Informační a počítačové sítě. Cvičení: Informační a výpočetní síť. Budování síťové infrastruktury

Říká se, že jsou nezávislé (a) identicky distribuované, pokud má každý z nich stejné rozdělení jako ostatní a všechny veličiny jsou v souhrnu nezávislé. Fráze „nezávislý identicky distribuovaný“ se často zkracuje jako i.i.d.(z angličtiny nezávislé a identicky distribuované ), někdy - „n.o.r“.

Aplikace

Předpoklad, že náhodné veličiny jsou nezávislé a identicky rozdělené, je široce používán v teorii pravděpodobnosti a statistice, protože umožňuje značně zjednodušit teoretické výpočty a prokázat zajímavé výsledky.

Jeden z klíčových teorémů teorie pravděpodobnosti – centrální limitní teorém – říká, že pokud je posloupnost nezávislých identicky rozdělených náhodných proměnných, pak, protože mají tendenci k nekonečnu, je rozdělení jejich střední hodnoty náhodná proměnná konverguje k normálnímu rozdělení.

Ve statistice se obecně předpokládá, že statistický vzorek je posloupnost i.i.d. realizace nějaké náhodné veličiny (takový vzorek se nazývá jednoduchý).

Nadace Wikimedia. 2010.

• Tj.
• Intel 8048

Podívejte se, co jsou „nezávislé identicky rozdělené náhodné proměnné“ v jiných slovnících:

Gambler's Ruin Problem- Problém zmaru hráče je problém z oblasti teorie pravděpodobnosti. Podrobně se zabýval ruský matematik A. N. Shiryaev v monografii „Pravděpodobnost“ ... Wikipedia

Udržitelná distribuce- v teorii pravděpodobnosti se jedná o rozdělení, které lze získat jako limitu rozdělení součtů nezávislých náhodných veličin. Obsah 1 Definice 2 Poznámky ... Wikipedie

Receptura Levy-Khinchin pro stabilní distribuci- Stabilní rozdělení v teorii pravděpodobnosti je rozdělení, které lze získat jako limitu rozdělení součtů nezávislých náhodných veličin. Obsah 1 Definice 2 Poznámky 3 Vlastnosti stabilních distribucí ... Wikipedie

Nekonečně dělitelné rozdělení- v teorii pravděpodobnosti se jedná o rozdělení náhodné veličiny tak, že ji lze reprezentovat ve formě libovolného počtu nezávislých, shodně rozdělených členů. Obsah 1 Definice ... Wikipedie

Model Cramer-Lundberg- Model Kramer Lundberg matematický model, který umožňuje posoudit rizika krachu pojišťovny. V rámci tohoto modelu se předpokládá, že pojistné je přijímáno rovnoměrně, v poměru konvenčních peněžních jednotek na jednotku... ... Wikipedia

Levy-Khinchinův vzorec pro nekonečně dělitelnou distribuci- Nekonečně dělitelné rozdělení v teorii pravděpodobnosti je rozdělení náhodné veličiny takové, že může být reprezentováno jako libovolný počet nezávislých, shodně rozdělených členů. Obsah 1 Definice 2 ... ... Wikipedie

Model Cramer- Tento článek by měl být wiki. Naformátujte jej prosím podle pravidel pro formátování článku. Cramer Lundbergův model je matematický model, který umožňuje posoudit rizika úpadku pojišťovny... Wikipedia

Statistická kontrola akceptace- totalita statistické metody kontrola hromadných výrobků za účelem zjištění jejich shody se stanovenými požadavky. P.S. j. účinný prostředek k zajištění dobré kvality masových produktů. P.S. se provádí dne ... ... Velká sovětská encyklopedie

Multinomické rozdělení- Multinomické (polynomiální) rozdělení v teorii pravděpodobnosti je zobecněním binomického rozdělení na případ nezávislých testů náhodného experimentu s několika možnými výsledky. Definice Nechat nezávislou... ... Wikipedie

Polynomiální rozdělení- Multinomické (polynomiální) rozdělení v teorii pravděpodobnosti je zobecněním binomického rozdělení na případ nezávislých testů náhodného experimentu s několika možnými výsledky. Definice: Ať jsou nezávislí rovnocenní... ... Wikipedie

Nechť jsou známé směrodatné odchylky několika vzájemně nezávislých náhodných veličin. Jak zjistit směrodatnou odchylku součtu těchto veličin? Odpověď na tuto otázku dává následující věta.

Teorém. Směrodatná odchylka součtu konečného počtu vzájemně nezávislých náhodných veličin je rovna odmocnina ze součtu druhých mocnin směrodatných odchylek těchto veličin.“

Důkaz. Označme podle X součet uvažovaných vzájemně nezávislých veličin:

Rozptyl součtu více vzájemně nezávislých náhodných veličin je roven součtu rozptylů členů (viz § 5, důsledek 1), proto

nebo konečně

Identicky rozdělené vzájemně nezávislé náhodné veličiny

Je již známo, že podle distribučního zákona lze najít číselné charakteristiky náhodné veličiny. Z toho vyplývá, že pokud má několik náhodných proměnných totožné rozdělení, pak jsou jejich číselné charakteristiky stejné.

Uvažujme P vzájemně nezávislé náhodné veličiny X v X v ..., Xfi, které mají stejná rozdělení, a tedy i stejné charakteristiky (matematické očekávání, disperze atd.). Největší zájem je o studium numerických charakteristik aritmetického průměru těchto veličin, čemuž se budeme věnovat v této části.

Označme aritmetický průměr uvažovaných náhodných veličin X:

Následující tři ustanovení stanoví souvislost mezi číselnými charakteristikami aritmetického průměru X a odpovídající charakteristiky každé jednotlivé veličiny.

1. Matematické očekávání aritmetického průměru identicky rozdělených vzájemně nezávislých náhodných proměnných se rovná matematickému očekávání a každé z proměnných:

Důkaz. Použití vlastností matematického očekávání ( konstantní faktor lze vyjmout jako znak matematického očekávání; matematické očekávání součtu se rovná součtu matematických očekávání členů), máme

S přihlédnutím k tomu, že matematické očekávání každé z veličin podle podmínky se rovná A, dostaneme

2. Disperze aritmetického průměru n shodně rozdělených vzájemně nezávislých náhodných veličin je nkrát menší než disperze D každé z proměnných.:

Důkaz. Pomocí vlastností disperze (konstantní faktor lze ze znaménka disperze vyjmout jeho kvadraturou; disperze součtu nezávislých veličin je rovna součtu disperzí členů)

§ 9. Identicky rozdělené vzájemně nezávislé náhodné veličiny 97

Vezmeme-li v úvahu, že rozptyl každé z veličin podle podmínky je roven D, dostáváme

3. Směrodatná odchylka aritmetického průměru n shodně rozdělených vzájemně nezávislých náhodných

hodnoty jsou 4nkrát menší než standardní odchylka a každé z hodnot:

Důkaz. Protože D(X) = D/n pak směrodatná odchylka X rovná se

Obecný závěr ze vzorců (*) a (**): Když si pamatujeme, že rozptyl a směrodatná odchylka slouží jako míry rozptylu náhodné veličiny, docházíme k závěru, že aritmetický průměr je dostatečný velké číslo vzájemně nezávislé náhodné veličiny má

podstatně menší rozptyl než každá jednotlivá hodnota.

Vysvětleme si na příkladu význam tohoto závěru pro praxi.

Příklad. Obvykle nějaké změřit Fyzické množství proveďte několik měření a poté najděte aritmetický průměr získaných čísel, který je brán jako přibližná hodnota naměřené hodnoty. Za předpokladu, že se měření provádějí za stejných podmínek, prokažte:

• a) aritmetický průměr poskytuje spolehlivější výsledek než jednotlivá měření;
• b) s nárůstem počtu měření roste spolehlivost tohoto výsledku.

Řešení, a) Je známo, že jednotlivá měření dávají nestejné hodnoty měřené veličiny. Výsledek každého měření závisí na mnoha náhodných příčinách (změny teploty, kolísání přístroje atd.), které nelze předem plně zohlednit.

Proto máme právo zvážit možné výsledky P jednotlivá měření jako náhodné veličiny X v X 2,..., X str(index označuje číslo měření). Tyto veličiny mají stejné rozdělení pravděpodobnosti (měření se provádějí stejnou technikou a stejnými přístroji), a tedy stejné číselné charakteristiky; navíc jsou vzájemně nezávislé (výsledek každého jednotlivého měření nezávisí na jiných měřeních).

Již víme, že aritmetický průměr takových veličin má menší rozptyl než každá jednotlivá veličina. Jinými slovy, aritmetický průměr se ukáže být bližší skutečné hodnotě naměřené hodnoty než výsledek samostatného měření. To znamená, že aritmetický průměr několika měření dává výsledek více případů než jedno měření.

b) Již víme, že s rostoucím počtem jednotlivých náhodných veličin se rozptyl aritmetického průměru zmenšuje. To znamená, že s rostoucím počtem měření se aritmetický průměr několika měření liší od skutečné hodnoty naměřené hodnoty stále méně. Zvýšením počtu měření se tedy získá spolehlivější výsledek.

Pokud je například směrodatná odchylka jednotlivého měření a = 6 m, a celkem P= 36 měření, pak je směrodatná odchylka aritmetického průměru těchto měření skutečně pouze 1 m.

Vidíme, že aritmetický průměr několika měření, jak by se dalo očekávat, se ukázal být bližší skutečné hodnotě naměřené hodnoty než výsledek jednoho měření.

"Naším cílem je dokázat, že pokud vezmeme identicky distribuované nezávislé náhodné proměnné s konečným rozptylem, pak budeme znát pouze průměr a..."

Naším cílem je dokázat, že pokud vezmeme shodně rozložené nezávislé náhodné veličiny s konečnou

disperze, pak při znalosti pouze průměru a rozptylu lze docela přesně odhadnout pravděpodobnost přijetí průměru

těchto hodnot hodnot v daném intervalu.

Nejprve definujeme rozdělení pravděpodobnosti na množině výsledků R, takže si dovolíme více než

spočitatelný počet událostí.

Uvažujme rozdělení pravděpodobnosti, jehož výsledky jsou --- čísla. Čeho si pak můžeme všimnout o pravděpodobností (aniž bychom zvýraznili zvláště elementární události)?

Uveďme si základní vlastnosti pravděpodobnosti, které platí pro naši definici a které je třeba zachovat.

Definice 1. Pravděpodobnost jakékoli události je nezáporná. Pravděpodobnost spolehlivého jevu je rovna 1. Je-li událost sjednocením ne více než spočetného počtu disjunktních jevů, jejichž pravděpodobnosti jsou známé, pak je její pravděpodobnost určena a rovná se součtu jejich pravděpodobností.

Toto rozdělení můžeme zcela definovat neklesající funkcí F (a) : F (a) = P ((x | x a)).

Věta 1. V tomto případě bude splněno P ((x | x a)) = lim F (b).

ba+ Důkaz 1. Opravdu, R \ (x | x a) = (x | x a) = (x | x a + 1) )