Multiplicar la matriz identidad por un número. Acciones con matrices

Conferencia número 1

MATRICES

Definición y tipos de matrices.

Definición 1.1.Matriz tamaño t norte es una tabla rectangular de números (u otros objetos) que contiene metro líneas y norte columnas.

Las matrices se indican con letras mayúsculas del alfabeto latino, por ejemplo, A, B, C... Los números (u otros objetos) que forman una matriz se llaman elementos matrices. Los elementos de la matriz pueden ser funciones. Para designar elementos matriciales se utilizan letras minúsculas del alfabeto latino con doble indexación: aij,¿Dónde está el primer índice? i(leer – y) – número de línea, segundo índice j(leer – zhi) – número de columna.

Definición 1.2. La matriz se llama cuadrado m primer orden si el número de sus filas es igual al número de columnas e igual al mismo número norte

Para una matriz cuadrada, se introducen los conceptos. principal y secundaria diagonales.

Definición 1.3.Diagonal principal una matriz cuadrada consta de elementos que tienen los mismos índices, es decir . Estos son los elementos: a 11,un 22,…

Definición 1.4. diagonal, si todos los elementos excepto los de la diagonal principal son cero

Definición 1.5. La matriz cuadrada se llama triangular, si todos sus elementos ubicados debajo (o encima) de la diagonal principal son iguales a cero.

Definición 1.6. matriz cuadrada pag- de orden, en el que todos los elementos de la diagonal principal son iguales a uno y el resto son iguales a cero, se llama soltero matriz norte-ésimo orden, y se denota con la letra MI.

Definición 1.7. Una matriz de cualquier tamaño se llama nulo, o matriz nula, si todos sus elementos son iguales a cero.

Definición 1.8. Una matriz que consta de una fila se llama matriz de filas.

Definición 1.9. Una matriz que consta de una columna se llama columna-matriz.

Una = (una 11 A 12 ... A 1norte) – fila de matriz;

Definición 1.10. Dos matrices A Y EN tamaños idénticos se llaman igual si todos los elementos correspondientes de estas matrices son iguales entre sí, es decir aij = bij para cualquier i= 1, 2, ..., T; j = 1, 2,…, norte.

Operaciones sobre matrices

Se pueden realizar varias operaciones con matrices, así como con números. Las principales operaciones con matrices son la suma (resta) de matrices, la multiplicación de una matriz por un número y la multiplicación de matrices. Estas operaciones son similares a las operaciones con números. Una operación específica es la transposición matricial.

Multiplicar una matriz por un número

Definición 1.11.Producto de la matriz A por númeroλ se llama matriz B = A, cuyos elementos se obtienen multiplicando los elementos de la matriz A por el número λ .

Ejemplo 1.1. Encontrar producto matricial A= al numero 5.

Solución. .◄5A=

Regla para multiplicar una matriz por un número: Para multiplicar una matriz por un número, es necesario multiplicar todos los elementos de la matriz por ese número.

Consecuencia.

1. El factor común de todos los elementos de la matriz se puede sacar del signo de la matriz.

2. Producto matricial A para el número 0 existe una matriz cero: A· 0 = 0 .

Suma de matrices

Definición 1.12.La suma de dos matrices A y B mismo tamaño tn llamada matriz CON= A+ EN, cuyos elementos se obtienen sumando los correspondientes elementos de la matriz A y matrices EN, es decir. cij = aij + bij Para yo = 1, 2, ..., metro; j= 1, 2, ..., norte(es decir, las matrices se suman elemento por elemento).

Consecuencia. matriz suma A con matriz cero es igual a la matriz original: A + O = A.

1.2.3. Resta de matrices

Diferencia de dos matrices del mismo tamaño se determina mediante las operaciones anteriores: A – B = A + (– 1)EN.

Definición 1.13. Matriz –A = (– 1)A llamado opuesto matriz A.

Consecuencia. La suma de matrices opuestas es igual a la matriz cero. : A + (–A) = O.

Multiplicación de matrices

Definición 1.14.Multiplicar la matriz A por la matriz B se define cuando el número de columnas de la primera matriz es igual al número de filas de la segunda matriz. Entonces producto de matrices dicha matriz se llama , cada elemento del cual cij igual a la suma de los productos de los elementos iésima fila de la matriz A a los elementos correspondientes jª columna de la matriz B.

Ejemplo 1.4. Calcular el producto matricial A·B, Dónde

A=

=

Ejemplo 1.5. Buscar productos matriciales AB Y VIRGINIA, Dónde

Notas. De los ejemplos 1.4 a 1.5 se deduce que la operación de multiplicación de matrices tiene algunas diferencias con la multiplicación de números:

1) si el producto de matrices AB existe, entonces después de reorganizar los factores el producto de las matrices Virginia puede que no exista. De hecho, en el ejemplo 1.4 el producto matricial AB existe, pero el producto matricial BA no existe;

2) incluso si las obras AB Y Virginia existen, entonces el resultado del producto pueden ser matrices de diferentes tamaños. En el caso de que ambos funcionen. AB Y Virginia existen ambas matrices del mismo tamaño (esto solo es posible cuando se multiplican matrices cuadradas del mismo orden), entonces la ley conmutativa (conmutativa) de la multiplicación todavía no se cumple, aquellos. A B En A, como en el ejemplo 1.5;

3) sin embargo, si multiplicas la matriz cuadrada A a la matriz de identidad mi del mismo orden, entonces EA = EA = A.

Por lo tanto, la matriz identidad juega el mismo papel en la multiplicación de matrices que el número 1 en la multiplicación de números;

4) el producto de dos matrices distintas de cero puede ser igual a la matriz cero, es decir, por el hecho de que A B= 0, no se sigue que Una = 0 o B= 0.

Este tema cubrirá operaciones como sumar y restar matrices, multiplicar una matriz por un número, multiplicar una matriz por una matriz y transponer una matriz. Todos los símbolos utilizados en esta página están tomados del tema anterior.

Suma y resta de matrices.

La suma de $A+B$ de las matrices $A_(m\times n)=(a_(ij))$ y $B_(m\times n)=(b_(ij))$ se llama matriz $C_(m \times n) =(c_(ij))$, donde $c_(ij)=a_(ij)+b_(ij)$ para todos $i=\overline(1,m)$ y $j=\overline( 1,n)$.

Se introduce una definición similar para la diferencia de matrices:

La diferencia entre las matrices $A-B$ $A_(m\times n)=(a_(ij))$ y $B_(m\times n)=(b_(ij))$ es la matriz $C_(m\times n)=( c_(ij))$, donde $c_(ij)=a_(ij)-b_(ij)$ para todos $i=\overline(1,m)$ y $j=\overline(1, norte)$.

Explicación de la entrada $i=\overline(1,m)$: show\hide

La notación "$i=\overline(1,m)$" significa que el parámetro $i$ varía de 1 a m. Por ejemplo, la entrada $i=\overline(1,5)$ indica que el parámetro $i$ toma los valores 1, 2, 3, 4, 5.

Vale la pena señalar que las operaciones de suma y resta se definen solo para matrices del mismo tamaño. En general, la suma y resta de matrices son operaciones que son claras intuitivamente, porque esencialmente significan solo la suma o resta de los elementos correspondientes.

Ejemplo No. 1

Se dan tres matrices:

$$ A=\left(\begin(array) (ccc) -1 & -2 & 1 \\ 5 & 9 & -8 \end(array) \right)\;\; B=\left(\begin(array) (ccc) 10 & -25 & 98 \\ 3 & 0 & -14 \end(array) \right); \;\; F=\left(\begin(array) (cc) 1 y 0 \\ -5 y 4 \end(array) \right). $$

¿Es posible encontrar la matriz $A+F$? Encuentre las matrices $C$ y $D$ si $C=A+B$ y $D=A-B$.

La matriz $A$ contiene 2 filas y 3 columnas (en otras palabras, el tamaño de la matriz $A$ es $2\times 3$), y la matriz $F$ contiene 2 filas y 2 columnas. Los tamaños de las matrices $A$ y $F$ no coinciden, por lo que no podemos sumarlos, es decir la operación $A+F$ no está definida para estas matrices.

Los tamaños de las matrices $A$ y $B$ son iguales, es decir Los datos de la matriz contienen el mismo número de filas y columnas, por lo que la operación de suma es aplicable a ellas.

$$ C=A+B=\left(\begin(array) (ccc) -1 & -2 & 1 \\ 5 & 9 & -8 \end(array) \right)+ \left(\begin(array ) (ccc) 10 & -25 & 98 \\ 3 & 0 & -14 \end(array) \right)=\\= \left(\begin(array) (ccc) -1+10 & -2+( -25) & 1+98 \\ 5+3 & 9+0 & -8+(-14) \end(array) \right)= \left(\begin(array) (ccc) 9 & -27 & 99 \\ 8 y 9 y -22 \end(array) \right) $$

Encontremos la matriz $D=A-B$:

$$ D=A-B=\left(\begin(array) (ccc) -1 & -2 & 1 \\ 5 & 9 & -8 \end(array) \right)- \left(\begin(array) ( ccc) 10 y -25 y 98 \\ 3 y 0 y -14 \end(array) \right)=\\= \left(\begin(array) (ccc) -1-10 y -2-(-25 ) & 1-98 \\ 5-3 & 9-0 & -8-(-14) \end(array) \right)= \left(\begin(array) (ccc) -11 & 23 & -97 \ \2 y 9 y 6 \end(array) \right) $$

Respuesta: $C=\left(\begin(array) (ccc) 9 & -27 & 99 \\ 8 & 9 & -22 \end(array) \right)$, $D=\left(\begin(array) (ccc) -11 y 23 y -97 \\ 2 y 9 y 6 \end(array) \right)$.

Multiplicar una matriz por un número.

El producto de la matriz $A_(m\times n)=(a_(ij))$ por el número $\alpha$ es la matriz $B_(m\times n)=(b_(ij))$, donde $ b_(ij)= \alpha\cdot a_(ij)$ para todos $i=\overline(1,m)$ y $j=\overline(1,n)$.

En pocas palabras, multiplicar una matriz por un número determinado significa multiplicar cada elemento de una matriz determinada por ese número.

Ejemplo No. 2

La matriz está dada: $ A=\left(\begin(array) (ccc) -1 & -2 & 7 \\ 4 & 9 & 0 \end(array) \right)$. Encuentre las matrices $3\cdot A$, $-5\cdot A$ y $-A$.

$$ 3\cdot A=3\cdot \left(\begin(array) (ccc) -1 & -2 & 7 \\ 4 & 9 & 0 \end(array) \right) =\left(\begin( matriz) (ccc) 3\cdot(-1) & 3\cdot(-2) & 3\cdot 7 \\ 3\cdot 4 & 3\cdot 9 & 3\cdot 0 \end(array) \right)= \left(\begin(array) (ccc) -3 & -6 & 21 \\ 12& 27 & 0 \end(array) \right).\\ -5\cdot A=-5\cdot \left(\begin (matriz) (ccc) -1 & -2 & 7 \\ 4 & 9 & 0 \end(matriz) \right) =\left(\begin(matriz) (ccc) -5\cdot(-1) & - 5\cdot(-2) & -5\cdot 7 \\ -5\cdot 4 & -5\cdot 9 & -5\cdot 0 \end(array) \right)= \left(\begin(array) ( ccc) 5 y 10 y -35 \\ -20 y -45 y 0 \end(array) \right). $$

La notación $-A$ es una notación abreviada de $-1\cdot A$. Es decir, para encontrar $-A$ necesitas multiplicar todos los elementos de la matriz $A$ por (-1). Básicamente, esto significa que el signo de todos los elementos de la matriz $A$ cambiará al contrario:

$$ -A=-1\cdot A=-1\cdot \left(\begin(array) (ccc) -1 & -2 & 7 \\ 4 & 9 & 0 \end(array) \right)= \ izquierda(\begin(array) (ccc) 1 y 2 y -7 \\ -4 y -9 y 0 \end(array) \right) $$

Respuesta: $3\cdot A=\left(\begin(array) (ccc) -3 & -6 & 21 \\ 12& 27 & 0 \end(array) \right);\; -5\cdot A=\left(\begin(array) (ccc) 5 & 10 & -35 \\ -20 & -45 & 0 \end(array) \right);\; -A=\left(\begin(array) (ccc) 1 & 2 & -7 \\ -4 & -9 & 0 \end(array) \right)$.

Producto de dos matrices.

La definición de esta operación es engorrosa y, a primera vista, poco clara. Por tanto, primero indicaré una definición general, y luego analizaremos en detalle qué significa y cómo trabajar con ella.

El producto de la matriz $A_(m\times n)=(a_(ij))$ por la matriz $B_(n\times k)=(b_(ij))$ es la matriz $C_(m\times k )=(c_( ij))$, para lo cual cada elemento $c_(ij)$ es igual a la suma de los productos de los elementos correspondientes de la i-ésima fila de la matriz $A$ por los elementos de la j -ésima columna de la matriz $B$: $$c_(ij)=\sum\limits_ (p=1)^(n)a_(ip)b_(pj), \;\; i=\overline(1,m), j=\overline(1,n).$$

Veamos la multiplicación de matrices paso a paso usando un ejemplo. Sin embargo, debes tener en cuenta de inmediato que no todas las matrices se pueden multiplicar. Si queremos multiplicar la matriz $A$ por la matriz $B$, primero debemos asegurarnos de que el número de columnas de la matriz $A$ sea igual al número de filas de la matriz $B$ (tales matrices a menudo se llaman acordado). Por ejemplo, la matriz $A_(5\times 4)$ (la matriz contiene 5 filas y 4 columnas) no se puede multiplicar por la matriz $F_(9\times 8)$ (9 filas y 8 columnas), ya que el número de columnas de la matriz $A $ no es igual al número de filas de la matriz $F$, es decir $4\neq 9$. Pero puedes multiplicar la matriz $A_(5\times 4)$ por la matriz $B_(4\times 9)$, ya que el número de columnas de la matriz $A$ es igual al número de filas de la matriz $ B$. En este caso, el resultado de multiplicar las matrices $A_(5\times 4)$ y $B_(4\times 9)$ será la matriz $C_(5\times 9)$, que contiene 5 filas y 9 columnas:

Ejemplo No. 3

Matrices dadas: $ A=\left(\begin(array) (cccc) -1 & 2 & -3 & 0 \\ 5 & 4 & -2 & 1 \\ -8 & 11 & -10 & -5 \end (matriz) \right)$ y $ B=\left(\begin(array) (cc) -9 & 3 \\ 6 & 20 \\ 7 & 0 \\ 12 & -4 \end(array) \right) $. Encuentra la matriz $C=A\cdot B$.

Primero, determinemos inmediatamente el tamaño de la matriz $C$. Dado que la matriz $A$ tiene un tamaño $3\times 4$, y la matriz $B$ tiene un tamaño $4\times 2$, entonces el tamaño de la matriz $C$ es: $3\times 2$:

Entonces, como resultado del producto de las matrices $A$ y $B$, debemos obtener una matriz $C$, que consta de tres filas y dos columnas: $ C=\left(\begin(array) (cc) c_ (11) & c_( 12) \\ c_(21) & c_(22) \\ c_(31) & c_(32) \end(array) \right)$. Si la designación de elementos plantea dudas, entonces se puede consultar el tema anterior: “Tipos de matrices”, al principio del cual se explica la designación de elementos matriciales. Nuestro objetivo: encontrar los valores de todos los elementos de la matriz $C$.

Comencemos con el elemento $c_(11)$. Para obtener el elemento $c_(11)$, necesitas encontrar la suma de los productos de los elementos de la primera fila de la matriz $A$ y la primera columna de la matriz $B$:

Para encontrar el elemento $c_(11)$, es necesario multiplicar los elementos de la primera fila de la matriz $A$ por los elementos correspondientes de la primera columna de la matriz $B$, es decir el primer elemento al primero, el segundo al segundo, el tercero al tercero, el cuarto al cuarto. Resumimos los resultados obtenidos:

$$ c_(11)=-1\cdot (-9)+2\cdot 6+(-3)\cdot 7 + 0\cdot 12=0. $$

Continuamos con la solución y encontramos $c_(12)$. Para hacer esto, tendrás que multiplicar los elementos de la primera fila de la matriz $A$ y la segunda columna de la matriz $B$:

Similar al anterior, tenemos:

$$ c_(12)=-1\cdot 3+2\cdot 20+(-3)\cdot 0 + 0\cdot (-4)=37. $$

Se han encontrado todos los elementos de la primera fila de la matriz $C$. Pasemos a la segunda línea, que comienza con el elemento $c_(21)$. Para encontrarlo, tendrás que multiplicar los elementos de la segunda fila de la matriz $A$ y la primera columna de la matriz $B$:

$$ c_(21)=5\cdot (-9)+4\cdot 6+(-2)\cdot 7 + 1\cdot 12=-23. $$

Encontramos el siguiente elemento $c_(22)$ multiplicando los elementos de la segunda fila de la matriz $A$ por los elementos correspondientes de la segunda columna de la matriz $B$:

$$ c_(22)=5\cdot 3+4\cdot 20+(-2)\cdot 0 + 1\cdot (-4)=91. $$

Para encontrar $c_(31)$, multiplica los elementos de la tercera fila de la matriz $A$ por los elementos de la primera columna de la matriz $B$:

$$ c_(31)=-8\cdot (-9)+11\cdot 6+(-10)\cdot 7 + (-5)\cdot 12=8. $$

Y finalmente, para encontrar el elemento $c_(32)$, tendrás que multiplicar los elementos de la tercera fila de la matriz $A$ por los elementos correspondientes de la segunda columna de la matriz $B$:

$$ c_(32)=-8\cdot 3+11\cdot 20+(-10)\cdot 0 + (-5)\cdot (-4)=216. $$

Se han encontrado todos los elementos de la matriz $C$, solo queda escribir que $C=\left(\begin(array) (cc) 0 & 37 \\ -23 & 91 \\ 8 & 216 \end( matriz) \derecha)$ . O, para escribir completo:

$$ C=A\cdot B =\left(\begin(array) (cccc) -1 & 2 & -3 & 0 \\ 5 & 4 & -2 & 1 \\ -8 & 11 & -10 & - 5 \end(array) \right)\cdot \left(\begin(array) (cc) -9 y 3 \\ 6 y 20 \\ 7 y 0 \\ 12 y -4 \end(array) \right) =\left(\begin(array) (cc) 0 y 37 \\ -23 y 91 \\ 8 y 216 \end(array) \right). $$

Respuesta: $C=\left(\begin(array) (cc) 0 y 37 \\ -23 y 91 \\ 8 y 216 \end(array) \right)$.

Por cierto, a menudo no hay razón para describir en detalle la ubicación de cada elemento de la matriz de resultados. Para matrices cuyo tamaño es pequeño, puedes hacer esto:

También vale la pena señalar que la multiplicación de matrices no es conmutativa. Esto significa que en el caso general $A\cdot B\neq B\cdot A$. Sólo para algunos tipos de matrices, que se denominan permutable(o desplazamientos), la igualdad $A\cdot B=B\cdot A$ es verdadera. Precisamente en base a la no conmutatividad de la multiplicación debemos indicar exactamente cómo multiplicamos la expresión por una matriz particular: a la derecha o a la izquierda. Por ejemplo, la frase “multiplica ambos lados de la igualdad $3E-F=Y$ por la matriz $A$ de la derecha” significa que quieres obtener la siguiente igualdad: $(3E-F)\cdot A=Y\cdot A$.

Transpuesta con respecto a la matriz $A_(m\times n)=(a_(ij))$ está la matriz $A_(n\times m)^(T)=(a_(ij)^(T))$, para elementos que $a_(ij)^(T)=a_(ji)$.

En pocas palabras, para obtener una matriz transpuesta $A^T$, es necesario reemplazar las columnas de la matriz original $A$ con las filas correspondientes de acuerdo con este principio: había una primera fila, habrá una primera columna. ; había una segunda fila; habrá una segunda columna; había una tercera fila; habrá una tercera columna y así sucesivamente. Por ejemplo, encontremos la matriz transpuesta a la matriz $A_(3\times 5)$:

En consecuencia, si la matriz original tenía un tamaño de $3\times 5$, entonces la matriz transpuesta tiene un tamaño de $5\times 3$.

Algunas propiedades de las operaciones sobre matrices.

Aquí se supone que $\alpha$, $\beta$ son algunos números y $A$, $B$, $C$ son matrices. Para las primeras cuatro propiedades indiqué nombres; el resto puede nombrarse por analogía con las cuatro primeras.

1. $A+B=B+A$ (conmutatividad de la suma)
2. $A+(B+C)=(A+B)+C$ (asociatividad de la suma)
3. $(\alpha+\beta)\cdot A=\alpha A+\beta A$ (distributividad de la multiplicación por una matriz con respecto a la suma de números)
4. $\alpha\cdot(A+B)=\alpha A+\alpha B$ (distributividad de la multiplicación por un número relativa a la suma de matrices)
5. $A(BC)=(AB)C$
6. $(\alfa\beta)A=\alfa(\beta A)$
7. $A\cdot (B+C)=AB+AC$, $(B+C)\cdot A=BA+CA$.
8. $A\cdot E=A$, $E\cdot A=A$, donde $E$ es la matriz identidad del orden correspondiente.
9. $A\cdot O=O$, $O\cdot A=O$, donde $O$ es una matriz cero del tamaño apropiado.
10. $\izquierda(A^T \derecha)^T=A$
11. $(A+B)^T=A^T+B^T$
12. $(AB)^T=B^T\cdot A^T$
13. $\left(\alpha A \right)^T=\alpha A^T$

En la siguiente parte, consideraremos la operación de elevar una matriz a una potencia entera no negativa y también resolveremos ejemplos en los que es necesario realizar varias operaciones con matrices.

Este manual le ayudará a aprender cómo realizar operaciones con matrices: suma (resta) de matrices, transposición de una matriz, multiplicación de matrices, búsqueda de la matriz inversa. Todo el material se presenta de forma sencilla y accesible, se dan ejemplos relevantes, para que incluso una persona que no esté preparada pueda aprender a realizar acciones con matrices.

Para el autocontrol y la autocomprobación, puede descargar una calculadora matricial de forma gratuita >>>. Intentaré minimizar los cálculos teóricos; en algunos lugares son posibles explicaciones "con los dedos" y el uso de términos no científicos. Amantes de la teoría sólida, por favor no hagan críticas, nuestra tarea es.

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Matriz, determinante y prueba! Una matriz es una tabla rectangular de algunos elementos Una matriz es una tabla rectangular de algunos. Como Consideraremos números, es decir, matrices numéricas. ELEMENTO

es un término. Es recomendable recordar el término, aparecerá con frecuencia, no es casualidad que usé negrita para resaltarlo. Designación:

Las matrices generalmente se indican con letras latinas mayúsculas. Ejemplo:

Considere una matriz de dos por tres: Una matriz es una tabla rectangular de algunos:

Esta matriz consta de seis

Todos los números (elementos) dentro de la matriz existen por sí solos, es decir, no se trata de ninguna resta:

¡Es solo una tabla (conjunto) de números! También estaremos de acuerdo no reorganizar

números, a menos que se indique lo contrario en las explicaciones. ¡Cada número tiene su propia ubicación y no se puede mezclar!

La matriz en cuestión tiene dos filas:

y tres columnas: ESTÁNDAR : cuando se habla de tamaños de matriz, entonces en primer lugar

indique el número de filas, y solo entonces el número de columnas. Acabamos de descomponer la matriz de dos por tres. Si el número de filas y columnas de una matriz es el mismo, entonces la matriz se llama cuadrado , Por ejemplo:

– una matriz de tres por tres. Si una matriz tiene una columna o una fila, entonces dichas matrices también se denominan.

vectores

De hecho, conocemos el concepto de matriz desde la escuela; consideremos, por ejemplo, un punto con coordenadas “x” e “y”: . Básicamente, las coordenadas de un punto se escriben en una matriz de uno por dos. Por cierto, aquí tienes un ejemplo de por qué importa el orden de los números: y son dos puntos completamente diferentes en el plano. Ahora pasemos a estudiar.:

operaciones con matrices.

1) Primer acto. Eliminar un menos de la matriz (introducir un menos en la matriz) . Como probablemente habrás notado, hay demasiados números negativos en esta matriz. Esto es muy inconveniente desde el punto de vista de realizar varias acciones con la matriz, es inconveniente escribir tantas desventajas y simplemente se ve feo en el diseño.

Muevamos el menos fuera de la matriz cambiando el signo de CADA elemento de la matriz.:

En cero, como comprenderán, el signo no cambia; cero también es cero en África.

Ejemplo inverso: . Parece feo.

Introduzcamos un menos en la matriz cambiando el signo de CADA elemento de la matriz.:

Bueno, resultó mucho mejor. Y, lo más importante, será MÁS FÁCIL realizar cualquier acción con la matriz. Porque existe un signo popular tan matemático: Cuantos más inconvenientes, más confusión y errores..

2) Segundo acto. Multiplicar una matriz por un número.

Las matrices generalmente se indican con letras latinas mayúsculas.

Es simple, para multiplicar una matriz por un número, necesitas cada elemento de la matriz multiplicado por un número dado. EN en este caso- por tres.

Otro ejemplo útil:

– multiplicar una matriz por una fracción

Primero veamos qué hacer. NO HAY NECESIDAD:

NO ES NECESARIO ingresar una fracción en la matriz, en primer lugar, solo complica las acciones adicionales con la matriz y, en segundo lugar, dificulta que el maestro verifique la solución (especialmente si – respuesta final de la tarea).

Y, además, NO HAY NECESIDAD divide cada elemento de la matriz por menos siete:

Del artículo Matemáticas para tontos o por dónde empezar, recordamos que en matemáticas superiores se intenta de todas las formas posibles evitar las fracciones decimales con comas.

Lo único es preferiblemente Lo que hacer en este ejemplo es agregar un menos a la matriz:

Pero si solo TODO los elementos de la matriz se dividieron por 7 sin dejar rastro, entonces sería posible (¡y necesario!) dividir.

Las matrices generalmente se indican con letras latinas mayúsculas.

En este caso, puedes NECESITA multiplica todos los elementos de la matriz por , ya que todos los números de la matriz son divisibles por 2 sin dejar rastro.

Nota: en la teoría de las matemáticas de la escuela superior no existe el concepto de "división". En lugar de decir "esto dividido por aquello", siempre puedes decir "esto multiplicado por una fracción". Es decir, la división es un caso especial de multiplicación.

3) Tercer acto. Transposición de matriz.

Para transponer una matriz, es necesario escribir sus filas en las columnas de la matriz transpuesta.

Las matrices generalmente se indican con letras latinas mayúsculas.

Transponer matriz

Aquí solo hay una línea y, según la regla, debe escribirse en una columna:

– matriz transpuesta.

Una matriz transpuesta generalmente se indica mediante un superíndice o un número primo en la parte superior derecha.

Ejemplo paso a paso:

Transponer matriz

Primero reescribimos la primera fila en la primera columna:

Luego reescribimos la segunda línea en la segunda columna:

Y finalmente, reescribimos la tercera fila en la tercera columna:

Listo. En términos generales, transponer significa girar la matriz de lado.

4) Cuarto acto. Suma (diferencia) de matrices.

La suma de matrices es una operación sencilla.
NO TODAS LAS MATRICES SE PUEDEN DOBLAR. Para realizar sumas (restas) de matrices, es necesario que sean del MISMO TAMAÑO.

Por ejemplo, si se da una matriz de dos por dos, entonces solo se puede sumar con una matriz de dos por dos y ¡ninguna otra!

Las matrices generalmente se indican con letras latinas mayúsculas.

Agregar matrices Y

Para sumar matrices, es necesario sumar sus elementos correspondientes.:

Para la diferencia de matrices la regla es similar, es necesario encontrar la diferencia de los elementos correspondientes.

Las matrices generalmente se indican con letras latinas mayúsculas.

encontrar diferencia matricial ,

¿Cómo puedes resolver este ejemplo más fácilmente, para no confundirte? Es aconsejable deshacerse de las desventajas innecesarias; para ello, agregue un signo menos a la matriz:

Nota: en la teoría de las matemáticas de la escuela superior no existe el concepto de "resta". En lugar de decir "resta esto de esto", siempre puedes decir "suma un número negativo a esto". Es decir, la resta es un caso especial de suma.

5) Acto quinto. Multiplicación de matrices.

¿Qué matrices se pueden multiplicar?

Para que una matriz se pueda multiplicar por una matriz, es necesario de modo que el número de columnas de la matriz sea igual al número de filas de la matriz.

Las matrices generalmente se indican con letras latinas mayúsculas.
¿Es posible multiplicar una matriz por una matriz?

Esto significa que los datos matriciales se pueden multiplicar.

Pero si se reorganizan las matrices, entonces, en este caso, ¡la multiplicación ya no es posible!

Por tanto, la multiplicación no es posible:

No es tan raro encontrar tareas con un truco, cuando se le pide al estudiante que multiplique matrices, cuya multiplicación es obviamente imposible.

Cabe señalar que en algunos casos es posible multiplicar matrices de ambas formas.
Por ejemplo, para matrices, y tanto la multiplicación como la multiplicación son posibles.