Comprender las raíces aritméticas. Raíz y sus propiedades. Teoría detallada con ejemplos (2019)

Felicitaciones: hoy veremos las raíces, uno de los temas más alucinantes del octavo grado :)

Mucha gente se confunde con las raíces no porque sean complejas (lo que tiene de complicado: un par de definiciones y un par de propiedades más), sino porque en la mayoría de los libros de texto escolares las raíces se definen a través de una jungla tal que solo los propios autores de los libros de texto. puede entender este escrito. Y aun así sólo con una botella de buen whisky :)

Por lo tanto, ahora daré la definición más correcta y competente de raíz, la única que realmente debes recordar. Y luego explicaré: por qué es necesario todo esto y cómo aplicarlo en la práctica.

Pero primero, recuerde un punto importante que muchos compiladores de libros de texto, por alguna razón, “olvidan”:

Las raíces pueden ser de grado par (nuestro $\sqrt(a)$ favorito, así como todo tipo de $\sqrt(a)$ e incluso $\sqrt(a)$) y de grado impar (todo tipo de $\sqrt(a)$ (a)$, $\ sqrt(a)$, etc.). Y la definición de raíz de grado impar es algo diferente a la de raíz par.

Probablemente el 95% de todos los errores y malentendidos asociados con las raíces se esconden en este jodido "algo diferente". Así que aclaremos la terminología de una vez por todas:

Definición. Incluso raíz norte del número $a$ es cualquiera no negativo el número $b$ es tal que $((b)^(n))=a$. Y la raíz impar del mismo número $a$ es generalmente cualquier número $b$ para el cual se cumple la misma igualdad: $((b)^(n))=a$.

En cualquier caso, la raíz se denota así:

\(a)\]

El número $n$ en tal notación se llama exponente raíz y el número $a$ se llama expresión radical. En particular, para $n=2$ obtenemos nuestra raíz cuadrada "favorita" (por cierto, esta es una raíz de grado par), y para $n=3$ obtenemos una raíz cúbica (de grado impar), que es También se encuentra a menudo en problemas y ecuaciones.

Ejemplos. Ejemplos clásicos de raíces cuadradas:

\[\begin(align) & \sqrt(4)=2; \\ & \sqrt(81)=9; \\ & \sqrt(256)=16. \\ \end(alinear)\]

Por cierto, $\sqrt(0)=0$ y $\sqrt(1)=1$. Esto es bastante lógico, ya que $((0)^(2))=0$ y $((1)^(2))=1$.

Las raíces cúbicas también son comunes; no hay que temerles:

\[\begin(align) & \sqrt(27)=3; \\ & \sqrt(-64)=-4; \\ & \sqrt(343)=7. \\ \end(alinear)\]

Bueno, un par de “ejemplos exóticos”:

\[\begin(align) & \sqrt(81)=3; \\ & \sqrt(-32)=-2. \\ \end(alinear)\]

Si no comprende cuál es la diferencia entre un grado par e impar, vuelva a leer la definición. ¡Esto es muy importante!

Mientras tanto, consideraremos una característica desagradable de las raíces, por la cual tuvimos que introducir una definición separada para exponentes pares e impares.

¿Por qué se necesitan raíces?

Después de leer la definición, muchos estudiantes se preguntarán: "¿Qué fumaban los matemáticos cuando se les ocurrió esto?" Y realmente: ¿por qué se necesitan todas estas raíces?

Para responder a esta pregunta, volvamos por un momento a la escuela primaria. Recuerda: en aquellos tiempos lejanos, cuando los árboles eran más verdes y las albóndigas más sabrosas, nuestra principal preocupación era multiplicar los números correctamente. Bueno, algo así como "cinco por cinco - veinticinco", eso es todo. Pero puedes multiplicar números no en pares, sino en tripletes, cuádruples y, en general, conjuntos completos:

\[\begin(align) & 5\cdot 5=25; \\ & 5\cdot 5\cdot 5=125; \\ & 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5=625; \\ & 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5=3125; \\ & 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5=15\ 625. \end(align)\]

Sin embargo, este no es el punto. El truco es diferente: los matemáticos son gente vaga, por eso les costó mucho escribir la multiplicación de diez por cinco así:

Por eso se les ocurrió los títulos. ¿Por qué no escribir el número de factores como un superíndice en lugar de una cadena larga? Algo como esto:

¡Es muy conveniente! Todos los cálculos se reducen significativamente y no es necesario desperdiciar un montón de hojas de pergamino y cuadernos para anotar unos 5.183. Este disco se llamó potencia de un número; en él se encontraron muchas propiedades, pero la felicidad resultó ser de corta duración.

Después de una grandiosa fiesta organizada precisamente para “descubrir” los grados, un matemático particularmente obstinado preguntó de repente: “¿Qué pasa si conocemos el grado de un número, pero el número en sí es desconocido?” Ahora bien, si sabemos que un cierto número $b$, digamos, elevado a la quinta potencia da 243, entonces ¿cómo podemos adivinar a qué es igual el número $b$?

Este problema resultó ser mucho más global de lo que parece a primera vista. Porque resultó que para la mayoría de los poderes "ya preparados" no existen tales números "iniciales". Juzgue usted mismo:

\[\begin(align) & ((b)^(3))=27\Rightarrow b=3\cdot 3\cdot 3\Rightarrow b=3; \\ & ((b)^(3))=64\Rightarrow b=4\cdot 4\cdot 4\Rightarrow b=4. \\ \end(alinear)\]

¿Qué pasa si $((b)^(3))=$50? Resulta que necesitamos encontrar un número determinado que, multiplicado por sí mismo tres veces, nos dará 50. Pero, ¿cuál es este número? Es claramente mayor que 3, ya que 3 3 = 27< 50. С тем же успехом оно меньше 4, поскольку 4 3 = 64 >50. Eso es este número se encuentra entre tres y cuatro, pero no entenderás a qué equivale.

Precisamente por eso a los matemáticos se les ocurrió la raíz $n$ésima. Precisamente por eso se introdujo el símbolo radical $\sqrt(*)$. Designar el propio número $b$, que en el grado indicado nos dará un valor previamente conocido

\[\sqrt[n](a)=b\Rightarrow ((b)^(n))=a\]

No discuto: a menudo estas raíces se calculan fácilmente; vimos varios ejemplos de este tipo anteriormente. Pero aún así, en la mayoría de los casos, si piensas en un número arbitrario y luego intentas extraer de él la raíz de un grado arbitrario, te espera un terrible fastidio.

¡Qué hay ahí! Incluso el $\sqrt(2)$ más simple y familiar no se puede representar en nuestra forma habitual: como un número entero o una fracción. Y si ingresas este número en una calculadora, verás esto:

\[\sqrt(2)=1.414213562...\]

Como puedes ver, después del punto decimal hay una secuencia interminable de números que no obedecen a ninguna lógica. Por supuesto, puedes redondear este número para compararlo rápidamente con otros números. Por ejemplo:

\[\sqrt(2)=1.4142...\aprox 1.4 \lt 1.5\]

O aquí hay otro ejemplo:

\[\sqrt(3)=1.73205...\aprox 1.7 \gt 1.5\]

Pero todos estos rodeos, en primer lugar, son bastante aproximados; y en segundo lugar, también debe poder trabajar con valores aproximados; de lo contrario, puede detectar un montón de errores no obvios (por cierto, la habilidad de comparar y redondear debe verificarse en el perfil del Examen Estatal Unificado).

Por lo tanto, en matemáticas serias no se puede prescindir de las raíces: son los mismos representantes iguales del conjunto de todos los números reales $\mathbb(R)$, al igual que las fracciones y los números enteros que nos son familiares desde hace mucho tiempo.

La incapacidad de representar una raíz como una fracción de la forma $\frac(p)(q)$ significa que esta raíz no es un número racional. Estos números se denominan irracionales y no se pueden representar con precisión excepto con la ayuda de un radical u otras construcciones especialmente diseñadas para ello (logaritmos, potencias, límites, etc.). Pero hablaremos de eso en otro momento.

Veamos algunos ejemplos en los que, después de todos los cálculos, los números irracionales seguirán estando en la respuesta.

\[\begin(align) & \sqrt(2+\sqrt(27))=\sqrt(2+3)=\sqrt(5)\approx 2.236... \\ & \sqrt(\sqrt(-32) ))=\sqrt(-2)\aprox -1.2599... \\ \end(align)\]

Naturalmente, por la apariencia de la raíz es casi imposible adivinar qué números vendrán después del punto decimal. Sin embargo, puedes contar con una calculadora, pero incluso la calculadora de fechas más avanzada solo nos da los primeros dígitos de un número irracional. Por lo tanto, es mucho más correcto escribir las respuestas en la forma $\sqrt(5)$ y $\sqrt(-2)$.

Precisamente por eso se inventaron. Para registrar cómodamente las respuestas.

¿Por qué se necesitan dos definiciones?

El lector atento probablemente ya habrá notado que todas las raíces cuadradas dadas en los ejemplos están tomadas de números positivos. Bueno, al menos desde cero. Pero las raíces cúbicas se pueden extraer fácilmente de absolutamente cualquier número, ya sea positivo o negativo.

¿Por qué sucede esto? Eche un vistazo a la gráfica de la función $y=((x)^(2))$:

La gráfica de una función cuadrática da dos raíces: positiva y negativa.

Intentemos calcular $\sqrt(4)$ usando este gráfico. Para ello, se dibuja en la gráfica una recta horizontal $y=4$ (marcada en rojo), que corta a la parábola en dos puntos: $((x)_(1))=2$ y $((x )_(2)) =-2$. Esto es bastante lógico, ya que

Con el primer número todo está claro: es positivo, por lo que es la raíz:

Pero entonces ¿qué hacer con el segundo punto? ¿Cuatro tiene dos raíces a la vez? Después de todo, si elevamos al cuadrado el número −2, también obtenemos 4. ¿Por qué no escribir entonces $\sqrt(4)=-2$? ¿Y por qué los profesores miran esas publicaciones como si quisieran comerte :)

El problema es que si no impones ninguna condición adicional, entonces el quad tendrá dos raíces cuadradas: positiva y negativa. Y cualquier número positivo también tendrá dos de ellos. Pero los números negativos no tendrán ninguna raíz; esto se puede ver en el mismo gráfico, ya que la parábola nunca cae por debajo del eje. y, es decir. No acepta valores negativos.

Un problema similar ocurre para todas las raíces con exponente par:

1. Estrictamente hablando, cada número positivo tendrá dos raíces con exponente par $n$;
2. De los números negativos, la raíz par $n$ no se extrae en absoluto.

Es por eso que la definición de raíz par de $n$ estipula específicamente que la respuesta debe ser un número no negativo. Así es como nos deshacemos de la ambigüedad.

Pero para $n$ impares no existe tal problema. Para ver esto, veamos la gráfica de la función $y=((x)^(3))$:

Una parábola cúbica puede tomar cualquier valor, por lo que la raíz cúbica se puede sacar de cualquier número.

De este gráfico se pueden extraer dos conclusiones:

1. Las ramas de una parábola cúbica, a diferencia de una normal, van al infinito en ambas direcciones, tanto hacia arriba como hacia abajo. Por lo tanto, no importa a qué altura dibujemos una línea horizontal, esta línea definitivamente se cruzará con nuestra gráfica. En consecuencia, la raíz cúbica siempre se puede sacar de absolutamente cualquier número;
2. Además, dicha intersección siempre será única, por lo que no es necesario pensar qué número se considera la raíz "correcta" y cuál ignorar. Es por eso que determinar las raíces para un grado impar es más sencillo que para un grado par (no hay requisito de no negatividad).

Es una pena que estas cosas tan sencillas no se expliquen en la mayoría de los libros de texto. En cambio, nuestros cerebros comienzan a funcionar con todo tipo de raíces aritméticas y sus propiedades.

Sí, no discuto: también necesitas saber qué es una raíz aritmética. Y hablaré de esto en detalle en una lección separada. Hoy también hablaremos de ello, porque sin él todos los pensamientos sobre las raíces de la multiplicidad $n$-ésima estarían incompletos.

Pero primero debes comprender claramente la definición que di anteriormente. De lo contrario, debido a la abundancia de términos, se formará tal lío en tu cabeza que al final no entenderás nada de nada.

Todo lo que necesitas hacer es entender la diferencia entre indicadores pares e impares. Por eso, recopilemos una vez más todo lo que realmente necesitas saber sobre las raíces:

1. Una raíz de grado par existe sólo a partir de un número no negativo y en sí misma es siempre un número no negativo. Para números negativos, dicha raíz no está definida.
2. Pero la raíz de un grado impar existe a partir de cualquier número y puede ser cualquier número: para números positivos es positiva y para números negativos, como sugiere el límite, es negativa.

¿Es difícil? No, no es difícil. ¿Está vacío? ¡Sí, es completamente obvio! Así que ahora practicaremos un poco con los cálculos.

Propiedades básicas y limitaciones.

Las raíces tienen muchas propiedades y limitaciones extrañas; esto se discutirá en una lección separada. Por lo tanto, ahora consideraremos sólo el "truco" más importante, que se aplica sólo a raíces con un índice par. Escribamos esta propiedad como una fórmula:

\[\sqrt(((x)^(2n)))=\izquierda| x\derecha|\]

En otras palabras, si elevamos un número a una potencia par y luego extraemos la raíz de la misma potencia, no obtendremos el número original, sino su módulo. Este es un teorema simple que se puede probar fácilmente (basta con considerar $x$ no negativos por separado y luego los negativos por separado). Los profesores hablan constantemente de ello, se incluye en todos los libros de texto escolares. Pero tan pronto como se trata de resolver ecuaciones irracionales (es decir, ecuaciones que contienen un signo radical), los estudiantes olvidan unánimemente esta fórmula.

Para entender el problema en detalle, olvidemos todas las fórmulas por un minuto e intentemos calcular dos números directamente:

\[\sqrt(((3)^(4)))=?\quad \sqrt(((\left(-3 \right))^(4)))=?\]

Estos son ejemplos muy simples. La mayoría de la gente resolverá el primer ejemplo, pero mucha gente se quedará estancada en el segundo. Para resolver cualquier problema de este tipo sin problemas, considere siempre el procedimiento:

1. Primero, el número se eleva a la cuarta potencia. Bueno, es algo fácil. Obtendrá un nuevo número que se puede encontrar incluso en la tabla de multiplicar;
2. Y ahora de este nuevo número es necesario extraer la raíz cuarta. Aquellos. no se produce ninguna "reducción" de raíces y poderes; estas son acciones secuenciales.

Veamos la primera expresión: $\sqrt(((3)^(4)))$. Obviamente, primero necesitas calcular la expresión bajo la raíz:

\[((3)^(4))=3\cdot 3\cdot 3\cdot 3=81\]

Luego extraemos la raíz cuarta del número 81:

Ahora hagamos lo mismo con la segunda expresión. Primero, elevamos el número −3 a la cuarta potencia, lo que requiere multiplicarlo por sí mismo 4 veces:

\[((\left(-3 \right))^(4))=\left(-3 \right)\cdot \left(-3 \right)\cdot \left(-3 \right)\cdot \ izquierda(-3 \derecha)=81\]

Obtuvimos un número positivo, ya que el número total de desventajas en el producto es 4, y todas se cancelarán entre sí (después de todo, un menos por un menos da un más). Luego volvemos a extraer la raíz:

En principio, esta línea no podría haberse escrito, ya que es obvio que la respuesta sería la misma. Aquellos. una raíz par de la misma potencia par "quema" los inconvenientes y, en este sentido, el resultado es indistinguible de un módulo normal:

\[\begin(align) & \sqrt(((3)^(4)))=\left| 3 \derecha|=3; \\ & \sqrt(((\left(-3 \right))^(4)))=\left| -3 \derecha|=3. \\ \end(alinear)\]

Estos cálculos concuerdan con la definición de raíz de grado par: el resultado siempre es no negativo y el signo radical también siempre contiene un número no negativo. De lo contrario, la raíz no está definida.

Nota sobre el procedimiento

1. La notación $\sqrt(((a)^(2)))$ significa que primero elevamos al cuadrado el número $a$ y luego sacamos la raíz cuadrada del valor resultante. Por lo tanto, podemos estar seguros de que siempre hay un número no negativo bajo el signo raíz, ya que $((a)^(2))\ge 0$ en cualquier caso;
2. Pero la notación $((\left(\sqrt(a) \right))^(2))$, por el contrario, significa que primero tomamos la raíz de un cierto número $a$ y solo luego elevamos el resultado al cuadrado. Por lo tanto, el número $a$ en ningún caso puede ser negativo; este es un requisito obligatorio incluido en la definición.

Por lo tanto, en ningún caso se deben reducir irreflexivamente raíces y grados, supuestamente "simplificando" la expresión original. Porque si la raíz tiene un número negativo y su exponente es par, tenemos muchos problemas.

Sin embargo, todos estos problemas son relevantes sólo para indicadores pares.

Quitar el signo menos debajo del signo raíz

Naturalmente, las raíces con exponentes impares también tienen su propia característica, que en principio no existe con las pares. A saber:

\[\sqrt(-a)=-\sqrt(a)\]

En resumen, puede eliminar el signo negativo debajo del signo de raíces de grado impar. Esta es una propiedad muy útil que le permite "deshacerse" de todas las desventajas:

\[\begin(align) & \sqrt(-8)=-\sqrt(8)=-2; \\ & \sqrt(-27)\cdot \sqrt(-32)=-\sqrt(27)\cdot \left(-\sqrt(32) \right)= \\ & =\sqrt(27)\cdot \sqrt(32)= \\ & =3\cdot 2=6. \end(alinear)\]

Esta sencilla propiedad simplifica enormemente muchos cálculos. Ahora no se preocupe: ¿qué pasa si debajo de la raíz se oculta una expresión negativa, pero el grado en la raíz resulta ser par? Basta con "tirar" todos los inconvenientes fuera de las raíces, después de lo cual pueden multiplicarse entre sí, dividirse y, en general, hacer muchas cosas sospechosas que, en el caso de las raíces "clásicas", seguramente nos llevarán a un error.

Y aquí entra en escena otra definición, la misma con la que la mayoría de las escuelas comienzan el estudio de las expresiones irracionales. Y sin el cual nuestro razonamiento estaría incompleto. ¡Encontrarse!

raíz aritmética

Supongamos por un momento que bajo el signo raíz sólo puede haber números positivos o, en casos extremos, cero. Olvidémonos de los indicadores pares/impares, olvidémonos de todas las definiciones dadas anteriormente; trabajaremos solo con números no negativos. ¿Entonces qué?

Y luego obtendremos una raíz aritmética: se superpone parcialmente con nuestras definiciones "estándar", pero aún difiere de ellas.

Definición. Una raíz aritmética del $n$ésimo grado de un número no negativo $a$ es un número no negativo $b$ tal que $((b)^(n))=a$.

Como podemos ver, ya no nos interesa la paridad. En cambio, apareció una nueva restricción: la expresión radical ahora siempre es no negativa, y la raíz misma tampoco es negativa.

Para comprender mejor en qué se diferencia la raíz aritmética de la habitual, eche un vistazo a las gráficas de la parábola cuadrada y cúbica con las que ya estamos familiarizados:

Área de búsqueda de raíces aritméticas: números no negativos

Como puede ver, de ahora en adelante solo nos interesan aquellos fragmentos de gráficos que se encuentran en el primer cuarto de coordenadas, donde las coordenadas $x$ e $y$ son positivas (o al menos cero). Ya no es necesario mirar el indicador para comprender si tenemos derecho a poner un número negativo debajo de la raíz o no. Porque, en principio, los números negativos ya no se consideran.

Quizás se pregunte: "Bueno, ¿por qué necesitamos una definición tan neutralizada?" O: "¿Por qué no podemos arreglárnoslas con la definición estándar dada anteriormente?"

Bueno, daré sólo una propiedad por la cual la nueva definición resulta apropiada. Por ejemplo, la regla de exponenciación:

\[\sqrt[n](a)=\sqrt(((a)^(k)))\]

Tenga en cuenta: podemos elevar la expresión radical a cualquier potencia y al mismo tiempo multiplicar el exponente raíz por la misma potencia, ¡y el resultado será el mismo número! Aquí hay ejemplos:

\[\begin(align) & \sqrt(5)=\sqrt(((5)^(2)))=\sqrt(25) \\ & \sqrt(2)=\sqrt(((2)^ (4)))=\sqrt(16)\\ \end(align)\]

Entonces, ¿cuál es el problema? ¿Por qué no pudimos hacer esto antes? He aquí por qué. Consideremos una expresión simple: $\sqrt(-2)$ - este número es bastante normal en nuestro entendimiento clásico, pero absolutamente inaceptable desde el punto de vista de la raíz aritmética. Intentemos convertirlo:

$\begin(align) & \sqrt(-2)=-\sqrt(2)=-\sqrt(((2)^(2)))=-\sqrt(4) \lt 0; \\ & \sqrt(-2)=\sqrt(((\left(-2 \right))^(2)))=\sqrt(4) \gt 0. \\ \end(align)$

Como puedes ver, en el primer caso eliminamos el menos debajo del radical (tenemos todo el derecho, ya que el exponente es impar), y en el segundo caso usamos la fórmula anterior. Aquellos. Desde un punto de vista matemático, todo se hace según las reglas.

¡¿Qué carajo?! ¿Cómo puede un mismo número ser positivo y negativo? De ninguna manera. Lo que pasa es que la fórmula de exponenciación, que funciona muy bien para los números positivos y el cero, empieza a producir una completa herejía en el caso de los números negativos.

Para deshacerse de tal ambigüedad se inventaron las raíces aritméticas. Se les dedica una gran lección separada, donde consideramos todas sus propiedades en detalle. Así que no nos detendremos en ellos ahora: la lección ya resultó ser demasiado larga.

Raíz algebraica: para los que quieren saber más

Durante mucho tiempo pensé si poner este tema en un párrafo aparte o no. Al final decidí dejarlo aquí. Este material está destinado a aquellos que quieren comprender aún mejor las raíces, ya no en el nivel "escolar" promedio, sino en uno cercano al nivel de la Olimpiada.

Entonces: además de la definición "clásica" de la $n$ésima raíz de un número y la división asociada en exponentes pares e impares, existe una definición más "adulta" que no depende en absoluto de la paridad y otras sutilezas. Esto se llama raíz algebraica.

Definición. La raíz algebraica $n$ésima de cualquier $a$ es el conjunto de todos los números $b$ tales que $((b)^(n))=a$. No existe una designación establecida para dichas raíces, por lo que simplemente pondremos un guión encima:

\[\overline(\sqrt[n](a))=\left\( b\left| b\in \mathbb(R);((b)^(n))=a \right. \right\) \]

La diferencia fundamental con la definición estándar dada al comienzo de la lección es que una raíz algebraica no es un número específico, sino un conjunto. Y como trabajamos con números reales, este conjunto viene en sólo tres tipos:

1. Conjunto vacío. Ocurre cuando necesitas encontrar una raíz algebraica de un grado par a partir de un número negativo;
2. Conjunto formado por un solo elemento. Todas las raíces de potencias impares, así como las raíces de potencias pares de cero, entran en esta categoría;
3. Finalmente, el conjunto puede incluir dos números: los mismos $((x)_(1))$ y $((x)_(2))=-((x)_(1))$ que vimos en el graficar una función cuadrática. En consecuencia, tal disposición sólo es posible cuando se extrae la raíz de un grado par de un número positivo.

El último caso merece una consideración más detallada. Contemos un par de ejemplos para entender la diferencia.

Ejemplo. Evalúa las expresiones:

\[\overline(\sqrt(4));\quad \overline(\sqrt(-27));\quad \overline(\sqrt(-16)).\]

Solución. Con la primera expresión todo es sencillo:

\[\overline(\sqrt(4))=\left\( 2;-2 \right\)\]

Son dos números los que forman parte del conjunto. Porque cada uno de ellos al cuadrado da un cuatro.

\[\overline(\sqrt(-27))=\left\( -3 \right\)\]

Aquí vemos un conjunto formado por un solo número. Esto es bastante lógico, ya que el exponente raíz es impar.

Finalmente, la última expresión:

\[\overline(\sqrt(-16))=\varnothing \]

Recibimos un juego vacío. Porque no hay un solo número real que, elevado a la cuarta potencia (es decir, ¡par!), nos dé el número negativo −16.

Nota final. Tenga en cuenta: no es casualidad que haya notado en todas partes que trabajamos con números reales. Porque también hay números complejos: es muy posible calcular $\sqrt(-16)$ allí, y muchas otras cosas extrañas.

Sin embargo, los números complejos casi nunca aparecen en los cursos de matemáticas de las escuelas modernas. Han sido eliminados de la mayoría de los libros de texto porque nuestros funcionarios consideran que el tema es “demasiado difícil de entender”.

Es hora de solucionarlo métodos de extracción de raíces. Se basan en las propiedades de las raíces, en particular, en la igualdad, que es cierta para cualquier número b no negativo.

A continuación veremos los principales métodos de extracción de raíces uno por uno.

Comencemos con el caso más simple: extraer raíces de números naturales usando una tabla de cuadrados, una tabla de cubos, etc.

Si tablas de cuadrados, cubos, etc. Si no lo tienes a mano, lo lógico es utilizar el método de extracción de raíz, que consiste en descomponer el número radical en factores primos.

Vale la pena mencionar especialmente lo que es posible para raíces con exponentes impares.

Finalmente, consideremos un método que nos permita encontrar secuencialmente los dígitos del valor raíz.

Empecemos.

Utilizando una tabla de cuadrados, una tabla de cubos, etc.

En los casos más sencillos, las tablas de cuadrados, cubos, etc. permiten extraer raíces. ¿Qué son estas tablas?

La tabla de cuadrados de números enteros del 0 al 99 inclusive (que se muestra a continuación) consta de dos zonas. La primera zona de la tabla se ubica sobre un fondo gris; al seleccionar una fila específica y una columna específica, le permite componer un número del 0 al 99. Por ejemplo seleccionemos una fila de 8 decenas y una columna de 3 unidades, con esto fijamos el número 83. La segunda zona ocupa el resto de la tabla. Cada celda está ubicada en la intersección de una determinada fila y una determinada columna, y contiene el cuadrado del número correspondiente del 0 al 99. En la intersección de nuestra fila elegida de 8 decenas y la columna 3 de unidades hay una celda con el número 6,889, que es el cuadrado del número 83.

Las tablas de cubos, tablas de cuartas potencias de números del 0 al 99, etc. son similares a la tabla de cuadrados, solo que contienen cubos, cuartas potencias, etc. en la segunda zona. números correspondientes.

Tablas de cuadrados, cubos, cuartas potencias, etc. le permite extraer raíces cuadradas, raíces cúbicas, raíces cuartas, etc. en consecuencia a partir de los números de estas tablas. Expliquemos el principio de su uso a la hora de extraer raíces.

Digamos que necesitamos extraer la raíz enésima del número a, mientras que el número a está contenido en la tabla de potencias enésimas. Usando esta tabla encontramos el número b tal que a=b n. Entonces , por lo tanto, el número b será la raíz deseada de enésimo grado.

Como ejemplo, mostremos cómo usar una tabla cúbica para extraer la raíz cúbica de 19,683. Encontramos el número 19,683 en la tabla de cubos, de ella encontramos que este número es el cubo del número 27, por lo tanto, .

Está claro que las tablas de enésimas potencias son muy convenientes para extraer raíces. Sin embargo, a menudo no están disponibles y su compilación requiere algo de tiempo. Además, a menudo es necesario extraer raíces de números que no están contenidos en las tablas correspondientes. En estos casos, hay que recurrir a otros métodos de extracción de raíces.

Factorizar un número radical en factores primos

Una forma bastante conveniente de extraer la raíz de un número natural (si, por supuesto, se extrae la raíz) es descomponer el número radical en factores primos. Su el punto es este: después de eso es bastante fácil representarlo como una potencia con el exponente deseado, lo que permite obtener el valor de la raíz. Aclaremos este punto.

Sea la raíz enésima de un número natural a y su valor sea igual a b. En este caso, la igualdad a=b n es cierta. El número b, como cualquier número natural, se puede representar como el producto de todos sus factores primos p 1 , p 2 , …, p m en la forma p 1 ·p 2 ·…·p m , y el número radical a en este caso se representa como (p 1 ·p 2 ·…·p m) n . Dado que la descomposición de un número en factores primos es única, la descomposición del número radical a en factores primos tendrá la forma (p 1 ·p 2 ·…·p m) n, lo que permite calcular el valor de la raíz como .

Tenga en cuenta que si la descomposición en factores primos de un número radical a no se puede representar en la forma (p 1 ·p 2 ·…·p m) n, entonces la raíz enésima de dicho número a no se extrae por completo.

Resolvamos esto al resolver ejemplos.

Ejemplo.

Saca la raíz cuadrada de 144.

Solución.

Si nos fijamos en la tabla de cuadrados que figura en el párrafo anterior, se puede ver claramente que 144 = 12 2, de lo que se desprende que la raíz cuadrada de 144 es 12.

Pero a la luz de este punto, nos interesa saber cómo se extrae la raíz descomponiendo el número radical 144 en factores primos. Veamos esta solución.

vamos a descomponernos 144 a factores primos:

Es decir, 144=2·2·2·2·3·3. A partir de la descomposición resultante se pueden realizar las siguientes transformaciones: 144=2·2·2·2·3·3=(2·2) 2·3 2 =(2·2·3) 2 =12 2. Por eso, .

Usando las propiedades del grado y las propiedades de las raíces, la solución podría formularse de manera un poco diferente: .

Respuesta:

Para consolidar el material, considere las soluciones a dos ejemplos más.

Ejemplo.

Calcula el valor de la raíz.

Solución.

La factorización prima del número radical 243 tiene la forma 243=3 5 . De este modo, .

Respuesta:

Ejemplo.

¿El valor raíz es un número entero?

Solución.

Para responder a esta pregunta, factoricemos el número radical en factores primos y veamos si se puede representar como un cubo de un número entero.

Tenemos 285 768 = 2 3 ·3 6 ·7 2. La expansión resultante no se puede representar como el cubo de un número entero, ya que la potencia del factor primo 7 no es múltiplo de tres. Por lo tanto, la raíz cúbica de 285,768 no se puede extraer por completo.

Respuesta:

No.

Extraer raíces de números fraccionarios

Es hora de descubrir cómo extraer la raíz de un número fraccionario. Deje que el número radical fraccionario se escriba como p/q. Según la propiedad de la raíz de un cociente, la siguiente igualdad es cierta. De esta igualdad se sigue regla para extraer la raíz de una fracción: La raíz de una fracción es igual al cociente de la raíz del numerador dividido por la raíz del denominador.

Veamos un ejemplo de cómo extraer una raíz de una fracción.

Ejemplo.

¿Cuál es la raíz cuadrada de la fracción común 25/169?

Solución.

Usando la tabla de cuadrados, encontramos que la raíz cuadrada del numerador de la fracción original es igual a 5 y la raíz cuadrada del denominador es igual a 13. Entonces . Con esto se completa la extracción de la raíz de la fracción común 25/169.

Respuesta:

La raíz de una fracción decimal o de un número mixto se extrae tras sustituir los números radicales por fracciones ordinarias.

Ejemplo.

Saca la raíz cúbica de la fracción decimal 474,552.

Solución.

Imaginemos la fracción decimal original como una fracción ordinaria: 474,552=474552/1000. Entonces . Queda por extraer las raíces cúbicas que se encuentran en el numerador y denominador de la fracción resultante. Porque 474 552=2 2 2 3 3 3 13 13 13=(2 3 13) 3 =78 3 y 1 000 = 10 3, entonces Y . Ya sólo queda completar los cálculos. .

Respuesta:

.

Sacar la raíz de un número negativo

Vale la pena detenerse por separado en extraer raíces de números negativos. Al estudiar las raíces, dijimos que cuando el exponente de la raíz es un número impar, entonces puede haber un número negativo debajo del signo de la raíz. Le dimos a estas entradas el siguiente significado: para un número negativo −a y un exponente impar de la raíz 2 n−1, . Esta igualdad da regla para extraer raíces impares de números negativos: para extraer la raíz de un número negativo, debes tomar la raíz del número positivo opuesto y poner un signo menos delante del resultado.

Veamos la solución de ejemplo.

Ejemplo.

Encuentra el valor de la raíz.

Solución.

Transformemos la expresión original para que haya un número positivo debajo del signo raíz: . Ahora reemplaza el número mixto con una fracción ordinaria: . Aplicamos la regla para extraer la raíz de una fracción ordinaria: . Queda por calcular las raíces en el numerador y denominador de la fracción resultante: .

Aquí hay un breve resumen de la solución: .

Respuesta:

.

Determinación bit a bit del valor raíz

En el caso general, debajo de la raíz hay un número que, utilizando las técnicas comentadas anteriormente, no se puede representar como la enésima potencia de ningún número. Pero en este caso es necesario conocer el significado de una raíz determinada, al menos hasta cierto signo. En este caso, para extraer la raíz, puede utilizar un algoritmo que le permita obtener secuencialmente una cantidad suficiente de valores de dígitos del número deseado.

El primer paso de este algoritmo es descubrir cuál es el bit más significativo del valor raíz. Para ello se elevan secuencialmente los números 0, 10, 100,... a la potencia n hasta el momento en que se obtiene un número superior al número radical. Entonces el número que elevamos a la potencia n en la etapa anterior indicará el dígito más significativo correspondiente.

Por ejemplo, considere este paso del algoritmo al extraer la raíz cuadrada de cinco. Cogemos los números 0, 10, 100,... y los elevamos al cuadrado hasta obtener un número mayor que 5. Tenemos 0 2 =0<5 , 10 2 =100>5, lo que significa que el dígito más significativo será el de las unidades. El valor de este bit, así como los inferiores, lo encontraremos en los siguientes pasos del algoritmo de extracción de raíces.

Todos los pasos posteriores del algoritmo tienen como objetivo aclarar secuencialmente el valor de la raíz encontrando los valores de los siguientes bits del valor deseado de la raíz, comenzando por el más alto y pasando a los más bajos. Por ejemplo, el valor de la raíz en el primer paso resulta ser 2, en el segundo – 2,2, en el tercero – 2,23, y así sucesivamente 2,236067977…. Describamos cómo se encuentran los valores de los dígitos.

Los dígitos se encuentran buscando entre sus posibles valores 0, 1, 2,..., 9. En este caso, las enésimas potencias de los números correspondientes se calculan en paralelo y se comparan con el número radical. Si en algún momento el valor del grado excede el número radical, entonces se considera encontrado el valor del dígito correspondiente al valor anterior, y si esto no sucede, se realiza la transición al siguiente paso del algoritmo de extracción de raíces; entonces el valor de este dígito es 9.

Expliquemos estos puntos usando el mismo ejemplo de extraer la raíz cuadrada de cinco.

Primero encontramos el valor del dígito de las unidades. Pasaremos por los valores 0, 1, 2,..., 9, calculando 0 2, 1 2,..., 9 2, respectivamente, hasta obtener un valor mayor que el número radical 5. Conviene presentar todos estos cálculos en forma de tabla:

Entonces el valor del dígito de las unidades es 2 (ya que 2 2<5 , а 2 3 >5). Pasemos a encontrar el valor de las décimas. En este caso elevaremos al cuadrado los números 2,0, 2,1, 2,2,..., 2,9, comparando los valores resultantes con el número radical 5:

Desde 2.2 2<5 , а 2,3 2 >5, entonces el valor de las décimas es 2. Puedes proceder a encontrar el valor de las centésimas:

Así se encontró el siguiente valor de la raíz de cinco, es igual a 2,23. Y así podrás seguir encontrando valores: 2,236, 2,2360, 2,23606, 2,236067, … .

Para consolidar el material, analizaremos la extracción de la raíz con una precisión de centésimas utilizando el algoritmo considerado.

Primero determinamos el dígito más significativo. Para ello, elevamos al cubo los números 0, 10, 100, etc. hasta obtener un número mayor que 2.151.186. Tenemos 0 3 =0<2 151,186 , 10 3 =1 000<2151,186 , 100 3 =1 000 000>2 151,186, por lo que el dígito más significativo es el dígito de las decenas.

Determinemos su valor.

Desde 10 3<2 151,186 , а 20 3 >2 151,186, entonces el valor de las decenas es 1. Pasemos a las unidades.

Por tanto, el valor de la cifra de las unidades es 2. Pasemos a las décimas.

Dado que incluso 12,9 3 es menor que el número radical 2 151,186, entonces el valor de las décimas es 9. Queda por realizar el último paso del algoritmo; nos dará el valor de la raíz con la precisión requerida.

En esta etapa, el valor de la raíz se encuentra con una precisión de centésimas: .

Como conclusión de este artículo, me gustaría decir que existen muchas otras formas de extraer raíces. Pero para la mayoría de las tareas, las que estudiamos anteriormente son suficientes.

Referencias.

• Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Álgebra: libro de texto para octavo grado. instituciones educativas.
• Kolmogorov A.N., Abramov A.M., Dudnitsyn Yu.P. y otros Álgebra y los inicios del análisis: Libro de texto para los grados 10 - 11 de instituciones de educación general.
• Gusev V.A., Mordkovich A.G. Matemáticas (un manual para quienes ingresan a las escuelas técnicas).

Nivel de entrada

Raíz y sus propiedades. Teoría detallada con ejemplos (2019)

Intentemos descubrir qué tipo de concepto es esta "raíz" y "con qué se come". Para hacer esto, veamos ejemplos que ya ha encontrado en clase (bueno, o que está a punto de encontrar esto).

Por ejemplo, tenemos una ecuación. ¿Cuál es la solución de esta ecuación? ¿Qué números se pueden elevar al cuadrado y obtener? Al recordar la tabla de multiplicar, puedes dar fácilmente la respuesta: y (después de todo, cuando se multiplican dos números negativos, se obtiene un número positivo). Para simplificar, los matemáticos introdujeron un concepto especial de raíz cuadrada y le asignaron un símbolo especial.

Definamos la raíz cuadrada aritmética.

¿Por qué el número tiene que ser no negativo? Por ejemplo, ¿a qué es igual? Bueno, bueno, intentemos elegir uno. ¿Tal vez tres? Comprobemos: , no. Tal vez, ? Nuevamente comprobamos: . Bueno, ¿no encaja? Esto es de esperarse, ¡porque no hay números que, cuando se elevan al cuadrado, den un número negativo!
Esto es lo que debes recordar: ¡El número o expresión debajo del signo raíz no debe ser negativo!

Sin embargo, los más atentos probablemente ya se habrán dado cuenta de que la definición dice que la solución de la raíz cuadrada de “un número se llama así no negativo número cuyo cuadrado es igual a ". Algunos de ustedes dirán que al principio analizamos el ejemplo, seleccionamos números que se pueden elevar al cuadrado y obtener, la respuesta fue y, ¡pero aquí estamos hablando de algún tipo de "número no negativo"! Esta observación es bastante apropiada. Aquí solo necesitas distinguir entre los conceptos de ecuaciones cuadráticas y la raíz cuadrada aritmética de un número. Por ejemplo, no es equivalente a la expresión.

De ello se deduce que, es decir, o. (Lea el tema "")

Y se sigue de eso.

Por supuesto, esto es muy confuso, pero es necesario recordar que los signos son el resultado de resolver la ecuación, ya que al resolver la ecuación debemos escribir todas las X, las cuales, al sustituirlas en la ecuación original, darán resultado correcto. Ambos y encajan en nuestra ecuación cuadrática.

Sin embargo, si solo saca la raíz cuadrada de algo, entonces siempre obtenemos un resultado no negativo.

Ahora intenta resolver esta ecuación. Ya no todo es tan sencillo y fluido, ¿verdad? Intente repasar los números, ¿tal vez algo funcione? Empecemos desde el principio, desde cero: - no encaja, siga adelante - menos de tres, también deje a un lado, y si. Comprobemos: - tampoco es adecuado, porque... eso es más de tres. Es la misma historia con los números negativos. Entonces, ¿qué debemos hacer ahora? ¿La búsqueda realmente no nos dio nada? En absoluto, ahora sabemos con seguridad que la respuesta será algún número entre y, así como entre y. Además, obviamente las soluciones no serán números enteros. Además, no son racionales. Entonces, ¿qué sigue? Grafiquemos la función y marquemos las soluciones en ella.

¡Intentemos engañar al sistema y obtener la respuesta usando una calculadora! ¡Saquemosle la raíz! Oh-oh-oh, resulta que. Este número nunca termina. ¿¡Cómo puedes recordar esto, ya que no habrá calculadora en el examen!? Todo es muy sencillo, no es necesario que lo recuerdes, solo necesitas recordar (o poder estimar rápidamente) el valor aproximado. y las respuestas mismas. Estos números se denominan irracionales; fue para simplificar su escritura que se introdujo el concepto de raíz cuadrada.

Veamos otro ejemplo para reforzar esto. Veamos el siguiente problema: necesitas cruzar un campo cuadrado con un lado de km en diagonal, ¿cuántos km tienes que recorrer?

Lo más obvio aquí es considerar el triángulo por separado y utilizar el teorema de Pitágoras: . De este modo, . Entonces, ¿cuál es la distancia requerida aquí? Evidentemente, la distancia no puede ser negativa, lo entendemos. La raíz de dos es aproximadamente igual, pero, como señalamos anteriormente, ya es una respuesta completa.

Para resolver ejemplos con raíces sin causar problemas, es necesario verlos y reconocerlos. Para hacer esto, necesita conocer al menos los cuadrados de los números desde hasta y también poder reconocerlos. Por ejemplo, necesitas saber qué es igual a un cuadrado y también, a la inversa, qué es igual a un cuadrado.

¿Entendiste qué es una raíz cuadrada? Luego resuelve algunos ejemplos.

Ejemplos.

Bueno, ¿cómo resultó? Ahora veamos estos ejemplos:

Respuestas:

raíz cúbica

Bueno, parece que hemos resuelto el concepto de raíz cuadrada, ahora intentemos descubrir qué es una raíz cúbica y cuál es su diferencia.

La raíz cúbica de un número es el número cuyo cubo es igual. ¿Has notado que aquí todo es mucho más sencillo? No existen restricciones sobre los valores posibles tanto del valor bajo el signo de la raíz cúbica como del número que se extrae. Es decir, la raíz cúbica se puede extraer de cualquier número: .

¿Sabes qué es una raíz cúbica y cómo extraerla? Luego continúa y resuelve los ejemplos.

Ejemplos.

Respuestas:

Raíz - oh grado

Bueno, hemos entendido los conceptos de raíces cuadradas y cúbicas. Ahora resumamos el conocimiento adquirido con el concepto. 1ra raíz.

1ra raíz de un número es un número cuya ésima potencia es igual, es decir

equivalente.

Si - incluso, Eso:

• con negativo, la expresión no tiene sentido (raíces pares de números negativos no se puede eliminar!);
• para no negativo() la expresión tiene una raíz no negativa.

Si - es impar, entonces la expresión tiene una raíz única para cualquiera.

No se alarme, aquí se aplican los mismos principios que con las raíces cuadradas y cúbicas. Es decir, los principios que aplicamos al considerar raíces cuadradas se extienden a todas las raíces de grado par.

Y las propiedades que se usaron para la raíz cúbica se aplican a raíces de grado impar.

Bueno, ¿ha quedado más claro? Veamos ejemplos:

Aquí todo está más o menos claro: primero miramos: sí, el grado es par, el número bajo la raíz es positivo, lo que significa que nuestra tarea es encontrar un número cuyo cuarto poder nos dé. Bueno, ¿alguna suposición? Tal vez, ? ¡Exactamente!

Entonces, el grado es igual - impar, el número bajo la raíz es negativo. Nuestra tarea es encontrar un número que, elevado a una potencia, produzca. Es bastante difícil notar inmediatamente la raíz. Sin embargo, puedes limitar tu búsqueda inmediatamente, ¿verdad? En primer lugar, el número requerido es definitivamente negativo y, en segundo lugar, se puede notar que es impar y, por lo tanto, el número deseado es impar. Intenta encontrar la raíz. Por supuesto, puedes descartarlo con seguridad. Tal vez, ?

¡Sí, esto es lo que estábamos buscando! Tenga en cuenta que para simplificar el cálculo utilizamos las propiedades de los grados: .

Propiedades básicas de las raíces.

¿Está vacío? Si no es así, después de mirar los ejemplos, todo debería encajar.

Multiplicando raíces

¿Cómo multiplicar raíces? La propiedad más simple y básica ayuda a responder esta pregunta:

Comencemos con algo simple:

¿No se extraen exactamente las raíces de los números resultantes? No hay problema, aquí hay algunos ejemplos:

¿Qué pasa si no hay dos, sino más multiplicadores? ¡Lo mismo! La fórmula para multiplicar raíces funciona con cualquier número de factores:

¿Qué podemos hacer con él? Bueno, por supuesto, esconde el tres debajo de la raíz, ¡recordando que el tres es la raíz cuadrada de!

¿Por qué necesitamos esto? Sí, solo para ampliar nuestras capacidades a la hora de resolver ejemplos:

¿Qué te parece esta propiedad de las raíces? ¿Hace la vida mucho más fácil? ¡Para mí, eso es exactamente correcto! Solo tienes que recordar eso Solo podemos ingresar números positivos bajo el signo raíz de un grado par.

Veamos en qué más puede ser útil esto. Por ejemplo, el problema requiere comparar dos números:

Es más:

No puedes saberlo de inmediato. Bueno, usemos la propiedad desensamblada de ingresar un número debajo del signo raíz. Entonces adelante:

Bueno, sabiendo que cuanto mayor sea el número bajo el signo de la raíz, ¡mayor será la raíz misma! Aquellos. si, entonces, . De esto concluimos firmemente que. ¡Y nadie nos convencerá de lo contrario!

Antes de esto, ingresamos un multiplicador bajo el signo de la raíz, pero ¿cómo eliminarlo? ¡Solo necesitas descomponerlo en factores y extraer lo que extraes!

Fue posible tomar un camino diferente y expandirse a otros factores:

No está mal, ¿verdad? Cualquiera de estos enfoques es correcto, decide como desees.

Por ejemplo, aquí hay una expresión:

En este ejemplo, el grado es par, pero ¿y si es impar? Nuevamente, aplica las propiedades de los exponentes y factoriza todo:

Todo parece claro con esto, pero ¿cómo extraer la raíz de un número a una potencia? Aquí, por ejemplo, está esto:

Bastante simple, ¿verdad? ¿Qué pasa si el grado es mayor que dos? Seguimos la misma lógica usando las propiedades de los grados:

Bueno, ¿está todo claro? Entonces aquí tienes un ejemplo:

Estos son los peligros, sobre ellos. siempre vale la pena recordar. En realidad, esto se refleja en los ejemplos de propiedades:

para impar: para pares y:

¿Está vacío? Reforzar con ejemplos:

Sí, vemos que la raíz está elevada a una potencia par, el número negativo debajo de la raíz también está elevado a una potencia par. Bueno, ¿funciona igual? Esto es lo que:

¡Eso es todo! Ahora aquí hay algunos ejemplos:

¿Entiendo? Luego continúa y resuelve los ejemplos.

Ejemplos.

Respuestas.

Si ha recibido respuestas, podrá seguir adelante con tranquilidad. Si no, entonces entendamos estos ejemplos:

Veamos otras dos propiedades de las raíces:

Estas propiedades deben analizarse en ejemplos. Bueno, ¿hagamos esto?

¿Entiendo? Asegurémoslo.

Ejemplos.

Respuestas.

RAÍCES Y SUS PROPIEDADES. NIVEL MEDIO

raíz cuadrada aritmética

La ecuación tiene dos soluciones: y. Son números cuyo cuadrado es igual a.

Considere la ecuación. Resolvámoslo gráficamente. Dibujemos una gráfica de la función y una recta en el nivel. Los puntos de intersección de estas líneas serán las soluciones. Vemos que esta ecuación también tiene dos soluciones, una positiva y la otra negativa:

Pero en este caso las soluciones no son números enteros. Además, no son racionales. Para anotar estas decisiones irracionales, introducimos un símbolo especial de raíz cuadrada.

raíz cuadrada aritmética es un número no negativo cuyo cuadrado es igual a. Cuando la expresión no está definida, porque No existe ningún número cuyo cuadrado sea igual a un número negativo.

Raíz cuadrada: .

Por ejemplo, . Y sigue eso o.

Déjame llamar tu atención una vez más, esto es muy importante: La raíz cuadrada es siempre un número no negativo: !

raíz cúbica de un número es un número cuyo cubo es igual a. La raíz cúbica está definida para todos. Se puede extraer de cualquier número: . Como puedes ver, también puede tomar valores negativos.

La raíz enésima de un número es un número cuya enésima potencia es igual, es decir

Si es par, entonces:

• si, entonces la raíz enésima de a no está definida.
• si, entonces la raíz no negativa de la ecuación se llama raíz aritmética del ésimo grado de y se denota.

Si - es impar, entonces la ecuación tiene una raíz única para cualquiera.

¿Has notado que a la izquierda encima del signo de la raíz escribimos su grado? ¡Pero no para la raíz cuadrada! Si ves una raíz sin grado, significa que es cuadrada (grados).

Ejemplos.

Propiedades básicas de las raíces.

RAÍCES Y SUS PROPIEDADES. BREVEMENTE SOBRE LAS COSAS PRINCIPALES

Raíz cuadrada (raíz cuadrada aritmética) de un número no negativo se llama así número no negativo cuyo cuadrado es

Propiedades de las raíces:

Raíz aritmética de segundo grado.

Definición 1

La segunda raíz (o raíz cuadrada) de $a$ llama a un número que, cuando se eleva al cuadrado, se vuelve igual a $a$.

Ejemplo 1

$7^2=7 \cdot 7=49$, lo que significa que el número $7$ es la segunda raíz del número $49$;

$0.9^2=0.9 \cdot 0.9=0.81$, lo que significa que el número $0.9$ es la segunda raíz del número $0.81$;

$1^2=1 \cdot 1=1$, lo que significa que el número $1$ es la segunda raíz del número $1$.

Nota 2

En pocas palabras, para cualquier número $a

$a=b^2$ para $a$ negativo es incorrecto, porque $a=b^2$ no puede ser negativo para ningún valor de $b$.

Se puede concluir que Para los números reales no puede haber una segunda raíz de un número negativo..

Nota 3

Porque $0^2=0 \cdot 0=0$, entonces de la definición se deduce que cero es la segunda raíz de cero.

Definición 2

Raíz aritmética del segundo grado del número $a$($a \ge 0$) es un número no negativo que, cuando se eleva al cuadrado, es igual a $a$.

Las raíces de segundo grado también se llaman raíces cuadradas.

La raíz aritmética del segundo grado del número $a$ se denota como $\sqrt(a)$ o puedes ver la notación $\sqrt(a)$. Pero la mayoría de las veces para la raíz cuadrada el número $2$ es exponente raíz- No especificado. El signo “$\sqrt( )$” es el signo de la raíz aritmética de 2º grado, que también se llama “ signo radical" Los conceptos “raíz” y “radical” son nombres del mismo objeto.

Si hay un número bajo el signo de la raíz aritmética, entonces se llama número radical, y si la expresión, entonces – expresión radical.

La entrada $\sqrt(8)$ se lee como “raíz aritmética del segundo grado de ocho” y la palabra “aritmética” a menudo no se utiliza.

Definición 3

Según la definición raíz aritmética de segundo grado se puede escribir:

Para cualquier $a \ge 0$:

$(\sqrt(a))^2=a$,

$\sqrt(a)\ge 0$.

Mostramos la diferencia entre una segunda raíz y una segunda raíz aritmética. Además, consideraremos solo raíces de números y expresiones no negativos, es decir sólo aritmética.

Raíz aritmética de tercer grado.

Definición 4

Raíz aritmética de tercer grado (o raíz cúbica) del número $a$($a \ge 0$) es un número no negativo que, cuando se eleva al cubo, se vuelve igual a $a$.

A menudo se omite la palabra aritmética y dicen “la tercera raíz del número $a$”.

La raíz aritmética de tercer grado de $a$ se denota como $\sqrt(a)$, el signo “$\sqrt( )$” es el signo de la raíz aritmética de tercer grado, y el número $3$ en esta notación se llama índice raíz. El número o expresión que aparece debajo del signo raíz se llama radical.

Ejemplo 2

$\sqrt(3,5)$ – raíz aritmética de tercer grado de $3.5$ o raíz cúbica de $3.5$;

$\sqrt(x+5)$ – raíz aritmética de tercer grado de $x+5$ o raíz cúbica de $x+5$.

Raíz enésima aritmética

Definición 5

Raíz aritmética de enésimo grado del número $a \ge 0$ se llama un número no negativo que, elevado a la $n$ésima potencia, se vuelve igual a $a$.

Notación para la raíz aritmética de grado $n$ de $a \ge 0$:

donde $a$ es un número o expresión radical,

Resolvamos un problema simple de encontrar el lado de un cuadrado cuyo área es 9 cm 2. Si suponemos que el lado del cuadrado A cm, luego componemos la ecuación según las condiciones del problema:

A incógnita A = 9

Un 2 = 9

Un 2-9 =0

(A-3)(A+3)=0

A=3 o A=-3

La longitud de un lado de un cuadrado no puede ser un número negativo, por lo que el lado requerido del cuadrado es de 3 cm.

Al resolver la ecuación, encontramos los números 3 y -3, cuyos cuadrados son 9. Cada uno de estos números se llama raíz cuadrada del número 9. El no negativo de estas raíces, es decir, el número 3, se llama raíz aritmética del número.

Es bastante lógico aceptar el hecho de que la raíz se puede encontrar a partir de números elevados a la tercera potencia (raíz cúbica), a la cuarta potencia, etc. Y, en principio, la raíz es la operación inversa de la exponenciación.

Raíznorte grado de entre α es tal numero b, Dónde bn = α .

Aquí norte- un número natural generalmente se llama índice raíz(o grado de raíz); por regla general, es mayor o igual a 2, porque el caso norte = 1 cursi.

Designado en la letra como un símbolo (signo raíz) en el lado derecho se llama radical. Número α - expresión radical. Para nuestro ejemplo con una fiesta, la solución podría verse así: porque (± 3) 2 = 9 .

Obtuvimos los valores positivos y negativos de la raíz. Esta característica complica los cálculos. Para lograr la claridad, se introdujo el concepto. raíz aritmética, cuyo valor siempre tiene un signo más, es decir, solo positivo.

Raíz llamado aritmética, si se extrae de un número positivo y es en sí mismo un número positivo.

Por ejemplo,

Sólo hay una raíz aritmética de un grado dado de un número dado.

La operación de cálculo suele denominarse “ extracción de raíces norteº grado" de entre α . En esencia, realizamos la operación inversa a elevar a una potencia, es decir, encontrar la base de la potencia. b según un indicador conocido norte y el resultado de elevar a una potencia

α = mil millones.

Las raíces de segundo y tercer grado se utilizan en la práctica con más frecuencia que otras y por eso se les dio nombres especiales.

Raíz cuadrada: En este caso, se acostumbra no escribir el exponente 2, y el término “raíz” sin indicar el exponente suele significar la raíz cuadrada. Interpretada geométricamente, es la longitud del lado de un cuadrado cuyo área es igual a α .

Raíz cúbica: Interpretada geométricamente, la longitud de una arista de un cubo cuyo volumen es igual a α .

Propiedades de las raíces aritméticas.

1) Al calcular raíz aritmética del producto, es necesario extraerlo de cada factor por separado

Por ejemplo,

2) Para el cálculo raíz de una fracción, es necesario extraerlo del numerador y denominador de esta fracción

Por ejemplo,

3) Al calcular raíz del grado, es necesario dividir el exponente por la raíz del exponente

Por ejemplo,

Los primeros cálculos relacionados con la extracción de la raíz cuadrada se encontraron en los trabajos de matemáticos de la antigua Babilonia y China, India, Grecia (no hay información en las fuentes sobre los logros del antiguo Egipto a este respecto).

Los matemáticos de la antigua Babilonia (segundo milenio a. C.) utilizaron un método numérico especial para extraer la raíz cuadrada. La aproximación inicial para la raíz cuadrada se encontró basándose en el número natural más cercano a la raíz (en la dirección más pequeña) norte. Presentando la expresión radical en la forma: α=n 2 +r, obtenemos: x 0 =n+r/2n, luego se aplicó un proceso de refinamiento iterativo:

Las iteraciones de este método convergen muy rápidamente. Para ,

Por ejemplo, a=5; norte=2; r=1; x0=9/4=2,25 y obtenemos una secuencia de aproximaciones:

En el valor final, todos los dígitos son correctos excepto el último.

Los griegos formularon el problema de duplicar un cubo, que se reducía a construir una raíz cúbica usando un compás y una regla. Las reglas para calcular cualquier grado de un número entero han sido estudiadas por matemáticos de la India y los estados árabes. Luego se desarrollaron ampliamente en la Europa medieval.

Hoy en día, para facilitar el cálculo de raíces cuadradas y cúbicas, las calculadoras se utilizan ampliamente.