Jak používat kosinusovou tabulku Bradis. Život úžasných jmen
Dnes existuje mnoho výpočetních nástrojů, které lze použít k řešení problémů, jak složitých, tak extrémně jednoduchých. Bradisovy tabulky však dnes nejsou o nic méně relevantní než před několika desítkami let. Ne všichni studenti středních a vysokých škol ale umějí používat stůl Bradis. Uvažujme o použití těchto tabulek na příkladu řešení úloh se sinusovými hodnotami. Mimochodem, tyto stoly nemusíte kupovat v tištěné podobě, protože jsou nabízeny na internetu pod tímto odkazem.
Sinusy
Otevřete stránku se sinem. Nyní se podívejte na podmínky úlohy, ve které dimenzi je vám daný úhel – ve stupních, radiánech nebo minutách. Faktem je, že Bradisovy tabulky uvádějí čísla pouze v minutách a stupních. Pokud je tedy hodnota vašeho úhlu jiná, musíte ji převést na stupně nebo minuty. Úhel z radiánů můžete převést na stupně pomocí vzorce a=b*180°/π, kde b je úhel v radiánech a α je ve stupních.
Tabulka se skládá z řádků umístěných jak svisle, tak vodorovně. V krajní řadě vlevo je v jejím levém rohu „hřích“. Dále pod ním jsou ve sloupci čísla (označují stupně). Jedná se o celočíselné stupně. Najděte požadovaný indikátor celého úhlu a poté v horním řádku vyhledejte číslo odpovídající indikátoru zlomkového úhlu. Na průsečíku sloupce a řádku bude hodnota, kterou potřebujete.
zápis
Pokud použijete Bradisovu tabulku v minutách, pak jsou v tabulce uvedeny nikoli v řadě, ale po 6. To znamená, že pro nalezení úhlu s hodnotou, která je násobkem čísla „6“, může Bradisova tabulka být použit. Kosiny, jak použít tabulku, když je např. udán úhel v minutách s hodnotou 19? K tomu použijte korekce umístěné na pravé straně tabulky na stránce „Cosines“. Je nutné najít rozdíl mezi nejbližším násobkem „6“ a daným úhlem. Pro rozdíl 1 až 3 přičtěte zjištěnou hodnotu k poslední číslici kosinusové hodnoty menšího úhlu a pro rozdíl 4 nebo 5 odečtěte korekční hodnotu od poslední číslice většího úhlu.
V pátém století před naším letopočtem formuloval starověký řecký filozof Zenón z Elea své slavné aporie, z nichž nejznámější je aporie „Achilles a želva“. Zní to takto:Řekněme, že Achilles běží desetkrát rychleji než želva a je tisíc kroků za ní. Během doby, kterou Achilles uběhne tuto vzdálenost, ujde želva sto kroků stejným směrem. Když Achilles uběhne sto kroků, želva se plazí dalších deset kroků a tak dále. Proces bude pokračovat do nekonečna, Achilles želvu nikdy nedohoní.
Tato úvaha se stala logickým šokem pro všechny následující generace. Aristoteles, Diogenes, Kant, Hegel, Hilbert... Ti všichni tak či onak považovali Zenónovu aporii. Šok byl tak silný, že " ... diskuse pokračují dodnes, nebyla dosud schopna dospět ke společnému názoru na podstatu paradoxů ... do studia problematiky se zapojila matematická analýza, teorie množin, nové fyzikální a filozofické přístupy; ; žádný z nich se nestal obecně přijímaným řešením problému..."[Wikipedie, "Zeno's Aporia". Každý chápe, že je klamán, ale nikdo nechápe, v čem spočívá ten podvod.
Z matematického hlediska Zeno ve svých aporiích jasně demonstroval přechod od kvantity k . Tento přechod znamená aplikaci namísto trvalých. Pokud jsem pochopil, matematický aparát pro použití proměnných jednotek měření buď ještě nebyl vyvinut, nebo nebyl aplikován na Zenónovu aporii. Použití naší obvyklé logiky nás vede do pasti. My, díky setrvačnosti myšlení, aplikujeme na převrácenou hodnotu konstantní jednotky času. Z fyzikálního hlediska to vypadá jako zpomalení času, až se úplně zastaví v okamžiku, kdy Achilles želvu dožene. Pokud se čas zastaví, Achilles už nemůže předběhnout želvu.
Pokud obrátíme naši obvyklou logiku, vše zapadne na své místo. Achilles běží konstantní rychlostí. Každý následující úsek jeho cesty je desetkrát kratší než ten předchozí. Čas strávený na jeho překonání je tedy desetkrát kratší než ten předchozí. Pokud v této situaci použijeme koncept „nekonečna“, pak by bylo správné říci „Achilles želvu dožene nekonečně rychle“.
Jak se této logické pasti vyhnout? Zůstaňte v konstantních jednotkách času a nepřecházejte na reciproční jednotky. V Zenoově jazyce to vypadá takto:
Za dobu, kterou Achilles uběhne tisíc kroků, ujde želva sto kroků stejným směrem. Během dalšího časového intervalu rovného prvnímu uběhne Achilles dalších tisíc kroků a želva proplazí sto kroků. Nyní je Achilles osm set kroků před želvou.
Tento přístup adekvátně popisuje realitu bez jakýchkoli logických paradoxů. Ale to není úplné řešení problému. Einsteinův výrok o neodolatelnosti rychlosti světla je velmi podobný Zenónově aporii „Achilles a želva“. Tento problém musíme stále studovat, přehodnocovat a řešit. A řešení je třeba hledat ne v nekonečně velkém počtu, ale v měrných jednotkách.
Další zajímavá aporie Zeno vypráví o létajícím šípu:
Letící šíp je nehybný, protože je v každém okamžiku v klidu, a protože je v každém okamžiku v klidu, je vždy v klidu.
V této aporii je logický paradox překonán velmi jednoduše - stačí si ujasnit, že v každém okamžiku je letící šíp v klidu v různých bodech prostoru, což je ve skutečnosti pohyb. Zde je třeba poznamenat další bod. Z jedné fotografie auta na silnici není možné určit ani skutečnost jeho pohybu, ani vzdálenost k němu. Chcete-li zjistit, zda se auto pohybuje, potřebujete dvě fotografie pořízené ze stejného bodu v různých okamžicích, ale nemůžete určit vzdálenost od nich. K určení vzdálenosti k autu potřebujete dvě fotografie pořízené z různých bodů ve vesmíru v jednom časovém okamžiku, ale z nich nemůžete určit skutečnost pohybu (samozřejmě stále potřebujete další data pro výpočty, pomůže vám trigonometrie ). Na co chci zvláště upozornit je, že dva body v čase a dva body v prostoru jsou různé věci, které by se neměly zaměňovat, protože poskytují různé příležitosti pro výzkum.
Středa 4. července 2018
Rozdíly mezi množinou a multimnožinou jsou velmi dobře popsány na Wikipedii. Podívejme se.
Jak vidíte, „v sadě nemohou být dva stejné prvky“, ale pokud jsou v sadě shodné prvky, nazývá se taková sada „multiset“. Rozumné bytosti nikdy nepochopí takovou absurdní logiku. To je úroveň mluvících papoušků a cvičených opic, kteří nemají žádnou inteligenci ze slova „naprosto“. Matematici vystupují jako obyčejní školitelé a kážou nám své absurdní myšlenky.
Kdysi byli inženýři, kteří most stavěli, ve člunu pod mostem při testování mostu. Pokud se most zřítil, průměrný inženýr zemřel pod troskami svého výtvoru. Pokud most vydržel zatížení, talentovaný inženýr postavil další mosty.
Bez ohledu na to, jak se matematici schovávají za frázi „pozor, jsem v domě“, nebo spíše „matematika studuje abstraktní pojmy“, existuje jedna pupeční šňůra, která je nerozlučně spojuje s realitou. Tato pupeční šňůra jsou peníze. Aplikujme matematickou teorii množin na samotné matematiky.
Učili jsme se skvěle matematiku a teď sedíme u pokladny a rozdáváme platy. Matematik si k nám tedy přijde pro své peníze. Odpočítáme mu celou částku a rozložíme ji na náš stůl na různé hromádky, do kterých vložíme bankovky stejné nominální hodnoty. Potom z každé hromádky vezmeme jednu bankovku a dáme matematikovi jeho „matematický soubor platu“. Vysvětleme matematikovi, že zbývající účty dostane, až když prokáže, že množina bez stejných prvků se nerovná množině se stejnými prvky. Tady začíná zábava.
Za prvé bude fungovat logika poslanců: "To se dá použít na ostatní, ale ne na mě!" Pak nás začnou ujišťovat, že bankovky stejné nominální hodnoty mají různá čísla bankovek, což znamená, že je nelze považovat za stejné prvky. Dobře, počítejme platy v mincích – na mincích nejsou žádná čísla. Matematik zde začne horečně vzpomínat na fyziku: různé mince mají různé množství nečistot, krystalová struktura a uspořádání atomů je u každé mince jedinečné...
A teď mám tu nejzajímavější otázku: kde je hranice, za kterou se prvky multimnožiny mění v prvky množiny a naopak? Taková linie neexistuje – o všem rozhodují šamani, věda zde ani zdaleka nelhala.
Podívejte se sem. Vybíráme fotbalové stadiony se stejnou plochou hřiště. Plochy polí jsou stejné – což znamená, že máme multiset. Ale když se podíváme na jména těchto stejných stadionů, dostaneme jich mnoho, protože jména jsou různá. Jak vidíte, stejná množina prvků je množina i multimnožina. která je správná? A tady matematik-šaman-sharpista vytahuje z rukávu trumfové eso a začíná nám vyprávět buď o sadě, nebo o multisetu. V každém případě nás přesvědčí, že má pravdu.
Abychom pochopili, jak moderní šamani operují s teorií množin a spojují ji s realitou, stačí odpovědět na jednu otázku: jak se liší prvky jedné množiny od prvků jiné množiny? Ukážu vám to bez jakéhokoli „nemyslitelného jako jeden celek“ nebo „nemyslitelného jako jeden celek“.
Neděle 18. března 2018
Součet číslic čísla je tanec šamanů s tamburínou, který nemá s matematikou nic společného. Ano, v hodinách matematiky nás učí najít součet číslic čísla a použít ho, ale proto jsou šamani, aby naučili své potomky jejich dovednostem a moudrosti, jinak šamani prostě vymřou.
Potřebujete důkaz? Otevřete Wikipedii a zkuste najít stránku „Součet číslic čísla“. Ona neexistuje. V matematice neexistuje vzorec, který by se dal použít k nalezení součtu číslic libovolného čísla. Čísla jsou přece grafické symboly, kterými čísla píšeme, a v jazyce matematiky zní úkol takto: „Najděte součet grafických symbolů představujících libovolné číslo.“ Matematici tento problém vyřešit nedokážou, ale šamani to snadno dokážou.
Pojďme zjistit, co a jak děláme, abychom našli součet číslic daného čísla. Mějme tedy číslo 12345. Co je třeba udělat, abychom našli součet číslic tohoto čísla? Zvažme všechny kroky v pořadí.
1. Zapište si číslo na kus papíru. co jsme udělali? Číslo jsme převedli na grafický číselný symbol. Toto není matematická operace.
2. Jeden výsledný obrázek rozřežeme na několik obrázků obsahujících jednotlivá čísla. Vyříznutí obrázku není matematická operace.
3. Převeďte jednotlivé grafické symboly na čísla. Toto není matematická operace.
4. Sečtěte výsledná čísla. Teď je to matematika.
Součet číslic čísla 12345 je 15. Toto jsou „kurzy stříhání a šití“ od šamanů, které používají matematici. Ale to není vše.
Z matematického hlediska je jedno, v jaké číselné soustavě číslo zapíšeme. Takže v různých číselných soustavách se bude součet číslic stejného čísla lišit. V matematice se číselná soustava označuje jako dolní index napravo od čísla. S velkým číslem 12345 si nechci klamat hlavu, uvažujme číslo 26 z článku o. Zapišme toto číslo v dvojkové, osmičkové, desítkové a šestnáctkové číselné soustavě. Nebudeme se na každý krok dívat pod mikroskopem, to už jsme udělali. Podívejme se na výsledek.
Jak vidíte, v různých číselných soustavách se součet číslic stejného čísla liší. Tento výsledek nemá nic společného s matematikou. Je to stejné, jako kdybyste určili plochu obdélníku v metrech a centimetrech, dostali byste úplně jiné výsledky.
Nula vypadá stejně ve všech číselných soustavách a nemá žádný součet číslic. To je další argument ve prospěch skutečnosti, že. Otázka pro matematiky: jak se v matematice označuje něco, co není číslo? Co, pro matematiky neexistuje nic kromě čísel? U šamanů to mohu dovolit, ale u vědců ne. Realita není jen o číslech.
Získaný výsledek by měl být považován za důkaz, že číselné soustavy jsou jednotkami měření čísel. Nemůžeme přece porovnávat čísla s různými měrnými jednotkami. Pokud stejné akce s různými jednotkami měření stejné veličiny vedou po jejich srovnání k různým výsledkům, pak to nemá nic společného s matematikou.
Co je skutečná matematika? To je, když výsledek matematické operace nezávisí na velikosti čísla, použité měrné jednotce a na tom, kdo tuto akci provede.
Ó! Není to dámská toaleta?
- Mladá žena! Toto je laboratoř pro studium indefilní svatosti duší během jejich vzestupu do nebe! Halo nahoře a šipka nahoru. Jaký jiný záchod?
Žena... Svatozář nahoře a šipka dolů jsou mužské.
Pokud se vám takové umělecké dílo mihne před očima několikrát denně,
Pak není divu, že najednou ve svém autě najdete podivnou ikonu:
Osobně se snažím u kakajícího člověka (jeden obrázek) vidět mínus čtyři stupně (složení více obrázků: znaménko mínus, čtyřka, označení stupňů). A nemyslím si, že tato dívka je blázen, který nezná fyziku. Má prostě silný stereotyp vnímání grafických obrázků. A matematici nás to neustále učí. Zde je příklad.
1A není „minus čtyři stupně“ nebo „jedno a“. Toto je „pooping man“ nebo číslo „šestadvacet“ v hexadecimálním zápisu. Lidé, kteří neustále pracují v této číselné soustavě, automaticky vnímají číslo a písmeno jako jeden grafický symbol.
Jak vznikly Bradisovy stoly?
Moderní školáci, studenti a vědci si svou práci bez počítače nebo kalkulačky prakticky nedokážou představit. Zvyk používat elektronická zařízení se tak hluboce zakořenil v každodenním životě, že nikoho ani nepřekvapí, že tato zařízení okamžitě poskytují velmi přesné hodnoty pro docela složité funkce. A například ještě ve 30. letech minulého století bylo téměř nemožné vyhnout se dlouhým a únavným výpočtům hodnot goniometrických funkcí. Numerické metody umožňují určit hodnotu libovolné funkce pomocí jejího rozšíření mocninné řady. Tato metoda je však poměrně pracná a má vysokou přesnost, což není v praxi vždy potřeba. Vladimir Modestovich Bradis navrhl metodu pro výpočet goniometrických funkcí, která omezila zdlouhavé výpočty na minimum. Vybral funkce nejčastěji používané v inženýrských výpočtech, vypočítal jejich hodnoty v poměrně široké škále argumentů a konečný výsledek předložil ve formě tabulek, které byly každoročně zveřejňovány po několik desetiletí.
Co jsou Bradisovy stoly?
Bradisova „čtyřciferné matematické tabulky“ je malá brožurka, která obsahuje hodnoty goniometrických funkcí, jako je sinus, kosinus, tangens a kotangens pro různé hodnoty argumentu. Stojí za zmínku, že sinus a kosinus se počítají pomocí jedné části tabulky a tečny a kotangensy se počítají pomocí jiné. Je to dáno základními goniometrickými vztahy, které tyto dvojice funkcí spojují.
Každá tabulka má standardní strukturu: argumenty prvního řádku a prvního sloupce odpovídají jedné funkci z dvojice (sinus nebo tangens), argumenty čtvrtého z koncového sloupce a posledního řádku odpovídají druhé funkci (kosinus resp. kotangens). Sloupce obsahují celočíselné stupně a řádky obsahují minutové hodnoty, takže můžete určit přesnou hodnotu funkce pro neceločíselný argument. Na průsečíku řádku a sloupce se hodnota funkce nachází s přesností na čtyři desetinná místa.
Poslední tři sloupce jsou navrženy tak, aby vám umožnily najít hodnotu funkce, jejíž argument není násobkem šesti. Obsahují korekce, které by měly být přičteny nebo odečteny od funkční hodnoty vypočtené pro úhel nejbližší požadovanému úhlu a násobek 6 minut. V některých tabulkách pro výpočet tečen a kotangens jsou hodnoty uvedeny v krocích po jedné minutě. V tomto případě chybí poslední tři korekční sloupce, a proto je třeba se na potřebné hodnoty argumentu pro kotangens podívat v posledním řádku a posledním sloupci.
Jak vypočítat hodnoty funkcí pomocí Bradisových tabulek?
Zjistit, jak používat stůl Bradis, není tak těžké. Stačí si pozorně přečíst návod, vyzkoušet zkušební výpočty pomocí hotových příkladů a poté přejít k nezávislým výpočtům.
U tabulek Bradis se jako argument funkcí používá hodnota úhlu zadaná ve stupních. Pokud je hodnota argumentu uvedena v radiánech, pak pro převod na stupně by měla být vynásobena 180 a vydělena 3,1415926.
Poté pro funkci zájmu (například sinus) vyberte řádek a sloupec s argumenty (první část tabulek, první sloupec a první řádek). Ve sloupci musíte najít hodnotu, která odpovídá celému počtu stupňů v argumentu, a v řádku - počet minut. Na průsečíku výsledného řádku a sloupce je nalezena požadovaná hodnota funkce.
Stojí za zmínku, že pokud má úhel počet minut, který není násobkem šesti, měly by být výpočty provedeny pro hodnotu, která je mu nejblíže (z hodnot dostupných v tabulce). Poté musíte vypočítat rozdíl mezi daným argumentem a argumentem použitým pro výpočty. Tento rozdíl by měl být jednu, dvě nebo tři minuty. Podle získané hodnoty rozdílu v jednom z posledních tří sloupců Bradisovy tabulky musíte vzít korekční hodnotu. Je-li rozdíl kladný, musí se korekční hodnota přičíst k poslední číslici existující vypočítané hodnoty, a pokud je záporná, odečíst.
Každá Bradisova tabulka udává hodnoty nějaké veličiny (funkce) v závislosti na hodnotě nějaké jiné veličiny (argumentu). Například tabulka 3 uvádí hodnoty druhé mocniny v závislosti na hodnotách druhé mocniny (funkce y = x 2 argumenty x), tabulka 7- hodnoty plochy kruhu v závislosti na hodnotách jeho průměru (funkce K = πd 2 /4 argument d) atd. Pro úsporu místa jsou všechny tabulky kolekce uspořádány „na dva tahy ”: každá tabulková hodnota funkce se nachází na průsečíku řádku, který má v záhlaví (vlevo) několik prvních číslic odpovídajícího účelu argumentu a sloupec, který má zbývající číslice v záhlaví (nahoře ). Například pro druhou mocninu čísla 5,67 najdeme v tabulka 3 na řádku 5.6 ve sloupci 7 je hodnota 32,15, což představuje výsledek zaokrouhlení na 4 platné číslice přesného čtverce 5,67 2 = 32,1489.
Všechny tabulkové hodnoty funkcí uvedené v kolekci jsou získány zaokrouhlením na 4 nebo 5 platných číslic odpovídajících přesných hodnot, a proto se liší od přesných hodnot maximálně o polovinu jednotky číslice poslední číslice. . Když jsme například zjistili z tabulky 7, že plocha kruhu o průměru 2,16 lineárních jednotek se rovná 3,664 odpovídajících čtvercových jednotek (řádek 2.1, sloupec 6), můžeme si být jisti, že přesná hodnota této oblasti se liší. z této tabulky nejvýše o půl tisíciny, tedy 3,6635< К < 3,6645. Вычис-ление, проведенное точнее (без таблиц), дает К - 3,66435....
Hodnoty argumentu v každé tabulce rostou rovnoměrně (alespoň v určitém intervalu) a konstantní hodnota rozdílu mezi dvěma sousedními hodnotami argumentu se nazývá „fáze“ tabulky. Takže v tabulce 3 je úroveň všude 0,01 a v tabulce 4 nejprve 0,01, pak 0,1. Funkční hodnoty ve většině tabulek také rostou, ale jejich růst je jednotný pouze pro lineární funkce, tedy funkce tvaru y = ax + b, kde a a b jsou konstanty. Zvýšení x o krok h dává takovým funkcím zvýšení funkce o konstantní číslo ah. Například, když se průměr zvětší o 0,01, obvod C = πd se zvětší o 0,01π = 0,0314.... Pohled na hodnoty v tabulce obvod, poznamenáváme, že když se d zvýší o 0,01, zvýší se buď o 31, nebo o 32 tisícin. Toto mírné kolísání je způsobeno přibližnou povahou tabulkových hodnot.
Rozdíl mezi dvěma sousedními tabulkovými hodnotami funkce se nazývá „tabulkový rozdíl“. Při práci s tabulkou funkce, která se nerovnoměrně mění, je třeba rozlišovat dva případy: případ „téměř jednotné“ změny funkce, kdy se rozdíly v tabulce mění velmi pomalu, a případ „ostře nerovnoměrné“ změny. , kdy se sousední tabulky liší od sebe o několik jednotek poslední číslice. Takže dovnitř kostkový stůl 1 3 = 1, 2 3 = 8, 3 3 - 27, 4 3 = 64,... máme příklad tabulky s ostře nerovnoměrnou změnou funkce, ale vezmeme-li stejnou tabulku kostek s krok ne 1, ale 0,001 a zaokrouhlete kostky na 4 platná čísla, dostanete tabulku s téměř rovnoměrnou změnou funkce, což je to, co máme, kde v celém řádku 1,00 jsou rozdíly v tabulce rovny 3 ( tisíciny) a na několika dalších - pak 3, pak 4. Rozdíl mezi tabulkami s rovnoměrnými, téměř rovnoměrnými a ostře nerovnoměrnými změnami funkce je patrný zejména při zobrazování těchto funkcí pomocí grafů v pravoúhlých souřadnicích: v prvním případě a graf se získá ve formě přímky, ve druhé - ve formě křivky, malých sekcí, ve kterých jsou zakřiveny sotva znatelně, ve třetí - ve formě křivky se znatelným zakřivením již v každé malé oblasti . Jedna a táž tabulka může být tabulka s téměř rovnoměrnou změnou funkce na jednom intervalu a s výrazně nerovnoměrnou změnou na druhém. Jedná se např. tabulka 10, kde na předních liniích je změna funkce ostře nerovnoměrná. Pokud máte tabulku s ostře nerovnoměrnou změnou funkce, můžete ji proměnit v tabulku s téměř rovnoměrnou změnou dvěma způsoby: snížením úrovně tabulky, to znamená jejím nahrazením jinou, podrobnější, která není tak snadno proveditelné (musíte buď mít takovou podrobnější tabulku, nebo ji zkompilovat nově), nebo zaokrouhlením hodnot tabulky, což se provádí velmi jednoduše, ale je spojeno se ztrátou přesnosti. Například tečny úhlů uvedené v tabulce 10 na čáře 89°20" s přesností na setiny a měnící se ostře nerovnoměrně, po zaokrouhlení na desetiny, se mění téměř rovnoměrně.
Každá tabulka obsahuje hodnoty funkcí ne pro všechny, ale pouze pro některé hodnoty argumentů. Vyvstává otázka: jak získat funkční hodnoty pro mezilehlé hodnoty argumentů? Operace získávání takových hodnot se nazývá „interpolace“. Někdy se tomu obrazně říká „čtení mezi řádky tabulky“.
V případě tabulky s rovnoměrnou nebo téměř rovnoměrnou změnou funkce se používá tzv. „lineární interpolace“, která se skládá z následujícího. Jestliže, když se hodnota argumentu zvýší o jednotky AND libovolné číslice, funkce se zvýší o d jednotek nějaké číslice, pak v důsledku rovnoměrnosti změny funkce způsobí zvýšení argumentu o 1 zvýšení funkce o jednotky d/h a zvýšení argumentu o u způsobí zvýšení funkce o jednotky v = du/h. Je zřejmé, že pro získání požadované hodnoty funkce musíte vzít nejbližší menší hodnotu tabulky a přidat tuto „opravu“ v. Chcete-li například zjistit, čemu se rovná druhá mocnina čísla 8,053, vezměte tabulka 3 8,05 2 = 64,80, 8,06 2 = 64,96, 8,07 2 = 65,12 a jsme přesvědčeni, že změna funkce je zde téměř rovnoměrná: s krokem h = 0,01 nebo 10 tisícin je zde tabelovaný rozdíl 16 setin. Tato hodnota argumentu 8,053 překračuje nejbližší menší tabulkovou hodnotu 8,05 o u = 3 (tisíciny), a proto je korekce v rovna 16 3/10 = 4,8 = 5 (setiny). Přičtením k nejbližší menší tabulkové hodnotě funkce 8,05 2 = 64,80 dostaneme 8,053 2 = 64,80 + 0,05 = 64,85 (přímé násobení dává přesně 8,053 2 = 64,850809).
Namísto korekce na „přebytek“ hodnoty daného argumentu nad jeho nejbližší menší tabulkovou hodnotou, jak jsme to právě udělali, můžeme opravit jeho „nedostatek“ ve srovnání s nejbližší větší tabulkovou hodnotou a odečíst opravu od nejbližší větší hodnotu funkce. Například, abychom získali druhou mocninu čísla 8,057, vezmeme 8,06 2 = 8,060 2 = 64,96 a odečteme korekci na 3 tisíciny, rovnající se 5 setinám, dostaneme 8,057 2 = 64,91 (s přesnou hodnotou rovnou 64,915249). Korekce přebytku je výhodnější, pokud přebytek nepřesáhne polovinu kroku; jinak je výhodnější provést úpravu nedostatku.
Operaci lineární interpolace lze vysvětlit nikoli z rovnoměrnosti změny funkce, jak jsme to udělali nyní, ale z proporcionality přírůstků argumentu a funkce, tj. z proporcionality přebytku argumentu a funkce. korekce funkce, dokonale znázorněná v grafu , kde dostáváme dva podobné pravoúhlé trojúhelníky, jeden s nohami h a d, druhý s nohami u a v. V podstatě jsou obě metody samozřejmě totožné, protože obě jsou založeny na stejném poměru u:v=h:d.
Jaká je přesnost výsledků získaných lineární interpolací? Jsou zde tři zdroje chyb: nepřesnost nejbližší hodnoty tabulkové funkce nepřesahující polovinu jednotky číslice její poslední číslice; nepřesnost opravy z důvodu nepřesností v tabulkových hodnotách a zaokrouhlení opravy a nakonec nepřesnost opravy způsobená neúplnou jednotností změn funkce. Hlubší zvážení problému ukazuje, že pokud rozdíl mezi dvěma sousedními hodnotami tabulkového rozdílu nepřesáhne 4 jednotky, třetí zdroj chyby nemá žádný znatelný vliv a celková chyba výsledku lineární interpolace může být pouze mírně překračují jednotu ve velmi vzácných případech číslice poslední číslice. Tento závěr lze snadno ověřit experimentálně. Například pomocí tabulka čtverců, najdeme pomocí lineární interpolace druhé mocniny níže uvedených čísel v prvním řádku a zapíšeme je do druhého řádku a do třetího řádku umístíme odpovídající přesné čtverce zaokrouhlené na čtvrté desetinné místo do čtvrtého řádku. - rozdíl čísel druhého a třetího řádku, vyjádřený v setinách.
|
(y1 - y2) 100 |
Jak vidíme, chyby v interpolovaných hodnotách nikde nepřesahují jednu číslici poslední číslice.
Pro usnadnění lineární interpolace obsahuje většina tabulek v této kolekci „hotové opravy“ ve sloupcích napravo, psané kurzívou. Pokud se rozdíly v tabulce mění v celém řádku jen málo, lze pro všechna čísla v řádku vypočítat opravy pomocí vzorce v = du/h. Například pro řádek 8.0 tabulky čtverců oprava o 0,001 na začátku řádku se rovná (8,01 2 - 8,00 2): 10 = 0,01601 nebo 1,601 (setiny) a na jeho konci (8,102 - 8,092): 10 = 0,016619, nebo 1,601 a průměr je 1,610 (setiny). Vynásobením této průměrné opravy čísly od 1 do 9 dostaneme 1,61; 3,22; 4,83; 6,44; 8,05; 9,66; 11,27; 12,88; 14,49 nebo po zaokrouhlení na nejbližší 2; 3; 5; 6; 8; 10; 11; 13; 14.
Právě tato čísla jsou uvedena na řádku 8.0 tabulky čtverců vpravo (zapsáno kurzívou). Zkušenosti ukazují, že používání těchto hotových úprav ušetří až 50 % času stráveného prací s tabulkami.
Pokud se rozdíly v tabulce v průběhu řádku výrazněji změní, je třeba pro části řádku vypočítat hotové opravy, jak tomu bylo např. tabulka 9 pro řádky 73°, 74°, 75° nebo pro několik prvních řádků tabulky mantis logaritmů. Pokud je změna tabulkových rozdílů podél linie ještě výraznější, je třeba upustit od hotových oprav. V takových případech musí být operace lineární interpolace provedena úplně, najít h, d, u, v = du/h, jako např. tabulka 15 a několik dalších.
Pokud je v tabulce velký rozdíl, měla by být provedena oprava nejen první číslice přebytku, ale také druhé, pokud existuje, snížení hotových oprav uvedených v tabulce 10krát. Chcete-li tedy najít 2,9345 2, in tabulka 3 vezměte 2,93 2 = 8,585 a přidejte opravu na 4 tisíciny, což se rovná 24 (tisícinám), a poté opravu na 5 desetitisícin, které se rovná 29:10 = 3 (tisíciny), a konečný výsledek je 8,612 (přímé násobení dává 8,61129...).
Jak jsme již viděli, je-li překročení dané hodnoty argumentu o více než půl kroku, je výhodnější použít nejbližší větší hodnotu funkce a odečíst od ní korekci na nedostatek dané hodnoty funkce. argument ve srovnání s jeho nejbližší větší hodnotou. Proto ve všech tabulkách, kde je argumentem úhel a kde je krok 6", jsou hotové opravy uvedeny pouze pro 1", 2", 3". Pokud je přebytek 4" nebo 5", musíte provést korekci o 2" nebo 1 a odečíst ji od nejbližší větší hodnoty funkce. Kromě úspory místa obsazeného tabulkou to přináší určitý zisk v přesnosti získaných výsledků, protože malé opravy jsou přesnější než velké.
Je nutné důrazně varovat před použitím lineární interpolace v případě prudce nerovnoměrných změn funkce. Kdykoli nejsou uvedeny hotové korekce, ale je třeba je interpolovat, měli byste zjistit, jak je funkce jednotná, a použít lineární interpolaci pouze v případě, že se sousední tabulkové rozdíly od sebe liší jen málo (ne více než 4 jednotky) a jinak hledat jiné cesty. Takže například, když chceme najít log sin 1° 04 "36", přijímáme tabulka 15, kde nejsou žádné hotové korekce, log sin 1°04" - 2,2699, log sin 1°05" = 2,2766, log sin 1°06" = 2,2832 a dbáme na to, aby zde byla přijatelná lineární interpolace, protože tabulka rozdíly jsou 67 a 66. Výpočtem v = 67 36/60 = 40,2 = 40 a přičtením této opravy k tabulkovému logaritmu 2,2699 dostaneme log sin 1°04 "36" = 2,2739 (ze sedmimístných tabulek dostaneme 2,2739331 Pokud ale potřebujeme získat log sin 0°05"30" a použijeme stejnou metodu lineární interpolace, dostaneme log sin 0°05" = 3,1627, d = 792, h =60", u = 30). ", v = 792/60 · 30 = 396, log sin 0°05"30" =60= 3,2023, zatímco přesnější hodnota tohoto logaritmu, zjištěná ze sedmimístných tabulek, je 3,2040886 . Nepřijatelně velká chyba v našem výsledku je způsobena výrazně nerovnoměrnou změnou funkce: vedle tabelovaného rozdílu 792, který jsme použili, je rozdíl 669, lineární interpolace je zde nepřijatelná. Zde můžeme využít toho, že při velmi malých úhlech se sinus velmi málo liší od radiánské míry (méně než šestina třetí mocniny této radiánské míry). V tabulka 11 vezmeme radiánovou míru úhlu 5", který se rovná 0,0014544, stejně jako úhel 30", který se rovná 0,00014544, a sečtením dostaneme číslo 0,0015998, což je přibližná hodnota sin 0°05" 30" se 7 přesnými desetinnými místy. Po nalezení jeho logaritmu z tabulky 13 dostaneme 3,2041, tedy přesně to, co potřebujeme.
V mnoha případech tabulky přímo uvádějí hodnoty funkcí pouze v jednom omezeném rozsahu hodnot argumentů, ale pomocí jednoduchých dodatečných výpočtů, obvykle prováděných v hlavě, lze tento rozsah výrazně rozšířit. To je případ tabulek čtverců, kostek, reciprokých a řady dalších. Vezměme si příklad tabulka 7, který přímo udává plochu kruhu o průměru od d = 1 do d = 10 s tím, že když se průměr kruhu zvětší 10krát, jeho plocha se zvětší o 10 2 = 100krát, můžeme použít stejná tabulka k nalezení oblasti kruhu libovolného průměru. Například, když chceme najít obsah kruhu o průměru d = 49,52, najdeme nejprve z tabulky obsah kruhu o průměru 4,952 (řádek 49, sloupec 5, oprava o 2), rovna 19,26 a poté tento výsledek 100krát zvětšíme a nakonec dostaneme 1926. Abychom našli obsah kruhu o průměru d = 0,04567, získáme nejprve obsah kruhu o průměru 4,567 (řádek 45, sloupec 7, odečtěte opravu o 3), rovná se 16,38, pak ji snižte 100 2 = 10 000krát a dostaneme 0,001638.
Poté, co jsme podrobně prozkoumali otázku nalezení hodnoty funkce pomocí tabulek na základě dané hodnoty jejího argumentu, tedy takzvané „přímé otázky“, přejdeme k „obrácené otázce“, když použijeme danou hodnotu funkce, pro kterou je tabulka sestavena, musíme najít odpovídající hodnotu argumentu.
Pokud je daná hodnota funkce v tabulce, celá záležitost se sníží na vypsání odpovídající hodnoty argumentu. Pokud tato hodnota funkce není v tabulce, použijte stejnou operaci lineární interpolace, proveďte v ní příslušné změny a nejprve se ujistěte, že je přípustná. Vezmou nejbližší menší tabulkovou hodnotu funkce a zjistí, kolik je třeba přidat k odpovídající hodnotě argumentu, aby se tato nejbližší menší hodnota funkce dostala na danou. Zde použijeme stejný poměr u:v = h:d jako dříve, jen s tím rozdílem, že nyní je dané y, a hledáme a pomocí vzorce u = hv/d. Chcete-li tedy pomocí tabulky čtverců najít číslo, jehož druhá mocnina je rovna 4,235, tj. odmocnina z čísla 4,235, vezměte nejbližší menší a nejbližší větší čtverce tabulky 4,203 = 2,05 2 a 4,244 = 2,06 2 . Zde je krok h = 10 (tisíciny), tabulkový rozdíl d = 41 (tisíciny), další tabulkový rozdíl je také 41, lineární interpolace je přípustná. Abychom přivedli nejbližší menší tabulkovou hodnotu k dané hodnotě, je nutné tuto nejbližší zvýšit o 4,235 - 4,203 = 0,032, tedy v = 32 (tisíciny). Proto u = 10·32/41 =8 a požadovaný kořen je 2,050 + 0,008 = 2,058. Můžete vzít ne nejbližší menší, ale nejbližší větší hodnotu funkce a zmenšit ji na danou, čímž zjistíte, jaký je odpovídající pokles nejbližší větší hodnoty argumentu. V tomto příkladu tedy vezmeme 4,244 - 4,235 = 0,009, tj. u = 9 (tisíciny), a najdeme u = 10 9/41 ≈ 2, a pak požadovaný kořen 2,060 - 0,002 = 2,058. Obecně je lepší použít tu z nejbližších tabulkových hodnot funkce, která je blíže požadované.
Použití hotových oprav zde také značně usnadňuje práci: když jsme našli rozdíl mezi danou hodnotou funkce a její nejbližší tabulkovou hodnotou (menší nebo větší), podíváme se na kterou opravu, vytištěnou kurzívou na stejném řádku. , je tomuto rozdílu nejblíže a vezměte číslo, které je v záhlaví odpovídajícího sloupce. K získání druhé odmocniny čísla 4,235 stačí poznamenat, že toto číslo se liší od nejbližšího menšího čtverce tabulky o 32 (tisíciny) a že mezi opravami vytištěnými na stejném řádku je 32 nejbližší tomuto číslu 33. Přidáním argumentu 2,05 k odpovídající hodnotě tabulky je číslo 8 (tisíciny), převzaté z nadpisu tohoto sloupce změn, nakonec dostaneme 2,05 + 0,008 = 2,058. Pokud vezmeme nejbližší větší hodnotu funkce (4,244), pak je rozdíl 4,244 - 4,235 = 0,009. V opravných sloupcích najdeme nejbližší číslici 8 ve sloupci 2 a odečteme 2,06 - 0,002, což vede ke stejnému výsledku 2,058.
Otázka přesnosti, se kterou inverzní lineární interpolace dává požadovanou hodnotu funkce, je poměrně složitá. Ukazuje se, že zde jsou možné různé případy a že výsledek je zde tím přesnější, čím větší je tabelovaný rozdíl (předpokládá se, že lineární interpolace je přípustná). Pokud je například uvedena přibližná hodnota sin A = 0,9997 se 4 přesnými desetinnými místy, pak tabulka 8 najdeme až tři úhly s takovým sinem (88°30", 88°36", 88°42"). Za předpokladu A = 88°36" musíme mít na paměti, že tato hodnota požadovaného úhlu je velmi nepřesné: od přesné hodnoty se může lišit až o 9". Pokud sin A = 0,1070, pak se hodnota 6°08" zjištěná z tabulky 8 pomocí hotových korekcí liší od přesné hodnoty, jak lze ukázat, ne více než 1": použití metody okrajů vede k závěru, že 6°08"< А < 6°09".
Každá tabulka tedy slouží nejen k získání hodnot funkce, pro kterou byla sestavena, ale také k získání hodnot argumentu, tedy k získání hodnot inverzní funkce: z tabulky čtverců lze nalézt i odmocniny, z tabulky logaritmy - antilogaritmy atd. Zkušenosti však ukazují, že řešení inverzní otázky vyžaduje o něco více práce než řešení přímé, a proto v této sbírce spolu s tabulkou logaritmů tabulka antilogaritmů je umístěna spolu s tabulkou čtverců - tabulkou čtverců - odmocnin, i když se bez nich obejdeme.
Doposud jsme probírali pouze tabulky rostoucích funkcí. Je snadné vidět, jak se způsob použití tabulky mění, pokud funkce klesá, jako v tabulka 2 s uvedením hodnot zlomků ve tvaru 1/u, nebo v tabulce 8 při hledání kosinus. Při práci s tabulkou rostoucích funkcí se chyby z nedostatečné pozornosti vyskytují méně často, a proto lze doporučit nahradit hledání kosinu hledáním sinů přídavných úhlů a hledání kotangens hledáním tečen dodatečné úhly.
Tabulky v této kolekci obecně poskytují požadované hodnoty se 4, někdy s 5 platnými číslicemi. Existují ale zvláště nepříznivé případy výpočtů (odečítání od přibližného čísla dalšího přibližného čísla blízkého prvnímu, umocnění přibližného čísla na mocninu s větším exponentem atd.), kdy je konečný výsledek získán s menší přesností. Je-li požadována větší přesnost výsledku, musíte se buď obrátit na podrobnější tabulku (pětimístnou, sedmimístnou atd.), nebo provést výpočet přímo, což při zvýšení na výkon nečiní nepřekonatelné potíže, extrahování kořene a některé další operace. Níže jsou uvedeny některé „řady“, které vám umožňují najít s libovolně vysokou přesností hodnoty logaritmů, antilogaritmů, sinů, kosinů, tečen, druhých mocnin a kubických odmocnin.
