Fórmula para el determinante de una matriz de n orden. Determinantes de enésimo orden; menores y complementos algebraicos. Propiedades y cálculo de determinantes de enésimo orden.

Determinantes, sus propiedades y cálculo.

1. Determinantes de segundo y tercer orden; su cálculo .

El determinante de primer orden es igual al único elemento que forma la matriz correspondiente.

Podemos calcular el determinante de segundo orden, por ejemplo, a partir de los elementos de la primera fila.

Escribamos la expansión de este determinante en los elementos de la segunda fila.

El resultado obtenido coincide con el resultado del cálculo del determinante de la primera línea. Se obtendrá el mismo resultado al expandir a lo largo de cualquiera de las columnas. Le recomendamos que lo compruebe usted mismo.

De lo anterior podemos concluir, que el determinante de segundo orden es igual al producto de los elementos de la diagonal principal menos el producto de los elementos de la diagonal secundaria.

Determinantes de enésimo orden; menores y complementos algebraicos. Propiedades y cálculo de determinantes de enésimo orden.

El determinante de enésimo orden correspondiente a la matriz.
, es una suma algebraica de términos, compuesta de la siguiente manera: los términos son todos productos posibles de elementos de la matriz, tomados uno de cada fila y cada columna, y el término se toma con un signo más si sus índices forman una sustitución par, y con un signo menos en el caso contrario.
Comentario: Expliquemos esta definición usando el ejemplo de un determinante de tercer orden, cuya fórmula de cálculo ya conocemos.
.
1) “suma algebraica de términos” - . Y sí, efectivamente, aquí hay seis términos.
2) “los términos son todos los productos posibles de elementos de la matriz, tomados uno de cada fila y cada columna”; considere, por ejemplo, el término. Su primer factor se toma de la segunda línea, el segundo de la primera y el tercero de la tercera. Lo mismo ocurre con las columnas: el primer factor es de la primera columna, el segundo es de la tercera y el último es de la segunda.
3) “y el término se toma con un signo más si sus índices constituyen una sustitución par, y con un signo menos en el caso opuesto” - considere, por ejemplo, los términos (con un signo más) y (con un signo menos ).

Organicemos las permutaciones de modo que la primera línea contenga los números de fila de los factores y la segunda línea contenga los números de columna.
Para el término: (la primera columna es el índice del primer factor, etc.)
Para el término: .
Determinemos la paridad de estas permutaciones:
a) - los elementos de la primera línea están en orden. La segunda línea contiene los pares desordenados:
2 a la izquierda de 1 – un par,
3 a la izquierda de 1 – un par.
Total de dos pares, es decir. el número de pares es par, lo que significa que la permutación es par, lo que significa que el término debe incluirse en la suma con un signo más (como realmente es).
b) - los elementos de la primera línea están en orden. La segunda línea contiene los pares desordenados:
2 a la izquierda de 1 – un par.
En total, el número de pares de números colocados de manera que el mayor esté a la izquierda del menor es 1, es decir impar, lo que significa que la permutación se llama impar y el término correspondiente debe incluirse en la suma con un signo menos (sí, eso es cierto).

Menor elemento matrices norte El orden ésimo se llama determinante de la matriz. (n-1)ésimo orden obtenido de la matriz A tachando iª línea y jª columna.

Obviamente, para un sistema de norte ecuaciones lineales con norte incógnitas obtenemos una matriz de coeficientes de tamaño:

Introduzcamos el concepto de determinante. norte-ésimo orden.

Definición 4.1:

Determinante norte-ésimo orden es un número igual a

Cantidad norte! términos;

Cada término es un producto. norte elementos de la matriz tomados uno de cada fila y cada columna;

Cada término se toma con un signo “+” si la permutación de los segundos índices es par, y con un signo “-” si la permutación de los segundos índices es impar, siempre que los primeros índices formen una serie natural de números.

Eso.

Aquí se toman å todas las permutaciones posibles compuestas por los números 1,2,…, norte.

5. Propiedades básicas de los determinantes.

Establezcamos las propiedades básicas de los determinantes, que por simplicidad mostraremos utilizando un determinante de segundo orden.

1. Al reemplazar filas con columnas correspondientes (llamadas transposición) el determinante permanece sin cambios. En realidad:

Por eso, , que era lo que había que demostrar.

Nota: El resultado obtenido anteriormente nos da derecho a afirmar que las filas y columnas del determinante, en adelante filas, son iguales.

2. Cuando se reordenan dos filas, el determinante cambia de signo al opuesto.

En realidad, Intercambiemos las líneas y calculemos el determinante.

Q.E.D.

3. Si dos series paralelas en el determinante son idénticas, entonces es igual a cero. De hecho, intercambiemos dos líneas idénticas. Entonces el valor del determinante no cambiará, pero el signo, debido a la propiedad 2, sí cambiará. El único número que no cambia cuando cambia el signo es el cero.

4. El factor común de los términos de cualquier serie se puede sacar del signo del determinante.

Q.E.D.

5. Si todos los elementos de cualquier serie son sumas del mismo número de términos, entonces el determinante es igual a la suma de determinantes en los que los elementos de la serie considerada son términos individuales.

Q.E.D.

6. El determinante no cambiará si los elementos correspondientes de una serie paralela se suman a los elementos de cualquier serie, multiplicados por un número determinado.

Multiplica la segunda línea por y súmala a la primera línea:

De hecho, debido a las propiedades 3,4,5

=

Q.E.D.

6. Menores y complementos algebraicos de elementos del determinante.

Considere el determinante norte-ésimo orden:

.

Destaquemos en el determinante iª línea y jª columna. En la intersección de estas filas hay un elemento.

Si en el determinante tachamos i- ajuste y j-ésima columna, luego obtenemos el determinante del orden norte-1 (es decir, que tiene un orden uno menor que el determinante original), llamado menor elemento determinante denotaremos menor elemento símbolo

Definición 6.1. Acomplemento algebraico elemento El determinante se llama menor, se toma con signo y se denota con el símbolo. Según la definición, obtenemos

.

Ejemplo 6.1. Encuentra el complemento menor y algebraico del determinante.

Considere la tabla cuadrada A.

Definición. El determinante de enésimo orden es un número obtenido a partir de los elementos de una tabla determinada según la siguiente regla:

1 .El determinante de enésimo orden es igual a la suma algebraica n! miembros.

Cada término es el producto de n elementos tomados uno de cada fila y cada columna de la tabla.

2 .El término se toma con signo más si las permutaciones formadas por el primer y segundo índice de los elementos incluidos en productos de la misma paridad (ya sean pares o impares) y con signo menos en el caso contrario.

El determinante está indicado por el símbolo:

o brevemente det A=.(determinante A)

Según la definición = -.

Regla para calcular el determinante de tercer orden:

=

Menores y complementos algebraicos

Sea un determinante de enésimo orden (n>1)

Definición 1. El menor de un elemento del determinante de enésimo orden es el determinante de (n-1)ésimo orden obtenido de A tachando la i-ésima fila y la j-ésima columna en cuya intersección se encuentra el elemento dado.

Por ejemplo:

=

Definición 2. El complemento algebraico de un elemento es el número.

Propiedades básicas de los determinantes de enésimo orden.

1.Sobre la equivalencia de filas y columnas.

El valor del determinante de enésimo orden no cambia si sus filas se reemplazan con las columnas correspondientes.

2. Si se intercambian dos filas (columnas) de determinantes, el determinante cambiará de signo al opuesto.

=k

Si todos los elementos de cualquier fila (o columna) de un determinante tienen un factor común, entonces este factor común se puede quitar del signo del determinante.

4. El valor de un determinante es cero si todos los elementos de cualquiera de sus filas (o columnas) son ceros.

5. Un determinante con dos filas proporcionales es igual a 0.

Por ejemplo:

6. El valor del determinante no cambiará si los elementos correspondientes de otra fila, multiplicados por el mismo número, se suman a sus elementos de cualquier fila.

7. Si los elementos de cualquier fila i del determinante se presentan como la suma de dos términos, entonces el determinante es igual a la suma de dos determinantes en los que todas las líneas excepto la i-ésima son iguales que en el determinante dado, y la i-ésima línea de un determinante consta de los primeros términos y la segunda del segundo.

8. El determinante es igual a la suma de los productos de todos los elementos de cualquiera de sus filas y sus complementos algebraicos.

=

9. La suma de los productos de todos los elementos de cualquier fila del determinante por los complementos algebraicos de los elementos correspondientes de otra fila es igual a cero.

Por ejemplo:

=

teorema de laplace

Teorema. Sean elegidas arbitrariamente k filas (o k columnas) en el determinante d de orden n, 1. Entonces la suma de los productos de todos los menores de orden k contenidos en las filas seleccionadas y sus complementos algebraicos es igual al determinante d.

Consecuencia.

Un caso especial del teorema de Laplace es la expansión del determinante en una fila o columna. Permite representar el determinante de una matriz cuadrada como la suma de los productos de los elementos de cualquiera de sus filas o columnas y sus complementos algebraicos.

Sea una matriz cuadrada de tamaño. También se le dará algún número de fila i o número de columna j de la matriz A. Luego, el determinante de A se puede calcular usando las siguientes fórmulas:

Descomposición en la i-ésima fila:

Descomposición a lo largo de la j-ésima fila:

donde está el complemento algebraico al menor ubicado en la fila número i y la columna número j.

El enunciado es un caso especial del teorema de Laplace. Basta con poner k igual a 1 y seleccionar la enésima fila, luego los menores ubicados en esta fila serán los elementos mismos..

Ejemplos de autosolución

1.Encuentra x a partir de las ecuaciones y compruébalo sustituyendo la raíz en el determinante.

A); b)

Considere una matriz cuadrada de segundo orden Definición . El determinante de una matriz cuadrada de segundo orden es el número igual a un 11 un 22 -un 12 un 21

y se indican con el símbolo, es decir El determinante de una matriz también se llama determinante . Notación determinante matricial: |. Notación determinante matricial|, Δ, A, det A.

det(a ij)

Al calcular el determinante de tercer orden, es útil conocer la regla del triángulo: con un signo más están los productos de tripletes de números ubicados en la diagonal principal de la matriz, y en los vértices de los triángulos con una base paralela a esta diagonal. y un vértice en la esquina opuesta de la matriz. Con un signo menos hay trillizos de la segunda diagonal y de triángulos construidos con respecto a esta diagonal. El siguiente diagrama demuestra esta regla. En el diagrama, el azul (a la izquierda) indica elementos cuyos productos vienen con un signo más y el rojo (a la derecha), con un signo menos.

Ahora demos una definición.

Considere una matriz cuadrada de segundo orden. El determinante de una matriz cuadrada de tercer orden es el número

Considere una matriz cuadrada de segundo orden. El menor de cualquier elemento de un determinante es un determinante que se obtiene de uno dado tachando la fila y columna a la que pertenece dicho elemento. Elemento menor un ik vamos a denotar mik.

Considere una matriz cuadrada de segundo orden. Elemento menor un 21 el determinante de tercer orden de una matriz es el determinante de segundo orden

Considere una matriz cuadrada de segundo orden un ik el determinante se llama su menor, tomado con el signo (-1)i+k.

Complemento algebraico de un elemento un ik vamos a denotar Aik. Por definición

Regla para determinar el signo de un complemento algebraico (usando el ejemplo de un determinante de tercer orden):

Ejemplo. Suma algebraica de un elemento un 21 es

Teorema de descomposición. El determinante es igual a la suma de los productos de los elementos de cualquier fila (columna) por sus complementos algebraicos.

Propiedades de los determinantes

• El determinante no cambiará si reemplaza todas sus filas con las columnas correspondientes.
• Al reorganizar dos columnas (filas), el determinante cambia de signo.
• Un determinante con dos columnas (filas) idénticas es igual a cero.
• Un factor común a los elementos de una determinada columna (fila) se puede llevar más allá del signo del determinante.
• Un determinante con dos columnas (filas) proporcionales es igual a cero.
• El determinante es igual a cero si todos los elementos de alguna columna (fila) son iguales a cero.
• El determinante no cambiará si a los elementos de una determinada columna (fila) se le suman los elementos correspondientes de otra columna (fila), habiéndolos previamente multiplicado por el mismo factor.

Comentario. Si en un determinante todos los elementos de una determinada columna (fila) son iguales a la suma de dos términos, entonces dicho determinante es igual a la suma de dos determinantes correspondientes.

Por ejemplo,

Determinantes norte-ésimo orden

Considere una matriz cuadrada norte-ésimo orden

El concepto de determinante de esta matriz o determinante. norte el décimo orden se introduce de forma inductiva, considerando que el concepto de determinante de orden ya ha sido introducido n-1, correspondiente a la matriz cuadrada (n-1)-ésimo orden.

La definición de elemento matricial menor y su complemento algebraico son válidas para determinantes de cualquier orden.

Considere una matriz cuadrada de segundo orden. Determinante del orden norte, correspondiente a la matriz . Notación determinante matricial norte-ésimo orden se llama número igual a (1k- elemento menor un 1k) y denotado por uno de los símbolos

Entonces, por definición

Esta fórmula expresa la regla para construir el determinante del orden. norte por los elementos de la primera fila de la matriz que le corresponde y por los complementos algebraicos de estos elementos, que son el determinante del orden n-1, tomada con las notas adecuadas.

Para un determinante de cualquier orden, todas las propiedades y teoremas obtenidos y demostrados para un determinante de tercer orden son verdaderos.

Formulemos el teorema principal:

Teorema [teorema de sustitución]. Cualquiera que sea el número de línea i (yo=1,2,…,norte), para el determinante norte la fórmula de décimo orden es válida

llamada expansión de este determinante en iª línea.

Como la Propiedad 1 de los determinantes es cierta, también podemos expandir el determinante a lo largo de la columna:

Ejemplos

Calculemos el siguiente determinante:

Resta la segunda línea de la primera y la tercera. Luego sumamos el primero a los tercios y sacamos el factor común de los tercios:

Ahora a la segunda línea le sumamos el tercero, multiplicado por 7, y a la cuarta le sumamos el tercero, multiplicado por 2. Luego sacamos el factor común de la cuarta línea:

Ampliemos el determinante en la segunda columna (los signos indican el valor (-1)i+j en menor). Tenga en cuenta que solo hay un elemento distinto de cero en la columna, por lo tanto, solo quedará un determinante de tercer orden en la expansión. Finalmente, obtenemos la respuesta usando la fórmula del determinante de tercer orden.

Demos algunos ejemplos más de determinantes de varios órdenes.

Dejar Una = una matriz cuadrada arbitraria de enésimo orden con elementos reales (o complejos).

Definición 7. Determinante de la matriz A (determinante de enésimo orden) llamada suma algebraica n! términos, cada uno de los cuales es el producto de n elementos de la matriz, tomados uno de cada fila y cada columna. En este caso, el producto se toma con el signo “+” si la sustitución de los índices de los elementos incluidos en él es par, y con el signo “-” en caso contrario.

Designación del determinante: | A| = .

Por ejemplo, para n = 6 el producto un 21 un 13 un 62 un 34 un 46 un 55 es miembro del determinante porque contiene exactamente un elemento de cada fila y de cada columna. La sustitución compuesta por sus índices será . Tiene 4 inversiones en la línea superior y 2 inversiones en la línea inferior. El número total de inversiones es 6, es decir la sustitución es par. En consecuencia, este producto se incluye en la expansión del determinante con el signo “+”.

Trabajar un 21 un 13 un 62 un 34 un 46 un 15 no es miembro del determinante porque contiene dos elementos de la primera fila.

Propiedades de los determinantes.

1 0 . Al transponer, el determinante no cambia (recuerde que transponer una matriz y un determinante significa intercambiar filas y columnas).

De hecho, si (-1) k es un término del determinante, entonces todos a 1 , a 2 , ... , an son diferentes y k es el número de inversiones en la permutación (a 1 , a 2 , ... , un). Al transponer, los números de fila se convierten en números de columna y viceversa. En consecuencia, en el producto todos los factores serán de diferentes columnas y filas, es decir este producto se incluirá en el determinante transpuesto. Su signo estará determinado por el número de inversiones en la sustitución. . Pero este número es obviamente igual a k. Entonces, (-1) k será un término en el determinante transpuesto. Dado que tomamos cualquier término de un determinante dado y el número de términos en los determinantes dado y transpuesto es el mismo, entonces se sigue su igualdad. De la propiedad probada se deduce que todo lo que se demostrará para las filas del determinante también será válido para sus columnas.

2 0 . Si todos los elementos de una fila (o columna) de un determinante son iguales a cero, entonces el determinante es igual a cero.

Esto se desprende del hecho de que un elemento de la fila (o columna) especificada se incluirá en cada término del determinante.

3 0 . Si todos los elementos de cualquier fila del determinante tienen un factor común, entonces se puede quitar el signo del determinante.

De hecho, si todos los elementos de la k-ésima fila tienen un factor común l, entonces se pueden escribir en la forma. Cualquier término del determinante tendrá la forma (-1) s . En consecuencia, el factor l se puede derivar de todos los términos del determinante.

4 0 . Si se intercambian dos líneas del determinante, el determinante cambiará de signo.

De hecho, si (-1) k es cualquier término de un determinante dado, entonces en el nuevo determinante los números de fila p y q se intercambiarán, pero los números de columna seguirán siendo los mismos. En consecuencia, en el nuevo determinante este mismo producto aparecerá en la forma (-1) s. Dado que se produjo una transposición en los números de fila, pero los números de columna no cambiaron, entonces k y s tienen paridades opuestas. Entonces, todos los términos de un determinante dado han cambiado de signo, por lo tanto, el determinante mismo ha cambiado de signo.

5 0 . Si dos filas de un determinante son proporcionales, entonces el determinante es igual a cero.

De hecho, dejemos que todos los elementos de la k-ésima fila sean iguales a los elementos correspondientes de la p-ésima fila multiplicados por l, es decir | A| = = = 0.

6 0 . Si en el determinante todos los elementos de la k-ésima fila son sumas de dos términos, entonces el determinante es igual a la suma de dos determinantes en los que todas las filas, excepto la k-ésima, son iguales que en el dado determinante. En lugar de los elementos de la k-ésima fila de uno de ellos están los primeros términos de los elementos de la k-ésima fila del determinante dado, y en lugar de los elementos de la k-ésima fila del segundo - sus segundos términos.

Sean los elementos de la k-ésima fila + con k1,+ con k2, …. , + con kn. Entonces cualquier término del determinante tendrá la forma

(-1)s = (-1)s + (-1) s .

Habiendo recopilado todos los primeros términos, obtenemos un determinante que difiere del dado solo en la k-ésima fila. En lugar de qué línea habrá , ,…. , . Habiendo reunido todos los segundos términos, obtenemos un determinante que también difiere del dado solo en la k-ésima fila. ¿Qué línea contendrá? con k1, con k2, …. , con kn.

7 0 . Si a una línea del determinante le sumamos otra línea, cuyos elementos se multiplican por el mismo número, entonces el determinante no cambiará.

Esta propiedad es consecuencia de las dos anteriores.

Si en el determinante | A| tache la k-ésima fila y la p-ésima columna, entonces queda un determinante de orden (n–1). se llama menor, adicional para el elemento y es designado mcr. Número (-1) k+p ×M cr llamado complemento algebraico para el elemento y es designado un cr.

8 0 . El complemento menor y algebraico adicional no depende de qué elemento esté en la k-ésima fila y la p-ésima columna del determinante.

Lema 1 D= . (8)

Prueba. Si un 11= 0, entonces la igualdad (8) es obvia. Dejar un 11¹ 0. Dado que cada término del determinante contiene exactamente un elemento de la primera fila, entonces los términos distintos de cero del determinante solo pueden ser aquellos que incluyan un 11. todos ellos parecen , donde g k y k varían de 2 a norte. El signo de este término en el determinante D está determinado por la paridad de la sustitución s = .Así D es una suma algebraica de términos de la forma con signos determinados por la sustitución s. Si sacamos esta cantidad de paréntesis un 11, entonces obtenemos que D = un 11 × S, Dónde S es una suma algebraica de términos de la forma , cuyo signo está determinado por la sustitución s. Estos términos son obviamente ( norte– 1)!. Pero las sustituciones y la sustitución tienen la misma paridad. Por eso, S = METRO 11. Porque Un 11 =(-1) 1+1 × METRO 11 = METRO 11, entonces D = un 11 × un 11.

Lema 2. D= (9)

Prueba. En el determinante D reorganizamos la p-ésima fila secuencialmente con cada anterior. En este caso, la p-ésima línea tomará el lugar de la primera línea, pero el menor es adicional al elemento un rk no cambiará. Se hará el total ( r– 1) reordenamiento de cuerdas. Si el nuevo determinante se denota por D 1, entonces D = (-1) р-1 ×D. En el determinante de D 1 reordenamos A La enésima columna es secuencial con cada columna anterior, lo que hará ( A– 1) permutación de columnas y menor, complementaria a un rk, no cambiará. El resultado es determinante.

D2= . Obviamente, D 2 = (-1) р-1 ×D 1 = (-1) р+к-2 ×D = (-1) р+к ×D. Por el Lema 1, D 2 = ark ×M rk. Por lo tanto D = ark ×(-1) р+к ×M rk = a rk ×A rk.

Teorema 3. El determinante es igual a la suma de los productos de los elementos de una determinada fila y sus complementos algebraicos, es decir D= a k1 A k1 + a k2 ×A k2 +…+a kn ×A kn (10).

Prueba. Sea D = . Escribimos los elementos de la fila en la forma un k1 = un l1+ 0 + …+ 0, un k2 = 0 + un k2 + 0 + … + 0, … , A= 0 + 0 + …+ 0 + A. Usando la propiedad 6 0, obtenemos que D =
= = un k1 un k1+ un k2 un k2 + … + una una(usamos el Lema 2).

Teorema 4. La suma de los productos de los elementos de una fila del determinante por los complementos algebraicos de los elementos correspondientes de la otra fila es cero.

Prueba. Sea D = . Según el teorema anterior

D = . Si tomamos , entonces el determinante D contendrá dos líneas idénticas, es decir D será cero. Por lo tanto, 0 = si p ¹ k.

Comentario. Los teoremas 3 y 4 serán verdaderos si en sus formulaciones la palabra "fila" se reemplaza por la palabra "columna".

Método para calcular el determinante de enésimo orden.

Para calcular el determinante norte de orden n, basta con obtener tantos ceros como sea posible en alguna fila (o columna), usando la propiedad 7 0, y luego usar el Teorema 3. En este caso, el cálculo del determinante de orden n será reducido al cálculo del determinante ( norte– 1)º orden.

Ejemplo. Calcular el determinante D = .

Solución. Obtenemos ceros en la segunda línea. Para esto segunda columna 1) multiplicar por (-2) y sumar a la primera columna; 2) agregar a la tercera columna; 3) multiplica por (-4) y suma a la cuarta columna. Obtenemos que D = . Expandamos el determinante resultante a los elementos de la segunda fila. En este caso, los productos de todos los elementos de esta fila por sus complementos algebraicos, excepto el elemento 1, son iguales a cero. Para obtener el complemento algebraico del elemento 1 es necesario tachar la fila y columna donde aparece este elemento, es decir segunda fila y segunda columna. El signo del complemento algebraico determina (-1) 2+2 = (-1) 4 = +1. Entonces D = + . Hemos obtenido un determinante de tercer orden. Este determinante se puede calcular usando diagonales y triángulos, pero se puede reducir a un determinante de segundo orden. multipliquemos primera columna 1) por (-4) y sumarlo a la segunda columna, 2) multiplicarlo por 2 y sumarlo a la tercera columna. lo entendemos

D= . Por tanto, D = (-1) 2+1. Usando la propiedad 7 0, sumamos la segunda a la primera columna, obtenemos D = - = -3×(23 – 40) = 51.

Algunos determinantes (por ejemplo, los que contienen menores "grandes", compuestos enteramente de ceros) se expanden convenientemente en varias líneas. El teorema de Laplace te permite hacer esto. Sea el determinante de D menor. METRO sésimo orden, cuyos elementos están en filas con números k 1 ,k 2 ,…,k s y en columnas con números р 1, р 2,…, р s. Tacha las filas y columnas con los números indicados. Después de esto, el determinante ( n–s)-ésimo orden. lo llaman menor M 1, complementario de menor M. Si s = a 1 +…+ a s + р 1 +…+р s , Eso

complemento algebraico a la M menor llamado Una = (-1)s × M1.

Teorema 5 (teorema de Laplace). Deja entrar el determinante norte-ésimo orden resaltado A filas (o columnas). El determinante es igual a la suma de los productos de todos los menores en las rectas seleccionadas y sus complementos algebraicos.

Prueba

(descomposición por elementos iª línea);

(descomposición por elementos jª columna).

Verifiquemos la validez del teorema de Laplace usando el ejemplo del determinante de una matriz de tercer orden. Primero descompongamoslo en los elementos de la primera fila.

Lo cual coincide con la definición del determinante de una matriz de tercer orden.

Teorema 6 (teorema de Cramer). Si en un sistema de ecuaciones lineales el número de incógnitas es igual al número de ecuaciones y el determinante D del sistema es distinto de cero, entonces el sistema tiene una sola solución. Esta solución se obtiene mediante las fórmulas. , donde cada D k se obtiene de D reemplazando la k-ésima columna con una columna de términos libres.

Prueba. Deja que el sistema se dé. y D ¹ 0. Multiplica la primera ecuación por Un 1k, segundo - en Un 2k,...,n- oh ecuación - en Una nk y sumar todas las ecuaciones. obtenemos +… ... + + … + =

Usando los teoremas 3 y 4, obtenemos x1×0 + … + x k×D + … + xn×0 = D A, donde D A = (la k-ésima columna en el determinante D se reemplaza por una columna de términos libres de las ecuaciones de este sistema). Por lo tanto = para todos A= 1, 2, …, norte.