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¿Qué significa una fracción? No tiene sentido. ¿Cuándo tiene sentido una fracción algebraica?

En esta lección Se considera el concepto de fracción algebraica. Las personas encuentran fracciones en las situaciones más simples de la vida: cuando es necesario dividir un objeto en varias partes, por ejemplo, cortar un pastel en partes iguales para diez personas. Evidentemente, todos se llevan un trozo del pastel. En este caso, nos enfrentamos al concepto de fracción numérica, pero es posible una situación en la que un objeto se divide en un número desconocido de partes, por ejemplo, por x. En este caso surge el concepto de expresión fraccionaria. Ya se familiarizó con las expresiones completas (que no contienen división en expresiones con variables) y sus propiedades en séptimo grado. A continuación veremos el concepto de fracción racional, así como valores aceptables variables.

Las expresiones racionales se dividen en expresiones enteras y fraccionarias.

Definición.fracción racional es una expresión fraccionaria de la forma , donde son polinomios. - numerador, - denominador.

Ejemplosexpresiones racionales:- expresiones fraccionarias; - expresiones completas. En la primera expresión, por ejemplo, el numerador es y el denominador es.

Significado fracción algebraica, como cualquiera expresión algebraica, depende del valor numérico de las variables que en él se incluyen. En particular, en el primer ejemplo el valor de la fracción depende de los valores de las variables y , y en el segundo ejemplo solo del valor de la variable .

Consideremos la primera tarea típica: calcular el valor. fracción racional en diferentes significados las variables incluidas en el mismo.

Ejemplo 1. Calcula el valor de la fracción para a) , b) , c)

Solución. Sustituyamos los valores de las variables en la fracción indicada: a) , b) , c) - no existe (ya que no se puede dividir por cero).

Respuesta: a) 3; segundo) 1; c) no existe.

Como vemos, hay dos tareas tipicas para cualquier fracción: 1) calcular la fracción, 2) encontrar valores válidos e inválidos variables de letras.

Definición.Valores de variables válidos- valores de variables en las que la expresión tiene sentido. El conjunto de todos los valores posibles de las variables se llama ODZ o dominio de definición.

El valor de las variables literales puede no ser válido si el denominador de la fracción en estos valores es cero. En todos los demás casos, los valores de las variables son válidos, ya que se puede calcular la fracción.

Ejemplo 2.

Solución. A esta expresión era significativo, necesario y suficiente que el denominador de la fracción no fuera igual a cero. Por lo tanto, solo serán válidos aquellos valores de la variable para los cuales el denominador sea igual a cero. El denominador de la fracción es , entonces resolvemos la ecuación lineal:

Por tanto, con el valor fracción variable no tiene sentido.

Respuesta: -5.

De la solución del ejemplo se desprende la regla para encontrar valores inválidos de variables: el denominador de la fracción es igual a cero y se encuentran las raíces de la ecuación correspondiente.

Veamos varios ejemplos similares.

Ejemplo 3. Establecer a qué valores de la variable la fracción no tiene sentido .

Solución..

Respuesta..

Ejemplo 4. Establecer en qué valores de la variable la fracción no tiene sentido.

Solución..

Hay otras formulaciones de este problema: encuentre dominio de definición o rango de valores de expresión aceptables (APV). Esto significa encontrar todos los valores de variables válidos. En nuestro ejemplo, todos estos son valores excepto . Es conveniente representar el dominio de definición en un eje numérico.

Para ello le recortaremos un punto, como indica la figura:

Arroz. 1

De este modo, dominio de definición de una fracción Habrá todos los números excepto el 3.

Respuesta..

Ejemplo 5. Establecer en qué valores de la variable la fracción no tiene sentido.

Solución..

Representamos la solución resultante en el eje numérico:

Arroz. 2

Respuesta..

Ejemplo 6.

Solución.. Hemos obtenido la igualdad de dos variables, presentamos ejemplos numéricos: o etc

Representemos esta solución en un gráfico en sistema cartesiano coordenadas:

Arroz. 3. Gráfica de una función

Las coordenadas de cualquier punto que se encuentre en este gráfico no están incluidas en el rango de valores de fracción aceptables.

Respuesta..

En los ejemplos analizados, nos encontramos con una situación en la que se producía una división por cero. Consideremos ahora el caso en el que surge una situación más interesante con la división de tipos.

Ejemplo 7. Establecer en qué valores de las variables la fracción no tiene sentido.

Solución..

Resulta que la fracción no tiene sentido en . Pero se podría argumentar que este no es el caso porque: .

Puede parecer que si la expresión final es 8 en , entonces la original también se puede calcular y, por tanto, tiene sentido en . Sin embargo, si lo sustituimos en la expresión original, obtenemos: no tiene sentido.

Respuesta..

Para entender este ejemplo con más detalle, resolvamos el siguiente problema: ¿en qué valores la fracción indicada es igual a cero?

Permítanme recordarles algunos datos sobre las fracciones algebraicas, así como sus valores permitidos.

Porque estamos hablando de sobre fracciones algebraicas, podemos agregar: el denominador no es igual a cero para cada valor permitido de las variables.

Los tipos de tareas tienen el mismo significado:

Para completar cualquiera de estas tareas, debe encontrar un conjunto de valores de variables válidos y, para ello, excluir los no válidos.
Igualamos el denominador de la fracción a 0 (el signo igual a menudo está tachado), resolvemos la ecuación resultante (generalmente con un signo de igualdad tachado) y excluimos sus raíces del conjunto de valores de las variables (la variable tachada los valores son las raíces excluidas del conjunto de valores de las variables).
Así, todos los valores de las variables, excepto los encontrados, se escribirán en la respuesta.
Ejemplo:

La siguiente imagen muestra fracciones algebraicas.

Si el denominador contiene un polinomio que no desaparece en ningún valor de las variables, entonces la fracción tendrá significado en toda la recta numérica, es decir en un set números reales(vea el segundo ejemplo en la imagen a continuación), a menos que el problema especifique adicionalmente otro conjunto específico de valores de variables en los que se da la fracción, por ejemplo, números racionales.
Ejemplo.
Una fracción algebraica sólo tiene sentido si su denominador no es igual a cero. Después de todo, como sabes, no se puede dividir por cero.
Si necesita determinar esos valores para una fracción cuando tiene sentido, debe anotar el valor de la serie numérica, excluyendo aquellos números que se obtienen al resolver la ecuación cuando el denominador es igual a cero.
En mi opinión, una fracción siempre tiene sentido, excepto en el caso de que el denominador sea cero, ya que recordemos que no podemos dividir por cero. Es diferente en matemáticas superiores, donde se divide el cero para obtener límites matemáticos, etc.
También me parece que fracción algebraica, o escribir un número como fracción, no tiene sentido si el numerador es igual al denominador. En este caso, puedes escribir la expresión de forma mucho más sencilla. Por ejemplo, en lugar de 1/1 es mejor escribir simplemente 1.
Bueno, según las reglas, lo principal es que no hay 0 en la parte inferior de la fracción.
Sería más fácil responder a la pregunta: ¿cuándo deja de tener sentido? Entonces responderíamos eso cuando el denominador de la fracción sea cero. Después de todo, no se puede dividir por cero, como recordamos de la escuela, porque convierte todo en cero.
Su pregunta se puede responder de esta manera: cuando el denominador no es cero (ya sean números positivos o negativos), la fracción existe y tiene un cierto significado.
Para cualquier valor de un número, una fracción tiene sentido, excepto en un caso, a menos que el denominador sea cero, ya que no se puede dividir por cero.
Una fracción no tiene significado si el denominador es cero.
Recuerdo algo así de la escuela.
Una fracción algebraica sólo tiene sentido cuando su denominador no es cero. De lo contrario, cuando el denominador es cero, la fracción algebraica no tiene significado, ya que no se puede dividir por cero.
Cuando hablamos de fracciones, es importante entender que cuando usamos un signo de fracción (es decir, una línea), nos referimos al proceso de división. Y como todos sabemos que la división por cero no se puede realizar de acuerdo con las reglas, podemos decir con seguridad que una fracción algebraica tiene sentido en el caso de que el valor del denominador sea diferente de cero.
Una fracción tiene sentido siempre que su denominador sea distinto de cero. En matemáticas escolares, es importante que el numerador sea estrictamente mayor que menos infinito y estrictamente menor que más infinito; de lo contrario, incluso con un denominador distinto de cero, la fracción seguirá llegando al infinito.
Una de las principales propiedades de las fracciones algebraicas, familiar para los matemáticos de la antigüedad, es la prohibición de dividir entre 0. Cuando este número vacío aparece en los denominadores de la fracción, la fracción pierde su significado. EN plan de estudios escolar A menudo puedes encontrar varias tareas que preguntan cuándo una expresión o fracción no tiene sentido, en qué valor de la variable X. En este caso, el denominador de la fracción está representado por alguna expresión, por ejemplo 8x-4 o x+5. . Para encontrar la respuesta a tales problemas, el denominador se pone a cero y se resuelve como una ecuación. Los valores de X que satisfacen esta ecuación hacen que la fracción carezca de sentido. En estos ejemplos, una fracción con cualquier numerador no tiene sentido si en el primer ejemplo X = 0,5 y en el segundo X = -5.
Hasta donde yo sé, una fracción algebraica no tiene significado cuando su denominador es cero, ya que no se puede dividir por él. Por tanto, en todos los demás casos, la fracción algebraica tiene sentido y puede utilizarse de forma segura para diversos cálculos.

Conceptos básicos
Fracciones algebraicas. Operaciones aritméticas sobre fracciones algebraicas

Esta lección cubre el concepto de fracción algebraica. Las personas encuentran fracciones en las situaciones más simples de la vida: cuando es necesario dividir un objeto en varias partes, por ejemplo, cortar un pastel en partes iguales para diez personas. Evidentemente, todos se llevan un trozo del pastel. En este caso, nos enfrentamos al concepto de fracción numérica, pero es posible una situación en la que un objeto se divide en un número desconocido de partes, por ejemplo, por x. En este caso surge el concepto de expresión fraccionaria. Ya se familiarizó con las expresiones completas (que no contienen división en expresiones con variables) y sus propiedades en el séptimo grado. A continuación veremos el concepto de fracción racional, así como los valores aceptables de las variables.

Las expresiones racionales se dividen en expresiones enteras y fraccionarias.

Definición.fracción racional es una expresión fraccionaria de la forma , donde son polinomios. - numerador, - denominador.

Ejemplosexpresiones racionales:- expresiones fraccionarias; - expresiones completas. En la primera expresión, por ejemplo, el numerador es y el denominador es.

Consideremos la primera tarea típica: calcular el valor. fracción racional para diferentes valores de las variables incluidas en el mismo.

Ejemplo 1. Calcula el valor de la fracción para a) , b) , c)

Solución. Sustituyamos los valores de las variables en la fracción indicada: a) , b) , c) - no existe (ya que no se puede dividir por cero).

Respuesta: a) 3; segundo) 1; c) no existe.

Como puede ver, surgen dos problemas típicos para cualquier fracción: 1) calcular la fracción, 2) encontrar valores válidos e inválidos variables de letras.

Ejemplo 2.

Solución. Para que esta expresión tenga sentido es necesario y suficiente que el denominador de la fracción no sea igual a cero. Por lo tanto, solo serán válidos aquellos valores de la variable para los cuales el denominador sea igual a cero. El denominador de la fracción es , entonces resolvemos la ecuación lineal:

Por tanto, dado el valor de la variable, la fracción no tiene significado.

Respuesta: -5.

Veamos varios ejemplos similares.

Ejemplo 3. Establecer a qué valores de la variable la fracción no tiene sentido .

Solución..

Respuesta..

Ejemplo 4. Establecer en qué valores de la variable la fracción no tiene sentido.

Solución..

Para ello le recortaremos un punto, como indica la figura:

Arroz. 1

De este modo, dominio de definición de una fracción Habrá todos los números excepto el 3.

Respuesta..