случае, необходимо потребовать, чтобы векторное поле, задающее поток, на границе области было направлено строго внутрь неё.

Это определение часто применяется как для характеризации множества как «естественного» аттрактора («является максимальным аттрактором своей окрестности»). Также его применяют в уравнениях с частными производными .

У этого определения есть два недостатка. Во-первых, для его применения необходимо найти поглощающую область. Во-вторых, если такая область была выбрана неудачно - скажем, содержала отталкивающую неподвижную точку с её бассейном отталкивания - то в максимальном аттракторе будут «лишние» точки, около которых на самом деле несколько раз подряд оказаться нельзя, но текущий выбор области этого «не чувствует».

Аттрактор Милнора [ | ]

По определению, аттрактором Милнора динамической системы называется наименьшее по включению замкнутое множество, содержащее ω-предельные множества почти всех начальных точек по мере Лебега. Иными словами - это наименьшее множество, к которому стремится траектория типичной начальной точки.

Неблуждающее множество [ | ]

Точка x динамической системы называется блуждающей , если итерации некоторой её окрестности U никогда эту окрестность не пересекают:

Иными словами, точка блуждающая, если у неё есть окрестность, которую любая траектория может пересечь только один раз. Множество всех точек, не являющихся блуждающими, называется неблуждающим множеством.

Статистический аттрактор [ | ]

Статистический аттрактор A s t a t {\displaystyle A_{stat}} , в окрестности которого почти все точки проводят почти всё время: для любой его окрестности U {\displaystyle U} для почти любой (в смысле меры Лебега) точки x {\displaystyle x} выполнено

Минимальный аттрактор [ | ]

Минимальный аттрактор определяется как наименьшее по включению замкнутое множество A m i n {\displaystyle A_{min}} , в окрестности которого почти вся мера Лебега проводит почти всё время: для любой его окрестности U {\displaystyle U} выполнено

Примеры несовпадений [ | ]

Локальность, минимальность и глобальность [ | ]

Регулярные и странные аттракторы [ | ]

Регулярные аттракторы [ | ]

Притягивающая неподвижная точка [ | ]

(пример: маятник с трением)

Странные аттракторы [ | ]

(примеры: аттрактор Лоренца, аттрактор Рёсслера, соленоид Смейла-Вильямса; комментарий про эффект бабочки и про динамический хаос.)

Странный аттрактор - это притягивающее множество неустойчивых траекторий в фазовом пространстве диссипативной динамической системы . В отличие от аттрактора, не является многообразием , то есть не является кривой или поверхностью. Структура странного аттрактора фрактальна . Траектория такого аттрактора непериодическая (она не замыкается) и режим функционирования неустойчив (малые отклонения от режима нарастают). Основным критерием хаотичности аттрактора является экспоненциальное нарастание во времени малых возмущений. Следствием этого является «перемешивание» в системе, непериодичность во времени любой из координат системы, сплошной спектр мощности и убывающая во времени автокорреляционная функция .

Динамика на странных аттракторах часто бывает хаотической : прогнозирование траектории, попавшей в аттрактор, затруднено, поскольку малая неточность в начальных данных через некоторое время может привести к сильному расхождению прогноза с реальной траекторией. Непредсказуемость траектории в детерминированных динамических системах называют динамическим хаосом , отличая его от стохастического хаоса , возникающего в. Это явление также называют эффектом бабочки , подразумевая возможность преобразования слабых турбулентных потоков воздуха, вызванных взмахом крыльев бабочки в одной точке планеты, в мощное торнадо на другой её стороне вследствие многократного их усиления в атмосфере за некоторое время. Но на самом деле взмах крыла бабочки обыкновенно не создает торнадо, так как на практике наблюдается такая тенденция, что такие маленькие колебания в среднем не меняют динамики таких сложных систем как атмосфера планеты, и сам Лоренц по этому поводу говорил: «Но в целом, я утверждаю, что в течение лет незначительные потрясения ни увеличивают, ни уменьшают частоту возникновения различных погодных явлений, таких как ураганы. Всё, что они могут сделать - это изменить порядок, в котором происходят эти явления.» И это, пожалуй, важная и удивительная вещь, без которой было бы трудно, а то и вообще невозможно изучать хаотическую динамику (динамику, которая чувствительна к малейшим изменениям начальных условий системы).

Среди странных аттракторов встречаются такие, хаусдорфова размерность которых отлична от топологической размерности и является дробной. Одним из наиболее известных среди подобных аттракторов является аттрактор Лоренца .

Именные примеры [ | ]

Аттрактор Лоренца [ | ]

Система дифференциальных уравнений, создающих аттрактор Лоренца, имеет вид:

Соленоид Смейла-Вильямса [ | ]

Соленоид Смейла-Вильямса - пример обратимой динамической системы , аналогичной по поведению траекторий отображению удвоения на окружности. Более точно, эта динамическая система определена на полнотории , и за одну её итерацию угловая координата удваивается; откуда автоматически возникает экспоненциальное разбегание траекторий и хаотичность динамики. Также соленоидом называют и максимальный аттрактор этой системы (откуда, собственно, и происходит название): он устроен как (несчётное) объединение «нитей», наматывающихся вдоль полнотория .

Аттрактор Плыкина [ | ]

Обычно говорят, что хаос является более высокой формой порядка, однако более правильно считать хаос другой формой порядка — с неизбежностью в любой динамической системе за порядком в обычном его понимании следует хаос, а за хаосом порядок. Если мы определим хаос как беспорядок, то в таком беспорядке мы обязательно сможем увидеть свою, особенную форму порядка.

Например, дым от сигарет сначала поднимается в виде упорядоченного столба под влиянием внешней среды принимает все более причудливые очертания, а его движения становятся хаотичными. Еще один пример хаотичности в природе — лист с любого дерева . Можно утверждать, что вы найдете много похожих листов, например дуба, однако ни одной пары одинаковых писем. Разница определена температурой, ветром, влажностью и многими другими внешними факторами, кроме чисто внутренних причин (например, генетической разницей).

Теория хаоса

Движение от порядка к хаосу и обратно, по всей видимости, является сущностью Вселенной, способствующие проявлению ее мы не изучали. Даже в человеческом мозгу одновременно присутствует упорядоченное и хаотическое начала.

Первое отвечает левому полушарию мозга, а второе — правому. Левое полушарие отвечает за сознательное поведение человека, за выработку линейных правил и стратегий в поведении человека, где четко определяется «если …, то …». В правом же полушарии царит нелинейность и хаотичность. Интуиция является одним из проявлений правого полушария мозга.

Теория хаоса изучает порядок хаотической системы, которая выглядит случайной, беспорядочной. При этом теория хаоса помогает построить модель такой системы, не ставя задачу точного предсказания поведения хаотической системы в будущем.

История теории хаоса

Первые элементы теории хаоса появились еще в XIX веке, однако настоящий научное развитие эта теория получил во второй половине XX века, вместе с работами Эдварда Лоренца (Edward Lorenz) из Массачусетского технологического института и франко-американского математика Бенуа Б. Мандельброта (Benoit B . Mandelbrot).

Эдвард Лоренц в свое время (начало 60-х годов XX века, работа опубликована в 1963 году) рассматривал, в чем возникает трудность при прогнозировании погоды.

К работе Лоренца в мире науки господствовало два мнения относительно возможности точного прогнозирования погоды на бесконечно длительный срок.

Первый подход сформулировал еще в 1776 году французский математик Пьер Симон Лаплас . Лаплас заявил, что «… если мы представим себе разум, который в данное мгновение постиг все связи между объектами во Вселенной, то он сможет установить соответствующее положение, движения и общие воздействия всех этих объектов в любое время в или прошлом в будущем ».

Этот его подход был очень похож на известные слова Архимеда: «Дайте мне точку опоры, и я переверну весь мир». Таким образом, Лаплас и его сторонники говорили, что для точного прогнозирования погоды необходимо только собрать больше информации о всех частицы во Вселенной, их местоположении, скорости, массе, направлении движения, ускорении и т.п. Лаплас полагал, чем больше человек будет знать, тем точнее будет его прогноз относительно будущего.

Второй подход к возможности прогнозирования погоды раньше всех наиболее четко сформулировал другой французский математик, Жюль Анри Пуанкаре . В 1903 году он сказал: «Если бы мы точно знали законы природы и положение Вселенной в начальный момент, мы могли бы точно предсказать положение того же Вселенной в последующий момент.

Но даже если бы законы природы открыли нам все свои тайны, мы и тогда могли бы знать начальное положение только приближенно. Если бы это позволило нам предсказать последующее положение с тем же приближением, это было бы все, что нам нужно, и мы могли бы сказать, что явление было предсказано, что оно управляется законами.

Но это не всегда так может случиться, что малые различия в начальных условиях вызывают очень большие различия в конечном явлении. Малая ошибка в первых породит огромную ошибку в последнем. Предсказание становится невозможным, и мы имеем дело с явлением, развивающийся по воле случая ».

В этих словах Пуанкаре мы находим постулат теории хаоса о зависимости от начальных условий. Последующее развитие науки, особенно квантовой механики, опровергло детерминизм Лапласа. В 1927 году немецкий физик Вернер Гейзенберг открыл и сформулировал принцип неопределенности .

Этот принцип объясняют, почему некоторые случайные явления не подчиняются лапласовому детерминизму. Гейзенберг показал принцип неопределенности на примере радиоактивного распада ядра. Так, за очень малых размеров ядра невозможно знать все процессы, происходящие внутри него. Поэтому, сколько бы информации мы не собирали о ядре, точно предсказать, когда это ядро распадется невозможно.

Инструменты теории хаоса

Какими же инструментами располагает теория хаоса. В первую очередь это аттракторы и фракталы.

Аттрактор (от англ. To attract — притягивать) — геометрическая структура, характеризующая поведение в фазовом пространстве в конце длительного времени.

То есть аттрактор — это то, к чему стремится прийти система, к чему она притягивается.

Простейшим типом аттрактора является точка. Такой аттрактор характерен для маятника при наличии трения. Независимо от начальной скорости и положения, такой маятник всегда придет в состояние покоя, т.е. в точку.

Следующим типом аттрактора является предельный цикл, имеющий вид замкнутой кривой линии. Примером такого аттрактора является маятник, на который не влияет сила трения. Еще одним примером предельного цикла является биение сердца. Частота биения может снижаться и возрастать, однако она всегда стремится к своему аттрактору, своей замкнутой кривой.

Третий тип аттрактора — тор. На рисунке 1 тор показан в верхнем правом углу.

Рисунок 1 — Основные типы аттракторов

Вверху показаны три предсказуемых, простых аттрактора. Внизу три хаотических аттрактора.

Несмотря на сложность поведения хаотических аттракторов, иногда называемых странными аттракторами, знание фазового пространства позволяет представить поведение системы в геометрической форме и соответственно прогнозировать его. И хотя пребывание системы в конкретный момент времени в конкретной точке фазового пространства практически невозможно, область нахождения объекта и его стремление к аттрактору предсказуемы.

Аттрактора Лоренца

Первым хаотической аттрактором стал аттрактора Лоренца.

Рисунок 2 — Хаотический аттрактор Лоренца

Аттрактор Лоренца рассчитан на основе всего трех степеней свободы — три обыкновенных дифференциальных уравнения, три константы и три начальных условия. Однако, несмотря на свою простоту, система Лоренца ведет псевдослучайных (хаотическим) образом.

Смоделировав свою систему на компьютере, Лоренц выявил причину ее хаотического поведения — разницу в начальных условиях. Даже микроскопическое отклонение двух систем в самом начале в процессе эволюции приводило к экспоненциального накопления ошибок и соответственно их стохастическом разногласия.

Вместе с тем, любой аттрактор имеет граничные размеры, поэтому экспоненциальная расхождение двух траекторий разных систем не может продолжаться бесконечно. Рано или поздно орбиты вновь сойдутся и пройдут рядом друг с другом или даже совпадут, хотя последнее очень маловероятно. Кстати, совпадение траекторий является правилом поведения простых предсказуемых аттракторов.

Сходимость-расхождение (говорят также, составление и вытягивание соответственно) хаотического аттрактора систематически устраняет начальную информацию и заменяет ее новой. При восхождении траектории сближаются и начинает проявляться эффект близорукости — возрастает неопределенность крупномасштабной информации. При расхождении траекторий наоборот, они расходятся и проявляется эффект дальнозоркости, когда возрастает неопределенность мелкомасштабной информации.

В результате постоянной сходимости-расхождения хаотического аттрактора неопределенность стремительно нарастает, что с каждым моментом времени лишает нас возможности делать точные прогнозы. То, чем так гордится наука — способностью устанавливать связи между причинами и следствиями — в хаотических системах невозможно. Причинно-следственной связи между прошлым и будущем в хаосе нет.

Здесь же необходимо отметить, что скорость сходимости-расхождения является мерой хаоса, т.е. численным выражением того, насколько система хаотична. Другой статистической мерой хаоса служит размерность аттрактора.

СТРАННЫЙ АТТРАКТОР - притягивающее множество неустойчивых траекторий в фазовом пространстве диссипативной динамической системы . С. а., в отличие от аттрактора, не является многообразием (т. е. не является кривой или поверхностью); его геом. устройство очень сложно, а его структура фрактальна (см. Фракталы ).Поэтому он получил назв. «странный» [Д. Рюэль (D. Ruelle), Ф. Такенс (F. Takens)]. Тот факт, что все траектории, расположенные в окрестности С. а., притягиваются к нему при , принципиально связан с характером неустойчивостей составляющих его траекторий, к-рые неустойчивы по одним и устойчивы (притягивающи) по др. направлениям (т. е. являются седловыми; см. также Бифуркация, Предельный цикл) . Траектории С. а. описывают стационарные стохастич. автоколебания ,поддерживаемые в за счёт энергии внеш. источника. С. а. характерны лишь для автоколебат. систем, размерность фазового пространства к-рых больше двух (рис. 1). Первая исследовавшаяся система со С. а.- Лоренца система - трёхмерна.

Рис. 1. Странный аттрактор в системе, описываемой уравнениями типа (1) .

Родившемуся С. а. при фиксированном отвечает неск. интервалов на оси х; участки между этими интервалами содержат притягивающиеся к аттрактору траектории, а также 2 m -периодические (относительно отображения f ), неустойчивые предельные циклы, начиная с нек-рого m 0 и меньше. При увеличении параметра скорость разбегания траекторий на С. а. увеличивается, и он «разбухает», последовательно поглощая неустойчивые предельные циклы периодов 2 т+1 , 2 т , ... При этом число отрезков, отвечающих аттрактору, уменьшается, а их длины увеличиваются. Возникает как бы обратный каскад последоват. упрощений аттрактора. Рис. 6 иллюстрирует этот процесс для двух последних бифуркаций. На рис. 6а «лента» аттрактора совершает 4 оборота, после бифуркации она становится двухоборотной и затем, после следующей бифуркации, замыкается на себя всего через один оборот, предварительно перекрутившись (6б и 6в).

Рис. 6. «Обратные бифуркации» удвоения периода, иллюстрирующие разбухание аттрактора, возникшего по сценарию Фейгенбаума .

Перемежаемость. Во мн. системах при прохождении управляющего параметра (скажем,) через бифуркац. значение переход к стохастич. автоколебаниям внешне осуществляется как редкое нарушение регулярных колебаний «стохастич. всплесками». При этом длительность ламинарной (регулярной) фазы тем больше, чем меньше надкритичность С ростом же надкритичности длительность регулярной фазы сокращается. Эта картина интерпретируется следующей эволюцией осн. объектов в фазовом пространстве, определяющих бифуркации (предельные циклы, седловых периодич. траекторий и пр.). В момент бифуркации сливаются и исчезают отвечающий автоколебаниям устойчивый предельный цикл и седловая периодич. траектория. При малой надкритичности все траектории, стремившиеся ранее к устойчивому предельному циклу, долгое время сохраняют характер своего поведения, т. е. демонстрируют движение, близкое к периодическому. С течением времени они «замечают», что старый аттрактор исчез, и, оставаясь рядом с сепаратрисой (также исчезнувшей) седлового предельного цикла, уходят в др. часть фазового пространства. Если в докритич. области система была глобально устойчива (т. е. существовал только один притягивающий объект), то эти траектории через нек-рое время вновь попадают в окрестность исчезнувшего предельного цикла. Если при этом в докритич. области значений параметров сепаратриса седлового цикла была вложена в фазовое пространство достаточно сложным геом. образом (образовывала бесконечное число складок - «гофрировалась», содержала гетероклинич. траектории др. седловых циклов и т. п.), то есть переходный процесс демонстрировал нерегулярное поведение, то время попадания в окрестность исчезнувшего цикла уже будет являться случайной величиной. Далее повторяется ламинарная фаза, предшествующая новому, «турбулентному», всплеску и т. д.

Кроме этих основных способов возникновения С. а. достаточно часто встречаются также переходы к хаотич. автоколебаниям через разрушение квазипериодических (в фазовом пространстве при изменении управляющих параметров теряет гладкость и разрушается притягивающий двумерный тор) и комбинированные сценарии .

Многомерные странные аттракторы часто обнаруживаются в системах с большим числом степеней свободы. Среди возможных механизмов, объясняющих существование многомерных С. а., выделяются следующие: 1) в многомерном фазовом пространстве в докритич. ситуации существуют непритягивающее стохастич. множество и маломерный С. а. В момент бифуркации маломерный аттрактор перестаёт быть таковым, а бывшее непритягивающим стохастич. множество высокой размерности вливается в возникший жёстким образом (скачком) многомерный аттрактор; 2) при изменении параметров в аттракторе происходит постепенная непрерывная перестройка его структуры, при к-рой размерность аттрактора монотонно увеличивается. Здесь можно выделить два случая: а) при изменении параметра в аттракторе рождаются седловые траектории со всё большим числом неустойчивых направлений; б) число неустойчивых направлений сохраняется, но возрастает скорость разбегания траекторий вдоль этих направлений. Стохастич. автоколебания распределённых систем (с бесконечномерным фазовым пространством) имеют много общего с движением динамических диссипативных систем, описываемых системами конечного числа обыкновенных дифференц. ур-ний. Связь эта объясняется действием высокочастотной диссипации (в гидродинамике, напр., это - вязкость). Такая диссипация лишает мелкомасштабные возбуждения среды самостоятельности, в результате чего описывающие их движение ф-ции начинают алгебраически зависеть от соответствующих ф-ций, отвечающих крупномасштабным возбуждениям. Т. о., реально движение бесконечномерной системы описывается траекториями, лежащими на конечномерном (хотя, возможно, высокой размерности) С. а. Неупорядоченное течение в области перехода к турбулентности также представляет собой движение на С. а. (см. Турбулентность ).

Лит.: 1) Рабинович М. И., Трубецков Д. И., Введение в теорию колебаний и волн, М., 1984; 2) Лихтенберг А., Либерман М., Регулярная и стохастическая , пер. с англ., М., 1984; 3) Афраймович В. С., Рейман А. М., Размерность и энтропия в многомерных системах, в кн.: Нелинейные волны. Динамика и эволюция, под ред. А. В. Гапонова-Грехова, М. И. Рабиновича, М., 1989; 4) Шустер Г., Детерминированный хаос. Введение, пер. с англ., М., 1988; 5) Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М., Гидродинамика, 4 изд., М., 1988; 6) Афраймович В. С., Внутренние бифуркации и кризисы аттракторов, в кн.: Нелинейные волны. Структуры и бифуркации, под ред. А. В. Гапонова-Грехова, М. И. Рабиновича, М., 1987; 7) Гидродинамические неустойчивости и переход к турбулентности, под ред. X. Суинни, Дж. Голлаба, пер. с англ., М., 1984; 8) Рабинович М. И., Сущик М. М., Регулярная и хаотическая динамика структур в течениях жидкости, «УФН», 1990, т. 160, с. 3. В. С. Афраймович, М. И. Рабинович .