"Elementos de la teoría de conjuntos". Teoría de conjuntos axiomáticos

La teoría de conjuntos moderna se basa en un sistema de axiomas (enunciados aceptados sin prueba) del cual se derivan todos los teoremas y enunciados de la teoría de conjuntos. El sistema de axiomas es el sistema de axiomas estándar para la teoría de conjuntos. El axioma de elección a menudo se agrega a este sistema de axiomas y se denomina sistema Zermelo-Frenkel con el axioma de elección.

La importancia de la lógica matemática ha aumentado enormemente en este siglo y en el último. La razón principal de esto fue el descubrimiento de las paradojas de la teoría de conjuntos y la necesidad de revisar la controvertida teoría intuitiva de conjuntos. Se han propuesto muchas teorías axiomáticas diferentes para fundamentar la teoría de conjuntos, pero no importa en qué se diferencien entre sí en sus características externas, el contenido común de todas ellas son los teoremas fundamentales en los que se basan los matemáticos en su trabajo diario. La elección de una u otra de las teorías disponibles es principalmente una cuestión de gustos; No imponemos ningún requisito al sistema que usaremos, excepto que sirva como base suficiente para la construcción de las matemáticas modernas.

Describamos la teoría NBG de primer orden, que es básicamente un sistema del mismo tipo que el sistema propuesto originalmente por von Neumann (1925), (1928), y luego cuidadosamente revisado y simplificado por R. Robinson (1937), Bernays. (1937-1954) y Gödel (1940). (Seguiremos en gran medida la monografía de Gödel, aunque con algunas desviaciones importantes). La teoría NBG tiene una única letra de predicado y ninguna letra de función ni constante de sujeto. Para acercarnos más a la notación de Bernays (1937-1954) y Gödel (1940), utilizaremos como variables en lugar de x1, x2, ... las letras latinas mayúsculas X1, X2, ... (Como es habitual, utilizamos las letras X, Y, Z, ... para denotar variables arbitrarias). También introduciremos las notaciones abreviadas XY para (X, Y) y XY para (X, Y). Desde el punto de vista del contenido, un signo se entiende como un símbolo de la relación de pertenencia.
Definamos la igualdad de la siguiente manera:
Definición. X=Y sirve como abreviatura de la fórmula.
Por tanto, dos objetos son iguales si y sólo si están formados por los mismos elementos.
Definición. sirve como abreviatura de fórmula (inclusión).
Definición. XY es una abreviatura de X Y & X ≠ Y (inclusión adecuada).
De estas definiciones se deduce fácilmente
Oración 1.
(a) X = Y (X Y & Y X);
(b) X = X;
(c) X = Y Y = X;
(d) X = Y (Y = Z X = Z);
(f) X = Y (ZX ZY).
Ahora comencemos a enumerar nuestros propios axiomas de la teoría NBG, intercalando las formulaciones de los axiomas mismos con varios corolarios de ellos y algunas definiciones adicionales. Sin embargo, primero observamos que en la “interpretación” a la que nos referimos aquí, los valores de las variables son clases. Las clases son colecciones correspondientes a algunas propiedades, pero no a todas (aquellas propiedades que realmente definen las clases se especificarán parcialmente en axiomas. Estos axiomas nos proporcionan la existencia de clases necesarias en matemáticas y son lo suficientemente modestos como para que no se puedan deducir de ellos contradicción). (Esta “interpretación” es tan imprecisa como los conceptos de “totalidad”, “propiedad”, etc.)
Llamemos conjunto a una clase si es un elemento de alguna clase. Una clase que no es un conjunto se llamará clase propia.
Definición. M(X) es una abreviatura de Y(XY) (X es un conjunto).
Definición. Pr(X) es una abreviatura de M(X) (X es su propia clase).
En el futuro veremos que los métodos habituales para derivar paradojas ya no conducen a una contradicción, sino sólo al resultado de que algunas clases no son conjuntos. Los conjuntos pretenden ser aquellas clases confiables y convenientes que los matemáticos utilizan en su trabajo diario; mientras que las clases propias se conciben como colecciones monstruosamente vastas que, si se les permite ser conjuntos (es decir, elementos de otras clases), dan lugar a contradicciones.
El sistema NBG pretende ser una teoría que se ocupe de clases en lugar de objetos. Esto fue motivado por el hecho de que las matemáticas no necesitan objetos que no sean clases, como vacas o moléculas. Todos los objetos y relaciones matemáticos se pueden expresar únicamente en términos de clases. Si, en aras de aplicaciones en otras ciencias, surge la necesidad de involucrar "no clases", entonces una pequeña modificación del sistema NBG permite que se aplique por igual tanto a las clases como a las "no clases" (Mostovsky).
Introduciremos las letras latinas minúsculas x1, x2, ... como variables especiales limitadas por conjuntos. En otras palabras, x1 A (x1) servirá como abreviatura de X (M(X)A (X)), que tiene el siguiente significado: “A es cierto para todos los conjuntos, y x1 A (x1) servirá como abreviatura de X (M (X)A (X)), que significa significativamente: "A es verdadera para algún conjunto". Tenga en cuenta que la variable X utilizada en esta definición debe ser diferente de las variables incluidas en A (x1). (Como de costumbre, las letras x, y, z, ... se utilizarán para indicar variables arbitrarias para conjuntos).
EJEMPLO La expresión XxyZA (X, x, y, Z) sirve como abreviatura de
XXj (M(Xj)Y(M(Y)&ZA (X, Xj, Y, Z))).

X = Y (XZYZ).
Proposición 2. El sistema NBG es una teoría de primer orden con igualdad.

xyzu (u z u = xu = y), es decir, para cualquier conjunto xey existe un conjunto z tal que xey son sus únicos elementos.

x y (y x), es decir hay un conjunto que no contiene ningún elemento.
Del axioma N y del axioma de volumen se deduce que solo hay un conjunto que no contiene ningún elemento, es decir, 1x y (y x). Por tanto, podemos introducir la constante sujeto 0, sometiéndola a la siguiente condición.
Definición. y (y 0).
Dado que la condición de unicidad se cumple para un par desordenado, podemos introducir una nueva letra funcional g(x, y) para denotar el par desordenado xey. Sin embargo, en lugar de g(x, y) escribiremos (x, y). Tenga en cuenta que podemos definir de forma única el par (X, Y) para dos clases cualesquiera X e Y, y no solo para los conjuntos x e y. Pongamos (X, Y) = 0 si una de las clases X, Y no es un conjunto. Se puede probar que
NBG 1Z((M(X)&M(Y)&u (u Z u = X u = Y)) ((M(X) M(Y))&Z=0)).
Esto justifica la introducción del par (X, Y):
Definición. (M(X) & M(Y) & u (y (X, Y) u = X u = Y))
((M(X) M(Y)) y (X, Y) = 0).
Se puede demostrar que NBG x y u (u (x, y) u = x u = y) y NBG x y (M((x, y))).
Definición. = ((X), (X, Y)). se llama par ordenado de clases X e Y.
Esta definición no tiene ningún significado intuitivo interno. Es simplemente una forma conveniente (fue propuesta por Kuratovsky) de definir los pares ordenados de tal manera que se pueda demostrar que la siguiente oración expresa la propiedad característica de los pares ordenados.
Propuesta 3.
NBG x y u v ().
Prueba. Sea = . Esto significa que ((x), (x, y)) = ((u), (u, v)). Dado que (x) ((x), (x, y)), entonces (x) ((u), (u, v)). Por lo tanto (x) = =(u) o (x) = (u, v). En ambos casos x = u. Por otro lado, (u, v)((u), (u, v)) y por tanto (u, v)((x), (x, y)). Por tanto (u, v) = (x) o (u, v) = =(x, y). De manera similar (x, y) = (u) o (x, y) = (u, v). Si o (u, v) = =(x) y (x, y) = (u), entonces x = u = y = v, en caso contrario (u, v) = (x, y) y, por tanto, (u , v) = (u, y). Si v ≠ u, entonces y = v, y si v = u, entonces también y = v. Entonces, de cualquier manera, y = v.
Generalicemos el concepto de par ordenado al concepto de n ordenado.
Definición
=X,
Así, por ejemplo,
A continuación, el índice NBG se omite en la entrada NBG.
No es difícil probar la siguiente generalización de la Proposición 3.

Estos axiomas establecen que para ciertas propiedades expresadas por fórmulas, existen clases correspondientes de todos los conjuntos que poseen estas propiedades.
A k s i o m a B1. X u v (X u v) (- relación).
A k s i o m a B2. X Y Z u (u Z u X & u Y)
(intersección).
A k s i o m a B3. X Z u (u Z u X) (suma).
A k s i o m a B4. X Z u (u Z v (X)) (área
definiciones).
A k s i o m a B5. X Z u v (Z u X).
A k s i o m a B6. X Z u v w (Z X).
A k s i o m a B7. X Z u v w (Z X).
Usando los axiomas B2-B4 se puede demostrar
X Y 1Z u (u Z u X & u Y),
X 1Zu (u Z u x),
X 1Zu (u Z v (X)).
Estos resultados justifican la introducción de nuevas letras funcionales,∩,−,D.
Definiciones
u (u X ∩ Y u X & u Y) (intersección de las clases X e Y).
u (u u X) (complemento a la clase X).
u (u D (X) v (X)) (dominio de clase X).
(combinación de clases X e Y).
V = (clase universal).
X − Y = X ∩
Teorema general sobre la existencia de clases.
Proposición 4. Sea φ (X1,...,Xn, Y1,..., Ym) una fórmula cuyas variables se toman únicamente del número X1,...,Xn, Y1,..., Ym. Llamemos predicativa a esta fórmula si en ella sólo están conectadas las variables de los conjuntos (es decir, si se puede reducir a esta forma utilizando las abreviaturas aceptadas). Para cualquier fórmula predicativa φ (X1,…,Xn, Y1,…, Ym)
Zx1 …xn (Z φ (x1,…,xn, Y1,…, Ym)).
Prueba. Podemos limitarnos a considerar sólo aquellas fórmulas φ que no contengan subfórmulas de la forma Yi W, ya que cualquier subfórmula de este tipo puede ser reemplazada por x (x = Yi & x W), que a su vez equivale a la fórmula x (z (z x z Yi) y xW). También se puede suponer que φ no contiene subfórmulas de la forma XX, que pueden ser reemplazadas por u (u = X & u X), siendo esta última equivalente a u (z (z u z X) & u X). Realizamos ahora la prueba por inducción sobre el número k de conectivos y cuantificadores lógicos incluidos en la fórmula φ (escrita con variables acotadas para conjuntos).
1. Sea k = 0. La fórmula φ tiene la forma xi xj, o xj xi, o xi Yi, donde 1 ≤ i< j ≤ n. В первом случае, по аксиоме В1, сущест­вует некоторый класс W1 такой, что
xixj (W1 xi xj).
En el segundo caso, por el mismo axioma, existe una clase W2 tal que
xixj (W2 xj xi),
y luego, en virtud
XZ u v (Z X),
existe una clase W3 tal que
xixj (W3 xj xi).
Entonces, en cualquiera de los dos primeros casos existe una clase W3 tal que
xixj (W φ (x1,…,xn, Y1,…, Ym)).
Luego, reemplazando en
XZ v1…vkuw (Z X)
X en W, obtenemos que existe alguna clase Z1 tal que
x1… xi-1xixj (Z1 φ (x1,…,xn, Y1,…, Ym)).
Además, basándose en
XZv1…vmx1…xn (
zx)
en el mismo lugar para Z1 = X, concluimos que existe una clase Z2 tal que
x1 … xi xi+1 … xj (Z2 φ (x1,…,xn, Y1,…, Ym)).
Finalmente, aplicando
XZ v1…vmx1…xn (Z X)
(1)
en el mismo lugar para Z2 = X, encontramos que existe una clase Z tal que
x1…xn (Z φ (x1,…,xn, Y1,…, Ym)).
Para el caso restante xi Yi, el teorema se sigue de (1) y
XZ x v1…vm (Z x X).
2. Supongamos que el teorema se prueba para cualquier k< s и что φ со­держит s логических связок и кванторов.
(a) φ es ψ. Según la hipótesis inductiva, existe una clase W tal que
x1…xn (W ψ (x1,…,xn, Y1,…, Ym)).
Ahora sólo queda poner Z = .
(b) φ es ψ θ. Por hipótesis inductiva, existen clases Z1 y Z2 tales que
x1…xn (Z1 ψ (x1,…,xn, Y1,…, Ym)) y
x1…xn (Z2 θ (x1,…,xn, Y1,…, Ym)).
La clase Z requerida en este caso será la clase.
(c) φ es x ψ. Por hipótesis inductiva, existe una clase W tal que
x1…xnx (W ψ (x1,…, xn, x, Y1,…, Ym)).
Apliquémoslo primero
XZ x1 … xn (Z y (X)).
para X = y obtenemos una clase Z1 tal que
x1 … xn (Z1x ψ (x1,…, xn, x, Y1,…, Ym)).
Ahora fijemos finalmente Z = , observando que x ψ es equivalente a x ψ.
Ejemplos. 1. Sea φ (X, Y1, Y2) la fórmula uv (X = & u Y1 & v Y2). Aquí los cuantificadores vinculan solo variables para conjuntos. Por tanto, en virtud del teorema sobre la existencia de clases, Z x (x Z uv (x = & u Y1 & v Y2)), y con base en el axioma volumétrico, 1Z x (x Z uv (x = & u Y1 & v Y2)) . Por tanto, es posible la siguiente definición, introduciendo una nueva letra funcional:
Definición. x (x Y1 Y2 uv (x = & u Y1 & v Y2)). (Producto cartesiano de las clases Y1 e Y2).
Definiciones. X2 denota X X (en particular, V2 denota la clase de todos los pares ordenados).
Xn denota Xn-1 X (en particular, Vn denota la clase de todos los ns ordenados).
Rel(X) es una abreviatura de X V2 (X es una relación).
2. Denotemos por φ (X, Y) a X Y. Por el teorema de la existencia de clases y con base en el axioma del volumen, 1Zx (x Z x Y). Por tanto, existe una clase Z cuyos elementos son todos subconjuntos de la clase Y.
Definición. x(xP(Y)xY). (P(Y): la clase de todos los subconjuntos de la clase Y.)
3. Considere como φ (X, Y) la fórmula v (X v & v Y).
Según el teorema sobre la existencia de clases y basándose en el axioma del volumen, 1Zx (x Z v (x v & v Y)), es decir Existe una única clase Z cuyos elementos son todos los elementos de los elementos de la clase Y y sólo ellos.
Definición. x (x (Y) v (x v & v Y)). ((Y): unión de todos los elementos de la clase Y)
4. Sea φ (X) u (X =). Según el teorema sobre la existencia de clases y basándose en el axioma del volumen, existe una única clase Z tal que x (x Z u (x =)).
Definición. x (x yo u (x =)). (Relación de identidad).
Consecuencia. Para cualquier fórmula predicativa φ (X1,…,Xn, Y1,… …, Ym)
1W(W Vn y x1…xn (W
φ (x1,…,xn, Y1,…, Ym)).
Prueba. Por la Proposición 4, existe una clase Z para la cual x1…xn (Z φ (x1,…,xn, Y1,…, Ym)). Obviamente, la clase W requerida es la clase W = Z ∩ Vn; su unicidad se deriva del axioma del volumen.
Definición. Para cualquier fórmula predicativa φ (X1,...,Xn, Y1,... ..., Ym), φ (x1,...,xn, Y1,..., Ym)) denota la clase de todos n-s que satisface la fórmula φ (x1,..., xn, Y1,…, Ym)), es decir, u (u φ (x1,…,xn, Y1,…, Ym) x1…xn (u = & φ (x1 ,…,xn, Y1,… … , Ym))). La investigación justifica esta definición. En particular, para n = 1 obtenemos u (u φ (x, Y1,…, Ym) φ (u, Y1,…, Ym)) (a veces en lugar de φ (x1,…, xn, Y1,…, Ym ) entrada (| φ (x1,…,xn, Y1,…, Ym))).
Ejemplos. 1. Sea φ Y. Abreviemos (Y) por, luego V2 y x1x2(Y Y). Llamémoslo relación inversa de clase Y.
2. Sea φ v (Y). Denotemos por R(Y) la expresión (v (Y)). Entonces u (u R(Y) v (Y)). La clase R(Y) se denomina rango de valores de la clase Y. Obviamente, R(Y) = D().
Tenga en cuenta que los axiomas B1 - B7 son casos especiales del teorema sobre la existencia de clases, es decir, la Proposición 4. En otras palabras, en lugar de presentar la Proposición 4 como un esquema de axioma, podemos, con el mismo resultado, limitarnos a sólo un cierto número finito de sus casos especiales. Al mismo tiempo, aunque la Proposición 4 nos permite demostrar la existencia de un gran número de clases muy diversas, todavía no sabemos nada sobre la existencia de conjuntos distintos de los conjuntos más simples como 0, (0) , (0, (0 )), ((0)), etc. Para asegurar la existencia de conjuntos de estructura más compleja, introducimos más axiomas.

xyu (u y v (u v & v x)).
Este axioma establece que la unión (x) de todos los elementos de un conjunto x también es un conjunto, es decir, x (M((x))). El conjunto u(x) también se denota por u.
El medio para generar nuevos conjuntos a partir de los existentes es la formación de un conjunto de todos los subconjuntos de un conjunto dado.

xyu (u y u x).
Este axioma establece que la clase de todos los subconjuntos de un conjunto x también es un conjunto; lo llamaremos conjunto de todos los subconjuntos del conjunto x. En virtud de este axioma, x (M(P (x))).
Ejemplos.
P(0) = (0).
P ((0)) = (0, (0)).
P ((0, (0))) = (0, (0), (0, (0)), ((0))).
Una forma mucho más general de construir nuevos conjuntos es el siguiente axioma de selección.

xY zu (u z u x & u Y).
Por tanto, para cualquier conjunto x y para cualquier clase Y, existe un conjunto formado por elementos comunes a x e Y. Por tanto, xY (M (x ∩ Y)), es decir, la intersección de un conjunto con una clase es un conjunto .
Proposición 5. xY (Y x M (Y)) (es decir, una subclase de un conjunto es un conjunto).
Prueba. x (Y x Y ∩ x = Y) y x (M (Y ∩ x)).
Dado que toda fórmula predicativa A(y) genera una clase correspondiente (Proposición 4), del axioma S se deduce que para cualquier conjunto x la clase de todos sus elementos que satisfacen una fórmula predicativa dada A(y) es un conjunto.
Sin embargo, para el pleno desarrollo de la teoría de conjuntos, se necesitará un axioma más fuerte que el axioma S. Introduzcamos primero varias definiciones.
Definiciones Un(X) significa xyz (X & X y = z).
(X es un solo dígito).
Fnc(X) significa X V2 y Un(X). (X es una función).
Y 1 X significa X ∩ (Y V). (Confinando el área X a Y.)
Un1(X) significa Un(X) y Un(). (X es uno a uno.)
X'Y
Si existe un z único tal que X, entonces z = X‘y; de lo contrario, X'y = 0. Si X es una función e y es un conjunto del dominio de definición de X, entonces X'y es el valor de esta función aplicado a y (en el futuro, introduciremos nuevas letras funcionales y Sujete las constantes necesarias, tan pronto como esté claro que la definición correspondiente puede justificarse mediante el teorema de unicidad. En el presente caso, se introduce una nueva letra funcional h con la designación abreviada X'Y en lugar de h (X, Y). )).
X''Y = R(Y 1 X). (Si X es una función, entonces X''Y es el rango de valores de la clase X, limitado por el dominio Y.)

(\slider)(slider=- Axioma de sustitución.)

x (Un (X) yu (u y v (X & v X))).
El axioma de sustitución establece que si la clase X es univaluada, entonces la clase de los segundos componentes de aquellos pares de X a cuyos primeros componentes pertenecen es un conjunto (enunciado equivalente: M(R (x 1X))) Se deduce de este axioma de que si X es una función, entonces el rango de valores del resultado de limitar X por medio de cualquier dominio que sea un conjunto también es un conjunto.
El siguiente axioma asegura la existencia de conjuntos infinitos.

x (0 x & u (u x u (u) x)).
El axioma del infinito establece que existe un conjunto x tal que 0 x, y si x también pertenece, entonces u también pertenece a x. Para tal conjunto x, obviamente, (0) x, (0, (0)) x, (0, (0), (0, (0))) x, etc. Si ahora establecemos 1 = (0) , 2 = (0, 1), … , n = (0, 1, … , n – 1), entonces para cualquier número entero n ≥ 0 n x se cumplirá, y al mismo tiempo 0 ≠ 1, 0 ≠ 2, 1 ≠ 2, 0 ≠ 3, 1 ≠ ≠ 3, 2 ≠ 3,…
La lista de axiomas de la teoría NBG está completa. Se puede ver que NBG tiene solo un número finito de axiomas, a saber: axioma T (volumen), axioma P (pares), axioma N (conjunto vacío), axioma S (selección), axioma U (unión), axioma W ( conjunto de todos los subconjuntos), axioma R (sustitución), axioma I (infinito) y siete axiomas de la existencia de clases B1-B7.
Verifiquemos ahora que la paradoja de Russell no es derivable en NBG. Sea Y = (x x), es decir e.x (x Y x x). (Tal clase Y existe, en virtud del teorema sobre la existencia de clases (Proposición 4), ya que la fórmula x x es predicativa.) En el simbolismo original, es decir, no reducido, esta última fórmula se escribe de la siguiente manera: X (M(X) (X Y X X )). Digamos M(Y). Entonces Y Y Y Y, que, en virtud de la tautología (A A) A & & A, implica Y Y Y Y. De aquí, por el teorema de la deducción, obtenemos M(Y)(Y Y Y Y), y luego, en virtud de la tautología ( B (A & A)) B, obtenemos y M(Y). Por lo tanto, el razonamiento mediante el cual generalmente se deriva la paradoja de Russell en la teoría NBG conduce sólo al resultado de que Y es su propia clase, es decir, no un conjunto. Aquí estamos tratando con una forma típica de la teoría NBG de deshacerse de las paradojas ordinarias (por ejemplo, las paradojas de Cantor y Burali-Forti).
Definiciones de X Irr Y significa y (y Y X) y Rel (X).
(X es una relación irreflexiva sobre Y.)
X Tr Y significa Rel (X) & uvw (uY & vY & wY &
&X &X &X X).
(X es una relación transitiva en Y.)
X Parte Y significa (X Irr Y) y (X Tr Y).
(X ordena parcialmente a Y.)
X Con Y significa Rel(X) & uv (uY & vY & u ≠ v
X X).
X Tot Y significa (X Irr Y) & (X Tr Y) & (X Con Y).
(X ordena a Y.)
X We Y sirve como notación para Rel(X) & (X Irr Y) & Z (ZY &
& Z ≠ 0 y (y Z & v (v Z & v ≠ y X &
y X))).
(X ordena completamente a Y, es decir, la relación X es irreflexiva sobre Y, y cada subclase no vacía de la clase Y tiene el elemento más pequeño en el sentido de la relación X.)

El axioma de elección es una de las afirmaciones más famosas y controvertidas de la teoría de conjuntos.
Las siguientes fórmulas son equivalentes:
Axioma de elección (AS): Para cualquier conjunto x existe una función f tal que para cada subconjunto no vacío del conjunto x f' y y (dicha función se llama función de elección para x).
Axioma multiplicativo (Mult): Para cualquier conjunto x de conjuntos no vacíos y disjuntos por pares, existe un conjunto y (llamado conjunto de elección para x) que contiene exactamente un elemento de cada conjunto que es un elemento de x.
tu (tu x tu ≠ 0 y v (v x y v ≠ tu v ∩ tu = 0))
yu (u x 1w (w u ∩ y)).
El principio de pedido completo (W.O.): cada juego se puede pedir por completo. x y (y nosotros x).
Tricotomía (Trich): xy (x y y x).
Lema de Zorn: Si en un conjunto parcialmente ordenado x cada cadena (es decir, cada subconjunto ordenado) tiene un límite superior, entonces x tiene un elemento máximo.
xy ((y Parte x) & u (u x & y Tot u v (v x &w (w u w =
= v y))) v (v x &w (w x y))).
Prueba.
1. (W.O.) Trico. Sean dados los conjuntos xey. Según (W.O.), x e y se pueden ordenar completamente. Por lo tanto, existen números ordinales α y β tales que x α e y β. Pero dado que α β o β α, entonces x y o y x.
2. Trico (W.O.). Sea un conjunto de x. Según el teorema de Hartogs, existe un número ordinal α que no es igual a ningún subconjunto del conjunto x. Entonces, según Trich, x es equivalente a algún subconjunto y del número ordinal α, y un Ey completamente ordenado del conjunto y genera algún ordenamiento completo del conjunto x.
3. (W.O.) Mult. Sea x un conjunto de conjuntos disjuntos por pares, no vacíos. Según (W.O.), existe una relación R que ordena completamente el conjunto (x). En consecuencia, existe una función f definida sobre x tal que f'u para cualquier u x es el elemento más pequeño de u con respecto a R. (Tenga en cuenta que y (x).)
4. Aire acondicionado múltiple. Para cualquier conjunto x existe una función g tal que si hay un subconjunto no vacío de x, entonces g'u = u (u). Sea x1 el dominio de valores de la función g. Es fácil ver que x1 es un conjunto de conjuntos disjuntos por pares no vacíos. Basado en Mult, para x1 hay un conjunto de selección y. Por lo tanto, si 0 ≠ u y u x, entonces u (u) x1 e y contiene, además, el único elemento de u (u). La función f' u = v es la función de selección deseada para x.
5. AC Zorn. Sea y ordenar parcialmente un conjunto x no vacío de tal manera que cada cadena y en x tenga un límite superior en x. Basado en AC, para x existe una función de selección f. Consideremos un elemento arbitrario b del conjunto x, y por inducción transfinita definimos una función F tal que F'0 = b y F'α = f'u para cualquier α, donde u es el conjunto de todos los límites superiores v de el conjunto F'' α con respecto al ordenamiento y, que v x y v F'' α. Sea β el número ordinal más pequeño al que corresponde el conjunto vacío de supremas v del conjunto F'' β con respecto al ordenamiento v que pertenecen a x y no pertenecen a F'' β. (Existen números ordinales con esta propiedad; de lo contrario, la función F sería uno a uno con el dominio Op y con algún subconjunto del conjunto x como dominio, de lo cual el axioma de sustitución R implicaría que Op es un conjunto.) Sea g = β 1 F. La función g es uno a uno y ¿qué pasa si α

A principios del siglo XX, Bertrand Russell, mientras estudiaba la ingenua teoría de conjuntos, llegó a una paradoja (conocida desde entonces como la paradoja de Russell). Así, quedó demostrada la inconsistencia de la teoría ingenua de conjuntos y el programa de Cantor asociado para la estandarización de las matemáticas. Es decir, se descubrieron una serie de antinomias de la teoría de conjuntos: resultó que cuando se utilizan representaciones de la teoría de conjuntos, algunos enunciados pueden probarse junto con sus negaciones (y luego, de acuerdo con las reglas de la lógica proposicional clásica, absolutamente cualquier enunciado puede ser demostrado). "probado"). Las antinomias marcaron el completo fracaso del programa de Cantor.

Después del descubrimiento de la antinomia de Russell, algunos matemáticos (por ejemplo, L. E. Ya. Brouwer y su escuela) decidieron abandonar por completo el uso de representaciones de teoría de conjuntos. Otra parte de los matemáticos, liderada por D. Hilbert, hizo una serie de intentos de fundamentar esa parte de los conceptos de la teoría de conjuntos que les parecía menos responsable del surgimiento de las antinomias, sobre la base de matemáticas finitas obviamente confiables. Para ello se han desarrollado diversas axiomatizaciones de la teoría de conjuntos.

Una característica del enfoque axiomático es el rechazo de la idea subyacente del programa de Cantor sobre la existencia real de conjuntos en algún mundo ideal. En el marco de las teorías axiomáticas, los conjuntos "existen" de manera puramente formal, y sus "propiedades" pueden depender significativamente de la elección de la axiomática. Este hecho siempre ha sido blanco de críticas por parte de aquellos matemáticos que no estaban de acuerdo (como insistía Hilbert) en reconocer las matemáticas como un juego de símbolos carente de contenido. En particular, N. N. Luzin escribió que "el poder del continuo, si lo consideramos como un conjunto de puntos, es una realidad única", cuyo lugar en la serie de números cardinales no puede depender de si la hipótesis del continuo es reconocido como un axioma, o su negación.

Actualmente, la teoría de conjuntos axiomática más común es la ZFC, la teoría de Zermelo-Frenkel con el axioma de elección. La cuestión de la coherencia de esta teoría (y más aún, la existencia de un modelo para ella) sigue sin resolverse.

Axiomas de la teoría de conjuntos

Ahora tenemos todos los medios para formular un sistema de axiomas para la teoría de conjuntos ZFC, en cuyo marco podemos presentar todos los métodos de razonamiento generalmente aceptados en las matemáticas modernas y no sufrir ninguna de las paradojas conocidas de la teoría de conjuntos. Este sistema le permite construir todos los objetos matemáticos a partir de un conjunto vacío. Imaginemos el sistema de axiomas Zermelo - Frenkel (ZF).

Axioma de la existencia del conjunto vacío: Existe un conjunto vacío;

Axioma de la existencia de un par: Si existen conjuntos a y b, entonces existe un conjunto a, b;

Axioma de la suma: si hay un conjunto X, entonces hay un conjunto X=a a b para algún b X;

Axioma del infinito: Existe un conjunto = 0, 1,…,n,…, donde 0 =, n + 1 = n n;

Axioma del conjunto de todos los subconjuntos: Si hay un conjunto A, entonces hay un conjunto:

6. Axioma de reemplazo: si P(x, y) es alguna condición en los conjuntos x,y, tal que para cualquier conjunto x hay como máximo un conjunto en, satisfaciendo P(x, y), entonces para cualquier conjunto A hay un conjunto (b P(c,b) para algún c a);

7. Axioma de extensionalidad:

Dos conjuntos que tienen los mismos elementos son iguales; cualquier conjunto está definido por sus elementos:

8. Axioma de regularidad:

Todo conjunto x no vacío tiene un elemento a x para el cual

Del axioma de regularidad se deduce que cada conjunto se obtiene en algún paso del “proceso regular” de formación del conjunto de todos los subconjuntos, comenzando y similar a la construcción de números naturales a partir de un conjunto vacío según el axioma del infinito. . Esto significa que cualquier elemento de cualquier conjunto es un conjunto construido a partir del conjunto vacío.

Mostremos cómo la axiomática ZF nos permite definir operaciones de teoría de conjuntos.

1. Definamos el conjunto A B en base a los conjuntos A a B. Según el axioma de existencia de un par, se forma el conjunto (A, B). Usando el axioma de la suma, obtenemos el conjunto (A, B), que por definición coincide con el conjunto A B.

2. La intersección A B de los conjuntos A y B está determinada por el axioma de reemplazo usando la siguiente propiedad P(x, y): x = y y x A. Tenemos el conjunto (b P(c,b) y c B) = (b c = b y con A y con B) = (c con A y con B).

3. Demostremos que de los axiomas 5 y 6 se deduce la existencia de un conjunto A 2 = ((a, b) a, b A) para cualquier conjunto A. Dado que (a, b) = , entonces A 2 P( P(A)). Sea la propiedad P(x, y) significa que existen a, b A tales que x = e y = x. Entonces el conjunto A 2 es igual a (b P(c,b), c P(P(A))) y por el Axioma 6 existe.

El sistema de axiomas ZFC se forma a partir de ZF añadiendo uno de los dos axiomas equivalentes siguientes, que, por un lado, son los menos “obvios” y, por otro, los más significativos.

1. Axioma de elección.

Para cualquier conjunto A no vacío existe la siguiente aplicación: P(A) () A, tal que (X) X | para todo X A, X.

2. El principio de ordenamiento completo. Para cualquier conjunto A no vacío existe una relación binaria en A para la cual A es un conjunto bien ordenado.

En el sistema ZFC, es válido el principio de inducción transfinita, que es una generalización del principio de inducción completa: si A es un conjunto completamente ordenado, P(x) es una determinada propiedad, entonces la validez de la propiedad P(x ) en todos los elementos x A se desprende del hecho de que para cualquier z Y la satisfacibilidad de la propiedad P en los elementos y, donde y< z, влечет выполнимость P(z):

• a), (a, b
• a), (a, b

La teoría de conjuntos se basa en el cálculo de predicados, similar a la aritmética formal. Agregaremos un nuevo predicado de dos lugares al cálculo de predicados: la relación de pertenencia \in . Expresaremos algunos predicados más dentro de la teoría de conjuntos.

Para estudiar la teoría de conjuntos, también introduciremos un nuevo conectivo al cálculo de predicados: la equivalencia. a \leftrightarrow b:= a \rightarrow b \& b \rightarrow a.

El axioma fundamental excluye conjuntos que pueden pertenecer a sí mismos (quizás a través de una cadena de membresía):

X \en Y \en Z \en X

Está claro que este axioma se superpone al axioma de selección. La presencia del axioma de sustitución distingue la axiomática de Zermelo-Fraenkel de los axiomas de Zermelo.

En las relaciones binarias se introducen naturalmente las relaciones de reflexividad, simetría y transitividad.

También puede introducir el concepto de máximo, mínimo, límite superior, supremo.

Veamos los ordinales con más detalle. Primero, veamos final ordinales: 0:= \emptyset ; 1:= \(\conjuntovacío\); 2:= 1 \taza \(1\), etc. La existencia de estos ordinales es fácil de probar.

Además de los finitos, existen infinitos ordinales. Por ejemplo, este es el conjunto N del axioma del infinito. Tenga en cuenta que N \cup \(N\) es un nuevo ordinal, no igual al original.

Denotamos el límite mínimo ordinal por \omega. Está claro que cualquier número natural es menor que \omega.

La operación x \cup \(x\) se puede elegir como la operación de sumar 1. Para ordinales, se pueden definir operaciones aritméticas (+), (\cdot)\lt tex\gt . El resultado es una cierta generalización de los números naturales con propiedades extrañas. Digamos que será cierto \lt tex\gt 1 + \omega = \omega.

Los ordinales se vuelven importantes, por ejemplo, cuando se prueban enunciados mediante inducción transfinita: sea algún enunciado P(x) definido en ordinales. Demostremos que del hecho de que P(y) es válido en todos los ordinales y \lt z , se deduce que P(z) también es válido. Entonces P(x) es verdadera para cualquier ordinal. La inducción transfinita es una generalización de la inducción ordinaria. Por ejemplo, se ha utilizado para demostrar la coherencia de la aritmética formal.

Todos los números naturales son cardinales. Además, por ejemplo, \omega es un número cardinal (también se denota como \aleph_0 cuando hablamos de la potencia de conjuntos). 2^\omega — número cardinal \aleph_1, corresponde a la potencia del continuo.

¿Hay algún número cardinal entre \aleph_0 y \aleph_1? La hipótesis del continuo (que no hay otros números cardinales entre ellos) se planteó hace bastante tiempo y durante mucho tiempo fue uno de los principales problemas de la teoría de conjuntos. Primero, Gödel demostró que la hipótesis del continuo no contradice a ZF. La afirmación de que la negación de la hipótesis del continuo no contradice a ZF fue probada 30 años después por Cohen.

Axiomática de la teoría de conjuntos.

Explicación de los axiomas de ZFC

Los axiomas de ZFC incluyen:

0) un grupo de afirmaciones sobre la igualdad de conjuntos (1 axioma),

1) un grupo de afirmaciones sobre la existencia de conjuntos (2 axiomas),

2) un grupo de afirmaciones sobre la formación de conjuntos a partir de conjuntos existentes (3 axiomas y 2 esquemas), en el que se pueden distinguir tres subgrupos,

3) un grupo de afirmaciones sobre el orden de los conjuntos formados (2 axiomas).

0. Criterio de igualdad de conjuntos en ZFC

La siguiente afirmación expresa la condición necesaria para la identidad de dos conjuntos.

Axioma de extensionalidad (Axioma de volumen)

Nota

El "axioma del volumen" se puede formular de la siguiente manera: "Si cada elemento del primer conjunto pertenece al segundo conjunto, y cada elemento del segundo conjunto pertenece al primer conjunto, entonces el primer conjunto es idéntico al segundo [conjunto ]."

Una condición suficiente para la identidad de dos conjuntos tiene la forma y se deriva de los axiomas del predicado, a saber:

, , donde hay algún juicio matemáticamente correcto sobre , y es el mismo juicio, pero sobre .

Combinando la condición suficiente indicada [de identidad de conjuntos] con el axioma de volumen se obtiene el siguiente criterio para la igualdad de conjuntos:

1. Axiomas de ZFC sobre la existencia de conjuntos

El "axioma del volumen" sería una afirmación inútil si no hubiera conjuntos o sólo hubiera uno.

Las dos afirmaciones siguientes garantizan la existencia de al menos dos conjuntos diferentes, a saber: a) un conjunto en el que no hay nada, y b) un conjunto que contiene un número infinito de elementos.

Nota

El “axioma [de la existencia de] el conjunto vacío” se puede formular de la siguiente manera: “Hay [al menos un] conjunto sin un solo elemento”.

Está demostrado que el “axioma del conjunto vacío” es equivalente al enunciado . Por lo tanto, se puede dar un nombre a un único conjunto. Se utilizan dos nombres: y. Usando estos nombres, el “axioma del conjunto vacío” se escribe de la siguiente manera:

y donde

Nota

El "Axioma del Infinito" se puede formular de la siguiente manera: "Existe [al menos un] 'conjunto infinito' que consta de".

La afirmación sobre la existencia de un conjunto infinito difiere de la afirmación (falsa en esta axiomática) sobre la existencia del “conjunto de todos los conjuntos” ().

2. Axiomas de ZFC sobre la formación de conjuntos

Los siguientes cinco enunciados pueden denominarse axiomas para la formación de conjuntos [a partir de conjuntos existentes, incluido al menos uno].

Cada uno de estos cinco enunciados se crea sobre la base de un enunciado que se deriva de los axiomas del predicado.

Estas cinco afirmaciones se pueden agrupar en los siguientes subgrupos:

2.0) un grupo de postulados sobre la formación de conjuntos enumerando sus elementos,

2.1) un grupo de declaraciones sobre el establecimiento y abolición de familias de conjuntos,

2.2) un grupo de esquemas para la formación de conjuntos utilizando juicios matemáticamente correctos.

2.0. Postulados sobre la formación de conjuntos enumerando sus elementos.

La forma más sencilla de formar un nuevo conjunto [a partir de conjuntos existentes] es “señalar con el dedo” cada conjunto que debería convertirse en un elemento [del conjunto que se está formando]. En ZFC, este método de formar conjuntos está representado por un único axioma, en el que "señalar con el dedo" está modelado por el predicado.

¿Qué hay ahí?

Nota

El "axioma del par [desordenado]" se puede formular de la siguiente manera: "A partir de dos conjuntos cualesquiera es posible formar un 'par desordenado', es decir, un conjunto en el que cada elemento es idéntico a un conjunto dado o a un conjunto dado. "

Ejemplos

Está demostrado que el “axioma del par” es equivalente al enunciado. Por lo tanto, se puede dar un nombre a un único conjunto. Usando el nombre de pila, el "axioma del par" se escribe de la siguiente manera:

o

Los dos axiomas siguientes, llamados “axioma de subconjunto” y “axioma de unión”, pueden verse como un complemento natural del “axioma de par”. Para verificar esto, tenga en cuenta lo siguiente.

Se sabe que todo conjunto tiene subconjuntos, incluidos [una copia del conjunto vacío] y [una copia del conjunto mismo]. En otras palabras,

.

Guiado por el "axioma del par", se puede formar un par desordenado a partir de estos subconjuntos. Llamemos familia a esta pareja.

Si es posible formar una familia a partir de dos subconjuntos de un conjunto, entonces se puede declarar la formación de una familia a partir de todos los subconjuntos del conjunto.

Anunciar la formación de una familia. basta con exigir que cada elemento la familia nombrada era un subconjunto del conjunto , y cada subconjunto el conjunto nombrado era un elemento de la familia . En otras palabras, , lo que equivale a una propuesta , , .

Si es posible anunciar el establecimiento de una familia, entonces es posible anunciar la abolición de la familia nombrada.

Son concebibles varias formas de abolir una familia, entre ellas: 1) su abolición completa (aniquilación), es decir, que equivale a , 2) su abolición ficticia (reserva), es decir, que equivale a , 3) ​​su abolición inversa (disolución), es decir, que equivale a . Desde , en la medida en que la oferta equivalente a una propuesta , lo que implica una oración , que es un caso especial de la declaración .

De lo anterior se deduce que las declaraciones y pueden considerarse condicionalmente independientes.

2.1.0 Axioma del conjunto de subconjuntos (axioma booleano)

que es, donde

Nota

“El axioma del conjunto de subconjuntos” se puede formular de la siguiente manera: “A partir de cualquier conjunto se puede formar un “supermontón”, es decir, un conjunto en el que cada elemento es un subconjunto [propio o impropio] de un conjunto dado”.

Ejemplos desde

Está demostrado que el “axioma del conjunto de subconjuntos” es equivalente al enunciado . Por lo tanto, a un solo conjunto se le puede dar un nombre, que se pronuncia: "el conjunto de todos los subconjuntos [de un conjunto]" o "booleano [de un conjunto]". Usando este nombre, el “axioma de conjunto de subconjuntos” se escribe de la siguiente manera:

o que es

Nota

Axioma de unificación [de conjuntos] se puede formular de la siguiente manera: “A partir de cualquier familia de conjuntos es posible formar un “montón y mucho”, es decir, un conjunto en el que cada elemento pertenece al menos a un conjunto de esta familia”.

Ejemplos

Está demostrado que el axioma de unificación equivale al enunciado . Por lo tanto, a un solo conjunto se le puede dar un nombre, que se pronuncia: “unión de conjuntos de la familia”. Usando el nombre de pila, el axioma de unión se escribe de la siguiente manera:

o .

No se debe confundir la unión de conjuntos de la familia () con la intersección de conjuntos de la familia (), que se conoce:

, eso es

2.2. Esquemas para la formación de conjuntos utilizando juicios matemáticamente correctos.

Entre los enunciados matemáticos, existen axiomas de conexión, que incluyen:

a) un axioma de la conexión entre una operación algebraica (suma) y una operación algebraica (multiplicación)

,

b) el axioma de la conexión entre la relación de orden (menor o igual que) y la operación algebraica (suma)

Los dos enunciados siguientes, llamados “esquema de selección” y “esquema de transformación”, son axiomas de la conexión entre conjuntos (por ejemplo, el conjunto) y proposiciones matemáticamente correctas (por ejemplo, el juicio).

El “esquema de selección” y el “esquema de transformación” expresan la siguiente idea simple: “Todo juicio matemáticamente correcto sobre los elementos de cualquier conjunto conduce a la formación de [el mismo o diferente] conjunto”.

Los juicios matemáticamente correctos que aparecen en el “esquema de selección” permiten “llevar [a la comerciabilidad]” conjuntos que se forman, por ejemplo, utilizando el axioma booleano. Por lo tanto, estos juicios matemáticos son similares a las rebabas, las limas de aguja, los destornilladores de relojes y otras herramientas de acabado.

Las proposiciones matemáticamente correctas que aparecen en el “esquema de transformación” permiten crear “productos [matemáticos]” a partir de conjuntos [“aproximados”] formados, por ejemplo, utilizando el axioma booleano. Por tanto, estos juicios matemáticos son similares a las máquinas herramienta de precisión.

, qué es , dónde hay algún juicio matemáticamente correcto sobre , pero no sobre un conjunto o sobre un conjunto .

Nota

[Subconjunto] esquema de asignación puede formularse de la siguiente manera: “De cada conjunto se puede seleccionar [al menos un] subconjunto haciendo un juicio sobre cada elemento de un conjunto dado”.

Ejemplos

Se demuestra que el esquema de selección es equivalente al enunciado. Por lo tanto, se puede dar un nombre a un único subconjunto. Usando el nombre especificado, el esquema de asignación se escribe de la siguiente manera:

o

El esquema de selección equivale a un conjunto contable de axiomas.

¿Qué hay ahí?

Nota

Esquema de conversión [conjuntos] puede formularse de la siguiente manera: “Cualquier conjunto puede transformarse en [el mismo u otro] conjunto haciendo cualquier juicio funcional verdadero y matemáticamente correcto sobre todos los elementos del conjunto dado”.

Ejemplos

Se demuestra que existe un conjunto único en el esquema de transformación. Por lo tanto, al conjunto especificado se le puede dar un nombre. Usando el nombre especificado, el esquema de conversión se escribe de la siguiente manera:

o

El esquema de transformación equivale a un conjunto contable de axiomas.

3. Axiomas de ZFC sobre el orden de conjuntos

Las siguientes dos afirmaciones definen el orden de los conjuntos que se forman a partir de los axiomas de formación de conjuntos y cada uno de ellos los utiliza. En sentido figurado, las afirmaciones sobre el ordenamiento de conjuntos forman el “taller de clasificación” de la teoría ZFC, mientras que las afirmaciones sobre la formación de conjuntos forman el “taller de producción” de esta teoría.

Nota

El "axioma de regularidad" se puede formular de la siguiente manera: "En cualquier familia de conjuntos hay [al menos un] conjunto, cada elemento del cual no pertenece a la familia dada".

Ejemplos Comparar con las afirmaciones y , así como .

Nota

Comparar con declaraciones y.

Comparar con declaraciones y.

El “Axioma de Elección” se puede formular de la siguiente manera: “De cualquier familia de conjuntos disjuntos por pares no vacíos, se puede elegir una “delegación”, es decir, un conjunto en el que hay un elemento de cada conjunto de una familia dada. .”

Ejemplo Supongamos que una familia se forma a partir de un conjunto de números pares no negativos y un conjunto de números impares no negativos. En este caso, se cumplen todas las condiciones del “axioma de elección”, a saber: , , .

Por tanto, es posible formar al menos una "delegación" compuesta por un "delegado" (por ejemplo, cero) del conjunto y un "delegado" (por ejemplo, uno) del conjunto. En realidad: . .

Notas

1. Si ZFC es consistente, entonces su consistencia no se puede demostrar usando ZFC, según el segundo teorema de Gödel. Aquí presentamos los axiomas en los que se basará toda nuestra presentación posterior de la teoría de conjuntos. Estos axiomas nos permiten construir nuevos conjuntos a partir de conjuntos existentes, y en este sentido no difieren de los axiomas dados en el Capítulo I. La diferencia significativa es que aquí consideraremos conjuntos cuyos elementos son en sí mismos conjuntos, es decir, consideraremos familia de conjuntos (A, B, X, Y,…).

Repitamos, en primer lugar, el axioma del volumen. I . Axioma de volumen. si los conjuntos A

Y

B compuestos por los mismos elementos, coinciden.

Usando símbolos, este axioma se puede escribir como:
II . Axioma de la existencia de un conjunto vacío. hay tantos

.

B que ningún elemento

incógnita no le pertenece: . Axioma de volumen. ".Axioma de una pareja. por arbitrario no le pertenece: . Axioma de volumen. ".Axioma de una pareja. :

.

a b hay un conjunto cuyos únicos elementos son
III . Axioma de suma.
Para cada familia de conjuntos
: .

Según el axioma I, existe como máximo un conjunto de estos S.

De hecho, si

por arbitrario . Axioma de la existencia de un conjunto vacío.

y, según el axioma I,
.

Dado que el axioma III establece la existencia de al menos uno de esos conjuntos S, entonces se deduce que para cada
conjuntos S claramente definido. llamémoslo suma de conjuntos perteneciente a la familia
, y denotaremos S(I) o
.

IV . Axioma de grado. Para cada conjunto I hay una familia de conjuntos PAG , cuyos elementos son todos subconjuntos del conjunto I y solo ellos:
.

Es fácil demostrar que el conjunto I identifica de forma unívoca a la familia PAG. Él ( PAG) se llama su ( I) grado y se denota
.

V . Axioma del infinito. Existe tal familia de conjuntos. I , que pertenece a oh y si
, entonces en I hay un elemento Y , que consta de todos los elementos del conjunto. incógnita y la multitud incógnita :

.

Así, la familia I pertenece al conjunto oh, colocar norte 1 , cuyos únicos elementos son oh Y norte 1 , etcétera.

VI . Axioma de elección. Para cada familia I hay muchos conjuntos disjuntos vacíos si los conjuntos , teniendo un elemento en común con cada uno de los conjuntos
:

Para facilitar la lectura de esta expresión, tenga en cuenta que la función proposicional afirma la existencia de dicho elemento . Axioma de la existencia de un conjunto vacío. que las condiciones
Y
son equivalentes. Por lo tanto el elemento . Axioma de la existencia de un conjunto vacío.- el único elemento de la obra
, y la función proposicional en cuestión establece que este producto tiene un solo elemento.

Para una función expresiva arbitraria F(. Axioma de la existencia de un conjunto vacío.) Aceptemos el siguiente axioma:
.

- este axioma depende de los demás, por eso no le damos un número separado.

. Axioma de selección para la función expresiva F. Para un conjunto arbitrario I Hay un conjunto que consta de aquellos y sólo aquellos elementos del conjunto. I , que (siendo sustituido en lugar de variables . Axioma de la existencia de un conjunto vacío. ) satisface F.

Simbólicamente, este axioma se puede escribir de la siguiente forma (suponiendo que la variable si los conjuntos no encontrado en F):

si en F(. Axioma de la existencia de un conjunto vacío.) hay variables (libres) distintas a . Axioma de la existencia de un conjunto vacío., entonces desempeñan el papel de parámetros de los que depende. si los conjuntos.

Es obvio que muchos si los conjuntos determinado únicamente por la función expresiva F(. Axioma de la existencia de un conjunto vacío.) , muchos I y selección de variables . Axioma de la existencia de un conjunto vacío..

lo denotaremos
o
y leer: “muchos de esos . Axioma de la existencia de un conjunto vacío. de I, que satisfacen F(. Axioma de la existencia de un conjunto vacío.) ».

Para cada función proposicional que no contiene variables . Axioma de la existencia de un conjunto vacío. Y si los conjuntos, aceptemos el siguiente axioma.

. Axioma de sustitución de la función expresiva F. Si para cada . Axioma de la existencia de un conjunto vacío. solo hay un elemento y , tal que Φ( . Axioma de la existencia de un conjunto vacío. ), luego para cada conjunto I hay muchos si los conjuntos , que consta de esos y sólo esos elementos y , que para algunos
realizar F( . Axioma de la existencia de un conjunto vacío. ).

Pongamos el significado intuitivo de este axioma. Supongamos que la condición del axioma es verdadera, es decir, para cada . Axioma de la existencia de un conjunto vacío. solo hay un elemento y, realizando F(. Axioma de la existencia de un conjunto vacío.) . Llamemos a este elemento y seguidor de elementos . Axioma de la existencia de un conjunto vacío.. Axioma
afirma que entonces para cada conjunto I hay muchos si los conjuntos, que consta de todos los sucesores de los elementos del conjunto. I y sólo de ellos.

Por ejemplo, dejemos
, entonces el seguidor del conjunto incógnita habrá muchos 2 . Axioma de la existencia de un conjunto vacío.. El axioma de reemplazo establece que para cada familia de conjuntos I hay una familia de conjuntos si los conjuntos, cuyos elementos son el conjunto 2 . Axioma de la existencia de un conjunto vacío., Dónde
.

Axiomas I a VI y todos los axiomas
(y del número es infinito), donde F– función expresiva arbitraria de la clase , forman un sistema (infinito) de axiomas, que denotaremos
. Cayendo en
axioma de elección (VI), obtenemos un nuevo sistema de axiomas y lo denotamos .

El papel que desempeñan los axiomas individuales en la teoría de conjuntos sólo puede apreciarse plenamente después de conocer sus consecuencias. Aquí sacaremos sólo algunas conclusiones generales.

Los axiomas en las teorías matemáticas pueden desempeñar un doble papel.

En algunos casos, los axiomas caracterizan completamente una teoría, es decir, en algún sentido definen los conceptos primarios de esta teoría.

Por ejemplo, en teoría de grupos definimos un grupo como un conjunto con operaciones que satisfacen los axiomas de esa teoría.

En otros casos, los axiomas formalizan sólo algunas propiedades de los conceptos primarios de la teoría, y luego su propósito no es proporcionar una descripción completa de los conceptos primarios, sino más bien una sistematización del significado intuitivo de estos conceptos.

Es precisamente este propósito el que tendrán los axiomas en secciones posteriores de la teoría de conjuntos.

Axiomas III, IV, VI,
son los llamados axiomas condicionales de existencia : Permiten sacar conclusiones sobre la existencia de ciertos conjuntos dado que existen otros conjuntos.

Construcciones realizadas sobre la base de los axiomas III, IV, VI,
, son inequívocos.

Al mismo tiempo, el axioma VI no define unívocamente el conjunto cuya existencia afirma: para una familia dada I En términos generales, existen muchos conjuntos de conjuntos disjuntos no vacíos. si los conjuntos satisfaciendo el axioma de elección.

Los axiomas II y V merecen el nombre de axiomas absolutos de existencia: postulan la existencia de ciertos conjuntos y no están limitados por ninguna condición.