Domov › Nastavení › Jordan Gaussovy transformace. Řešení soustavy lineárních rovnic metodou Gauss-Jordan - online kalkulačka. Obecná charakteristika řešené soustavy rovnic

Jordan Gaussovy transformace. Řešení soustavy lineárních rovnic metodou Gauss-Jordan - online kalkulačka. Obecná charakteristika řešené soustavy rovnic

Domácí politika Kateřiny II

Reformu provedla především Kateřina II vládou kontrolované. Kabinet ministrů, který představila Anna Ivanovna, byl zlikvidován. Senát byl oslaben, rozdělen do šesti oddělení, z nichž každý měl určité pravomoci. Na oddělení dohlížel generální prokurátor Prince A.A. Vjazemskij, známý svou neúplatností. Hejtmanát na levobřežní Ukrajině byl zrušen a začal ho řídit generální gubernátor Malé Rusi.

Kateřina provedla druhou sekularizaci klášterních pozemků a vzala je do pokladnice. Duchovenstvo ztrácelo ekonomickou moc a měnilo se konečně ve zvláštní kategorii byrokracie.

Císařovna se rozhodla vytvořit Komisi pro vypracování nového kodexu. Bylo do ní zvoleno 564 delegátů po celém Rusku (šlechtici, měšťané, kozáci, cizinci, státní sedláci atd.). Po dva roky (1764-1765) pracovala Kateřina II. na vypracování „Nakazu“, příručky pro poslance, která deklarovala, že účelem moci je podporovat dobro, zavádět nejlepší zákony, a to mohl udělat pouze osvícený, autokratický suverén. Legislativní komise však svůj úkol nesplnila a nevytvářela nový zvykové právo, byl rozpuštěn v roce 1769 (a zrušen v roce 1774).

Byla provedena správní reforma. Říše byla rozdělena na 50 provincií, provincie byly zrušeny a provincie rozděleny na kraje. Moc v provinciích patřila guvernérovi, jmenovanému Senátem. Všechny finanční záležitosti provincie byly řízeny komorou financí.

Zcela se změnil soudní systém, který byl postaven na třídním principu. Nejvyšším soudním orgánem říše byl Senát.

Šlechtici skutečně dostali právo místní samosprávy. Na svých schůzích volili okresního vůdce šlechty a v provincii volili zemského vůdce šlechty. V roce 1785 vyšla „Udělovací listina šlechtě“, která potvrdila stavovská práva a výsady šlechticů - osvobození od daně z hlavy, tělesných trestů a povinné služby.

Zahraniční politika Kateřiny II

Zahraniční politika Kateřiny II byla docela úspěšná. Díky císařovniným úspěchům v této oblasti získalo Rusko v Evropě bezprecedentní autoritu.

Kateřina ihned po svém nástupu na trůn ukončila vojenské spojenectví s Pruskem uzavřené Petrem III. Za Kateřiny se formoval nový zahraničněpolitický kurz Ruska, které mělo jednat v souladu se svými zájmy, bez neustálé závislosti na jiných státech.

Catherine musela vyřešit tři problémy, které zdědila:

Návrat běloruských a ukrajinských zemí, které zůstaly součástí Polska;

Zajištění bezpečnosti jižního okraje Ruska a přístupu k Černému moři;

Posílení Ruska na pobřeží Baltského moře.

Záležitosti s Kurlandem a Polskem byly vyřešeny diplomaticky, bez války. Řešení černomořského problému vyžadovalo vážné vojenské úsilí. Zájmy Ruska a Turecka se střetly nejen v oblasti Černého moře, ale také v pravoslavném Moldavsku a na severním Kavkaze a v Zakavkazsku, kde se ve vládnoucích kruzích Gruzie a Arménie objevila proruská orientace.

Na konci roku 1768 vyhlásilo Türkiye Rusku válku. Vojenské operace se odehrávaly na třech frontách: na Krymu, na Dunaji a v Zakavkazsku, kam ruské jednotky vstoupily na žádost Gruzie. Válka s Tureckem skončila podepsáním Kuchuk-Kainardzhiho míru (1774), podle kterého byla významná území převedena do Ruska. Ale v roce 1787 začala druhá rusko-turecká válka. V něm A. V. ukázal své vůdčí schopnosti. Suvorov. Válka skončila ruským vítězstvím v roce 1791.

Zatímco probíhala rusko-turecká válka, Rakousko a Prusko si bez ruské účasti začaly rozdělovat Polsko. Za těchto podmínek bylo Rusko, které těžilo ze sjednoceného, ale závislého Polska, nuceno zapojit se do jednání o rozdělení této země. V důsledku dohody tří států Polsko po třech rozděleních (1772, 1793, 1795) zaniklo jako samostatný stát, celé jeho území bylo rozděleno mezi Rakousko-Uhersko, Prusko a Rusko.

Zapisuje se formou rozšířené matice, tzn. ve sloupci volných členů je umístěna v jedné matici s koeficienty neznámých. Algoritmus spočívá ve vnesení původní matice charakterizující systém lineární rovnice, na jednotku ekvivalentními transformacemi (násobení řádku matice konstantou a sčítání s dalším řádkem matice). 1/a[i][i] se používá jako konstanta, tzn. převrácená hodnota diagonálního prvku. Přirozeně v řadě případů vznikají problémy související s dělením nulou, které se řeší přeskupením řádků a sloupců:

Celý algoritmus lze znázornit v 10 bodech:

Jako referenční řádek vybereme první řádek matice.

Pokud je prvek referenčního řádku, jehož index je roven číslu referenčního řádku, roven nule, pak změníme celý referenční řádek na první řádek odspodu, jehož sloupec nemá nulu .

Všechny prvky referenční řady vydělíme prvním nenulovým prvkem této řady zleva.

Od zbývajících řádků níže se referenční řádek odečte a vynásobí prvkem, jehož index se rovná číslu referenčního řádku.

Jako referenční čáru vyberte následující řádek.

Opakujte kroky 2 – 5, dokud číslo referenčního řádku nepřekročí počet řádků.

Jako referenční čáru vybereme poslední řádek.

Odečtěte od každého řádku nad referenční čárou, vynásobte prvkem této čáry s indexem rovným číslu referenční čáry.

Vyberte čáru nahoře jako referenční čáru.

Opakujte 8 – 9, dokud nebude číslo referenčního řádku menší než číslo prvního řádku.

Příklad výpočtu 1

Nechť existuje soustava rovnic:

Napišme rozšířenou matici systému:

a provádět elementární transformace jeho řetězců.

Chcete-li to provést, vynásobte první řádek číslem 1 a odečtěte od druhého řádku; pak vynásobte první řádek 2 a odečtěte od třetího řádku.

V důsledku toho odstraníme proměnnouX 1 ze všech rovnic kromě první. Dostaneme:

Nyní odečtěte od řádku 3 řádek 2 vynásobený 3:

Nyní odečteme od řádku 1 první řádek 3 a poté řádek 2:

Po transformacích získáme soustavu rovnic:

Z toho vyplývá, že soustava rovnic má následující řešení:

x1 = 1, x2 = 3, x3 = -1

Příklad výpočtu 2

Jako příklad vyřešme soustavu rovnic prezentovanou ve formě matice (Tabulka 1) pomocí Gauss-Jordanovy metody.

Vydělením prvního řádku 3 (prvek prvního řádku umístěný na hlavní diagonále) dostaneme:

	4/3		1/3

Vynásobte první řádek 1 a odečtěte od druhého řádku. Vynásobte první řádek 6 a odečtěte od třetího řádku. Dostaneme:

	4/3		1/3
	17/3		17/3

V prvním sloupci jsou všechny prvky kromě úhlopříčky rovny nule, postarejme se o druhý sloupec, k tomu vybereme druhý řádek jako referenční. Druhý Vydělte to 17/3:

4/3		1/3
	3 /17

Vynásobte řádek 2 -6 a odečtěte od třetího řádku:

4/3		1/3
	3 /17
	3 3 /17

Nyní je třetí čára nosná, rozdělte ji-33/17:

4/3		1/3
	3 /17
		17/3

Referenční čáru vynásobíme 3/17 a odečteme ji od druhé. Vynásobte třetí řádek 1 a odečtěte jej od prvního

	4/3

			17/3

Získá se trojúhelníková matice, algoritmus se obrátí(během kterého dostaneme matice identity). Druhý řádek se stane referenční. Vynásobte třetí řádek 4/3 a odečtěte jej od prvního:

			10/3

			17/3

Poslední sloupec matice je řešením soustavy rovnic.

Spojme každý systém lineárních rovnic s rozšířená matice, získaný přidáním do matrice A sloupec volných členů:

Jordan-Gaussova metoda slouží k řešení systému m lineární rovnice s n neznámé typy:

Tato metoda je to s pomocí elementární transformace soustava rovnic je redukována na ekvivalentní soustavu rovnic s maticí určitého typu.

Na řádcích rozšířené matice provedeme následující elementární transformace:

1. přeskupení dvou strun;

2. násobení řetězce libovolným číslem jiným než nula;

3. přidání dalšího řetězce vynásobeného určitým číslem k jednomu řetězci;

4. zahození nulového řádku (sloupce).

Příklad 2.11.Řešení soustav lineárních rovnic Jordan-Gaussovou metodou:

A) Xi + X2 + 2X3 = -1

2X 1 - X 2 + 2X 3 = -4

4X 1 + X 2 + 4X 3 = -2

Řešení: Vytvořme rozšířenou matici:

Iterace 1

Vyberte prvek jako vodicí prvek. Převedeme první sloupec na jeden sloupec. Chcete-li to provést, přidejte první řádek k druhému a třetímu řádku, vynásobený (-2) a (-4). Dostaneme matici:

Tím je první iterace dokončena.

Iterace 2

Vyberte vodicí prvek. Od , dělíme druhý řádek -3. Poté vynásobíme druhý řádek (-1) respektive 3 a přičteme jej k prvnímu a třetímu řádku. Vezmeme matrici

Iterace 3

Vyberte vodicí prvek. Protože , dělíme třetí řádek (-2). Převedeme třetí sloupec na jednotku. Chcete-li to provést, vynásobte třetí řádek (-4/3) a (-2/3) a přidejte jej k prvnímu a druhému řádku. Vezmeme matrici

kde X 1 = 1, X 2 = 2, X 3 = -2.

Po dokončení řešení je ve fázi trénování nutné provést kontrolu dosazením nalezených hodnot do původního systému, který by se měl proměnit ve správné rovnosti.

b) X 1 – X 2 + X 3 – X 4 = 4

Xi + X2 + 2X3 + 3X4 = 8

2X 1 +4X 2 + 5X 3 +10X 4 = 20

2 Х 1 – 4 Х 2 + Х 3 – 6 Х 4 = 4

Řešení: Rozšířená matice má tvar:

Aplikováním elementárních transformací dostaneme:

Původní systém je ekvivalentní další systém rovnice:

X 1 – 3 X 2 – 5 X 4 = 0

2X 2 + X 3 + 4X 4 = 4

Poslední dva řádky matice A(2) jsou lineárně závislé.

Definice.Řádky matice E 1 , E 2 ,…, e m jsou nazývány lineárně závislé, pokud existují čísla, která nejsou současně rovna nule, takže lineární kombinace řádků matice je rovna nule:

Kde 0 =(0, 0…0). Řádky matice jsou lineárně nezávislé, kdy je kombinace těchto řádků rovna nule právě tehdy, když jsou všechny koeficienty rovny nule.

V lineární algebra velmi důležitý koncept maticová hodnost, protože hraje to velmi dobře velká důležitost při řešení soustav lineárních rovnic.

Věta 2.3 (o hodnosti matice). Hodnost matice se rovná maximálnímu počtu jejích lineárně nezávislých řádků nebo sloupců, přes které jsou lineárně vyjádřeny všechny její ostatní řádky (sloupce).

Hodnost matice A(2) se rovná 2, protože v něm je maximální počet lineárně nezávislých řádků 2 (jedná se o první dva řádky matice).

Věta 2.4 (Kronecker–Kapeli). Systém lineárních rovnic je konzistentní pouze tehdy, je-li hodnost matice systému rovna hodnosti rozšířená matice tohoto systému.

1. Je-li hodnost matice sdruženého systému rovna počtu proměnných, tzn. r = n, pak má systém jedinečné řešení.

2. Pokud je hodnost systémové matice menší než počet proměnných, tzn. r< n, то система неопределённая и имеет бесконечное множество решений.

V v tomto případě systém má 4 proměnné a jeho hodnost je 2, proto má nekonečný počet řešení.

Definice. Nechat r< n, r proměnné X 1 , X 2 ,…, xr jsou nazývány základní, pokud determinant matice z jejich koeficientů ( základní moll) se liší od nuly. Odpočinek n–r se nazývají proměnné volný, uvolnit.

Definice.Řešení systém, ve kterém všechno n–r Volné proměnné jsou rovny nule se nazývá základní.

Kloubní systém m lineární rovnice s n proměnné ( m< n ) má nekonečný počet řešení, mezi nimiž je konečný počet základních řešení nepřesahujících , kde .

V našem případě, tj. systém nemá více než 6 základních řešení.

Obecné řešení je:

Xi = 3X2 + 5X4

X 3 = 4 – 2 X 2 – 4 X 4

Pojďme najít základní řešení. K tomu předpokládáme X 2 = 0, X 4 = 0, pak X 1 = 0, X 3 = 4. Základní řešení má tvar: (0, 0, 4, 0).

Dáme si něco jiného základní řešení. K tomu bereme X 3 a X 4 jako volné neznámé. Vyjádřeme neznámé X 1 a X 2 prostřednictvím neznámých X 3 a X 4:

X 1 = 6 – 3/2 X 2 – X 4

X 2 = 2 – 1/2X 3 – 2X 4.

Pak má základní řešení tvar: (6, 2, 0, 0).

Příklad 2.12. Vyřešte systém:

X 1 + 2 X 2 – X 3 = 7

2X 1 – 3X 2 + X 3 = 3

4X 1 + X 2 – X 3 = 16

Řešení: Transformujte rozšířenou matici systému

Rovnice odpovídající třetímu řádku poslední matice je tedy nekonzistentní – výsledkem je nesprávná rovnost 0 = –1, tedy, tento systém nekompatibilní. Tento závěr lze také získat, když si všimneme, že hodnost systémové matice je 2, zatímco hodnost rozšířené systémové matice je 3.

V tomto článku se budeme zabývat Jordan-Gaussovou metodou pro řešení systémů lineárních rovnic, rozdílem mezi Gaussovou metodou a Jordan-Gaussovou metodou, algoritmem akcí a také uvedeme příklady řešení SLAE.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Základní pojmy

Definice 1

Jordan-Gaussova metoda - jedna z metod určených pro řešení soustav lineárních algebraických rovnic.

Tato metoda je modifikace Gaussovy metody - na rozdíl od originálu (Gaussova metoda) umožňuje Jordan-Gaussova metoda řešit SLAE v jedné fázi (bez použití tahů vpřed a vzad).

Poznámka

Maticový zápis SLAE: místo zápisu A v Jordan-Gaussově metodě se pro zápis používá zápis Ã - zápis rozšířené matice soustavy.

Příklad 1

4 x 1 - 7 x 2 + 8 x 3 = - 23 2 x 1 - 4 x 2 + 5 x 3 = - 13 - 3 x 1 + 11 x 2 + x 3 = 16

Jak vyřešit?

Zapíšeme rozšířenou matici systému:

Ã = 4 - 7 8 | - 23 2 - 4 5 | - 13 - 3 11 1 | 16

Připomínáme, že nalevo od řádku je matice systému A napsána:

A = 4 - 7 8 2 - 4 5 - 3 11 1

Poznámka 1

V každém kroku řešení je nutné vybrat prvky rozlišovací matice. Proces výběru může být různý – v závislosti na tom, jak jsou prvky vybírány, se budou rozhodnutí lišit. Jako rozlišovací prvky můžete zvolit diagonální prvky matice, nebo je můžete volit libovolně.

V tomto článku si ukážeme obě řešení.

Libovolný způsob výběru aktivačních prvků

První etapa:

Měli byste se podívat na 1. sloupec matice Ã - musíte vybrat nenulový (rozlišovací) prvek.

1. sloupec má 3 nenulové prvky: 4, 2, -3. Můžete si vybrat libovolný, ale podle pravidel se vybere ten, jehož modul je nejblíže jedné. V našem příkladu je toto číslo 2.

Cílová: resetovat všechny prvky kromě aktivačního, tzn. musíte resetovat 4 a -3:

4 - 7 8 2 - 4 5 - 3 11 1

Proveďme transformaci: musíme vytvořit rozlišovací prvek rovný jedné. Chcete-li to provést, vydělte všechny prvky 2. řádku 2. Tato transformace má označení: I I: 2:

4 - 7 8 | - 23 2 - 4 5 | - 13 - 3 11 1 | 16 I I ÷ 2 → 4 - 7 8 | - 23 2 - 4 5 / 2 | - 13 / 2 - 3 11 1 | 16

Nyní resetujeme zbývající prvky: 4 a -3:

4 - 7 8 | - 23 2 - 4 5 / 2 | - 13 / 2 - 3 11 1 | 16 I - 4 × I I I I I - (- 3) × I I

Převody je třeba provést:

I - 4 × I I a I I I - (- 3) × I I = I I I + 3 × I I

Zápis I - 4 × I I znamená, že odpovídající prvky 2. řady, vynásobené 4, se odečítají od prvků 1. řady.

Zápis I I I + 3 × I I znamená, že odpovídající prvky 2. řady, vynásobené 3, se přičtou k prvkům 3. řady.

I - 4 × I I = 4 - 7 8 - 23 - 4 1 - 2 5 / 2 - 13 / 2 = = 4 - 7 8 - 23 - 4 - 8 10 - 26 = 0 1 - 2 3

Takové změny se zaznamenávají takto:

4 - 7 8 | - 23 2 - 4 5 / 2 | - 13 / 2 - 3 11 1 | 16 I - 4 × I I I I I - (- 3) × I I → 0 1 - 2 | 3 1 – 2 5 / 2 | - 13/2 0 5 17/2 | - 7/2

Druhá fáze

Je nutné vynulovat 2. sloupec, proto je potřeba vybrat rozlišovací prvek: 1, -2, 5. V první fázi jsme však použili 2. řádek matice, takže prvek -2 nelze použít.

Vzhledem k tomu, že je nutné zvolit číslo, jehož modul se nejvíce blíží jedné, je volba zřejmá - je to 1. Zbývající prvky 2. sloupce vynulujeme:

0 1 - 2 | 3 1 – 2 5 / 2 | - 13/2 0 5 17/2 | - 7 / 2 I I - (- 2) × I I I I - 5 × I

0 1 - 2 | 3 1 – 2 5 / 2 | - 13/2 0 5 17/2 | - 7 / 2 I I + 2 × I I I I - 5 × I → 0 1 - 2 | 3 1 0 - 3 / 2 | - 1 / 2 0 0 37 / 2 | - 37/2

Třetí etapa

Nyní musíte resetovat prvky 3. sloupce. Protože první a druhý řádek již byly použity, zbývá pouze jedna možnost: 37 / 2. Použijte jej k resetování prvků třetího sloupce:

0 1 - 2 | 3 1 0 - 3 / 2 | - 1 / 2 0 0 37 / 2 | - 37 / 2

Po provedení transformací

I - (- 2) × I I I = I + 2 × I I I a I I - (- 3 2) × I I I = I I + 3 2 × I I

dostaneme následující výsledek:

0 1 - 2 | 3 1 0 - 3 / 2 | - 1 / 2 0 0 1 | - 1 I + 2 × I I I I I + 3 / 2 × I I I → 0 1 0 | 1 1 0 0 | - 2 0 0 1 | - 1

Odpovědět : x 1 = -2; x2 = 1; x 3 = -1.

Kompletní řešení:

4 - 7 8 | - 23 2 - 4 5 | - 13 - 3 11 1 | 16 I I ÷ 2 → 4 - 7 8 | - 23 2 - 4 5 / 2 | - 13 / 2 - 3 11 1 | 16 I - 4 × I I I I I - (- 3) × I I →

→ 0 1 - 2 | 3 1 – 2 5 / 2 | - 13/2 0 5 17/2 | - 7 / 2 I I - (- 2) × I I I I - 5 × I → 0 1 - 2 | 3 1 0 - 3 / 2 | - 1 / 2 0 0 37 / 2 | - 37 / 2 I I I ÷ 37 2 →

→ 0 1 - 2 | 3 1 0 - 3 / 2 | - 1 / 2 0 0 1 | - 1 I + 2 × I I I I I + 3 / 2 × I I I → 0 1 0 | 1 1 0 0 | - 2 0 0 1 | - 1.

Výběr rozlišovacích prvků na hlavní diagonále matice systému

Definice 2

Princip výběru rozlišovacích prvků je založen na jednoduchém výběru odpovídajících prvků: v 1. sloupci se vybere prvek 1. sloupce, ve 2. - druhý, ve 3. - třetí atd.

První etapa

V prvním sloupci je potřeba vybrat prvek prvního řádku, tzn. 4. Ale protože první sloupec obsahuje číslo 2, jehož modul je blíže jedné než 4, můžete první a druhý řádek prohodit:

4 - 7 8 | - 23 2 - 4 5 | - 13 - 3 11 1 | 16 → 2 - 4 5 | - 13 4 - 7 8 | - 23 - 3 11 1 | 16

Nyní je aktivační prvek 2. Jak je znázorněno v první metodě, vydělíme první řádek 2 a poté všechny prvky vynulujeme:

4 - 7 8 | - 23 2 - 4 5 | - 13 - 3 11 1 | 16 I ÷ 2 → 2 - 4 5 / 2 | - 13 / 2 4 - 7 8 | - 23 - 3 11 1 | 16 I I - 4 × I I I I + 3 × I → 1 - 2 5 / 2 | - 13 / 2 0 1 - 2 | 3 0 5 17 / 2 | - 7/2

Druhá fáze

Ve druhé fázi musíte resetovat prvky druhého sloupce. Aktivační prvek je 1, takže nejsou nutné žádné změny:

0 1 - 2 | 3 1 – 2 5 / 2 | - 13/2 0 5 17/2 | - 7 / 2 I + 2 × I I I I - 5 × I I → 0 1 - 2 | 3 1 0 - 3 / 2 | - 1 / 2 0 0 37 / 2 | - 37/2

Třetí etapa

Ve třetí fázi je nutné resetovat prvky třetího sloupce. Rozlišovací prvek - 37/2. Všechny prvky vydělíme 37/2 (aby se rovnaly 1) a poté je vynulujeme:

0 1 - 2 | 3 1 0 - 3 / 2 | - 1 / 2 0 0 37 / 2 | - 37 / 2 I I I ÷ 37 2 → 1 0 - 3 / 2 | - 1 / 2 0 1 - 2 | 3 0 0 1 | - 1 I + 2 × I I I I I + 3 / 2 × I I I → 1 0 0 | - 2 0 1 0 | 1 0 0 1 | - 1

Odpovědět: xi = -2; x2 = 1; x 3 = -1.

4 - 7 8 | - 23 2 - 4 5 | - 13 - 3 11 1 | 16 I ÷ 2 → 2 - 4 5 / 2 | - 13 / 2 4 - 7 8 | - 23 - 3 11 1 | 16 I I - 4 × I I I I + 3 × I → 0 1 - 2 | 3 1 – 2 5 / 2 | - 13/2 0 5 17/2 | - 7 / 2 I + 2 × I I I I - 5 × I I →

→ 0 1 - 2 | 3 1 0 - 3 / 2 | - 1 / 2 0 0 37 / 2 | - 37 / 2 I I I ÷ 37 2 → 1 0 - 3 / 2 | - 1 / 2 0 1 - 2 | 3 0 0 1 | - 1 I + 2 × I I I I I + 3 / 2 × I I I → 1 0 0 | - 2 0 1 0 | 1 0 0 1 | - 1

Příklad 2

Řešte SLAE pomocí Jordan-Gaussovy metody:

3 x 1 + x 2 + 2 x 3 + 5 x 4 = - 6 3 x 1 + x 2 + 2 x 4 = - 10 6 x 1 + 4 x 2 + 11 x 3 + 11 x 4 = - 27 - 3 x 1 - 2 x 2 - 2 x 3 - 10 x 4 = 1

Jak vyřešit?

Zapište rozšířenou matici tohoto systému Г:

3 1 2 5 | - 6 3 1 0 2 | 10 6 4 11 11 | - 27 - 3 - 2 - 2 - 10 | 1

K řešení používáme druhý způsob: výběr rozlišovacích prvků na hlavní diagonále soustavy. V první fázi vybereme prvek prvního řádku, ve druhém - druhý řádek, ve třetím - třetí atd.

První etapa

Je nutné vybrat povolovací prvek prvního řádku, tzn. 3. Poté resetujeme všechny prvky sloupce a vydělíme všechny prvky 3:

3 1 2 5 | - 6 3 1 0 2 | - 10 6 4 11 11 | - 27 - 3 - 2 - 2 - 10 | 1 I ÷ 3 → 1 1 / 3 2 / 3 5 / 3 | - 2 3 1 0 2 | - 10 6 4 11 11 | - 27 - 3 - 2 - 2 - 10 | 1 I I - 3 × I I I I - 6 × I I V + 3 × I →

→ 1 1 / 3 2 / 3 5 / 3 | - 2 0 0 - 2 - 3 | - 4 0 2 7 1 | - 15 0 - 1 0 - 5 | - 5

Druhá fáze

Je nutné resetovat prvky druhého sloupce. K tomu vybereme povolující prvek, ale prvek prvního řádku druhého sloupce je roven nule, takže je nutné řádky prohodit.

Protože čtvrtý řádek obsahuje číslo -1, prohodíme druhý a čtvrtý řádek:

1 1 / 3 2 / 3 5 / 3 | - 2 0 0 - 2 - 3 | - 4 0 2 7 1 | - 15 0 - 1 0 - 5 | - 5 → 1 1 / 3 2 / 3 5 / 3 | - 2 0 - 1 0 - 5 | - 5 0 2 7 1 | - 15 0 0 - 2 - 3 | - 4

Nyní je prvek rozlišení -1. Vydělte prvky druhého sloupce hodnotou -1 a poté je vynulujte:

1 1 / 3 2 / 3 5 / 3 | - 2 0 - 1 0 - 5 | - 5 0 2 7 1 | - 15 0 0 - 2 - 3 | - 4 I I ÷ (- 1) → 1 1 / 3 2 / 3 5 / 3 | - 2 0 1 0 5 | 5 0 2 7 1 | - 15 0 0 - 2 - 3 | - 4 I - 1/3 × I I I I - 2 × I →

→ 1 0 2 / 3 0 | - 11 / 3 0 1 0 5 | 5 0 0 7 - 9 | - 25 0 0 - 2 - 3 | - 4

Třetí etapa

Ve třetí fázi je také nutné resetovat prvky třetího sloupce. K tomu najdeme rozlišovací prvek ve třetím řádku - to je 7. Ale dělení 7 je nepohodlné, takže je nutné prohodit řádky tak, aby se rozlišovací prvek stal -2:

1 0 2 / 3 0 | - 11 / 3 0 1 0 5 | 5 0 0 7 - 9 | - 25 0 0 - 2 - 3 | - 4 → 1 0 2 / 3 0 | - 11 / 3 0 1 0 5 | 5 0 0 - 2 - 3 | - 4 0 0 7 - 9 | - 25

Nyní vydělíme všechny prvky třetího sloupce -2 a vynulujeme všechny prvky:

1 0 2 / 3 0 | - 11 / 3 0 1 0 5 | 5 0 0 - 2 - 3 | - 4 0 0 7 - 9 | - 25 I I I ÷ (- 2) → 1 0 2 / 3 0 | - 11 / 3 0 1 0 5 | 5 0 0 1 3 / 2 | 2 0 0 0 - 9 | - 25 I - 2 / 3 × I I I I V - 7 × I I I →

1 0 0 - 1 | - 5 0 1 0 5 | 5 0 0 1 3 / 2 | 2 0 0 0 - 39 / 2 | - 39

Čtvrtá etapa

Obnovte čtvrtý sloupec. Prvek rozlišení - - 39 2:

1 0 0 - 1 | - 5 0 1 0 5 | 5 0 0 1 3 / 2 | 2 0 0 0 - 39 / 2 | - 39 I V ÷ (- 39 2) → 1 0 0 - 1 | - 5 0 1 0 5 | 5 0 0 1 3 / 2 | 2 0 0 0 1 | 2 I + I V I I - 5 × I V I I I - 3 / 2 × I V →

→ 1 0 0 0 | - 3 0 1 0 0 | - 5 0 0 1 0 | - 1 0 0 0 1 | 2 .

Odpovědět : x 1 = - 3; x2 = -5; x3 = -1; x 4 = 2

Pokud si všimnete chyby v textu, zvýrazněte ji a stiskněte Ctrl+Enter

V obecný případ lineární rovnice je:

Rovnice má řešení: pokud je alespoň jeden z koeficientů neznámých odlišný od nuly. V tomto případě se jakýkoli -rozměrný vektor nazývá řešením rovnice, pokud se při dosazení jeho souřadnic rovnice stane identitou.

Obecná charakteristika řešené soustavy rovnic

Příklad 20.1

Popište soustavu rovnic.

Řešení:

1. Je v tom nějaká protichůdná rovnice?(Pokud koeficienty, v tomto případě má rovnice tvar: a nazývá se kontroverzní.)

Pokud systém obsahuje něco protichůdného, pak je takový systém nekonzistentní a nemá řešení.

2. Najděte všechny povolené proměnné. (Neznámý se nazývápovoleno pro soustavu rovnic, pokud je zahrnuta v jedné z rovnic soustavy s koeficientem +1, ale není zahrnuta ve zbývajících rovnicích (tj. je zahrnuta s koeficientem rovným nule).

3. Je soustava rovnic vyřešena? (Soustava rovnic se nazývá vyřešená, pokud každá rovnice soustavy obsahuje vyřešenou neznámou, mezi kterými nejsou žádné shodné)

Vytvoří se vyřešené neznámé, z každé rovnice systému jedna plný set vyřešené neznámé systémy. (v našem příkladu je to toto)

Povolené neznámé zahrnuté v kompletní sadě jsou také nazývány základní() a není součástí sady - volný, uvolnit ().

V obecném případě má vyřešená soustava rovnic tvar:

Na v tomto stádiu hlavní věcí je pochopit, co to je vyřešeno neznámo(zahrnuto v základu a zdarma).

Obecné Konkrétní Základní řešení

Obecné řešení vyřešená soustava rovnic je množina vyjádření vyřešených neznámých prostřednictvím volných členů a volných neznámých:

Soukromé rozhodnutí se nazývá řešení, které se získá z obecného řešení pro konkrétní hodnoty volných proměnných a neznámých.

Základní řešení se nazývá konkrétní řešení získané z obecného s nulové hodnoty volné proměnné.

Základní řešení (vektor) se nazývá degenerovat, pokud je počet jeho nenulových souřadnic menší než počet povolených neznámých.
Základní řešení je tzv nedegenerované, pokud je počet jeho nenulových souřadnic roven počtu povolených neznámé systémy součástí kompletní sady.

Věta (1)

Vyřešený systém rovnic je vždy konzistentní(protože má alespoň jedno řešení); Navíc, pokud systém nemá volné neznámé,(to znamená, že v systému rovnic jsou v základu zahrnuty všechny povolené) pak je to definováno(má unikátní řešení); pokud existuje alespoň jedna volná proměnná, pak systém není definován(má nekonečně mnoho řešení).

Příklad 1. Najděte obecné, základní a libovolné konkrétní řešení soustavy rovnic:

Řešení:

1. Kontrolujeme, zda je systém autorizován?

Systém je vyřešen (protože každá z rovnic obsahuje vyřešenou neznámou)

2. Do množiny zařazujeme povolené neznámé – z každé rovnice jednu.

3. Pojďme to napsat společné rozhodnutí podle toho, které povolené neznámé jsme do sady zařadili.

4. Hledání soukromého řešení. Abychom to udělali, zrovnoprávníme volné proměnné, které jsme do množiny nezahrnuli, s libovolnými čísly.

Odpovědět: soukromé řešení(jedna z možností)

5. Nalezení základního řešení. Za tímto účelem srovnáme volné proměnné, které jsme do množiny nezahrnuli, s nulou.

Elementární transformace lineárních rovnic

Systémy lineárních rovnic jsou pomocí elementárních transformací redukovány na ekvivalentní řešené systémy.

Věta (2)

Jestli nějaký vynásobte rovnici soustavy nějakým nenulovým číslem, a zbytek rovnic ponechte beze změny, pak . (tedy pokud vynásobíte levou a pravá strana rovnice pro stejné číslo, pak dostanete rovnici ekvivalentní danému)

Věta (3)

Li přidat další do libovolné rovnice soustavy a všechny ostatní rovnice ponechte beze změny dostaneme systém ekvivalentní tomuto. (to znamená, že pokud přidáte dvě rovnice (přičtením jejich levé a pravé strany), dostanete rovnici ekvivalentní datům)

Důsledek vět (2 a 3)

Li přidat další rovnici k rovnici vynásobené určitým číslem a všechny ostatní rovnice ponechte beze změny, pak dostaneme systém ekvivalentní tomuto.

Vzorce pro přepočet systémových koeficientů

Pokud máme soustavu rovnic a chceme ji převést na vyřešenou soustavu rovnic, pomůže nám s tím Jordan-Gaussova metoda.

Jordanova transformace s rozlišovacím prvkem umožňuje získat vyřešenou neznámou pro soustavu rovnic v rovnici s číslem . (příklad 2).

Jordanova transformace se skládá z elementárních transformací dvou typů:

Řekněme, že chceme z neznámé v nižší rovnici udělat vyřešenou neznámou. Abychom to udělali, musíme vydělit , takže součet je .

Příklad 2 Přepočítejme systémové koeficienty

Při dělení rovnice číslem číslem se její koeficienty přepočítají pomocí vzorců:

Chcete-li vyloučit z rovnice s číslem , musíte rovnici s číslem vynásobit a přidat k této rovnici.

Věta (4) O snížení počtu rovnic soustavy.

Pokud soustava rovnic obsahuje triviální rovnici, lze ji ze soustavy vyloučit a získáme soustavu ekvivalentní té původní.

Věta (5) O nekompatibilitě soustavy rovnic.

Pokud soustava rovnic obsahuje nekonzistentní rovnici, pak je nekonzistentní.

Algoritmus Jordan-Gaussovy metody

Algoritmus pro řešení soustav rovnic pomocí Jordan-Gaussovy metody se skládá z řady podobných kroků, z nichž každý se provádí v následujícím pořadí:

Zkontroluje, zda systém není konzistentní. Pokud systém obsahuje nekonzistentní rovnici, pak je nekonzistentní.
Kontroluje se možnost snížení počtu rovnic. Pokud soustava obsahuje triviální rovnici, je přeškrtnuta.
Je-li soustava rovnic vyřešena, zapište obecné řešení soustavy a případně řešení partikulární.
Pokud systém není vyřešen, pak v rovnici, která neobsahuje vyřešenou neznámou, se vybere rozlišovací prvek a s tímto prvkem se provede Jordanova transformace.
Poté se vraťte k bodu 1

Příklad 3 Řešte soustavu rovnic Jordan-Gaussovou metodou.

Nalézt: dvě obecná a dvě odpovídající základní řešení

Řešení:

Výpočty jsou uvedeny v tabulce níže:

Napravo od tabulky jsou akce s rovnicemi. Šipky ukazují, ke které rovnici je rovnice s rozlišovacím prvkem přidána, vynásobená vhodným faktorem.

První tři řádky tabulky obsahují koeficienty pro neznámé a pravou stranu původní systém. Výsledky první Jordanovy transformace s rozlišovacím prvkem rovným jedné jsou uvedeny na řádcích 4, 5, 6. Výsledky druhé Jordanovy transformace s rozlišovacím prvkem rovným (-1) jsou uvedeny na řádcích 7, 8, 9 Vzhledem k tomu, že třetí rovnice je triviální, lze ji vynechat.

Oblíbené v kategorii: