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El concepto de función compleja de varias variables independientes. Derivada direccional. Gradiente. Dominio de una función lineal de dos variables.

) ya nos hemos encontrado repetidamente con derivadas parciales de funciones complejas como ejemplos más difíciles. Entonces, ¿de qué más puedes hablar? ...Y todo es como en la vida: no hay complejidad que no pueda ser complicada =) Pero las matemáticas son para eso, para encajar la diversidad de nuestro mundo en un marco estricto. Y a veces esto se puede hacer con una sola frase:

EN caso general la función compleja se parece , Dónde, al menos uno de letras representa función, que puede depender de arbitrario número de variables.

La opción mínima y más simple es la conocida función compleja de una variable, cuyo derivado Aprendimos a encontrar el semestre pasado. También tienes las habilidades para diferenciar funciones. (eche un vistazo a las mismas funciones ) .

Por lo tanto, ahora nos interesará solo el caso. Debido a la gran variedad de funciones complejas, las fórmulas generales de sus derivadas son muy engorrosas y difíciles de digerir. En este sentido me limitaré ejemplos concretos, de lo cual puedes entender principio general encontrando estas derivadas:

Ejemplo 1

Dada una función compleja donde . Requerido:
1) encuentre su derivada y escriba el diferencial total de primer orden;
2) calcular el valor de la derivada en .

Solución: Primero, veamos la función en sí. Se nos ofrece una función dependiendo de y , que a su vez son funciones una variable:

En segundo lugar, prestemos mucha atención a la tarea en sí: debemos encontrar derivado, es decir, ¡no estamos hablando en absoluto de derivadas parciales, como estamos acostumbrados a encontrar! Desde la función En realidad depende de una sola variable, entonces la palabra "derivada" significa derivada total. ¿Cómo encontrarla?

Lo primero que me viene a la mente es la sustitución directa y una mayor diferenciación. sustituyamos para funcionar:
, después de lo cual no hay problemas con la derivada deseada:

Y, en consecuencia, el diferencial total:

Esta solución es matemáticamente correcta, pero un pequeño matiz es que cuando el problema se formula como está formulado, nadie espera tal barbarie de usted =) Pero en serio, aquí realmente se pueden encontrar fallas. Imagine que una función describe el vuelo de un abejorro y las funciones anidadas cambian según la temperatura. Realizar una sustitución directa , solo obtenemos información privada , que caracteriza el vuelo, digamos, sólo en climas cálidos. Además, si se presenta a una persona que no sabe nada de abejorros resultado final e incluso para decir cuál es esta función, ¡nunca aprenderá nada sobre la ley fundamental del vuelo!

Entonces, de manera completamente inesperada, nuestro animado hermano nos ayudó a comprender el significado y la importancia de la fórmula universal:

Acostúmbrese a la notación de "dos pisos" para las derivadas: en la tarea que estamos considerando, son las que se utilizan. En este caso, uno debería ser muy limpio en la entrada: los derivados con símbolo directo “de” son derivadas completas, y los derivados con iconos redondeados son derivadas parciales. Empecemos por los últimos:

Bueno, con las “colas” todo es generalmente elemental:

Sustituyamos las derivadas encontradas en nuestra fórmula:

Cuando una función se propone inicialmente de forma intrincada, será lógico (¡y esto se explica arriba!) Deja los resultados como están:

Al mismo tiempo, en las respuestas "sofisticadas" es mejor abstenerse de simplificaciones mínimas. (aquí, por ejemplo, pide que le eliminen 3 desventajas)- y tienes menos trabajo, y tu amigo peludo estará feliz de revisar la tarea más fácilmente.

Sin embargo, una verificación aproximada no será superflua. sustituyamos en la derivada encontrada y realizar simplificaciones:

(en último paso usado fórmulas trigonométricas , )

Como resultado, se obtuvo el mismo resultado que con el método de solución "bárbaro".

Calculemos la derivada en el punto. Primero conviene conocer los valores de “tránsito” (valores de función ) :

Ahora hacemos los cálculos finales, que en en este caso se puede hacer de diferentes maneras. Utilizo una técnica interesante en la que los "pisos" tercero y cuarto no se simplifican según las reglas habituales, sino que se transforman como el cociente de dos números:

Y, por supuesto, es pecado no comprobar utilizando una notación más compacta. :

Respuesta:

Sucede que el problema se plantea en forma “semigeneral”:

"Encuentra la derivada de la función donde »

Es decir, no se da la función "principal", pero sus "inserciones" son bastante específicas. La respuesta debe darse en el mismo estilo:

Además, la condición se puede cifrar ligeramente:

"Encuentra la derivada de la función. »

En este caso necesitas por cuenta propia designar funciones anidadas con algunas letras adecuadas, por ejemplo, mediante y usa la misma fórmula:

Por cierto, oh designaciones de letras. En repetidas ocasiones he instado a no “aferrarse a las letras” como salvavidas, ¡y ahora esto es especialmente relevante! Al analizar varias fuentes sobre el tema, en general tuve la impresión de que los autores "se volvieron locos" y comenzaron a arrojar sin piedad a los estudiantes al tormentoso abismo de las matemáticas =) Así que perdónenme :))

Ejemplo 2

Encuentra la derivada de una función. , Si

¡Otras designaciones no deberían causar confusión! Cada vez que te encuentres con una tarea como esta, debes responder dos preguntas simples:

1) ¿De qué depende la función “principal”? En este caso, la función “zet” depende de dos funciones (“y” y “ve”).

2) ¿De qué variables dependen las funciones anidadas? En este caso, ambas “inserciones” dependen únicamente de la “X”.

¡Así que no deberías tener ninguna dificultad para adaptar la fórmula a esta tarea!

Solución rápida y la respuesta al final de la lección.

Ejemplos adicionales el primer tipo se puede encontrar en El libro de problemas de Ryabushko (IDZ 10.1) Bueno, nos dirigimos hacia función de tres variables:

Ejemplo 3

Dada una función donde .
Calcular la derivada en el punto

Fórmula derivada función compleja, como muchos suponen, tiene una forma relacionada:

Decide una vez que lo hayas adivinado =)

Por si acaso te daré fórmula general para función:
, aunque en la práctica es poco probable que vea algo más largo que el Ejemplo 3.

Además, a veces es necesario diferenciar una versión "truncada", como regla general, una función de la forma o. Dejo esta pregunta para que la estudies por tu cuenta: crea algunos ejemplos simples, piensa, experimenta y deriva fórmulas abreviadas para derivadas.

Si algo aún no está claro, vuelva a leer lentamente y comprenda la primera parte de la lección, porque ahora la tarea se volverá más complicada:

Ejemplo 4

Encuentra las derivadas parciales de una función compleja, donde

Solución: esta función tiene la forma , y después de sustitución directa obtenemos la función habitual de dos variables:

Pero ese miedo no sólo no se acepta, sino que ya no se quiere diferenciar =) Por lo tanto, utilizaremos fórmulas ya preparadas. Para ayudarte a comprender rápidamente el patrón, tomaré algunas notas:

Mire atentamente la imagen de arriba a abajo y de izquierda a derecha….

Primero, encontremos las derivadas parciales de la función "principal":

Ahora encontramos las derivadas “X” de los “liners”:

y escribe la derivada final “X”:

Lo mismo ocurre con el “juego”:

Y

Puedes ceñirte a otro estilo: encuentra todas las "colas" a la vez y luego escribe ambas derivadas.

Respuesta:

Acerca de la sustitución De alguna manera no pienso en nada =) =), pero puedes modificar un poco los resultados. Aunque, de nuevo, ¿por qué? – sólo hará que al profesor le resulte más difícil comprobarlo.

Si es necesario, entonces diferencial completo aquí está escrito según la fórmula habitual y, por cierto, justo en este paso Los cosméticos ligeros se vuelven apropiados:

Esto es... ...un ataúd sobre ruedas.

Debido a la popularidad del tipo de función compleja que se está considerando, se requieren un par de tareas para decisión independiente. Un ejemplo más sencillo en forma “semigeneral” es para entender la fórmula misma ;-):

Ejemplo 5

Encuentra las derivadas parciales de la función, donde

Y más complicado, con la inclusión de técnicas de diferenciación:

Ejemplo 6

Encuentra el diferencial completo de una función. , Dónde

No, no estoy tratando de "enviarte al fondo" en absoluto; todos los ejemplos están tomados de trabajo real, y “en alta mar” puedes encontrar cualquier letra. En cualquier caso, será necesario analizar la función. (respondiendo 2 preguntas – ver arriba), presentarlo en vista general y modificar cuidadosamente las fórmulas de derivadas parciales. Puede que ahora estés un poco confundido, ¡pero comprenderás el principio mismo de su construcción! Porque los verdaderos desafíos apenas comienzan :)))

Ejemplo 7

Encuentra derivadas parciales y crea el diferencial completo de una función compleja.
, Dónde

Solución: la función "principal" tiene la forma y aún depende de dos variables: "x" e "y". Pero en comparación con el ejemplo 4, se agregó otra función anidada y, por lo tanto, las fórmulas de derivada parcial también se alargan. Como en ese ejemplo, para una mejor visión del patrón, resaltaré las derivadas parciales “principales” diferentes colores:

Y nuevamente, estudie cuidadosamente el registro de arriba a abajo y de izquierda a derecha.

Dado que el problema está formulado en forma “semigeneral”, todo nuestro trabajo se limita esencialmente a encontrar derivadas parciales de funciones integradas:

Un niño de primer grado puede manejar:

E incluso el diferencial completo resultó bastante bueno:

Deliberadamente no les ofrecí ninguna función específica, para que un desorden innecesario no interfiera con una buena comprensión de diagrama esquemático tareas.

Respuesta:

Muy a menudo se pueden encontrar inversiones de “tamaño mixto”, por ejemplo:

Aquí la función "principal", aunque tiene la forma, todavía depende tanto de "x" como de "y". Por lo tanto, funcionan las mismas fórmulas: solo que algunas derivadas parciales serán iguales a cero. Además, esto también es cierto para funciones como , en el que cada “revestimiento” depende de una variable.

Una situación similar ocurre en los dos últimos ejemplos de la lección:

Ejemplo 8

Encuentra el diferencial total de una función compleja en un punto.

Solución: la condición se formula de forma "presupuestaria" y debemos etiquetar las funciones anidadas nosotros mismos. Creo que esta es una buena opción:

Los “insertos” contienen ( ¡ATENCIÓN!) TRES letras son las antiguas “X-Y-Z”, lo que significa que la función “principal” en realidad depende de tres variables. Puede reescribirse formalmente como , y las derivadas parciales en este caso se definen las siguientes fórmulas:

Escaneamos, profundizamos, capturamos….

En nuestra tarea:

Al estudiar muchos patrones en ciencias naturales y economía, uno encuentra funciones de dos (o más) variables independientes.

Definición (para una función de dos variables).Dejar incógnita , Y Y z - multitudes. Si cada pareja (incógnita, y) elementos de conjuntos respectivamente incógnita Y Y en virtud de alguna ley F coincide con uno y sólo un elemento z de muchos z , entonces dicen que se da una función de dos variables z = F(incógnita, y) .

En general dominio de una función de dos variables geométricamente se puede representar mediante un determinado conjunto de puntos ( incógnita; y) avión xoy .

Las definiciones básicas relacionadas con funciones de varias variables son una generalización de las correspondientes. definiciones para una función de una variable .

Muchos D llamado dominio de la función z, y el conjunto mi – sus muchos significados. variables incógnita Y y en relación con la función z se llaman sus argumentos. Variable z llamada variable dependiente.

Valores privados de los argumentos.

Corresponde al valor privado de la función.

Dominio de una función de varias variables.

Si función de varias variables (por ejemplo, dos variables) dado por la fórmula z = F(incógnita, y) , Eso área de su definición es el conjunto de todos esos puntos del plano x0y, para lo cual la expresión F(incógnita, y) tiene sentido y acepta valores reales. Las reglas generales para el dominio de una función de varias variables se derivan de las reglas generales para dominio de definición de una función de una variable. La diferencia es que para una función de dos variables, el dominio de definición es un determinado conjunto de puntos en el plano, y no una línea recta, como para una función de una variable. Para una función de tres variables, el dominio de definición es el conjunto correspondiente de puntos en el espacio tridimensional, y para una función norte variables: el conjunto correspondiente de puntos del resumen norte-espacio dimensional.

Dominio de una función de dos variables con raíz. norte grado

En el caso en que una función de dos variables esté dada por la fórmula y norte - número natural :

Si norte - número par, entonces el dominio de definición de la función es el conjunto de puntos del plano correspondientes a todos los valores de la expresión radical que son mayores o iguales a cero, es decir

Si norte es un número impar, entonces el dominio de definición de la función es el conjunto de valores cualesquiera, es decir, todo el plano x0y .

Dominio de una función potencia de dos variables con exponente entero

Si a- positivo, entonces el dominio de definición de la función es todo el plano x0y ;

Si a- negativo, entonces el dominio de definición de la función es el conjunto de valores distintos de cero: .

Dominio de una función potencia de dos variables con exponente fraccionario

En el caso de que la función esté dada por la fórmula :

si es positivo, entonces el dominio de definición de la función es el conjunto de aquellos puntos del plano en los que toma valores mayores o iguales a cero: ;

si - es negativo, entonces el dominio de definición de la función es el conjunto de aquellos puntos del plano en los que toma valores mayores que cero: .

Dominio de definición de una función logarítmica de dos variables.

Función logarítmica de dos variables. se define siempre que su argumento sea positivo, es decir, el dominio de su definición es el conjunto de aquellos puntos del plano en los que toma valores mayores que cero: .

Dominio de definición de funciones trigonométricas de dos variables.

Dominio de funciones - todo el avión x0y .

El dominio de definición de la función es todo el plano. x0y

Dominio de funciones - todo el avión x0y, excepto pares de números para los cuales toma valores.

Dominio de definición de funciones trigonométricas inversas de dos variables.

Dominio de funciones .

Dominio de funciones - el conjunto de puntos del plano para los cuales .

Dominio de funciones - todo el avión x0y .

El dominio de definición de una fracción en función de dos variables.

Si una función está dada por la fórmula, entonces el dominio de definición de la función son todos los puntos del plano en el que .

Dominio de una función lineal de dos variables.

Si la función está dada por una fórmula de la forma z = hacha + por + do , entonces el dominio de definición de la función es todo el plano x0y .

Ejemplo 1.

Solución. Según las reglas del dominio de definición, componemos una doble desigualdad.

Multiplicamos toda la desigualdad por y obtenemos

La expresión resultante especifica el dominio de definición de esta función de dos variables.

Ejemplo 2. Encuentra el dominio de una función de dos variables.

Derivadas parciales de una función de tres variables

Sigamos con el tema favorito de todos. análisis matemático– derivados. En este artículo aprenderemos cómo encontrar derivadas parciales de una función de tres variables: primeras derivadas y segundas derivadas. ¿Qué necesitas saber y poder hacer para dominar el material? Lo creas o no, en primer lugar, debes poder encontrar derivadas "ordinarias" de una función de una variable, en un nivel alto o al menos promedio. Si es realmente difícil para ellos, entonces comienza con una lección. ¿Cómo encontrar la derivada? En segundo lugar, es muy importante leer el artículo y comprender y resolver, si no todo, entonces la mayoría de ejemplos. Si esto ya lo has hecho, entonces camina conmigo con paso seguro, será interesante, ¡incluso lo disfrutarás!

Métodos y principios de búsqueda. derivadas parciales de una función de tres variables en realidad son muy similares a las derivadas parciales de funciones de dos variables. Una función de dos variables, déjame recordarte, tiene la forma , donde "x" e "y" son variables independientes. Geométricamente, una función de dos variables suele ser algo superficie en nuestro espacio tridimensional.

Una función de tres variables tiene la forma y las variables se llaman variables independientes o argumentos, la variable se llama variable dependiente o función. Por ejemplo: – función de tres variables

Y ahora un poco sobre películas de ciencia ficción y extraterrestres. A menudo se puede oír hablar de cuatro dimensiones, cinco dimensiones, diez dimensiones, etc. espacios. ¿Tonterías o no?
Después de todo, una función de tres variables implica un espacio de cuatro dimensiones.
(y de hecho, hay tres variables + la función misma). La gráfica de una función de tres variables es la llamada hipersuperficie. Es imposible imaginarlo, ya que vivimos en un espacio tridimensional (largo/ancho/alto). Para que no te aburras de mí, te ofrezco un cuestionario. Haré algunas preguntas y cualquiera que esté interesado puede intentar responderlas:

–¿Existe un cuarto, un quinto, etc. en el mundo? ¿Medidas en el sentido de la comprensión común del espacio (largo/ancho/alto)?

– ¿Es posible construir un edificio de cuatro dimensiones, cinco dimensiones, etc.? ¿Espacio en el sentido amplio de la palabra? Es decir, dar un ejemplo de ese espacio en nuestras vidas.

– ¿Es posible viajar al pasado?

– ¿Es posible viajar al futuro?

– ¿Existen los extraterrestres?

Para cualquier pregunta puedes elegir una de cuatro respuestas:
Sí / No (la ciencia lo prohíbe) / La ciencia no lo prohíbe / No lo sé

Quien responda correctamente a todas las preguntas tendrá más posibilidades de tener algún objeto ;-)

Poco a poco iré dando respuestas a las preguntas a medida que avance la lección, ¡no te pierdas los ejemplos!

De hecho, volaron. Y de inmediato albricias: para una función de tres variables, las reglas de diferenciación y la tabla de derivadas son válidas. Por eso es necesario ser bueno tratando con personas "ordinarias". derivadas de funciones una variable. ¡Hay muy pocas diferencias!

Ejemplo 1

Solución: No es difícil de adivinar: para una función hay tres variables tres derivadas parciales de primer orden, que se denotan de la siguiente manera:

O – derivada parcial con respecto a “x”;
o – derivada parcial con respecto a “y”;
o – derivada parcial con respecto a “zet”.

El símbolo con un número primo es más común, pero a los compiladores de colecciones y manuales de capacitación les gusta mucho usar símbolos engorrosos para los problemas, ¡así que no te pierdas! Quizás no todo el mundo sepa leer correctamente estas “temidas fracciones” en voz alta. Ejemplo: debe leerse de la siguiente manera: “de u po de x”.

Empecemos por la derivada con respecto a "x": . Cuando encontramos la derivada parcial con respecto a, entonces las variables yse consideran constantes (números constantes). Y la derivada de cualquier constante, oh, gracia, es igual a cero:

Preste atención de inmediato a los subíndices: nadie le prohíbe marcar que son constantes. Es aún más conveniente; recomiendo que los principiantes utilicen precisamente esa notación, hay menos riesgo de confundirse.

(1) Usamos las propiedades de linealidad de la derivada, en particular, tomamos todas las constantes fuera del signo de la derivada. Tenga en cuenta que en el segundo término no es necesario eliminar la constante: dado que "Y" es una constante, también es una constante. En el término, la constante "ordinaria" 8 y la constante "zet" se eliminan del signo de la derivada.

(2) Encontramos las derivadas más simples, sin olvidar que son constantes. A continuación analizamos la respuesta.

Derivada parcial. Cuando encontramos la derivada parcial con respecto a “y”, entonces las variables yse consideran constantes:

(1) Usamos las propiedades de la linealidad. Y nuevamente, tenga en cuenta que los términos son constantes, lo que significa que no es necesario quitar nada del signo de la derivada.

(2) Calcula las derivadas, sin olvidar que son constantes. A continuación simplificamos la respuesta.

Y por último, la derivada parcial. Cuando encontramos la derivada parcial con respecto a “zet”, entonces las variables yse consideran constantes:

regla general obvio y sin pretensiones: Cuando encontramos la derivada parcial por cualquier motivo variable independiente, entonces otros dos las variables independientes se consideran constantes.

Al realizar estas tareas, debe tener mucho cuidado, en particular, No puedes perder subíndices(que indican qué variable se utiliza para diferenciar). Perder el índice sería una GRAN CONDICIÓN. Mmm…. Es curioso si después de tanta intimidación los extraño en alguna parte)

Ejemplo 2

Encuentra derivadas parciales de primer orden de una función de tres variables.

Este es un ejemplo para que lo resuelvas por tu cuenta. Solución completa y la respuesta al final de la lección.

Los dos ejemplos considerados son bastante sencillos y, tras resolver varios problemas similares, hasta una tetera se acostumbrará a afrontarlos oralmente.

Para aliviar el estrés, volvamos a la primera pregunta del cuestionario: ¿Existe un cuarto, un quinto, etc. en el mundo? ¿Medidas en el sentido de la comprensión común del espacio (largo/ancho/alto)?

Respuesta correcta: La ciencia no lo prohíbe.. Todas las axiomáticas, teoremas y aparatos matemáticos fundamentales de las matemáticas son hermosos y coherente trabajar en el espacio de cualquier dimensión. Es posible que en algún lugar del Universo existan hipersuperficies que escapan al control de nuestra mente, por ejemplo, una hipersuperficie de cuatro dimensiones, que está definida por una función de tres variables. O tal vez las hipersuperficies estén a nuestro lado, o incluso estemos justo en ellas, solo que nuestra visión, otros sentidos y nuestra conciencia son capaces de percibir y comprender solo tres dimensiones.

Volvamos a los ejemplos. Sí, si alguien está muy ocupado con el cuestionario, es mejor leer las respuestas a las siguientes preguntas después de aprender a encontrar las derivadas parciales de una función de tres variables; de lo contrario, te dejaré boquiabierto durante el transcurso del artículo. =)

Además de los ejemplos 1 y 2 más simples, en la práctica hay tareas que se pueden llamar un pequeño rompecabezas. Estos ejemplos, para mi disgusto, se perdieron de vista cuando creé la lección. Derivadas parciales de una función de dos variables. Pongámonos al día:

Ejemplo 3

Solución: Parece que aquí “todo es sencillo”, pero la primera impresión es engañosa. Al encontrar derivadas parciales, muchos adivinarán las hojas de té y cometerán errores.

Veamos el ejemplo de forma coherente, clara y comprensible.

Comencemos con la derivada parcial con respecto a "x". Cuando encontramos la derivada parcial con respecto a “x”, las variables se consideran constantes. Por tanto, el exponente de nuestra función también es una constante. Para los tontos, recomiendo la siguiente solución: en el borrador, cambie la constante a un número entero positivo específico, por ejemplo, "cinco". El resultado es una función de una variable:
o también puedes escribirlo así:

Este fuerza Función con base compleja (seno). Por :

Ahora recordamos eso, así:

En la etapa final, por supuesto, la solución debería escribirse así:

Encontramos la derivada parcial con respecto a la “y”, se consideran constantes. Si "x" es una constante, entonces también lo es. En el borrador hacemos el mismo truco: reemplazar, por ejemplo, con 3, "Z" - reemplazar con el mismo "cinco". El resultado es nuevamente una función de una variable:

Este indicativo Función con exponente complejo. Por regla de diferenciación de funciones complejas:

Ahora recordemos nuestro reemplazo:

De este modo:

En la página final, por supuesto, el diseño debería verse bien:

Y el caso espejo con la derivada parcial con respecto a “zet” (-constantes):

Con algo de experiencia, el análisis se puede realizar mentalmente.

Completemos la segunda parte de la tarea: compongamos un diferencial de primer orden. Es muy sencillo, por analogía con una función de dos variables, se escribe un diferencial de primer orden mediante la fórmula:

En este caso:

Y eso es negocio. Noto que en problemas prácticos un diferencial completo de primer orden para una función de tres variables requiere una compilación mucho menos frecuente que para una función de dos variables.

Un ejemplo divertido para resolverlo usted mismo:

Ejemplo 4

Encuentre derivadas parciales de primer orden de una función de tres variables y construya un diferencial completo de primer orden

Solución completa y respuesta al final de la lección. Si encuentra alguna dificultad, utilice el algoritmo "Chaynikovsky" comentado, está garantizado que le ayudará. Y una cosa más consejos útiles – no te apresures. Ni siquiera yo puedo resolver esos ejemplos rápidamente.

Hagamos una digresión y veamos la segunda pregunta: ¿Es posible construir un edificio de cuatro dimensiones, cinco dimensiones, etc.? ¿Espacio en el sentido amplio de la palabra? Es decir, dar un ejemplo de ese espacio en nuestras vidas.

Respuesta correcta: Sí. Además, es muy fácil. Por ejemplo, agregamos una cuarta dimensión al largo/ancho/alto: tiempo. El popular espacio-tiempo cuatridimensional y la conocida teoría de la relatividad, cuidadosamente compilada por Einstein a partir de los trabajos de Lobachevsky, Poincaré, Lorentz y Minkowski. Tampoco todo el mundo lo sabe. ¿Por qué obtuvo el premio Nobel? Hubo un escándalo grave en el mundo científico, y el Comité Nobel formuló el mérito del estudiante C Einstein aproximadamente de la siguiente manera: "Por su contribución general al desarrollo de la física". Además, como dicen, promoción y relaciones públicas.

Es fácil agregar una quinta dimensión al espacio de cuatro dimensiones considerado, por ejemplo: presión atmosférica. Y así sucesivamente, tantas dimensiones como especifiques en tu modelo, esa es la cantidad que habrá. EN en un sentido amplio En otras palabras, vivimos en un espacio multidimensional.

Veamos un par más tareas tipicas:

Ejemplo 5

Solución: Una tarea en esta formulación se encuentra a menudo en la práctica e implica realizar las dos acciones siguientes:
– necesitas encontrar derivadas parciales de primer orden;
– necesitas calcular los valores de las derivadas parciales de primer orden en el punto.

Decidimos:

(1) Ante nosotros tenemos una función compleja, y en el primer paso debemos tomar la derivada del arcotangente. En este caso, de hecho, usamos tranquilamente la fórmula tabular para la derivada del arcotangente . Por regla de diferenciación de funciones complejas el resultado debe multiplicarse por la derivada función interna(adjuntos): .

(2) Usamos las propiedades de la linealidad.

(3) Y tomamos el resto de derivadas, sin olvidar que son constantes.

De acuerdo con las condiciones de la tarea, es necesario encontrar el valor de la derivada parcial encontrada. en el punto. Sustituyamos las coordenadas del punto en la derivada encontrada:

Ventaja de esta tarea es el hecho de que otras derivadas parciales siguen un patrón muy similar:

Como puede ver, la plantilla de solución es casi la misma.

Calculemos el valor de la derivada parcial encontrada. en el punto:

Y por último, la derivada respecto a “zet”:

Listo. La solución podría formularse de otra manera: primero encuentre las tres derivadas parciales y luego calcule sus valores en el punto. Pero me parece que el método anterior es más conveniente: simplemente encuentre la derivada parcial e inmediatamente, sin salir de la caja registradora, calcule su valor en el punto.

Es interesante observar que, geométricamente, un punto es un punto muy real en nuestro espacio tridimensional. Los valores de la función, derivadas. – ya es la cuarta dimensión y nadie sabe dónde está ubicada geométricamente. Como dicen, nadie se arrastró por el Universo con una cinta métrica ni lo revisó.

Dado que el tema filosófico vuelve a estar en auge, consideremos la tercera pregunta: ¿Es posible viajar al pasado?

Respuesta correcta: No. Viajar al pasado contradice la segunda ley de la termodinámica sobre la irreversibilidad de los procesos físicos (entropía). Así que, por favor, no se sumerja en una piscina sin agua, el evento solo se puede reproducir en un video =) No en vano, a la sabiduría popular se le ocurrió la ley cotidiana opuesta: "Mida dos veces, corte una vez". Aunque, en realidad, lo triste es que el tiempo es unidireccional e irreversible, ninguno de nosotros será más joven mañana. Y varias películas de ciencia ficción como "Terminator" con punto científico La visión es una completa tontería. También es absurdo desde un punto de vista filosófico que el Efecto, volviendo al pasado, pueda destruir su propia Causa.

Ejemplo 6

Encuentra derivadas parciales de primer orden en un punto

Ejemplo 7

Encuentra derivadas parciales de primer orden en un punto

Estos son dos ejemplos sencillos para que los resuelvas por tu cuenta. Solución completa y respuesta al final de la lección.

Pero no os enfadéis por la segunda ley de la termodinámica, ahora os animaré más a todos. ejemplos complejos:

Ejemplo 8

Encuentra derivadas parciales de primer orden de una función de tres variables.

Solución: Encontremos las derivadas parciales de primer orden:

(1) Al comenzar a encontrar la derivada, debes seguir el mismo enfoque que para una función de una variable. Usamos las propiedades de la linealidad, en este caso la sacamos del signo de la constante derivada.

(2) Bajo el signo de la derivada tenemos trabajar dos funciones, cada uno de los cuales depende de nuestra variable “viva” “x”. Por tanto, es necesario utilizar la regla de diferenciación de productos. .

(3) No hay dificultades con la derivada, pero la derivada es la derivada de una función compleja: primero necesitas encontrar, esencialmente, un logaritmo tabular y multiplicarlo por la derivada de la incrustación.

(4) Creo que todo el mundo ya se ha acostumbrado a los ejemplos más simples como: aquí solo tenemos uno "vivo", cuya derivada es igual a

El caso de la derivada respecto de la “y” es casi un espejo; lo anotaré brevemente y sin comentarios:

Es más interesante con la derivada “zet”, aunque sigue siendo casi lo mismo:

(1) Quitamos las constantes del signo de la derivada.

(2) Aquí nuevamente está el producto de dos funciones, cada uno de los cuales depende de la variable “viva” “zet”. En principio, puedes usar la fórmula para la derivada de un cociente, pero es más fácil hacerlo al revés: encontrar la derivada del producto.

(3) La derivada es una derivada tabular. El segundo término contiene la ya familiar derivada de una función compleja.

Ejemplo 9

Encuentra derivadas parciales de primer orden de una función de tres variables.

Este es un ejemplo para que lo resuelvas por tu cuenta. Piense en cómo encontrar de manera más racional tal o cual derivada parcial. Solución completa y respuesta al final de la lección.

Antes de pasar a los ejemplos finales de la lección y mirar derivadas parciales de segundo orden funciones de tres variables, volveré a animar a todos con la cuarta pregunta:

¿Es posible viajar al futuro?

Respuesta correcta: La ciencia no lo prohíbe.. Paradójicamente, ¡no existe ninguna ley matemática, física, química o de otras ciencias naturales que prohíba viajar al futuro! ¿Parece una tontería? Pero casi todo el mundo en la vida ha tenido una premonición (y no está respaldada por ningún argumento lógico) de que tal o cual evento sucederá. ¡Y sucedió! ¿De dónde vino la información? ¿Del futuro? Por lo tanto, las películas de ciencia ficción sobre viajes al futuro y, por cierto, las predicciones de todo tipo de adivinos y psíquicos no pueden considerarse una tontería. Al menos la ciencia no lo ha refutado. ¡Todo es posible! Entonces, cuando estaba en la escuela, los CD y los monitores planos de las películas me parecían increíbles.

La famosa comedia "Ivan Vasilyevich cambia de profesión" es mitad ficción (como mucho). Ninguna ley científica prohibía a Iván el Terrible estar en el futuro, pero es imposible que dos pimientos acaben en el pasado y desempeñen las funciones de un rey.

Derivadas parciales de segundo orden de una función de tres variables

El principio general de encontrar derivadas parciales de segundo orden de una función de tres variables es similar al principio de encontrar derivadas parciales de segundo orden de una función de dos variables. Por lo tanto, si has trabajado bien la lección Derivadas parciales de una función de dos variables, entonces todo será muy sencillo.

Para encontrar derivadas parciales de segundo orden, primero necesitas encontrar derivadas parciales de primer orden o en otra notación: .

Hay nueve derivadas parciales de segundo orden.

El primer grupo son las segundas derivadas con respecto a las mismas variables:
o – la segunda derivada con respecto a “x”;
o – la segunda derivada con respecto a “Y”;
o – la segunda derivada con respecto a “zet”.

El segundo grupo es mezclado Derivadas parciales de segundo orden, hay seis:
o - mezclado derivada de “x por y”;
o - mezclado derivada “yy por x”;
o - mezclado derivada "x por z";
o - mezclado derivada de “Z por X”;
o - mezclado derivado de “Igrek by Z”;
o - mezclado derivado de “zet por igrek”.

En general, la función compleja tiene la forma , Dónde, al menos uno de letras representa función, que puede depender de arbitrario número de variables.

Por lo tanto, ahora nos interesará solo el caso. Debido a la gran variedad de funciones complejas, las fórmulas generales de sus derivadas son muy engorrosas y difíciles de digerir. En este sentido, me limitaré a ejemplos específicos a partir de los cuales se puede entender el principio general de encontrar estas derivadas:

Ejemplo 1

Dada una función compleja donde . Requerido:
1) encuentre su derivada y escriba el diferencial total de primer orden;
2) calcular el valor de la derivada en .

Solución: Primero, veamos la función en sí. Se nos ofrece una función dependiendo de y , que a su vez son funciones una variable:

Lo primero que me viene a la mente es la sustitución directa y una mayor diferenciación. sustituyamos para funcionar:
, después de lo cual no hay problemas con la derivada deseada:

Y, en consecuencia, el diferencial total:

Esta solución es matemáticamente correcta, pero un pequeño matiz es que cuando el problema se formula como está formulado, nadie espera tal barbarie de usted =) Pero en serio, aquí realmente se pueden encontrar fallas. Imagine que una función describe el vuelo de un abejorro y las funciones anidadas cambian según la temperatura. Realizar una sustitución directa , solo obtenemos información privada, que caracteriza el vuelo, digamos, sólo en climas cálidos. Además, si a una persona que no sabe nada de abejorros se le presenta el resultado final e incluso se le dice cuál es esta función, ¡nunca aprenderá nada sobre la ley fundamental del vuelo!

Entonces, de manera completamente inesperada, nuestro animado hermano nos ayudó a comprender el significado y la importancia de la fórmula universal:

Bueno, con las “colas” todo es generalmente elemental:

Sustituyamos las derivadas encontradas en nuestra fórmula:

Sin embargo, una verificación aproximada no será superflua. sustituyamos en la derivada encontrada y realizar simplificaciones:

(en el último paso utilizamos fórmulas trigonométricas , )

Como resultado, se obtuvo el mismo resultado que con el método de solución "bárbaro".

Calculemos la derivada en el punto. Primero conviene conocer los valores de “tránsito” (valores de función ) :

Ahora hacemos los cálculos finales, que en este caso se pueden realizar de diferentes formas. Utilizo una técnica interesante en la que los "pisos" tercero y cuarto no se simplifican según las reglas habituales, sino que se transforman como el cociente de dos números:

Y, por supuesto, es pecado no comprobar utilizando una notación más compacta. :

Respuesta:

Sucede que el problema se plantea en forma “semigeneral”:

"Encuentra la derivada de la función donde »

Es decir, no se da la función "principal", pero sus "inserciones" son bastante específicas. La respuesta debe darse en el mismo estilo:

Además, la condición se puede cifrar ligeramente:

"Encuentra la derivada de la función. »

En este caso necesitas por cuenta propia designar funciones anidadas con algunas letras adecuadas, por ejemplo, mediante y usa la misma fórmula:

Por cierto, sobre las designaciones de letras. En repetidas ocasiones he instado a no “aferrarse a las letras” como salvavidas, ¡y ahora esto es especialmente relevante! Al analizar varias fuentes sobre el tema, en general tuve la impresión de que los autores "se volvieron locos" y comenzaron a arrojar sin piedad a los estudiantes al tormentoso abismo de las matemáticas =) Así que perdónenme :))

Ejemplo 2

Encuentra la derivada de una función. , Si

¡Otras designaciones no deberían causar confusión! Cada vez que te encuentres con una tarea como esta, debes responder dos preguntas simples:

1) ¿De qué depende la función “principal”? En este caso, la función “zet” depende de dos funciones (“y” y “ve”).

2) ¿De qué variables dependen las funciones anidadas? En este caso, ambas “inserciones” dependen únicamente de la “X”.

¡Así que no deberías tener ninguna dificultad para adaptar la fórmula a esta tarea!

Una breve solución y respuesta al final de la lección.

Se pueden encontrar ejemplos adicionales del primer tipo en El libro de problemas de Ryabushko (IDZ 10.1) Bueno, nos dirigimos hacia función de tres variables:

Ejemplo 3

Dada una función donde .
Calcular la derivada en el punto

La fórmula para la derivada de una función compleja, como muchos suponen, tiene una forma relacionada:

Decide una vez que lo hayas adivinado =)

Por si acaso, daré una fórmula general para la función:
, aunque en la práctica es poco probable que vea algo más largo que el Ejemplo 3.

Si algo aún no está claro, vuelva a leer lentamente y comprenda la primera parte de la lección, porque ahora la tarea se volverá más complicada:

Ejemplo 4

Encuentra las derivadas parciales de una función compleja, donde

Solución: esta función tiene la forma , y después de sustitución directa obtenemos la función habitual de dos variables:

Primero, encontremos las derivadas parciales de la función "principal":

Ahora encontramos las derivadas “X” de los “liners”:

y escribe la derivada final “X”:

Lo mismo ocurre con el “juego”:

Y

Puedes ceñirte a otro estilo: encuentra todas las "colas" a la vez y luego escribe ambas derivadas.

Respuesta:

Si es necesario, entonces diferencial completo aquí está escrito según la fórmula habitual y, por cierto, es en este paso donde se vuelven apropiados los cosméticos ligeros:

Esto es... ...un ataúd sobre ruedas.

Debido a la popularidad del tipo de función compleja que estamos considerando, existen un par de tareas que usted debe resolver. Un ejemplo más sencillo en forma “semigeneral” es para entender la fórmula misma ;-):

Ejemplo 5

Encuentra las derivadas parciales de la función, donde

Y más complicado, con la inclusión de técnicas de diferenciación:

Ejemplo 6

Encuentra el diferencial completo de una función. , Dónde

No, no estoy tratando de "enviarte al fondo" en absoluto; todos los ejemplos están tomados de trabajos reales y "en alta mar" puedes encontrar cualquier letra. En cualquier caso, será necesario analizar la función. (respondiendo 2 preguntas – ver arriba), presentarlo en forma general y modificar cuidadosamente las fórmulas de derivadas parciales. Puede que ahora estés un poco confundido, ¡pero comprenderás el principio mismo de su construcción! Porque los verdaderos desafíos apenas comienzan :)))

Ejemplo 7

Encuentra derivadas parciales y crea el diferencial completo de una función compleja.
, Dónde

Solución: la función "principal" tiene la forma y aún depende de dos variables: "x" e "y". Pero en comparación con el ejemplo 4, se agregó otra función anidada y, por lo tanto, las fórmulas de derivada parcial también se alargan. Como en ese ejemplo, para una mejor visualización del patrón, resaltaré las derivadas parciales “principales” en diferentes colores:

Y nuevamente, estudie cuidadosamente el registro de arriba a abajo y de izquierda a derecha.

Dado que el problema está formulado en forma “semigeneral”, todo nuestro trabajo se limita esencialmente a encontrar derivadas parciales de funciones integradas:

Un niño de primer grado puede manejar:

E incluso el diferencial completo resultó bastante bueno:

Deliberadamente no les ofrecí ninguna función específica, para que el desorden innecesario no interfiera con una buena comprensión del concepto de la tarea.

Respuesta:

Muy a menudo se pueden encontrar inversiones de “tamaño mixto”, por ejemplo:

Una situación similar ocurre en los dos últimos ejemplos de la lección:

Ejemplo 8

Encuentra el diferencial total de una función compleja en un punto.

Solución: la condición se formula de forma "presupuestaria" y debemos etiquetar las funciones anidadas nosotros mismos. Creo que esta es una buena opción:

Los “insertos” contienen ( ¡ATENCIÓN!) TRES letras son el viejo “X-Y-Z”, lo que significa que la función “principal” en realidad depende de tres variables. Puede reescribirse formalmente como , y las derivadas parciales en este caso están determinadas por las siguientes fórmulas:

Escaneamos, profundizamos, capturamos….