El formato de Word según la muestra se restablece al desplazarse. ¿Cómo utilizar el botón de Word - formato de muestra? Estilos y formato

Como descubrimos en lecciones anteriores, incluso los primitivos tomados como base nos permiten crear diversos cuerpos tridimensionales, desde objetos abstractos hasta modelos completamente reales, mediante una serie de sencillas manipulaciones. Se abren perspectivas aún mayores cuando se utilizan formas como objetos iniciales, que son un conjunto de curvas bidimensionales o tridimensionales. Las formas combinan dos tipos de objetos: Splines y Curvas NURBS. Veamos los splines en esta lección, ya que son más populares y se usan con más frecuencia en el modelado. Sin embargo, estudiaremos sólo las técnicas más simples para trabajar con splines y dejaremos los temas del modelado de splines para las siguientes lecciones.

¿Qué son las splines?

Los splines (función polinómica por partes de Spline) son objetos geométricos bidimensionales que son completamente independientes y pueden servir como base para construir cuerpos tridimensionales más complejos. Externamente, los splines son una variedad de líneas; la forma de la línea está determinada por el tipo de vértices por los que pasa. Los splines pueden ser las formas geométricas más simples: rectángulos, estrellas, elipses, etc., así como líneas discontinuas o curvas complejas, así como contornos de caracteres de texto.

Los elementos principales de los splines son los vértices ( Vértice) y segmentos ( Segmento). Los vértices son puntos ubicados en una spline, y el primer vértice, que indica el comienzo de la spline, está marcado con un cuadrado blanco. Generalmente se entiende por segmento una sección de una línea spline delimitada por dos vértices adyacentes, que pueden ser segmentos rectos o curvos. Los vértices spline difieren en tipo, lo que determina el grado de curvatura de los segmentos spline adyacentes a estos vértices. Hay cuatro tipos de vértices en total (Fig.1):

1. Esquina(Esquina) Vértice en el que el spline tiene una ruptura y los segmentos adyacentes no tienen curvatura.
2. Liso(Suavizado) un vértice a través del cual se dibuja la curva spline con una curvatura suave, y la curvatura de los segmentos adyacentes al vértice es la misma en ambos lados.
3. Bézier(Bézier) un vértice que se asemeja a uno suavizado y se diferencia de él en la capacidad de controlar el grado de curvatura de ambos segmentos. Esto último se consigue gracias a la presencia de vectores tangentes en el vértice, limitados en los extremos por marcadores en forma de cuadrados verdes y llamados asas de Bézier. Al mover los controladores de Bézier, puede cambiar la dirección en la que los segmentos spline entran y salen de un vértice, y al cambiar la distancia desde los controladores al vértice, puede ajustar el grado de curvatura de los segmentos spline. En vértices de este tipo, los mangos de Bézier están interconectados y el movimiento de uno de ellos provoca automáticamente el movimiento del segundo.
4. Bézier Esquina: un vértice que tiene vectores tangentes que le permiten controlar el grado de curvatura de los segmentos; sin embargo, a diferencia de los vértices de Bézier, los vértices de las esquinas de Bézier tienen vectores tangentes que no están conectados entre sí y el movimiento de uno de los marcadores no depender del movimiento del otro.

Los segmentos también difieren en tipo: Curva o Línea. Al seleccionar el tipo Curva, puede obtener segmentos curvos si los vértices son suaves o tienen un tipo Bézier, pero en el caso de vértices de esquina, incluso si configura el tipo Curva, el segmento permanecerá lineal. Al seleccionar el tipo de Línea, se ignora el tipo de vértice, lo que hace que un segmento de este tipo siempre aparezca lineal.

Creando splines

Primero, experimentaremos con los splines más simples, que son formas geométricas ordinarias. Activar categoría de objeto formas(Formularios) barra de comandos Crear(Creación), en la lista de tipos de objetos, especifique el tipo Splines(Splines). Esto hará que aparezca en el panel un grupo de herramientas correspondientes a los tipos de splines (Fig. 2). Se utilizan herramientas para construir splines estándar. Rectángulo(Rectángulo), Círculo(Círculo), Elipse(Elipse), Arco(Arco), Rosquilla(Anillo), NGon(N-gón), Estrella(Estrella), Texto(Texto), Hélice(espiral) y Sección(Sección). Su construcción es similar a la creación de primitivas, y la ubicación de los vértices y la naturaleza de cualquiera de los objetos nombrados se establecen mediante parámetros en el momento de la creación en el panel. Crear(Creación), y más adelante en el panel. Modificar(Cambiar). Herramienta Línea(Línea) está diseñado para crear splines de un tipo no estándar y funciona de manera ligeramente diferente.

formas geométricas

Como ejemplo, intente crear algunas splines estándar en forma de formas geométricas, como polígono, estrella y espiral, como se muestra en la Fig. 3. Intente renderizar seleccionando el comando Renderizado=>Renderizador y haciendo clic en el botón Prestar. Nos familiarizaremos con este proceso en detalle más adelante, pero por ahora simplemente explicaremos que el renderizado generalmente se lleva a cabo en la etapa final del trabajo, es necesario visualizar el modelo creado y su tarea principal es hacer que el modelo sea lo más parecido posible. a la realidad como sea posible. Después de renderizar, no verá ninguna imagen en la ventana que se abre; el hecho es que las splines no se renderizan de forma predeterminada. Para hacerlos visibles durante el renderizado, seleccione la primera spline y active el panel Modificar(Cambiar) y en el scroll renderizar Renderizable(Visualizable). Realice una operación similar para las otras dos splines y renderice nuevamente; las splines se volverán visibles (Fig. 4).

Por ahora, todas las splines tienen el mismo grosor, lo cual es fácil de arreglar cambiando cada una de ellas en el scroll. renderizar Valor del parámetro (renderizado) Espesor(Espesor). Presta atención al pergamino Parámetros(Parámetros), que define los parámetros básicos de cada tipo de spline: dimensiones, número de vértices, etc. Para practicar, aumenta el grosor de cada spline, cambia el número de vértices del polígono y la estrella, y aumenta el número de vueltas. en la espiral, por ejemplo, como se muestra en la Fig. 5, 6 y 7. Tenga en cuenta que todos los cambios se reflejaron en las ventanas de proyección, excepto el aumento del grosor de las splines, que se mantuvo igual, está bien, todo es como debe ser, ya que la opción predeterminada Mostrar malla de renderizado(Mostrar estructura alámbrica renderizada) está deshabilitado. Puede asegurarse de que el grosor realmente haya cambiado renderizando (Fig. 8) o simplemente activando esta casilla de verificación. Experimente con otros parámetros de spline, muévalos entre sí e intente crear una composición única basada en ellos, por ejemplo, la que se muestra en la Fig. 9.

Texto

Para crear texto, vuelva a cargar el archivo con el comando Archivo=>Restablecer(Archivo=>Restablecer), en el panel Crear(Crear) seleccione el tipo nuevamente Splines(Splines) y activar la herramienta. Texto(Texto). En el menú desplegable de parámetros de creación de splines que se abre, ingrese el texto deseado, seleccione la fuente y establezca sus parámetros (Fig. 10). Luego haga clic en una de las ventanas de proyección, esto hará que aparezca un fragmento de texto (Fig. 11).

Antes de renderizar, mueva el texto para que esté todo a la vista, active el panel Modificar(Cambiar), en un pergamino renderizar Casilla de verificación (Renderizado) Renderizable Espesor(Espesor), por ejemplo hasta 10. Renderice y asegúrese de que incluso manipulaciones tan simples le permitan obtener una versión interesante del texto tridimensional (Fig. 12).

Pauta

Al crear tipos anteriores de splines, no prestamos atención a los vértices y segmentos, es más, ni siquiera recordábamos los diferentes tipos de vértices; Con las líneas spline todo es diferente; dependiendo de las características de la construcción de la curva, se complementarán con vértices de diferentes tipos. Hacer clic izquierdo en la ventana gráfica con una herramienta seleccionada Línea(Línea) dará como resultado un nuevo punto de esquina ( Esquina), y al mover el mouse mientras se mantiene presionado el botón izquierdo, aparece un vértice Bézier ( Bézier). Este principio de creación de vértices está configurado de forma predeterminada y, si es necesario, se puede cambiar en el despliegue. Método de creación(Método de creación) en el panel Crear(Cambiar) fig. 13. Para hacer esto, simplemente cambie la posición de los interruptores. Tipo inicial(Tipo de vértice al hacer clic) y Tipo de arrastre(Tipo de vértice al arrastrar). Tenga en cuenta que en la mayoría de los casos no debe cambiar los métodos para crear vértices (para no confundirse), es mucho más conveniente tomar como base el principio predeterminado y primero crear contornos con solo vértices de esquina y luego cambiar el tipo de aquellos vértices para los cuales es necesario hacer esto.

Al hacer clic derecho finaliza el dibujo de la línea spline. Cuando intentas colocar un vértice en la ubicación del punto inicial del spline, aparece la pregunta " ¿Cerrar spline?"("¿Cerrar la spline?") una respuesta afirmativa dará como resultado un contorno cerrado; de lo contrario, el contorno se romperá y sus vértices límite se podrán mover de forma independiente.

En teoría, existe un segundo método para crear una spline a partir de líneas. Modo Teclado Entrada(Entrada por teclado), que consiste en introducir las coordenadas (X, Y y Z) de cada uno de los vértices manualmente desde el teclado (Fig. 14). Cada nuevo vértice se agrega directamente usando el botón Agregar punto(Agregar vértice), botón Finalizar(Finalizar) le permite terminar de crear la spline y el botón Cerca(Cerrar) crea un segmento que conecta el primer vértice con el último.

Para fortalecer sus habilidades para trabajar con líneas spline, intente crear la spline que se muestra en la Fig. 15, y guárdalo en disco, luego lo convertiremos en un vaso. Tenga en cuenta que esta spline sólo contiene vértices de esquina. Lo más conveniente es comenzar a crear un contorno desde el vértice inferior derecho (está marcado en el contorno con un cuadrado blanco) y, dado que la mayoría de los segmentos están conectados entre sí en ángulo recto, mantenga presionada la tecla mientras construye estos fragmentos de el contorno Cambio(esto asegurará la formación de ángulos ideales).

Formas spline compuestas

Dos tipos de formas spline estándar Rosquilla(Anillo) y Texto(Texto) se diferencian fundamentalmente de todos los demás tipos de splines en que contienen más de un spline en un formulario y, por tanto, pertenecen a formularios compuestos. El anillo contiene dos estrías circulares. El número de splines simples que componen un objeto de texto es al menos igual al número de letras que contiene, y tal vez más si el texto contiene letras que constan de varios splines. La principal ventaja de una spline compuesta en comparación con una spline normal es la capacidad de realizar operaciones en todas las partes de la forma de la spline a la vez, lo cual es más rápido y conveniente. Pero este no es el único problema; hay que recurrir a formas compuestas en otros casos, por ejemplo, cuando es necesario realizar una operación booleana sobre splines.

Para convertir una spline simple en una compuesta, debe desactivar la casilla de verificación junto al botón Iniciar nueva forma(Iniciar un nuevo formulario) fig. 16. Después de esto, cualquier nueva spline se convierte en parte integral de la forma spline existente. Al habilitar esta casilla de verificación se cancelará este modo y las siguientes splines ya formarán sus propias formas.

Intentemos crear una imitación de una celosía simple en forma de una tira compuesta; estas celosías se utilizan a menudo para crear varias cercas. Primero, crea un tipo de spline. Rectángulo(Fig. 17), y luego vaya al modo de creación de formulario compuesto desactivando la casilla de verificación Iniciar nueva forma(Iniciar un nuevo formulario). Agregue un arco al rectángulo usando la herramienta Arco (Fig. 18). Tenga en cuenta que para alinear los extremos del arco con el contorno del rectángulo, es más conveniente utilizar la modificación manual de los parámetros. De(De) y A(B), definiendo los puntos inicial y final del arco. Sin incluir casilla de verificación Iniciar nueva forma, completa la forma con una serie de líneas aproximadamente como en la Fig. 19.

Arroz. 19. Aparición de un grupo de líneas.

Haga clic en una parte vacía de cualquier ventana gráfica para anular la selección del entramado y luego selecciónela con la herramienta Seleccionar objeto(Seleccionando un objeto) se seleccionará toda la red, lo que indica su unidad. Esto le permitirá configurar parámetros para todas las splines incluidas en el formulario a la vez, lo cual es muy conveniente. Activar el panel Modificar(Cambiar), en un pergamino renderizar Casilla de verificación (Renderizado) Renderizable(Visualizado) y aumentar el valor del parámetro. Espesor(Espesor). Renderice tal vez la red resultante se parezca a la de la Fig. 20. Sin embargo, la celosía resultó ser imperfecta, ya que dividir el arco en el mismo número de segmentos a simple vista es problemático. Para tales fines, es mejor utilizar la capacidad de dividir segmentos automáticamente en un número determinado de partes iguales, pero esto implica editar la forma a nivel de subobjeto, por lo que volveremos a la cuestión de la creación de una red más adelante.

Además, el principio de fijación del espesor no está del todo bien elegido; en una celosía real, su base rectangular suele tener un espesor mucho mayor que las varillas individuales. Para tener en cuenta este aspecto, es necesario crear una celosía a partir de splines individuales o editarla posteriormente a nivel de segmento.

Edición de splines

Los splines se pueden editar a dos niveles: a nivel de forma paramétrica y a nivel de subobjetos: vértices, segmentos y también splines, si hablamos de un spline compuesto.

La edición a nivel de forma paramétrica o de objeto se realiza de la forma habitual cuando el panel está activado. Modificar(Cambiar) y le permite adjuntar otras splines a la spline y cambiar una serie de parámetros de spline especificados al crearla (Fig. 21).

Editar splines a nivel de subobjeto le permite convertir incluso el spline más simple en un objeto complejo de casi cualquier configuración, ya que la cantidad de transformaciones disponibles no se puede comparar con la lista de posibilidades al editar a nivel de objeto en su conjunto (Fig. 22 ). Para que un spline sea editable a nivel de subobjeto, debe convertirse en un objeto de tipo Spline editable(Spline editable) usando el comando Convertir a=>Convertir a spline editable(Convertir a=>Convertir a spline editable). Un objeto así deja de ser paramétrico; ya no se puede editar a nivel de parámetro, cambiando ancho, alto, radio, etc., pero se puede modificar a nivel de vértices y segmentos.

La selección del nivel deseado de subobjetos se realiza haciendo clic en el botón correspondiente en el menú desplegable. Selección paneles Modificar. Para seleccionar los subobjetos mismos, utilice las herramientas de selección habituales: Seleccionar objeto, Seleccionar y mover, Seleccionar y escalar(Seleccionar y escalar), Seleccionar y rotar(Seleccionar y rotar) y Región de selección(Selección de forma) para seleccionar áreas de una forma específica. Si necesita seleccionar secuencialmente varios objetos mientras selecciona, mantenga presionada la tecla Control.

Herramientas básicas para cambiar la geometría de subobjetos: vértices ( Vértice), segmentos ( Segmento) y splines en general ( Ranura) están en el pergamino Geometría(Editar geometría), que está disponible cuando se activa el panel Modificar(Cambiar). El tipo de subobjetos se controla a través del menú contextual.

Cambiar el tipo de subobjetos

En la práctica, la mayoría de las veces es necesario cambiar los tipos de vértices, eligiendo el tipo deseado entre cuatro posibles: Esquina(Esquina), Liso(Suavizado), Bézier(Bézier) y Esquina Bézier(Esquina Bézier). Es mucho menos común necesitar cambiar los tipos de segmentos o splines; aquí sólo hay dos opciones: Curva(Curva) y Línea(Línea). El cambio de tipo se realiza a través del menú contextual, que se abre haciendo clic derecho en los objetos seleccionados, mientras que el tipo actual siempre está marcado, y para cambiarlo basta con seleccionar cualquier otro tipo de subobjeto.

Por ejemplo, la herramienta Línea(Línea) cree una polilínea a partir de dos segmentos (Fig. 23) haciendo clic izquierdo en sus tres vértices. Tenga en cuenta que en el modo normal los vértices de la polilínea no están resaltados con iconos especiales; Cambie al modo de edición de vértices; esto dará como resultado que tres de sus vértices se muestren en la polilínea: el punto inicial se marcará con un cuadrado blanco y los otros dos puntos con cruces (Fig. 24). Haga clic en el vértice central con el botón derecho del mouse y vea una marca de verificación junto a la palabra Esquina en el menú contextual que se abre (Fig. 25), esto prueba que el vértice es efectivamente angular. Cambie el tipo de este vértice a Bézier(Bézier) la apariencia del contorno cambiará inmediatamente (Fig. 26).

Edición a nivel de vértice

Al editar a nivel de vértice, las operaciones más interesantes en el despliegue de Geometría son las siguientes:

• Refinar(Refinar) le permite agregar vértices adicionales sin cambiar el contorno de la spline, lo que puede ser necesario para la ruptura posterior de la spline en un punto determinado;
• Romper(Romper) le permite romper el contorno en cualquier vértice seleccionado, creando así dos vértices coincidentes, pero aún separados;
• Insertar(Insertar) permite insertar un vértice en cualquier punto del spline, moverlo inmediatamente y continuar agregando nuevos vértices;
• Borrar(Eliminar) se utiliza para eliminar los vértices seleccionados;
• Soldar(Fusionar) es responsable de fusionar dos extremos seleccionados o vértices coincidentes en uno, teniendo en cuenta el valor del parámetro Umbral de soldadura(Umbral de fusión), que especifica la distancia a la que se fusionarán los vértices coincidentes;
• Fusible(Zoom) le permite acercar los puntos seleccionados entre sí; usar esta operación es útil antes de soldar los vértices usando la operación Soldar;
• Conectar(Conectar) conecta dos vértices en los extremos de un spline abierto con un segmento de línea recta;
• Filete(Redondo) le permite redondear cualquier esquina;
• Chaflán(Chaflán) se encarga de eliminar un chaflán recto desde cualquier ángulo.

Por ejemplo, cree una spline en forma de estrella (Fig. 27). Para acceder a la edición de vértices, conviértalo en una spline editable haciendo clic derecho en la spline y seleccionando el comando Convertir a=>Convertir a spline editable(Convertir a=>Convertir a spline editable). Secuencialmente cuando se presiona la tecla Control seleccione todos los vértices exteriores de la estrella y luego haga clic en el botón Filete y redondee las puntas para que la estrella se convierta en una flor (Fig. 28). Seleccione todos los vértices internos y combínelos en un punto haciendo clic en el botón Fusible, y luego combínelos usando la operación Soldar(Figura 29). Y finalmente, intenta redondear los pétalos con la ayuda de una operación. Filete(Figura 30). El resultado obtenido se muestra en la Fig. 31.

Y ahora, una tarea más compleja: abra el archivo creado previamente con un espacio en blanco para un vaso. Cambie al modo de edición de vértices activando el panel Modificar(Cambiar) y haciendo clic en el botón Vértice(Picos). Escale la imagen y luego verifique si todos los vértices están en su lugar y, si es necesario, mueva uno u otro vértice con la herramienta. Seleccionar y mover(Seleccione y mueva) para que todos los segmentos formen los ángulos deseados entre sí.

Seleccione el que se muestra en la Fig. 32 vértice y cambie su tipo a Bezier Corner especificándolo en el menú contextual. Cambie el grado de curvatura del segmento adyacente a este vértice aproximadamente como se muestra en la Fig. 33. Seleccione el que se muestra en la Fig. 34 vértice y redondear la esquina correspondiente haciendo clic en el botón Filete(Redondo) y cambiando gradualmente el valor del parámetro en el campo del contador correspondiente o moviendo el vértice con el mouse (Fig. 35). De manera similar, doble la esquina en el vértice superior (Fig. 36). Transforme el que se muestra en la Fig. 37 tipo de arriba a arriba Esquina Bézier(esquina de Bézier), y luego cambiar la curvatura de los segmentos adyacentes al vértice de acuerdo con la Fig. 38.

Agregue un vértice adicional a la ruta haciendo clic en el despliegue Geometría(Geometría) en el botón Refinar(Especificar) y haciendo clic en el lugar del contorno donde debería aparecer un nuevo vértice (Fig. 39). Tenga en cuenta que en el modo de agregar puntos al contorno, cuando el mouse toca el contorno, la apariencia del cursor cambia en este momento y debe hacer clic. Haga clic en el botón nuevamente Refinar para cambiar al modo de edición normal. Transforme el que se muestra en la Fig. 40 apunta a una esquina de Bézier, y luego cambia la curvatura del segmento adyacente al punto (Fig. 41).

Intentemos crear un cuerpo de revolución basado en este spline, es decir, un modelo con simetría axial central. En las siguientes lecciones nos familiarizaremos con una variedad de ejemplos de cómo convertir formas splines en modelos tridimensionales, pero por ahora nos limitaremos al cuerpo de rotación como la forma más sencilla de modelar. Estos modelos se crean girando una spline alrededor de un eje arbitrario y se utiliza un modificador para llevar a cabo esta operación. Torno(Rotación).

Aplique el modificador Torno (Rotación) a la spline construida ejecutando el comando desde el menú principal Modificadores=>Edición de parches/spline=>Torno(Modificadores=>Edición de parches/splines=>Rotación). Tenga en cuenta que la lista Lista de modificadores añadido a la línea Torno. Para configurar la opción de rotación en un grupo Alinear(Alineación) del pergamino Parámetros(Opciones) haga clic en el botón máx.(Máximo), en grupo Producción(Salida) seleccione la opción Parche(Parche), en un grupo Dirección(Dirección del eje) seleccione la opción Y(Figura 42). Ir a proyección Perspectiva y sin deseleccionar el objeto en el scroll Parámetros(Opciones), active la casilla de verificación Voltear normales(Rotación normal) verá aproximadamente el mismo cristal que se muestra en la fig. 43.

Edición a nivel de segmento

Editar splines a nivel de segmento le permite:

• operación de dividir una spline en partes separadas Romper(Smash);
• agregar nuevos vértices a la operación de segmentos existentes Refinar(Especificar);
• segmentos separados, transformándolos en formas independientes, Despegar(Separado);
• operación de eliminar segmentos Borrar(Borrar);
• agregar el número especificado de vértices en el segmento seleccionado, dividiéndolo en partes iguales, operación Dividir(Dividir).

Para practicar la edición a nivel de segmento, volvamos a la red e intentemos modelarla nuevamente, teniendo en cuenta los errores identificados. Para hacer esto, cree nuevamente un rectángulo spline y agréguele un arco (Fig. 44). Vaya al modo de edición de segmentos, seleccione el que se muestra en la Fig. 45 segmentos. Luego haga clic en el botón Dividir(Dividir), habiendo indicado previamente en el campo al lado del botón el número de vértices a sumar (Fig. 46). Realice una operación similar para el lado izquierdo del rectángulo y para cada uno de los segmentos del arco (Fig. 47).

Active el ajuste de vértices: esto garantizará que los vértices coincidan perfectamente al agregar nuevas splines. Para hacer esto, haga clic derecho en la herramienta en la barra de herramientas principal. Alternar instantáneas(Snap Switch), en la pestaña broches(Enlaces) active la casilla de verificación Vértice(Vértices), y luego haga clic izquierdo nuevamente en Alternar instantáneas para activar el modo. Vaya al modo de edición de vértices y habilite la opción de agregar líneas haciendo clic en el botón Gran linea(Crear línea). La diferencia entre esta herramienta y la herramienta. Línea(Línea) es que se agregarán automáticamente nuevas líneas a la spline editada. Comienza a crear las líneas que quieras. Tenga en cuenta que a medida que se acerca a la cima, el marcador del mouse se convierte en una cruz azul (Figura 48). La rejilla terminada se muestra en la Fig. 49 la distancia entre las barras de la red ahora es la misma y los vértices coinciden con los límites de la red. Para hacer que la base de la celosía sea más gruesa que las barras individuales, divida la forma en dos estrías separadas: el marco y las barras de la celosía. Vaya al modo de edición de segmentos, seleccione los segmentos del marco y haga clic en el botón Despegar(Separados) los segmentos seleccionados se convertirán en objetos independientes. Luego seleccione el marco y establezca un grosor para él y otro para las varillas, y renderice. La red resultante se muestra en la Fig. 50.

Edición a nivel de spline

La edición a nivel de spline le permite:

• operación de unión de splines Adjuntar(Unirse);
• crear contornos de un ancho específico a lo largo de la operación splines Describir(Circuito);
• Estrías de espejo operación vertical, horizontal o diagonal Espejo(Reflexión);
• intercambiar los puntos inicial y final de las splines Operación inversa;
• aplicar varios modificadores a splines, realizar operaciones booleanas en operaciones de splines Booleano(booleano), etc.

Para comprender los matices de editar formas a nivel de spline, intentemos crear un modelo de marco de ventana. Primero, cree una spline rectangular y conviértala en una spline editable (comando Convertir a=>Convertir a spline editable Convertir a => Convertir a spline editable). Cambie al modo de edición de splines y para simular el grosor del marco, cree un trazo alrededor del contorno haciendo clic en el botón Describir(Contorno), con parámetros de desplazamiento del orden de 5-10 (Fig. 51). Cree las particiones internas de la ventana en forma de líneas spline y complételas exactamente con los mismos contornos (Fig. 52). Tenga en cuenta que los fragmentos del marco están ubicados uno encima del otro; esta es una condición necesaria para realizar operaciones booleanas (las veremos en detalle en una de las siguientes lecciones, pero por ahora nos limitaremos a un experimento) . Renderice, activando los parámetros necesarios, y verá que si bien el marco no se ve en absoluto como le gustaría, todos los contornos que se superponen entre sí son visibles (Fig. 53).

Ahora necesitamos combinar las splines individuales en una sola forma. Seleccione el marco en sí, vaya al modo de edición de spline, haga clic en el botón Adjuntar(Adjuntar), y luego primero en una barra transversal interior, y luego en la segunda la forma se volverá uniforme. En el modo de edición de splines, seleccione el interior del marco (Fig. 54), active el botón Sustracción(Excepción), haga clic en el botón Booleano(Booleano), y luego a lo largo del puente horizontal. Esto fusionará el marco con la barra transversal horizontal (Fig. 55). Seleccione nuevamente el interior del marco y realice los mismos pasos, especificando una partición vertical en lugar de una horizontal, renderice y obtenga un solo bloque de ventana (Fig. 56).

Arroz. 55. Resultado de la primera operación booleana.

Y finalmente, intentemos crear una plantilla para un logotipo de Windows en 3D. Herramienta Arco cree un arco (Fig. 57), haga una copia del arco y colóquelo un poco más alto (Fig. 58). Convierta cualquiera de los arcos en una spline editable y acceda al modo de edición de vértices. Activa el botón Adjuntar(Adjuntar) y especifique el segundo arco como el que se adjuntará, como resultado, los arcos se convertirán en splines separados de una sola forma (Fig. 59). Conecte los puntos inicial y final de ambos arcos. Para hacer esto, en el modo de edición de vértices, haga clic en el botón Conectar(Conectar), coloca el ratón sobre el primer vértice, pulsa el botón izquierdo y, sin soltarlo, arrastra el segmento hasta el segundo vértice. Luego realice la misma operación para los otros dos vértices (Fig. 60).

Aplicar un modificador a todo el formulario. Extrudir(Extrusión) seleccionando el comando del menú principal Modificadores=>Edición de malla=>Extruir(Modificadores=>Editar mallas=>Extrusión) y seleccionando experimentalmente el valor deseado para el parámetro Cantidad. El resultado será una superficie convexa volumétrica, como en la Fig. 61. Tenga en cuenta que la lista Lista de modificadores añadido a la línea Extrudir. Haga una copia de este formulario y coloque ambos formularios como se muestra en la Fig. 62. Trabajar alternativamente con herramientas. Seleccionar y mover(Seleccionar y mover) y Seleccionar y rotar(Seleccione y gire), cambie la posición de la superficie clonada de acuerdo con la Fig. 63. Haga una copia de ambas superficies y coloque las cuatro superficies como aparecen en el logotipo. ventanas. Cuando termine, seleccione los colores; el resultado se muestra en la Fig. 64.

Además, la curva que describe la deformación de una regla flexible fijada en puntos individuales es una spline. Entonces, existe un modelo físico de la función spline (o, por el contrario, la función spline es un modelo matemático de una regla flexible). Desde hace mucho tiempo se ha encontrado en matemáticas un enfoque intuitivo para el uso de funciones por partes en problemas de aproximación. El modelo físico, llamado analogía mecánica de un spline, es una viga de soportes múltiples que no experimenta carga externa y cuyas deformaciones son causadas por reacciones internas a desplazamientos dados de los soportes en nodos fijos. Matemáticamente, este modelo se describe mediante la ecuación diferencial de la deformación de la viga y es un problema de valores límite multipunto, para cuya solución se utilizó el método de cuadrícula conocido en ese momento, que obtuvo una solución exactamente de esta forma, hoy llamada spline. Pero, como señaló el científico soviético Nikolai Korneychuk, la invasión de los splines en la teoría de la aproximación se produjo debido al problema de la interpolación, gracias a sus buenas propiedades computacionales y de aproximación. Los splines tienen propiedades de aproximación excepcionalmente buenas, versatilidad y facilitan la implementación de algoritmos computacionales derivados de ellos. Al mismo tiempo, los algoritmos para construir splines coinciden con el algoritmo del método de elementos finitos, que es el principal método industrial de análisis de resistencia en sistemas de diseño asistido por computadora (CAD).

La teoría de la interpolación spline y el término en sí. ranura se remontan a un artículo de Isaac Schoenberg (ing. Isaac Jacob Schoenberg) de 1946. Su desarrollo particularmente intensivo se produjo en los años 50-70. Actualmente, CAD se ha convertido en el área de aplicación tradicional para el uso de splines de interpolación. Sin embargo, las capacidades potenciales de los splines son mucho más amplias que simplemente describir algunas curvas. En el mundo real, una gran cantidad de procesos físicos son splines por su propia naturaleza. En mecánica, se trata de la deformación de una placa o varilla flexible fijada en puntos individuales; la trayectoria de un cuerpo si la fuerza que actúa sobre él cambia paso a paso (la trayectoria de un objeto espacial artificial con segmentos de movimiento activos e inerciales, la trayectoria de un avión con un cambio paso a paso en el empuje del motor y un cambio en el perfil del ala, etc. .). En termodinámica, se trata del intercambio de calor en una varilla compuesta de fragmentos con diferente transferencia de calor. En química, difusión a través de capas de diversas sustancias. En electricidad, propagación de campos electromagnéticos a través de medios heterogéneos. Es decir, un spline no es una abstracción matemática ficticia, sino que en muchos casos es una solución a ecuaciones diferenciales que describen procesos físicos muy reales.

Comencemos a mirar los splines con la definición de spline algebraico. Una función definida y continua en un intervalo. [a,b] (\displaystyle), llamado spline polinomial orden metro (\displaystyle m) con nudos x j ∈ (a ≤ x 0< . . . < x n ≤ b) {\displaystyle x_{j}\in (a\leq x_{0}<..., si en cada uno de los segmentos [ x j − 1 , x j) (\displaystyle (3) (\displaystyle \left[(\begin(array)(*(20)(c))((P_(j))((t_(j)))= f((t_(j))))\\((P_(j))((t_(j-1)))=f((t_(j-1))))\\(((P") _(j))((t_(j)))=f"((t_(j))))\\(((P")_(j))((t_(j-1)))=f "((t_(j-1))))\\\end(array))\right]\qquad (3))

le permite determinar de forma única los cuatro coeficientes del polinomio. Para un polinomio de quinto grado, se debe agregar la condición de igualdad de la segunda derivada en los extremos del segmento, etc. De lo anterior debe quedar claro por qué los splines se construyen principalmente a partir de polinomios de grados impares (con un número par de coeficientes).

Para polinomios de grados pares al ensamblar el sistema (3):

• la derivada en uno de los extremos del segmento permanece indefinida;
• y la condición de igualdad de derivadas (suavidad de la curva) no se cumplirá,

por lo tanto, para un polinomio de segundo grado es imposible lograr la igualdad de la primera derivada en los puntos de unión, y para un polinomio de cuarto grado, a la segunda derivada, etc. Para construir splines con grados pares, se agregan artificialmente condiciones adicionales a Forme un sistema de ecuaciones similar a (3). Si las derivadas de un polinomio spline se definen de la misma manera que las derivadas correspondientes de la función interpolada, el spline se llama hermitiano.

P j (n) (t j) = f n (t j) , P j (n) (f j − 1) = f n (t j − 1) (4) (\displaystyle P_(j)^((n))((t_ (j)))=(f^(n))((t_(j))),\qquad P_(j)^((n))((f_(j-1)))=(f^(n) ))((t_(j-1)))\qquad (4))

Existen métodos locales para construir splines de Bessel y Akimi, B - splines [ ] . Básicamente, cuando hablamos de splines, nos referimos a splines construidos a partir de polinomios algebraicos. Es a ellos a quienes se aplica la definición anterior. Estos splines son los más estudiados. Sin embargo, un spline puede estar formado por fragmentos de funciones de cualquier clase. EN [ ] Se considera la construcción de tales splines y se investigan sus propiedades. Autor [ ¿OMS?] no da una definición general de los splines construidos. Obviamente, para cualquier clase de funciones que componen un spline, la definición dada al principio del artículo no es del todo adecuada. Por ejemplo, si una spline consta de segmentos exponenciales, entonces el concepto de defecto de spline pierde su significado. Aunque el número de derivadas continuas seguirá siendo una característica importante. La construcción de un spline, cuyos fragmentos son funciones discontinuas (funciones racionales, funciones de Padé), está algo más allá del alcance de la idea del spline, ya que una de las principales ventajas de los splines es su suavidad. Si ampliamos arbitrariamente tales construcciones, se borran las diferencias entre splines y funciones de pieza. Otra ventaja de los splines es la eficiencia computacional. La excesiva complejidad de los fragmentos reduce significativamente la ventaja de los splines sobre las funciones clásicas.

Las siguientes características son características de los splines: un spline consta de fragmentos: funciones de la misma clase, que difieren solo en sus parámetros, se imponen ciertas condiciones a los fragmentos vecinos en los puntos de unión, que se reducen a la continuidad de valores y; algunas primeras derivadas. Los splines son una dirección de las matemáticas aplicadas que se está desarrollando rápidamente. Internet contiene una extensa bibliografía sobre splines (base de datos de bibliografía Spline (SBD)).

Clasificación de splines

Como se señaló anteriormente, existe una gran cantidad de estructuras llamadas splines. Por tanto, es necesario introducir una determinada clasificación en esta variedad, con el objetivo de identificar aquellas características que permitan seleccionar splines adecuados para un problema de aplicación específico.

Asignación de splines. Según su finalidad, se pueden distinguir tres grupos principales de splines: "splines de interpolación" o "splines funcionales" - que pasan exactamente por puntos dados, "splines de suavizado" - que pasan por puntos dados, teniendo en cuenta los errores en su determinación; “splines de correlación”: pasar por un conjunto de puntos de correlación y mostrar su dependencia general (tendencia, regresión). La interpolación y los splines funcionales se utilizan en problemas de modelado geométrico, por ejemplo, para definir los contornos de los cascos de embarcaciones y aviones. Los splines de suavizado se utilizan con mayor frecuencia para describir las dependencias de experimentos físicos con un error de medición conocido. Los splines de correlación se utilizan como gráficos de regresión no lineal, el más simple de los cuales puede considerarse una descripción de la dependencia mediante una función lineal escalonada y por partes (splines de cero y primer grado).

Vista de fragmentos spline. El hecho de que un spline esté formado por fragmentos del mismo tipo es una de las características clave que lo distingue de otras funciones de piezas. Sin embargo, existen splines combinados que constan de fragmentos de diferentes splines.

Los splines más famosos son los que consisten en fragmentos de polinomios algebraicos de no más de un grado determinado. Como regla general, estos son polinomios cúbicos o polinomios de grados impares: primero, tercero (cúbico), quinto grado. Los grados superiores rara vez se utilizan debido a la complejidad de los cálculos y las dificultades descritas en el apartado anterior. Su principal ventaja es la simplicidad de los cálculos y análisis. La desventaja es que relativamente pocos procesos físicos reales se ajustan a esta relación.

Splines exponenciales. Si se tira de una regla de metal flexible fijada en los nodos, entonces la solución de la ecuación diferencial no será un polinomio algebraico, sino exponencial. Por lo tanto, tales splines también se denominan tenso. El exponente describe muchos procesos físicos en sistemas dinámicos. La desventaja es la complejidad de los cálculos.

Por analogía mecánica con una regla de metal, que es un modelo de cálculo de una viga, se obtienen estrías de rigidez variable, descritas en los trabajos de V. F. Snigirev y A. P. Pavlenko. Inicialmente, tales estrías se denominaron degeneradas o logarítmicas, ya que la solución era la misma. La ecuación diferencial spline original, que es un fragmento spline, contendrá funciones logarítmicas naturales. La rigidez en ellos puede actuar como una función de peso, si está predeterminada, y como una función de control, que se encuentra a partir de las condiciones del mínimo funcional de la energía del operador de la ecuación spline original, similar a la energía potencial total de deformación de una regla (viga). La función de rigidez le permite controlar la forma de la spline. En el caso en que la función de rigidez sea una función de control, dichas splines se denominan splines de rigidez mínima.

Los splines trigonométricos son aquellos cuyos fragmentos están descritos por polinomios trigonométricos. Tienen expresiones de cálculo bastante complejas. En las obras de B. A. Popov se describen más de cincuenta fragmentos de splines de diferentes tipos.

También existen splines racionales y splines de Padé. Su característica es la posibilidad de romper las derivadas en fragmentos, con continuidad en los nodos. M. Ansermet construye splines fraccionarios, donde los fragmentos se especifican mediante la función gamma.

La viabilidad de utilizar fragmentos de un determinado tipo se basa en las condiciones específicas de la tarea y las limitaciones de implementación. Como regla general, el requisito principal es lograr una precisión de interpolación determinada con un costo aceptable de tiempo y recursos para su implementación. Una selección exitosa de fragmentos que coincidan con la naturaleza del proceso le permite reducir el tiempo de cálculo y la cantidad de memoria requerida.

Número de fragmentos. Evidentemente, el número mínimo de fragmentos es uno. La definición clásica de spline limita el número de fragmentos a un número determinado en un segmento finito. Sin embargo, es posible construir splines con un número infinito de fragmentos, pero en realidad estos métodos y algoritmos no requieren información sobre un cierto número de fragmentos. Los representantes de estos splines son cardenal splines estudiados por Schoenberg. Los splines locales son más adecuados para construir splines con un número ilimitado de fragmentos.

Ancho de fragmentos. Se deben seleccionar splines con anchos de fragmentos iguales. Esto le permite simplificar significativamente las expresiones de cálculo, acelerar el funcionamiento de los algoritmos y reducir los costos de implementación. Se puede lograr cierta simplificación utilizando fragmentos con múltiples anchos. Hay splines con ancho de fragmento cero (De Boer). Esto conduce a una multiplicidad de nudos y a la capacidad de aproximar splines con fragmentos continuos de funciones discontinuas. Las expresiones calculadas se obtienen como resultado de pasajes al límite. Los splines también pueden tener fragmentos con ancho infinito. Estos fragmentos deberían ser extremos. A veces esto permite establecer condiciones límite de forma natural. Estrictamente hablando, el ancho de los fragmentos depende de la elección del parámetro, el argumento de la función spline, y esto requiere resolver un problema de parametrización separado. La elección ideal para un parámetro es la longitud de la función interpolada, que no siempre se conoce, por lo que existen muchas formas de resolver este problema. El método de parametrización más común es mediante cuerdas.

Condiciones para unir fragmentos.. Otra característica importante que distingue a los splines. Cuando se trata de splines, normalmente se supone que los fragmentos encajan sin problemas. Es decir, se asegura la continuidad de los valores de la primera derivada. Concepto defecto estriado está asociado al número de derivadas continuas que tiene una función fragmento de cierto tipo y al número de derivadas cuya continuidad está garantizada en los nodos. Exponente, la onda sinusoidal tiene un número infinito de derivadas. Para ellos este concepto no tiene significado. Por tanto, es más conveniente hablar directamente del número de derivadas cuya continuidad está garantizada en los nodos spline. En la práctica, estamos hablando de la continuidad de los valores y de la primera, o como máximo segunda, derivada. La brecha entre la segunda derivada y la superior no se nota visualmente, por lo que rara vez se tiene en cuenta. Está claro que la primera derivada en los puntos de unión se puede especificar de diferentes maneras. Los más comunes son dos métodos. El valor de la primera derivada se elige para asegurar la continuidad de la segunda (splines cúbicos globales de defecto mínimo). La primera derivada es igual a la primera derivada de la función interpolada (posiblemente aproximadamente) en splines hermitianos.

Condiciones de contorno . Hay 4 tipos de condiciones de contorno clásicas y varias no clásicas. Si los splines tienen un número limitado de fragmentos, entonces, naturalmente, no tienen los fragmentos más externos a la izquierda y a la derecha, por lo que los nodos más externos no tienen nada a qué conectarse. Las únicas excepciones son los splines periódicos, que tienen una continuación natural (tipo 3 de condiciones de contorno clásicas). A veces, las condiciones de frontera con derivada cero se denominan naturales, aunque no hay razón para considerarlas más naturales que otras, pero para un spline cúbico las condiciones de frontera naturales (naturales) son un caso especial del segundo tipo de condiciones de frontera clásicas, que especifica la segunda derivadas en los bordes del spline. En este caso, igualar las segundas derivadas a cero libera los bordes de la regla de metal de la carga con un momento flector, que ocurriría naturalmente al aplicarla a nodos fijos (dados) en el espacio físico. En el primer tipo de condiciones de contorno clásicas, se especifican las primeras derivadas (tangentes) en los bordes del spline; en el tipo 2, se especifican las segundas derivadas (curvatura); El tercer tipo se utiliza para la interpolación de líneas cerradas o periódicas y consiste en unir los fragmentos extremos del spline; El 4º tipo se utiliza cuando no se conocen ni la primera ni la segunda derivada en los bordes del spline y consiste en unir pares adyacentes de fragmentos extremos (1º con 2º y último con el penúltimo) utilizando la tercera derivada, lo que en la práctica se implementa dibujando pares a lo largo de los nodos de los fragmentos extremos adyacentes de una función similar a un fragmento de una spline (para una spline polinómica, un polinomio del mismo grado que el fragmento de spline). Se utilizan varias combinaciones de condiciones de contorno, que se reducen a estos 4 tipos de condiciones clásicas. Si las condiciones de contorno no pueden reducirse a estos cuatro tipos, como, por ejemplo, un cambio en un par de fragmentos extremos adyacentes de un spline de su tercera derivada según una ley lineal (afín), propuesta en los trabajos de V.F. , entonces tales condiciones se denominan una versión no clásica de las condiciones de frontera. A continuación se muestran algunas opciones que se reducen a condiciones de contorno clásicas. Si el spline tiene fragmentos del mismo ancho, se consideran los fragmentos faltantes del mismo ancho. Otra opción es considerar los fragmentos faltantes extendidos hasta el infinito. La ventaja de este enfoque es la posibilidad de extrapolación. El ancho de los fragmentos puede considerarse cero. Las expresiones calculadas se obtienen pasando al límite. Si consideramos las condiciones de contorno desde el punto de vista de la formación de un spline a partir de funciones básicas, entonces se reducen a la continuación de las funciones básicas locales correspondientes. El ancho de los fragmentos adyacentes afecta su forma. Y un corte simple a menudo provoca oscilaciones y un mayor error en los bordes. Las condiciones de contorno son importantes en el procesamiento de imágenes y en problemas de extrapolación.

Restricciones adicionales. La mayoría de las veces se refieren a derivados en nodos. A veces surgen de la física del proceso. Condiciones: inalienabilidad de valores, igualdad de momentos, áreas, condiciones de normalización. Las condiciones adicionales a veces simplifican el análisis de las propiedades de los splines, pero pueden complicar seriamente los costos de construcción e implementación.

Cuadrícula de puntos de interpolación. Puede afectar significativamente la eficiencia de los cálculos. Son importantes los casos de malla uniforme y malla uniforme, donde la distancia entre puntos es múltiplo de la distancia entre nodos spline. Encontrar una cuadrícula de puntos de interpolación (nodos de interpolación) es una tarea de parametrización, que ya se analizó en la sección "Ancho de fragmentos".

Propiedades locales de funciones básicas.. Se puede considerar un spline como una suma de splines de base ponderados. Lo importante es el ancho de estas funciones básicas. Por lo tanto, en los splines globales, los splines de base son distintos de cero en todo el segmento de interpolación. Aunque cabe señalar que con cierta precisión (suficiente para muchos cálculos técnicos) pueden considerarse locales. Para splines locales, el ancho de las funciones base es pequeño (cuatro fragmentos para splines hermitianos cúbicos). Esto afecta significativamente la eficiencia de los cálculos y los costos de implementación.

Formulario de presentación. Las funciones que definen fragmentos de spline, por regla general, dependen de muchos parámetros por los cuales cambian su forma. Los valores de los parámetros de cada fragmento son individuales. Estos parámetros pueden especificar una spline específica. Para splines polinomiales, estos son coeficientes polinomiales. Por tanto, un spline puede representarse mediante un conjunto de parámetros de función en cada uno de los fragmentos. Llamemos a esta representación fragmento por fragmento. Esta representación es visual y a menudo tiene un significado físico claro. Pero la cantidad de parámetros es excesiva. Entonces, para un spline cúbico necesitas tener 4 * (r-1) parámetros ( r- número de nodos spline). Esta representación se obtiene como resultado de la integración indefinida de un fragmento de la ecuación diferencial spline original y se denomina forma polinómica similar por partes (forma pp) por analogía con los splines polinomiales. Para expresar explícitamente los coeficientes a través de los valores ya conocidos de las coordenadas de los puntos nodales, se utiliza una expansión de una forma polinómica por partes similar en funciones básicas sustituyéndola en las condiciones de contorno de Hermite (condiciones de contorno de un fragmento de spline, interpolación condiciones y dependencia de derivados). El resultado es la forma básica (forma B) del spline. Esta representación de un spline es mucho más compacta y se escribe mediante funciones spline básicas en la forma:

S (x) = ∑ j = 1 r a j B j (x) (\displaystyle S(x)=\sum \limits _(j=1)^(r)((a_(j))(B_(j)) (incógnita))),

Dónde B j (x) (\displaystyle (B_(j))(x))- funciones spline básicas (generalmente locales), un j (\displaystyle a_(j))- coeficientes numéricos que especifican el peso de las funciones básicas al formar una spline, cuyo significado físico son los movimientos generalizados (lineales y angulares) de una regla metálica en los nodos. El número de parámetros que definen la spline es igual al número de nodos de la spline. Existe una relación entre los parámetros de la función del fragmento y los coeficientes del polinomio spline, lo que permite encontrar otros con algunos coeficientes, aunque las fórmulas pueden tener una forma bastante compleja.

La conversión de una forma polinómica por partes similar de representación spline a la forma básica reduce el orden del sistema de ecuaciones algebraicas lineales para encontrar coeficientes spline desconocidos, ya que se expresan parcialmente a través de parámetros ya conocidos: las coordenadas de puntos dados (nodos), que pueden reducir significativamente los costos computacionales debido a la capacidad de aplicar métodos de solución económicos, como el método de barrido algebraico o variaciones del método gaussiano para matrices dispersas (de banda) con la elección del elemento principal de la columna.

Contenido de los coeficientes spline.. Como se señaló en el párrafo anterior, el contenido de los parámetros spline en una representación fragmento por fragmento está determinado por el tipo de función. En una representación polinómica, cabe destacar el caso en el que los coeficientes tienen el mismo significado físico que los datos de entrada. Es decir, los coeficientes son los valores de spline en los nodos. Esta forma se llama Lagrange, por analogía con el polinomio de Lagrange. Cabe señalar que los splines de base de esta forma son iguales a uno en el nodo central y a cero en todos los demás.

Los coeficientes de interpolación y los splines funcionales siempre contienen los valores de coordenadas de puntos dados resultantes de las condiciones de interpolación. Y también, dependiendo de las condiciones de soporte de las derivadas, contienen los valores de las derivadas correspondientes en los límites del fragmento spline (en los puntos nodales). Como regla general, al escribir tales condiciones, un fragmento spline en sus límites se basa en la primera o segunda derivada. El apoyo de un fragmento spline en las primeras derivadas refleja claramente el significado físico, ya que las primeras derivadas (tangentes) son desplazamientos angulares (rotaciones) de una regla de metal con respecto al eje transversal. El uso de spline en segundas derivadas se utiliza para simplificar el tipo de expresiones de cálculo con el fin de reducir errores al reescribirlas manualmente; sin embargo, en algunos casos, el uso de tales expresiones en condiciones adicionales puede conducir a soluciones triviales.

splines especiales. En algunos casos, se consideran funciones que están cerca del límite entre splines y funciones ordinarias, así como splines y funciones de pieza. Por ejemplo, se trata de splines que constan de dos fragmentos. Tienen una versión simplificada de construcción, pero se debe prestar especial atención a las condiciones de contorno.

Los splines especiales incluyen un spline normalizado ortogonal multidimensional que describe un modelo no lineal de una neurona artificial (modelo spline de Khakimov). Se utiliza para modelar la dependencia de una función de un conjunto de argumentos.

Ver también

Notas

Vershinin V.V., Zavyalov Yu.S., Pavlov N.N. Propiedades extremas de las splines y el problema del suavizado. - Novosibirsk: Ciencia, 1988, UDC 519.651

Rozhenko Alexander Iosifovich. Teoría y algoritmos de aproximación spline variacional: Dis. ... Doctor en Física y Matemáticas. Ciencias: 01.01.07: Novosibirsk, 2003 231 p. RSL OD, 71:05-1/136

Shikin E. V., Plis L. I. Curvas y superficies en la pantalla de la computadora. Una guía del usuario sobre splines. - M.: DIALOG-MEPhI, 1996. - 240 p. ISBN 5-86404-080-0, UDC 681.3 Ø57

Khakimov B.V. Modelado de dependencias de correlación mediante splines utilizando ejemplos de geología y ecología. - San Petersburgo. : Neva, 2003. - 144 p. - ISBN 5-211-04588-2.

Pavlenko Alexey Petrovich. Aplicación de soluciones generalizadas para el diseño de elementos de vigas de estructuras de aeronaves y la formación de splines funcionales: Dis. ...candó. tecnología. Ciencias: 07.05.02, 13.05.18 Kazán, 2007. 185 RSL OD, 61 07-5/5391

Ranura(Inglés) ranura - tabla, listón) - una función cuyo dominio de definición se divide en un número finito de segmentos, en cada uno de los cuales el spline coincide con alguna función algebraica. El grado máximo de las funciones utilizadas (generalmente polinomios) se llama grado del spline. La diferencia entre el grado de un spline y la suavidad de su contorno (la ausencia de discontinuidades en las coordenadas, en la primera y segunda derivada) se denomina defecto spline. Por ejemplo, una línea discontinua continua hecha de segmentos rectos es una spline de grado 1 y un defecto 1 (en los puntos de conjugación de los segmentos spline, la primera derivada se rompe, se viola la suavidad).

Los splines tienen numerosas aplicaciones, tanto en teoría matemática como en una variedad de aplicaciones computacionales. En particular, los splines de dos variables se utilizan intensamente para definir superficies en varios sistemas de modelado por computadora.

Con la interpolación spline que se muestra en la Fig. 2.8, la función original se reemplaza por segmentos de parábolas cúbicas que pasan por cuatro puntos nodales adyacentes. Los coeficientes de las parábolas se calculan de modo que coincidan las coordenadas en los puntos de conjugación de los fragmentos spline, así como la primera y la segunda derivada (el defecto spline es cero).

La línea que describen tales funciones spline se asemeja en forma a una regla flexible fijada en puntos nodales.

Calcular un spline generalmente se reduce a resolver un sistema de ecuaciones lineales.

2.4. Aproximación

Una tarea muy extendida en el procesamiento y modelado de datos es representar su totalidad mediante alguna función. F(incógnita). La tarea de aproximación es obtener los parámetros de esta función, de modo que la función se aproxime a la “nube” de puntos iniciales con el error cuadrático medio más pequeño . La aproximación suele basarse en método de mínimos cuadrados.

2.4.1. Aproximación polinomial

Un polinomio es una expresión de la forma: en=A 0 +A 1 hora incógnita+A 2 horas incógnita 2 +...+A norte H incógnita norte

en cada uno de norte puntos para los cuales se conocen los valores incógnita i Y y i, encontramos la suma de las desviaciones al cuadrado de los valores calculados y medidos.

Para encontrar la mejor aproximación es necesario encontrar el mínimo de esta función para las variables: A Oh, A 1 , A 2 , ..., A norte.

Solución: diferenciar la función F para cada una de estas variables e igualar la derivada a cero. Después de transformaciones simples obtenemos un sistema de ecuaciones lineales. Resolviendo este sistema, puedes encontrar los coeficientes desconocidos del polinomio. A Oh, A 1 , A 2 , ..., A norte.

Coeficientes para incógnitas	Gratis
un	...	un 2	un o	miembro
	...
	...
...	...	....	.....	....
	...		norte

En la figura 2 se presenta un ejemplo de aproximación polinomial de datos. 2.10.

Arroz. 2.10 Aproximación polinomial

2.4.2. Aproximación lineal

Un caso particular, pero también el más popular, de aproximación polinómica es la aproximación lineal. Con aproximación lineal, la función y(incógnita) describe un segmento de recta y tiene la forma y(incógnita) = a + bx (Figura 2.11).

Arroz. 2.11. Aproximación lineal

2.4.3. Método de mínimos cuadrados para una función arbitraria

Función y(incógnita) puede representarse mediante una función derivable arbitraria (figura 2.12). En la práctica, no se recomienda utilizar funciones con grados superiores a 4-6; los errores de implementación aumentan considerablemente.

Arroz. 2.12. Aproximación por funciones arbitrarias

2.5. Suavizado de datos

Los datos de la mayoría de los experimentos tienen componentes aleatorios (ruido), por lo que es necesario suavizar estadísticamente los datos.

En este caso, el conjunto se calcula z =z 1 ,z 2 ,...z norte valores de función suavizados F(incógnita,y), dado por conjuntos de valores de argumentos incógnita =incógnita 1 ,incógnita 2 ,...incógnita norte Y Y =y 1 ,y 2 ,...y norte valores de función correspondientes.

Función de suavizado, dado por una tabla de valores en puntos espaciados desigualmente, utilizando un polinomio de primer grado construido a partir de k (al menos tres puntos) a puntos sucesivos usando el método de mínimos cuadrados (Fig. 2.13).

Arroz. 2.13. Suavizado de datos

En k= 3 – por cada tres puntos consecutivos (incógnita j-2, y j-2),( incógnita j-1, y j-1), ( incógnita j, y j) Para j=3,...norte se construye una secuencia de polinomios de primer grado W. j ( incógnita)=metro j incógnita+b j, dando en estos puntos la desviación más pequeña de los dados en el sentido de mínimos cuadrados.

Determinación de probabilidades metro j Y b j polinomio W. j ( incógnita) obtenido por el método de mínimos cuadrados.

Valores suavizados requeridos z j = W. j ( incógnita) = metro j incógnita + b j se calculan mediante la fórmula:

2.6. Extrapolación de datos (predicción)

Al extrapolar sobre un número de puntos dados, se calcula un número determinado norte puntos posteriores.

En la figura. 2.14 la línea continua muestra la gráfica de la función que describe la posición de los puntos dados, la línea de puntos muestra la predicción (extrapolación de la gráfica).

Arroz. 2.14. Extrapolación de datos

2.7. Diferenciación numérica

Interpolación geométrica de la primera derivada: es igual a la tangente del ángulo tangente.

Al calcular la derivada de una función dada por una tabla, es necesario determinar los valores de la función. y izquierda y derecha a distancias iguales de ese valor incógnita , para lo cual queremos calcular el valor de la derivada y dividir su diferencia entre h (en la práctica, esto se reduce a una determinación aproximada de la tangente del ángulo tangente, cuanto menor h , más preciso será el resultado (Fig. 2.15):

Arroz. 2.15. Diferenciación numérica

.

Valores se puede encontrar por interpolación.

2.8. Cálculo de la integral definida.

Interpretación geométrica de una integral definida: el área de una figura geométrica formada por la gráfica del integrando y el eje de abscisas en el intervalo.

Una forma sencilla y al mismo tiempo buena es la siguiente: la sección de integración se divide en varios intervalos pequeños iguales. La integral de cada intervalo pequeño es aproximadamente igual al producto de la longitud del intervalo y el valor promedio del integrando al principio y al final. Este método se llama método trapezoidal , porque el resultado es como si en cada pequeño intervalo el arco de la gráfica fuera reemplazado por su cuerda, y el área bajo este arco (el valor de la integral) fuera reemplazada por el área del trapezoide resultante con bases verticales ( Figura 2.16).

Arroz. 2.16. método trapezoidal

La fórmula correspondiente es:

donde por brevedad se denota.

Se puede obtener una fórmula aún más efectiva si la curva en un intervalo pequeño se reemplaza por una parábola, es decir gráfico de dependencia cuadrática.

Dividamos el área de integración de incógnita = a a incógnita= b en un número par de intervalos iguales. Límites de intervalo: . Denotamos la longitud del intervalo. h , Entonces .

Esta fórmula se llama la fórmula de simpson . Las ventajas de la fórmula de Simpson en comparación con la fórmula trapezoidal son especialmente notables a medida que aumenta el número. norte intervalos de partición. Se puede demostrar que en este caso el error de la fórmula trapezoidal disminuye en proporción inversa a norte 2 , y el error de la fórmula de Simpson es inversamente proporcional norte 4 .

2.9. Solución numérica de ecuaciones diferenciales.

Ecuación diferencial de primer orden: ,

Dónde y – función desconocida de incógnita .

Generalmente se cree que esta ecuación se puede resolver con respecto a la derivada, es decir tiene la forma: . Para resolver la ecuación es necesario establecer las condiciones iniciales: incógnita = incógnita 0 y y = y 0 .

Si la ecuación es de la forma y se dan las condiciones iniciales incógnita=incógnita 0 y y=y 0 , entonces, sustituyendo los valores incógnita 0 Y y 0 en la función, encontraremos el valor de la derivada en el punto incógnita 0: .

Valor de la función: , donde D incógnita – pequeño incremento incógnita .

De ahí el valor de la función. y 1 = y(incógnita 1) = ,

Dónde incógnita 1 = incógnita 0+D incógnita .

Ahora, tomando el punto ( incógnita 1 ,y 1) para el original, puedes obtener el punto exactamente de la misma manera y 2 = y(incógnita 2) = , Dónde incógnita 2 = incógnita 1+D incógnita . Así, paso a paso, es posible calcular secuencialmente los valores de la función para diferentes incógnita .

Un ejemplo de ecuación diferencial de primer orden es la ecuación básica del movimiento de un tren: , Dónde - Fuerza resultante específica dependiendo de la velocidad.

La construcción de una curva de velocidad de un tren en función de la distancia recorrida se realiza sobre la base de la integración gráfica o analítica de la ecuación básica del movimiento del tren:

, donde es la fuerza resultante específica. (1)

Para integrar gráficamente la ecuación básica del movimiento de un tren, se han desarrollado varios métodos (método de Lipetz, método de Uprein), que se basan en la aproximación de la curva de velocidad por segmentos de tangentes (Lipets) o arcos (Uprein).

Los métodos de integración analítica suelen estar asociados con el uso de método de euler y sobre esta base, en total conformidad con las disposiciones conocidas de las matemáticas, se llega a una conclusión sobre la precisión de la construcción de la curva.

El método de la polilínea de Euler se basa en la idea de construir gráficamente una solución a una ecuación diferencial. Este método también proporciona una manera de encontrar la función deseada en forma numérica (tabular).

La idea del método es que durante un breve intervalo de cambio en la variable independiente, la curva integral de la ecuación diferencial se reemplaza por un segmento de línea recta (tangente).

A partir de aquí, se puede repetir el proceso para el hueco, etc. Número h es el paso de la mesa.

Fórmula de trabajo para determinar valores. y según el método de Euler tiene la forma , Dónde

La curva integral geométrica se reemplaza por una línea discontinua llamada línea discontinua de Euler (figura 2.17).

El método de Euler tiene poca precisión; además, el error de cada nuevo paso, en general, aumenta sistemáticamente. El método más práctico para evaluar la exactitud es, en este caso, el método de doble conteo, con pasos h y con pasos h/ 2. La coincidencia de decimales en los resultados obtenidos por los dos métodos da motivos naturales para considerarlos correctos. El error del método es proporcional. h 2 . Hay varios refinamientos del método de Euler que aumentan su precisión de modo que el error del método se vuelve proporcional. h 3 .

Arroz. 2.17. Curva integral y línea discontinua de Euler.

En la figura. La Figura 2.18 muestra una curva de velocidad construida en total conformidad con el esquema computacional del método de Euler.

Arroz. 2.18. Esquema de construcción de curva de velocidad propuesta

Además, todos los métodos de integración analítica y gráfica de la ecuación básica del movimiento de un tren se basan en la implementación de otro esquema computacional.

En la figura. La Figura 2.19 muestra la curva de velocidad trazada de acuerdo con el algoritmo realmente implementado.

Arroz. 2.19. Diagrama real de la curva de velocidad.

Como puede ver, la construcción es la misma solo en el primer paso, y en los siguientes pasos los principios para construir la curva difieren. El error de construcción real en el segundo caso no sólo es menor que en el primero, sino que también tiene una clara tendencia a disminuir aún más.

La razón de esta discrepancia es probablemente la siguiente.

Al construir una curva de velocidad, la ecuación básica del movimiento del tren se reduce a la forma

o (2)

Esta ecuación difiere de la ecuación 1, para cuya solución, de hecho, se pretende utilizar el método de Euler. Al mismo tiempo, la derivada (tangente del ángulo tangente en la interpretación geométrica) no se puede determinar inicialmente, sino que se calcula seleccionando el incremento de la única variable independiente. V . Dependencia funcional del valor de la derivada de la ruta. S no está incluido en el lado derecho de la ecuación 2. Esta es una constante que depende de la pendiente reducida debajo del tren y cambia solo cuando cambia, conservando todas las características de una constante.

Lo mismo se aplica a la construcción de una curva de velocidad integrando la ecuación básica del movimiento del tren en el tiempo, cuando el incremento de la trayectoria también se selecciona por el incremento de la velocidad durante un cierto intervalo de tiempo.

La ecuación básica del movimiento del tren sólo puede integrarse con respecto a la velocidad, la única variable verdaderamente independiente involucrada, y el método de Euler implica la integración a lo largo de la trayectoria.

Evaluar la precisión real de la curva de velocidad es una cuestión de investigación estadística. Casi todos los datos iniciales para los cálculos de tracción, a excepción de los datos sobre el perfil longitudinal y el plano de la vía, son promedios estadísticos.

Por lo tanto, aumentar la precisión de los cálculos de tracción debe entenderse como liberar la tecnología informática utilizada de sus propios errores, suposiciones y simplificaciones para aproximarse, si no al exacto, sí al resultado matemáticamente esperado.

El nivel actual de desarrollo de la tecnología informática elimina casi todas las restricciones para aumentar la precisión de los cálculos de tracción en este sentido.

La precisión de trazar la curva de velocidad depende significativamente del paso de integración; actualmente no existen obstáculos para reducir el paso.

La precisión de la construcción se puede aumentar implementando algoritmos con retornos, cuando, después de calcular el incremento de velocidad a lo largo de la tangente construida al comienzo del intervalo, el incremento a lo largo de la tangente en su parte media se recalcula con repeticiones hasta que se encuentre la solución numérica. estabilizado.

El límite para aumentar la precisión es probablemente la implementación del algoritmo con retornos al recalcular el incremento de velocidad, no por el valor de la resultante a la velocidad promedio. , y según el signo medio de la resultante, ¿dónde están las velocidades inicial y final en el intervalo?

Todos estos algoritmos se implementan fácilmente en las condiciones modernas.

Desde el punto de vista de la organización del proceso computacional, lo más atractivo es la elección del incremento de tiempo como paso de integración. En este caso, los incrementos de velocidad y, en consecuencia, la ruta en cada paso de cálculo se optimizan automáticamente, desde el punto de vista de la precisión y velocidad del algoritmo.

A bajas velocidades, los incrementos de trayectoria son pequeños, lo que garantiza una alta precisión de construcción. A medida que aumenta la velocidad del tren, los incrementos de vía aumentan, aumentando la velocidad de construcción. En este caso, los incrementos de velocidad son pequeños y comienzan a disminuir a medida que se acercan a la velocidad constante, eliminando así el problema de los cambios forzados en el paso de integración a diferentes velocidades del tren.

En la figura. La Figura 2.20 muestra gráficos de incrementos de trayectoria y velocidad obtenidos al construir una curva integrando analíticamente la ecuación básica del movimiento del tren a lo largo del tiempo (min) en el sitio con el tren acelerando a una velocidad constante.

Es este enfoque el que se implementa en el conocido programa de cálculo de tracción "ERA-TEP", un programa estándar de JSC Russian Railways (Anisimov V.A., DVGUPS).

Arroz. 2.20. Curva de velocidad (a) y gráficas de incrementos de trayectoria y velocidad en función de la distancia recorrida (b)

2.10. Modelado del terreno

El resultado final de los estudios de ingeniería-geodésica y de ingeniería-geológica está actualmente modelo de terreno digital .

El modelo digital del terreno (MDT) es un conjunto cuyos elementos son información topográfica y geodésica del terreno. Incluye:

Información métrica: coordenadas espaciales geodésicas de puntos característicos del relieve y situación;

Información sintáctica para describir conexiones entre puntos: límites de edificios, bosques, tierras cultivables, embalses, caminos, cuencas hidrográficas y líneas de drenaje, direcciones de pendientes entre puntos característicos en pendientes, etc.;

Información semántica que caracteriza las propiedades de los objetos: parámetros técnicos de estructuras de ingeniería, características geológicas de los suelos, datos sobre árboles en los bosques, etc.;

Información estructural que describe las conexiones entre varios objetos: la relación de los objetos con cualquier conjunto: puntos separados de una línea ferroviaria, edificios y estructuras de un área poblada, edificios y estructuras de las industrias correspondientes, etc.;

Información general: nombre del sitio, sistema de coordenadas y elevación, nomenclatura.

Un MDT topográfico caracteriza la situación y el terreno. Consta de un modelo digital del terreno (DEM) y un modelo digital de contornos del terreno (situación) (DMC). Además, el DEM se puede complementar con un modelo de ingeniería especial (SEM).

En la práctica de la ingeniería, a menudo se utiliza una combinación de modelos digitales que caracterizan la situación, el relieve, los indicadores hidrológicos, geológicos, técnico-económicos y otros. Un modelo digital del terreno, registrado en un soporte informático, en determinadas estructuras y códigos, es un mapa electrónico (Fig. 2.21).

Arroz. 2.21. Mapa electrónico basado en DTM obtenido a partir de datos de escaneo láser.

Al resolver problemas geodésicos y de ingeniería en una computadora, se utiliza una interpretación matemática de modelos digitales. la llaman modelo matemático del terreno (MMM).

El diseño automatizado basado en DTM y MMM reduce los costos de mano de obra y tiempo decenas de veces en comparación con el uso de mapas y planos topográficos en papel para estos fines.

Los datos iniciales para la creación de modelos digitales del terreno son los resultados de levantamientos topográficos, datos sobre geología e hidrografía del área.

Modelo de elevación digital El terreno (DEM) es una serie de coordenadas de puntos topográficos. incógnita ,Y ,h .

Modelo matemático en relieve.(DMR) combina un modelo de elevación digital y métodos para aproximar puntos topográficos e interpolar la superficie terrestre entre ellos.

Hay una gran cantidad de tipos de DEM y MMR, cada uno de los cuales se diferencia en el método de aproximación del relieve modelado por una red de puntos topográficos y las reglas para aproximar puntos topográficos y la interpolación: el orden de cálculo de la elevación. h punto especificado por coordenadas X,Y en el caso general, es decir, cuando un punto determinado no coincide con ninguno de los puntos de la encuesta.

Es posible la interpolación lineal y spline de marcas.

Utilizando un modelo de elevación digital, se puede obtener un perfil longitudinal de la tierra en cualquier dirección designada (Fig. 2.22).

Arroz. 2.22. Modelo digital de elevación y perfil longitudinal de la tierra en una dirección determinada.

El más común es el modelo de triangulación del terreno ( ESTAÑO ) con interpolación lineal de marcas.

La esencia del modelo. ESTAÑO en su nombre – “Red triangular irregular” (en el original inglés – Red Irregular Triangulada ). En su expresión espacial, se trata de una red de triángulos con marcas de elevación en los nodos, lo que nos permite representar la superficie modelada como multifacética (Fig. 2.23).

Arroz. 2.23. Ejemplo de triangulación

La tarea de construir un modelo de triangulación se planteó por primera vez en 1934 en el trabajo del matemático soviético B.N. Delaunay.

Para comprender el método de triangulación de Delaunay es necesario introducir varias definiciones.

Definición 1. Una triangulación es una gráfica plana, todas cuyas regiones internas son triángulos (figura 2.23).

Definición 2. El problema de construir una triangulación a partir de un conjunto dado de puntos bidimensionales es el problema de conectar puntos dados mediante segmentos disjuntos de modo que se forme un sistema de triángulos disjuntos. La tarea de construir una triangulación a partir de un conjunto inicial de puntos es ambigua, es decir tiene muchas soluciones.

Definición 3. Una triangulación se llama óptima si la suma de las longitudes de todas las aristas es mínima entre todas las triangulaciones posibles construidas sobre los mismos puntos iniciales (en este caso, ninguno de los puntos de triangulación dados cae dentro del círculo circunscrito alrededor de cualquier triángulo construido) (Figura 2.24).

Arroz. 2.24. Triangulación de Delaunay

Todos los sistemas de diseño asistido por ordenador (CAD) conocidos actualmente admiten la función de creación. ESTAÑO .

2.11. Modelado de perfil longitudinal y planta durante la reconstrucción de vías férreas.

Durante la operación, bajo la influencia de trenes en movimiento y fenómenos naturales, el eje de la vía férrea pierde su forma geométrica correcta en planta y perfil longitudinal, lo que conduce a un deterioro en la dinámica del movimiento del tren, un mayor desgaste de la vía y del material rodante. . Periódicamente, durante las reparaciones y reconstrucción de la carretera, la planta y el perfil longitudinal se ajustan al contorno geométrico correcto, lo que requiere cálculos y modelos adecuados de los datos iniciales.

Al reconstruir vías férreas, los datos iniciales para los cálculos son los resultados del estudio de la vía existente en planta y perfil longitudinal.

El modelo digital del perfil longitudinal (Fig. 2.25) le permite utilizar métodos de optimización y diseño interactivo y obtener marcas de cabeza de riel entre los puntos topográficos. El eje de abscisas siempre se considera el eje de trayectoria.

Arroz. 2.25. Modelado del perfil longitudinal de los ferrocarriles.

Las elevaciones de diseño del perfil longitudinal se calculan teniendo en cuenta la presencia de curvas verticales dispuestas en los lugares de fracturas de la línea de diseño cuando la diferencia en las pendientes de los elementos acoplados alcanza un cierto valor, más precisamente, si la corrección de la curva vertical excede 0,01 m y la diferencia algebraica de pendientes , Dónde R V- radio de la curva vertical (Fig. 2.26).

Arroz. 2.26. Curva vertical, diagrama de diseño.

En general, la elevación de diseño se determina utilizando el siguiente algoritmo:

Marca de fractura del perfil;

- pendiente j -ésimo elemento de perfil;

- diferencia de pendiente, ‰;

Si , entonces no se introduce la corrección, de lo contrario

- marcar en el punto calculado sin tener en cuenta la curva vertical;

tangente de una curva vertical;

si no se introduce la corrección, el punto se encuentra fuera de la curva vertical), en caso contrario

- corrección de la curva vertical;

si entonces de lo contrario

Para realizar dicho cálculo automáticamente se requiere la presencia de un modelo digital del perfil longitudinal. Al realizar cálculos manuales, también se crea implícitamente dicho modelo (esquema de cálculo).

Simulación de planes le permite calcular los parámetros de sus elementos: curvas rectas, circulares y de transición.

El modelo en planta de un camino existente en un sistema de coordenadas rectangulares (Fig. 2.27) asume el uso de un modelo de coordenadas similar del plan de camino de diseño (Fig. 2.28). Trabajar con estos modelos "manualmente" requiere tanta mano de obra que antes de la llegada de las computadoras este enfoque no se utilizaba.

Arroz. 2.27. Modelo de coordenadas del plano de vía existente.

Arroz. 2.28. Modelo de coordenadas del plan de ruta del proyecto.

Para los cálculos (masivos y que requieren mucha mano de obra), se utilizaron modelos de planta (trayectos existentes y de diseño) en un sistema de coordenadas curvilíneo, donde el eje del camino existente se tomó como eje de abscisas.

Se utilizaron dos tipos de modelos: un diagrama angular y un diagrama de curvatura (flechas).

El uso de estos modelos (a costa de algunas suposiciones y simplificaciones) permite calcular los parámetros de los elementos del plan "manualmente", utilizando, entre otras cosas, métodos analíticos gráficos simples y convenientes.

En el diagrama angular (figura 2.29), los ángulos de rotación de la curva se trazan a lo largo del eje de ordenadas.

En rectas el ángulo es constante,

En curvas circulares – cambia linealmente,

En las curvas de transición, el cambio en el ángulo de rotación puede, bajo algunas suposiciones, describirse mediante una parábola cuadrada.

Arroz. 2.29. gráfico de ángulos

Para darle al eje de la trayectoria la forma geométrica correcta, es necesario desplazar (enderezar) su eje en una cierta cantidad determinada mediante cálculo.

Cuando se utilizan diagramas angulares, la cantidad de desplazamiento es:

, Dónde Ug , ultravioleta – ángulos de rotación del eje de diseño y de la vía existente en función de la distancia desde el inicio del levantamiento (diagramas angulares), S - distancia desde el inicio del levantamiento hasta el punto calculado.

Interpretación gráfica de la integral - área. Así, se encuentra la diferencia entre las áreas del diseño y los diagramas angulares existentes.

En el gráfico de curvatura (flechas) (Fig. 2.30), la curvatura de la trayectoria (flechas de curvatura) se traza a lo largo del eje de ordenadas. La curvatura es el recíproco del radio. Pluma (Fig. 2.31), F – distancia desde el eje de la vía hasta una cuerda de cierta longitud a , (normalmente 20 m). El gráfico de curvatura se diferencia del gráfico de flechas en que la curvatura se determina en un punto y la flecha se determina en una cuerda. Las diferencias aparecen sólo en las zonas de transición de una línea recta a una curva de transición y de una curva de transición a una curva circular.

Arroz. 2.30. Gráfico de curvatura (flechas)

Arroz. 3.31. Medición de flechas de flexión

Si la flecha se mide en milímetros, entonces cuando A = 20 metros: .

Para un camino de diseño colocado en la posición geométrica correcta:

En líneas rectas, la curvatura (flecha) es cero,

En curvas circulares, la curvatura (flecha) es constante,

En las curvas de transición, la curvatura (flecha) cambia linealmente.

Cambio , Dónde: kilos , kv – curvatura del eje de la vía en las posiciones previstas y existentes en función de la distancia desde el inicio del lugar del estudio, s ; S – distancia desde el inicio del tramo hasta el punto calculado.

La integral doble se calcula sumando las áreas del gráfico de curvatura (flechas) dos veces.

3. MÉTODOS MATEMÁTICOS

3.1. Implementación de un modelo numérico en una computadora.

Encontrar cualquier solución de diseño, especialmente óptima, requiere inevitablemente un enfoque alternativo.

El uso de métodos matemáticos permite reducir el número de opciones comparadas al mínimo necesario y suficiente, pero siempre es grande y sólo el uso de tecnología informática permite resolver el problema en un tiempo aceptable;

El factor costo del tiempo de computadora es crítico al elegir un método para resolver un problema de aplicación específico. "Podemos hablar de un método de solución eficaz sólo si realmente resuelve problemas de este tipo en ordenadores reales en tiempo real".

De acuerdo con esto, el concepto mismo de método en matemáticas computacionales difiere del tradicional, es decir, de su representación como una secuencia de instrucciones, cuya ejecución conduce inevitablemente al resultado deseado en un número finito de pasos.

Por lo general, no hablan de un método, sino de un enfoque general para resolver un problema específico, que se puede implementar en el marco de varios esquemas computacionales (métodos numéricos aplicados), entre los cuales hay uno óptimo, y esta optimización es siempre entendido en el sentido de la cantidad mínima de tiempo de computadora dedicado a los cálculos (en igualdad de condiciones).

Hablando de un "problema de diseño específico", es necesario definir estrictamente sus características formales en relación con, por ejemplo, la elección de las variables controladas, la función objetivo del problema, el sistema de restricciones impuestas a las variables controladas.

El método numérico aún no es programable algoritmo (que consiste en operaciones individuales que ocurren en una secuencia inequívoca), tiene un comienzo definido, así como un final que se puede lograr después de un número finito de pasos y, por lo tanto, en principio puede ser implementado por una máquina.

Criterios de selección del método.. Para resolver el problema, por regla general, existen varios métodos (enfoques). La elección de un método específico para la resolución numérica de un problema y su transformación final en un algoritmo programable siempre representa un intento de optimización, actuando como condiciones adicionales las disposiciones iniciales y requisitos adicionales, siendo los más importantes los siguientes:

Puntos de partida:

Declaración del problema y supuestos sobre un enfoque racional para resolverlo;

Información adicional sobre los datos de origen (área numérica, tipo de material numérico, etc.);

Características de la tecnología informática (velocidad, memoria, etc.);

Presentación de datos, exactitud, redondeo, etc.

Requisitos:

Requisitos especiales para los datos de salida (por ejemplo, requisitos de precisión, salida de resultados intermedios, salida de gráficos, incluidos los interactivos, etc.);

Grado de universalidad (en caso de que se resuelva un solo problema o se requiere un software universal en relación con un conjunto aceptable de datos);

Minimizar costes (tiempo de cálculo).

Estas condiciones se superponen parcialmente (se contradicen) y por tanto, al intentar satisfacerlas, intentan alcanzar un determinado óptimo. Para ello, utilice una serie de reglas determinadas por el sentido común y la experiencia informática previa.

La base para elegir un método es principio de aplicación directa : debe elegir, si es posible, un método que resuelva exactamente la tarea en cuestión y que no conduzca a una solución a través de algunas subtareas. Las soluciones “matemáticamente elegantes” a menudo son ciegas a la propagación y estabilidad del error, y son numéricamente desfavorables.

Las razones más importantes de la acumulación excesiva de errores son el uso frecuente de diferencias (conduce a la pérdida de dígitos significativos) y la división por números de orden desconocido (conduce al desbordamiento de la cuadrícula de bits); esto debe evitarse mediante una organización adecuada del programa.

3.2. Función objetivo. Restricciones

Es necesario tomar decisiones constantemente en todos los ámbitos de actividad. En los casos en que la situación en la que se adoptan sea accesible a la formalización, el uso de aparatos matemáticos puede resultar de gran utilidad.