El vector en la ecuación de un operador lineal se llama. Vectores propios y valores de operador lineal (transformación). Multiplicación de operadores lineales.
Propiedades del estado líquido. Capa superficial. Tensión superficial. Mojada. La fórmula de Laplace. Fenómenos capilares.
Los líquidos son sustancias que se encuentran en estado condensado, que es intermedio entre el estado sólido cristalino y el estado gaseoso.
La región de existencia de líquidos está limitada desde el lado. altas temperaturas su transición a estado gaseoso, desde el lado bajas temperaturas– transición a un estado sólido.
En los líquidos, la distancia entre las moléculas es mucho menor que en los gases (la densidad de los líquidos es ~ 6000 veces mayor que la densidad del vapor saturado lejos de temperatura crítica) (Figura 1).
Fig.1. Vapor de agua (1) y agua (2). Las moléculas de agua se agrandan aproximadamente 5 10 7 veces.
En consecuencia, las fuerzas de interacción intermolecular en los líquidos, a diferencia de los gases, son el principal factor que determina las propiedades de los líquidos. Por tanto, los líquidos, al igual que los sólidos, conservan su volumen y tienen superficie libre. Al igual que los sólidos, los líquidos se caracterizan por una compresibilidad muy baja y resisten el estiramiento.
Sin embargo, las fuerzas de enlace entre las moléculas de un líquido no son tan fuertes como para impedir que las capas de líquido se deslicen entre sí. Por tanto, los líquidos, al igual que los gases, tienen fluidez. En el campo de gravedad, los líquidos toman la forma del recipiente en el que se vierten.
Las propiedades de las sustancias están determinadas por el movimiento y la interacción de las partículas que las componen.
En los gases, las colisiones involucran principalmente a dos moléculas. En consecuencia, la teoría de los gases se reduce a la solución del problema de los dos cuerpos, que puede resolverse exactamente. En los sólidos, las moléculas experimentan movimientos vibratorios en los nodos de la red cristalina en un campo periódico creado por otras moléculas. Este problema del comportamiento de las partículas en un campo periódico también puede resolverse exactamente.
En los líquidos, cada molécula está rodeada por varias otras. Un problema de este tipo (el problema de muchos cuerpos), en general, independientemente de la naturaleza de las moléculas y de su disposición, todavía no se ha resuelto con precisión.
Los experimentos sobre difracción de rayos X, neutrones y electrones ayudaron a determinar la estructura de los líquidos. A diferencia de los cristales, en los que se observa un orden de largo alcance (la regularidad de la colocación de partículas en grandes volúmenes), en líquidos a distancias del orden de 3 a 4 diámetros moleculares, se altera el orden en la colocación de las moléculas. En consecuencia, en los líquidos existe el llamado orden de corto alcance en la disposición de las moléculas (Fig.2):
Fig.2. Un ejemplo de orden de corto alcance de moléculas líquidas y orden de largo alcance de moléculas de una sustancia cristalina: 1 – agua; 2 – hielo
En los líquidos, las moléculas sufren pequeñas vibraciones dentro de límites limitados por las distancias intermoleculares. Sin embargo, de vez en cuando, como resultado de las fluctuaciones, una molécula puede recibir energía de las moléculas vecinas suficiente para saltar a una nueva posición de equilibrio. La molécula permanecerá en la nueva posición de equilibrio durante algún tiempo hasta que, nuevamente, como resultado de las fluctuaciones, reciba la energía necesaria para el salto. La molécula salta una distancia comparable al tamaño de la molécula. Las vibraciones que dan paso a saltos representan el movimiento térmico de las moléculas líquidas.
El tiempo promedio que una molécula está en estado de equilibrio se llama tiempo de relajación.. A medida que aumenta la temperatura, aumenta la energía de las moléculas, por lo tanto, aumenta la probabilidad de fluctuaciones y disminuye el tiempo de relajación:
(1)
Dónde τ – tiempo de relajación, B– coeficiente que significa el período de vibración de la molécula, W. – energía de activación moléculas, es decir energía necesaria para realizar un salto molecular.
La fricción interna en líquidos, como en gases, ocurre cuando las capas de líquido se mueven debido a la transferencia de impulso en la dirección normal a la dirección del movimiento de las capas de líquido. La transferencia de impulso de una capa a otra también ocurre durante los saltos moleculares. Sin embargo, principalmente el impulso se transfiere debido a la interacción (atracción) de moléculas de capas vecinas.
De acuerdo con el mecanismo del movimiento térmico de las moléculas líquidas, la dependencia del coeficiente de viscosidad de la temperatura tiene la forma:
(2)
Dónde A– coeficiente que depende de la distancia de salto de la molécula, la frecuencia de sus vibraciones y la temperatura, W. – energía de activación.
Ecuación (2) – Fórmula de Frenkel-Andrade. La dependencia de la temperatura del coeficiente de viscosidad está determinada principalmente por el factor exponencial.
El valor recíproco de la viscosidad se llama fluidez.. A medida que disminuye la temperatura, la viscosidad de algunos líquidos aumenta tanto que prácticamente dejan de fluir, formando cuerpos amorfos (vidrio, plásticos, resinas, etc.).
Cada molécula de líquido interactúa con moléculas vecinas que se encuentran dentro del rango de sus fuerzas moleculares. Los resultados de esta interacción no son los mismos para las moléculas dentro del líquido y en la superficie del líquido. Una molécula ubicada dentro de un líquido interactúa con las moléculas vecinas que la rodean y la fuerza resultante que actúa sobre ella es cero (Fig. 3).
Fig.3. Fuerzas que actúan sobre las moléculas líquidas.
Las moléculas de la capa superficial se encuentran en diferentes condiciones. La densidad del vapor sobre el líquido es mucho menor que la densidad del líquido. Por lo tanto, sobre cada molécula de la capa superficial actúa una fuerza resultante dirigida normalmente hacia el líquido (Fig. 3). La capa superficial ejerce presión sobre el resto del líquido como una película elástica. Las moléculas que se encuentran en esta capa también se atraen entre sí (Fig. 4).
Fig.4. Interacción de moléculas de la capa superficial.
Esta interacción crea fuerzas dirigidas tangencialmente a la superficie del líquido y que tienden a reducir la superficie del líquido.
Si se dibuja una línea arbitraria en la superficie de un líquido, entonces las fuerzas de tensión superficial actuarán a lo largo de la normal a la línea y tangente a la superficie. La magnitud de estas fuerzas es proporcional al número de moléculas ubicadas a lo largo de esta línea, por lo tanto proporcional a la longitud de la línea:
(3)
Dónde σ – coeficiente de proporcionalidad, que se llama coeficiente de tensión superficial:
(4)
Coeficiente de tensión superficial numéricamente igual a la fuerza tensión superficial que actúa por unidad de longitud del contorno que limita la superficie del líquido.
El coeficiente de tensión superficial se mide en N/m. Magnitud σ Depende del tipo de líquido, la temperatura y la presencia de impurezas. Las sustancias que reducen la tensión superficial se llaman superficialmente activo(alcohol, jabón, jabón en polvo etc.).
Para aumentar la superficie de un líquido se debe trabajar contra las fuerzas de tensión superficial. Determinemos la cantidad de este trabajo. Deje que haya un marco con una película líquida (por ejemplo, jabón) y una barra transversal móvil (Fig. 5).
Fig.5. El lado móvil de la estructura de alambre está en equilibrio bajo la acción de la fuerza externa F ext y las fuerzas de tensión superficial resultantes F n
Estiremos la película con una fuerza F extenida por dx. Obviamente:
Dónde F norte = σL–fuerza de tensión superficial. Entonces:
Dónde dS = Ldx– incremento de la superficie de la película. De la última ecuación:
(5)
Según (5), el coeficiente de tensión superficial es numéricamente igual al trabajo requerido para aumentar el área superficial por unidad en temperatura constante. De (5) queda claro que σ se puede medir en J/m 2.
Si un líquido limita con otro líquido o sólido, debido a que las densidades de las sustancias en contacto son comparables, no se puede ignorar la interacción de las moléculas del líquido con las moléculas de las sustancias que lo limitan.
Si al contacto del líquido y sólido la interacción entre sus moléculas es más fuerte que la interacción entre las moléculas del propio líquido, entonces el líquido tiende a aumentar la superficie de contacto y se extiende sobre la superficie del sólido. En este caso, el líquido moja el sólido. Si la interacción entre las moléculas del líquido es más fuerte que la interacción entre las moléculas del líquido y el sólido, entonces el líquido reduce la superficie de contacto. En este caso, el líquido no moja los sólidos. Por ejemplo: el agua moja el vidrio, pero no la parafina; el mercurio moja las superficies metálicas, pero no el vidrio.
Fig.6. Varias formas gotas sobre la superficie de un sólido para los casos de líquidos no humectantes (a) y humectantes (b)
Considere una gota de líquido sobre la superficie de un sólido (Fig.7):
Fig.7. Esquemas para calcular el equilibrio de una gota sobre la superficie de un cuerpo sólido para los casos de líquidos no humectantes (a) y humectantes (b): 1 - gas, 2 - líquido, 3 - sólido
La forma de una gota está determinada por la interacción de tres medios: gas – 1, líquido – 2 y sólido – 3. Todos estos medios tienen frontera común– círculo que encierra la gota. Longitud por elemento dl de este contorno actuarán fuerzas de tensión superficial: F 12 = σ 12 dl– entre gas y líquido, F 13 = σ 13 dl- entre gas y sólido, F 23 = σ 23 dl– entre líquido y sólido. Si dl=1m, entonces F 12 = σ 12 , F 13 = σ 13 , F 23 = σ 23. Consideremos el caso cuando:
Esto significa que<θ = π (Figura 7, a). El círculo que limita el lugar de contacto del líquido con el cuerpo sólido se contraerá hasta formar un punto y la gota tomará forma elipsoidal o esférica. Este es un caso de no mojarse por completo. También se observa una completa no humectación en el caso de: σ 23 > σ 12 + σ 13 .
Otro caso límite ocurrirá si:
Esto significa que<θ = 0 (Fig. 7b), se observa una humectación completa. También se observará una humectación completa en el caso de que: σ 13 > σ 12 + σ 23. En este caso, no habrá equilibrio, en ningún valor de ángulo. θ , y el líquido se extenderá por la superficie del sólido hasta la capa monomolecular.
Si la gota está en equilibrio, entonces la resultante de todas las fuerzas que actúan sobre el elemento de la longitud del contorno es cero. La condición de equilibrio en este caso es:
El ángulo entre las tangentes a la superficie de un sólido y a la superficie de un líquido, que se mide dentro del líquido.,llamado ángulo de contacto.
Su valor se determina a partir de (6):
(7)
Si σ 13 > σ 23, entonces porque θ > 0, ángulo θ agudo: se produce una humectación parcial si σ 13 < σ 23, entonces porque θ < 0 – угол θ romo: se produce una no humectación parcial. Por tanto, el ángulo de contacto es un valor que caracteriza el grado de humectación o no humectación del líquido.
La curvatura de la superficie del líquido da como resultado una presión adicional que actúa sobre el líquido debajo de esta superficie. Determinemos la cantidad de presión adicional bajo la superficie curva del líquido. Seleccionemos un elemento de área ∆ en una superficie arbitraria del líquido. S(Figura 8):
Fig.8. Para calcular la cantidad de presión adicional
oh′ oh– normal a la superficie en un punto oh. Determinemos las fuerzas de tensión superficial que actúan sobre los elementos del contorno. AB Y CD. Fuerzas de tensión superficial F Y F′, que actúan sobre AB Y CD, perpendicular AB Y CD y dirigido tangencialmente a la superficie ∆ S. Determinemos la magnitud de la fuerza. F:
Rompamos el poder F en dos componentes F 1 y f ′. Fortaleza F 1 paralelo oh′ oh y dirigido al líquido. Esta fuerza aumenta la presión sobre las áreas internas del líquido (el segundo componente estira la superficie y no afecta la cantidad de presión).
Dibujemos un plano perpendicular a ∆ S a través de puntos METRO, oh Y norte. Entonces R 1 – radio de curvatura de la superficie en la dirección de este plano. Dibujemos un plano perpendicular a ∆ S y el primer avión. Entonces R 2 – radio de curvatura de la superficie en la dirección de este plano. EN caso general R 1 ≠ R 2. Definamos el componente F 1. En la imagen puedes ver:
Tengamos en cuenta que:
(8)
Fortaleza F′ descompongamos en los mismos dos componentes y definamos de manera similar el componente F 2 (no se muestra en la figura):
(9)
Razonando de manera similar, determinaremos las componentes de las fuerzas que actúan sobre los elementos. C.A. Y BD, considerando que en cambio R 1 será R 2:
(10)
Encontremos la suma de las cuatro fuerzas que actúan sobre el contorno. ABDC y ejerciendo presión adicional sobre las zonas internas del líquido:
Determinemos la cantidad de presión adicional:
Por eso:
(11)
La ecuación (11) se llama la fórmula de laplace. La presión adicional que la superficie curva de un líquido ejerce sobre las regiones internas del líquido se llama Presión de Laplace.
La presión de Laplace obviamente se dirige hacia el centro de curvatura de la superficie. Por lo tanto, en el caso de una superficie convexa, se dirige hacia el líquido y se suma a la presión normal del líquido. En el caso de una superficie cóncava, el líquido estará bajo menos presión que el líquido debajo de una superficie plana, porque La presión de Laplace se dirige fuera del líquido.
Si la superficie es esférica, entonces: R 1 = R 2 = R:
Si la superficie es cilíndrica, entonces: R 1 = R, R 2 = ∞:
Si la superficie es plana entonces: R 1 = ∞, R 2 = ∞:
Si hay dos superficies, por ejemplo, burbuja, entonces la presión de Laplace se duplica.
Asociados con los fenómenos de humectación y no humectación están los llamados fenómenos capilares. Si se introduce un capilar (un tubo de pequeño diámetro) en un líquido, entonces la superficie del líquido en el capilar adquiere una forma cóncava, casi esférica en el caso de humedecimiento y convexa en el caso de no humedecimiento. Estas superficies se llaman meniscos.
Los capilares son aquellos tubos en los que el radio del menisco es aproximadamente igual al radio del tubo.
Arroz. 9. Capilar en líquidos humectantes (a) y no humectantes (b)
Figura 10. Subida de líquido en un capilar en caso de humectación.
En el caso de un menisco cóncavo, la presión adicional se dirige hacia el centro de curvatura fuera del líquido. Por lo tanto, la presión bajo el menisco menos presión bajo la superficie plana de un líquido en un recipiente por el valor de la presión de Laplace:
R– radio del menisco, r– radio del tubo capilar.
En consecuencia, la presión de Laplace hará que el líquido en el capilar se eleve a tal altura h(Fig.9) hasta que la presión hidrostática de la columna de líquido equilibre la presión de Laplace:
De la última ecuación:
(12)
La ecuación (12) se llama La fórmula de Jurin.. Si el líquido no moja las paredes capilares, el menisco es convexo, porque θ < 0, то жидкость в этом случае опускается ниже уровня жидкости в сосуде на такую же глубину h según la fórmula (12) (Fig. 9).
Resolvamos el siguiente problema (problema de Banach). Una persona lleva dos cajas de cerillas (60 cerillas cada una) en su bolsillo, y cada vez que necesita una cerilla, toma la caja al azar y saca una cerilla. ¿Cuál es la probabilidad de que cuando la primera casilla esté vacía, todavía queden 20 cerillas en la segunda? La selección de casillas puede considerarse como una prueba independiente en la que la primera casilla se selecciona con probabilidad. Experimentos totales realizados norte= 60+40=100, y en estos cien experimentos hay que elegir la primera casilla 60 veces. La probabilidad de esto es:
.
Del expediente se desprende claramente que para grandes norte Es difícil utilizar la fórmula de Bernoulli debido a los cálculos engorrosos. Existen fórmulas aproximadas especiales que te permiten encontrar probabilidades. 
, Si norte excelente. Una de esas fórmulas viene dada por el siguiente teorema.
Teorema 2.1. ( local de laplace ).
Si en el esquema de Bernoulli 
, entonces la probabilidad de que el evento A vendrá exactamente k veces, satisface para grandes norte relación
Dónde 
.
Por conveniencia, introducimos la función. 
es la función local de Laplace, con cuya ayuda se puede escribir el teorema de Laplace de la siguiente manera:
Hay tablas de funciones especiales. 
, según el cual para cualquier valor: 
puede encontrar el valor de función correspondiente. Estas tablas se obtuvieron expandiendo la función 
en una fila.
Geométricamente, este resultado significa que para grandes norte el polígono de distribución encaja bien en la gráfica de la función de la derecha en la fórmula (Fig. 2.3) y en lugar del valor de probabilidad real 
posible para todos k tomar el valor de una función en un punto k.
Arroz. 2.3. Función local de Laplace
Volvamos ahora al problema. Usando la fórmula (2.1) encontramos:
,
donde esta el valor 
determinado a partir de la tabla.
2.2.2. Teorema integral de Laplace
Teorema 2.2(Integral de Laplace) . La probabilidad de que en el circuito norte pruebas independientes el evento ocurrirá desde k 1 a k 2 veces, aproximadamente iguales
PAG norte
(k 1
k 2
)
,
– Función integral de Laplace, para la que se han elaborado tablas. Función F(x) extraño: Ф(-х)=-Ф(х) Y F(incógnita 
4)=0,5.
Consideremos otra afirmación más sin pruebas.
Desviación de frecuencia relativa de probabilidad pag V norte pruebas independientes son iguales
(
.
Comentario. El fundamento de estos hechos se analizará con más detalle en la Sección 7 (Secciones 7.2, 7.3). Los teoremas de Laplace a veces se denominan teoremas de Moivre-Laplace.
Ejemplo 2.3.
La probabilidad de que ocurra un evento en cada uno de los 900 ensayos independientes es 0,5. 1) encuentre la probabilidad de que el evento ocurra de 400 a 500 veces, 2) encuentre la probabilidad de que la frecuencia relativa de ocurrencia del evento se desvíe de su probabilidad en valor absoluto en no más de 0,02.
Solución
1) R 900
(400<k<500)=
=
2)
=
2.3. la fórmula de poisson
Si fijamos el número de experimentos norte y la probabilidad de que ocurra un evento en un experimento r cambia, entonces el polígono de distribución tendrá una apariencia diferente dependiendo del valor r(Figura 2.4). Con valores pag, cerca de 1/2, el polígono es casi simétrico y encaja bien en la gráfica simétrica de la función de Laplace. Por tanto, la fórmula aproximada de Laplace proporciona una buena precisión.
Para los pequeños r(en la práctica menos 
) la aproximación es pobre debido a la asimetría del polígono de distribución. Por tanto, surge la tarea de encontrar una fórmula aproximada para calcular las probabilidades. 
en caso de grandes norte y pequeño r. La respuesta a esta pregunta viene dada por la fórmula de Poisson.
Entonces, consideremos un esquema de prueba independiente en el que norte es grande (cuanto más mejor), y r poco (cuanto menos mejor). denotemos norter=λ . Entonces, según la fórmula de Bernoulli, tenemos
.
La última igualdad es verdadera debido a que 
(segundo límite destacable). Al obtener la fórmula para la ocurrencia más probable de un evento k 0 se consideró el odds ratio. De esto se desprende que
Así, cuando k muchos más pequeños norte tenemos una relación de recurrencia
.
Para k=0 tomemos en cuenta el resultado obtenido anteriormente: 
, Entonces
………………
Entonces, si n es grande en un diseño de prueba independiente, y r poco, entonces sucede la fórmula de poisson
R norte (A) 
, donde λ =
norter.
La ley de Poisson también se llama ley de eventos raros.
Ejemplo 2.4.
La probabilidad de producir una pieza defectuosa es 0,02. Las piezas se embalan en cajas de 100 piezas. ¿Cuál es la probabilidad de que a) no hay piezas defectuosas en la caja, b) ¿hay más de dos piezas defectuosas en la caja?
Solución
a)
Porque norte grande y r poco, tenemos ; R 100
(0)
;
b)R 100
(k>2)=
1-R
1-
Por lo tanto, en un diseño de prueba independiente para calcular la probabilidad R norte (k) Se debe utilizar la fórmula de Bernoulli si norte pequeño, pero si norte es grande, entonces dependiendo del tamaño r Se utiliza una de las fórmulas aproximadas de Laplace o la fórmula de Poisson.
La probabilidad de que en n ensayos independientes, en cada uno de los cuales la probabilidad de que ocurra un evento sea p(0< p < 1), событие наступит ровно k раз, приближенно равна
Tabla de valores de funciones φ(x); para valores negativos de x, utilice la misma tabla (la función φ (x) es par: φ(-x) = φ(x)).
Ejemplo No. 1. En cada una de las 700 pruebas independientes, el evento A ocurre con una probabilidad constante de 0,35. Encuentre la probabilidad de que el evento A ocurra: a) exactamente 270 veces; b) menos de 270 y más de 230 veces; c) más de 270 veces.
Solución. Dado que el número de experimentos n = 700 es bastante grande, utilizamos las fórmulas de Laplace.
a) Dado: n = 700, p = 0,35, k = 270.
Encontremos P 700 (270). Usamos el teorema local de Laplace.
Encontramos:
Encontramos el valor de la función φ(x) de la tabla:
b) Dado: n = 700, p = 0,35, a = 230, b = 270.
Encontremos P 700 (230< k < 270).
Usamos el teorema integral de Laplace (23), (24). Encontramos: 
Encontramos el valor de la función Ф(x) de la tabla:
c) Dado: n = 700, p = 0,35, a = 270, b = 700.
Encontremos P 700 (k > 270).
Tenemos:
Ejemplo No. 2. en constante proceso tecnológico En una fábrica de tejidos se producen 10 roturas de hilo por cada 100 husos por hora. Determine: a) la probabilidad de que se produzcan 7 roturas de hilo en 80 husos en una hora; b) el número más probable de roturas de hilo en 80 husos en una hora.
Solución. La probabilidad estadística de que un hilo se rompa en una hora es p = 10/100 = 0,1 y, por tanto, q = 1 – 0,1 = 0,9; norte = 80; k = 7.
Como n es grande, se utiliza el teorema local de Laplace (23). Calculamos: 
Usemos la propiedad φ(-x) = φ(x), encontremos φ(0.37) ≈ 0.3726 y luego calculemos la probabilidad deseada: 
Por tanto, la probabilidad de que se produzcan 7 roturas de hilo en 80 husos en una hora es aproximadamente 0,139.
El número más probable k 0 de ocurrencias de un evento durante pruebas repetidas se determinará mediante la fórmula (14). Encontramos: 7.1< k 0 < 8,1. Поскольку k 0 может быть только целым числом, то k 0 = 8.
Ejemplo No. 3. La probabilidad de que una parte sea de primer grado es 0,4. 150 piezas fabricadas. Calcula la probabilidad de que entre ellas haya 68 piezas de primera clase.
Ejemplo No. 4. La probabilidad de que ocurra un evento en cada uno de los ensayos independientes es p.
Encuentre la probabilidad de que el evento ocurra n veces si se realizan m pruebas.
Da tu respuesta a tres cifras significativas.
ð=0,75, n=87, m=120
