Función. El dominio de definición y el rango de valores de una función. Gráficos de funciones. Rango de funciones (conjunto de valores de funciones). Conceptos necesarios y ejemplos de búsqueda.

L. es el creador de las bases de la lengua moderna. El estudio de la lengua fue un área de interés importante para L. Él mismo conocía 8 idiomas. Durante su infancia, L. estudió eslavo eclesiástico. Fue considerado el idioma cultural y oficial del Imperio Ruso.
Mientras estudiaba en Alemania, L. vio el poder de una única lengua literaria alemana y lo proyectó en la realidad rusa. A mediados del siglo XVIII, la élite rusa era bilingüe. Dos idiomas funcionaban simultáneamente, pero en diferentes ámbitos. vida: eslavo eclesiástico y ruso El primero era prestigioso, utilizado en esferas altas y no domésticas: en la iglesia, en libros, en documentos gubernamentales, en la educación y la ciencia. Pero el ruso no tenía un estatus prestigioso y se usaba en la vida cotidiana. vida, en notas, en contratos, anuncios, etc.) La lengua rusa no tenía estatus oficial, no se enseñaba en las escuelas. La élite la llamaba campesina, grosera, inexpresiva. Los extranjeros que visitaban el imperio decían que tenían que hablar. Ruso y escribe esloveno.
El lenguaje escrito de esa época es una mezcla de eslavos eclesiásticos, palabras comunes, dialectos, arcaísmos, vulgarismos, préstamos científicos y especiales no estaban en el idioma.
La élite hablaba idiomas extranjeros (desde que Peter abrió una ventana a Europa). En una palabra, el idioma no tenía sistema, lógica ni orden.
La gran misión de L. es crear trabajos sobre lingüística que determinaron las leyes y reglas para el desarrollo de la lengua rusa.
¿Qué misión cumplió M.V. Lomonosov en relación con la lengua rusa y la cultura en general? Así lo demuestran los títulos de sus obras lingüísticas: 
Una breve guía de retórica (1743); 
Retórica (1748); 
Gramática rusa (1755).
Estos trabajos se combinan en un volumen de materiales didácticos.
La principal obra de L. como lingüista es "Gramática rusa". Esta es la primera gramática normativa completa del idioma ruso, que sentó las bases del idioma moderno. idioma.L. en él definió claramente las normas del idioma, la composición de los sonidos, la pronunciación, la ortografía y la gramática (la doctrina de las partes del discurso). Tomó como base el dialecto de Moscú. L. dijo: “El dialecto de Moscú, no solo para el. La importancia de la capital, pero también por su excelente belleza, es con razón preferida a otras "
Su trabajo tuvo una gran demanda. A lo largo de 30 años, la Gramática se volvió a publicar cinco veces.
L desarrolló un sistema estilístico de lenguas, conocido como la teoría de los 3 estilos: alto, medio y bajo, L. determinó el ámbito de uso de cada estilo.
El idioma ruso para L. es objeto de reforma, sistematización, codificación. El científico también dio ejemplos del uso del lenguaje en la práctica: en trabajos científicos, conferencias públicas, tratados, poemas. Fue después de L. que aparecieron los primeros clásicos nacionales: Fonvizin, Karamzin, Derzhavin, I. mundo: Pushkin, Lermontov, Gogol
L. luchó por la expansión del uso de la lengua rusa en el campo de la ciencia. El habla rusa comenzó a sonar dentro de los muros de la Academia de Ciencias: L. Obtuvo permiso para dar conferencias sobre física y química en ruso, desarrollando terminología y estilo científico.
La gramática rusa "L. sirvió de modelo para escribir muchas gramáticas de otros pueblos.
"Así, la actividad filológica de M.V. Lomonosov dio un gran impulso no sólo al estudio de la lengua rusa, sino también a muchas otras lenguas del Estado ruso"

Definición
Función y = f (incógnita) se llama ley (regla, mapeo), según la cual, cada elemento x del conjunto X está asociado con uno y solo un elemento y del conjunto Y.

El conjunto X se llama dominio de la función.
Conjunto de elementos y ∈ Y, que tiene preimágenes en el conjunto X, se llama conjunto de valores de función(o rango de valores).

Dominio de definición Las funciones a veces se llaman conjunto de definiciones o muchas tareas funciones.

Elemento x ∈X llamado argumento de función o variable independiente.
Elemento y ∈ Y llamado valor de la función o variable dependiente.

El mapeo f en sí se llama característica de la función.

La característica f tiene la propiedad de que si dos elementos y del conjunto de definición tienen valores iguales: , entonces .

El símbolo que denota la característica puede ser el mismo que el símbolo del elemento de valor de función. Es decir, puedes escribirlo así: .

Vale la pena recordar que y es un elemento del conjunto de valores de la función y es la regla por la cual el elemento x se asocia con el elemento y.

El proceso de calcular una función en sí consta de tres pasos. En el primer paso, seleccionamos un elemento x del conjunto X. A continuación, utilizando la regla, el elemento x se asocia con un elemento del conjunto Y.

En el tercer paso, este elemento se asigna a la variable y. Valor privado de la función.

llamar al valor de una función dado un valor seleccionado (particular) de su argumento.

Definición
Dejemos que las funciones y se den. Además, el dominio de definición de la función f contiene un conjunto de valores de la función g.: .

Entonces cada elemento t del dominio de definición de la función g corresponde a un elemento x, y este x corresponde a y. Esta correspondencia se llama función compleja

Una función compleja también se llama

composición o superposición de funciones

y a veces se denota de la siguiente manera: .
En el análisis matemático, generalmente se acepta que si una característica de una función se denota con una letra o símbolo, entonces especifica la misma correspondencia. Sin embargo, en otras disciplinas existe otra forma de notación, según la cual las asignaciones con la misma característica, pero con diferentes argumentos, se consideran diferentes. Es decir, los mapeos se consideran diferentes. Pongamos un ejemplo de la física. Digamos que consideramos la dependencia del impulso de las coordenadas.
Y tengamos una dependencia de las coordenadas en el tiempo.
Entonces la dependencia del impulso del tiempo es una función compleja.

Pero, por brevedad, se designa de la siguiente manera: .

Con este enfoque, y son funciones diferentes. Dados los mismos valores de argumento, pueden dar valores diferentes. Esta notación no se acepta en matemáticas. Si se requiere una reducción, se debe introducir una nueva característica. Por ejemplo . Entonces se ve claramente que y son funciones diferentes. Funciones válidas

El dominio de una función y el conjunto de sus valores pueden ser cualquier conjunto. Por ejemplo, las sucesiones numéricas son funciones cuyo dominio es el conjunto de los números naturales, y el conjunto de valores son los números reales o complejos.

El producto vectorial también es una función, ya que para dos vectores solo hay un valor del vector.

Aquí el dominio de definición es el conjunto de todos los pares posibles de vectores.

La función real se llama limitado desde arriba (desde abajo), si hay un número M tal que la desigualdad se cumple para todos:
.

La función numérica se llama limitado, si existe un número M tal que para todos:
.

Máximo M (mínimo m) función f, en algún conjunto X, el valor de la función se llama para algún valor de su argumento, en el cual para todos,
.

borde superior o límite superior exacto Una función real acotada arriba es el número más pequeño que limita su rango de valores desde arriba. Es decir, se trata de un número s para el cual, para todos y para cualquiera, existe un argumento cuyo valor de función excede s′: .
El límite superior de una función se puede denotar de la siguiente manera:
.

El límite superior de una función acotada superior

Borde inferior o límite inferior exacto Una función real acotada desde abajo es el número más grande que acota su rango de valores desde abajo. Es decir, se trata de un número i para el cual, para todos y para cualquiera, existe un argumento cuyo valor de función es menor que i′: .
El mínimo de una función se puede denotar de la siguiente manera:
.

El mínimo de una función acotada inferior es el punto en el infinito.

Por tanto, cualquier función real, en un conjunto X no vacío, tiene un límite superior y un límite inferior. Pero no todas las funciones tienen un máximo y un mínimo.

Como ejemplo, considere una función definida en un intervalo abierto.
Está limitado, en este intervalo, desde arriba por el valor 1 y debajo - el valor 0 :
para todos.
Esta función tiene un límite superior e inferior:
.
Pero no tiene máximo ni mínimo.

Si consideramos la misma función en el segmento, entonces en este conjunto está limitada por arriba y por abajo, tiene límites superior e inferior y tiene un máximo y un mínimo:
para todos;
;
.

Funciones monótonas

Definiciones de funciones crecientes y decrecientes.
Dejemos que la función se defina sobre algún conjunto de números reales X. La función se llama
.
estrictamente creciente (estrictamente decreciente) La función se llama no decreciente (no creciente)
.

, si para todos tales que se cumpla la siguiente desigualdad:
estrictamente creciente (estrictamente decreciente) Definición de función monótona monótono

, si no es decreciente o no creciente.

Funciones multivalor

Un ejemplo de una función multivaluada. Sus ramas están indicadas con diferentes colores. Cada rama es una función.

Como ejemplo, considere la función arcoseno: . es la inversa de la funcion seno
(1) .
y se determina a partir de la ecuación:

Para un valor dado de la variable independiente x, perteneciente al intervalo, esta ecuación se satisface con infinitos valores de y (ver figura).
(2) .
Impongamos una restricción a las soluciones de la ecuación (1). Dejar

Bajo esta condición, un valor dado corresponde a una sola solución de la ecuación (1). Es decir, la correspondencia definida por la ecuación (1) bajo la condición (2) es una función.
En lugar de la condición (2), puede imponer cualquier otra condición de la forma: ,
(2.n) donde n es un número entero. Como resultado, para cada valor de n, obtendremos nuestra propia función, diferente de las demás. Muchas funciones similares son función multivalor . Y la función determinada a partir de (1) bajo la condición (2.n) es.

rama de una función multivaluada

Este es un conjunto de funciones definidas en un conjunto determinado. Rama de función multivalor

es una de las funciones incluidas en la función multivalor. Función de un solo valor

es una función.
Literatura usada:
O.I. Besov. Conferencias sobre análisis matemático. Parte 1. Moscú, 2004.
L.D. Kudryavtsev. Curso de análisis matemático. Volumen 1. Moscú, 2003.

CENTÍMETRO. Nikolski. Curso de análisis matemático. Volumen 1. Moscú, 1983. Función

y=f(x) es una dependencia de la variable y de la variable x, cuando cada valor válido de la variable x corresponde a un único valor de la variable y. Dominio de definición de funciones

D(f) es el conjunto de todos los valores posibles de la variable x. Rango de funciones

E(f) es el conjunto de todos los valores admisibles de la variable y. Gráfica de una función

y=f(x) es un conjunto de puntos en el plano cuyas coordenadas satisfacen una dependencia funcional dada, es decir, puntos de la forma M (x; f(x)). La gráfica de una función es una recta en un plano. Si b=0, entonces la función tomará la forma y=kx y será llamada.

proporcionalidad directa

D(f) : x \en R;\enspace E(f) : y \en R

La gráfica de una función lineal es una línea recta.

La pendiente k de la recta y=kx+b se calcula mediante la siguiente fórmula:

k= tan \alpha, donde \alpha es el ángulo de inclinación de la línea recta con respecto a la dirección positiva del eje Ox.

1) La función aumenta monótonamente para k > 0.

Por ejemplo: y=x+1< 0 .

2) La función disminuye monótonamente cuando k

Por ejemplo: y=-x+1

3) Si k=0, entonces dando b valores arbitrarios, obtenemos una familia de rectas paralelas al eje Ox.

Por ejemplo: y=-1

Proporcionalidad inversa Proporcionalidad inversa llamada función de la forma y=\frac (k)(x)

D(f) : x \in \left \( R/x \neq 0 \right \); \: E(f) : y \in \left \(R/y \neq 0 \right \).

Gráfico de funciones llamada función de la forma es una hipérbole.

1) Si k > 0, entonces la gráfica de la función se ubicará en el primer y tercer cuarto del plano coordenado.

Por ejemplo: y=\frac(1)(x)

2) Si k< 0 , то график функции будет располагаться во второй и четвертой координатной плоскости.

Por ejemplo: y=-\frac(1)(x)

Función de potencia

Función de potencia es una función de la forma y=x^n, donde n es un número real distinto de cero

1) Si n=2, entonces y=x^2. D(f) : x \en R; \: E(f) : y \en; periodo principal de la función T=2 \pi

Otra expresión (palabra, oración, signo, etc.) de alguna lengua. Los significados de las expresiones lingüísticas se estudian en lingüística, lógica y semiótica.

3) El valor de una cantidad física es una evaluación de esta cantidad en forma de un cierto número de unidades aceptadas para ella, por ejemplo. 3 kg es el valor de la masa de un determinado cuerpo, etc.

4) Significado en informática, ver Nombre en informática.

Gran diccionario enciclopédico. 2000 .

Vea qué es “SIGNIFICADO” en otros diccionarios:

Contenido indicado por una u otra expresión lingüística, palabra, oración, signo, etc. La cuestión del significado de las expresiones lingüísticas es estudiada por la lingüística, la semiótica y la semántica lógica. Se hace una distinción entre lenguaje objetivo, semántico y expresivo... Enciclopedia filosófica

Significado, razón; peso, importancia, autoridad, dignidad, fuerza, valor. Sentido real, figurado, directo, propio, estricto, figurado, literal, amplio de la palabra. Esta chica es una artista en el pleno sentido de la palabra. Turg. La mente de la ley (prot.:).... ... Diccionario de sinónimos

Uno de los principales elementos de la cultura, junto con la costumbre, la norma, el valor y el significado; un medio específicamente cultural para conectar a una persona con el mundo exterior o, en general, a un sujeto con un objeto a través de signos. si en económico actividades... ... Enciclopedia de estudios culturales

significado- una forma generalizada de impresión por parte de un sujeto de experiencia sociohistórica adquirida en el proceso de actividad y comunicación conjunta y existente en forma de conceptos, encarnados en patrones de acción, roles sociales, normas y valores.... ... Gran enciclopedia psicológica.

VALOR, valores, cf. (libro). 1. Significado de lo que significa un objeto determinado (palabra, gesto, signo). La palabra conocimiento tiene varios significados. La palabra enfermo como sustantivo. El significado de este gesto fue difícil de determinar. 2. Importancia,... ... Diccionario explicativo de Ushakov

significado- SIGNIFICADO, SIGNIFICADO, SIGNIFICADO Francés. significación, significante, SIGNIFICAR. Los conceptos básicos de la lingüística moderna para describir un signo fueron fundamentados por el clásico de esta ciencia F. de Saussure. Según la definición del científico, el significante/significado son... ... Posmodernismo. Glosario de términos.

SIGNIFICADO, contenido asociado a una determinada expresión (palabra, oración, signo, etc.) de una determinada lengua. El significado de las expresiones lingüísticas se estudia en lingüística, lógica y semiótica... enciclopedia moderna

El contenido de un signo o de una serie de signos: lenguaje, situación, acción, idea u objeto. En inglés: Significado Sinónimos en inglés: Significado, Significado Ver también: Significados de los signos Diccionario financiero Finam... Diccionario financiero

significado- SIGNIFICADO estructuras ideales en las que se presentan formas de generalizaciones de la experiencia social acumulativa. 3. se refiere al contenido de un signo, símbolo, imagen, movimiento expresivo, comportamiento ritual, etc. en su invariante… … Enciclopedia de Epistemología y Filosofía de la Ciencia

Significado- SIGNIFICADO, contenido asociado a una determinada expresión (palabra, oración, signo, etc.) de una determinada lengua. El significado de las expresiones lingüísticas se estudia en lingüística, lógica y semiótica. ... Diccionario enciclopédico ilustrado

Libros

• El significado del reinado de Catalina II, V.S. Ikónnikov. El significado del reinado de Catalina II: Leer. en el este isla de Néstor el cronista 17 nov. 1896 / op. V. S. Ikonnikova W 188/212 J 28/68 A 239/398: Kiev: típ. Diablillo. Universidad de St. Vladímir, 1897: Op.…
• La importancia de la preparación para la guerra en general y de las operaciones estratégicas preparatorias en particular, Leer. La importancia de la preparación para la guerra en general y de las operaciones estratégicas preparatorias en particular / Op. G. A. Leera, prof. Académico Gene. sede D 7/230? 7/122: San Petersburgo: típ. V. Bezobrazova y...

Cada función tiene dos variables: una variable independiente y una variable dependiente, cuyos valores dependen de los valores de la variable independiente. Por ejemplo, en la función y = F(incógnita) = 2incógnita + y La variable independiente es "x" y la variable dependiente es "y" (en otras palabras, "y" es una función de "x"). Los valores válidos de la variable independiente "x" se denominan dominio de la función y los valores válidos de la variable dependiente "y" se denominan dominio de la función.

Pasos

Parte 1

Determine el tipo de función que se le asigna. El rango de valores de la función son todos los valores "x" válidos (dispuestos a lo largo del eje horizontal), que corresponden a valores "y" válidos. La función puede ser cuadrática o contener fracciones o raíces. Para encontrar el dominio de una función, primero debes determinar el tipo de función.

1. Seleccione la entrada adecuada para el alcance de la función. El alcance de la definición está escrito en cuadrados y/o paréntesis. El corchete se utiliza cuando el valor está dentro del alcance de la función; si el valor no está dentro del alcance de la definición, se utiliza un paréntesis. Si una función tiene varios dominios no adyacentes, se coloca un símbolo "U" entre ellos.

   • Por ejemplo, el alcance de [-2,10)U(10,2] incluye los valores -2 y 2, pero no incluye el valor 10.

2. Grafica la función cuadrática. La gráfica de dicha función es una parábola, cuyas ramas se dirigen hacia arriba o hacia abajo. Dado que la parábola aumenta o disminuye a lo largo de todo el eje X, el dominio de definición de la función cuadrática son todos los números reales. En otras palabras, el dominio de dicha función es el conjunto R (R representa todos los números reales).

   • Para comprender mejor el concepto de función, seleccione cualquier valor de "x", sustitúyalo en la función y encuentre el valor de "y". Un par de valores “x” e “y” representan un punto con coordenadas (x,y) que se encuentra en la gráfica de la función.
   • Traza este punto en el plano de coordenadas y haz el mismo proceso con un valor de x diferente.
   • Al trazar varios puntos en el plano de coordenadas, obtendrá una idea general de la forma de la gráfica de la función.

3. Si la función contiene una fracción, establezca su denominador en cero. Recuerda que no puedes dividir por cero. Por lo tanto, al establecer el denominador en cero, encontrará valores de "x" que no están dentro del dominio de la función.

   • Por ejemplo, encuentre el dominio de la función f(x) = (x + 1) / (x - 1).
   • Aquí el denominador es: (x - 1).
   • Iguala el denominador a cero y encuentra “x”: x - 1 = 0; x = 1.
   • Escriba el dominio de definición de la función. El dominio de definición no incluye 1, es decir, incluye todos los números reales excepto 1. Así, el dominio de definición de la función es: (-∞,1) U (1,∞).
   • La notación (-∞,1) U (1,∞) se lee así: el conjunto de todos los números reales excepto 1. El símbolo de infinito ∞ significa todos los números reales. En nuestro ejemplo, todos los números reales mayores que 1 y menores que 1 están incluidos en el dominio.

4. Si una función contiene una raíz cuadrada, entonces la expresión radical debe ser mayor o igual a cero. Recuerda que no se puede sacar la raíz cuadrada de números negativos. Por lo tanto, cualquier valor de “x” en el que la expresión radical se vuelva negativa debe excluirse del dominio de definición de la función.

   • Por ejemplo, encuentre el dominio de la función f(x) = √(x + 3).
   • Expresión radical: (x + 3).
   • La expresión radical debe ser mayor o igual a cero: (x + 3) ≥ 0.
   • Encuentre "x": x ≥ -3.
   • El dominio de esta función incluye el conjunto de todos los números reales mayores o iguales a -3. Por tanto, el dominio de definición es [-3,∞).

   parte 2

   Encontrar el rango de una función cuadrática

   1. Asegúrate de tener una función cuadrática. La función cuadrática tiene la forma: ax 2 + bx + c: f(x) = 2x 2 + 3x + 4. La gráfica de dicha función es una parábola, cuyas ramas se dirigen hacia arriba o hacia abajo. Existen varios métodos para encontrar el rango de una función cuadrática.

      • La forma más sencilla de encontrar el rango de una función que contiene una raíz o fracción es graficar la función usando una calculadora gráfica.

   2. Encuentra la coordenada x del vértice de la gráfica de la función. Para una función cuadrática, encuentra la coordenada x del vértice de la parábola. Recuerda que la función cuadrática es: ax 2 + bx + c. Para calcular la coordenada x, use la siguiente ecuación: x = -b/2a. Esta ecuación es una derivada de la función cuadrática básica y describe una tangente cuya pendiente es cero (la tangente al vértice de la parábola es paralela al eje X).

      • Por ejemplo, encuentra el rango de la función 3x 2 + 6x -2.
      • Calcula la coordenada x del vértice de la parábola: x = -b/2a = -6/(2*3) = -1

   3. Encuentra la coordenada y del vértice de la gráfica de funciones. Para hacer esto, sustituya la coordenada "x" encontrada en la función. La coordenada deseada “y” representa el valor límite del rango de función.

      • Calcula la coordenada y: y = 3x 2 + 6x – 2 = 3(-1) 2 + 6(-1) -2 = -5
      • Las coordenadas del vértice de la parábola de esta función son (-1,-5).

   4. Determine la dirección de la parábola ingresando al menos un valor de x en la función. Elija cualquier otro valor de x y conéctelo a la función para calcular el valor de y correspondiente. Si el valor "y" encontrado es mayor que la coordenada "y" del vértice de la parábola, entonces la parábola está dirigida hacia arriba. Si el valor "y" encontrado es menor que la coordenada "y" del vértice de la parábola, entonces la parábola está dirigida hacia abajo.

      • Sustituye en la función x = -2: y = 3x 2 + 6x – 2 = y = 3(-2) 2 + 6(-2) – 2 = 12 -12 -2 = -2.
      • Coordenadas de un punto que se encuentra en la parábola: (-2,-2).
      • Las coordenadas encontradas indican que las ramas de la parábola están dirigidas hacia arriba. Así, el rango de la función incluye todos los valores de "y" que sean mayores o iguales a -5.
      • Rango de valores de esta función: [-5, ∞)

   5. El dominio de una función se escribe de manera similar al dominio de una función. El corchete se utiliza cuando el valor está dentro del rango de la función; si el valor no está dentro del rango, se utiliza un paréntesis. Si una función tiene varios rangos de valores no adyacentes, se coloca un símbolo "U" entre ellos.

      • Por ejemplo, el rango [-2,10)U(10,2] incluye los valores -2 y 2, pero no incluye el valor 10.
      • Con el símbolo de infinito ∞ siempre se utilizan paréntesis.