Conceptos básicos de la teoría de matrices. Matrices. Acciones sobre matrices. Propiedades de las operaciones sobre matrices. Tipos de matrices

Matrices. Acciones sobre matrices. Propiedades de las operaciones sobre matrices. Tipos de matrices.

Matrices (y, en consecuencia, la sección matemática - álgebra matricial) son importantes en matemáticas aplicadas, ya que permiten escribir una parte importante de los modelos matemáticos de objetos y procesos de una forma bastante simple. El término "matriz" apareció en 1850. Las matrices fueron mencionadas por primera vez en la antigua China y más tarde por los matemáticos árabes.

Matriz A=A mn orden m*n se llama tabla rectangular de números que contiene m - filas yn - columnas.

Elementos de la matriz aij, para los cuales i=j se llaman diagonales y forman diagonal principal.

Para una matriz cuadrada (m=n), la diagonal principal está formada por los elementos a 11, a 22,..., a nn.

Igualdad matricial.

A=B, si la matriz ordena A Y B son iguales y a ij =b ij (i=1,2,...,m; j=1,2,...,n)

Acciones sobre matrices.

1. Suma de matrices: operación por elementos

2. Resta de matrices: operación por elementos

3. El producto de una matriz y un número es una operación de elementos

4. Multiplicación A*B matrices según la regla fila a columna(el número de columnas de la matriz A debe ser igual al número de filas de la matriz B)

A mk *B kn =C mn y cada elemento con ij matrices cmn es igual a la suma de los productos de los elementos de la i-ésima fila de la matriz A por los elementos correspondientes de la j-ésima columna de la matriz B, es decir

Demostremos la operación de multiplicación de matrices usando un ejemplo.

5. Exponenciación

m>1 es un número entero positivo. A es una matriz cuadrada (m=n), es decir relevante sólo para matrices cuadradas

6. Transpuesta de la matriz A. La matriz transpuesta se denota por A T o A"

Filas y columnas intercambiadas

Ejemplo

Propiedades de las operaciones sobre matrices.

(A+B)+C=A+(B+C)

λ(A+B)=λA+λB

A(B+C)=AB+AC

(A+B)C=AC+BC

λ(AB)=(λA)B=A(λB)

A(BC)=(AB)C

(λA)"=λ(A)"

(A+B)"=A"+B"

(AB)"=B"A"

Tipos de matrices

1. rectangulares: metro Y norte- enteros positivos arbitrarios

2. Cuadrado: m=n

3. Fila de matriz: metro=1. Por ejemplo, (1 3 5 7): en muchos problemas prácticos, dicha matriz se llama vector

4. Columna de matriz: norte=1. Por ejemplo

5. Matriz diagonal: m=n Y aij =0, Si i≠j. Por ejemplo

6. Matriz de identidad: m=n Y

7. Matriz cero: a ij =0, i=1,2,...,m

j=1,2,...,n

8. Matriz triangular: todos los elementos debajo de la diagonal principal son 0.

9. Matriz simétrica: m=n Y a ij = a ji(es decir, los elementos iguales están ubicados en lugares simétricos con respecto a la diagonal principal), y por lo tanto "Un"=Un

Por ejemplo,

10. Matriz sesgada-simétrica: m=n Y a ij =-a ji(es decir, los elementos opuestos están ubicados en lugares simétricos con respecto a la diagonal principal). En consecuencia, hay ceros en la diagonal principal (desde cuando yo=j tenemos a ii = -a ii)

Claro, A"=-A

11. Matriz hermitiana: m=n Y a ii =-ã ii (ã ji- complejo - conjugado con un ji, es decir. Si A=3+2i, entonces el complejo conjugado Ã=3-2i)

Resolver matrices– un concepto que generaliza las operaciones sobre matrices. Una matriz matemática es una tabla de elementos. Una tabla similar con m filas yn columnas se dice que es una matriz de m por n.
Vista general de la matriz.

Elementos principales de la matriz:
Diagonal principal. Está formado por los elementos a 11, a 22.....a mn
Diagonal lateral. Está compuesto por los elementos a 1n y 2n-1.....a m1.
Antes de pasar a resolver matrices, consideremos los principales tipos de matrices:
Cuadrado– en el que el número de filas es igual al número de columnas (m=n)
Cero: todos los elementos de esta matriz son iguales a 0.
Matriz transpuesta- matriz B obtenida de la matriz A original reemplazando filas por columnas.
Soltero– todos los elementos de la diagonal principal son iguales a 1, todos los demás son 0.
matriz inversa- una matriz, multiplicada por la cual la matriz original da como resultado la matriz identidad.
La matriz puede ser simétrica con respecto a las diagonales principal y secundaria. Es decir, si a 12 = a 21, a 13 = a 31,….a 23 = a 32…. a m-1n =a mn-1. entonces la matriz es simétrica con respecto a la diagonal principal. Sólo las matrices cuadradas son simétricas.
Ahora pasemos directamente a la cuestión de cómo resolver matrices.

Suma de matrices.

Las matrices se pueden sumar algebraicamente si tienen la misma dimensión. Para sumar la matriz A con la matriz B, es necesario sumar el elemento de la primera fila de la primera columna de la matriz A con el primer elemento de la primera fila de la matriz B, el elemento de la segunda columna de la primera fila de la matriz A con el elemento de la segunda columna de la primera fila de la matriz B, etc.
Propiedades de la suma
A+B=B+A
(A+B)+C=A+(B+C)

Multiplicación de matrices.

Las matrices se pueden multiplicar si son consistentes. Las matrices A y B se consideran consistentes si el número de columnas de la matriz A es igual al número de filas de la matriz B.
Si A es de dimensión m por n, B es de dimensión n por k, entonces la matriz C=A*B será de dimensión m por k y estará compuesta de elementos

Donde C 11 es la suma de los productos por pares de los elementos de una fila de la matriz A y una columna de la matriz B, es decir, el elemento es la suma del producto de un elemento de la primera columna de la primera fila de la matriz A con un elemento de la primera columna de la primera fila de la matriz B, un elemento de la segunda columna de la primera fila de la matriz A con un elemento de la primera columna de la segunda fila de la matriz B, etc.
Al multiplicar, el orden de multiplicación es importante. A*B no es igual a B*A.

Encontrar el determinante.

Cualquier matriz cuadrada puede generar un determinante o un determinante. Escribe det. O | elementos de la matriz |
Para matrices de dimensión 2 por 2. Determinar si existe diferencia entre el producto de los elementos de la diagonal principal y los elementos de la diagonal secundaria.

Para matrices con dimensiones de 3 por 3 o más. La operación de encontrar el determinante es más complicada.
Introduzcamos los conceptos:
Elemento menor– es el determinante de una matriz obtenida de la matriz original tachando la fila y columna de la matriz original en la que se encontraba este elemento.
Complemento algebraico elemento de una matriz es el producto del menor de este elemento por -1 elevado a la suma de la fila y columna de la matriz original en la que se encontraba este elemento.
El determinante de cualquier matriz cuadrada es igual a la suma del producto de los elementos de cualquier fila de la matriz por sus correspondientes complementos algebraicos.

inversión de matriz

La inversión de matrices es el proceso de encontrar la inversa de una matriz, cuya definición dimos al principio. La matriz inversa se denota de la misma manera que la original con la adición de grado -1.
Encuentra la matriz inversa usando la fórmula.
A -1 = A * T x (1/|A|)
Donde A * T es la Matriz Transpuesta de Complementos Algebraicos.

Hicimos ejemplos de resolución de matrices en forma de vídeo tutorial.

:

Si quieres descubrirlo, asegúrate de verlo.

Estas son las operaciones básicas para resolver matrices. Si tiene preguntas adicionales sobre cómo resolver matrices, no dudes en escribir en los comentarios.

Si aún no logras resolverlo, intenta contactar con un especialista.

Las matrices en matemáticas son uno de los objetos más importantes de importancia práctica. A menudo, una excursión a la teoría de matrices comienza con las palabras: "Una matriz es una mesa rectangular...". Comenzaremos esta excursión desde una dirección ligeramente diferente.

Las guías telefónicas de cualquier tamaño y con cualquier cantidad de datos de suscriptores no son más que matrices. Estas matrices se ven aproximadamente así:

Está claro que todos utilizamos este tipo de matrices casi a diario. Estas matrices vienen con un número diferente de filas (varían como un directorio emitido por una compañía telefónica, que puede tener miles, cientos de miles e incluso millones de líneas, y un cuaderno nuevo que acabas de empezar, que tiene menos de diez líneas) y columnas (un directorio de funcionarios de algún tipo). alguna organización en la que puede haber columnas como el puesto y el número de oficina y su misma libreta de direcciones, donde puede que no haya ningún dato excepto el nombre, por lo que solo hay dos columnas. en él - nombre y número de teléfono).

Se pueden sumar y multiplicar todo tipo de matrices, así como realizar otras operaciones sobre ellas, pero no es necesario sumar y multiplicar directorios telefónicos, esto no tiene ningún beneficio y, además, puedes usar tu mente.

Pero muchas matrices pueden y deben sumarse y multiplicarse y así resolver diversos problemas apremiantes. A continuación se muestran ejemplos de tales matrices.

Matrices en las que las columnas son la producción de unidades de un determinado tipo de producto, y las filas son los años en los que se registra la producción de este producto:

Puede agregar matrices de este tipo, que tienen en cuenta la producción de productos similares por diferentes empresas, para obtener datos resumidos para la industria.

O matrices que constan, por ejemplo, de una columna, en las que las filas representan el costo promedio de un tipo particular de producto:

Los dos últimos tipos de matrices se pueden multiplicar y el resultado es una matriz de filas que contiene el costo de todos los tipos de productos por año.

Matrices, definiciones básicas.

Una tabla rectangular que consta de números ordenados en metro líneas y norte columnas se llama matriz-mn (o simplemente matriz ) y está escrito así:

(1)

En la matriz (1) los números se llaman sus elementos (como en el determinante, el primer índice significa el número de la fila, el segundo, la columna en cuya intersección se encuentra el elemento; i = 1, 2, ..., metro; j = 1, 2, norte).

La matriz se llama rectangular , Si .

Si metro = norte, entonces la matriz se llama cuadrado , y el número n es su en orden .

Determinante de una matriz cuadrada A es un determinante cuyos elementos son los elementos de una matriz A. Está indicado por el símbolo | A|.

La matriz cuadrada se llama no especial (o no degenerado , no singular ), si su determinante no es cero, y especial (o degenerar , singular ) si su determinante es cero.

Las matrices se llaman igual , si tienen el mismo número de filas y columnas y todos los elementos correspondientes coinciden.

La matriz se llama nulo , si todos sus elementos son iguales a cero. Denotaremos la matriz cero con el símbolo 0 o .

Por ejemplo,

fila de matriz (o minúscula ) se llama 1 norte-matriz, y columna-matriz (o de columna ) – metro 1-matriz.

Matriz A", que se obtiene de la matriz A intercambiar filas y columnas se llama transpuesto relativo a la matriz A. Por lo tanto, para la matriz (1) la matriz transpuesta es

Operación de transición matricial A"transpuesto con respecto a la matriz A, se llama transposición matricial A. Para Minnesota-matriz transpuesta es Nuevo Méjico-matriz.

La matriz transpuesta con respecto a la matriz es A, eso es

(A")" = A .

Ejemplo 1. encontrar matriz A" , transpuesto con respecto a la matriz

y averigüe si los determinantes de las matrices original y transpuesta son iguales.

Diagonal principal Una matriz cuadrada es una línea imaginaria que conecta sus elementos, para los cuales ambos índices son iguales. Estos elementos se llaman diagonal .

Una matriz cuadrada en la que todos los elementos fuera de la diagonal principal son iguales a cero se llama diagonal . No todos los elementos diagonales de una matriz diagonal son necesariamente distintos de cero. Entre ellos puede haber cero.

Una matriz cuadrada en la que los elementos de la diagonal principal son iguales al mismo número, distintos de cero, y todos los demás son iguales a cero, se llama matriz escalar .

Matriz de identidad Se llama matriz diagonal en la que todos los elementos diagonales son iguales a uno. Por ejemplo, la matriz identidad de tercer orden es la matriz

Ejemplo 2. Matrices dadas:

Solución. Calculemos los determinantes de estas matrices. Usando la regla del triángulo encontramos

Determinante de matriz B calculemos usando la fórmula

Lo entendemos fácilmente

Por lo tanto, las matrices A y son no singulares (no degenerados, no singulares), y la matriz B– especial (degenerado, singular).

El determinante de la matriz identidad de cualquier orden es obviamente igual a uno.

Resuelva el problema de la matriz usted mismo y luego observe la solución.

Ejemplo 3. Matrices dadas

,

,

Determina cuáles de ellos son no singulares (no degenerados, no singulares).

Aplicación de matrices en modelación matemática y económica.

Los datos estructurados sobre un objeto en particular se registran de forma sencilla y cómoda en forma de matrices. Los modelos matriciales se crean no sólo para almacenar estos datos estructurados, sino también para resolver varios problemas con estos datos utilizando álgebra lineal.

Así, un modelo matricial de economía muy conocido es el modelo insumo-producto, introducido por el economista estadounidense de origen ruso Vasily Leontiev. Este modelo se basa en el supuesto de que todo el sector productivo de la economía se divide en norte industrias limpias. Cada industria produce sólo un tipo de producto y diferentes industrias producen diferentes productos. Debido a esta división del trabajo entre industrias, existen conexiones interindustriales, cuyo significado es que parte de la producción de cada industria se transfiere a otras industrias como recurso de producción.

Volumen de producto i-ésima industria (medida por una unidad de medida específica), que se produjo durante el período del informe, se denota por y se llama producción total i-ésima industria. Los problemas se pueden colocar cómodamente en norte-fila componente de la matriz.

Número de unidades i-industria que necesita ser gastada j-la industria para la producción de una unidad de su producción se designa y se denomina coeficiente de costo directo.

Una matriz matemática es una tabla de elementos ordenados. Las dimensiones de esta tabla están determinadas por el número de filas y columnas que contiene. En cuanto a la resolución de matrices, se refiere a la enorme cantidad de operaciones que se realizan sobre estas mismas matrices. Los matemáticos distinguen varios tipos de matrices. Para algunos de ellos se aplican reglas generales de decisión, mientras que para otros no. Por ejemplo, si las matrices tienen la misma dimensión, entonces se pueden sumar, y si son consistentes entre sí, entonces se pueden multiplicar. Para resolver cualquier matriz es necesario encontrar un determinante. Además, las matrices están sujetas a la transposición y al hallazgo de menores en ellas. Entonces, veamos cómo resolver matrices.

El orden de resolución de matrices.

Primero escribimos las matrices dadas. Contamos cuántas filas y columnas tienen. Si el número de filas y columnas es el mismo, entonces dicha matriz se llama cuadrada. Si cada elemento de la matriz es igual a cero, entonces dicha matriz es cero. Lo siguiente que hacemos es encontrar la diagonal principal de la matriz. Los elementos de dicha matriz se encuentran desde la esquina inferior derecha hasta la superior izquierda. La segunda diagonal de la matriz es secundaria. Ahora necesitas transponer la matriz. Para hacer esto, es necesario reemplazar los elementos de fila en cada una de las dos matrices con los elementos de columna correspondientes. Por ejemplo, el elemento debajo de a21 resultará ser el elemento a12 o viceversa. Por lo tanto, después de este procedimiento debería aparecer una matriz completamente diferente.

Si las matrices tienen exactamente las mismas dimensiones, entonces se pueden sumar fácilmente. Para hacer esto, tomamos el primer elemento de la primera matriz a11 y lo sumamos con un elemento similar de la segunda matriz b11. Escribimos lo que sucede como resultado en la misma posición, solo que en una nueva matriz. Ahora sumamos todos los demás elementos de la matriz de la misma forma hasta obtener una nueva matriz completamente diferente. Veamos algunas formas más de resolver matrices.

Opciones para trabajar con matrices.

También podemos determinar si las matrices son consistentes. Para hacer esto, necesitamos comparar el número de filas de la primera matriz con el número de columnas de la segunda matriz. Si resultan iguales, puedes multiplicarlos. Para hacer esto, multiplicamos por pares un elemento de fila de una matriz por un elemento de columna similar de otra matriz. Sólo después de esto será posible calcular la suma de los productos resultantes. En base a esto, el elemento inicial de la matriz que debería ser el resultado será igual a g11 = a11* b11 + a12*b21 + a13*b31 + … + a1m*bn1. Una vez que todos los productos hayan sido sumados y multiplicados, podrás completar la matriz final.

Al resolver matrices, también puedes encontrar su determinante y determinante para cada una. Si la matriz es cuadrada y tiene una dimensión de 2 por 2, entonces el determinante se puede encontrar como la diferencia de todos los productos de los elementos de las diagonales principal y secundaria. Si la matriz ya es tridimensional, entonces el determinante se puede encontrar aplicando la siguiente fórmula. D = a11* a22*a33 + a13* a21*a32 + a12* a23*a31 - a21* a12*a33 - a13* a22*a31 - a11* a32*a23.

Para encontrar el menor de un elemento determinado, debe tachar la columna y la fila donde se encuentra este elemento. Después de esto, encuentre el determinante de esta matriz. Será el menor correspondiente. Hace varias décadas se desarrolló un método de matriz de decisión similar para aumentar la confiabilidad del resultado dividiendo el problema en subproblemas. Entonces, resolver matrices no es tan difícil si conoces las operaciones matemáticas básicas.

Matrices, familiarízate con sus conceptos básicos. Los elementos que definen una matriz son sus diagonales y sus diagonales laterales. Inicio comienza con el elemento de la primera fila, primera columna y continúa hasta el elemento de la última columna, última fila (es decir, va de izquierda a derecha). La diagonal lateral comienza por el contrario en la primera fila, pero en la última columna y continúa hasta el elemento que tiene las coordenadas de la primera columna y la última fila (va de derecha a izquierda).

Para pasar a las siguientes definiciones y operaciones algebraicas con matrices, estudie los tipos de matrices. Los más simples son el cuadrado, la unidad, el cero y la inversa. El número de columnas y filas coincide. La matriz transpuesta, llamémosla B, se obtiene de la matriz A reemplazando las columnas por filas. En la unidad, todos los elementos de la diagonal principal son unos y los demás son ceros. Y en cero, incluso los elementos de las diagonales son cero. La matriz inversa es aquella en la que la matriz original adquiere la forma identidad.

Además, la matriz puede ser simétrica con respecto a los ejes principal o secundario. Es decir, un elemento que tiene coordenadas a(1;2), donde 1 es el número de fila y 2 es el número de columna, es igual a a(2;1). A(3;1)=A(1;3) y así sucesivamente. Las matrices coincidentes son aquellas en las que el número de columnas de una es igual al número de filas de otra (dichas matrices se pueden multiplicar).

Las principales acciones que se pueden realizar con matrices son la suma, la multiplicación y encontrar el determinante. Si las matrices son del mismo tamaño, es decir, tienen el mismo número de filas y columnas, entonces se pueden sumar. Es necesario sumar elementos que estén en los mismos lugares en las matrices, es decir, sumar a (m; n) con c en (m; n), donde m y n son las coordenadas correspondientes de la columna y fila. Al sumar matrices, se aplica la regla principal de la suma aritmética ordinaria: cuando se cambian los lugares de los términos, la suma no cambia. Por lo tanto, si en lugar de un elemento simple a hay una expresión a + b, entonces se puede agregar a un elemento c de otra matriz proporcional de acuerdo con las reglas a + (b + c) = (a + b) + c.

Puedes multiplicar las matrices coincidentes dadas anteriormente. Esto produce una matriz donde cada elemento es la suma de los elementos multiplicados por pares de una fila de la matriz A y una columna de la matriz B. Al multiplicar, el orden de las acciones es muy importante. m*n no es igual a n*m.

También una de las principales acciones es la búsqueda. También se le llama determinante y se designa de la siguiente manera: det. Este valor se determina módulo, es decir, nunca es negativo. La forma más sencilla de encontrar el determinante es una matriz cuadrada de 2x2. Para hacer esto, debes multiplicar los elementos de la diagonal principal y restarles los elementos multiplicados de la diagonal secundaria.