Convierte 8 a binario 5 veces. Convierta números de un sistema numérico a otro en línea. El principio de construir un sistema de ceros y unos.

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Sistemas numéricos

Hay sistemas numéricos posicionales y no posicionales. El sistema numérico arábigo que utilizamos en la vida cotidiana, es posicional, pero Roman no. EN sistemas posicionales En notación, la posición de un número determina de forma única el tamaño del número. Consideremos esto usando el ejemplo del número 6372 en el sistema numérico decimal. Numeremos este número de derecha a izquierda comenzando desde cero:

Entonces el número 6372 se puede representar de la siguiente manera:

6372=6000+300+70+2 =6·10 3 +3·10 2 +7·10 1 +2·10 0 .

El número 10 define el sistema numérico (en en este caso este es 10). Los valores de la posición de un número determinado se toman como potencias.

Considere el número decimal real 1287,923. Numerémoslo comenzando desde la posición cero del número desde el punto decimal hacia la izquierda y hacia la derecha:

Entonces el número 1287.923 se puede representar como:

1287.923 =1000+200+80 +7+0.9+0.02+0.003 = 1·10 3 +2·10 2 +8·10 1 +7·10 0 +9·10 -1 +2·10 -2 +3· 10-3.

EN caso general la fórmula se puede representar de la siguiente manera:

c norte s n +C n-1 · s n-1 +...+C 1 · s 1 +C 0 ·s 0 +D -1 ·s -1 +D -2 ·s -2 +...+D -k ·s -k

donde C n es un número entero en posición norte, D-k- numero fraccionario en posición (-k), s- sistema numérico.

Algunas palabras sobre los sistemas numéricos Un número en el sistema numérico decimal consta de muchos dígitos (0,1,2,3,4,5,6,7,8,9), en el sistema numérico octal consta de muchos dígitos. (0,1, 2,3,4,5,6,7), en el sistema numérico binario - de un conjunto de dígitos (0,1), en el sistema numérico hexadecimal - de un conjunto de dígitos (0,1 ,2,3,4,5,6, 7,8,9,A,B,C,D,E,F), donde A,B,C,D,E,F corresponden a los números 10,11, 12,13,14,15 En la tabla Tab.1 los números se presentan en. diferentes sistemas Estimación.

Convertir números de un sistema numérico a otro

Para convertir números de un sistema numérico a otro, la forma más sencilla es convertir primero el número a sistema decimal sistema numérico y luego convertir del sistema numérico decimal al sistema numérico requerido.

Convertir números de cualquier sistema numérico al sistema numérico decimal

Usando la fórmula (1), puede convertir números de cualquier sistema numérico al sistema numérico decimal.

Ejemplo 1. Convierta el número 1011101.001 del sistema numérico binario (SS) al SS decimal. Solución:

1 ·2 6 +0 ·2 5 + 1 ·2 4 + 1 ·2 3 + 1 ·2 2 + 0 ·2 1 + 1 ·2 0 + 0 ·2-1+ 0 ·2 -2 + 1 ·2 -3 =64+16+8+4+1+1/8=93.125

Ejemplo2. Convierta el número 1011101.001 del sistema numérico octal (SS) al SS decimal. Solución:

Ejemplo 3 . Convierta el número AB572.CDF del sistema numérico hexadecimal al decimal SS. Solución:

Aquí A-reemplazado por 10, B- a las 11, do- a las 12, F- a las 15.

Convertir números del sistema numérico decimal a otro sistema numérico

Para convertir números del sistema numérico decimal a otro sistema numérico, debe convertir por separado la parte entera del número y parte fraccionaria números.

La parte entera de un número se convierte de SS decimal a otro sistema numérico dividiendo secuencialmente la parte entera del número por la base del sistema numérico (para SS binario - por 2, para SS 8-ario - por 8, para 16 -ario SS - por 16, etc. ) hasta obtener un residuo entero, menor que la base CC.

Ejemplo 4 . Convirtamos el número 159 de SS decimal a SS binario:

Como se puede ver en la Fig. 1, el número 159 cuando se divide por 2 da el cociente 79 y el resto 1. Además, el número 79 cuando se divide por 2 da el cociente 39 y el resto 1, etc. Como resultado, construyendo un número a partir de los restos de la división (de derecha a izquierda), obtenemos un número en SS binario: 10011111 . Por tanto podemos escribir:

159 10 =10011111 2 .

Ejemplo 5 . Convirtamos el número 615 de SS decimal a SS octal.

Al convertir un número de SS decimal a SS octal, debe dividir secuencialmente el número entre 8 hasta obtener un resto entero menor que 8. Como resultado, al construir un número a partir de los restos de la división (de derecha a izquierda), obtenemos un número en octal SS: 1147 (Ver Figura 2). Por tanto podemos escribir:

615 10 =1147 8 .

Ejemplo 6 . Convirtamos el número 19673 del sistema numérico decimal al SS hexadecimal.

Como se puede ver en la Figura 3, al dividir sucesivamente el número 19673 entre 16, los restos son 4, 12, 13, 9. En el sistema numérico hexadecimal, el número 12 corresponde a C, el número 13 a D. Por lo tanto, nuestro El número hexadecimal es 4CD9.

Para convertir fracciones decimales adecuadas ( numero real con una parte entera cero) en el sistema numérico con base s, es necesario multiplicar secuencialmente este número por s hasta que en la parte fraccionaria resulte cero puro, o no obtendremos la cantidad requerida de dígitos. Si la multiplicación da como resultado un número con una parte entera distinta de cero, entonces esta parte entera no se tiene en cuenta (se incluyen secuencialmente en el resultado).

Veamos lo anterior con ejemplos.

Ejemplo 7 . Convirtamos el número 0,214 del sistema numérico decimal al SS binario.

Como puede verse en la Fig. 4, el número 0,214 se multiplica secuencialmente por 2. Si el resultado de la multiplicación es un número con una parte entera distinta de cero, entonces la parte entera se escribe por separado (a la izquierda del número), y el número se escribe con parte entera cero. Si la multiplicación da como resultado un número con una parte entera cero, entonces se escribe un cero a la izquierda del mismo. El proceso de multiplicación continúa hasta que la parte fraccionaria llega a un cero puro u obtenemos el número requerido de dígitos. Al escribir números en negrita (Fig.4) de arriba a abajo obtenemos el número requerido en el sistema numérico binario: 0. 0011011 .

Por tanto podemos escribir:

0.214 10 =0.0011011 2 .

Ejemplo 8 . Convirtamos el número 0,125 del sistema numérico decimal al SS binario.

Para convertir el número 0,125 de decimal SS a binario, este número se multiplica secuencialmente por 2. En la tercera etapa, el resultado es 0. En consecuencia, se obtiene el siguiente resultado:

0.125 10 =0.001 2 .

Ejemplo 9 . Convirtamos el número 0,214 del sistema numérico decimal a SS hexadecimal.

Siguiendo los ejemplos 4 y 5, obtenemos los números 3, 6, 12, 8, 11, 4. Pero en SS hexadecimal, los números 12 y 11 corresponden a los números C y B. Por lo tanto, tenemos:

0,214 10 = 0,36C8B4 16 .

Ejemplo 10 . Convirtamos el número 0,512 del sistema numérico decimal a SS octal.

Recibió:

0.512 10 =0.406111 8 .

Ejemplo 11 . Convirtamos el número 159.125 del sistema numérico decimal al SS binario. Para hacer esto, traducimos por separado la parte entera del número (Ejemplo 4) y la parte fraccionaria del número (Ejemplo 8). Combinando aún más estos resultados obtenemos:

159.125 10 =10011111.001 2 .

Ejemplo 12 . Convirtamos el número 19673.214 del sistema numérico decimal a SS hexadecimal. Para hacer esto, traducimos por separado la parte entera del número (Ejemplo 6) y la parte fraccionaria del número (Ejemplo 9). Además, combinando estos resultados obtenemos.

Las operaciones aritméticas en sistemas numéricos posicionales se realizan mediante un único algoritmo. Por lo tanto, la suma de números binarios se produce según el algoritmo clásico de "columna" con la transferencia de un número múltiplo de dos por uno al siguiente dígito.

Consideremos este algoritmo usando el ejemplo de dos números binarios 1010101 2 y 110111 2:

El resultado de la suma parece 10001100 2. Comprobemos el resultado de la suma convirtiendo todos los números al sistema numérico decimal:

1010101 2 =85 10 , 110111 2 =55 10 , 10001100 2 =140 10 , 85 10 +55 10 =140 10 .

El sistema binario, que es la base de la aritmética informática, es muy engorroso e inconveniente para el uso humano. Por lo tanto, los programadores utilizan dos múltiplos del sistema numérico binario: octal y hexadecimal. En el caso del sistema hexadecimal, faltan los números arábigos y se utilizan como números las primeras seis letras mayúsculas del alfabeto latino. Ejemplos de grabación números naturales del 1 al 16 en cuatro sistemas numéricos se colocan en Tabla 2.

Tabla 2. Ejemplos de escritura de números naturales del 1 al 16

en cuatro sistemas numéricos

De Tablas 2 Se puede observar que en el sistema binario, la grabación de los números del segundo ocho (de 8 a 15) se diferencia de la grabación de los primeros ocho (de 0 a 7) por la presencia de una unidad en el cuarto (derecha). ) dígito. En esto se basa el algoritmo para convertir números binarios en números octales “por tríadas”. Para aplicar este algoritmo, necesitas dividir el número binario en triples de dígitos (contando desde la derecha) y escribir un dígito octal en lugar de cada triplete:

10101101 2 → 10 101 101 → 255 8 .

La terna más a la izquierda puede estar incompleta (como en el ejemplo, para obtener ternas completas, puedes agregar los ceros que faltan a la izquierda);

Asegurémonos de que el algoritmo sea correcto:

10101101 2 → 1*2 7 +1*2 5 +1*2 3 +2*2 1 +1*2 0 =173 10 ;

255 8 →2*2 6 +5*2 3 +5*2 0 =173 10 .

Para convertir números del sistema octal al sistema binario, se utiliza un algoritmo inverso: los dígitos octales se reemplazan por tripletes de dígitos binarios (si es necesario, los ceros faltantes se agregan a la izquierda):

325 8 → 3 2 5 → 11 010 101 → 11010101 2 .

Para convertir números de binario a hexadecimal, se utiliza el algoritmo "por tétrada". La cadena de dígitos binarios se divide en cuádruples y en su lugar se escriben dígitos hexadecimales:

10101101 2 → 1010 1101 → 16 d.C.

Funciona de la misma manera algoritmo inverso: Los dígitos hexadecimales se reemplazan por dígitos binarios cuádruples.

Es más fácil convertir de octal a hexadecimal y viceversa usando el sistema binario:

D5 16 → D 5 →1101 0101 → 11010101 2 → 11 010 101 → 325 8 .

Al realizar tareas de sumar números de diferentes sistemas numéricos, es necesario convertirlos en un solo sistema numérico. Lo mejor es utilizar el sistema en el que se debe presentar el resultado.

Tarea 14. (Versión de demostración de la tarea A6 2004)

Calcula el valor de la suma en notación decimal:

10 2 +10 8 +10 16 = ? 10

Solución.

Convirtamos todos los números a notación decimal:

10 2 +10 8 +10 16 = (1*2 1 +0*2 0) + (1*8 1 +0*8 0) + (1*16 1 +0*16 0) = 2+8+16=26 10 .

Respuesta: 26.

Tarea 15.

Encuentra la suma x+y si x=1110101 2 , y=1011011 2 . Expresa tu respuesta en notación octal.

Solución.

Encontremos la suma: 1110101 2 + 1011011 2:

1110101 2 + 1011011 2 = 11010000 2

Convirtamos el número resultante del sistema numérico binario a octal:

11 010 000 → 320 8 .

Respuesta: 320.

Tarea 16.(Tarea B1 de la demostración de 2004)

En un sistema numérico con alguna base, el número 12 se escribe como 110. Encuentra esta base.

Solución.

Denotemos la base requerida por n. Basado en las reglas para escribir números en notaciones posicionales 110 n =n 2 +n 1 +0. Hagamos una ecuación: n 2 +n=12, encuentre las raíces: n 1 =-4, n 2 =3. La raíz n 1 = -4 no es adecuada, ya que la base del sistema numérico, por definición, es un número natural mayor que uno. Comprobemos si la raíz n=3 es adecuada:

110 3 =1*3 2 +1*3 1 +0=9+3=12 10

Respuesta: 3.

Ejercicio17 .

En la clase 1111 hay 2 niñas y 1100 2 niños. ¿Cuántos estudiantes hay en la clase?

Solución.

1111 2 =1*2 3 +1*2 2 +1*2 1 +1*2 0 →8+4+2+1=15 10 .

1100 2 =1*2 3 +1*2 2 +0*2 1 +0*2 0 →8+4=12 10

15 10 +12 10 =27 10

Respuesta: Hay 27 estudiantes en la clase.

Ejercicio18 .

Hay 100 árboles frutales en el jardín, de los cuales 33 son manzanos, 22 son perales, 16 son ciruelos y 5 son cerezos. ¿En qué sistema numérico se cuentan los árboles?

Solución.

100 x = 33 x + 22 x + 16 x + 5 x

1*x 2 =3*x 1 +3*x 0 +2*x 1 +2*x 0 + 1*x 1 +6*x 0 +5*x 0

x 2 =3x+3+2x+2+ 1x+6+5

D=b 2 -4ac=36+4*16=36+64=100

x 1,2 =
= (6±10)/2

x 1 = - 2 – no satisface el significado del problema,

x 2 = 8 – la base del sistema numérico deseado.

Respuesta: los árboles se cuentan en el sistema numérico octal.

Ejercicio19 .

Separados por comas, en orden ascendente, indican todas las bases de los sistemas numéricos en los que el número 17 termina en 2.

Solución.

El último dígito de un número es el resto cuando el número se divide por la base del sistema numérico. Como 17-2=15, entonces las bases requeridas de los sistemas numéricos serán divisores de 15, estos son: 3, 5, 15.

Comprobemos nuestra respuesta representando el número 17 en los sistemas numéricos correspondientes:

Nos encontramos con el sistema numérico binario cuando estudiamos disciplinas informáticas. Después de todo, es sobre la base de este sistema que se construyen el procesador y algunos tipos de cifrado. Hay algoritmos especiales para grabar numero decimal en el sistema binario y viceversa. Si conoce el principio de construcción de un sistema, no le resultará difícil operar en él.

El principio de construir un sistema de ceros y unos.

sistema de números binarios construido usando dos dígitos: cero y uno. ¿Por qué exactamente estos números? Esto se debe al principio de construcción de las señales que se utilizan en el procesador. En su nivel más bajo, la señal toma sólo dos valores: falso y verdadero. Por lo tanto, era costumbre denotar la ausencia de una señal, "falsa", con cero, y su presencia, "verdadera", con uno. Esta combinación es fácil de implementar técnicamente. Los números en el sistema binario se forman de la misma forma que en el sistema decimal. Cuando un dígito alcanza su límite superior, se restablece a cero y se agrega un nuevo dígito. Este principio se utiliza para desplazarse por una decena en el sistema decimal. Así, los números se forman a partir de combinaciones de ceros y unos, y a esta combinación se le llama “sistema numérico binario”.

¿Cómo escribir un número binario como un número decimal?

Hay servicios en línea que convierten números en sistema binario y viceversa, pero es mejor poder hacerlo tú mismo. Cuando se traduce, el sistema binario se indica con el subíndice 2, por ejemplo, 101 2. Cada número en cualquier sistema se puede representar como una suma de números, por ejemplo: 1428 = 1000 + 400 + 20 + 8 - en el sistema decimal. El número también se representa en binario. Tomemos un número arbitrario 101 y consideremoslo. Tiene 3 dígitos, por lo que organizamos el número en orden de esta manera: 101 2 =1×2 2 +0×2 1 +1×2 0 =4+1=5 10, donde el índice 10 denota el sistema decimal.

¿Cómo escribir un número primo en binario?

Es muy fácil convertir al sistema numérico binario dividiendo el número entre dos. Es necesario dividir hasta que sea posible completarlo por completo. Por ejemplo, toma el número 871. Empezamos a dividir, asegurándonos de anotar el resto:

871:2=435 (resto 1)

435:2=217 (resto 1)

217:2=108 (resto 1)

La respuesta se escribe según los restos resultantes en el sentido de final a principio: 871 10 =101100111 2. Puede comprobar la exactitud de los cálculos utilizando transferencia inversa, descrito anteriormente.

¿Por qué necesitas conocer las reglas de traducción?

El sistema numérico binario se utiliza en la mayoría de las disciplinas relacionadas con la electrónica de microprocesadores, la codificación, la transmisión y cifrado de datos y en diversas áreas de la programación. El conocimiento de los conceptos básicos de la traducción de cualquier sistema a binario ayudará al programador a desarrollar varios microcircuitos y controlar el funcionamiento del procesador y otros. sistemas similares programáticamente. El sistema numérico binario también es necesario para implementar métodos para transmitir paquetes de datos a través de canales cifrados y crear proyectos de software cliente-servidor basados ​​​​en ellos. En un curso escolar de informática, los conceptos básicos de la conversión al sistema binario y viceversa son el material básico para estudiar programación en el futuro y crear programas simples.

Convertir números de un sistema numérico a otro es una parte importante de la aritmética mecánica. Consideremos las reglas básicas de traducción.

1. Para traducción número binario en decimal es necesario escribirlo en forma de polinomio, formado por el producto de los dígitos de un número y la correspondiente potencia de 2, y calcularlo según las reglas de la aritmética decimal:

A la hora de traducir conviene utilizar la tabla de potencias de dos:

Tabla 4. Potencias del número 2

Ejemplo.

2. Para traducción número octal en decimal es necesario escribirlo en forma de polinomio, formado por el producto de los dígitos del número y la potencia correspondiente del número 8, y calcularlo según las reglas de la aritmética decimal:

A la hora de traducir conviene utilizar la tabla de potencias de ocho:

Tabla 5. Potencias del número 8

Ejemplo. Convierte el número al sistema numérico decimal.

3. Para traducción número hexadecimal en decimal se debe escribir como un polinomio, formado por el producto de los dígitos del número y la potencia correspondiente del número 16, y calcularse según las reglas de la aritmética decimal:

Al traducir, es conveniente utilizar bombardeo de poderes del número 16:

Tabla 6. Potencias del número 16

Ejemplo. Convierte el número al sistema numérico decimal.

4. Para convertir un número decimal al sistema binario, se debe dividir secuencialmente entre 2 hasta que quede un resto menor o igual a 1. Un número en el sistema binario se escribe como una secuencia del resultado de la última división y los restos de. la división en orden inverso.

Ejemplo. Convierte el número al sistema numérico binario.

5. Para convertir un número decimal a sistema octal se debe dividir sucesivamente entre 8 hasta que quede un resto menor o igual a 7. Un número en el sistema octal se escribe como una secuencia de dígitos del resultado de la última división y los restos de la división en orden inverso.

Ejemplo. Convierte el número al sistema numérico octal.

6. Para convertir un número decimal a sistema hexadecimal se debe dividir sucesivamente entre 16 hasta que quede un resto menor o igual a 15. Un número en hexadecimal se escribe como una secuencia de dígitos del resultado de la última división y los restos de la división en orden inverso.

Ejemplo. Convierta el número al sistema numérico hexadecimal.