Libro de texto sobre métodos matemáticos en geografía. El concepto de función de una variable.

Consideremos primero el concepto de cantidad variable, o simplemente de variable.

valor variable incógnita viene determinada por el conjunto de valores que puede tomar en el caso considerado. esto es mucho incógnita llamemos al área de cambio de valores variables incógnita.

Sin embargo, el principal tema de estudio en matemáticas no es el cambio de una variable en sí misma, sino la relación entre dos o más variables cuando cambian juntas. En muchos casos, las variables no pueden tomar ningún par de valores de sus ámbitos; si a uno de ellos se le da un significado específico, entonces esto ya determina el significado del otro. Entonces el primero se llama independiente , y el segundo – dependiente variable.

Sean dadas dos variables incógnita Y y con áreas de cambio incógnita Y Y. Si cada elemento incógnita incógnita según una determinada regla F un solo elemento coincide y Y, luego dicen eso en el set incógnita dado función y = F(incógnita).

Es claro que en este caso la variable incógnita es la variable independiente. A menudo la llaman argumento funciones.

Variable y es la variable dependiente y se llama valor de la función, o simplemente función.

Muchos incógnita llamado dominio de definición funciones y un conjunto Y - región su valores .

existe varias maneras asignaciones de funciones:

A) el mas simple - analítico método, es decir, especificar una función en forma de fórmula. Si el dominio de una función incógnita no está indicado, entonces bajo incógnita múltiples significados implícitos incógnita, para lo cual la fórmula tiene sentido;

b) gráfico forma. Este método es especialmente claro. Para una función de una variable y= F(incógnita) se utiliza el plano de coordenadas ( xy).

Colección de puntos y, correspondiente a los valores especificados incógnita, determina la gráfica de la función en el plano ( xy);

V) tabular forma. Se utiliza frecuentemente cuando la variable independiente incógnita toma sólo un número finito de valores.

5.2. Propiedades básicas de las funciones.

Consideremos las principales propiedades de las funciones que simplifican su investigación:

Paridad. Función y = F(incógnita) se llama incluso , si por algun valor incógnita, perteneciente al dominio de definición de la función incógnita, significado (- incógnita) también pertenece incógnita y al mismo tiempo se lleva a cabo

F(-incógnita) =F(incógnita).

La gráfica de una función par es simétrica con respecto a la ordenada.

Función y = F(incógnita) se llama extraño , si por alguna incógnita incógnita sigue (- incógnita) incógnita y al mismo tiempo

F(-incógnita) = –F(incógnita).

La gráfica de una función impar es simétrica con respecto al origen.

Si la función y = F(incógnita) no es ni par ni impar, a menudo se le llama función general .

Monótono. Función y = F(incógnita) se llama creciente en algún intervalo ( a, b), si por alguna incógnita 1 , incógnita 2 (a, b), semejante

Qué incógnita 1 < incógnita 2, se deduce que F(incógnita 1) < F(incógnita 2), y decreciente , Si F(incógnita 1) >F(incógnita 2).

Creciente y decreciente en el intervalo ( a, b) las funciones se llaman monótono en este intervalo, y el intervalo en sí ( a, b) - el intervalo de monotonicidad de estas funciones.

En algunos libros de texto, estas funciones se denominan estrictamente monótono, A monótono Se llama a una función que no es decreciente ni creciente en el intervalo considerado (en lugar de desigualdades estrictas para funciones, se escriben desigualdades no estrictas).

Limitación. Función y = f(incógnita) se llama limitado en el intervalo ( a, b), si tal número existe CON> 0, que para cualquier incógnita (a, b) debería |f(incógnita)| < C , y de lo contrario ilimitado, es decir, si para cualquier número do> 0 tal existe incógnita (a, b), Qué |f(incógnita)| > C. En la figura. La figura 5.1 muestra una gráfica de una función acotada en el intervalo ( a, b).

Se puede dar una definición similar de acotación para cualquier tipo de intervalo.

Periodicidad. Función y = F(incógnita) se llama periódico, si tal numero existe t eso para cualquiera incógnita incógnita correr

F(x+t)= f(incógnita).

El menor de estos números. t llamado período de la función y es designado t.

Un rasgo característico de la periodicidad de las funciones es la presencia de funciones trigonométricas en su composición.

5.3. Funciones elementales y sus gráficas.

Las funciones básicas incluyen:

A) las funciones elementales más simples

1. constantey = do, Dónde Con- un número real constante para una función dada, el mismo para todos los valores incógnita.

2. Función de potencia, donde es cualquier número real constante excepto cero. Tipo de gráficas de funciones para algunos números enteros positivos ( = norte), enteros negativos ( = – norte) y fraccionario ( = 1/ norte) los valores se presentan a continuación.

4. Función logarítmica y= iniciar sesión una x (a > 0; a 1).

5. Funciones trigonométricas: y= pecado incógnita, y= porque incógnita, y= tg incógnita, y=ctg incógnita.

6. Funciones trigonométricas inversas.

y= arcosen x y= arccos incógnita

y= arctán x y= arcctg incógnita

b) funciones complejas

Además de las funciones elementales más simples enumeradas del argumento. incógnita Las funciones elementales también incluyen funciones cuyos argumentos también son funciones elementales, así como funciones obtenidas al realizar un número finito de operaciones aritméticas en funciones elementales. Por ejemplo, la función

También es una función elemental.

Funciones cuyos argumentos no son variables independientes, pero se llaman otras funciones. funciones complejas o superposiciones de funciones. Se dan dos funciones: y= pecado incógnita Y z= registro 2 y. Entonces una función compleja (superposición de funciones) puede tener la forma

z= log 2(pecado incógnita).

También puedes introducir el concepto. función inversa .Dejar y = F(incógnita) está dado en el dominio de la definición incógnita, A Y- sus múltiples significados. Elijamos algún valor y= y 0 y usarlo para encontrar incógnita 0 para que y 0 era igual F(incógnita 0).Valores similares incógnita Puede haber varios 0.

Así, para cada valor y de Y se asignan uno o más valores incógnita. Si tal valor incógnita solo una cosa, luego en la zona Y se puede definir una función incógnita= gramo(y), que se llama contrarrestar para función y = F(incógnita).

Encontremos, por ejemplo, la función inversa de la función exponencial. y = una x. De la definición de logaritmo se deduce que si se da el valor y, entonces el valor incógnita, satisfaciendo la condición y = una x, se encuentra mediante la fórmula incógnita= iniciar sesión sí. Es decir, todos y de Y se puede asignar a un valor específico incógnita= iniciar sesión sí.

Por lo tanto, la función incógnita= iniciar sesión sí es la inversa de la función y = una x en conjuntos incógnita Y Y. Dado que es costumbre denotar la variable independiente de cualquier función. incógnita, entonces en este caso dicen que y = F(incógnita) Y y= gramo(incógnita) son funciones inversas.

Gráficos de funciones y = F(incógnita) y su función inversa y= gramo(incógnita) son simétricos con respecto a la bisectriz del primer y tercer ángulo coordenado.

Diferencial

Y cálculo de funciones integrales.

una variable

Aprobado por el Consejo Editorial

La universidad como herramienta didáctica.

Revisores:

Doctor en Ciencias Técnicas, Profesor de la Universidad Rusa Químico-Tecnológica que lleva su nombre. D. I. Mendeleev

L. S. Gordeev

Candidato de Ciencias Físicas y Matemáticas, Profesor Asociado, Universidad Técnica Estatal del Automóvil y Carreteras de Moscú (MADI)

S. A. Izotova

Cálculo diferencial e integral de una función de uno.

D50 variable: libro de texto manual / E. G. Rudakovskaya, M. F. Rushailo,

M. A. Meladze, E. L. Gordeeva, V. V. Osipchik; editado por E. G. Rudakovskaya,

MF Rushailo. M.: RKhTU im. D. I. Mendeleev,

2012. – 108 págs.

ISBN 978-5-7237-0993-5

El manual es un resumen condensado de conferencias sobre análisis matemático impartidas por el Departamento de Matemática Superior.

El manual cubre las siguientes secciones del curso de análisis matemático: cálculo diferencial de funciones de una variable, cálculo integral de funciones de una variable. Se presta mucha atención al análisis de ejemplos sobre los temas en estudio que tienen importancia práctica para otras disciplinas.

Diseñado para estudiantes de primer año de todas las facultades y colegios de la Universidad Técnica Química de Rusia que lleva su nombre. D. I. Mendeleev.

CDU 517 (075)

ISBN 978-5-7237-0993-5 © Instituto Ruso de Tecnología Química

Universidad que lleva el nombre D. I. Mendeleeva, 2012

CAPÍTULO 1. CÁLCULO DIFERENCIAL DE UNA FUNCIÓN DE UNA VARIABLE.. 3

§ 1. FUNCIÓN DE UNA VARIABLE, CONCEPTOS BÁSICOS.. 3

1. Definición de una función de una variable. 3

2. Métodos para especificar una función. 3

3. Funciones complejas e inversas. 3

4. Funciones elementales. 3

§ 2. LÍMITE DE FUNCIÓN. 3

1. Límite de la función en el punto final. incógnita 0 3

2. Límites unilaterales. 3

3. Límite de una función en el infinito. 3

4. Funciones infinitesimales e infinitamente grandes. 3

5. Teoremas básicos sobre límites finitos. 3

6. El primer límite maravilloso. 3

7. El segundo límite destacable. 3

§ 3. CONTINUIDAD DE LA FUNCIÓN. 3

1. Continuidad de una función en un punto y en un intervalo. 3

2. Puntos de ruptura de funciones y su clasificación. 3

§ 4. DIFERENCIACIÓN DE LA FUNCIÓN DE UNA VARIABLE. 3

1. Definición de derivada, su significado geométrico y mecánico. …….3

2. Ejemplos de derivación de derivadas de algunas funciones elementales. 3

3. Tabla de derivadas de funciones elementales básicas. 3

4. Diferenciabilidad de la función. La conexión entre diferenciabilidad y existencia de una derivada y continuidad de una función. 3

5. Reglas de diferenciación. 3

6. Diferenciación de una función especificada implícitamente. 3

7. Derivadas de funciones exponenciales y de potencia. 3

8. Derivadas de funciones trigonométricas inversas. 3

9. Función diferencial. 3

10. Derivados y diferenciales de orden superior. 3

§ 5. PROPIEDADES DE LAS FUNCIONES CONTINUAS EN UN INTERVEL......37

1. Teorema de Rolle. 3

2. Teorema de Lagrange. 3

3. Teorema de Cauchy. 3

4. La regla de L'Hopital. 3

§ 6. ESTUDIO DEL COMPORTAMIENTO DE LAS FUNCIONES. 3

1. Asíntotas de una curva plana. 3

2. Monotonicidad de la función. 3

3. Extremos de la función. 3

4. Convexidad, concavidad y puntos de inflexión de la gráfica de una función. 3

5. Los valores mayor y menor de una función en un segmento. 3

6. Esquema del estudio de funciones. Construyendo un gráfico. 3

CAPÍTULO 2. CÁLCULO INTEGRAL DE UNA FUNCIÓN DE UNA VARIABLE 3

§ 1. INTEGRAL INDETERMINADA.. 3

1. Función antiderivada y sus propiedades. 3

2. El concepto de integral indefinida. 3

3. Propiedades de la integral indefinida. 3

4. Tabla de integrales indefinidas básicas. 3

§ 2. MÉTODOS DE INTEGRACIÓN. 3

1. Integración directa. 3

2. Integración por sustitución. 3

3. Integración por partes. 3

4. Integración de fracciones racionales. 3

5. Integración de expresiones trigonométricas. 3

6. Integración de algunos tipos de expresiones irracionales. 3

§ 3. INTEGRAL DEFINIDA.. 3

1. Problema que conduce a una integral definida. 3

2. Propiedades de la integral definida. 3

3. Cálculo de una integral definida. Fórmula de Newton-Leibniz. …..3

4. Métodos para integrar una integral definida. 3

5. Aplicaciones de una integral definida. 3

§ 4. INTEGRALES IMPROPIAS. 3

1. Integrales de límites infinitos. 3

2. Integrales de funciones discontinuas. 3

CAPÍTULO 1. CÁLCULO DIFERENCIAL DE UNA FUNCIÓN DE UNA VARIABLE

FUNCIÓN DE UNA VARIABLE, CONCEPTOS BÁSICOS

Definición de una función de una variable

Definición. Se dan dos conjuntos incógnita Y Y. Si cada elemento incógnita de muchos incógnita según alguna regla F coincide con un solo elemento y de muchos Y, luego dicen eso en el set incógnita determinado función y = f(incógnita) con dominio X= D(F) Y área de cambio Y= mi(F). Al mismo tiempo incógnita considerada una variable independiente, o argumento funciones, y y– variable dependiente o función.

Valor parcial de la función y = f(incógnita) para un valor de argumento fijo x = x 0 llamado y 0 = f(x0).

Gráfica de la función y = f(incógnita) se llama lugar geométrico de los puntos METRO(x;f(incógnita)) en el avión oxi, Dónde incógnita Î D(F) Y F(incógnita) Î mi(F).

Métodos para especificar una función.

1) Método analítico– una forma de especificar una función usando una fórmula.

Hay varias formas de definir analíticamente una función:

a) La función está dada obviamente fórmula y= F(incógnita).

Por ejemplo: donde D(y) = (– ∞;1) (1;+∞).

b) La función está dada implícitamente ecuación relacionada incógnita Y y: F(incógnita;y) = 0.

Por ejemplo: – ecuación de un círculo con centro en el origen y radio r. Si expresamos de esta ecuación y a través de incógnita, entonces obtienes dos funciones:

Y ,

que tienen un alcance , y los rangos de valores de estas funciones serán: para la primera - , para la segunda - .

c) La función está dada paramétricamente usando algún parámetro t, y el argumento incógnita y función y Depende de este parámetro:

Por ejemplo: puedes definir un círculo usando ecuaciones paramétricas:

2) Método tabular para especificar una función.– por ejemplo, las tablas Bradis definen funciones y= pecado incógnita, y= porque incógnita etc.

3) Manera gráfica de especificar una función., cuando la dependencia de una función de su argumento se especifica gráficamente.

Funciones complejas e inversas

Definición 1. Deja que la función y= F(Ud.) está definido en el conjunto D(F), y la función Ud. = gramo(incógnita) definido en D(gramo), y mi(gramo) D(F).

Entonces la función y= F(incógnita) = F(gramo(incógnita)) se llama función compleja(o una función de una función, o superposición funciones F Y gramo).

Definición 2. Sea dada la función y= F(incógnita) mapeo uno a uno del conjunto X = D(F) a un conjunto Y=E(F).

Entonces la función incógnita= gramo(y) se llama contrarrestar funcionar y= F(incógnita), es decir, cualquiera y mi(F) corresponde a un solo valor incógnita D(F), para lo cual la igualdad es verdadera y= F(incógnita).

Comentario. Gráficos de funciones y= F(incógnita) Y incógnita= gramo(y) representan la misma curva. Si denotamos la variable independiente de la función inversa. incógnita y dependiente y, entonces las gráficas de las funciones y= F(incógnita) Y y= gramo(incógnita) será simétrica con respecto a la bisectriz del primer y tercer ángulo coordenado.

Funciones elementales

Funciones elementales básicas:

y= constante (función constante), D(y) = R; mi(y) = do.

(función lineal), D(y) = R; mi(y) = R.

y= (función de potencia), α Î R, mi(y), D(y) dependen de α.

y= (función exponencial), a > 0, a ≠ 1, D(y) = R, mi(y) = (0;+∞).

y= (función logarítmica)), a > 0, a ≠ 1, D(y) = (0;+∞), mi(y) = R.

Funciones trigonométricas:

y= pecado incógnita, D(y) = R, mi(y) = .

y= porque incógnita, D(y) = R, mi(y) = .

y= tg incógnita, D(y) = , mi(y) = R.

y=ctg incógnita, D(y) = , mi(y) = R.

Funciones trigonométricas inversas:

y= arcosen incógnita, D(y) = , mi(y) = .

y= arccos incógnita, D(y) = , mi(y) = .

y= arctán incógnita, D(y) = R, mi(y) = .

y= arcctg incógnita, D(y) = R, mi(y) = .

Función elemental es una función compuesta de funciones elementales básicas que utilizan un número finito de operaciones de suma, resta, multiplicación, división y superposición.

Por ejemplo: – función elemental.

Gráficas de funciones trigonométricas inversas:

Definición 1. Barrio de un punto incógnita 0 es cualquier intervalo que contenga un punto incógnita 0:

. y la igualdad es verdadera:

Nota 2. Si F(incógnita) tiene en el punto incógnita 0 los límites derecho e izquierdo son iguales entre sí, entonces en el punto la función F(incógnita) tiene un límite igual al número:

Nota 3. Si F(incógnita) tiene en el punto incógnita 0 límites derecho e izquierdo, pero no son iguales entre sí, entonces en el punto incógnita 0 función F(incógnita) no tiene límite.

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INTRODUCCIÓN AL ANÁLISIS DE FUNCIÓN DE VARIABLE ÚNICA

Conferencia No. 13. Tema 1: Funciones

1.1. Definición de función

Al estudiar ciertos procesos en el mundo real, nos encontramos con cantidades que los caracterizan, que cambian durante el estudio de estos procesos. En este caso, un cambio en una cantidad va acompañado de un cambio en otra. Por ejemplo, con un movimiento uniforme rectilíneo, la conexión entre la distancia recorridas, velocidad v y tiempo t se expresa mediante la fórmula. A una velocidad dadav longitud del camino s depende del tiempot .

En este caso, un cambio en una cantidad (t ) es arbitrario, y el otro (s ) depende del primero. Luego dicen que se da.dependencia funcional.Demos una justificación matemática para este concepto.

Se dan dos conjuntosincógnita Y Y .

Definición. Una función es una ley o regla según la cual cada elemento
un solo elemento coincide
, mientras escribo

o
.

El elemento se llamaargumento de funciónF, y el elemento valor de la función. Muchos incógnita , en el que se define la función, se llamadominio de la función, y el conjunto Y  área de cambio de función. Estos conjuntos se denotan en consecuencia
Y
.

Ejemplos de funciones:

1. Velocidad de caída libre del cuerpo.
. Aquíincógnita Y Y  conjuntos de números reales no negativos.

2. Área de un círculo
. Aquíincógnita Y Y  conjuntos de números reales positivos.

3. deja incógnita  muchos estudiantes en el grupo, es decir
, A
 múltiples calificaciones en el examen. Aquí como funciónF Se considera el criterio para evaluar el conocimiento.

A continuación, bajo conjuntosincógnita Y Y Nos referiremos a conjuntos de números y nos ceñiremos a la notación. Para mayor claridad utilizaremos la representación geométrica de conjuntos y en forma de conjunto de puntos sobre el eje real. Veamos algunos de los conjuntos numéricos (intervalos) más comunes.:

- segmento;

- intervalo;

 eje numérico (conjunto de números reales);

o -    vecindad de un puntoa .

A
incógnita

Nota 1. Miramos la definición. inequívoco funciones. Si, según alguna regla, cada uno corresponde a un determinado conjunto de númerosy , entonces esta regla está determinada ambiguo función . Por ejemplo, .

Ejemplos. Encuentra dominios y valores de funciones.:

1. .

2. .

3. .

4. .

1.2. Métodos para especificar una función.

1. Método analítico.En primer lugar, las funciones se pueden especificar mediante fórmulas. Para ello se utilizan funciones y operaciones algebraicas ya estudiadas y especialmente designadas.

Ejemplos:

1.
. 2.
. 3.
.

A continuación utilizaremos notaciones matemáticas breves (cuantificadores):  para todos, para cualquiera;  existe, puede especificarlo.

Recordemos algunos elementos del comportamiento de la función. La función se llama aumentando (disminuyendo) ) en algún intervalo, si
a partir de este intervalo se cumple la desigualdad
o
y escribe
o
respectivamente. Las funciones crecientes y decrecientes se llaman monótono . La función se llama limitado en algún intervalo, si
se cumple la condición
. De lo contrario se llama a la función ilimitado.

La función se llama par (impar ) si tiene la propiedad . Las funciones restantes se llaman funciones. vista general.

La función se llama periódico con período t, si se cumple la condición
.

Por ejemplo, la función
esta aumentando
y disminuyendo
. Función
es monótono. Función
limitado para , porque
. Funciones:
son pares y las funciones
 extraño. Función
 periódico con período
.

La función también se puede especificar mediante una ecuación de la forma

(1)

Si existe una función tal que
, entonces la ecuación (1) define la función dada implícitamente . Por ejemplo, en el ejemplo 2la función se da implícitamente, esta ecuación define una función multivaluada
.

Dejar
, A
, entonces la función
llamadofunción compleja o una superposición de dos funciones F Y F . Por ejemplo, en el ejemplo 3la función es una superposición de dos funciones
Y
.

Si consideramos la variable como argumentoen, y como función – una variableincógnita, luego obtenemos una función que se llama para una función de un solo valor contrarrestar y es designado
. Por ejemplo, para la función
sirve como función inversa
o
, si nos atenemos a la notación generalmente aceptada para argumento y función.

Nota 2. La función también se puede especificar mediante una descripción de correspondencia (manera descriptiva). Por ejemplo, asignemos cada número
número 1, y a todos
número 0. Como resultado, obtenemos la función unitaria.

Cabe señalar que cada fórmula es un registro simbólico de alguna correspondencia descrita y, por lo tanto, la diferencia entre especificar una función usando fórmulas y describir la correspondencia es puramente externa.

Una representación gráfica de una función también puede servir para especificar una dependencia funcional.

2. Método gráfico.La función se especifica en forma de gráfico. Un ejemplo de asignación de función gráfica son las lecturas de un osciloscopio.

d

La función se puede especificar mediante tablas:

3. Método tabular.Para algunos valores variablesincógnita se indican los valores de las variables correspondientesy . Ejemplos de este tipo de asignación son tablas de valores de funciones trigonométricas, tablas que representan la relación entre cantidades medidas, etc.

	incógnita 1	incógnita 2	incógnita 3		incógnita norte
	en 1	en 2	en 3		en norte

Para trabajar en una computadora, se especifica la función.algorítmico forma.

1.3. Funciones elementales

Al principal o más simple. Las funciones elementales incluyen:. parte entera del número, donde incógnita  entero más grande que no excedaincógnita , Por ejemplo,
.

una función es una correspondencia entre elementos de dos conjuntos, establecida según la regla de que cada elemento de un conjunto está asociado con algún elemento de otro conjunto.

la gráfica de una función es el lugar geométrico de los puntos en el plano cuya abscisa (x) y ordenada (y) están relacionadas por la función especificada:

un punto está ubicado (o ubicado) en la gráfica de una función si y solo si.

Por tanto, la función se puede describir adecuadamente mediante su gráfica.

Método tabular. Una bastante común es especificar una tabla de valores de argumentos individuales y sus valores de función correspondientes. Este método de definir una función se utiliza cuando el dominio de definición de la función es un conjunto finito discreto.

Con el método tabular de especificar una función, es posible calcular aproximadamente los valores de la función no contenidos en la tabla, correspondientes a los valores intermedios del argumento. Para hacer esto, use el método de interpolación.

Las ventajas del método tabular para especificar una función son que permite determinar ciertos valores específicos de inmediato, sin mediciones ni cálculos adicionales. Sin embargo, en algunos casos, la tabla no define la función completamente, sino solo para algunos valores del argumento y no proporciona una imagen clara de la naturaleza del cambio en la función dependiendo del cambio en el argumento.

Método gráfico. La gráfica de la función y = f(x) es el conjunto de todos los puntos del plano cuyas coordenadas satisfacen la ecuación dada.

El método gráfico para especificar una función no siempre permite determinar con precisión los valores numéricos del argumento. Sin embargo, tiene una gran ventaja sobre otros métodos: la visibilidad. En ingeniería y física, a menudo se utiliza un método gráfico para especificar una función, y un gráfico es la única forma disponible para ello.

Para que la asignación gráfica de una función sea completamente correcta desde un punto de vista matemático, es necesario indicar el diseño geométrico exacto de la gráfica, que, en la mayoría de los casos, se especifica mediante una ecuación. Esto lleva a la siguiente forma de especificar una función.

Método analítico. Muy a menudo, la ley que establece la conexión entre argumento y función se especifica mediante fórmulas. Este método de especificar una función se llama analítico.

Este método hace posible que cada valor numérico del argumento x encuentre el valor numérico correspondiente de la función y exactamente o con cierta precisión.

Si la relación entre xey viene dada por una fórmula resuelta con respecto a y, es decir tiene la forma y = f(x), entonces decimos que la función de x está dada explícitamente.

Si los valores xey están relacionados por alguna ecuación de la forma F(x,y) = 0, es decir la fórmula no se resuelve con respecto a y, lo que significa que la función y = f(x) está dada implícitamente.

Una función se puede definir mediante diferentes fórmulas en diferentes partes de su dominio.

El método analítico es la forma más común de especificar funciones. La compacidad, la concisión, la capacidad de calcular el valor de una función para un valor arbitrario de un argumento del dominio de definición, la capacidad de aplicar el aparato de análisis matemático a una función dada son las principales ventajas del método analítico de especificar un función. Las desventajas incluyen la falta de visibilidad, que se compensa con la capacidad de crear un gráfico y la necesidad de realizar cálculos a veces muy engorrosos.

Método verbal. Este método consiste en expresar la dependencia funcional en palabras.

Ejemplo 1: la función E(x) es la parte entera de x. En general, E(x) = [x] denota el número entero más grande que no excede x. En otras palabras, si x = r + q, donde r es un número entero (puede ser negativo) y q pertenece al intervalo = r. La función E(x) = [x] es constante en el intervalo = r.

Ejemplo 2: la función y = (x) es la parte fraccionaria de un número. Más precisamente, y =(x) = x - [x], donde [x] es la parte entera del número x. Esta función está definida para todo x. Si x es un número arbitrario, entonces represéntelo como x = r + q (r = [x]), donde r es un número entero y q se encuentra en el intervalo.
Vemos que agregar n al argumento x no cambia el valor de la función.
El número más pequeño distinto de cero en n es , por lo que el período es sen 2x .

Se llama al valor del argumento en el que la función es igual a 0. cero (raíz) funciones.

Una función puede tener varios ceros.

Por ejemplo, la función y = x (x + 1)(x-3) tiene tres ceros: x = 0, x = - 1, x = 3.

Geométricamente, el cero de una función es la abscisa del punto de intersección de la gráfica de la función con el eje. incógnita .

La Figura 7 muestra una gráfica de una función con ceros: x = a, x = b y x = c.

Si la gráfica de una función se acerca indefinidamente a una determinada recta a medida que se aleja del origen, entonces esta recta se llama asíntota.

función inversa

Sea una función y=ƒ(x) con un dominio de definición D y un conjunto de valores E. Si cada valor yєE corresponde a un solo valor xєD, entonces la función x=φ(y) se define con a. dominio de definición E y un conjunto de valores D (ver Fig. 102).

Tal función φ(y) se llama inversa de la función ƒ(x) y se escribe de la siguiente forma: x=j(y)=f -1 (y) Las funciones y=ƒ(x) y x. =φ(y) se dice que son mutuamente inversas. Para encontrar la función x=φ(y), inversa a la función y=ƒ (x), basta con resolver la ecuación ƒ(x)=y para x (si es posible).

1. Para la función y=2x la función inversa es la función x=y/2;

2. Para la función y=x2 xє la función inversa es x=√y; tenga en cuenta que para la función y=x 2 definida en el segmento [-1; 1], lo inverso no existe, ya que un valor de y corresponde a dos valores de x (entonces, si y = 1/4, entonces x1 = 1/2, x2 = -1/2).

De la definición de una función inversa se deduce que la función y=ƒ(x) tiene una inversa si y sólo si la función ƒ(x) especifica una correspondencia uno a uno entre los conjuntos D y E. Se deduce que cualquier La función estrictamente monótona tiene una inversa. Además, si una función aumenta (disminuye), entonces la función inversa también aumenta (disminuye).

Tenga en cuenta que la función y=ƒ(x) y su inversa x=φ(y) están representadas por la misma curva, es decir, sus gráficas coinciden. Si aceptamos que, como de costumbre, la variable independiente (es decir, el argumento) se denota por x, y la variable dependiente por y, entonces la función inversa de la función y=ƒ(x) se escribirá en la forma y=φ( incógnita).

Esto significa que el punto M 1 (x o;y o) de la curva y=ƒ(x) se convierte en el punto M 2 (y o;xo) de la curva y=φ(x). Pero los puntos M 1 y M 2 son simétricos con respecto a la recta y=x (ver Fig. 103). Por lo tanto, las gráficas de las funciones mutuamente inversas y=ƒ(x) e y=φ(x) son simétricas con respecto a la bisectriz del primer y tercer ángulo coordenado.

Función compleja

Definamos la función y=ƒ(u) en el conjunto D, y la función u= φ(x) en el conjunto D 1, y para  x D 1 el valor correspondiente u=φ(x) є D. Luego, en el conjunto D 1 función u=ƒ(φ(x)), que se llama función compleja de x (o superposición de funciones dadas, o función de una función).

La variable u=φ(x) se llama argumento intermedio de una función compleja.

Por ejemplo, la función y=sin2x es una superposición de dos funciones y=sinu y u=2x. Una función compleja puede tener varios argumentos intermedios.

4. Funciones elementales básicas y sus gráficas.

Las siguientes funciones se denominan funciones elementales principales.

1) Función exponencial y=a x,a>0, a ≠ 1. En la Fig. 104 muestra gráficas de funciones exponenciales correspondientes a varias bases de potencia.

2) Función de potencia y=x α, αєR. En las figuras se proporcionan ejemplos de gráficas de funciones de potencia correspondientes a varios exponentes.

3) Función logarítmica y=log a x, a>0,a≠1; en la figura se muestran gráficas de funciones logarítmicas correspondientes a diferentes bases. 106.

4) Funciones trigonométricas y=sinx, y=cosx, y=tgx, y=ctgx; Las gráficas de funciones trigonométricas tienen la forma que se muestra en la Fig. 107.

5) Funciones trigonométricas inversas y=arcsinx, y=arccosх, y=arctgx, y=arcctgx. En la figura. 108 muestra gráficas de funciones trigonométricas inversas.

Una función definida por una única fórmula, compuesta de funciones elementales básicas y constantes que utilizan un número finito de operaciones aritméticas (suma, resta, multiplicación, división) y operaciones para tomar una función de una función, se llama función elemental.

Ejemplos de funciones elementales son las funciones

Ejemplos de funciones no elementales son las funciones

5. Conceptos de límite de secuencia y función. Propiedades de los límites.

Límite de función (valor límite de la función) en un punto dado, que limita el dominio de definición de una función, es el valor al que tiende el valor de la función considerada a medida que su argumento tiende a un punto dado.

en matematicas límite de la secuencia Los elementos de un espacio métrico o espacio topológico son un elemento de un mismo espacio que tiene la propiedad de “atraer” elementos de una secuencia determinada. El límite de una secuencia de elementos de un espacio topológico es un punto tal que cada vecindad del mismo contiene todos los elementos de la secuencia, a partir de un número determinado. En un espacio métrico, las vecindades se definen a través de la función de distancia, por lo que el concepto de límite se formula en el lenguaje de las distancias. Históricamente, el primero fue el concepto de límite de una secuencia numérica, que surge en el análisis matemático, donde sirve como base para un sistema de aproximaciones y es ampliamente utilizado en la construcción del cálculo diferencial e integral.

Designación:

(lee: el límite de la secuencia x-nésima cuando en tiende al infinito es igual a a)

La propiedad de una secuencia que tiene un límite se llama convergencia: si una secuencia tiene un límite, entonces se dice que esta secuencia converge; de lo contrario (si la secuencia no tiene límite) se dice que la secuencia es diverge. En un espacio de Hausdorff y, en particular, en un espacio métrico, toda subsecuencia de una secuencia convergente converge y su límite coincide con el límite de la secuencia original. En otras palabras, una secuencia de elementos de un espacio de Hausdorff no puede tener dos límites diferentes. Sin embargo, puede resultar que la secuencia no tenga límite, pero que haya una subsecuencia (de la secuencia dada) que tenga un límite. Si se puede identificar una subsecuencia convergente a partir de cualquier secuencia de puntos en un espacio, entonces se dice que el espacio dado tiene la propiedad de compacidad secuencial (o, simplemente, compacidad, si la compacidad se define exclusivamente en términos de secuencias).

El concepto de límite de una secuencia está directamente relacionado con el concepto de punto límite (conjunto): si un conjunto tiene un punto límite, entonces hay una secuencia de elementos de este conjunto que convergen a este punto.

Definición

Sean dados un espacio topológico y una secuencia, entonces, si existe un elemento tal que.

donde es un conjunto abierto que contiene , entonces se llama límite de la secuencia. Si el espacio es métrico, entonces el límite se puede definir usando la métrica: si hay un elemento tal que

donde está la métrica, se llama límite.

· Si el espacio está equipado con una topología anti-discreta, entonces el límite de cualquier secuencia será cualquier elemento del espacio.

6. Límite de una función en un punto. Límites unilaterales.

Función de una variable. Determinación del límite de una función en un punto según Cauchy. Número b llamado límite de la función en = F(incógnita) en incógnita, luchando por A(o en el punto A), si para cualquier número positivo  existe un número positivo  tal que para todo x ≠ a, tal que | incógnita – a | < , выполняется неравенство
| F(incógnita) – a | <  .

Determinación del límite de una función en un punto según Heine. Número b llamado límite de la función en = F(incógnita) en incógnita, luchando por A(o en el punto A), si para cualquier secuencia ( incógnita n ), convergiendo a A(apuntando a A, teniendo un número límite A), y en cualquier valor n x norte ≠ A, subsecuencia ( y norte= F(incógnita n)) converge a b.

Estas definiciones suponen que la función en = F(incógnita) se define en alguna vecindad del punto A, excepto, quizás, el punto en sí A.

Las definiciones de Cauchy y Heine del límite de una función en un punto son equivalentes: si el número b sirve como límite para uno de ellos, entonces esto también es válido para el segundo.

El límite especificado se indica de la siguiente manera:

Geométricamente, la existencia de un límite de una función en un punto según Cauchy significa que para cualquier número > 0 es posible indicar en el plano de coordenadas tal rectángulo con base 2 > 0, altura 2 y centro en el punto ( A; b) que todos los puntos de la gráfica de una función dada en el intervalo ( A– ; A+ ), con la posible excepción del punto METRO(A; F(A)), se encuentran en este rectángulo

Límite unilateral en análisis matemático, el límite de una función numérica, lo que implica "acercarse" al punto límite en un lado. Estos límites se denominan en consecuencia límite izquierdo(o limite a la izquierda) Y límite derecho (límite a la derecha). Sea una función numérica sobre un determinado conjunto numérico y el número sea el punto límite del dominio de definición. Existen diferentes definiciones para los límites unilaterales de una función en un punto, pero todas son equivalentes.

Función de variable única

Funciones de una variable.

Introducción

En matemáticas, los conceptos fundamentales son el concepto de conjunto, elemento de un conjunto. El análisis matemático se ocupa principalmente de conjuntos numéricos.

En lo que sigue usaremos el siguiente simbolismo:

N - conjunto de números naturales;

Z - conjunto de números enteros;

Q - conjunto de números racionales;

R - conjunto de números reales;

C – conjunto de números complejos;

Î -	marca de afiliación: incógnitaÎ X – elemento incógnita pertenece al conjunto X, incógnitaÏ X – incógnita no pertenece al conjunto X;
Ì -	signo de inclusión: X Ì Y – el conjunto X es un subconjunto de Y;
È -	signo de unión: X È Y – un conjunto cuyos elementos pertenecen a X o Y;
Ç -	signo de intersección de conjuntos: X Ç Y – un conjunto cuyos elementos pertenecen a X e Y al mismo tiempo;
\ -	signo para resta de conjuntos: X\Y – un conjunto formado por elementos del conjunto X que no pertenecen a Y;
" -	cuantificador de universalidad, dice: “para cualquiera”, “para todos”, “todos”, “todos”, etc.;
$ -	cuantificador de existencia, dice: “existe”, “se encontrará”;
Ù -	“y” lógico (conjunción);
Ú -	“o” lógico (disyunción);
Þ -	signo de consecuencia, se lee: “sigue”, “se lleva a cabo”, “conlleva”;
Û -	signo de equivalencia, dice: “entonces y sólo entonces”, “necesario y suficiente”;
| o:	- signos de descripción (descifrado), léase: “tal que...”, “para el cual se lleva a cabo...”, etc.

Por ejemplo, la notación simbólica " incógnitaÎN$ y EN: ( y> incógnita Ú y< incógnita) dice “para cualquier número natural incógnita hay un numero natural en algo así y> incógnita, o y< incógnita».

Como sabes, cada número real está asociado a un único punto de la recta numérica. Por lo tanto, en el futuro acordaremos identificar los términos “número real” y “punto” de la recta numérica. Para intervalos numéricos usaremos la siguiente notación:

[a; b] o a£ incógnita £ b– brecha cerrada o segmento comenzando en un punto A y terminar en un punto b;

(a; b) o a< incógnita < b– espacio abierto o intervalo;

(a; b] o a< incógnita £ b,

[a; b) o a£ incógnita < b

– espacios semiabiertos o semiintervalos;

[a; +¥) o incógnita³ a , (–¥; b] o incógnita £ b– rayos;

(a; +¥) o incógnita> a , (–¥ ; b) o incógnita < b– rayos abiertos;

(–¥ ; +¥) o –¥< incógnita < +¥ – координатная прямая (множество R действительных чисел).

En la ciencia y la práctica tenemos que lidiar con varios tipos de cantidades. Algunos de ellos, bajo condiciones específicas, permanecen sin cambios (constantes), otros cambian (variables). Por ejemplo, el volumen del público y de las latas es constante, pero el volumen del globo es variable.

En el análisis matemático, sólo nos interesará la expresión numérica de tal o cual cantidad, y no su naturaleza, es decir. consideraremos abstracto cantidades. Por lo tanto, llamaremos valor constante a aquel valor que toma un valor fijo, específico (incluso desconocido). Denotaremos esto: incógnita– constante. Muy a menudo, las constantes se indican con las letras iniciales del alfabeto latino: a, b, do, ... o griego a, b, e, l, ... .

Consideramos variable aquella que puede tomar valores numéricos arbitrarios a partir de un determinado conjunto de números. Las variables suelen designarse con letras del final del alfabeto latino: incógnita, en, z, t,... . El conjunto del cual una variable toma valores se llama dominio de definición de esta variable y se escribe: incógnita IDENTIFICACIÓN.

Función de variable única

Junto con el concepto de conjunto y elemento de conjunto, los conceptos básicos de las matemáticas incluyen el concepto de correspondencia. Un cierto tipo de correspondencia se llama función.

Sea un conjunto X con elementos incógnita y el conjunto Y, formado por elementos en(los conjuntos X e Y no están vacíos, sus elementos pueden ser de cualquier naturaleza).

Definición 1.1 Si cada elemento incógnita OH según alguna ley(regla) F un solo elemento coincide enО У, entonces dicen que se da el conjunto X función y = F(incógnita), incógnitaОХ o mostrar F: X → Y establece X en el conjunto Y.

Se ha adoptado la siguiente terminología:

incógnita– variable independiente, o argumento,

X es el dominio de definición de la función, y cada elemento incógnitaОХ – valor del argumento,

en– variable dependiente, o función del argumento incógnita,

Y es el rango de valores de la función, y cada elemento en OU es tal que
y = F(incógnita) para algunos incógnitaОХ se llama valor de la función.

Dependiendo de los conjuntos X e Y, las funciones tienen nombres y notaciones específicas:

si X, Y son subconjuntos del conjunto de números reales R, entonces la función en = F (incógnita) se llama función real de un argumento real o función de una variable;

si ХÌR, УУС es una función compleja de un argumento real, denotada z = F(incógnita);

si XOS, Y OS es una función compleja de un argumento complejo, denotado w = F(z);

si XÌN, UÌR es función de un argumento natural o de una secuencia y norte = F(norte);

si XÌR 2 (es decir, el conjunto de puntos ( incógnita, en) avión), УÌR, zОУ – función real de dos variables z = F(incógnita, en);

si XÌR norte (norte-espacio aritmético dimensional), УÌR – función real norte variables Y =F(incógnita 1 ,incógnita 2 , …, xn). Esta y las funciones anteriores se llaman numérico funciones;

si XМ R, УМ V 2 (conjunto de vectores geométricos en el plano) es una función vectorial del argumento escalar, ` r(t)= incógnita(t) +y(t) ;

si XÌ R 2, UÌ V 2 es una función vectorial de dos argumentos escalares, `F(incógnita, y) = P( incógnita, y) + Q( incógnita, y) ;

En el análisis matemático se estudian principalmente funciones numéricas. Consideremos primero una función real de una variable. Dado que tanto el argumento como la función son un valor numérico real, muchas veces lo usaremos en género femenino: variable independiente, variable dependiente.

En este caso, la Definición 1.1 se puede reformular de la siguiente manera:

Definición 1.2 Si cada valor de variable incógnita del conjunto de números XÌR según alguna ley f asignado a un número real específico en, luego dicen que en el set X se da una función numérica = F (incógnita). Al mismo tiempo incógnita llamado independiente variable (argumento), en – dependiente variable (función), X es el dominio de definición de la función y se denota por X = D( F) .

Los muchos valores que se necesitan en, llamado rango de funciones y se denota por E( F). Carta F simboliza la regla por la cual se establece la correspondencia entre incógnita Y en. Junto con la carta F También se utilizan otras letras: y = gramo(incógnita), y = h(incógnita), y = tu(incógnita). La función también se puede denotar z=j( t), incógnita = F (z), s = S ( pag) etc., es decir tanto la variable independiente como la variable dependiente pueden indicarse con cualquier letra del alfabeto latino.

Dos funciones igual si y sólo si tienen el mismo dominio de definición y para cada valor del argumento toman el mismo valor.

Definir una función significa especificar una regla con la ayuda de la cual para cada valor de argumento se puede encontrar el valor de función correspondiente.

Formas básicas de especificar una función:

1) Analítico– utilizando una o más fórmulas, por ejemplo

y= pecado3 incógnita + incógnita 2 , ,

(Las dos últimas funciones a veces se denominan funciones analíticas por partes o escalonadas). Si una función se especifica analíticamente (mediante una fórmula), entonces se entiende por dominio de definición el conjunto de valores del argumento. incógnita, para el cual el valor correspondiente se puede calcular usando una fórmula dada en(es decir, todas las operaciones especificadas en la fórmula son factibles).

Si en una fórmula que describe una función la variable dependiente se expresa a través de una variable independiente, entonces dicha función se llama obviamente dado. Las funciones anteriores se especifican explícitamente.

Si la igualdad que describe la función no se resuelve con respecto a la variable dependiente, entonces la función se llama implícitamente dado, Por ejemplo

incógnita 2 + 3xy – en 3 = 1 o ln( incógnita+3y) = y 2 .

Una función implícita se puede representar en la forma

Dónde t– un parámetro que toma valores de un conjunto determinado. Esta función se llama función definida paramétricamente. Por ejemplo,

, tО R define la función y =(incógnita –1) 2 ,

define una función .

La especificación paramétrica de una función se usa ampliamente en mecánica: si incógnita = incógnita(t) Y en = en(t) leyes para cambiar las coordenadas de un punto en movimiento, luego defino las ecuaciones trayectoria movimientos.

2) Verbal. Por ejemplo, "parte entera de un número" es el número entero más grande que no excede incógnita. Esta función está designada en = [incógnita].

3) Tabular. Por ejemplo

incógnita	incógnita 1	incógnita 2	incógnita 3	...
en	en 1	en 2	en 3	...

Así se especifican las funciones, generalmente obtenidas a partir de los resultados de la experiencia, experimento o cálculo.

4) Gráfico.

Definición 1.3. Gráfico de funciones en = F (incógnita) es el lugar geométrico de los puntos del plano de coordenadas XOU con coordenadas ( incógnita, F(incógnita)), Dónde incógnitaОD( F).

La imagen de una dependencia funcional en forma de línea (gráfico) es especificando gráficamente la función. Por ejemplo, lecturas de osciloscopio, electrocardiograma, etc. es una representación gráfica de la relación entre las cantidades que se estudian.

Tenga en cuenta que para una función de un solo valor, su gráfica tiene solo un punto de intersección con cualquier línea incógnita = A, AОD( F).

Propiedades de funciones.

Yo función en = F (incógnita), incógnitaÎD, llamado limitado en el conjunto D, si existen números reales A, B tales que " incógnitaОD la condición A £ F(incógnita) £ B. La gráfica de dicha función se encuentra en algún raya horizontal entre lineas rectas en= A y en= B (Figura 1a). Si tales números A y B no existen, entonces se dice que la función es ilimitada en el conjunto D.

Si " incógnitaÎDÞ F(incógnita) £ B, entonces la función delimitado arriba(Figura 1b).

Si " incógnitaÎDÞ F(incógnita) ³ A, entonces la función delimitado por debajo(Figura 1c).

Las funciones están limitadas en su alcance de definición. en= pecado incógnita Y y= porque incógnita, porque para todos los valores incógnita correr

–1 £pecado incógnita£ 1 y –1 £ cos incógnita£1.

La función está limitada desde arriba porque para todos los valores reales incógnita se cumple la condición en£ 1. Un ejemplo de una función acotada desde abajo es la función exponencial en= , porque > 0 para todos los valores reales incógnita.

II. Función en = F (incógnita), incógnitaÎD, llamado creciente, si por algún valor del argumento incógnita 1 , incógnita 2 ОD tal que incógnita 1 < incógnita 2, se cumple la condición F(incógnita 1) < F(incógnita 2) (es decir, un valor mayor del argumento corresponde a un valor mayor de la función, Fig. 2a).

Función en = F (incógnita), incógnitaÎD, llamado decreciente, Si " incógnita 1 ,incógnita 2 ОD tal que incógnita 1 < incógnita 2, la condición ( F(incógnita 1) > F(incógnita 2) (un valor mayor del argumento corresponde a un valor menor de la función, Fig. 2b). Las funciones crecientes y decrecientes se llaman monótono funciones. Si las desigualdades estrictas se reemplazan por otras no estrictas, entonces la función se llamará, en consecuencia, no decreciente y no creciente.

III. Función en = F (incógnita), incógnitaÎD, llamado incluso, Si

" incógnitaÎD Þ (– incógnitaÎD y F (–incógnita) =F (incógnita)).

La gráfica de la función par es simétrica con respecto al eje del amplificador operacional (Fig. 3a).

Función en = F (incógnita), incógnitaÎD, llamado extraño, Si

" incógnitaÎD Þ (– incógnitaÎD y F (–incógnita) =F (incógnita)).

La gráfica de una función impar es simétrica con respecto al origen (Fig. 3b).

IV. Función en= F (incógnita), incógnitaÎD, llamado periódico, Si

$T > 0: " incógnitaÎD Þ ( incógnita± ТÎD y F (incógnita) = F (incógnita±T)).

en

El número T se llama período de la función. En dos segmentos adyacentes cualesquiera del eje OX de longitud T, la gráfica de una función periódica tiene la misma forma (Fig. 4).