Co znamená matice k 1. mocnině? Hledání inverzní matice

Je třeba poznamenat, že pro tuto operaci lze použít pouze čtvercové matice. Stejný počet řádků a sloupců je předpokladem pro umocnění matice. Při výpočtu se matice sama vynásobí požadovaným počtem.

Tato online kalkulačka je navržena k provádění operace zvýšení matice na mocninu. Díky jeho použití se s tímto úkolem nejen rychle vypořádáte, ale také získáte jasnou a podrobnou představu o průběhu výpočtu. To pomůže lépe konsolidovat teoreticky získaný materiál. Když před sebou uvidíte podrobný výpočetní algoritmus, lépe pochopíte všechny jeho jemnosti a následně se budete moci vyhnout chybám v ručních výpočtech. Navíc nikdy není na škodu si své výpočty ještě jednou zkontrolovat, a to se také nejlépe provádí zde.

Chcete-li pozvednout matici na moc online, budete potřebovat několik jednoduchých kroků. Nejprve určete velikost matice kliknutím na ikony „+“ nebo „-“ nalevo od ní. Poté zadejte čísla do pole matice. Musíte také uvést sílu, na kterou je matice zvýšena. A pak už jen stačí kliknout na tlačítko „Vypočítat“ ve spodní části pole. Získaný výsledek bude spolehlivý a přesný, pokud pečlivě a správně zadáte všechny hodnoty. Spolu s ním vám bude poskytnut podrobný přepis řešení.

Některé vlastnosti operací s maticemi.
Maticové výrazy

A nyní bude pokračování tématu, ve kterém budeme zvažovat nejen nový materiál, ale také procvičovat akce s matricemi.

Některé vlastnosti operací s maticemi

Existuje poměrně mnoho vlastností, které se týkají operací s maticemi, na stejné Wikipedii můžete obdivovat uspořádané řady odpovídajících pravidel. V praxi je však mnoho vlastností v určitém smyslu „mrtvých“, protože jen několik z nich se používá při řešení skutečných problémů. Mým cílem je podívat se na praktickou aplikaci vlastností na konkrétních příkladech, a pokud potřebujete rigorózní teorii, použijte prosím jiný zdroj informací.

Podívejme se na některé výjimky z pravidla, které budou vyžadovány pro splnění praktických úkolů.

Pokud má čtvercová matice inverzní matici, pak je jejich násobení komutativní:

Matice identity je čtvercová matice, jejíž hlavní úhlopříčka jednotky jsou umístěny a zbývající prvky jsou rovny nule. Například: atd.

V tomto případě platí následující vlastnost: pokud je libovolná matice vynásobena vlevo nebo vpravo maticí identity vhodných velikostí, výsledkem bude původní matice:

Jak vidíte, také zde probíhá komutativnost násobení matic.

Vezměme si nějakou matici, no, řekněme, matici z předchozího problému: .

Zájemci si mohou ověřit a ujistit se, že:

Jednotková matice pro matice je obdobou numerické jednotky pro čísla, což je zřejmé zejména z právě probíraných příkladů.

Komutativnost numerického faktoru vzhledem k násobení matic

Pro matice a reálná čísla platí následující vlastnost:

To znamená, že číselný faktor lze (a měl by) posunout dopředu, aby „nepřekážel“ násobícím maticím.

Poznámka : obecně řečeno, formulace vlastnosti je neúplná - „lambda“ může být umístěna kdekoli mezi maticemi, dokonce i na konci. Pravidlo zůstává v platnosti, pokud se násobí tři nebo více matic.

Příklad 4

Vypočítat produkt

Řešení:

(1) Podle majetku posunout číselný faktor dopředu. Samotné matrice nelze přeskládat!

(2) – (3) Proveďte násobení matice.

(4) Zde můžete vydělit každé číslo 10, ale pak se mezi prvky matice objeví desetinné zlomky, což není dobré. Všimli jsme si však, že všechna čísla v matici jsou dělitelná 5, takže každý prvek vynásobíme .

odpověď:

Malá šaráda, kterou musíte vyřešit sami:

Příklad 5

Spočítejte, zda

Řešení a odpověď jsou na konci lekce.

Jaká technika je důležitá při řešení takových příkladů? Pojďme zjistit čísla poslední ze všech .

Připojíme k lokomotivě další vagón:

Jak vynásobit tři matice?

Za prvé, CO by mělo být výsledkem vynásobení tří matic? Kočka neporodí myš. Pokud je maticové násobení proveditelné, bude výsledkem také matice. Hmmm, můj učitel algebry nechápe, jak vysvětluji uzavřenost algebraické struktury vzhledem k jejím prvkům =)

Součin tří matic lze vypočítat dvěma způsoby:

1) najděte a vynásobte maticí „ce“: ;

2) buď nejprve najděte , pak vynásobte .

Výsledky se budou určitě shodovat a teoreticky se tato vlastnost nazývá asociativita násobení matic:

Příklad 6

Vynásobte matice dvěma způsoby

Algoritmus řešení je dvoukrokový: najdeme součin dvou matic, pak znovu najdeme součin dvou matic.

1) Použijte vzorec

Akce jedna:

Akt dva:

2) Použijte vzorec

Akce jedna:

Akt dva:

odpověď:

První řešení je samozřejmě známější a standardnější, kde „se zdá být vše v pořádku“. Mimochodem, ohledně objednávky. V uvažované úloze často vzniká iluze, že mluvíme o nějakých permutacích matic. Nejsou tady. Znovu připomínám, že v obecném případě je NEMOŽNÉ ZMĚNIT MATICE. Takže ve druhém odstavci, v druhém kroku, provedeme násobení, ale v žádném případě ne. S běžnými čísly by takové číslo fungovalo, ale s maticemi ne.

Vlastnost asociativního násobení platí nejen pro čtvercové, ale také pro libovolné matice - pokud jsou násobeny:

Příklad 7

Najděte součin tří matic

Toto je příklad, který můžete vyřešit sami. V ukázkovém řešení se výpočty provádějí dvěma způsoby;

Asociativnost násobení matic platí i pro větší množství faktorů.

Nyní je čas vrátit se k mocninám matic. Čtverec matice je zvažován na samém začátku a na programu je otázka:

Jak krychlit matici a vyšší mocniny?

Tyto operace jsou také definovány pouze pro čtvercové matice. Chcete-li čtvercovou matici vyrovnat, musíte vypočítat součin:

Ve skutečnosti se jedná o speciální případ násobení tří matic podle asociativní vlastnosti násobení matic: . A matice vynásobená sama sebou je druhou mocninou matice:

Dostaneme tedy pracovní vzorec:

To znamená, že úloha se provádí ve dvou krocích: nejprve musí být matice odmocněna a poté musí být výsledná matice vynásobena maticí.

Příklad 8

Sestavte matici do krychle.

Toto je malý problém, který musíte vyřešit sami.

Zvýšení matice na čtvrtou mocninu se provádí přirozeným způsobem:

Pomocí asociativity násobení matic odvodíme dva pracovní vzorce. Za prvé: – toto je součin tří matic.

1). Jinými slovy, nejprve najdeme , pak to vynásobíme „be“ - dostaneme krychli a nakonec provedeme násobení znovu - bude čtvrtá mocnina.

2) Existuje však řešení o krok kratší: . To znamená, že v prvním kroku najdeme čtverec a vynecháme krychli a provedeme násobení

Další úkol pro příklad 8:

Zvedněte matici na čtvrtou mocninu.

Jak již bylo uvedeno, lze to provést dvěma způsoby:

1) Protože je kostka známá, provedeme násobení.

2) Je-li však podle podmínek úlohy požadováno sestrojit matici pouze do čtvrté mocniny, pak je výhodné cestu zkrátit - najít druhou mocninu matice a použít vzorec.

Řešení i odpověď jsou na konci lekce.

Podobně je matice povýšena na pátou a vyšší mocninu. Z praktické zkušenosti mohu říci, že se občas setkávám s příklady navyšování na 4. mocninu, ale na pátou moc si nic nepamatuji. Ale pro každý případ uvedu optimální algoritmus:

1) najít;
2) najít;
3) zvedněte matici na pátou mocninu: .

To jsou snad všechny základní vlastnosti maticových operací, které mohou být užitečné v praktických úlohách.

Ve druhé části lekce se očekává stejně barevný zástup.

Maticové výrazy

Zopakujme si obvyklé školní výrazy s čísly. Číselný výraz se skládá z čísel, matematických symbolů a závorek, například: . Při výpočtu platí známá algebraická priorita: za prvé, závorky, poté proveden umocnění/odmocnění, Pak násobení/dělení a v neposlední řadě - sčítání/odčítání.

Pokud má číselný výraz smysl, je výsledkem jeho vyhodnocení číslo, například:

Maticové výrazy fungují téměř stejně! S tím rozdílem, že hlavními postavami jsou matrice. Plus některé specifické maticové operace, jako je transpozice a nalezení inverzní matice.

Zvažte maticový výraz , kde jsou nějaké matice. V tomto maticovém výrazu se jako poslední provedou tři členy a operace sčítání/odčítání.

V prvním termínu musíte nejprve transponovat matici „be“: , poté provést násobení a zadat „dvě“ do výsledné matice. Všimněte si, že operace transpozice má vyšší prioritu než násobení. Závorky, stejně jako v číselných výrazech, mění pořadí akcí: - zde se nejprve provede násobení, poté je výsledná matice transponována a vynásobena 2.

Ve druhém termínu se nejprve provede násobení matice a z produktu se zjistí inverzní matice. Pokud odstraníte závorky: , musíte nejprve najít inverzní matici a poté vynásobit matice: . Nalezení inverzní matice má také přednost před násobením.

U třetího členu je vše zřejmé: matici zvedneme do krychle a do výsledné matice zadáme „pětku“.

Pokud má maticový výraz smysl, pak výsledkem jeho vyhodnocení je matice.

Všechny úkoly budou ze skutečných testů a začneme tím nejjednodušším:

Příklad 9

Dané matice . Nalézt:

Řešení: pořadí akcí je zřejmé, nejprve se provede násobení, pak sčítání.

Sčítání nelze provést, protože matice mají různé velikosti.

Nebuďte překvapeni očividně nemožné akce, které jsou často navrhovány v úkolech tohoto typu.

Zkusme vypočítat druhý výraz:

Tady je vše v pořádku.

Odpověď: akci nelze provést, .

Jak vložit matematické vzorce na web?

Pokud někdy budete potřebovat přidat jeden nebo dva matematické vzorce na webovou stránku, pak nejjednodušší způsob, jak to udělat, je ten, který je popsán v článku: matematické vzorce lze snadno vložit na web ve formě obrázků, které automaticky generuje Wolfram Alpha . Tato univerzální metoda kromě jednoduchosti pomůže zlepšit viditelnost webu ve vyhledávačích. Funguje to už dlouho (a myslím, že bude fungovat navždy), ale už je morálně zastaralé.

Pokud na svém webu pravidelně používáte matematické vzorce, pak vám doporučuji používat MathJax – speciální knihovnu JavaScript, která zobrazuje matematický zápis ve webových prohlížečích pomocí značek MathML, LaTeX nebo ASCIIMathML.

Existují dva způsoby, jak začít používat MathJax: (1) pomocí jednoduchého kódu můžete ke své webové stránce rychle připojit skript MathJax, který se ve správný čas automaticky načte ze vzdáleného serveru (seznam serverů); (2) stáhněte si skript MathJax ze vzdáleného serveru na váš server a připojte jej ke všem stránkám vašeho webu. Druhý způsob – složitější a časově náročnější – urychlí načítání stránek vašeho webu, a pokud se nadřazený server MathJax z nějakého důvodu stane dočasně nedostupným, váš vlastní web to nijak neovlivní. I přes tyto výhody jsem zvolil první metodu, protože je jednodušší, rychlejší a nevyžaduje technické dovednosti. Postupujte podle mého příkladu a za pouhých 5 minut budete moci na svém webu používat všechny funkce MathJax.

Skript knihovny MathJax můžete připojit ze vzdáleného serveru pomocí dvou možností kódu převzatých z hlavního webu MathJax nebo na stránce dokumentace:

Jednu z těchto možností kódu je třeba zkopírovat a vložit do kódu vaší webové stránky, nejlépe mezi značky a nebo bezprostředně za značku. Podle první možnosti se MathJax načítá rychleji a méně zpomaluje stránku. Ale druhá možnost automaticky sleduje a načítá nejnovější verze MathJax. Pokud vložíte první kód, bude nutné jej pravidelně aktualizovat. Pokud vložíte druhý kód, stránky se budou načítat pomaleji, ale nebudete muset neustále sledovat aktualizace MathJax.

Nejjednodušší způsob, jak připojit MathJax, je v Bloggeru nebo WordPressu: do ovládacího panelu webu přidejte widget určený pro vložení kódu JavaScript třetí strany, zkopírujte do něj první nebo druhou verzi výše uvedeného kódu pro stahování a umístěte widget blíže. na začátek šablony (mimochodem, není to vůbec nutné, protože skript MathJax se načítá asynchronně). To je vše. Nyní se naučte syntaxi značek MathML, LaTeX a ASCIIMathML a jste připraveni vkládat matematické vzorce do webových stránek svého webu.

Jakýkoli fraktál je konstruován podle určitého pravidla, které je důsledně aplikováno neomezeně mnohokrát. Každý takový čas se nazývá iterace.

Iterační algoritmus pro konstrukci Mengerovy houby je poměrně jednoduchý: původní krychle se stranou 1 je rozdělena rovinami rovnoběžnými s jejími plochami na 27 stejných krychlí. Odebere se z ní jedna centrální krychle a 6 k ní přiléhajících krychlí podél stěn. Výsledkem je sada skládající se ze zbývajících 20 menších kostek. Když uděláme totéž s každou z těchto kostek, dostaneme sadu skládající se ze 400 menších kostek. Pokračujeme-li v tomto procesu donekonečna, získáme Mengerovu houbu.

Operaci zvýšení na mocninu n lze formálně aplikovat na čtvercové matice. K tomu musí být n celé číslo. Výsledek této operace je uveden v tabulce. 9.1. Operátor pro zvýšení matice m na mocninu n můžete zadat stejným způsobem jako pro skalární veličinu: kliknutím na tlačítko Zvýšit na výkon na panelu Kalkulačka nebo stisknutím klávesy. Po zobrazení zástupného symbolu byste do něj měli zadat hodnotu stupně n.

Tabulka 9.1. Výsledky povýšení matice na mocninu

0 matice identity maticového rozměru M

1 samotnou matici M

1 M -1 - matice inverzní k M

2,3,...MM, (MM)M, ...

2, -3, ... M-1 M-1, (M-1 M-1) M-1, ...

Některé příklady navyšování matic na mocniny jsou uvedeny ve výpisu 9.15.

Vypsání 9.15. Příklady zvýšení čtvercové matice na celočíselnou mocninu

Vektorizace polí

Mathcadova vektorová algebra obsahuje poněkud neobvyklý operátor nazývaný operátor vektorizace. Tento operátor je zpravidla určen pro práci s poli. Umožňuje provádět stejný typ operace na všech prvcích pole (tj. matici nebo vektoru), čímž zjednodušuje programování smyček. Například někdy chcete vynásobit každý prvek jednoho vektoru odpovídajícím prvkem jiného vektoru. Přímo v Mathcadu žádná taková operace neexistuje, ale lze ji snadno provést pomocí vektorizace (výpis 9.16). Postup:

· Zadejte vektorový výraz, jak je uvedeno na druhém řádku výpisu (všimněte si, že v tomto formuláři symbol násobení označuje skalární operátor součinu vektorů).

· Přesuňte kurzor tak, aby vstupní řádky zvýraznily celý výraz, který je třeba vektorizovat (obr. 9.3).

· Operátor vektorizace zadejte kliknutím na tlačítko Vektorizovat na panelu Matice (obr. 9.3) nebo pomocí kombinace kláves +.

· Enter pro získání výsledku.

Rýže. 9.3. Operátor vektorizace

Výpis 9.16. Použití vektorizace k násobení prvků vektoru

Operátor vektorizace lze použít pouze s vektory a maticemi stejné velikosti.

Většina nespecifických funkcí Mathcadu nevyžaduje vektorizaci k provedení stejné operace na všech prvcích vektoru. Například argument goniometrických funkcí je z definice skalár. Pokud se pokusíte vypočítat sinus vektorové veličiny, Mathcad bude ve výchozím nastavení vektorizovat, vypočítá sinus každého prvku a jako výsledek vytvoří odpovídající vektor. Příklad je uveden ve výpisu 9.17.

Vypsání 9.17. Vektorizace je volitelná pro většinu funkcí Mathcadu

Symbolické operace s maticemi

Všechny maticové a vektorové operátory diskutované výše lze použít v symbolických výpočtech. Síla symbolických operací spočívá ve schopnosti provádět je nejen na konkrétních číslech, ale i na proměnných. Některé příklady jsou uvedeny ve výpisu 9.18.

Vypsání 9.18. Příklady symbolických operací s vektory a maticemi

Nebojte se použít procesor symbolů jako výkonnou matematickou referenci. Například když si chcete zapamatovat nějakou definici z oboru lineární algebry (např. pravidla pro násobení a inverzi matic jsou uvedena na prvních řádcích výpisu 9.18).

Maticové funkce

Uveďme si hlavní vestavěné funkce určené k usnadnění práce s vektory a maticemi. Jsou potřebné k vytváření matic, slučování a výběru částí matic, získávání základních vlastností matic atp.

Funkce vytváření matic

Nejvizuálnějším způsobem, jak vytvořit matici nebo vektor, je použít první tlačítko na panelu nástrojů Matice. Ve většině případů, zejména při programování složitých projektů, je však pohodlnější vytvářet pole pomocí vestavěných funkcí.

Definování prvků matice pomocí funkce

· matice(M,N,f) - vytvoření matice velikosti M*N, jejíž každý prvek i, j je f(i, j) (Výpis 9.19);

o M - počet řádků;

o N - počet sloupců;

o f (i, j) - funkce.

Výpis 9.19. Vytvoření Matrixu

Pro tvorbu matic existují ještě dvě specifické funkce, sloužící především k rychlé a efektivní prezentaci libovolných závislostí ve formě trojrozměrných grafů (jako je plocha nebo prostorová křivka). Všechny jejich argumenty, kromě prvního (funkce), jsou volitelné. Podívejme se na první z funkcí.

· CreateSpace(F(nebo f1, f2, f3), t0, t1, tgrid, fmap) - vytvoří vnořené pole reprezentující x-, y- a z-souřadnice parametrické prostorové křivky určené funkcí p;

• F(t) je vektorová funkce tří prvků, definovaná parametricky vzhledem k jedinému argumentu t;
• f1(t) ,f2(t), f3(t) - skalární funkce;
• t0 - dolní mez t (výchozí -5);
• t1 - horní mez t (výchozí 5);
• tgrid - počet bodů mřížky podle proměnné t (výchozí 2o);
• fmap je vektorová funkce tří argumentů, která určuje transformaci souřadnic.

Rýže. 9.4. Použití funkce CreateSpace s jinou sadou parametrů

Příklad použití funkce CreateSpace je na Obr. 9.4. Všimněte si, že k vykreslení šroubovice nebyl vyžadován žádný další kód kromě definování parametrického vztahu ve vektorové funkci F.

Funkce vytváření matice pro 3D vykreslování povrchu je navržena přesně stejným způsobem, až na to, že definice povrchu vyžaduje dvě proměnné místo jedné. Příklad jeho použití je znázorněn na obr. 9.5.

Rýže. 9.5. Použití funkce CreateMesh s jinou sadou parametrů

· CreateMesh(F(nebo g, nebo f1, f2, f3) , s0, s1, t0, t1, sgrid, tgrid, fmap) - vytvoří vnořené pole představující souřadnice x, y a z parametrického povrchu specifikovaný funkcí F;

• F(s,t) je vektorová funkce tří prvků, definovaná parametricky s ohledem na dva argumenty s a t;
• g (s, t) - skalární funkce;
• f1(s,t),f2(s,t),f3(s,t) - skalární funkce;
• s0, t0 - dolní meze argumentů s, t (výchozí -5);
• s1, t1 - horní hranice argumentů s, t (výchozí 5);
• sgrid, tgrid - počet bodů mřížky na základě proměnných sat (výchozí 20);
• fmap je tříprvková vektorová funkce tří argumentů, která určuje transformaci souřadnic.

Příklady vnořených polí, která jsou vytvořena funkcemi CreateMesh a CreateSpace, jsou uvedeny ve výpisu 9.20. Každá matice tří vnořených matic, které tvoří pole, definuje souřadnice x, y a z bodů na povrchu nebo křivce.

Vypsání 9.20. Výsledek funkcí CreateMesh a CreateSpace (obr. 9.4 - 9.5)

Vytváření matic speciálního typu

V Mathcadu je snadné vytvořit matice určitého typu pomocí jedné z vestavěných funkcí. Příklady použití těchto funkcí jsou uvedeny ve výpisu 9.21.

· identita (N) - matice identity velikosti N*N;

· diag(v) - diagonální matice, na jejíž diagonále jsou prvky vektoru v;

· geninv(A) - vytvoření matice inverzní (vlevo) k matici A;

· rref (A) - transformace matice nebo vektoru A do stupňovité formy;

• N - celé číslo;
• v - vektor;
• A je matice reálných čísel.

Velikost N*M matice A pro funkci geninv musí být taková, že N>M.

Výpis 21.9. Vytváření matic speciálního typu

Matice A -1 se nazývá inverzní matice vzhledem k matici A, pokud A*A -1 = E, kde E je matice identity n-tého řádu. Inverzní matice může existovat pouze pro čtvercové matice.

Účel služby. Pomocí této služby online můžete najít algebraické doplňky, transponovanou matici A T, spojenou matici a inverzní matici. Rozhodnutí se provádí přímo na webu (online) a je bezplatné. Výsledky výpočtu jsou prezentovány ve zprávě ve formátu Word a Excel (tj. je možné zkontrolovat řešení). viz ukázka designu.

Instrukce. Pro získání řešení je nutné zadat rozměr matice. Dále vyplňte matici A v novém dialogovém okně.

Rozměr matice 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Viz také Inverzní matice pomocí Jordano-Gaussovy metody

Algoritmus pro nalezení inverzní matice

Nalezení transponované matice AT .

Definice algebraických doplňků. Nahraďte každý prvek matice jeho algebraickým doplňkem.

Sestavení inverzní matice z algebraických sčítání: každý prvek výsledné matice je vydělen determinantem původní matice. Výsledná matice je inverzní k původní matici.

Další Algoritmus pro nalezení inverzní matice podobný předchozímu až na některé kroky: nejprve se vypočítají algebraické doplňky a poté se určí příbuzná matice C.

Určete, zda je matice čtvercová. Pokud ne, pak pro to neexistuje žádná inverzní matice.

Výpočet determinantu matice A. Pokud se nerovná nule, pokračujeme v řešení, jinak inverzní matice neexistuje.

Definice algebraických doplňků.

Vyplnění sjednocovací (vzájemné, adjungované) matice C .

Sestavení inverzní matice z algebraických sčítání: každý prvek adjungované matice C se vydělí determinantem původní matice. Výsledná matice je inverzní k původní matici.

Provedou kontrolu: vynásobí původní a výsledné matice. Výsledkem by měla být matice identity.

Příklad č. 1. Zapišme matici ve tvaru:

Algebraické sčítání.

A 1,1 = (-1) 1+1

-1 -2 5 4

∆ 1,1 = (-1 4-5 (-2)) = 6

A 1,2 = (-1) 1+2

2 -2 -2 4

∆ 1,2 = -(2 4-(-2 (-2))) = -4

A 1,3 = (-1) 1+3

2 -1 -2 5

∆ 1,3 = (2 5-(-2 (-1))) = 8

A2,1 = (-1) 2+1

2 3 5 4

∆ 2,1 = -(2 4-5 3) = 7

A2,2 = (-1) 2+2

-1 3 -2 4

∆ 2,2 = (-1 4-(-2 3)) = 2

A 2,3 = (-1) 2+3

-1 2 -2 5

∆ 2,3 = -(-1 5-(-2 2)) = 1

A 3,1 = (-1) 3+1

2 3 -1 -2

∆ 3,1 = (2 (-2)-(-1 3)) = -1

A 3,2 = (-1) 3+2

-1 3 2 -2

∆ 3,2 = -(-1 (-2)-2 3) = 4

A 3,3 = (-1) 3+3

-1 2 2 -1

∆ 3,3 = (-1 (-1)-2 2) = -3
Potom lze inverzní matici zapsat jako:

A-1 = 1/10

6 -4 8 7 2 1 -1 4 -3

A-1 =

0,6 -0,4 0,8 0,7 0,2 0,1 -0,1 0,4 -0,3

Další algoritmus pro hledání inverzní matice Uvádíme další schéma hledání inverzní matice.

Najděte determinant dané čtvercové matice A.

Ke všem prvkům matice A najdeme algebraické doplňky.

Zapisujeme algebraické sčítání řádkových prvků do sloupců (transpozice).

Každý prvek výsledné matice vydělíme determinantem matice A.

Jak vidíme, operaci transpozice lze aplikovat jak na začátku, na původní matici, tak na konci na výsledné algebraické sčítání.

Zvláštní případ: Inverzní matice identity E je matice identity E.