Cinco tarjetas contienen números del uno al cinco. Aleatorio. ¿Los eventos A, B, C forman un grupo completo? construye su gráfica
16. Las letras están escritas en cinco tarjetas idénticas. I, K, M, N, S. Las cartas se barajan y se colocan al azar en una fila. ¿Cuál es la probabilidad de que funcione? ¿MINSK?
Respuesta: 1/120
17. De las letras de la palabra. rotor, compuesto utilizando un alfabeto dividido, se seleccionan aleatoriamente 3 letras de forma secuencial y se colocan en una fila. ¿Cuál es la probabilidad de que salga la palabra? ¿toro?
Respuesta: 1/15
18 . Las letras de la palabra están escritas en seis tarjetas de la misma forma y tamaño. talento- una letra en cada tarjeta. Las cartas están bien mezcladas. Se sacan al azar y se colocan sobre la mesa uno tras otro. ¿Cuál es la probabilidad de volver a conseguir la palabra? ¿talento?
Respuesta: 1/180
19. El inspector, al comprobar la calidad de 400 productos, encontró que 20 de ellos pertenecían al segundo grado, el resto al primero. Encuentre la frecuencia de productos de segundo grado.
Respuesta: 0,05
20. En un lote de 10 piezas, 7 son estándar. Encuentre la probabilidad de que entre 6 piezas tomadas al azar, 4 sean estándar.
Respuesta: 0,5
21. Entre 25 estudiantes de un grupo de 10 niñas se sortean 5 billetes. Calcula la probabilidad de que haya 2 niñas entre los poseedores de boletos.
Respuesta: 0,385
22. Una caja contiene 15 bolas rojas, 9 azules y 6 verdes. Se extraen 6 bolas al azar. ¿Cuál es la probabilidad de que se tomen 1 bola verde, 2 azul y 3 roja?
Respuesta: 0,17
23. Hay 15 bolas en una caja, de las cuales 5 son azules y 10 rojas. Se seleccionan 6 bolas al azar. Calcula la probabilidad de que entre las bolas extraídas haya 2 azules.
Respuesta: 0,4196
24. Los dados se lanzan 10 veces. ¿Cuál es la probabilidad de que en este caso los bordes 1,2,3,4,5,6 aparezcan 2,3,1,1,1,2 veces, respectivamente?
Respuesta: 0,002
25. Las letras están escritas en 5 tarjetas idénticas. B, E, R, S, T. Estas cartas se colocan aleatoriamente en una fila. ¿Cuál es la probabilidad de que salga la palabra? ¿BREST?
Respuesta: 1/120
26. Hay 4 bolas azules y 5 rojas en una caja. Se extraen 2 bolas al azar de la caja. Calcula la probabilidad de que estas bolas sean de diferentes colores.
Respuesta: 5/9
27. Hay 4 mujeres y 3 hombres en la brigada. Se sortean 4 entradas para el teatro entre brigadistas. ¿Cuál es la probabilidad de que entre los poseedores de boletos haya 2 mujeres y 2 hombres?
Respuesta: 18/35
28. Hay 10 bolas en una caja, de las cuales 2 son blancas, 3 son rojas y 5 son azules. Se extraen 3 bolas al azar. Calcula la probabilidad de que las 3 bolas sean de diferentes colores.
Respuesta: 0,25
29. Las letras están escritas en cinco tarjetas idénticas. l, m, o, o, t.¿Cuál es la probabilidad de que, quitando las tarjetas una a la vez, obtengamos la palabra en el orden en que aparecieron? ¿martillo?
Respuesta: 1/60
30. De un lote que contiene 10 productos, de los cuales 3 son defectuosos, se seleccionan 3 productos al azar. Encuentre la probabilidad de que un producto de la muestra resultante sea defectuoso.
Respuesta: 21/40
31. De 10 boletos, 2 ganan ¿Cuál es la probabilidad de que entre 5 boletos tomados al azar, uno gane?
Respuesta: 5/9
32. De 500 piezas tomadas al azar, 8 estaban defectuosas. Encuentre la frecuencia de piezas defectuosas.
Respuesta: 0,016
33. Se lanza el dado 60 veces, mientras seis Apareció 10 veces. ¿Cuál es la frecuencia de ocurrencia? seises?
Respuesta: 1/6
34. Entre 1.000 recién nacidos había 515 niños. ¿Cuál es la tasa de natalidad de los niños?
Respuesta: 0,515
35. Como resultado de 20 disparos al objetivo, se obtuvieron 15 aciertos. ¿Cuál es la tasa de aciertos?
Respuesta: 0,75
36 . Al disparar a un objetivo, la frecuencia de acierto es W=0,75. Calcula el número de aciertos con 40 disparos.
Respuesta: 30
37. Frecuencia de germinación normal de semillas W=0,97. De las semillas sembradas
970 germinaron. ¿Cuántas semillas se sembraron?
Respuesta: 1000
38. En un segmento de la serie natural del 1 al 20, encuentra la frecuencia de los números primos.
Tarea 1. Las letras p, p, s, o, t están escritas en 5 cartas del alfabeto cortado. Las cartas barajadas se sacan al azar una a la vez y se organizan en una línea. ¿Cuál es la probabilidad de leer la palabra "deporte"?
Solución. La probabilidad requerida del evento. A(puedes leer la palabra “deporte”) estará determinado por la fórmula. Aquí el número total de resultados posibles es el número de permutaciones de 5 elementos. Los resultados favorables corresponden a una palabra "deporte", es decir De este modo, 
.
Tarea 2. De 9 cartas numeradas con números diferentes, se eligen 3 al azar Calcula la probabilidad de que. grabación secuencial sus números muestran un aumento.
Solución. Los números de tres dígitos (tripletes ordenados de elementos de 9 dígitos) son disposiciones del 9 al 3, es decir . Número de resultados favorables. Por tanto, la probabilidad deseada es .
Tarea 3. Entre 17 estudiantes de un grupo de 9 niños, se sortean 7 billetes de lotería y cada estudiante puede elegir sólo un billete. ¿Cuál es la probabilidad de que haya 4 niñas entre los poseedores de boletos?
Solución. Denotemos el evento A– entre los 7 poseedores de entradas habrá 4 chicas. El número de formas igualmente posibles de elegir 7 personas entre 17 es igual a 
.
El número de resultados favorables, es decir, el número de muestras de 7 en las que se combinan 4 niñas con 3 niños, está determinado por la regla del producto. Entonces la probabilidad deseada 
.
Tarea 4. La sección de tiendas recibió 10 bicicletas, 4 de las cuales estaban defectuosas. Tomados al azar 3. Encuentre la probabilidad de que entre los tomados haya: a) todos sin defectos; b) todos de la misma calidad.
Solución. a) Evento A– los 3 tomados al azar de 10 bicicletas sin defectos. Número de resultados posibles. Se pueden seleccionar tres bicicletas sin defectos entre 6 métodos disponibles. Probabilidad requerida 
.
b) Evento EN– las 3 bicicletas son de la misma calidad, es decir o 3 utilizables, o 3 con defectos. Se pueden seleccionar tres buenos de 6 de diferentes formas, y 3 con defectos se pueden seleccionar de 4 formas disponibles. El número total de formas de seleccionar 3 bicicletas de la misma calidad usando la regla de la suma es . Por eso, .
Tarea 5. Se lanza una aguja fina (punta) sobre un segmento. . ¿Cuál es la probabilidad de que llegue al segmento?
Solución. Según la condición, la aguja puede caer en cualquier punto del segmento especificado. EN en este caso Es imposible enumerar todos los puntos de un segmento. Usemos la definición geométrica y elijamos la longitud del segmento como medida. El evento que nos interesa se ve favorecido por la situación en la que la aguja cae en cualquier punto del segmento. Entonces .
Tareas a reportar al profesor
Un 1.1. Las letras k, a, p, e, t, a están escritas en 6 tarjetas. Después de que estén bien mezcladas, toma 1 carta al azar y colócalas secuencialmente una al lado de la otra. ¿Cuál es la probabilidad de que salga la palabra "cohete"?
Un 1.2. La palabra "estadísticas" se presenta a partir del alfabeto dividido. Luego, todas las letras de esta palabra se mezclan y se vuelven a colocar en orden aleatorio. ¿Cuál es la probabilidad de que vuelva a aparecer la palabra "estadísticas"?
Un 1.3. La palabra "triángulo" proviene del alfabeto dividido. Un niño que no sabe leer esparció estas letras, luego eligió 4 de ellas y las recopiló en orden aleatorio. Encuentre la probabilidad de que tenga las palabras: a) “timón”; b) "ángulo".
Un 1.4. El número de teléfono consta de 7 dígitos. ¿Cuál es la probabilidad de que en él: a) todos los números sean diferentes; b) todos los números son impares; c) ¿son todos los números pares y diferentes?
Un 1,5. Se transmiten 30 caracteres del alfabeto en orden aleatorio a través de la línea de comunicación. Encuentre la probabilidad de que aparezca en la cinta una secuencia de letras que forman la palabra “modo”.
Un 1.6. Mientras marcaba un número de teléfono, el suscriptor olvidó los dos últimos dígitos y, recordando sólo que eran diferentes, marcó estos números al azar. ¿Cuál es la probabilidad de que numero deseado?
Un 1.7. Tres personas entraron al ascensor de un edificio de siete pisos en el primer piso. Cada uno de ellos tiene la misma probabilidad de salir en cualquiera de los pisos, a partir del segundo. Encuentre la probabilidad de los siguientes eventos: a) todos los pasajeros bajarán en el 4to piso; b) todos los pasajeros desembarcarán al mismo tiempo (en el mismo piso); c) todos los pasajeros se bajarán en pisos diferentes.
Un 1.8. La caja contiene 4 cubos numerados idénticos. Al azar, uno por uno, retira todos los cubos de la caja. Calcula la probabilidad de que los números de los cubos extraídos aparezcan en orden ascendente.
Un 1.9. Se elige al azar un número de cinco cifras. ¿Cuál es la probabilidad de que ocurran los siguientes eventos: a) el número se lee igualmente tanto de izquierda a derecha como de derecha a izquierda (por ejemplo, 12321); b) el número es múltiplo de 5; c) el número consta de dígitos impares.
Un 1.10. Están previstas 3 conferencias el lunes en el instituto. varios temas de cada 10 estudiados en este curso. ¿Cuál es la probabilidad de que un estudiante que no ha tenido tiempo de familiarizarse con el horario adivine si cualquier horario de 3 materias es igualmente posible?
Un 1.11. De conjunto completo dominó (28 piezas) Se eligen 7 dados al azar. ¿Cuál es la probabilidad de que entre ellos haya: a) al menos un dado de 5 puntos; b) al menos un dado con 5 o 6 puntos?
Un 1.12. A partir de las primeras 10 letras del alfabeto ruso, se compila al azar un nuevo alfabeto que consta de 5 letras. Determine la probabilidad de los siguientes eventos: a) el nuevo alfabeto incluye la letra “a”; b) el nuevo alfabeto incluye sólo letras consonantes.
Un 1.13. Entre los candidatos al consejo estudiantil de la facultad se encuentran 3 estudiantes de primer año, 5 estudiantes de segundo año y 7 estudiantes de tercer año. De esta composición, se seleccionan al azar 5 personas para la conferencia. Encuentre la probabilidad de los siguientes eventos: a) solo se seleccionarán estudiantes de tercer año; b) todos los estudiantes de primer año asistirán a la conferencia; c) no se seleccionará ni un solo estudiante de segundo año.
Un 1.14. De una baraja de 52 cartas se extraen 4 cartas al azar. Encuentre la probabilidad de los siguientes eventos: a) se seleccionan todas las cartas del palo de trébol; b) se elige al menos un rey.
Un 1,15. Dos barcos deben acercarse al mismo muelle. Los horarios de llegada de ambos barcos son independientes e igualmente posibles durante un día determinado. Determine la probabilidad de que uno de los barcos de vapor tenga que esperar a que se libere el atraque si el tiempo de permanencia del primer barco es de 1 hora y el del segundo de 3 horas.
Un 1.16. 12 opciones están escritas en tarjetas separadas. trabajo de prueba, que se distribuyen aleatoriamente entre 10 estudiantes sentados en la misma fila. Encuentre la probabilidad de los siguientes eventos: a) las opciones numeradas 4 y 5 quedarán sin usar; b) las opciones 5 y 10 serán para los estudiantes sentados a su lado; c) será distribuido números secuenciales opciones.
Un 1.17. Entre 10 estudiantes que hacen cola al azar para recibir libros de texto en la biblioteca, hay 2 amigos. ¿Cuál es la probabilidad de que haya 4 personas en la cola entre amigos?
Un 1,18. Del número total de fichas de dominó, se seleccionó 1 ficha al azar. Resultó que esto no era un doble. ¿Cuál es la probabilidad de que la segunda ficha de dominó extraída se pueda colocar sobre la primera ficha de dominó?
Un 1.19. Hay una cerradura con código en la entrada de la casa. La puerta se abre automáticamente si marca 2 dígitos de los 10 disponibles en secuencia. Alguien entró en la entrada y, sin saber el código, empezó a intentarlo. varias combinaciones, dedicando 10 segundos a cada intento. ¿Cuál es la probabilidad de que la persona que entra pueda abrir la puerta: a) en 10 minutos; b) en 15 minutos; c) en 1 hora?
Un 1,20. EN guía telefónica Se selecciona aleatoriamente un número de teléfono de 7 dígitos. Encuentre la probabilidad de que: a) los últimos cuatro dígitos número de teléfono son iguales; b) los cuatro últimos dígitos son diferentes.
Un 1.21. La caja contiene 15 piezas, 9 de las cuales están pintadas. El ensamblador selecciona aleatoriamente 3 piezas. Encuentre la probabilidad de que las partes extraídas estén coloreadas.
Un 1,22. Un grupo de 8 niños y 8 niñas se divide aleatoriamente en 2 partes iguales. Calcula la probabilidad de que haya igual número de niños y niñas en cada parte.
Un 1,23. Se lanzan dos dados. Calcula la probabilidad de que la suma de los puntos extraídos sea igual a 8 y la diferencia sea 4.
Un 1,24. Los números 1, 2, 3, 4, 5 están escritos en 5 cartas. Se extraen dos de ellas una tras otra. Calcula la probabilidad de que el número de la segunda carta sea mayor que el número de la primera.
Un 1,25. El programa de exámenes contiene 20 preguntas diferentes, de las cuales el alumno sólo conoce 10. Para aprobar con éxito el examen, basta con responder 2 de las 3 preguntas propuestas. ¿Cuál es la probabilidad de aprobar el examen?
Un 1,26. El alumno conoce 20 de las 25 preguntas del programa. La prueba se considera superada si el alumno responde al menos a 3 de las 4 preguntas del billete. Al mirar la primera pregunta del billete, el estudiante descubrió que lo sabía. ¿Cuál es la probabilidad de que el estudiante: a) apruebe el examen; b) ¿no pasará la prueba?
Un 1,27. Hay 100 billetes en la lotería. De ellos, 25 están ganando. Determine la probabilidad de que ganen 2 boletos comprados.
Un 1,28. El registro de la calculadora contiene 8 dígitos. Suponiendo que la aparición de cualquier número en el registro es aleatoria, determine la probabilidad de los siguientes eventos: a) todos los dígitos contienen ceros; b) todos los dígitos contienen los mismos números; c) el registro contiene sólo 2 dígitos idénticos; d) el registro contiene sólo 2 pares de dígitos idénticos; e) el registro contiene 3 dígitos idénticos.
Un 1,29. De 7 manzanas, 3 naranjas y 5 limones, se seleccionan al azar 5 frutas en una bolsa. Encuentre las probabilidades de los siguientes eventos: a) solo hay 1 naranja en la bolsa; b) el paquete no contiene naranjas; c) el paquete no contiene limones; d) el paquete no contiene manzanas.
Y las 1.30. 6 son sorteados publicaciones por suscripción entre 12 participantes, cada uno de los cuales no puede recibir más de 1 suscripción. Encuentre la probabilidad de que las siguientes personas de la lista reciban una suscripción: a) las primeras 6 personas; b) las 3 primeras personas; c) 1ª persona; d) 1ª y 3ª persona.
Un 1,31. Se lanzan 3 dados al azar. Calcula las probabilidades de los siguientes eventos: a) 3 dados tendrán caras diferentes; b) al menos uno de los dados arrojará un seis.
Un 1,32. Una caja contiene 12 lápices rojos, 8 verdes y 10 azules. Se retiran 2 lápices al azar sin devolverlos. Encuentre la probabilidad de que no se saque lo siguiente: a) un lápiz azul; b) lápiz verde; c) lápiz rojo.
Un 1,33. El estudiante sabe 14 preguntas de 20. Hay 3 preguntas en el boleto. Encuentre la probabilidad de que el estudiante responda al menos una de ellas.
Un 1,34. Un cuadrado está inscrito en un círculo. Calcula la probabilidad de que un punto lanzado al azar dentro de un círculo termine dentro del cuadrado.
Un 1,35. Las torres blancas y negras se colocan aleatoriamente en el tablero de ajedrez. ¿Cuál es la probabilidad de que no puedan golpearse entre sí?
Un 1,36. Al marcar un número de teléfono, el suscriptor olvidó los dos últimos dígitos y los marcó al azar, recordando solo que estos números son impares y diferentes. Calcula la probabilidad de que el número se marque correctamente.
Un 1,37. Las letras están escritas por separado en las tarjetas: A– por 3;
mi– el día 1; Y– el día 1; A– el día 1; METRO– por 2; t– en 2 cartas.
El niño toma las cartas en orden aleatorio y las coloca una al lado de la otra. Encuentre la probabilidad de que el resultado sea la palabra " MATEMÁTICAS».
Un 1,38. Se asignan aleatoriamente a la formación 10 reclutas de diferentes alturas. ¿Cuál es la probabilidad de que se clasifiquen según su altura?
Un 1,39. Entre los relojes recibidos para reparación, el 40% requiere una limpieza general del mecanismo. ¿Cuál es la probabilidad de que de 5 relojes tomados al azar, todos necesiten limpieza?
Un 1,40. De las 20 cajas de ahorros, 10 están ubicadas fuera de la ciudad. Se seleccionaron aleatoriamente 5 cajas de ahorros para la auditoría. ¿Cuál es la probabilidad de que al menos 2 de ellos estén dentro de la ciudad?
En 1.1. El mecanismo incluye tres partes idénticas. El funcionamiento del mecanismo se ve interrumpido si durante su montaje se suministran las tres piezas de un tamaño superior a las indicadas en el dibujo. El ensamblador tiene cinco piezas de las 12 restantes. tamaño más grande. Encuentre la probabilidad: a) normal; b) funcionamiento anormal del primer mecanismo ensamblado a partir de estas piezas, si el ensamblador toma las piezas al azar.
En 1.2. El mecanismo incluye tres partes idénticas. El funcionamiento del mecanismo se ve interrumpido si, durante su montaje, se suministran las tres piezas, grandes o las tres piezas más pequeñas que el tamaño indicado en el dibujo. Al ensamblador le quedan 15 piezas, de las cuales 10 son de mayor tamaño y el resto son más pequeñas de lo requerido. Encuentre la probabilidad de funcionamiento anormal del primer mecanismo ensamblado a partir de estas piezas si el ensamblador toma las piezas al azar.
En 1.3. Cuando se recibe un lote de productos, se controla la mitad de los productos. La condición de aceptación es la presencia de defectos en la muestra no más del 2%. Calcule la probabilidad de que se acepte un lote de 100 productos que contengan un 5% de defectos.
En 1.4. Palabra " INTEGRAL" consta de letras del alfabeto dividido. Se extraen 4 cartas al azar y se colocan en fila, una tras otra, en orden de aparición. ¿Cuál es la probabilidad de que esto resulte en la palabra “ JUEGO»?
En 1.5.A», « GRAMO», « Y», « l», « METRO», « ACERCA DE», « R», « t", la palabra " ALGORITMO»?
En 1.6.¿Cuál es la probabilidad de que, dada una disposición aleatoria de cubos con las letras " ACERCA DE», « ACERCA DE», « ACERCA DE», « l», « METRO», « t», « A", la palabra " MARTILLO»?
En 1.7. De cinco tipos de postales, se seleccionan 3 postales al azar. ¿Cuál es la probabilidad de que las tres cartas sean diferentes?
En 1.8. Los números están escritos en 5 bolas idénticas. 1 , 2 , 3 , 4 , 5 - uno para cada uno. Las bolas se colocan en una urna y se mezclan. ¿Cuál es la probabilidad de que, al sacar 3 bolas al azar, una tras otra (sin regresar), obtengamos las 3 bolas de un número impar?
En 1.9. Hay 12 estudiantes en el grupo, incluidos 10 niños y 2 niñas. Se seleccionan 5 personas para la limpieza. ¿Cuál es la probabilidad de que ambas niñas participen en el evento de limpieza?
Se seleccionan tres cartas de esta manera y se colocan en orden.
Llegadas seguidas de izquierda a derecha. Encuentra las probabilidades de eventos:
a) aparecerá el número 123;
b) aparecerá un número que no contiene el número 3;
c) aparecerá un número formado por dígitos consecutivos;
d) aparecerá un número par.
Problema 2
Sujeto:Álgebra de eventos. Acciones sobre eventos
(justifique la respuesta formulada)
Se efectuaron dos disparos contra el objetivo. ¿Los eventos forman:
A = (golpe al objetivo);
B = (al menos un disparo no tuvo éxito)
grupo completo? ¿Son estos eventos incompatibles?
El evento B es:.
¿Cuál es el evento opuesto?
?
El evento B es un caso especial del evento A.
¿Cuáles son su suma y producto?
Lanzar un dado. ¿Los eventos forman un grupo completo?
A = (obteniendo un número par de puntos);
B = (al sacar un número mayor o igual a cinco);
C = (tirando uno)?
Se lanzan dos monedas. Eventos considerados:
A = (dos escudos de armas);
B = (dos dígitos);
C = (escudo que aparece en la segunda moneda).
¿Los eventos A, B, C forman un grupo completo?
¿Son compatibles los eventos B y C?
¿Bajo qué condición se cumple la igualdad: A+B+C = B?
El evento A es un caso especial del evento B.
¿Cuál de las siguientes igualdades es verdadera?· A+B=A; A· B=A; A+B=A
¿B?
Se lanzan dos dados. Eventos considerados: 1 A
Se lanzan dos dados. Eventos considerados: 2 = (ambos dados son seises);
Se lanzan dos dados. Eventos considerados: 3 = (no hay seises en ningún cubo);
= (en un dado hay un seis, en el otro no).
¿Estos eventos forman un grupo completo?
¿Cuáles son compatibles y cuáles no?
Sean A, B, C eventos aleatorios.· ¿Bajo qué condición se cumple la igualdad? A· B
¿C=B?
Se lanzan tres monedas seguidas. Definir dependiente
o ningún evento: A = (el escudo aparece en la primera moneda);
B = (se elimina al menos un dígito)?
Problema 3 : Sujeto
Teoremas de suma y multiplicación de probabilidad
Verificar la calidad de los productos. Para cada uno de ellos, la probabilidad de que sea de primer grado es 0,3. Encuentre la probabilidad de que de tres productos probados solo uno sea de primera clase.–Al fabricar una pieza, la pieza debe pasar por cuatro operaciones. La probabilidad de defectos en la primera operación es 0,02; en el segundo–0,01; en el tercero– 0,03 .
0,02; en el cuarto- La aparición de defectos en cada una de las operaciones.
eventos independientes.
Encuentre la probabilidad de fabricar una pieza no estándar.
El taller dispone de 4 máquinas. Para cualquiera de ellos, la probabilidad de fallo es 0,1. Encuentre la probabilidad de que exactamente una máquina esté defectuosa en un momento dado.
Hay 4 taquillas en el punto de venta de billetes de tren. Para cualquiera de ellos, la probabilidad de que la caja registradora esté libre en ese momento es 0,2.
Encuentre la probabilidad de que un pasajero que llegue pueda comprar un boleto sin tener que hacer fila.
El indicador de objetivo consta de tres sensores. Probabilidad de detección
el objetivo para cualquiera de los sensores es 0,7. Encuentre la probabilidad de que el objetivo sea detectado si el indicador se enciende cuando se activan al menos dos sensores.
Hay dos cajas con bolas de colores. En el primero hay 7 rojos y 3 blancos; en el segundo hay 4 rojos y 6 blancos. Se saca una bola de cada caja. Calcula la probabilidad de que entre ellos haya uno rojo y otro blanco.
Tres atletas participan en competiciones clasificatorias. Probabilidad
que el primero pase con éxito la selección y entre en la selección nacional es 0,8; para el segundo, la probabilidad es 0,6; para el tercero - 0,5. Encuentre la probabilidad de que al menos uno de estos atletas forme parte del equipo.
La probabilidad de que un alumno apruebe el primer examen es 0,6;
segundo- 0,9; tercero- 0.8. Encuentre la probabilidad de que haya al menos dos
aprobará los exámenes.
Problema 4
La fiabilidad de los elementos que lo componen se indica en el diagrama.
4. 2
Problema 5
Problema 3: Fórmula de probabilidad total y fórmula de Bayes
Para llegar al trabajo, un empleado puede elegir tres rutas.
El primero es el más corto, pero existe el riesgo de llegar tarde.
igual a 0,25. Al elegir el segundo, la probabilidad de llegar tarde es de 0,15. En la tercera ruta, la más larga, esta probabilidad es 0,05. Una persona elige la primera vía en el 60% de los casos, la segunda, en el 30% de los casos. ¿Cuál es la probabilidad de que llegue a tiempo a trabajar hoy?
La tienda vende productos similares de tres empresas en
cantidades iguales. Para los productos fabricados por la primera empresa,
la probabilidad de un defecto es 0,1; para productos de una segunda empresa–0,05; para productos de una tercera empresa–0,02. El producto tomado al azar resultó defectuoso. ¿Cuál es la probabilidad de que lo haya fabricado la primera empresa?
El alumno ha aprendido 20 billetes de 30. ¿Qué le conviene más, ir a contestar primero, segundo o tercero?
Tres tiradores disparan cada uno un tiro al mismo objetivo. Probabilidad de aciertos: primero- 0,7; segundo- 0,9; tercero- 0,8.
Había dos agujeros en el objetivo. ¿Cuál es la probabilidad de que el segundo tirador haya fallado?
Un grupo de 30 estudiantes va a realizar un examen de teoría de la probabilidad.
Diez de ellos estudiaron todo el material y por lo tanto para ellos la probabilidad
aprobar el examen es del 90%. Doce personas han estudiado el 75% de las preguntas y tienen un 60% de posibilidades de aprobar el examen. El resto acude al examen sin haber estudiado casi nada, por lo que su probabilidad de aprobar el examen es 0,001. ¿Cuál es la probabilidad de que un estudiante tomado al azar apruebe el examen?
El control de calidad lo llevan a cabo dos inspectores. El primero controla el 60% de los productos, el segundo- 40%. El primer controlador tiene una probabilidad
omitir un defecto es 0,02, el segundo es 0,01. De los productos que ya habían pasado la inspección, se escogió uno al azar y resultó defectuoso. ¿Cuál es la probabilidad de que el primer inspector no detectara el defecto?
Hay una bola de color desconocido en la caja.- con igual probabilidad blanco o negro.
Se introduce una bola blanca en ella y luego se
Después de mezclar bien, saque una bola al azar. Resultó ser blanco. ¿Cuál es la probabilidad de que la bola que queda en la urna también sea blanca?
La planta recibe materias primas de tres proveedores. La probabilidad de producir productos de alta calidad a partir de materias primas suministradas por los primeros.
ellos, igual a 0,75; de materias primas producidas por el segundo, -0,9; tercero - 0,8. El almacén contiene el 40% de los paquetes del primer proveedor; 25% - del segundo y 35% del tercero. ¿Cuál es la probabilidad de que se fabriquen productos de alta calidad a partir de envases tomados al azar del almacén?
El sistema consta de dos bloques que funcionan y fallan independientemente uno del otro, y para su funcionamiento es necesario que el
ambos bloques. Para el primero de ellos, la probabilidad de funcionamiento sin fallos es 0,8, para el segundo -0,9. El sistema fue probado y falló. ¿Cuál es la probabilidad de que haya sido el segundo elemento el que falló?
Hay dos cajas con bolas de colores.
En el primero hay 6 blancos y 4 negros. En el segundo hay 3 blancos y 2 negros. De la segunda casilla al azar
Saca dos bolas y mételas en la primera. Luego se extrae una bola al azar de la primera. ¿Cuál es la probabilidad de que sea negro?
Problema 6
Elaborar una ley de distribución para una variable aleatoria,
especificado en el enunciado del problema
La probabilidad de acertar el primer tiro es 0,7; en el segundo -0,9;- tercero - 0,8. La variable aleatoria X es el número de aciertos en tres disparos.
Variable aleatoria X- la suma del número de puntos obtenidos en dos dados.
Variable aleatoria X- el número de escudos que aparecen al lanzar tres monedas.- 0,9; tercero- El dispositivo consta de tres elementos que funcionan y fallan de forma independiente uno del otro. Fiabilidad de los elementos: primero.- 0,6; segundo
0.8. Variable aleatoria X - número de elementos fallidos.
La probabilidad del tirador de acertar de un solo tiro es 0,7. Le dan munición hasta el primer fallo. Variable aleatoria X
Número de cartuchos utilizados.- Una caja contiene 5 bolas rojas, 7 blancas y 8 negras. Se extraen tres bolas al azar. La variable aleatoria X es el número de bolas blancas extraídas.
Se lanzan tres dados. Variable aleatoria X- número de seises lanzados.
Hay 8 productos de calidad y dos defectuosos en el lote. Se seleccionan tres al azar. Variable aleatoria X% el número de defectuosos entre ellos.- Al estudiante se le hacen preguntas hasta la primera respuesta incorrecta. a los 80
él sabe las respuestas a las preguntas. Variable aleatoria X- número de preguntas formuladas.
Hay un 10% de defectos en un lote de piezas. Tome 4 partes al azar. Variable aleatoria X
Problema 3: Ley de distribución de una variable aleatoria discreta
Discreto variable aleatoria dadocerca de distribución .
Necesario:
Registre la probabilidad faltante.
Anota los valores de la función de distribución F(x) en los puntos indicados.
Escriba la función de distribución para cualquier valor del argumento,
construye su gráfica.
Calcule las características numéricas de una variable aleatoria:
metro incógnita , metro oh , D incógnita , s incógnita .
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incógnita i | |||||||||
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pag i |
P(X=2); P(X=9); P(X<5); P(X>8); P(4
F(0); F(4);
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incógnita i | |||||||||
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pag i |
F(10); F(40).<8); P(X>P(X=9); P(X=4); P(X
2); PAG(5F(–3);
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incógnita i | |||||||||
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pag i |
F(6);<3); P(X>F(12); F(70).
P(X=5); P(X=7); P(X
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incógnita i | |||||||||
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pag i |
6); P(2<10); P(X>F(–8); F(5);
F(12); F(35).
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incógnita i | |||||||||
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pag i |
P(X=11); P(X=0); P(X<7); P(X>P(X=9); P(X=4); P(X
4); PAG(5
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incógnita i | |||||||||
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pag i |
F(–5); F(6);<8); P(X>F(11); F(90).
P(X=12); P(X=6); P(X
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incógnita i | |||||||||
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pag i |
F(–1); F(5);<8); P(X>F(8); F(90).
P(X=3); P(X=5); P(X
|
incógnita i | |||||||||
|
pag i |
6); PAG(3<10); P(X>F(–4); F(5);
F(11); F(37).
|
incógnita i | |||||||||
|
pag i |
P(X=1); P(X=7); P(X<6); P(X>5); P(6
F(2); F(7);
|
incógnita i | |||||||||
|
pag i |
F(12); F(45).<6); P(X>P(X=4); P(X=9); P(X
7)P(2
F(5); F(11);
Problema 3F(15); F(45).
P(X=3); P(X=15);P(X9); P(2F(–5); F(6);F(11); F(33).P(X=1); P(X=12); P(X
Necesario:
7); PAG(3
F(1); F(8);
F(12); F(20).
Problema 8<2);
P(X>: Función de distribución
Problema 8<1,5); P(X>Para
Problema 8<
pagcontinuopagaleatorio
función de distribución
Problema 8<
pagEncuentre el valor del parámetro C a partir de la condición de continuidad de F(x).
Dibuja una gráfica de F(x).
P(X
0,5);
P(-3 
Problema 8<2,5); P(X>/4);
Problema 8<1); P(2
/3);
Problema 3P(–5
P(X=3); P(X=15);/6);F(11); F(33).PAG( / 3); PAG(
Necesario:
P(1
0,5); P(-3
/ 4); P(X>2); P(–5
metro incógnita p(0,5 oh p(0,5 3.5); P(-7 incógnita , s incógnita .
P(-7
Problema 8<2); P(X>1,5);
Problema 8<1,5); P(X>Para
Problema 8<
pagP(–4pagP(X>
);pag/
6
función de distribución
Problema 8< 1/4);
P(X>5);
Dibuja una gráfica de F(x).
P(-3pag
Problema 8<2,5
pag: Densidad de distribuciónpagvariable aleatoria continuapag
densidad de distribución
Problema 8<2,5); P(X>/4);
Problema 8<1); P(2
1. Encuentre el valor del parámetro C incluido en la fórmula de densidad.
Problema 3 : Dibuja una gráfica de f(x).
3. Encuentra las características numéricas de la variable aleatoria:
, metromi, D(4. Encuentre la función de distribución F(x) y grácela., 3);) , P(–7:
1) / 4); P(X>/ 3); P(–5
2) PAG(,
0,5);P(–4
3) 2); P(–5
0,5);4. Encuentre la función de distribución F(x) y grácela., P(–74. Encuentre la función de distribución F(x) y grácela..
4. Encuentre la función de distribución F(x) y grácela. = 1 ; 3););
4. Encuentre la función de distribución F(x) y grácela. = 2 ; 3);P(1
4. Encuentre la función de distribución F(x) y grácela. = 3 ; 3);/4);
4. Encuentre la función de distribución F(x) y grácela. = 4 ; 3);PAG(
4. Encuentre la función de distribución F(x) y grácela. = 5 ; 3););
4. Encuentre la función de distribución F(x) y grácela. = 6 ; 3);P(X>3
4. Encuentre la función de distribución F(x) y grácela. = 7 ; 3);/ 4); P(-2
4. Encuentre la función de distribución F(x) y grácela. = 8 ; 3);P(X>1/2); P(–4
4. Encuentre la función de distribución F(x) y grácela. = 9 ; 3);5); P(-6
4. Encuentre la función de distribución F(x) y grácela. = 10 ; 3);Problema 10
Probabilidad de acertar con una variable aleatoria
Sujeto:en un intervalo dado
Usando las leyes de distribución más simples
Conocido:
variable aleatoriaincógnita – exponencial con parámetroyo = 0,05;
variable aleatoriaY – uniforme en el intervalo (1; 5) ;
variable aleatoriazes igual a:Z=7X– 2 años .
Encontrarmetro z ; D z .
Conocido:
variable aleatoriaincógnita – normal con parametros4. Encuentre la función de distribución F(x) y grácela.=2; s = 4;
variable aleatoriaY – exponencial con parámetroyo = 0,25;
variable aleatoriazes igual a:Z=4X– 7 años .
Encontrarmetro z ; D z .
Conocido:
variable aleatoriaincógnitadistribuidos según la ley:
|
incógnita i | ||||
|
pag i |
variable aleatoriaY – exponencial con parámetroyo = 0,1;
variable aleatoriazes igual a:Z=9X– 4 años .
Encontrarmetro z ; D z .
Conocido:
variable aleatoriaincógnita – normal con parametros4. Encuentre la función de distribución F(x) y grácela.=4; s = 3;
variable aleatoriaY – uniforme en el intervalo (3; 7);
variable aleatoriaz – exponencial con parámetroyo = 0,1;
variable aleatoriaW.es igual a:W = 3X + 2Y– 6Z.
Encontrarmetro w ; D w .
Conocido:
variable aleatoriaincógnita – el número de puntos obtenidos en el dado;
variable aleatoriaY – uniforme en el intervalo (8; 12) ;
variable aleatoriazes igual a:Z=6X– 11 años .
Encontrarmetro z ; D z .
Conocido:
variable aleatoriaincógnita – exponencial con parámetroyo = 0,05;
variable aleatoriaY – distribuidos según la ley:
|
incógnita i | ||||
|
pag i |
variable aleatoriazes igual a:Z=5X– 13 años .
Encontrarmetro z ; D z .
Conocido:
variable aleatoriaz – estándar normal;
variable aleatoriaY – uniforme en el intervalo (4; 8);
para una variable aleatoriaxm incógnita = 4 ; M[X 2 ] =16 .
la variable aleatoria es:ancho=4· incógnita· z– 10 años .
Encontrarmetro z ; D z .
Conocido:
variable aleatoriaincógnita – número de emblemas al lanzar 10 monedas;
variable aleatoriaY – la suma de puntos de dos dados;
variable aleatoriazes igual a:Z=9X– 17 años .
Encontrarmetro z ; D z .
Conocido:
variable aleatoriaincógnitadistribuido según la ley :
|
incógnita i | ||||
|
pag i |
variable aleatoriaY – normal con parámetros a=5;s = 5;
variable aleatoriazes igual a:Z=5X– 8 años .
Encontrarmetro z ; D z .
Conocido:
variable aleatoriaincógnita – exponencial con parámetroyo = 0,1;
variable aleatoriaY – el número de dígitos "6" al lanzar tres dados;
variable aleatoriaW.– uniforme en el intervalo (– 7; 7);
variable aleatoriazigual a: Z=3X– 3 años– 4W .
Encontrarmetro z ; D z .
Problema 12
Sujeto: Experimentos repetidos.
Distribución binomial y sus casos límite.
La probabilidad de ganar en una máquina tragamonedas es de 0,05.
¿Cuál es la probabilidad de que después de 50 intentos se gane?
recibido al menos 2 veces?
Hay 100 estudiantes en la secuencia. Cada uno de ellos puede aprobar el examen de teoría de la probabilidad con una probabilidad de 0,7. ¿Cuál es la probabilidad de que al menos el 70% de los estudiantes aprueben el examen?
De todos los productos que salen de la línea de montaje, el 5% son defectuosos.
Se seleccionan 7 productos al azar para su control. ¿Cuál es la probabilidad
¿Que entre ellos habrá al menos uno defectuoso?
La probabilidad de acertar de un solo disparo es 0,7. encontrar lo probable
Existe la posibilidad de que en 50 disparos se obtengan al menos 30 aciertos.
La probabilidad de error en la nómina es 0,01. Qué es
la probabilidad de que de 50 afirmaciones haya al menos dos
¿equivocado?
La probabilidad de falla cuando se activa el relé es 0,05. Qué es
¿Cuál es la probabilidad de que de 50 relés al menos tres no funcionen?
Durante el periodo de garantía, una media del 3% falla
productos fabricados por la empresa. Encuentre la probabilidad de que
De 50 artículos vendidos, no se devolverán más de dos.
¿Cuál es la probabilidad de que en 50 lanzamientos de una moneda aparezca el escudo de armas?
¿Aparecerá no más de 15 veces?
¿Cuál es la probabilidad de que en 5 tiradas de dados aparezca el número "6" al menos 3 veces?
El taller emplea a 80 personas. Es posible que cada uno de ellos no alcance
trabajar con una probabilidad de 0,05. ¿Cuál es la probabilidad de que el número
¿No habrá más de tres faltas al trabajo?
Problema 13
Problema 3: Flujo de eventos. Campo de puntos aleatorios
Un metro cúbico de agua contiene una media de 100 partículas de metales pesados. Se toma una muestra de 2 litros. Encuentre la probabilidad de que se detecte al menos una partícula en él.
El almacén de equipos recibe una media de 5 solicitudes por día.
La siguiente solicitud llegó a las 10. 00 . 00 ¿Cuál es la probabilidad de que llegue el siguiente en el intervalo de 15? 00 ?
hasta el 17
Un mal funcionamiento del transportador ocurre en promedio una vez cada 2 horas.
¿Cuál es la probabilidad de que durante un turno de trabajo de 8 horas el transportador se detenga no más de 2 veces? 00 La central telefónica de larga distancia recibe un promedio de 5 llamadas por hora. Encuentra la probabilidad de que con 12 00 hasta 15
no se recibirán más de 4 llamadas.
La red eléctrica se sobrecarga una media de 3 veces al día.
¿Cuál es la probabilidad de que durante un turno de trabajo de 8 horas no se produzca ni una sola sobrecarga?
En la ciudad se producen una media de 5 accidentes de tráfico por hora. 00 ¿Cuál es la probabilidad de que de 10 00 hasta 14
¿No habrá más de 8 accidentes?
En promedio, llegan a la gasolinera 5 coches por hora. 00 ¿Cuál es la probabilidad de que de 10 00 ¿Cuál es la probabilidad de que de 12
¿Llegarán al menos seis coches a la gasolinera?
En promedio, un rollo de papel tiene un defecto cada 5 metros.
¿Cuál es la probabilidad de que una lámina de 8 metros de largo esté libre de defectos?
El teléfono de la oficina suena una media de 10 minutos. Qué es 00 la probabilidad de que a partir de 15 00 hasta 16
¿No habrá más de 4 llamadas?
En la fabricación de cinta magnética se producen defectos en
en promedio cada 500 metros. ¿Cuál es la probabilidad de que un casete comprado con una película de 200 metros de longitud no tenga ningún defecto?
“Letras y sonidos de la lección”: formar oraciones usando diagramas. Lección 3 Composición del número 9. Ejemplos de + -1 a lo largo de la regla dentro del 20. Vol. gr.-vocales y consonantes. Lección 2. Números redondos. Leer poesía en libros para bebés. Lección 3 Partes de las palabras son sílabas. Lección 2. Composiciones de los números 1, 2, 3, 4. Vecinos de los números 1 diez. Sonido consonante y letras T t Sonidos (d – t). Lección 2.
“Letra mayúscula”: escriba por separado los nombres de escritores, generales y artistas. Dónde: ciudad de Kaliningrado, calle Voynich Para: estudiantes de segundo grado. Anota las ciudades de la región de Kaliningrado. Usando las notas de apoyo, cuéntanos sobre el sustantivo. Nombres geográficos. La regla para escribir letras mayúsculas en nombres propios.
“Cartas” - ¿Por dónde empezamos a trabajar? La carta es una putada. 1. Formatear el trabajo en un cuaderno. Actualización de conocimientos. ¿Quién logró el objetivo? Trabajo independiente. ¿Qué no puedes hacer? Subraya las letras que denotan sonidos de consonantes suaves. Examen. 9ª etapa. ¿Cuál es la mejor manera de recordar? Me sentaré erguido, no me agacharé y me pondré a trabajar. Aprende a escribir palabras con combinaciones chk-chn-tch. Escribe y distingue la letra mayúscula “U”.
“Estudio de letras” - Método de palabras completas Se originó a principios del siglo XX. en Estados Unidos y está asociado a las peculiaridades del idioma inglés. Luego vinieron los ejercicios de lectura de palabras por orden, nombrando las letras de cada sílaba por separado. 3. Cambia el orden de aprendizaje de los sonidos y las letras. En el método de síntesis de sonido, se pasa del sonido a la sílaba, de las sílabas a las palabras y luego a las oraciones.
“Sonidos y letras 1er grado” - Escalera mecánica. Aislar vocales de varios sonidos. Ejercicios de articulación. Sonidos y letras de las vocales. Patrones de sílabas.
combinatoria estudia formas de contar el número de elementos en conjuntos finitos. Las fórmulas combinatorias se utilizan para calcular probabilidades directamente.
Conjuntos de elementos que constan de los mismos elementos diferentes y que se diferencian entre sí sólo en su orden se denominan permutaciones estos elementos. El número de permutaciones posibles de norte los elementos se denotan por , y este número es igual a norte! (léase "en factorial"):
\(P_n=n\) (1.3.1)
Dónde
. (1.3.2)
Observación 1. Para el conjunto vacío, se acepta la convención: el conjunto vacío se puede ordenar de una sola manera; por definición creer.
Colocaciones se llaman conjuntos formados por norte diversos elementos según metro elementos que difieren ya sea en la composición de los elementos o en su orden. El número de todas las ubicaciones posibles está determinado por la fórmula
. (1.3.3)
Combinaciones de norte diversos elementos según metro se llaman conjuntos que contienen metro elementos de entre norte dados y que difieren en al menos un elemento. Número de combinaciones de norte elementos por metro significa: o . Este número se expresa mediante la fórmula
. (1.3.4)
Observación 2. Por definición, supongamos .
Para el número de combinaciones son válidas las igualdades:
, , (1.3.5)
. (1.3.6)
La última igualdad a veces se formula como el siguiente teorema sobre conjuntos finitos:
El número de todos los subconjuntos de un conjunto que consta de ellos. norte elementos, iguales.
Tenga en cuenta que los números de permutaciones, ubicaciones y combinaciones están relacionados por la igualdad
Observación 3. Anteriormente se asumió que todos norte Los elementos son diferentes. Si algunos elementos se repiten, en este caso los conjuntos con repeticiones se calculan utilizando otras fórmulas.
Por ejemplo, si entre norte los elementos son elementos de un tipo, elementos de otro tipo, etc., entonces el número de permutaciones con repeticiones está determinado por la fórmula 
(1.3.7)
Dónde .
Número de colocaciones por metro elementos con repeticiones de norte elementos son iguales
, eso es
con repetición (1.3.8)
Número de combinaciones con repeticiones de norte elementos por metro elementos es igual al número de combinaciones sin repeticiones de norte + metro- 1 elementos cada uno metro elementos, es decir
de repetir (1.3.9)
Al resolver problemas de combinatoria, se utilizan las siguientes reglas.
Regla de la suma. Si algún objeto A se puede seleccionar de un conjunto de objetos de m maneras, y otro objeto B se puede seleccionar de n maneras, entonces A o B se pueden seleccionar de m + n maneras.
regla del producto. Si el objeto A se puede seleccionar entre una variedad de objetos metro métodos y después de cada elección, el objeto B se puede seleccionar norte maneras, entonces un par de objetos (A, B) en el orden especificado se pueden seleccionar de maneras.
El esquema clásico para calcular probabilidades es adecuado para resolver una serie de problemas puramente prácticos. Consideremos, por ejemplo, un determinado conjunto de elementos de volumen N. Estos pueden ser productos, cada uno de los cuales es adecuado o defectuoso, o semillas, cada uno de los cuales puede ser viable o no. Situaciones de este tipo se describen mediante un esquema de urna: hay N bolas en la urna, de las cuales M son azules y (N - M) son rojas.
De una urna que contiene N bolas y M bolas azules, se extraen n bolas. Debe determinar la probabilidad de que se detecten m bolas azules en una muestra de tamaño n. Denotemos por A el evento “hay m bolas azules en una muestra de tamaño n”, entonces 
(1.3.10)
Ejemplo 1.¿De cuántas maneras diferentes se pueden seleccionar tres personas para tres puestos diferentes entre diez candidatos?
Solución. Usemos la fórmula (1.3.3). Para n = 10, m = 3 obtenemos
.
Ejemplo 2.¿De cuántas maneras diferentes caben 5 personas en un banco?
Solución. Según la fórmula (1.3.1) con n=5 encontramos
P5 =5!=1·2·3·4·5=120.
Ejemplo 3.¿De cuántas maneras se pueden seleccionar tres personas para tres puestos idénticos entre diez candidatos?
Solución. De acuerdo con la fórmula (1.3.4) encontramos
Ejemplo 4.¿Cuántos números diferentes de seis dígitos se pueden escribir usando los dígitos 1; 1; 1; 2; 2; 2?
Solución. Aquí es necesario encontrar el número de permutaciones con repeticiones, que está determinado por la fórmula (1.3.7). Con k = 2, n 1 = 3, n 2 = 3, n = 6, usando esta fórmula obtenemos
Ejemplo 5.¿Cuántas permutaciones diferentes de letras se pueden hacer en las palabras: castillo, rotor, hacha, campana?
Solución. En la palabra castillo todas las letras son diferentes, hay cinco en total. De acuerdo con la fórmula (1.3.1) obtenemos P 5 = 5! = 1·2·3·4·5 = 120. En una palabra rotor, que consta de cinco letras, letras pag Y oh se repiten dos veces. Para calcular varias permutaciones, utilizamos la fórmula (1.3.7). Para n = 5, n 1 = 2, n 2 = 2, usando esta fórmula encontramos
La letra de la palabra hacha. oh se repite dos veces, entonces 
En la palabra campana de siete letras, la letra A aparece dos veces, letra oh- tres veces, letra yo- dos veces. De acuerdo con la fórmula (13.7) con n = 7, n 1 = 2, n 2 = 3, n з = 2 obtenemos 
Ejemplo 6. Las letras I, K, M, N, S están escritas en cinco cartas idénticas. Las cartas se barajan y se colocan al azar en una fila. ¿Cuál es la probabilidad de que aparezca la palabra MINSK?
Solución. A partir de cinco elementos diferentes puedes crear permutaciones P5:
. Esto significa que habrá un total de 120 resultados posibles, pero sólo uno favorable para un evento determinado. Por eso,
Ejemplo 7. De las letras de la palabra. rotor, compuesto con un alfabeto dividido, se seleccionan aleatoriamente 3 letras de forma secuencial y se colocan en una fila. ¿Cuál es la probabilidad de que salga la palabra? toro?
Solución. Para distinguir letras idénticas entre sí, les proporcionamos números: pag 1 , pag 2 , 0
1 , 0
2. El número total de resultados elementales es igual a: 
. Palabra rotor funcionará en los casos ( luego 1 r 1, luego 1 r 2, luego 2 r 1, luego 2 r 2). La probabilidad requerida es igual a
Para calcular el número de casos favorables utilizamos la regla del producto: la letra metro puedes seleccionar una forma, letra oh- dos, una carta r- de dos maneras.
Ejemplo 8. Las letras de la palabra están escritas en seis tarjetas de la misma forma y tamaño. talento- una letra en cada tarjeta. Las cartas están bien mezcladas. se sacan al azar y se colocan sobre la mesa uno tras otro. ¿Cuál es la probabilidad de volver a conseguir la palabra? talento?
Solución. Numeremos las tarjetas con letras:
La palabra talento (513246) no cambiará si las letras A reorganiza, pero según la disposición de las cartas obtendrás una combinación diferente: talento (523146). Si en cada una de estas dos combinaciones hacemos lo mismo con la letra t, obtendremos 2 combinaciones diferentes más de cartas con la palabra talento. Esto significa que la aparición de la palabra talento 4 resultados elementales son favorables. El número total de resultados elementales posibles es igual al número de permutaciones de 6 elementos: ¡n = 6! = 720. Por lo tanto, la probabilidad requerida
.
Observación: Esta probabilidad también se puede encontrar usando la fórmula (1.3.7), que para n = 6, n 1 = 1, n 2 = 1, n 3 = 2, n 4 = 2 considera:
. Por tanto, P = 1/180.
Ejemplo 9. Las letras están escritas en cinco tarjetas idénticas: en dos tarjetas yo, en los otros tres Y. Estas cartas se colocan al azar en
fila. ¿Cuál es la probabilidad de que esto produzca la palabra? lirios?
Solución. Encontremos el número de permutaciones de estas cinco letras con repeticiones.
Usando la fórmula (1.3.7) para n = 5, n 1 = 2, n 2 = 3 obtenemos 
Este es el número total de resultados igualmente posibles del experimento. Este evento A - "la aparición de la palabra lirio" se ve favorecido por uno; De acuerdo con la fórmula (1.2.1) obtenemos
Ejemplo 10. En un lote de 10 piezas, 7 son estándar. encontrar probabilidad
el hecho de que entre 6 piezas tomadas al azar, 4 son estándar.
Solución. El número total de posibles resultados de la prueba elemental Ix es igual al número de formas en que se pueden extraer 6 partes de 10, es decir, el número de combinaciones de 10 elementos de 6 elementos cada uno ().
Determinamos el número de resultados favorables al evento A: "entre 6 partes tomadas, 4 son estándar". Cuatro piezas estándar de siete estándar se pueden tomar de diferentes maneras, mientras que las 6 - 4 = 2 partes restantes deben ser no estándar; Hay formas de tomar 2 piezas no estándar de 10 - 7 = 3 piezas no estándar. Por tanto, el número de resultados favorables es igual a .
La probabilidad requerida es igual a la relación entre el número de resultados favorables al evento y el número de todos los resultados elementales: 
Observación. La última fórmula es un caso especial de la fórmula (1.3.10): N= 10, M= 7, n = 6, m = 4.
Ejemplo 11. Entre 25 estudiantes de un grupo de 10 niñas se sortean 5 billetes. Calcula la probabilidad de que haya 2 niñas entre los poseedores de boletos.
Solución. El número de todos los casos igualmente posibles de distribuir 5 boletos entre 25 estudiantes es igual al número de combinaciones de 25 elementos de 5, es decir. El número de grupos de tres chicos de 15 que pueden recibir entradas es . Cada uno de estos tres se puede combinar con cualquier par de diez niñas, y el número de dichos pares es igual a . En consecuencia, el número de grupos de 5 estudiantes se formará a partir de un grupo de 25 estudiantes, cada uno de los cuales incluirá tres niños y dos niñas. , es igual al producto. Este producto es igual al número de casos favorables de distribuir cinco boletos entre los estudiantes del grupo de modo que tres boletos sean para niños y dos boletos para niñas. De acuerdo con la fórmula (1.2.1) encontramos la probabilidad requerida
Observación. La última fórmula es un caso especial de la fórmula (1.3.10): N = 25, M = 15, n = 5, m = 3.
Ejemplo 12. Una caja contiene 15 bolas rojas, 9 azules y 6 verdes. Se extraen 6 bolas al azar. ¿Cuál es la probabilidad de que se extraigan 1 bola verde, 2 azul y 3 roja (evento A)?
Solución. Sólo hay 30 bolas en la caja. Para este experimento, el número de todos los resultados elementales igualmente posibles será . Contemos el número de resultados elementales favorables al evento A. Se pueden elegir tres bolas rojas de 15 de formas, dos bolas azules de 9 de formas, una verde de 6 se puede elegir de formas
El número de resultados favorables es igual al producto. 
La probabilidad requerida está determinada por la fórmula (1.3.10): 
Ejemplo 14. Los dados se lanzan 10 veces. ¿Cuál es la probabilidad de que los lados 1, 2, 3, 4, 5, 6 aparezcan 2, 3, 1, 1, 1, 2 veces, respectivamente (evento A)?
Solución. Calculamos el número de resultados favorables para el evento A usando la fórmula (1.3.7):
El número de todos los resultados elementales en este experimento es n = 6 · 10, por lo tanto 
Tareas
1. Las letras B, E, R, S, T están escritas en 5 tarjetas idénticas. Estas tarjetas se colocan al azar en una fila. ¿Cuál es la probabilidad de que aparezca la palabra BREST?
2. Hay 4 bolas azules y 5 rojas en una caja. Se extraen 2 bolas al azar de la caja. Calcula la probabilidad de que estas bolas sean de diferentes colores.
3. Hay 4 mujeres y 3 hombres en el equipo. Se sortean 4 entradas para el teatro entre brigadistas. ¿Cuál es la probabilidad de que entre los poseedores de boletos haya 2 mujeres y 2 hombres?
4. Hay 10 bolas en una caja, de las cuales 2 son blancas, 3 son rojas y 5 son azules. Se extraen 3 bolas al azar. Calcula la probabilidad de que las 3 bolas sean de diferentes colores.
5. Las letras l, m, o, o, t están escritas en cinco tarjetas idénticas ¿Cuál es la probabilidad de que, al quitar las tarjetas una a la vez, obtengamos la palabra martillo en el orden en que aparecieron?
6. De un lote que contiene 10 productos, de los cuales 3 son defectuosos, se seleccionan 3 productos al azar. Encuentre la probabilidad de que un producto de la muestra resultante sea defectuoso.
7. De diez billetes, dos son ganadores. ¿Cuál es la probabilidad de que entre cinco boletos elegidos al azar uno sea ganador?
Respuestas
1.
1/120. 2.
5/9. 3.
18/35. 4
. 0,25. 5
. 1/60. 6
. 21/40. 7
. 5/9.
Preguntas
1. ¿Qué se llaman permutaciones?
2. ¿Qué forma se utiliza para calcular el número de permutaciones de n elementos diferentes?
3. ¿Cómo se llaman las colocaciones?
4. ¿Qué fórmula se utiliza para calcular el número de ubicaciones de n elementos diferentes por m elementos?
5. ¿Cómo se llaman las combinaciones?
6. ¿Qué fórmula usas para calcular el número de combinaciones de n elementos de m elementos?
7. ¿Qué igualdad relaciona los números de permutaciones, colocaciones y combinaciones?
8. ¿Qué fórmula se utiliza para calcular el número de permutaciones de n elementos si algunos elementos se repiten?
9. ¿Qué fórmula determina el número de colocaciones de m elementos con repeticiones de n elementos?
10. ¿Qué fórmula determina el número de combinaciones con repeticiones de n elementos de m elementos?
