Integración de funciones fraccionariamente irracionales. Métodos para integrar funciones irracionales (raíces)

Consideremos integrales con raíz de una función fraccionaria lineal:
(1) ,
donde R es la función racional de sus argumentos. Es decir, una función compuesta por sus argumentos y constantes arbitrarias que utiliza un número finito de operaciones de suma (resta), multiplicación y división (elevando a una potencia entera).

Ejemplos de integrales consideradas con irracionalidad lineal fraccionaria

Demos ejemplos de integrales con raíces de la forma (1) .

Ejemplo 1

Aunque aquí el signo integral incluye raíces de varios grados, la expresión del integrando se puede transformar de la siguiente manera:
;
;
.

Así, el integrando se compone de la variable de integración x y la raíz de la función lineal utilizando un número finito de operaciones de resta, división y multiplicación. Por lo tanto es una función racional de x y y pertenece al tipo considerado (1) con valores constantes n = 6 , α = β = δ = 1 , γ = 0 :
.

Ejemplo 2

Aquí hacemos la conversión:
.
Esto muestra que el integrando es una función racional de x y .

Por tanto pertenece al tipo en cuestión.

Ejemplo general de irracionalidad lineal fraccionaria
(2) ,
En un caso más general, el integrando puede incluir cualquier número finito de raíces de la misma función fraccionaria lineal:
donde R es la función racional de sus argumentos,
- números racionales, metro 1, n 1, ..., ms, n s
- números enteros.
,
De hecho, sea n el denominador común de los números r 1, ..., r s. Entonces se pueden representar como: donde k (2) 1 , k 2 , ..., k s
,
,
. . . . .
.

- números enteros. Entonces todos los incluidos en (2) las raíces son potencias de:
.

Es decir, todo el integrando

compuesto por x y la raíz usando un número finito de operaciones de suma, multiplicación y división. Por tanto es una función racional de x y :
(1)
Método de integración raíz
(3) .

Integral con irracionalidad lineal fraccionaria

se reduce a la integral de una función racional por sustitución (3) :
.

Prueba (3) :
;
;
.

Extrae la raíz enésima de ambos lados.

;
;
.
transformemos
.

Encontrar la derivada: (1) :
.

Esto muestra que la función integrando se compone de constantes y una variable de integración t usando un número finito de operaciones de suma (resta), multiplicación (elevando a una potencia entera) y división. Por tanto, el integrando es una función racional de la variable de integración. Así, el cálculo de la integral se redujo a la integración de una función racional. Q.E.D.

Ejemplo de integración de irracionalidad lineal.

Encuentra la integral:

Solución

Dado que la integral incluye raíces de la misma función lineal (fraccional) x + 1 , y el integrando se forma mediante las operaciones de resta y división, entonces esta integral pertenece al tipo considerado.

Transformemos el integrando para que incluya raíces del mismo grado:
;
;
.

Hacer una sustitución
x+ 1 = t 6.
Tomemos el diferencial:
d (x + 1) = dx = ( t 6 )′ dt = 6 t 5 dt.
Sustituyamos:
x =t 6 - 1 ;
;
;
.
Seleccionamos la parte entera de la fracción, observando que
t 6 - 1 = (t - 1)(t 5 + t 4 + t 3 + t 2 + t + 1).
Entonces

.

Respuesta

,
Dónde .

Ejemplo de integración de irracionalidad lineal fraccionaria

Encuentra la integral

Solución

Seleccionemos la raíz de la función fraccionaria lineal:
.
Entonces
.
Hacer una sustitución
.
toma el diferencial
.
Encontrar la derivada
.
Entonces
.
A continuación notamos que
.
Sustituir en el integrando


.

Respuesta

Literatura usada:
NUEVO MÉJICO. Gunther, R.O. Kuzmin, Colección de problemas de matemáticas superiores, “Lan”, 2003.

Anteriormente, dada una función determinada, guiándonos por varias fórmulas y reglas, encontramos su derivada. La derivada tiene numerosos usos: es la velocidad de movimiento (o, más generalmente, la velocidad de cualquier proceso); el coeficiente angular de la tangente a la gráfica de la función; utilizando la derivada, puedes examinar la función en busca de monotonicidad y extremos; Ayuda a resolver problemas de optimización.

Pero junto con el problema de encontrar la velocidad según una ley de movimiento conocida, también existe un problema inverso: el problema de restaurar la ley del movimiento según una velocidad conocida. Consideremos uno de estos problemas.

Ejemplo 1. Un punto material se mueve en línea recta, su velocidad en el tiempo t viene dada por la fórmula v=gt. Encuentra la ley del movimiento.
Solución. Sea s = s(t) la ley de movimiento deseada. Se sabe que s"(t) = v(t). Esto significa que para resolver el problema es necesario seleccionar una función s = s(t), cuya derivada sea igual a gt. No es difícil adivinar que \(s(t) = \frac(gt^ 2)(2)\).
\(s"(t) = \left(\frac(gt^2)(2) \right)" = \frac(g)(2)(t^2)" = \frac(g)(2) \ cdot 2t = gt\)
Respuesta: \(s(t) = \frac(gt^2)(2) \)

Observemos inmediatamente que el ejemplo se resuelve correctamente, pero de forma incompleta. Obtuvimos \(s(t) = \frac(gt^2)(2) \). De hecho, el problema tiene infinitas soluciones: cualquier función de la forma \(s(t) = \frac(gt^2)(2) + C\), donde C es una constante arbitraria, puede servir como ley de movimiento, ya que \(\left (\frac(gt^2)(2) +C \right)" = gt \)

Para hacer el problema más específico, tuvimos que arreglar la situación inicial: indicar la coordenada de un punto en movimiento en algún momento, por ejemplo en t = 0. Si, digamos, s(0) = s 0, entonces a partir del igualdad s(t) = (gt 2)/2 + C obtenemos: s(0) = 0 + C, es decir C = s 0. Ahora la ley del movimiento está definida de forma única: s(t) = (gt 2)/2 + s 0.

En matemáticas, las operaciones mutuamente inversas reciben diferentes nombres, se inventan notaciones especiales, por ejemplo: elevación al cuadrado (x 2) y raíz cuadrada (\(\sqrt(x)\)), seno (sin x) y arcoseno (arcsin x) y etc. El proceso de encontrar la derivada de una función dada se llama diferenciación, y la operación inversa, es decir, el proceso de encontrar una función a partir de una derivada dada, es integración.

El propio término “derivada” puede justificarse “en términos cotidianos”: la función y = f(x) “da origen” a una nueva función y" = f"(x). La función y = f(x) actúa como “padre”, pero los matemáticos, naturalmente, no la llaman “padre” o “productor”; dicen que lo es, en relación a la función y" = f"(; x), imagen primaria o primitiva.

Definición. La función y = F(x) se llama antiderivada para la función y = f(x) en el intervalo X si la igualdad F"(x) = f(x) se cumple para \(x \in X\)

En la práctica, el intervalo X no suele especificarse, pero está implícito (como dominio natural de definición de la función).

Pongamos ejemplos.
1) La función y = x 2 es antiderivada para la función y = 2x, ya que para cualquier x la igualdad (x 2)" = 2x es verdadera
2) La función y = x 3 es antiderivada para la función y = 3x 2, ya que para cualquier x la igualdad (x 3)" = 3x 2 es verdadera
3) La función y = sin(x) es antiderivada para la función y = cos(x), ya que para cualquier x la igualdad (sin(x))" = cos(x) es cierta

Al encontrar antiderivadas, así como derivadas, no solo se utilizan fórmulas, sino también algunas reglas. Están directamente relacionados con las reglas correspondientes para el cálculo de derivados.

Sabemos que la derivada de una suma es igual a la suma de sus derivadas. Esta regla genera la regla correspondiente para encontrar antiderivadas.

Regla 1. La antiderivada de una suma es igual a la suma de las antiderivadas.

Sabemos que el factor constante se puede quitar del signo de la derivada. Esta regla genera la regla correspondiente para encontrar antiderivadas.

Regla 2. Si F(x) es una antiderivada de f(x), entonces kF(x) es una antiderivada de kf(x).

Teorema 1. Si y = F(x) es una primitiva de la función y = f(x), entonces la primitiva de la función y = f(kx + m) es la función \(y=\frac(1)(k)F (kx+m)\)

Teorema 2. Si y = F(x) es una primitiva de la función y = f(x) en el intervalo X, entonces la función y = f(x) tiene infinitas primitivas, y todas tienen la forma y = F(x) + C.

Métodos de integración

Método de reemplazo de variables (método de sustitución)

El método de integración por sustitución implica introducir una nueva variable de integración (es decir, sustitución). En este caso, la integral dada se reduce a una nueva integral, que es tabular o reducible a ella. No existen métodos generales para seleccionar sustituciones. La capacidad de determinar correctamente la sustitución se adquiere mediante la práctica.
Sea necesario calcular la integral \(\textstyle \int F(x)dx \). Hagamos la sustitución \(x= \varphi(t) \) donde \(\varphi(t) \) es una función que tiene una derivada continua.
Entonces \(dx = \varphi " (t) \cdot dt \) y con base en la propiedad de invariancia de la fórmula de integración para la integral indefinida, obtenemos la fórmula de integración por sustitución:
\(\int F(x) dx = \int F(\varphi(t)) \cdot \varphi " (t) dt \)

Integración de expresiones de la forma \(\textstyle \int \sin^n x \cos^m x dx \)

Si m es impar, m > 0, entonces es más conveniente hacer la sustitución sen x = t.
Si n es impar, n > 0, entonces es más conveniente hacer la sustitución cos x = t.
Si n y m son pares, entonces es más conveniente realizar la sustitución tg x = t.

Integración por partes

Integración por partes - aplicando la siguiente fórmula de integración:
\(\textstyle \int u \cdot dv = u \cdot v - \int v \cdot du \)
o:
\(\textstyle \int u \cdot v" \cdot dx = u \cdot v - \int v \cdot u" \cdot dx \)

Tabla de integrales indefinidas (antiderivadas) de algunas funciones

$$ \int 0 \cdot dx = C $$ $$ \int 1 \cdot dx = x+C $$ $$ \int x^n dx = \frac(x^(n+1))(n+1 ) +C\;\; (n \neq -1) $$ $$ \int \frac(1)(x) dx = \ln |x| +C $$ $$ \int e^x dx = e^x +C $$ $$ \int a^x dx = \frac(a^x)(\ln a) +C \;\; (a>0, \;\; a \neq 1) $$ $$ \int \cos x dx = \sin x +C $$ $$ \int \sin x dx = -\cos x +C $$ $ $ \int \frac(dx)(\cos^2 x) = \text(tg) x +C $$ $$ \int \frac(dx)(\sin^2 x) = -\text(ctg) x +C $$ $$ \int \frac(dx)(\sqrt(1-x^2)) = \text(arcsin) x +C $$ $$ \int \frac(dx)(1+x^2 ) = \text(arctg) x +C $$ $$ \int \text(ch) x dx = \text(sh) x +C $$ $$ \int \text(sh) x dx = \text(ch )x+C$$

No existe una forma universal de resolver ecuaciones irracionales, ya que su clase difiere en cantidad. El artículo resaltará los tipos característicos de ecuaciones con sustitución utilizando el método de integración.

Para utilizar el método de integración directa es necesario calcular integrales indefinidas del tipo ∫ k x + b p d x , donde p es una fracción racional, k y b son coeficientes reales.

Ejemplo 1

Encuentra y calcula las primitivas de la función y = 1 3 x - 1 3 .

Solución

Según la regla de integración, es necesario aplicar la fórmula ∫ f (k x + b) d x = 1 k F (k x + b) + C, y la tabla de antiderivadas indica que existe una solución preparada para esta función . lo entendemos

∫ d x 3 x - 1 3 = ∫ (3 x - 1) - 1 3 d x = 1 3 1 - 1 3 + 1 (3 x - 1) - 1 3 + 1 + C = = 1 2 (3 x - 1 ) 2 3 +C

Respuesta:∫ rex 3 x - 1 3 = 1 2 (3 x - 1) 2 3 + C .

Hay casos en los que es posible utilizar el método de subsumir un signo diferencial. Esto se resuelve mediante el principio de encontrar integrales indefinidas de la forma ∫ f " (x) · (f (x)) p d x , cuando el valor de p se considera una fracción racional.

Ejemplo 2

Encuentra la integral indefinida ∫ 3 x 2 + 5 x 3 + 5 x - 7 7 6 d x .

Solución

Tenga en cuenta que d x 3 + 5 x - 7 = x 3 + 5 x - 7 "d x = (3 x 2 + 5) d x. Luego es necesario subsumir el signo diferencial usando tablas de antiderivadas. Obtenemos que

∫ 3 x 2 + 5 x 3 + 5 x - 7 7 6 d x = ∫ (x 3 + 5 x - 7) - 7 6 (3 x 2 + 5) d x = = ∫ (x 3 + 5 x - 7 ) - 7 6 d (x 3 + 5 x - 7) = x 3 + 5 x - 7 = z = = ∫ z - 7 6 d z = 1 - 7 6 + 1 z - 7 6 + 1 + C = - 6 z - 1 6 + C = z = x 3 + 5 x - 7 = - 6 (x 3 + 5 x - 7) 6 + C

Respuesta:∫ 3 x 2 + 5 x 3 + 5 x - 7 7 6 d x = - 6 (x 3 + 5 x - 7) 6 + C .

Resolver integrales indefinidas implica una fórmula de la forma ∫ d x x 2 + p x + q, donde p y q son coeficientes reales. Luego debes seleccionar un cuadrado completo debajo de la raíz. lo entendemos

x 2 + p x + q = x 2 + p x + p 2 2 - p 2 2 + q = x + p 2 2 + 4 q - p 2 4

Aplicando la fórmula ubicada en la tabla de integrales indefinidas, obtenemos:

∫ d x x 2 ± α = ln x + x 2 ± α + C

Entonces se calcula la integral:

∫ d x x 2 + p x + q = ∫ d x x + p 2 2 + 4 q - p 2 4 = = ln x + p 2 + x + p 2 2 + 4 q - p 2 4 + C = = ln x + p 2 + x 2 + p x + q + C

Ejemplo 3

Encuentra la integral indefinida de la forma ∫ d x 2 x 2 + 3 x - 1 .

Solución

Para calcular, debes sacar el número 2 y colocarlo delante del radical:

∫ d x 2 x 2 + 3 x - 1 = ∫ d x 2 x 2 + 3 2 x - 1 2 = 1 2 ∫ d x x 2 + 3 2 x - 1 2

Seleccione un cuadrado completo en expresión radical. lo entendemos

x 2 + 3 2 x - 1 2 = x 2 + 3 2 x + 3 4 2 - 3 4 2 - 1 2 = x + 3 4 2 - 17 16

Luego obtenemos una integral indefinida de la forma 1 2 ∫ d x x 2 + 3 2 x - 1 2 = 1 2 ∫ d x x + 3 4 2 - 17 16 = = 1 2 ln x + 3 4 + x 2 + 3 2 x - 1 2 +C

Respuesta: d x x 2 + 3 x - 1 = 1 2 ln x + 3 4 + x 2 + 3 2 x - 1 2 + C

La integración de funciones irracionales se realiza de forma similar. Aplicable para funciones de la forma y = 1 - x 2 + p x + q.

Ejemplo 4

Encuentra la integral indefinida ∫ d x - x 2 + 4 x + 5 .

Solución

Primero necesitas derivar el cuadrado del denominador de la expresión debajo de la raíz.

∫ d x - x 2 + 4 x + 5 = ∫ d x - x 2 - 4 x - 5 = = ∫ d x - x 2 - 4 x + 4 - 4 - 5 = ∫ d x - x - 2 2 - 9 = ∫ d x - (x - 2) 2 + 9

La integral de tabla tiene la forma ∫ d x a 2 - x 2 = a r c sin x a + C , entonces obtenemos que ∫ d x - x 2 + 4 x + 5 = ∫ d x - (x - 2) 2 + 9 = a r c sin x - 2 3 +C

Respuesta:∫ d x - x 2 + 4 x + 5 = a r c sen x - 2 3 + C .

El proceso de encontrar funciones irracionales antiderivadas de la forma y = M x + N x 2 + p x + q, donde los M, N, p, q existentes son coeficientes reales y son similares a la integración de fracciones simples del tercer tipo. . Esta transformación tiene varias etapas:

sumando el diferencial bajo la raíz, aislando el cuadrado completo de la expresión bajo la raíz, usando fórmulas tabulares.

Ejemplo 5

Encuentra las primitivas de la función y = x + 2 x 2 - 3 x + 1.

Solución

De la condición tenemos que d (x 2 - 3 x + 1) = (2 x - 3) d x y x + 2 = 1 2 (2 x - 3) + 7 2, entonces (x + 2) d x = 1 2 (2 x - 3) + 7 2 d x = 1 2 d (x 2 - 3 x + 1) + 7 2 d x .

Calculemos la integral: ∫ x + 2 x 2 - 3 x + 1 d x = 1 2 ∫ d (x 2 - 3 x + 1) x 2 - 3 x + 1 + 7 2 ∫ d x x 2 - 3 x + 1 = = 1 2 ∫ (x 2 - 3 x + 1) - 1 2 d (x 2 - 3 x + 1) + 7 2 ∫ d x x - 3 2 2 - 5 4 = = 1 2 1 - 1 2 + 1 x 2 - 3 x + 1 - 1 2 + 1 + 7 2 ln x - 3 2 + x - 3 2 - 5 4 + C = = x 2 - 3 x + 1 + 7 2 ln x - 3 2 + x 2 - 3 x+1+C

Respuesta:∫ x + 2 x 2 - 3 x + 1 d x = x 2 - 3 x + 1 + 7 2 ln x - 3 2 + x 2 - 3 x + 1 + C .

La búsqueda de integrales indefinidas de la función ∫ x m (a + b x n) p d x se realiza mediante el método de sustitución.

Para resolver es necesario introducir nuevas variables:

1. Cuando p es un número entero, entonces se considera x = z N, y N es el denominador común de m, n.
2. Cuando m + 1 n es un número entero, entonces a + b x n = z N, y N es el denominador de p.
3. Cuando m + 1 n + p es un número entero, entonces se requiere la variable a x - n + b = z N, y N es el denominador del número p.

Ejemplo 6

Encuentra la integral definida ∫ 1 x 2 x - 9 d x .

Solución

Obtenemos que ∫ 1 x 2 x - 9 d x = ∫ x - 1 · (- 9 + 2 x 1) - 1 2 d x . Se deduce que m = - 1, n = 1, p = - 1 2, entonces m + 1 n = - 1 + 1 1 = 0 es un número entero. Puede introducir una nueva variable de la forma - 9 + 2 x = z 2. Es necesario expresar x en términos de z. Como salida obtenemos eso

9 + 2 x = z 2 ⇒ x = z 2 + 9 2 ⇒ d x = z 2 + 9 2 " d z = z d z - 9 + 2 x = z

Es necesario hacer una sustitución en la integral dada. tenemos eso

∫ d x x 2 x - 9 = ∫ z d z z 2 + 9 2 z = 2 ∫ d z z 2 + 9 = = 2 3 a r c t g z 3 + C = 2 3 a r c c t g 2 x - 9 3 + C

Respuesta:∫ d x x 2 x - 9 = 2 3 a r c c t g 2 x - 9 3 + C .

Para simplificar la solución de ecuaciones irracionales, se utilizan métodos básicos de integración.

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Esta sección discutirá el método de integración de funciones racionales. 7.1. Breve información sobre funciones racionales La función racional más simple es un polinomio del décimo grado, es decir una función de la forma donde son constantes reales, y a0 Ф 0. El polinomio Qn(x) cuyo coeficiente a0 = 1 se llama reducido. Un número real b se llama raíz del polinomio Qn(z) si Qn(b) = 0. Se sabe que cada polinomio Qn(x) con coeficientes reales se descompone únicamente en factores reales de la forma donde p, q son coeficientes reales y los factores cuadráticos no tienen raíces reales y, por lo tanto, no pueden descomponerse en factores lineales reales. Combinando factores idénticos (si los hay) y suponiendo, por simplicidad, que el polinomio Qn(x) es reducido, podemos escribir su factorización en la forma donde están los números naturales. Como el grado del polinomio Qn(x) es igual a n, entonces la suma de todos los exponentes a, /3,..., A, sumada con la doble suma de todos los exponentes ω,..., q, es igual a n: La raíz a de un polinomio se llama simple o única, si a = 1, y múltiple si a > 1; el número a se llama multiplicidad de la raíz a. Lo mismo se aplica a otras raíces del polinomio. Una función racional f(x) o una fracción racional es la razón de dos polinomios, y se supone que los polinomios Pm(x) y Qn(x) no tienen factores comunes. Una fracción racional se llama propia si el grado del polinomio en el numerador es menor que el grado del polinomio en el denominador, es decir Si m n, entonces una fracción racional se llama fracción impropia y, en este caso, dividiendo el numerador por el denominador de acuerdo con la regla para dividir polinomios, se puede representar en la forma donde hay algunos polinomios y ^^ es un propio fracción racional. Ejemplo 1. Una fracción racional es una fracción impropia. Dividiendo por una “esquina”, tenemos Por lo tanto. Aquí. y es una fracción propia. Para encontrar estas constantes, el lado derecho de la igualdad (I) se lleva a un denominador común y luego se igualan los coeficientes a las mismas potencias de x en los numeradores de los lados izquierdo y derecho. Esto da un sistema de ecuaciones lineales a partir del cual se encuentran las constantes requeridas. . Este método para encontrar constantes desconocidas se llama método de coeficientes indeterminados. En ocasiones es más conveniente utilizar otro método para encontrar constantes desconocidas, que consiste en que luego de igualar los numeradores se obtiene una identidad con respecto a x, en la cual al argumento x se le dan algunos valores, por ejemplo, los valores ​​de las raíces, lo que da como resultado ecuaciones para encontrar las constantes. Es especialmente conveniente si el denominador Qn(x) sólo tiene raíces simples reales. Ejemplo 2. Descomponer la fracción racional en fracciones más simples. Esta fracción es propia. Descomponemos el denominador en multiplicaciones: Dado que las raíces del denominador son reales y diferentes, entonces, con base en la fórmula (1), la descomposición de la fracción en la más simple tendrá la forma: Reduciendo el honor derecho “de esa igualdad a la denominador común y equiparando los numeradores en sus lados izquierdo y derecho, obtenemos la identidad o Encontramos los coeficientes desconocidos A. 2?, C de dos maneras. primera manera Igualando los coeficientes para las mismas potencias de x, t.v. con (término libre) y los lados izquierdo y derecho de la identidad, obtenemos un sistema lineal de ecuaciones para encontrar los coeficientes desconocidos A, B, C: Este sistema tiene una solución única C El segundo método. Dado que las raíces del denominador se rompen en i 0, obtenemos 2 = 2A, de donde A * 1; g i 1, obtenemos -1 * -B, de donde 5 * 1; x i 2, obtenemos 2 = 2C. de donde C» 1, y la expansión requerida tiene la forma 3. Rehlozhnt no las fracciones más simples fracción racional 4 Descomponemos el polinomio, que está en la dirección opuesta, en factores: . El denominador tiene dos raíces reales diferentes: x\ = 0 multiplicidad de multiplicidad 3. Por tanto, la descomposición de esta fracción no es la más sencilla: reduciendo el lado derecho a un denominador común, encontramos o El primer método. Igualar los coeficientes para las mismas potencias de x en los lados izquierdo y derecho de la última identidad. obtenemos un sistema lineal de ecuaciones. Este sistema tiene una solución única y la expansión requerida será el segundo método. En la identidad resultante, poniendo x = 0, obtenemos 1 a A2, o A2 = 1; campo* gay x = -1, obtenemos -3 i B), o Bj i -3. Al sustituir los valores encontrados de los coeficientes A\ y B) y la identidad tomará la forma o Poniendo x = 0, y luego x = -I. encontramos que = 0, B2 = 0 y. esto significa B\ = 0. Así, obtenemos nuevamente el Ejemplo 4. Expandimos la fracción racional 4 en fracciones más simples. El denominador de la fracción no tiene raíces reales, ya que la función x2 + 1 no desaparece para ningún valor real de x. Por tanto, la descomposición en fracciones simples debe tener la forma De aquí obtenemos o. Igualando los coeficientes de las potencias sinácticas de x en los lados izquierdo y derecho de la última igualdad, tendremos donde encontramos y, por tanto, cabe señalar que en algunos casos las descomposiciones en fracciones simples se pueden obtener de forma más rápida y sencilla actuando de alguna otra manera, sin utilizar el método de coeficientes indefinidos Por ejemplo, para obtener la descomposición de la fracción del ejemplo 3, puedes sumar y restar en el numerador 3x2 y dividir como se indica a continuación. 7.2. Integración de fracciones simples. Como se mencionó anteriormente, cualquier fracción racional impropia se puede representar como la suma de algún polinomio y una fracción racional propia (§7), y esta representación es única. Integrar un polinomio no es difícil, así que considere la cuestión de integrar una fracción racional propia. Dado que cualquier fracción racional propia se puede representar como una suma de fracciones simples, su integración se reduce a la integración de fracciones simples. Consideremos ahora la cuestión de su integración. III. Para encontrar la integral de la fracción más simple del tercer tipo, aislamos el cuadrado completo del binomio del trinomio cuadrado: Como el segundo término es igual a a2, donde y luego hacemos la sustitución. Luego, teniendo en cuenta las propiedades lineales de la integral, encontramos: Ejemplo 5. Encuentra la integral 4 La función integrando es la fracción más simple del tercer tipo, ya que el trinomio cuadrado x1 + Ax + 6 no tiene raíces reales (su discriminante es negativo: , y el numerador contiene un polinomio de primer grado Por lo tanto, procedemos de la siguiente manera: 1) seleccionamos el cuadrado perfecto en el denominador 2) hacemos una sustitución (aquí 3) por * una integral Para encontrar la integral de la. fracción más simple del cuarto tipo, ponemos, como arriba, . Luego obtenemos la Integral del lado derecho denotada por A y la transformamos de la siguiente manera: La Integral del lado derecho se integra por partes, asumiendo de dónde o Integración de funciones racionales Breve información sobre funciones racionales Integración de fracciones simples Caso general Integración de irracionales funciones Primera sustitución de Euler Segunda sustitución de Euler Tercera sustitución de Euler Hemos obtenido la llamada fórmula recurrente, que nos permite encontrar la integral Jk para cualquier k = 2, 3,. ... . De hecho, la integral J\ es tabular: aplicando la fórmula de recurrencia, encontramos Sabiendo y poniendo A = 3, podemos encontrar fácilmente Jj y así sucesivamente. En el resultado final, sustituyendo en todas partes en lugar de t y a sus expresiones en términos de x y los coeficientes p y q, obtenemos para la integral original su expresión en términos de x y los números dados M, LG, p, q. Ejemplo 8. Nueva integral “La función integrando es la fracción más simple del cuarto tipo, ya que el discriminante de un trinomio cuadrado es negativo, es decir Esto significa que el denominador no tiene raíces reales y el numerador es un polinomio de primer grado. 1) Seleccionamos un cuadrado completo en el denominador 2) Hacemos una sustitución: La integral tomará la forma: Poniendo en la fórmula de recurrencia * = 2, a3 = 1. tendremos, y, por tanto, la integral deseada es igual Volviendo a la variable x, finalmente obtenemos 7.3. Caso general De los resultados de los párrafos. 1 y 2 de esta sección siguen inmediatamente a un teorema importante. ¡Teorema! 4. La integral indefinida de cualquier función racional siempre existe (en intervalos en los que el denominador de la fracción Q„(x) φ 0) y se expresa mediante un número finito de funciones elementales, es decir, es una suma algebraica, los términos de los cuales sólo se pueden multiplicar, fracciones racionales, logaritmos naturales y arcotangentes. Entonces, para encontrar la integral indefinida de una función fraccionaria-racional, se debe proceder de la siguiente manera: 1) si la fracción racional es impropia, entonces al dividir el numerador por el denominador se aísla toda la parte, es decir, esta función se representa como la suma de un polinomio y una fracción racional propia; 2) luego, el denominador de la fracción propia resultante se descompone en el producto de factores lineales y cuadráticos; 3) esta fracción propia se descompone en la suma de fracciones simples; 4) usando la linealidad de la integral y las fórmulas del paso 2, las integrales de cada término se encuentran por separado. Ejemplo 7. Encuentra la integral M Dado que el denominador es un polinomio de tercer orden, la función integrando es una fracción impropia. Destacamos en él toda la parte: Por tanto, tendremos. El denominador de una fracción propia tiene raíces reales diferentes: y por tanto su descomposición en fracciones simples tiene la forma De aquí encontramos. Dando al argumento x valores iguales a las raíces del denominador, encontramos a partir de esta identidad que: Por lo tanto, la integral requerida será igual al Ejemplo 8. Encuentre la integral 4 El integrando es una fracción propia, cuyo denominador tiene dos raíces reales diferentes: x - O multiplicidad de 1 y x = 1 de multiplicidad 3, Por lo tanto, la expansión del integrando en fracciones simples tiene la forma Llevando el lado derecho de esta igualdad a un denominador común y reduciendo ambos lados de la igualdad por este denominador, obtenemos o. Igualamos los coeficientes para las mismas potencias de x en los lados izquierdo y derecho de esta identidad: Desde aquí encontramos. Sustituyendo los valores encontrados de los coeficientes en la expansión, tendremos Integrando, encontramos: Ejemplo 9. Encuentra la integral 4 El denominador de la fracción no tiene raíces reales. Por tanto, la expansión del integrando en fracciones simples tiene la forma Por tanto o Igualando los coeficientes para las mismas potencias de x en los lados izquierdo y derecho de esta identidad, tendremos de donde encontramos y, por tanto, Observación. En el ejemplo dado, la función integrando se puede representar como una suma de fracciones simples de una manera más sencilla, es decir, en el numerador de la fracción seleccionamos el binario que está en el denominador y luego realizamos la división término por término. : §8. Integración de funciones irracionales Una función de la forma donde Pm y £?„ son polinomios de grados de tipo, respectivamente, en las variables uub2,... se llama función racional de ubu2j... Por ejemplo, un polinomio de segunda grado en dos variables u\ y u2 tiene la forma donde - algunas constantes reales, y Ejemplo 1, La función es una función racional de las variables r e y, ya que representa la razón de un polinomio de tercer grado y un polinomio de el quinto grado, pero no es una función de tejo. En el caso de que las variables, a su vez, sean funciones de la variable x: entonces la función ] se llama función racional de las funciones del Ejemplo. Una función es una función racional de r y rvdikvlv Pryaivr 3. Una función de la forma no es una función racional de x y el radical y/r1 + 1, pero es una función racional de funciones. Como muestran los ejemplos, integrales de irracionales. Las funciones no siempre se expresan mediante funciones elementales. Por ejemplo, las integrales que se encuentran a menudo en aplicaciones no se expresan en términos de funciones elementales; estas integrales se denominan integrales elípticas de primer y segundo tipo, respectivamente. Consideremos aquellos casos en los que la integración de funciones irracionales puede reducirse, con la ayuda de algunas sustituciones, a la integración de funciones racionales. 1. Sea necesario encontrar la integral donde R(x, y) es una función racional de sus argumentos xey; m £ 2 - número natural; a, 6, c, d son constantes reales que satisfacen la condición ad - bc ^ O (para ad - be = 0, los coeficientes a y b son proporcionales a los coeficientes cy d, y por tanto la relación no depende de x ; esto significa que en este caso la función integrando será una función racional de la variable x, cuya integración se analizó anteriormente). A continuación encontramos o, después de simplificar, Por tanto donde A1(t) es una función racional de *, ya que la funadia racional de una función racional, así como el producto de funciones racionales, son funciones racionales. Sabemos cómo integrar funciones racionales. Sea entonces la integral requerida igual a At. IvYti integral 4 Una función integrando* es una función racional de. Por lo tanto, establecemos t = Entonces Integración de funciones racionales Breve información sobre funciones racionales Integración de fracciones simples Caso general Integración de funciones irracionales Primera sustitución de Euler Segunda sustitución de Euler Tercera sustitución de Euler Así, obtenemos Primar 5. Encuentra la integral El denominador común de fraccionarias exponentes de potencias x es 12, por lo que el integrando de la función se puede representar en la forma 1_1_ lo que demuestra que es una función racional de: Teniendo esto en cuenta, pongamos. En consecuencia, 2. Considere intefos de la forma donde la función subintefal es tal que reemplazando el radical \/ax2 + bx + c por y, obtenemos una función R(x) y) - racional con respecto a ambos argumentos x y y. Esta integral se reduce a la integral de una función racional de otra variable utilizando las sustituciones de Euler. 8.1. Primera sustitución de Euler Sea el coeficiente a > 0. Establezcamos o Por lo tanto, encontramos x como una función racional de u, lo que significa que la sustitución indicada se expresa racionalmente en términos de *. Por lo tanto, tendremos un comentario. La primera sustitución de Euler también se puede tomar en la forma Ejemplo 6. Hallemos la integral. Por lo tanto, tendremos dx sustitución de Euler, demuestre que Y 8.2. Segunda sustitución de Euler Sea el trinomio ax2 + bx + c tener raíces reales diferentes R] y x2 (el coeficiente puede tener cualquier signo). En este caso, asumimos Desde entonces obtenemos Dado que x,dxn y/ax2 + be + c se expresan racionalmente en términos de t, entonces la integral original se reduce a la integral de una función racional, es decir, donde Problema. Utilizando la primera sustitución de Euler, demuestre que es una función racional de t. Ejemplo 7. Encuentre la función integral dx M ] - x1 tiene raíces reales diferentes. Por lo tanto, aplicamos la segunda sustitución de Euler. Desde aquí encontramos Sustituyendo las expresiones encontradas en el Dado?v*gyvl; obtenemos 8,3. Tercer substatom de Euler Sea el coeficiente c > 0. Hacemos un cambio de variable poniendo. Tenga en cuenta que para reducir la integral a la integral de una función racional, la primera y segunda sustituciones de Euler son suficientes. De hecho, si el discriminante b2 -4ac > 0, entonces las raíces del trinomio cuadrático ax + bx + c son reales, y en este caso es aplicable la segunda sustitución de Euler. Si, entonces, el signo del trinomio ax2 + bx + c coincide con el signo del coeficiente a, y como el trinomio debe ser positivo, entonces a > 0. En este caso, se aplica la primera sustitución de Euler. Para encontrar integrales del tipo indicado anteriormente, no siempre es recomendable utilizar las sustituciones de Euler, ya que para ellas es posible encontrar otros métodos de integración que conduzcan a la meta más rápidamente. Consideremos algunas de estas integrales. 1. Para encontrar integrales de la forma, despeje el cuadrado perfecto del cuadrado del trinomio ésimo: donde Después de esto, haga una sustitución y obtenga donde los coeficientes a y P tienen signos diferentes o ambos son positivos. Para, y también para a > 0, la integral se reducirá a un logaritmo y, en caso afirmativo, al arcoseno. En. Encuentra entonces el integral 4 Sokak. suponiendo que obtenemos Prmmar 9. Encuentre. Suponiendo x -, tendremos 2. La integral de la forma se reduce a la integral y del paso 1 de la siguiente manera. Considerando que la derivada ()" = 2, la destacamos en el numerador: 4 Identificamos en el numerador la derivada de la expresión radical. Como (x, entonces tendremos, teniendo en cuenta el resultado del ejemplo 9, 3. Las integrales de la forma donde P„(x) es un polinomio de n -ésimo grado, se pueden encontrar mediante el método de coeficientes indefinidos, que consiste en lo siguiente. Supongamos que la igualdad es el Ejemplo 10. Integral poderosa donde Qn-i. (s) es un polinomio de (n - 1) grado con coeficientes indefinidos: Para encontrar coeficientes desconocidos | derivamos ambos lados de (1): Luego reducimos el lado derecho de la igualdad (2) a un denominador común igual al. denominador del lado izquierdo, es decir y/ax2 + bx + c, reduciendo ambos lados de (2) por lo que obtenemos la identidad en ambos lados de los cuales contienen polinomios de grado n. Igualando los coeficientes para los mismos grados de x en el. Los lados izquierdo y derecho de (3), obtenemos n + 1 ecuaciones, de las cuales encontramos los coeficientes requeridos j4*(fc = 0,1,2,..., n ). de (1) y encontrando la integral + c obtenemos la respuesta para esta integral. Ejemplo 11. Encuentra la integral Pongamos Derivando ambos palos de la igualdad, tendremos Llevando el lado derecho a un denominador común y reduciendo ambos lados por él, obtenemos la identidad o. Igualando los coeficientes a las mismas potencias de x, llegamos a un sistema de ecuaciones del cual encontramos = Luego encontramos la integral en el lado derecho de la igualdad (4): En consecuencia, la integral requerida será igual a

Definición 1

El conjunto de todas las primitivas de una función dada $y=f(x)$, definida en un determinado segmento, se llama integral indefinida de una función dada $y=f(x)$. La integral indefinida se denota con el símbolo $\int f(x)dx $.

Comentario

La definición 2 se puede escribir de la siguiente manera:

\[\int f(x)dx =F(x)+C.\]

No todas las funciones irracionales pueden expresarse como integrales mediante funciones elementales. Sin embargo, la mayoría de estas integrales se pueden reducir mediante sustituciones de integrales de funciones racionales, que se pueden expresar en términos de funciones elementales.

$\int R\left(x,x^(m/n) ,...,x^(r/s) \right)dx $;

$\int R\left(x,\left(\frac(ax+b)(cx+d) \right)^(m/n) ,...,\left(\frac(ax+b)(cx +d) \right)^(r/s) \right)dx $;

$\int R\left(x,\sqrt(ax^(2) +bx+c) \right)dx $.

I

Al encontrar una integral de la forma $\int R\left(x,x^(m/n) ,...,x^(r/s) \right)dx $ es necesario realizar la siguiente sustitución:

Con esta sustitución, cada potencia fraccionaria de la variable $x$ se expresa mediante una potencia entera de la variable $t$. Como resultado, la función integrando se transforma en una función racional de la variable $t$.

Ejemplo 1

Realizar integración:

\[\int \frac(x^(1/2) dx)(x^(3/4) +1).\]

Solución:

$k=4$ es el denominador común de las fracciones $\frac(1)(2) ,\, \, \frac(3)(4) $.

\ \[\begin(array)(l) (\int \frac(x^(1/2) dx)(x^(3/4) +1) =4\int \frac(t^(2) ) (t^(3) +1) \cdot t^(3) dt =4\int \frac(t^(5) )(t^(3) +1) dt =4\int \left(t^( 2) -\frac(t^(2) )(t^(3) +1) \right)dt =4\int t^(2) dt -4\int \frac(t^(2) )(t ^(3) +1) dt =\frac(4)(3) \cdot t^(3) -) \\ (-\frac(4)(3) \cdot \ln |t^(3) +1 |+C)\end(matriz)\]

\[\int \frac(x^(1/2) dx)(x^(3/4) +1) =\frac(4)(3) \cdot \left+C\]

II

Al encontrar una integral de la forma $\int R\left(x,\left(\frac(ax+b)(cx+d) \right)^(m/n) ,...,\left(\frac (ax+ b)(cx+d) \right)^(r/s) \right)dx $ es necesario realizar la siguiente sustitución:

donde $k$ es el denominador común de las fracciones $\frac(m)(n) ,...,\frac(r)(s) $.

Como resultado de esta sustitución, el integrando se transforma en una función racional de la variable $t$.

Ejemplo 2

Realizar integración:

\[\int \frac(\sqrt(x+4) )(x) dx .\]

Solución:

Hagamos la siguiente sustitución:

\ \[\int \frac(\sqrt(x+4) )(x) dx =\int \frac(t^(2) )(t^(2) -4) dt =2\int \left(1 +\frac(4)(t^(2) -4) \right)dt =2\int dt +8\int \frac(dt)(t^(2) -4) =2t+2\ln \left |\frac(t-2)(t+2) \right|+C\]

Después de realizar la sustitución inversa, obtenemos el resultado final:

\[\int \frac(\sqrt(x+4) )(x) dx =2\sqrt(x+4) +2\ln \left|\frac(\sqrt(x+4) -2)(\ raíz cuadrada (x+4) +2) \right|+C.\]

III

Al encontrar una integral de la forma $\int R\left(x,\sqrt(ax^(2) +bx+c) \right)dx $, se realiza la llamada sustitución de Euler (una de tres posibles sustituciones es usado).

Primera sustitución de Euler

Para el caso $a>

Tomando el signo “+” delante de $\sqrt(a) $, obtenemos

Ejemplo 3

Realizar integración:

\[\int \frac(dx)(\sqrt(x^(2) +c) ).\]

Solución:

Hagamos la siguiente sustitución (caso $a=1>0$):

\[\sqrt(x^(2) +c) =-x+t,\, \, x=\frac(t^(2) -c)(2t) ,\, \, dx=\frac(t ^(2) +c)(2t^(2) ) dt,\, \, \sqrt(x^(2) +c) =-\frac(t^(2) -c)(2t) +t= \frac(t^(2) +c)(2t).\] \[\int \frac(dx)(\sqrt(x^(2) +c) ) =\int \frac(\frac(t^ (2) +c)(2t^(2) ) dt)(\frac(t^(2) +c)(2t) ) =\int \frac(dt)(t) =\ln |t|+C \]

Después de realizar la sustitución inversa, obtenemos el resultado final:

\[\int \frac(dx)(\sqrt(x^(2) +c) ) =\ln |\sqrt(x^(2) +c) +x|+C.\]

Segunda sustitución de Euler

Para el caso $c>0$ es necesario realizar la siguiente sustitución:

Tomando el signo “+” delante de $\sqrt(c) $, obtenemos

Ejemplo 4

Realizar integración:

\[\int \frac((1-\sqrt(1+x+x^(2) ))^(2) )(x^(2) \sqrt(1+x+x^(2) ) ) dx .\]

Solución:

Hagamos la siguiente sustitución:

\[\sqrt(1+x+x^(2) ) =xt+1.\]

\ \[\sqrt(1+x+x^(2) ) =xt+1=\frac(t^(2) -t+1)(1-t^(2) ) \] \

$\int \frac((1-\sqrt(1+x+x^(2) ))^(2) )(x^(2) \sqrt(1+x+x^(2) ) ) dx = \int \frac((-2t^(2) +t)^(2) (1-t)^(2) (1-t^(2))(2t^(2) -2t+2))( (1-t^(2))^(2) (2t-1)^(2) (t^(2) -t+1)(1-t^(2))^(2) ) dt =\ int \frac(t^(2) )(1-t^(2) ) dt =-2t+\ln \left|\frac(1+t)(1-t) \right|+C$ Habiendo hecho lo inverso sustitución, obtenemos el resultado final:

\[\begin(array)(l) (\int \frac((1-\sqrt(1+x+x^(2) ))^(2) )(x^(2) \sqrt(1+x +x^(2) ) dx =-2\cdot \frac(\sqrt(1+x+x^(2) ) -1)(x) +\ln \left|\frac(x+\sqrt(1 + x+x^(2) ) -1)(x-\sqrt(1+x+x^(2) ) +1) \right|+C=-2\cdot \frac(\sqrt(1+x + x^(2) ) -1)(x) +) \\ (+\ln \left|2x+2\sqrt(1+x+x^(2) ) +1\right|+C) \end ( formación)\]

Tercera sustitución de Euler