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Territorio de Información Eléctrica WEBSOR. Definición de una variable de estado

V. N. Nepopálov

método de variable de estado

Tutorial

Cheliábinsk 2003

CDU 621.3.011(075.8)

Nepopalov V. N. Método de variables de estado: Libro de texto. – Nizhnevartovsk, Editorial. 2003.– 26 p.

Se considera el método de variables de estado para calcular procesos transitorios en circuitos eléctricos lineales. El libro de texto está destinado a ayudar a los estudiantes a trabajar de forma independiente en el curso "Capítulos adicionales de ingeniería eléctrica".

1. Forma normal de ecuaciones de estado 4

2. Obtención de la forma normal de las ecuaciones de estado 5

3. Ejemplos de obtención de la forma normal de ecuaciones de estado 6

4. Resolver ecuaciones de estado usando el método clásico 9

5. Usar elementos de la teoría de matrices para resolver ecuaciones de estado 15

6. Aplicación al cálculo de procesos transitorios 22

7. Preguntas del examen 24

método de variable de estado

Las variables de estado se definirán como aquellas definidas en el momento t 0 un conjunto de funciones (tensiones, enlaces de flujo, corrientes o cargas), cuyos valores, junto con los especificados parat t 0 influencias de entrada, es suficiente para determinar inequívocamente las funciones de salida para cualquier momento en el tiempot t 0 .

Como variables de estado de un circuito eléctrico, se puede seleccionar un determinado conjunto de tensiones, cargas, corrientes o conexiones de flujo, definidas estrictamente para un momento en el tiempo, es decir, en el momento inmediatamente posterior a la conmutación. Esta circunstancia limita la posibilidad de seleccionar variables de estado para voltajes o cargas en capacitores y corrientes o enlaces de flujo en inductancias, ya que los valores de estas cantidades no cambian en el momento de la conmutación. t  0:

,,,.

El número de cantidades que determinan el número de variables de estado es igual al número de condiciones físicas iniciales independientes.

1. Forma normal de ecuaciones de estado.

Variables de estado a la vez t están determinados columna-matriz
, dimensión

Utilizando variables de estado, un modelo matemático de un circuito eléctrico lineal, con parámetros independientes del tiempo, se determina mediante un conjunto de ecuaciones diferenciales:

y ecuaciones algebraicas:

Dónde incógnita(t) – matriz-columna de variables de estado con dimensión
;

columna-matriz de variables de estado derivadas;

F(t) – columna-matriz de variables de entrada o acciones de entrada especificadas;

Y(t)– columna-matriz de variables de salida;

A,EN,CON,D– matrices de cantidades conocidas, y, A– matriz cuadrada de orden norte. Dimensiones de matrices B, C, D determinado por las condiciones de una tarea específica.

Ecuaciones diferenciales de la forma

llamaremos a la forma normal de ecuaciones de estado y ecuaciones algebraicas de la forma

ecuaciones de funciones de salida.

2. Obtención de la forma normal de las ecuaciones de estado.

Para obtener la forma normal de las ecuaciones de estado.

1. Dibuje una gráfica dirigida de un diagrama de circuito eléctrico. Crea un árbol normal para este gráfico. En un árbol normal es necesario incluir todas las sucursales con contenedores y fuentes de e. d.s. Si esto no es suficiente para obtener un árbol, agregue ramas con resistencias; si esto no es suficiente para obtener un árbol, agregue ramas con inductancias. Las conexiones (cuerdas) del gráfico deben ser ramas con inductancias, fuentes de corriente y ramas resistivas que no estén incluidas en el árbol del gráfico.

2. Para cada rama del árbol, determine una sección que incluya solo una rama del árbol y un cierto conjunto de conexiones gráficas (cuerdas). El número de secciones independientes es igual al número de ramas del árbol: b t  q – 1, donde – q número de nodos. Escriba las ecuaciones de Kirchhoff para las corrientes de cada sección principal y exprese las corrientes de las ramas de los árboles a través de las corrientes de las ramas de las cuerdas. Las ecuaciones principales son aquellas que incluyen las corrientes de los condensadores (si los hay).

3. Para cada conexión, determine un contorno que incluya sólo una conexión y un determinado conjunto de ramas de árbol. El número de circuitos independientes es igual al número de conexiones: b yo  b-q+ 1, donde b– número de ramas del gráfico. Escriba ecuaciones según la segunda ley de Kirchhoff para cada circuito y exprese los voltajes en las inductancias (si las hay) en términos de los voltajes en otros elementos. Si las conexiones son ramas con fuentes de corriente, entonces al elaborar ecuaciones de estado, las ecuaciones según la segunda ley de Kirchhoff no se escriben para estos circuitos. Las ecuaciones principales son aquellas que incluyen voltajes entre inductancias.

4. Utilizando las ecuaciones restantes, excluya los voltajes y corrientes de las ramas resistivas de las ecuaciones principales. Expresar las corrientes en capacitores y voltajes en inductancias a través de voltajes en capacitores y corrientes en inductancias.

5. Sustituya las ecuaciones de los elementos en las ecuaciones básicas:

;
.

6. Transformar el sistema resultante a la forma normal de ecuaciones de estado.

7. Escriba ecuaciones algebraicas de funciones de salida.

a b c

Almacenamiento de energía - capacidad

Cálculo de procesos transitorios en circuitos con uno.

Los procesos electromagnéticos durante el proceso transitorio en dichos circuitos son causados por el suministro de energía eléctrica en la capacitancia. CON y disipación de esta energía en forma de calor sobre las resistencias activas del circuito. Al componer una ecuación diferencial, debes elegir el voltaje como función desconocida tu c en el contenedor. Cabe señalar que al calcular las condiciones de estado estacionario, es decir, al determinar las condiciones iniciales y el componente forzado, la resistencia de capacitancia en los circuitos de CC es igual a infinito.

Ejemplo 6.2. Encendido del circuito serie R, C a voltaje constante.

Cadena (Fig. 6.3, A), que consta de resistencias conectadas en serie R= 1000 ohmios y capacitancia CON= 200 µF, en algún momento conectado a voltaje constante U= 60 V. Se requiere determinar la corriente y el voltaje del capacitor durante el proceso transitorio y trazar gráficos. tu c(t),i(t).

R i R i, A tú, B

U C U C t = 0,02 s

0t 2t 3t t, Con

Solución.1. Determinamos las condiciones iniciales. Condición inicial tu c(-0) = 0, ya que el circuito se desconectó antes de cambiar (asumimos que durante un tiempo bastante largo).

2. Representamos el circuito eléctrico después de la conmutación (Fig. 6.3, b), indicamos las direcciones de la corriente y el voltaje y para ello componemos una ecuación según la segunda ley de Kirchhoff

o .

3. Transformemos la ecuación del ítem 2 en una diferencial. Para hacer esto, sustituyendo en lugar de actual. i ecuación famosa , obtenemos:

4. Buscamos la solución a la ecuación (el voltaje deseado en el capacitor) en la forma:

5. Definamos. Dado que en un circuito de CC en estado estacionario la resistencia de la capacitancia es igual a infinito (al mismo tiempo), se aplicará todo el voltaje a la capacitancia. Es por eso

u C pr =U= 60v.

6. Componemos una ecuación diferencial homogénea.

cuya solución es la función

7. Componemos la ecuación característica. RC l + 1= 0, cuya raíz es

Constante de tiempo

8. Anotemos la solución.

9. Según la segunda ley de conmutación y condiciones iniciales.

10. Determinemos la constante de integración. A por sustitución t=0 en el elemento 8 de la ecuación

Tensión de capacitancia durante el proceso transitorio.

11. La corriente en el circuito se puede determinar mediante la ecuación.

o según ecuación punto 2

Gráficos tu c(t) Y i(t) se presentan en la Fig. 6.3, V.

Los valores instantáneos de corrientes y voltajes que determinan el estado energético de un circuito eléctrico se denominan variables en este método, y el método en sí se denomina método de variables de estado.

Este método se basa en elaborar un sistema de ecuaciones diferenciales y, por regla general, resolverlas numéricamente utilizando una computadora.

Aquí, las variables que no tienen discontinuidades deben tomarse como incógnitas, es decir no debería haber cambios abruptos en estas cantidades a lo largo del tiempo. Por lo tanto, tales variables deben ser actuales. i y enlace de flujo en inductancia, voltaje y carga en capacitancia. De lo contrario, al resolver numéricamente derivadas en puntos donde hay una discontinuidad, aparece un valor infinitamente grande, lo cual es inaceptable.

Existen varios métodos numéricos para calcular ecuaciones diferenciales. Estos son los métodos de Euler, Runge-Kutta y otros, que se diferencian entre sí en la precisión de los cálculos, el volumen y el tiempo de los cálculos. Además, cuanto mayor sea la precisión de los cálculos, más tiempo llevará resolverlos.

1. Determinar las condiciones iniciales.

2. Crea un sistema de ecuaciones diferenciales.

3. Expresar todas las variables en las ecuaciones del párrafo 2 a través de corrientes o enlaces de flujo en inductancias y voltajes o cargas en capacitores.

4. Reduzca todas las ecuaciones del paso 3 a la forma normal de Cauchy.

Facultad de Automática y Electromecánica

Departamento de Ingeniería Eléctrica Teórica y General

PROCESOS TRANSITORIOS EN CIRCUITOS ELÉCTRICOS LINEALES

(Método de variable de estado)

Pautas para completar el trabajo del curso.

Compilado por A.A.

Ed. profe. Altunin B.Yu.

N. Novgorod, 2010

Método de variable de estado.

El método de las variables de estado se basa en la posibilidad fundamental de sustituir la ecuación diferencial. norteésimo orden del circuito eléctrico norte ecuaciones diferenciales de primer orden. Las corrientes de inductancia y los voltajes en los capacitores se toman como variables de estado, que determinan de manera única la reserva de energía del circuito en cualquier momento. El sistema de ecuaciones de estado se puede representar como una ecuación matricial:

Dónde: – matriz columnar (vector) de n variables de estado;

– matriz de columnas (vector) de n primeras derivadas de variables de estado;

- una matriz cuadrada de tamaño , cuyos elementos están determinados por los coeficientes de la ecuación diferencial del circuito;

Vermont)– matriz columnar (vector) metro influencias independientes;

B– una matriz de tamaño, cuyos elementos dependen de los parámetros del circuito y de su estructura;

– una matriz columnar, cuyos elementos dependen de influencias, estructura y parámetros independientes del circuito.

La formación de un sistema de ecuaciones diferenciales para un circuito se basa en el uso de ecuaciones diferenciales para variables de estado, según las cuales

El cálculo de circuitos mediante el método del estado variable se puede dividir en dos etapas:

1) En la primera etapa se componen. sistema de ecuaciones diferenciales de un circuito;

2) En la segunda etapa resolver el sistema compilado de ecuaciones diferenciales;

La solución de un sistema de ecuaciones diferenciales compilado por el método de variables de estado se puede realizar de dos formas: analítica y numérica.

Con el método analítico la solución de las ecuaciones de estado se escribe como la suma de las matrices de las componentes forzada y libre:

Dónde: – corresponde a la reacción del circuito ante influencias externas en condiciones iniciales cero;

– matriz (vector) de valores iniciales de variables de estado obtenidas con ;

– función exponencial matricial.

– corresponde a la reacción de la cadena, condicionada por condiciones iniciales distintas de cero; en ausencia de influencias externas V=0;

Si no hay fuentes de energía en el circuito después de la conmutación, es decir , entonces la solución de la ecuación matricial tiene la forma:

Si después de la conmutación hay fuentes de influencias independientes, entonces la matriz y la integración de la ecuación matricial conduce a una solución de la forma:

que consta de la suma de dos términos: la reacción de la cadena en condiciones iniciales distintas de cero y la reacción de la cadena en condiciones iniciales cero y la presencia de fuentes de influencias externas

Al resolver numéricamente ecuaciones de estado, se utilizan varios programas de integración numérica. en una computadora: el método de Runge-Kutta, el método de Euler, el método trapezoidal, etc. Por ejemplo, el paquete de software MathCAD contiene programas para la solución numérica de ecuaciones diferenciales modificadas por el método de Euler y el método de Runge-Kutta. Dado que el error de solución por el método de Euler alcanza varios porcentajes, es más preferible el método de Runge-Kutta, que al resolver ecuaciones de cuarto orden da un error , donde es el paso de incremento de la variable. Este método proporciona control de la precisión de los cálculos en cada paso de integración y ajuste del software del paso.

En el sistema MatchCAD, el programa para integrar ecuaciones mediante el método Runge-Kutta tiene el nombre rkfijado. Se accede a ella mediante la operación de asignación a una variable (en adelante z) nombre del programa:

Dónde: incógnita– vector de variables de estado, cuyo tamaño está determinado por el vector de valores iniciales y corresponde al número de ecuaciones de estado;

0 y – el comienzo y el final del intervalo de tiempo de integración;

norte– número de puntos en el intervalo de integración;

D– una función que describe el lado derecho de las ecuaciones resueltas con respecto a las primeras derivadas.

Para circuitos lineales la función D tiene la forma de una transformación matricial lineal , Dónde A– matriz cuadrada de coeficientes, que están determinados por la estructura del circuito y los parámetros de los elementos; F– vector de variables independientes, cuyos elementos están determinados por influencias de entrada. Todos los elementos de la matriz A Y F debe ser definido antes de acceder al programa rkfijado.

Matriz z tiene tamaño , donde la primera columna (cero) corresponde a valores de tiempo discretos. Las columnas restantes de esta matriz corresponden a los valores de las variables de estado: , donde índice i varía de 1 a norte.

Para controlar la exactitud de la especificación de los datos de origen, puede (pero no necesariamente) consultar el programa para determinar los valores propios de la matriz. A: valores propios (A). Este programa muestra información sobre los valores propios que coinciden con las raíces de la ecuación característica del circuito. Una condición necesaria, pero no suficiente, para la exactitud de la entrada de datos es un conjunto de valores propios negativos (o números conjugados complejos con una parte real negativa).

Veamos ahora algunas formas elaboración de ecuaciones diferenciales circuitos utilizando el método de la variable de estado. Para estos fines, se utilizan con mayor frecuencia dos métodos principales:

1) uso de las leyes de Kirchhoff;

2) uso del método de superposición.

Veamos el uso de estos métodos usando algunos ejemplos.

Ejemplo 1. Es necesario componer ecuaciones de estado y resolverlas para un circuito de circuito único de segundo orden cuando la fuente de voltaje E está apagada. El diagrama del circuito se muestra en la Figura 1 (a), y los parámetros de sus elementos tienen los siguientes valores. : E = 40 V; r=40 ohmios; L=1 Gn; C=500uF.

Solución. Veamos el circuito equivalente del circuito para un momento arbitrario. t, que se muestra en la Figura 1 (b). En este diagrama la capacidad CON reemplazado por una fuente de voltaje constante, y la inductancia l– fuente actual. El circuito equivalente resultante contiene solo resistencia r, fuente de corriente y fuente de voltaje.

Figura 1. Inicial ( A) y calculado ( b) diagramas de circuitos, por ejemplo 1.

Para el circuito resultante, puedes crear ecuaciones usando las leyes de Kirchhoff:

De dónde lo encontramos:

De estas ecuaciones obtenemos el valor de las primeras derivadas de las variables de estado:

Usando lo cual, escribimos la ecuación matricial de la cadena:

Al usar el programa rkfijado esta ecuación se escribe como:

Esta ecuación matricial también debe complementarse con una matriz de estados iniciales del circuito, que incluye el voltaje a través del capacitor y la corriente en la inductancia en el momento de la conmutación (es decir, en t=0_):

Se utiliza para comenzar el proceso de integración de las ecuaciones diferenciales del circuito.

Antes de usar el programa de integración rkfijado definimos mediante la operación de asignación los valores de las siguientes cantidades:

1) coeficientes matriciales A:

2) valores del vector de estados iniciales de variables

3) número de puntos de integración;

4) una representación matricial formalizada de las ecuaciones de estado, siempre que F=0;

5) valor final del intervalo de tiempo.

El intervalo de tiempo de integración requerido se puede estimar a partir de los valores propios de la matriz. A accediendo al programa valores propios (A). En el ejemplo considerado, hay dos números conjugados complejos cuyas partes reales son iguales e iguales. Esta parte del número complejo determina el coeficiente de atenuación y está directamente relacionada con la duración del proceso transitorio mediante la fórmula. Para mayor claridad, en el ejemplo considerado, se eligió que el intervalo de integración fuera dos veces mayor .

Formulario para registrar datos fuente para el programa. rkfijado y los resultados del cálculo se muestran en la Figura 2. Dado que las variables de estado se miden en diferentes unidades y pueden diferir significativamente entre sí, al construir gráficos es necesario indicar los factores de escala. Por ejemplo, para la gráfica de una variable se utiliza un factor de escala de 100. Para obtener el valor real de la corriente, los valores medidos a lo largo del eje de ordenadas deben dividirse por 100.

De los gráficos obtenidos se deduce que el proceso transitorio en el circuito es de naturaleza oscilatoria y ambas funciones decaen gradualmente hasta cero a medida que aumenta el tiempo. t.

Figura 2. Resultados del cálculo para el ejemplo 1.

Ejemplo 2. Cree ecuaciones para las variables de estado y calcúlelas al cerrar la tecla K en el circuito de segundo orden que se muestra en la Figura 3(a). Los parámetros de los elementos del circuito tienen los siguientes valores: A; r1 =r2 =50 ohmios; L = 5 mH; C=0,1 µF.

Solución. El proceso transitorio en el circuito considerado surge como resultado de la redistribución de energía entre la inductancia. l y capacidad do después de conectar la resistencia r 1. Usando la primera ley de Kirchhoff, determinamos la corriente en la capacitancia. CON:

a) b)

Figura 3. Inicial ( A) y calculado ( b) esquemas por ejemplo 2.

De manera similar, usando la segunda ley de Kirchhoff, encontramos el voltaje a través de la inductancia:

Combinemos estas ecuaciones en un sistema para variables de estado:

Escribimos el sistema de ecuaciones resultante en forma matricial:

Luego de sustituir los valores numéricos de los parámetros de los elementos, obtenemos las ecuaciones de estado en la forma:

Para determinar el vector de valores iniciales, encontramos el voltaje en el capacitor y la corriente en la inductancia antes de cerrar la tecla K:

Así, el vector de valores iniciales de variables de estado tiene la forma:

El circuito equivalente para calcular los valores de las variables de estado se muestra en la Figura 3(b). En este diagrama, la capacitancia se reemplaza por una fuente de voltaje y la inductancia se reemplaza por una fuente de corriente. Los valores de estas cantidades cambian en cada paso de integración.

Resolveremos las ecuaciones de estado usando el programa rkfixed, parte del sistema MathCAD. Para ello asignamos los siguientes valores a las variables de estado: y escribimos las ecuaciones de estado en la forma:

donde los valores de los coeficientes pueden tomarse de las ecuaciones de estado calculadas anteriormente e incluirse en el programa constante o determinarse mediante operaciones de asignación en el propio programa.

Formulario para especificar datos iniciales para el cálculo según el programa. rkfijado se muestra en la Figura 4. Significado N=5000 se especifica arbitrariamente, ya que solo afecta el tiempo de ejecución del cálculo y la precisión. La precisión del cálculo se puede evaluar indirectamente comparando los resultados de la integración de dos valores. norte=norte 1 Y norte 1/2. Si los resultados de los cálculos en estos puntos coinciden, entonces la precisión de los cálculos y el número de puntos de integración en el intervalo tk está dentro de límites aceptables.

Mediante la operación de asignación también definimos el vector de valores iniciales. incógnita y un vector de fuentes independientes F. Intervalo de tiempo tk se puede especificar arbitrariamente o seleccionar aproximadamente analizando los números de matriz A.

Para un proceso aperiódico que existe en el circuito considerado, se debe elegir el valor propio absoluto más pequeño pmín y usa la fórmula tk =3/pmín. De dos valores propios página 1=-1,888E5 1/s; p2=-2.118E4 1/c tiene un valor menor p2, Es por eso tk=3/2.118E4=1.42E-4s.

Selección de intervalo tk También se puede realizar analizando las constantes de tiempo de circuitos de primer orden, que se pueden construir a partir del circuito original eliminando secuencialmente los elementos reactivos. En este caso, de las constantes de tiempo encontradas, se debe seleccionar la que tenga el valor máximo y, con ella, calcular

Los gráficos de dependencia del tiempo se muestran en la Figura 4. Para la variable, se utiliza un factor de escala de 100. De estos gráficos se puede ver que el voltaje en el capacitor varía de. a nivel, y la corriente en la inductancia es de a.

Figura 4. Resultados del cálculo para el ejemplo 2.

Ejemplo 3. Cree ecuaciones para variables de estado y calcule el proceso transitorio en el circuito de tercer orden que se muestra en la Figura 5(a) cuando el interruptor K está cerrado. Los parámetros de los elementos del circuito tienen los siguientes valores: E = 120 V; r 1 =r 3 =r 4 =1 ohmio; r2 =r5 =2 ohmios; L1 = 1 mH; L2 = 2 mH; C=10 µF.

a) b)

Figura 5. Inicial ( A) y calculado ( b) esquemas por ejemplo 3.

Solución. El proceso transitorio en el circuito es causado por la redistribución de energía por los elementos reactivos del circuito después de cambiar el interruptor. A. La Figura 5(b) muestra un circuito equivalente en el que los elementos reactivos se reemplazan por fuentes de voltaje y corriente. Las direcciones positivas de estas fuentes son consistentes con el esquema original. Al calcular el circuito equivalente se deben determinar los voltajes en las fuentes de corriente y la corriente en el capacitor, ya que determinan las derivadas de las variables de estado. Al calcular estas cantidades usaremos principio de superposición, según el cual la reacción de una cadena lineal se puede determinar como la suma de reacciones de fuentes individuales. Para hacer esto, considere cuatro circuitos particulares que se muestran en la Figura 6, en cada uno de los cuales opera solo una de las fuentes incluidas en el circuito que se muestra en la Figura 5 (b).

Cálculo de procesos transitorios en circuitos eléctricos lineales mediante el método de variables de estado.

Este es el método más universal para calcular circuitos lineales y no lineales. El método se utiliza para calcular circuitos de alto orden cuando el uso de otros métodos de cálculo no es práctico o prácticamente imposible. El método de variables de estado se basa en la resolución de ecuaciones de estado (primer orden) escritas en forma de Cauchy. Para resolver un sistema de ecuaciones de primer orden se han desarrollado métodos numéricos que permiten automatizar el cálculo de procesos transitorios con un ordenador. Así, el método de variables de estado es uno de los cálculos de procesos transitorios, enfocado principalmente al uso de computadoras.

Para un circuito lineal con parámetros concentrados constantes, la corriente de cada rama, el voltaje entre los terminales, la carga en las placas, el capacitor, etc. se puede encontrar como la solución a la ecuación diferencial compilada para esta corriente, voltaje, carga, etc., excluyendo otras corrientes y tensiones del sistema de ecuaciones de Kirchhoff:

Introduciendo variables

La ecuación (1.1) se reduce a un sistema equivalente de ecuaciones diferenciales de primer orden:

(1.2)

Aquí las variables, que se denominan variables de estado, son la variable X y sus derivadas. Se supone que el circuito tiene solo fuentes independientes y no contiene secciones inductivas ni circuitos capacitivos. De lo contrario, escribir ecuaciones se vuelve mucho más difícil.

1. Formación de ecuaciones de variables de estado.

El estado energético del circuito y, por tanto, el proceso transitorio en cualquier circuito, está determinado por la energía del campo magnético almacenada en las inductancias y la energía del campo eléctrico almacenada en los condensadores. Las reservas de energía en los elementos reactivos determinan las corrientes en las inductancias y los voltajes en los condensadores, es decir Determinan el estado energético del circuito y, por tanto, se toman como variables de estado independientes.

Cualquier sistema de ecuaciones que determine el estado de un circuito se llama ecuaciones de estado. Corrientes en elementos inductivos. y voltaje en elementos capacitivos
representan condiciones iniciales independientes
cadenas y deben ser conocidas o calculadas. A través de ellos se expresan las cantidades requeridas durante el proceso de transición.

Las fuentes de energía operativas generalmente se denominan cantidades de entrada.
y las cantidades deseadas (corrientes y voltajes) - cantidades de salida
.

Para cadena con norte corrientes independientes y destaca
También se debe especificar norte condiciones iniciales independientes. Para operaciones con una gran cantidad de variables, se utilizan métodos de cálculo matricial.

Las ecuaciones diferenciales de estado abreviadas que describen el circuito según las leyes de Kirchhoff se escriben en forma matricial:

, (1.3)

donde X es un vector de columna (tamaño n x 1) de variables de estado arbitrarias; V es un vector de columna (tamaño m x 1) de influencias externas (EMF y corrientes fuente); A - matriz cuadrada de orden n (principal); B es la matriz de conexión entre las entradas del circuito y las variables de estado (tamaño n x m). Los elementos de estas matrices están determinados por la topología y los parámetros del circuito.
, m es el número de entradas, n es el número de variables de estado.

Para cantidades de salida (si no se determinan las corrientes en las inductancias y los voltajes en los elementos capacitivos), es necesario agregar otra ecuación en forma matricial:

(1.4)

donde Y es un vector - una columna de las corrientes y voltajes deseados en la salida (tamaño 1 x 1), 1 - el número de salidas; C es la matriz de conexión entre variables de estado y salidas del circuito (n x 1); D - matriz de conexión directa de entradas y salidas del circuito (tamaño 1 x m). Los elementos de las matrices dependen de la topología y los valores de los parámetros del circuito.
.

Sistema de ecuaciones matriciales

;
(1.5)

se puede presentar en forma de diagrama de bloques (Fig. 1.3).

1.1. Elaboración de ecuaciones de estado para un circuito.

método de superposición

Deje que se proporcione el diagrama del circuito después de la conmutación.

Supondremos que las variables de estado están especificadas. Después de cambiar, reemplazamos el circuito considerado (Fig.2) por uno equivalente (Fig.3), que tiene una corriente determinada. representado por una fuente actual , establecer voltaje
fuente de voltaje
.

Usando el método de superposición (se seleccionan direcciones positivas), escribimos los voltajes
y corrientes
(primero tomamos en cuenta la acción de la fuente entonces
y otras fuentes que actúan en el circuito).

De la acción :

;
;

de la acción
:

;
;

de la acción e:

;
,

y la corriente total
y voltaje.

(1.6)

considerando que
Y
obtenemos

es decir, en forma matricial escribimos la ecuación (1.7)

(1.8)

1.2. Elaboración de ecuaciones de estado para un circuito utilizando

las leyes de kirchhoff

Las ecuaciones (1.7) también se pueden obtener a partir de las ecuaciones de Kirchhoff excluyendo las corrientes y tensiones de los elementos resistivos. De acuerdo con las leyes de Kirchhoff, escribimos las ecuaciones del circuito (ver Fig. 2) en la forma

(1.9)

Resolvamos la primera ecuación del sistema con respecto a , en tercer lugar, considerando que
, relativamente . Entonces

(1.10)

variables
Y son las variables de estado del circuito en cuestión. En el lado derecho del sistema (1.10) hay una variable , no ser una variable de estado independiente. Para eliminarlo, reescribimos la segunda ecuación del sistema (1.9) en la forma

(1.11)

y ponlo aquí
.

El valor actual obtenido de (1.11)

(1.12)

Sustituyámoslo en el sistema (1.10).

Obtenemos un sistema de ecuaciones en variables de estado.
para el circuito en estudio

(1.13)

donde X, X, V, A, B corresponden al sistema de ecuaciones (1.7).

Dejemos que en el ejemplo considerado sea necesario determinar las corrientes. Y . Por eso Y serán las cantidades de salida del circuito y deben representarse en la forma
,
.Actual ya ha sido definido en la forma requerida (1.12), y el actual
.Entonces el segundo sistema de ecuaciones en variables de estado.
tomará la forma

(1.14)

En forma matricial, el sistema de ecuaciones (1.14) se escribirá en la forma

(1.15)

En el caso especial, si las variables de salida son variables de estado
entonces la matriz C toma la forma de una matriz diagonal y los elementos de la matriz D son iguales a cero.

Las ecuaciones de estado se resuelven en computadoras utilizando métodos numéricos.

Las ecuaciones de estado de un circuito eléctrico son cualquier sistema de ecuaciones diferenciales que describe el estado (modo) de un circuito determinado. Por ejemplo, el sistema de ecuaciones de Kirchhoff es la ecuación de estado del circuito para el que está compilado.

En un sentido más estricto, en matemáticas, las ecuaciones de estado son un sistema de ecuaciones diferenciales de primer orden resueltas con respecto a derivadas (forma de Cauchy). El sistema de ecuaciones de estado en forma generalizada tiene la forma:

El mismo sistema de ecuaciones en forma matricial:

o en forma matricial generalizada:

El sistema de ecuaciones de estado de la forma de Cauchy se resuelve mediante el método de integración numérica (método de Euler o método de Runge-Kutta) en una computadora utilizando un programa estándar, que debe estar en el paquete de programa estándar. En ausencia de dicho programa en el paquete, se puede compilar fácilmente utilizando el siguiente algoritmo (método de Euler) para el k-ésimo paso:

Valores de derivadas en el k-ésimo paso:

Valores de variables en el késimo paso:

Para determinar los valores de las variables y sus derivadas en el primer paso de integración, se utilizan sus valores en el momento t = 0, es decir sus condiciones iniciales x1(0), x2(0)...xn(0).

Las ecuaciones de estado de la forma de Cauchy para un circuito dado se pueden obtener a partir del sistema de ecuaciones de Kirchhoff transformándolas. Para ello: a) del sistema de ecuaciones de Kirchhoff, utilizando el método de sustitución, se excluyen las variables “extra” que tienen condiciones iniciales dependientes y se dejan las variables iL(t) y uC(t), que no cambian abruptamente y tienen condiciones iniciales independientes iL (0) y uC(0); b) las ecuaciones restantes se resuelven con respecto a las derivadas y se reducen a la forma de Cauchy.

En el caso de circuitos complejos, las ecuaciones de estado de las formas de Cauchy pueden construirse mediante métodos topológicos utilizando matrices de conexión [A] y [B].

La secuencia de cálculo del proceso transitorio utilizando el método de variable de estado se ve así:

1. El circuito se calcula en estado estacionario antes de la conmutación y se determinan las condiciones iniciales independientes iL(0) y uC(0).

2. Se compila un sistema de ecuaciones diferenciales de acuerdo con las leyes de Kirchhoff para el circuito después de la conmutación.

3. Al eliminar las variables “extra”, el sistema de ecuaciones de Kirchhoff se transforma en un sistema de ecuaciones de Cauchy y se compilan matrices de coeficientes.

4. Se selecciona el tiempo estimado (duración del proceso de transición) y el número de pasos de integración N.

5. El problema se resuelve en una computadora usando un programa estándar. La función de salida se obtiene en forma de diagrama gráfico x=f(t) o en forma de tabla de coordenadas de funciones para momentos dados.

Ejemplo. Para el diagrama de la Fig. 74.1 con los parámetros dados de los elementos (e(t)=Emsin(ωt+ψE), R, R1, R2, R3, L1, L2, C), calcular el proceso transitorio y determinar la función uab(t).

1. El circuito se calcula en un estado estacionario de corriente alterna antes de la conmutación y se determinan las condiciones iniciales i1(0), i2(0), uC(0).

2. Se compila un sistema de ecuaciones diferenciales según las leyes de Kirchhoff: