El concepto de error de bit (tasa de error de bit). Descripción de la función BITERR

8. Cálculo de la probabilidad de error A la salida del receptor y la probabilidad de error en bits a la entrada y salida del decodificador del CANAL de transmisión de datos y del canal de remuestreo

8.1 Cálculo de la probabilidad de error a la salida del receptor y de la probabilidad de error en bits a la entrada y salida del decodificador de un canal de transmisión de datos discretos

Una medida de rendimiento importante utilizada para comparar sistemas de transmisión digital es la probabilidad de error en la salida del receptor P o así como la probabilidad de error de bit en la entrada P b y la salida del decodificador P b out.

Consideremos la probabilidad de error en la salida del receptor P o para una manipulación por desplazamiento de fase coherente:

Dónde ; ; Ф() es la función Crump, entonces

La probabilidad de error de bit en la entrada del decodificador P b del SPDI considerado está determinada por la fórmula:

(8.2)

donde Q() es la integral del error gaussiano; E b /P 0 – la relación entre la energía de un bit de la señal y la densidad de potencia espectral de la interferencia en la entrada del receptor, y

De este modo:

La probabilidad de error de bit en la salida del decodificador P b del SPDI considerado se determina a partir de la relación:

, en otras palabras, para SPDI coherente ortogonal binario (M=2) hay igualdad

P b = P b fuera (8.3)

De este modo:

P b = P b fuera = 0,2

8.2 Cálculo de la probabilidad de error a la salida del receptor y de la probabilidad de error en bits a la entrada y salida del decodificador del canal de remuestreo

Teniendo en cuenta el grado de coherencia del SPDI, determinamos la probabilidad de error en la salida del receptor del canal de reabastecimiento P okp, así como la probabilidad de error de bit en la entrada P b cp y la salida P b vykhp. del decodificador del canal de reabastecimiento.

Consideremos la probabilidad de error en la salida del receptor P okp para una manipulación por desplazamiento de fase coherente:

(8.4)

Dónde ; Ф() es la función Crump, entonces

La probabilidad de error de bit en la entrada del decodificador del canal de remuestreo P b kp del SPDI considerado está determinada por la fórmula:

(8.5)

donde Q() es la integral del error gaussiano; E b kp / P 0kp – relación entre la energía de un bit de la señal de reinterrogación y la densidad de potencia espectral de la interferencia en la entrada del receptor del canal de reinterrogación.

Entonces - la energía de un bit de la señal de solicitud, – la potencia media total de las señales de interrogación a la entrada del receptor de canal inverso (según las condiciones del problema);

la capacidad del canal de reabastecimiento en un modo de funcionamiento determinado (y , ya que el canal de reabastecimiento y el canal PM directo tienen los mismos parámetros).

Calculemos:

Según las condiciones de la tarea.

De este modo:

La probabilidad de error de bit en la salida del decodificador Pb outKP del canal de reabastecimiento del SPDI considerado se determina a partir de la relación:

,

en otras palabras, para SPDI coherente ortogonal binario (M=2) existe la igualdad Pb ​​kp = Pb outkp.

De este modo:

P b =P b fueraKP =0.2

Con base en los valores obtenidos y ; Y ; P b out =0.2 y P b outKP =0.2 podemos concluir que para el canal de comunicación directo y el canal de remuestreo SPDI inverso, las probabilidades de error en la salida del receptor y las probabilidades de error de bit en la entrada/salida de los decodificadores son aproximadamente iguales. en valor. Esto puede deberse al hecho de que los parámetros de los canales de datos considerados tienen aproximadamente los mismos valores.

9. Métodos para interconectar el SPDI desarrollado con equipos de multiplexación por división de frecuencia estándar

Para interconectar el SPDI desarrollado con el equipo de descompresión/multiplexación de frecuencia analógica (CHU-RK), es necesario, como ya se mencionó, lograr el cumplimiento de la condición y , así como los parámetros eléctricos del SPDI cumplieron con los requisitos del equipo Chu-RK.

En nuestro caso, el SPDI desempeña el papel de fuente/consumidor de señal y produce una señal grupal con parámetros e Ic, y el equipo CHU-RK desempeña el papel de equipo formador de canales y proporciona y Ck (es decir, un sistema de comunicación analógico estándar). canal).

Los cálculos han demostrado que para el SPDI desarrollado como medio de transmisión de señales de banda base, el canal de frecuencia de voz estándar (VFC) satisface plenamente las condiciones especificadas. Por lo tanto, para interconectar el SPDI con el equipo CHU-RK, no importa qué tipo de equipo será este equipo, lo importante es la capacidad de interconectar los parámetros eléctricos del SPDI y el CFC generado por el equipo CHU-RK; .

Con base en lo anterior, es necesario asegurar:

Igualdad de la impedancia de salida del SPDI y la impedancia de entrada del equipo CHU-RK;

Igualdad de niveles de transmisión y recepción de SPDI y CHU-RK;

Igualdad de rangos de frecuencia de señales SPDI y rutas CHU-RK.

De lo contrario no será posible emparejar el equipo SPDI y el CHU-RK.

10. DIAGRAMA FUNCIONAL DEL EQUIPO TRANSMISOR Y RECEPTOR SPDI

El diagrama funcional de la ruta de transmisión SPDI se verá así:

Arroz. 10.1 El diagrama funcional de la ruta de transmisión SPDI se verá así.

El diagrama funcional de la ruta de recepción SPDI se verá así:

Arroz. 10.2 El diagrama funcional de la ruta de recepción SPDI se verá así:

CONCLUSIÓN

En este trabajo se calculó un sistema para transmitir información discreta con parámetros dados.

Teniendo en cuenta los datos iniciales y los resultados de los cálculos, se justificó el ámbito de aplicación del SPDI desarrollado.

Con base en el cálculo de los parámetros de información del sistema, se concluyó que un canal de frecuencia de voz analógico estándar es adecuado para su uso como medio de propagación para una señal SPDI discreta de grupo. Además, se propuso utilizar el exceso de capacidad del canal para introducir artificialmente redundancia de información añadiendo bits de verificación.

Se consideró la opción de utilizar codificación resistente al ruido utilizando códigos Hamming, a partir de lo cual se demostró que la codificación resistente al ruido aumenta, junto con la inmunidad al ruido, el rendimiento de la información del sistema. Se ha desarrollado un circuito de codificador y decodificador de canal (resistente al ruido) de una estructura determinada.

Se calculan las características de temporización de la señal del grupo SPDI, así como los parámetros de las señales de sincronización del sistema.

Se calculó y justificó la efectividad de utilizar un canal de retroalimentación en el sistema para aumentar la confiabilidad de los mensajes transmitidos.

Se considera la cuestión de elegir un circuito receptor de acuerdo con un sistema de modulación de banda ancha determinado y se llega a una conclusión sobre su eficacia.

Se han realizado cálculos de los indicadores de inmunidad al ruido del sistema, es decir Se definen parámetros como la probabilidad de bits de error en la recepción del mensaje. Se ha demostrado que este SPDI tiene una inmunidad al ruido bastante baja.

Se fundamentan los métodos y parámetros de interconexión del SPDI desarrollado y el equipo analógico CHR-UK. Los cálculos han demostrado que SPDI puede funcionar con cualquier tipo de equipo CR-UK que reciba señales PSK discretas.

Como resultado del trabajo realizado, a partir de los datos y cálculos iniciales, se formó un diagrama funcional de un sistema coherente multicanal para transmitir información discreta.

Lista de literatura usada

1. Zyuko A.G. Inmunidad al ruido y eficiencia de los sistemas de comunicación. METRO.:

Comunicación, 1985

2. Kirillov V.I. Sistemas de transmisión multicanal. Minsk. Nueva edición, 2003

3. Sklyar B. Comunicación digital. Fundamentos teóricos y aplicación práctica. Moscú. Williams, 2003

4. Kurulev A.P., Batura M.P. Teoría de circuitos eléctricos. Procesos en estado estacionario en circuitos eléctricos lineales. Minsk. Mejor impresión, 2001

5. Tatur T.A., Tatur V.E. Procesos estacionarios y transitorios en circuitos eléctricos. Moscú. Escuela superior, 2001

1.5 Niveles de interferencia y atenuación lineal 1.5.1 Interferencia eléctrica en canales de comunicación HF sobre líneas aéreas Existe interferencia eléctrica en cualquier canal de comunicación. Son el principal factor que limita el alcance de la transmisión de información debido a que las señales recibidas por el receptor están distorsionadas por la interferencia. Para garantizar que las distorsiones no superen los límites aceptables para este tipo de información, debe haber...

Sintaxis:

ber = berawgn(EbNo, "pam", M)
ber = berawgn(EbNo, "qam", M)
ber = berawgn(EbNo, "psk", M, dataenc)
ber = berawgn(EbNo, "dpsk", M)
ber = berawgn(EbNo, "fsk", M, coherencia)
ber = berawgn(EbNo, "msk", dataenc)
berlb = berawgn(EbNo, "cpfsk", M, modindex, kmin)

Interfaz gráfica:

En lugar de utilizar la función berawgn puede iniciar el entorno BERTool (función bertool) y utilice su pestaña Teórico para los cálculos.

Descripción:

Información general de sintaxis
Función berawgn devuelve la tasa de error de bits (BER) para varios tipos de modulación en un canal de comunicación con ruido blanco gaussiano aditivo (AWGN). El primer parámetro de entrada, EbNo, especifica la relación (en decibeles) entre la energía de un bit y la densidad espectral de potencia del ruido blanco. Si EbNo es un vector, el resultado de ber será un vector del mismo tamaño cuyos elementos corresponden a diferentes valores de la relación Eb/N0. Los tipos de modulación admitidos especificados por el segundo parámetro de entrada de la función se enumeran en la siguiente tabla.

Tipo de modulación	Segundo parámetro de entrada
Modificación de cambio de frecuencia de fase continua (CPFSK)	"cpfsk"
Modificación por cambio de fase diferencial (DPSK)	"dpsk"
Modificación por desplazamiento de frecuencia (FSK)	"fsk"
Modificación por desplazamiento de frecuencia mínima (MSK)	"msk"
Modificación por cambio de fase (PSK)	"psk"
Modulación de amplitud de pulso (PAM)	"pam"
Modulación de amplitud en cuadratura (QAM)	"qam"

La mayoría de las variantes de la sintaxis de llamada a función también tienen un parámetro de entrada M, que especifica el número de posiciones de manipulación. M debe ser igual a 2k para algún entero positivo k. Opciones de sintaxis específicas

Ber = berawgn(EbNo, "pam", M)

Devuelve el BER para la modulación de amplitud de pulso (PAM) no codificada en un canal AWGN en demodulación coherente. Se supone que la constelación de señales se forma mediante un código Gray.

Ber = berawgn(EbNo, "qam", M)

Devuelve el BER para codificación en cuadratura no codificada (QAM) en un canal AWGN durante la demodulación coherente. Se supone que la constelación de señales se forma mediante un código Gray. El tamaño del alfabeto M debe ser al menos 4. Para constelaciones cruciformes (cuando M es igual a una potencia impar de dos), el resultado ber da un límite superior en el BER. (Nota: el límite superior utilizado en esta función es menos denso que el límite superior utilizado para QAM de constelaciones cruzadas en la función semianalítica).

Ber = berawgn(EbNo, "psk", M, dataenc)

Devuelve el BER para la manipulación por desplazamiento de fase (PSK) no codificada en un canal AWGN durante la demodulación coherente. Se supone que la constelación de señales se forma mediante un código Gray. El parámetro de cadena de entrada dataenc puede ser "diff" para codificación de datos diferencial o "nondiff" para codificación de datos no diferencial. Si el parámetro dataenc es "diff", entonces el parámetro de entrada M no debe exceder 4. El método de cálculo utilizado aquí se detalla en.

Ber = berawgn(EbNo, "dpsk", M)

Devuelve el BER para la manipulación por cambio de fase diferencial no codificada (DPSK) en un canal AWGN.

Ber = berawgn(EbNo, "fsk", M, coherencia)

Devuelve la BER para una manipulación por desplazamiento de frecuencia (FSK) ortogonal no codificada en un canal AWGN. La coherencia del parámetro de cadena de entrada puede ser "coherente" para una demodulación coherente o "no coherente" para una demodulación no coherente. El tamaño del alfabeto M no debe ser superior a 64.

Ber = berawgn(EbNo, "msk", dataenc)

Devuelve el BER para la manipulación por desplazamiento de frecuencia mínima (MSK) no codificada en un canal AWGN bajo demodulación coherente. El parámetro de cadena de entrada dataenc puede ser "diff" para codificación de datos diferencial o "nondiff" para codificación de datos no diferencial. El método de cálculo utilizado aquí se describe en detalle en .

Berlb = berawgn(EbNo, "cpfsk", M, modindex, kmin)

Devuelve el límite inferior de BER para la manipulación por desplazamiento de frecuencia de fase continua no codificada (CPFSK) en un canal AWGN. El parámetro de entrada modindex especifica el índice de modulación, que debe ser un número real positivo. El parámetro de entrada kmin especifica el número de rutas que tienen una distancia mínima entre sí; si se desconoce este número, puede tomar el valor de este parámetro igual a 1.

Ejemplos:

El siguiente código utiliza la función berawgn para calcular la probabilidad de error por símbolo en el caso de la modulación de amplitud de pulso (PAM) para diferentes valores de la relación Eb/N0. También se realiza una simulación del paso de una señal PAM de 8 niveles a través de un canal AWGN, tras lo cual se estima la misma probabilidad de error de símbolo. Para comparar los resultados, se representan gráficamente en ejes de coordenadas comunes dos dependencias de la inmunidad al ruido de la relación Eb/N0, obtenidas teóricamente y mediante simulación.

% 1. Calcule la probabilidad de errores usando la función BERAWGN M = 8; % Número de niveles de señal PAM EbNo = ; % Serie de relaciones Eb/No ser = berawgn(EbNo,"pam",M).*log2(M); % multiplicador log2(M) - conversión de errores de bits en simbólicos % Mostrando la cifra de resultados teóricos; semilogía(EbNo,ser,"r"); xlabel("E_b/N_0 (dB)"); ylabel("Tasa de errores de símbolos"); rejilla encendida; dibujar; % 2. Estimación de la probabilidad de error mediante simulación % Inicialización n = 10000; % Número de caracteres procesados ​​k = log2(M); % Número de bits por símbolo % Conversión de la relación Eb/No a relación señal-ruido (SNR) % Nota: Dado que No = 2*noiseVariance^2, se deben agregar 3 dB al calcular el % SNR. Para obtener más información, consulte snr = EbNo+3+10*log10(k); yruidoso=zeros(n,longitud(snr)); % Para acelerar el cálculo, asigne memoria por adelantado % Bucle de simulación principal x = randint(n,1,M); % Mensaje aleatorio y = pammod(x,M); % Modulación % Pasamos la señal modulada por el canal AWGN % en un ciclo según los valores SNR requeridos para jj = 1:length(snr) ynoisy(:,jj) = awgn(real(y),snr(jj ),"mesurado"); final z = pamdemod(ynoisy,M); % Demodulación % Calcular la probabilidad de error del símbolo empírico = symerr(x,z); % 3. Mostramos resultados empíricos en los mismos ejes espera; semilogía(EbNo,rt,"b."); legend("SER teórico","SER empírico"); title("Comparación de tasas de error teóricas y empíricas"); esperar;

El resultado de ejecutar el código anterior es el gráfico que se muestra en la siguiente figura. Los resultados que obtenga pueden variar porque la modulación utiliza generación de números pseudoaleatorios.

Restricciones:

La precisión numérica de los resultados devueltos por esta función está limitada por los siguientes factores:

• Relaciones aproximadas utilizadas para derivar las fórmulas utilizadas para el cálculo.
• Aproximaciones realizadas durante la implementación de cálculos numéricos.

Normalmente, los dos primeros dígitos significativos del resultado devuelto pueden considerarse confiables. Sin embargo, para la manipulación por desplazamiento de fase de cuatro posiciones (modo de modulación "dpsk" con M=4) y la manipulación por desplazamiento de fase con codificación diferencial (modo de modulación "psk" con dataenc establecido en "diff") existen restricciones adicionales, por lo que la función devuelve 0 para valores grandes del parámetro de entrada EbNo.

Funciones relacionadas: bercodificación, berfading, bersync.

Literatura:

1. Anderson, John B., Tor Aulin y Carl-Erik Sundberg, Digital Phase Modulation, Nueva York, Plenum Press, 1986.
2. Lindsey, William C. y Marvin K. Simon, Ingeniería de sistemas de telecomunicaciones, Englewood Cliffs, Nueva Jersey, Prentice-Hall, 1973.
3. Proakis, John G., Digital Communications, 4ª ed., Nueva York, McGraw-Hill, 2001. (Existe una traducción al ruso de la edición anterior: Proakis J. Digital Communications. Traducido del inglés / Editado por D. D. Klovsky. - M .: Radio y Comunicaciones, 2000.)

Uno de los criterios de rendimiento más importantes para los sistemas de comunicación digitales es la dependencia de la probabilidad de un bit erróneo P b de la relación entre la energía de la señal por bit y la densidad espectral de potencia del ruido blanco gaussiano aditivo E b /N 0 . Se supone que la única fuente de distorsión de la señal es el ruido térmico (AWGN). La conveniencia de utilizar la relación E b /N 0 en lugar de la relación potencia de señal a potencia de ruido S / N, como en los sistemas de comunicación analógicos, es que es más conveniente comparar el rendimiento de los sistemas digitales a nivel de bits. Esto es importante para los sistemas digitales porque una señal puede tener un valor arbitrario de n bits (un símbolo puede codificar n bits). Supongamos que para una probabilidad de error dada en una señal binaria digital, la relación S/N requerida es 20. Dado que la señal binaria tiene un valor de un solo bit, la relación S/N requerida por bit es 20. Ahora sea la señal 1024 -nivel con las mismas 20 unidades de relaciones S/N requeridas. Ahora, dado que la señal tiene un valor de 10 bits, la relación S/N requerida por bit es 2. El parámetro E b /N 0 caracteriza la relación señal-ruido por bit.

El parámetro Eb/N0 está relacionado con el parámetro S/N de la siguiente manera:

donde T b es el tiempo de transmisión de bits, N es la potencia de ruido, R es la velocidad de bits, W es el ancho de banda. La relación R/W se denomina eficiencia espectral del sistema o eficiencia del ancho de banda y se expresa en bps/Hz. Esta relación muestra la eficiencia con la que el sistema utiliza la banda de frecuencia.

En la figura 1 se muestran los gráficos de probabilidad de error de bits para varios sistemas binarios. 4.

Tipo de modulación	Probabilidad de error por bit P b o por símbolo P S	Nota
DISFRUTAR	aquí y más - Integral del error gaussiano	Para señales ortogonales: S 1 (t)=Acoswt, S 2 (t)=0 0£t£T
BPSK		Para señales antípodas: S 1 (t)=Acoswt, S 2 (t)= - Acoswt, 0£t£T
QPSK
BPSK ortogonal (detección coherente)
BPSK ortogonal (detección no coherente)
DPSK (detección no coherente)
DPSK (detección coherente)
MPSK		Para relaciones grandes E S /N 0, E S =E b log 2 M – energía por símbolo, M=2 K – número de símbolos igualmente probables
DMPSK (detección no coherente)		Ver nota para MPSK
MFSK ortogonal (detección coherente)		E S =E b log 2 M – energía por símbolo, M=2 K – número de símbolos igualmente probables
MFSK ortogonal (detección no coherente)		Ver nota para MPSK con detección coherente
QAM		Para rejilla rectangular; L – número de niveles de amplitud en una dimensión; Se utiliza código gris

Se puede demostrar que la relación entre la probabilidad de error de bit y la probabilidad de error de símbolo para señales M-arias ortogonales viene dada por:

Una relación similar para señales MPSK multifásicas cuando se utiliza el código Gray es:

El código Gray es un código para convertir símbolos binarios en M-arios, de modo que las secuencias binarias correspondientes a símbolos adyacentes (desplazamientos de fase) difieren en solo un bit. En la figura. 5 compara la codificación binaria normal con la codificación Gray. Cuando se produce un error en un símbolo M-ario, los más probables son los símbolos vecinos más cercanos que difieren del transmitido solo en un bit, si se utiliza la codificación Gray. Por lo tanto, existe una alta probabilidad de que cuando se codifica utilizando un código Gray, si se produce un error, sólo uno de los k = log 2 M bits transmitidos sea erróneo.

Arroz. 4. Probabilidad de error de bit para varios sistemas binarios

Arroz. 5. Codificación convencional (a) y codificación Gray (b)

En la figura. La Figura 6 muestra gráficos de probabilidad de error de bits para transmisión de señal ortogonal M-aria (M = 2k) con modulación MFSK con detección coherente, y la Fig. 7 - Gráficos de probabilidad de error de bits para transmisión multifásica (MPSK) con detección coherente.

Como puede verse al comparar estas figuras, con la transmisión ortogonal, a medida que k aumenta, la probabilidad de un error de bit disminuye, y con la transmisión multifásica, aumenta.

Arroz. 6. Dependencia de la probabilidad de error de bit de E b /N 0 para la transmisión de señales M-arias ortogonales a través de un canal con ruido gaussiano usando modulación MFSK usando detección coherente

Arroz. 7. Dependencia de la probabilidad de error de bit de E b /N 0 para la transmisión de señales M-arias multifásicas a través de un canal con ruido gaussiano usando modulación MPSK usando detección coherente

Recordemos de la Sec. 4.3 que la señal PM digital puede expresarse de la siguiente manera:

y tiene una representación vectorial

donde es la energía de cada señal, a es la envolvente del pulso de la señal transmitida. Dado que las señales tienen la misma energía, el detector óptimo en el canal AWGN, definido por (5.1.44), calcula las métricas de correlación

En otras palabras, el vector de señal recibido se proyecta sobre los posibles vectores de señal y se decide a favor de la señal con mayor proyección.

El detector de correlación descrito anteriormente es equivalente a un detector de fase, que determina la fase de la señal recibida y selecciona el vector de señal cuya fase es más cercana a la de. Dado que la fase es

queremos determinar el PDF a partir del cual podemos calcular la probabilidad de error.

Consideremos el caso en el que la fase de la señal transmitida es igual a . Por tanto, el vector de la señal transmitida.

y el vector de la señal recibida tiene componentes

Dado que y son variables aleatorias gaussianas conjuntas con media cero, se deduce que y son variables aleatorias gaussianas conjuntas con Y . Por eso,

(5.2.53)

La FPP de fase se puede obtener reemplazando las variables con

(5.2.54)

Esto da el PDF conjunto.

La integración sobre el área da

donde por conveniencia denotamos SNR por la Figura 5.2.9 ilustra los diferentes valores del parámetro SNR cuando la fase de la señal transmitida es cero. Tenga en cuenta que se vuelve más estrecho y concentrado cerca de la fase a medida que aumenta el parámetro SNR.

Cuando, se tomará una decisión errónea si el ruido hace que la fase esté fuera de la región. .

Arroz. 5.2.9. Función de densidad de probabilidad para

Por tanto, la probabilidad de recibir un símbolo por error

(5.2.56)

En general, la integración no se reduce a una forma simple y se debe realizar una integración numérica, excluyendo los casos y .

Para la modulación de fase binaria, las dos señales y son opuestas y, por tanto, la probabilidad de error

(5.2.57)

Cuando , tenemos el caso de dos señales binarias moduladas en fase en cuadratura. Como no hay diafonía ni interferencia entre las señales de las dos portadoras en cuadratura, la probabilidad de error de bit es idéntica a la dada por (5.2.57). Por otro lado, la probabilidad de error por símbolo en se determina teniendo en cuenta que

(5.2.58)

¿Dónde está la probabilidad de recepción correcta de símbolos de dos bits? El resultado (5.2.58) se deriva de la independencia estadística del ruido en portadoras en cuadratura. Por lo tanto, la probabilidad de error por símbolo es igual a

(5.2.59)

La probabilidad de error por símbolo se obtiene mediante integración numérica (5.2.55). La Figura 5.2.10 ilustra estas probabilidades de error como una función de la SNR por bit para .

Arroz. 5.2.10. Probabilidad de error por símbolo para señales PM

Las curvas ilustran claramente la pérdida de SNR por bit como . Por ejemplo, la diferencia en SNR entre y es de aproximadamente 4 dB, y la diferencia entre y es de aproximadamente 5 dB. Para valores mayores, duplicar el número de fases requiere un aumento adicional de 6 dB/bit en SNR para lograr la misma calidad.

A partir de la primera aproximación se puede obtener una aproximación de la probabilidad de error para valores grandes y para SNR grandes. Para y se aproxima bien de la siguiente manera:

(5.2.60)

Poniendo (5.2.60) en (5.2.56) y reemplazando la variable con , encontraremos

(5.2.61)

Dónde . Tenga en cuenta que esta aproximación de la probabilidad de error es buena para todos los valores de . Por ejemplo, cuando y , tenemos lo cual concuerda bien (excepto por el factor 2) con el valor exacto de la probabilidad dada por (5.2.57).

La probabilidad de error de bit equivalente para PM posicional es bastante tediosa de calcular dada su dependencia de la correspondencia del bloque de bits con el valor de fase de señal correspondiente. Si se utiliza código Gray para este mapeo, dos bloques de bits correspondientes a señales con valores de fase adyacentes difieren solo en un bit. Debido a que es más probable que los errores inducidos por ruido den como resultado una señal con un valor de fase adyacente seleccionado en lugar del correcto, la mayoría de los bloques de bits contienen errores en un solo bit. Por lo tanto, la probabilidad de error de bit equivalente para PM posicional se aproxima bien mediante

Nuestro tratamiento de la demodulación de señales PM supone que el demodulador tiene una estimación perfecta de la fase de la portadora. En la práctica, sin embargo, la fase de la portadora se determina a partir de la señal recibida mediante algunas operaciones no lineales que conducen a ambigüedad de fase. Por ejemplo, en PM binaria, la señal a menudo se eleva al cuadrado para eliminar la modulación, luego la señal resultante duplicada en frecuencia se filtra y se divide por 2 para obtener una estimación de la frecuencia y la fase de la portadora. Estas operaciones dan como resultado una ambigüedad de fase portadora de 180°. De manera similar, en PM de cuatro fases, la señal recibida se eleva a la cuarta potencia para eliminar la modulación digital, y luego el cuarto armónico de la frecuencia portadora se filtra y se divide por 4 para extraer el componente de la portadora. Estas operaciones dan como resultado un componente de frecuencia de la portadora que contiene la estimación de fase de la portadora, pero se producen ambigüedades de fase a +90° y a 180° en la estimación de fase. En consecuencia, no tenemos una estimación precisa de la fase de la portadora en el demodulador.

El problema de la ambigüedad de fase que surge al estimar la fase de la portadora se puede superar utilizando PM diferencial (DPSK) en lugar de PM absoluta. Con el PM diferencial, la información se codifica utilizando la diferencia de fase entre señales transmitidas adyacentes, y no la fase absoluta en sí, como ocurre con el PM convencional. Por ejemplo, en DPSK binario, el símbolo de información 1 se transmite con un desplazamiento de fase de la portadora de 180° con respecto al valor de fase de la portadora anterior, mientras que el símbolo de información 0 se transmite sin un desplazamiento de fase. En DPSK de cuatro fases, el cambio de fase relativo entre intervalos de señal adyacentes es 0, 90°, 180° y -90° dependiendo de los símbolos de información 00, 01, 11 y 10, respectivamente. La generalización al caso es obvia. Las señales PM obtenidas a través de este proceso de codificación se denominan codificadas diferencialmente. Esta codificación se realiza mediante un circuito lógico relativamente simple que precede al modulador.

La demodulación de la señal en codificación PM diferencial se puede realizar como se describe anteriormente, ignorando la ambigüedad de fase. De este modo, la señal recibida se demodula y se detecta en cada intervalo de señal en uno de los posibles valores de fase. Detrás del detector se encuentra un dispositivo de comparación de fases relativamente sencillo que compara las fases de las señales demoduladas en dos intervalos de señales adyacentes para extraer información.

La demodulación coherente para PM codificada diferencialmente da como resultado una tasa de error más alta que la lograda con codificación de fase absoluta. Con la codificación diferencial PM, generalmente se producirá un error al demodular la fase de una señal en un intervalo dado si hay una decodificación errónea en cualquiera de los dos intervalos de señal adyacentes. Esto es especialmente cierto para errores con una probabilidad inferior a 0,1. Por lo tanto, la probabilidad de error del PM posicional con codificación diferencial es aproximadamente el doble de la probabilidad de error del PM posicional con codificación de fase absoluta. Sin embargo, duplicar la probabilidad de error conduce a pérdidas relativamente pequeñas en SNR.

Si se transmite un carácter d amplitud unitaria, entonces la señal de salida incógnita El filtro coincidente se puede escribir en lugar de (1.3.1) en el formulario.

Dónde es– energía de impulso, h– coeficiente de canal, z– ruido del receptor. Se supone que la dispersión del coeficiente h igual a uno (<|h| 2 >=1), y la potencia de ruido promedio.

De (2.4.1) encontramos que la SNR instantánea es igual a

donde es la SNR promedio por símbolo.

En un canal multitrayecto, la amplitud | h| el coeficiente de transmisión tiene una distribución de Rayleigh de la forma (2.3.43). En este caso, la SNR aleatoria r tendrá una densidad de probabilidad exponencial con el parámetro r 0, que se puede escribir como

. (2.4.3)

Encontremos la probabilidad de error de bit ( BER), que se define como la relación entre el número promedio de bits recibidos incorrectamente y el número total de bits transmitidos. Dado que SNR r es una variable aleatoria, es necesario utilizar la densidad de probabilidad F(r) realizar el promedio del error de bit que se produce debido al ruido en SNR r.

Por lo tanto, para encontrar el error de bit al transmitir a través de un canal Rayleigh, es necesario calcular la integral

, (2.4.4)

Dónde BER(r) – probabilidad de error de bit en un canal de ruido gaussiano sin desvanecimiento con una SNR igual a r.

Probabilidad de error de bit BER(r) está determinada por las expresiones (1.3.10), (1.3.14), (1.3.18) y (1.3.19) para señales 2 PM, 4 PM, 16 QAM y 64 QAM, respectivamente. Consideremos estas modulaciones por separado.

Señales 2-FM. Teniendo en cuenta la densidad de probabilidad (2.4.3) para SNR y la expresión (1.3.10) para BER(r), encontramos que la probabilidad de error de bit es igual a

. (2.4.5)

Esta integral se calcula. Como resultado, tendremos eso.

. (2.4.6)

En el caso de una SNR promedio suficientemente grande (r 0 >>1), la fórmula (2.4.6) se puede simplificar. Para hacer esto, usamos la igualdad aproximada. , donde el pequeño parámetro incógnita=1/r 0 . Como resultado, de (2.4.6) obtenemos que

Por lo tanto, con SNR altas, la probabilidad de error de bit en el canal de Rayleigh es inversamente proporcional a la SNR promedio.

En una escala logarítmica, con SNR altas, las curvas para la probabilidad de error de bit se convierten en líneas rectas. La pendiente de estas rectas es significativamente mayor para el canal gaussiano que para el canal Rayleigh. Para, por ejemplo, reducir la probabilidad de error »10 veces en condiciones de desvanecimiento de señales Rayleigh, la potencia también debe aumentarse »10 veces (en »10 dB). Un aumento similar de potencia para un canal gaussiano es de sólo 1¸2 dB.

Para señales 2-PM, la energía del símbolo coincide con la energía del bit, por lo que las expresiones (2.4.6) y (2.4.7) se pueden reescribir como:

, . (2.4.8)

Comparemos la probabilidad de error de bits para los canales de ruido gaussiano y Rayleigh. Los resultados de la comparación se muestran en la Fig. 2.25. Se puede observar que transmitir información con el mismo error a través de un canal de Rayleigh requiere una SNR significativamente mayor que la transmisión a través de un canal de ruido gaussiano. Estimemos la SNR requerida para garantizar una probabilidad de error de bit determinada. Por ejemplo, para una probabilidad del 1%, es necesario aumentar la potencia del transmisor de 4,3 dB a 13,8 dB (es decir, aproximadamente 10 veces) para compensar las pérdidas debidas al desvanecimiento de Rayleigh de la señal.

Arroz. 2.25. Probabilidad de error de bit en función de Rayleigh SNR (sólido
curva) y en canales gaussianos (curvas discontinuas)

Señales de 4 FM. Como se muestra arriba, la dependencia de la probabilidad de error de bit de la relación Mib/norte 0 en un canal con ruido gaussiano aditivo es el mismo para señales de 2 PM y 4 PM. Por tanto, las fórmulas (2.4.8) también son válidas para señales 4-FM.

Considerando que para señales SNR de 4 PM De (2.4.8) obtenemos que la probabilidad de error de bit en función de la SNR vendrá determinada por las siguientes expresiones:

, . (2.4.9)

Por lo tanto, se logrará la misma probabilidad de error de bits para la modulación en cuadratura con una SNR mayor que 2 veces (3 dB) que para la modulación binaria.

La probabilidad de error de bit como función de la SNR para señales 4-PM se muestra en la Fig. 2,26 (curva 2). La SNR requerida para lograr una tasa de error del 1% ahora debería ser de 16,8 dB.

Arroz. 2.26. Probabilidad de error de bit dependiendo de la SNR en el canal Rayleigh para señales 2-PM, 4-PM, 16-QAM y 64-QAM (curvas 1,2,3,4, respectivamente)

Señales 16-QAM. Para encontrar la probabilidad de error de bit BER es necesario sustituir (1.3.18) en la integral (2.4.4) y realizar la integración. Como resultado obtenemos eso

donde esta la funcion

. (2.4.11)

Tengamos en cuenta que para señales 16-QAM de acuerdo con (1.3.13) SNR . Sustituyendo esta igualdad en (2.4.10) y (2.4.11), podemos obtener la dependencia de la probabilidad de error de bit de la relación entre la energía de la señal y la densidad espectral del ruido.

Encontremos la probabilidad de un error de símbolo al usar el código Gray, cuando los símbolos vecinos contienen información que difiere solo en un bit. Entonces, para SNR suficientemente grandes, un error en la demodulación de símbolos da como resultado que sólo se estime incorrectamente un bit. Por lo tanto, la probabilidad de error de símbolo para señales QAM-16 es , es decir, el error simbólico es 4 veces mayor que el error de bit.

La probabilidad de error de bit en función de la SNR en dB para señales MAQ-16 se muestra en la Fig. 2,26 (curva 3). Esta curva se desplaza 6,0 dB en comparación con la curva de las 4 PM. La SNR requerida para lograr una tasa de error del 1% ahora debería ser de 22,8 dB.

Señales 64-QAM. Sustituyamos (1.3.19) en (2.4.4) y realicemos la integración. Como resultado, encontramos que la probabilidad de error de bit es igual a

donde la función se define en (2.4.11).

Para señales 64-QAM de conformidad con (1.3.13) SNR . Teniendo en cuenta esta condición en (2.4.12), podemos obtener la dependencia de la probabilidad de error de bit de la relación.

Cuando se utiliza el código Gray, la probabilidad de error de símbolo para señales QAM 64 para SNR suficientemente grandes es .

La probabilidad de error de bit en función de la SNR en dB para señales MAQ-64 se muestra en la Fig. 2,26 (curva 4). Puede verse que esta curva está desplazada 5,2 dB en comparación con la curva para 16-QAM, y para garantizar una probabilidad de error del 1%, la SNR debe ser igual a 28,0 dB.

Las expresiones (2.4.10) y (2.4.12) son bastante complejas. Por tanto, presentamos una fórmula aproximada que es válida para señales de niveles de modulación suficientemente altos. La probabilidad de un error de símbolo en un canal con desvanecimiento Rayleigh de señales con detección de máxima verosimilitud está limitada desde arriba:

, (2.4.13)

donde la notación ya se ha utilizado en (1.3.20).

En la región de alta SNR

. (2.4.14)

De ello se deduce que cuando r 0 >>1, la probabilidad de un error de símbolo (y, en consecuencia, un error de bit) para las modulaciones consideradas disminuye en proporción inversa a la SNR r 0, que también es visible en la Fig. 2.26, en la que todas las curvas tienen la misma pendiente en la región r 0 >>1.