Información y redes informáticas. Trabajo del curso: Red de información e informática. Construyendo una infraestructura de red

ellos dicen que son independientes (y) idénticamente distribuidos, si cada una de ellas tiene la misma distribución que las demás y todas las cantidades son independientes en su conjunto. La frase "independiente distribuida idénticamente" a menudo se abrevia como i.id.(del ingles independientes e idénticamente distribuidos ), a veces - “n.o.r”.

Aplicaciones

La suposición de que las variables aleatorias son independientes y están distribuidas de manera idéntica se usa ampliamente en la teoría de la probabilidad y la estadística, ya que permite simplificar enormemente los cálculos teóricos y demostrar resultados interesantes.

Uno de los teoremas clave de la teoría de la probabilidad, el teorema del límite central, establece que si es una secuencia de variables aleatorias independientes distribuidas idénticamente, entonces, cuando tienden al infinito, la distribución de su media es: variable aleatoria converge a una distribución normal.

En estadística, generalmente se supone que una muestra estadística es una secuencia de i.i.d. realizaciones de alguna variable aleatoria (tal muestra se llama simple).

Fundación Wikimedia.

• 2010.
• Es decir.

Intel 8048

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Conozcamos las desviaciones estándar de varias variables aleatorias mutuamente independientes. ¿Cómo encontrar la desviación estándar de la suma de estas cantidades? La respuesta a esta pregunta viene dada por el siguiente teorema.

Teorema. La desviación estándar de la suma de un número finito de variables aleatorias mutuamente independientes es igual a raíz cuadrada de la suma de los cuadrados de las desviaciones estándar de estas cantidades."

Prueba. Denotemos por incógnita la suma de las cantidades mutuamente independientes consideradas:

La varianza de la suma de varias variables aleatorias mutuamente independientes es igual a la suma de las varianzas de los términos (ver § 5, Corolario 1), por lo tanto

o finalmente

Variables aleatorias mutuamente independientes distribuidas idénticamente

Ya se sabe que según la ley de distribución se pueden encontrar las características numéricas de una variable aleatoria. De ello se deduce que si varias variables aleatorias tienen distribuciones idénticas, entonces sus características numéricas son las mismas.

consideremos norte variables aleatorias mutuamente independientes X v X v ..., xfi, que tienen las mismas distribuciones, y por tanto las mismas características (expectativa matemática, dispersión, etc.). De mayor interés es el estudio de las características numéricas de la media aritmética de estas cantidades, que es lo que haremos en este apartado.

Denotemos la media aritmética de las variables aleatorias consideradas por incógnita:

Las siguientes tres disposiciones establecen una conexión entre las características numéricas de la media aritmética. incógnita y las características correspondientes de cada cantidad individual.

1. La expectativa matemática de la media aritmética de variables aleatorias mutuamente independientes distribuidas idénticamente es igual a la expectativa matemática a de cada una de las variables:

Prueba. Usando las propiedades de la expectativa matemática ( factor constante se puede sacar como signo de expectativa matemática; la expectativa matemática de la suma es igual a la suma de las expectativas matemáticas de los términos), tenemos

Teniendo en cuenta que la esperanza matemática de cada una de las cantidades según la condición es igual a A, obtenemos

2. La dispersión de la media aritmética de n variables aleatorias mutuamente independientes distribuidas idénticamente es n veces menor que la dispersión D de cada una de las variables:

Prueba. Usando las propiedades de dispersión (el factor constante se puede quitar del signo de dispersión elevándolo al cuadrado; la dispersión de la suma de cantidades independientes es igual a la suma de las dispersiones de los términos), tenemos

§ 9. Variables aleatorias mutuamente independientes distribuidas idénticamente 97

Teniendo en cuenta que la dispersión de cada una de las cantidades por condición es igual a D, obtenemos

3. Desviación estándar de la media aritmética de n aleatorios mutuamente independientes e idénticamente distribuidos

Los valores son 4n veces menores que la desviación estándar a de cada uno de los valores:

Prueba. Porque D(X) = D/n entonces la desviación estándar incógnita es igual

La conclusión general de las fórmulas (*) y (**): recordando que la dispersión y la desviación estándar sirven como medidas de la dispersión de una variable aleatoria, concluimos que la media aritmética es suficiente gran número variables aleatorias mutuamente independientes tiene

significativamente menos dispersión que cada valor individual.

Expliquemos con un ejemplo el significado de esta conclusión para la práctica.

Ejemplo. Generalmente para medir algunos cantidad fisica Realice varias mediciones y luego encuentre la media aritmética de los números obtenidos, que se toma como un valor aproximado del valor medido. Suponiendo que las mediciones se realizan en las mismas condiciones, demuestre:

• a) la media aritmética da un resultado más fiable que las mediciones individuales;
• b) con un aumento en el número de mediciones, aumenta la confiabilidad de este resultado.

Solución, a) Se sabe que las mediciones individuales dan valores desiguales de la cantidad medida. El resultado de cada medición depende de muchas razones aleatorias (cambios de temperatura, fluctuaciones del instrumento, etc.), que no se pueden tener en cuenta de antemano.

Por lo tanto, tenemos derecho a considerar posibles resultados. norte mediciones individuales como variables aleatorias X v X 2,..., Xp(el índice indica el número de medida). Estas cantidades tienen la misma distribución de probabilidad (las mediciones se realizan utilizando la misma técnica y los mismos instrumentos), y por tanto las mismas características numéricas; además, son mutuamente independientes (el resultado de cada medición individual no depende de otras mediciones).

Ya sabemos que la media aritmética de tales cantidades tiene menos dispersión que cada cantidad individual. En otras palabras, la media aritmética resulta estar más cerca del valor real del valor medido que el resultado de una medición separada. Esto significa que la media aritmética de varias mediciones da un resultado más caso que una sola medición.

b) Ya sabemos que a medida que aumenta el número de variables aleatorias individuales, la dispersión de la media aritmética disminuye. Esto significa que a medida que aumenta el número de mediciones, la media aritmética de varias mediciones difiere cada vez menos del valor real del valor medido. Así, al aumentar el número de mediciones se obtiene un resultado más fiable.

Por ejemplo, si la desviación estándar de una medición individual es a = 6 m, y un total de norte= 36 mediciones, entonces la desviación estándar de la media aritmética de estas mediciones es de solo 1 m.

Vemos que la media aritmética de varias mediciones, como era de esperar, resultó estar más cerca del valor real del valor medido que el resultado de una medición separada.

"Nuestro objetivo es demostrar que si tomamos variables aleatorias independientes distribuidas idénticamente con varianza finita, entonces conociendo sólo la media y..."

Nuestro objetivo es demostrar que si tomamos variables aleatorias independientes distribuidas idénticamente con un finito

dispersión, entonces conociendo sólo la media y la dispersión se puede estimar con bastante precisión la probabilidad de aceptar la media

de estos valores de valores en un intervalo dado.

Primero, definimos la distribución de probabilidad en el conjunto de resultados R de modo que nos permitimos más de

número contable de eventos.

Considere una distribución de probabilidad cuyos resultados son --- números. ¿Qué podemos entonces notar acerca de las probabilidades (sin resaltar eventos particularmente elementales)?

Enumeremos las propiedades básicas de la probabilidad que son verdaderas para nuestra definición y que deben preservarse.

Definición 1. La probabilidad de cualquier evento no es negativa. La probabilidad de un evento confiable es igual a 1. Si un evento es una unión de no más de un número contable de eventos disjuntos cuyas probabilidades se conocen, entonces su probabilidad está determinada y es igual a la suma de sus probabilidades.

Podemos definir completamente esta distribución mediante una función no decreciente F (a): F (a) = P ((x | x a)).

Teorema 1. En este caso, se cumplirá P ((x | x a)) = lim F (b).

ba+ Prueba 1. De hecho, R \ (x | x a) = (x | x a) = (x | x a + 1) )