Cómo utilizar la tabla de cosenos de Bradis. Vida de nombres maravillosos.
Hoy en día, existen muchas herramientas informáticas que pueden utilizarse para resolver problemas, tanto complejos como extremadamente simples. Pero, sin embargo, las tablas de Bradis no son menos relevantes hoy que hace varias décadas. Pero no todos los estudiantes de secundaria y universitarios saben utilizar la mesa Bradis. Consideremos el uso de estas tablas usando el ejemplo de resolución de problemas con valores senos. Por cierto, no es necesario comprar estas tablas impresas, ya que se ofrecen en Internet en este enlace.
Senos paranasales
Abra la página con senos. Ahora mire las condiciones del problema en qué dimensión se le da el ángulo: en grados, radianes o minutos. El hecho es que las tablas de Bradis dan números solo en minutos y grados. Por lo tanto, si el valor de su ángulo es diferente, entonces deberá convertirlo a grados o minutos. Puedes convertir un ángulo de radianes a grados usando la fórmula a=b*180°/π, donde b es el ángulo en radianes y α está en grados.
La tabla consta de filas ubicadas tanto vertical como horizontalmente. En la fila más exterior de la izquierda, en su esquina izquierda, está "pecado". Además, debajo hay números en una columna (indican grados). Estos son grados enteros. Encuentre el indicador de ángulo completo que necesita y luego, en la línea superior, busque el número correspondiente al indicador de ángulo fraccionario. En la intersección de la columna y la fila estará el valor que necesita.
minutos
Si usa la tabla Bradis en minutos, entonces se indican en la tabla no en una fila, sino después de 6. Es decir, para encontrar un ángulo con un valor que sea múltiplo del número "6", la tabla Bradis puede utilizarse. Cosenos, ¿cómo utilizar la tabla si por ejemplo se da un ángulo en minutos con valor 19? Para hacer esto, use las correcciones ubicadas en el lado derecho de la tabla en la página "Cosenos". Es necesario encontrar la diferencia entre el múltiplo más cercano de "6" y el ángulo dado. Para una diferencia de 1 a 3, suma el valor encontrado al último dígito del valor del coseno del ángulo menor, y para una diferencia de 4 o 5, resta el valor de corrección del último dígito del ángulo mayor.
En el siglo V a. C., el antiguo filósofo griego Zenón de Elea formuló sus famosas aporías, la más famosa de las cuales es la aporía “Aquiles y la Tortuga”. Así es como suena:Digamos que Aquiles corre diez veces más rápido que la tortuga y está mil pasos detrás de ella. Durante el tiempo que le toma a Aquiles correr esta distancia, la tortuga se arrastrará cien pasos en la misma dirección. Cuando Aquiles corre cien pasos, la tortuga gatea otros diez pasos, y así sucesivamente. El proceso continuará hasta el infinito, Aquiles nunca alcanzará a la tortuga.
Este razonamiento se convirtió en un shock lógico para todas las generaciones posteriores. Aristóteles, Diógenes, Kant, Hegel, Hilbert... Todos ellos consideraron de una forma u otra la aporía de Zenón. El shock fue tan fuerte que " ... las discusiones continúan hasta el día de hoy; la comunidad científica aún no ha podido llegar a una opinión común sobre la esencia de las paradojas ... en el estudio del tema intervinieron el análisis matemático, la teoría de conjuntos y nuevos enfoques físicos y filosóficos. ; Ninguno de ellos se convirtió en una solución generalmente aceptada al problema..."[Wikipedia, "La aporía de Zenón". Todos entienden que están siendo engañados, pero nadie entiende en qué consiste el engaño.
Desde un punto de vista matemático, Zenón en su aporía demostró claramente la transición de la cantidad a. Esta transición implica aplicaciones en lugar de permanentes. Según tengo entendido, el aparato matemático para utilizar unidades de medida variables aún no se ha desarrollado o no se ha aplicado a la aporía de Zenón. Aplicar nuestra lógica habitual nos lleva a una trampa. Nosotros, por inercia del pensamiento, aplicamos unidades de tiempo constantes al valor recíproco. Desde un punto de vista físico, esto parece como si el tiempo se desacelerara hasta detenerse por completo en el momento en que Aquiles alcanza a la tortuga. Si el tiempo se detiene, Aquiles ya no podrá escapar de la tortuga.
Si damos la vuelta a nuestra lógica habitual, todo encaja. Aquiles corre a velocidad constante. Cada segmento posterior de su camino es diez veces más corto que el anterior. En consecuencia, el tiempo dedicado a superarlo es diez veces menor que el anterior. Si aplicamos el concepto de "infinito" en esta situación, entonces sería correcto decir "Aquiles alcanzará a la tortuga infinitamente rápido".
¿Cómo evitar esta trampa lógica? Permanezca en unidades de tiempo constantes y no cambie a unidades recíprocas. En el lenguaje de Zenón se ve así:
En el tiempo que le toma a Aquiles correr mil pasos, la tortuga gateará cien pasos en la misma dirección. Durante el siguiente intervalo de tiempo igual al primero, Aquiles correrá otros mil pasos y la tortuga se arrastrará cien pasos. Ahora Aquiles está ochocientos pasos por delante de la tortuga.
Este enfoque describe adecuadamente la realidad sin paradojas lógicas. Pero esta no es una solución completa al problema. La afirmación de Einstein sobre la irresistibilidad de la velocidad de la luz es muy similar a la aporía de Zenón “Aquiles y la tortuga”. Todavía tenemos que estudiar, repensar y resolver este problema. Y la solución no debe buscarse en números infinitamente grandes, sino en unidades de medida.
Otra aporía interesante de Zenón habla de una flecha voladora:
Una flecha voladora está inmóvil, ya que en cada momento está en reposo, y como está en reposo en cada momento, siempre está en reposo.
En esta aporía, la paradoja lógica se supera de manera muy simple: basta con aclarar que en cada momento una flecha voladora está en reposo en diferentes puntos del espacio, lo que, de hecho, es movimiento. Es necesario señalar aquí otro punto. A partir de una fotografía de un automóvil en la carretera es imposible determinar ni el hecho de su movimiento ni la distancia hasta él. Para determinar si un automóvil se está moviendo, necesita dos fotografías tomadas desde el mismo punto en diferentes momentos del tiempo, pero no puede determinar la distancia desde ellas. Para determinar la distancia a un automóvil, necesita dos fotografías tomadas desde diferentes puntos del espacio en un momento dado, pero a partir de ellas no puede determinar el hecho del movimiento (por supuesto, aún necesita datos adicionales para los cálculos, la trigonometría lo ayudará ). Lo que quiero llamar la atención especialmente es que dos puntos en el tiempo y dos puntos en el espacio son cosas diferentes que no deben confundirse, porque brindan diferentes oportunidades para la investigación.
miércoles, 4 de julio de 2018
Las diferencias entre conjunto y multiconjunto se describen muy bien en Wikipedia. Vamos a ver.
Como puede ver, "no puede haber dos elementos idénticos en un conjunto", pero si hay elementos idénticos en un conjunto, dicho conjunto se denomina "multiconjunto". Los seres razonables nunca entenderán una lógica tan absurda. Este es el nivel de los loros parlantes y los monos entrenados, que no tienen inteligencia de la palabra "completamente". Los matemáticos actúan como simples entrenadores, predicándonos sus ideas absurdas.
Érase una vez, los ingenieros que construyeron el puente estaban en un bote debajo del puente mientras lo probaban. Si el puente se derrumbaba, el mediocre ingeniero moría bajo los escombros de su creación. Si el puente podía soportar la carga, el talentoso ingeniero construyó otros puentes.
No importa cómo los matemáticos se escondan detrás de la frase "fíjense, estoy en casa", o más bien, "las matemáticas estudian conceptos abstractos", hay un cordón umbilical que los conecta inextricablemente con la realidad. Este cordón umbilical es dinero. Apliquemos la teoría matemática de conjuntos a los propios matemáticos.
Estudiamos muy bien matemáticas y ahora estamos sentados en la caja registradora repartiendo sueldos. Entonces un matemático viene a nosotros por su dinero. Le contamos el monto total y lo colocamos sobre nuestra mesa en diferentes montones, en los que colocamos billetes de la misma denominación. Luego tomamos un billete de cada montón y le damos al matemático su “salario matemático”. Expliquemos al matemático que recibirá los billetes restantes sólo cuando demuestre que un conjunto sin elementos idénticos no es igual a un conjunto con elementos idénticos. Aquí es donde comienza la diversión.
En primer lugar, funcionará la lógica de los diputados: “¡Esto se puede aplicar a otros, pero a mí no!” Luego empezarán a asegurarnos que los billetes de la misma denominación tienen diferentes números de billete, por lo que no pueden considerarse los mismos elementos. Bien, contemos los salarios en monedas; no hay números en las monedas. Aquí el matemático comenzará a recordar frenéticamente la física: diferentes monedas tienen diferentes cantidades de suciedad, la estructura cristalina y la disposición de los átomos es única para cada moneda...
Y ahora tengo la pregunta más interesante: ¿dónde está la línea más allá de la cual los elementos de un multiconjunto se convierten en elementos de un conjunto y viceversa? Tal línea no existe: todo lo deciden los chamanes, la ciencia ni siquiera está cerca de mentir aquí.
Mira aquí. Seleccionamos estadios de fútbol con la misma superficie de campo. Las áreas de los campos son las mismas, lo que significa que tenemos un conjunto múltiple. Pero si miramos los nombres de estos mismos estadios, encontramos muchos, porque los nombres son diferentes. Como puede ver, el mismo conjunto de elementos es a la vez un conjunto y un multiconjunto. ¿Cuál es correcto? Y aquí el matemático-chamán-afilador saca un as de triunfo de su manga y comienza a hablarnos de un conjunto o de un multiconjunto. En cualquier caso, nos convencerá de que tiene razón.
Para comprender cómo operan los chamanes modernos con la teoría de conjuntos, vinculándola a la realidad, basta responder a una pregunta: ¿en qué se diferencian los elementos de un conjunto de los elementos de otro conjunto? Te lo mostraré, sin ningún "concebible como un todo único" o "no concebible como un todo único".
domingo, 18 de marzo de 2018
La suma de las cifras de un número es una danza de chamanes con pandero, que nada tiene que ver con las matemáticas. Sí, en las lecciones de matemáticas nos enseñan a encontrar la suma de los dígitos de un número y usarla, pero es por eso que son chamanes, para enseñar a sus descendientes sus habilidades y sabiduría, de lo contrario los chamanes simplemente desaparecerán.
¿Necesitas pruebas? Abra Wikipedia e intente encontrar la página "Suma de dígitos de un número". Ella no existe. No existe ninguna fórmula en matemáticas que pueda usarse para encontrar la suma de los dígitos de cualquier número. Después de todo, los números son símbolos gráficos con los que escribimos números, y en el lenguaje matemático la tarea suena así: "Encuentra la suma de los símbolos gráficos que representan cualquier número". Los matemáticos no pueden resolver este problema, pero los chamanes pueden hacerlo fácilmente.
Averigüemos qué y cómo hacemos para encontrar la suma de los dígitos de un número determinado. Y entonces, tengamos el número 12345. ¿Qué hay que hacer para encontrar la suma de los dígitos de este número? Consideremos todos los pasos en orden.
1. Escribe el número en una hoja de papel. ¿Qué hemos hecho? Hemos convertido el número en un símbolo numérico gráfico. Esta no es una operación matemática.
2. Cortamos una imagen resultante en varias imágenes que contienen números individuales. Cortar un cuadro no es una operación matemática.
3. Convierta símbolos gráficos individuales en números. Esta no es una operación matemática.
4. Suma los números resultantes. Ahora esto son matemáticas.
La suma de los dígitos del número 12345 es 15. Estos son los “cursos de corte y costura” impartidos por chamanes que utilizan los matemáticos. Pero eso no es todo.
Desde un punto de vista matemático, no importa en qué sistema numérico escribimos un número. Entonces, en diferentes sistemas numéricos la suma de los dígitos de un mismo número será diferente. En matemáticas, el sistema numérico se indica como un subíndice a la derecha del número. Con el gran número 12345, no quiero engañarme, consideremos el número 26 del artículo sobre. Escribamos este número en sistemas numéricos binario, octal, decimal y hexadecimal. No veremos cada paso bajo un microscopio; eso ya lo hemos hecho. Veamos el resultado.
Como puedes ver, en diferentes sistemas numéricos la suma de los dígitos de un mismo número es diferente. Este resultado no tiene nada que ver con las matemáticas. Es lo mismo que si determinaras el área de un rectángulo en metros y centímetros, obtendrías resultados completamente diferentes.
El cero tiene el mismo aspecto en todos los sistemas numéricos y no tiene suma de dígitos. Este es otro argumento a favor del hecho de que. Pregunta para los matemáticos: ¿cómo se designa en matemáticas algo que no es un número? ¿Para los matemáticos nada existe excepto los números? Puedo permitir esto a los chamanes, pero no a los científicos. La realidad no se trata sólo de números.
El resultado obtenido debe considerarse como prueba de que los sistemas numéricos son unidades de medida de números. Después de todo, no podemos comparar números con diferentes unidades de medida. Si las mismas acciones con diferentes unidades de medida de la misma cantidad conducen a diferentes resultados después de compararlas, entonces esto no tiene nada que ver con las matemáticas.
¿Qué son las matemáticas reales? Esto es cuando el resultado de una operación matemática no depende del tamaño del número, de la unidad de medida utilizada y de quién realiza esta acción.
¡Oh! ¿No es este el baño de mujeres?
- ¡Mujer joven! ¡Este es un laboratorio para el estudio de la santidad indefílica de las almas durante su ascensión al cielo! Halo en la parte superior y flecha hacia arriba. ¿Qué otro baño?
Mujer... El halo de arriba y la flecha de abajo son masculinos.
Si una obra de arte de diseño así aparece ante sus ojos varias veces al día,
Entonces no es de extrañar que de repente encuentres un icono extraño en tu coche:
Personalmente, me esfuerzo en ver menos cuatro grados en una persona que hace caca (una imagen) (una composición de varias imágenes: signo menos, número cuatro, designación de grado). Y no creo que esta chica sea una tonta que no sabe física. Simplemente tiene un fuerte estereotipo de percepción de imágenes gráficas. Y los matemáticos nos enseñan esto todo el tiempo. He aquí un ejemplo.
1A no es “menos cuatro grados” ni “uno a”. Este es el "hombre que hace caca" o el número "veintiséis" en notación hexadecimal. Aquellas personas que trabajan constantemente en este sistema numérico perciben automáticamente un número y una letra como un símbolo gráfico.
¿Cómo surgieron las mesas Bradis?
Los escolares, estudiantes e investigadores modernos prácticamente no pueden imaginar su trabajo sin una computadora o una calculadora. El hábito de utilizar equipos electrónicos está tan arraigado en la vida cotidiana que a nadie le sorprende que estos dispositivos proporcionen instantáneamente valores muy precisos para funciones bastante complejas. Y, por ejemplo, allá por los años 30 del siglo pasado, era casi imposible evitar cálculos largos y tediosos de los valores de funciones trigonométricas. Los métodos numéricos permiten determinar el valor de cualquier función utilizando su expansión en serie de potencias. Pero este método requiere bastante mano de obra y tiene una alta precisión, lo que no siempre es necesario en la práctica. Vladimir Modestovich Bradis propuso un método para calcular funciones trigonométricas, que redujo al mínimo los tediosos cálculos. Seleccionó las funciones más utilizadas en los cálculos de ingeniería, calculó sus valores en una gama bastante amplia de argumentos y presentó el resultado final en forma de tablas que se publicaron anualmente durante varias décadas.
¿Qué son las mesas Bradis?
Las "Tablas matemáticas de cuatro dígitos" de Bradis es un pequeño folleto que contiene los valores de funciones trigonométricas como seno, coseno, tangente y cotangente para varios valores del argumento. Vale la pena señalar que los senos y cosenos se calculan utilizando una parte de la tabla y las tangentes y cotangentes se calculan utilizando otra. Esto se debe a las relaciones trigonométricas básicas que conectan estos pares de funciones.
Cada tabla tiene una estructura estándar: los argumentos de la primera fila y la primera columna corresponden a una función del par (seno o tangente), los argumentos de la cuarta desde la columna final y la última fila corresponden a la segunda función (coseno o cotangente). Las columnas contienen grados enteros y las filas contienen valores diminutos, de modo que pueda determinar el valor exacto de la función para un argumento no entero. En la intersección de una fila y una columna, el valor de la función se ubica con una precisión de cuatro decimales.
Las últimas tres columnas están diseñadas para permitirle encontrar el valor de una función cuyo argumento no es múltiplo de seis. Contienen correcciones que se deben sumar o restar al valor de la función calculado para el ángulo más cercano al deseado y múltiplo de 6 minutos. En algunas tablas para calcular tangentes y cotangentes, los valores se dan en incrementos de un minuto. En este caso, faltan las últimas tres columnas de corrección y, por lo tanto, se deben examinar los valores necesarios del argumento de la cotangente en la última fila y en la última columna.
¿Cómo calcular valores de funciones usando tablas Bradis?
Descubrir cómo utilizar la mesa Bradis no es tan difícil. Solo necesita leer atentamente las instrucciones, probar cálculos utilizando ejemplos ya preparados y luego pasar a cálculos independientes.
Para las tablas Bradis, el valor del ángulo especificado en grados se utiliza como argumento para las funciones. Si el valor del argumento se da en radianes, entonces para convertirlo a grados se debe multiplicar por 180 y dividir por 3,1415926.
Luego, para la función de interés (por ejemplo, seno), seleccione una fila y una columna con argumentos (la primera parte de las tablas, la primera columna y la primera fila). En la columna debe encontrar el valor que corresponde al número entero de grados en el argumento, y en la fila, el número de minutos. En la intersección de la fila y columna resultantes, se encuentra el valor deseado de la función.
Vale la pena señalar que si el ángulo tiene una cantidad de minutos que no es múltiplo de seis, entonces los cálculos deben realizarse para el valor más cercano a él (de los disponibles en la tabla). Después de esto, debe calcular la diferencia entre el argumento dado y el utilizado para los cálculos. Esta diferencia debería ser de uno, dos o tres minutos. Según el valor de diferencia obtenido en una de las últimas tres columnas de la tabla Bradis, es necesario tomar un valor de corrección. Si la diferencia es positiva, entonces el valor de corrección se debe sumar al último dígito del calculado existente, y si es negativo, restar.
Cada tabla de Bradis da los valores de alguna cantidad (función) dependiendo del valor de alguna otra cantidad (argumento). Por ejemplo, la Tabla 3 da los valores del cuadrado dependiendo de los valores del número al cuadrado (función y = x 2 argumentos x), tabla 7- valores del área de un círculo en función de los valores de su diámetro (función K = πd 2 /4 argumento d), etc. Para ahorrar espacio, todas las tablas de la colección están dispuestas “en dos movimientos ”: cada valor de tabla de la función se ubica en la intersección de una línea que tiene en el encabezado (a la izquierda) algunos primeros dígitos del propósito correspondiente del argumento, y la columna que tiene sus dígitos restantes en el encabezado (en la parte superior). ). Por ejemplo, para el cuadrado del número 5,67 encontramos en tabla 3 en la línea 5.6 de la columna 7 el valor es 32.15, que representa el resultado de redondear a 4 cifras significativas el cuadrado exacto 5.67 2 = 32.1489.
Todos los valores tabulares de las funciones dadas en la colección se obtienen redondeando a 4 o 5 dígitos significativos de los valores exactos correspondientes y, por lo tanto, difieren de los valores exactos en no más de media unidad del dígito del último dígito. . Por ejemplo, habiendo encontrado en la Tabla 7 que el área de un círculo con un diámetro de 2,16 unidades lineales es igual a 3,664 unidades cuadradas correspondientes (fila 2.1, columna 6), podemos estar seguros de que el valor exacto de esta área difiere de esta tabla por no más de media milésima, es decir, 3,6635< К < 3,6645. Вычис-ление, проведенное точнее (без таблиц), дает К - 3,66435....
Los valores del argumento en cada tabla crecen uniformemente (al menos en un intervalo determinado), y el valor constante de la diferencia entre dos valores adyacentes del argumento se denomina "etapa" de la tabla. Entonces, en la tabla 3 el nivel es 0,01 en todas partes, y en la tabla 4 primero 0,01 y luego 0,1. Los valores de las funciones en la mayoría de las tablas también aumentan, pero su crecimiento es uniforme solo para funciones lineales, es decir, funciones de la forma y = ax + b, donde a y b son constantes. Un aumento de x en un paso h da a dichas funciones un aumento de la función en un número constante ah. Por ejemplo, cuando el diámetro aumenta en 0,01, la circunferencia C = πd aumenta en 0,01π = 0,0314.... Mirando los valores de la tabla circunferencia, observamos que cuando d aumenta en 0,01, aumentan en 31 o 32 milésimas. Esta ligera fluctuación se debe a la naturaleza aproximada de los valores tabulados.
La diferencia entre dos valores de tabla adyacentes de una función se denomina "diferencia tabular". Cuando se trata de una tabla de una función que cambia de manera desigual, se deben distinguir dos casos: el caso de un cambio "casi uniforme" en la función, cuando las diferencias de la tabla cambian muy lentamente, y el caso de un cambio "muy desigual". , cuando las diferencias de las tablas vecinas difieren entre sí en varias unidades del último dígito. Entonces, en mesa cubo 1 3 = 1, 2 3 = 8, 3 3 - 27, 4 3 = 64,... tenemos un ejemplo de una tabla con un cambio muy desigual en la función, pero si tomamos la misma tabla de cubos con un paso no de 1, sino de 0.001 y redondea los cubos a 4 cifras significativas, obtienes una tabla con un cambio casi uniforme en la función, que es lo que tenemos, donde a lo largo de toda la línea 1.00 las diferencias de la tabla son iguales a 3 ( milésimas), y en las siguientes, luego 3 , luego 4. La diferencia entre tablas con cambios uniformes, casi uniformes y marcadamente desiguales en la función es especialmente evidente cuando se representan estas funciones usando gráficos en coordenadas rectangulares: en el primer caso, a El gráfico se obtiene en forma de línea recta, en el segundo, en forma de curva, pequeñas secciones en las que están curvadas apenas perceptiblemente, en el tercero, en forma de curva con una curvatura notable ya en cada área pequeña. . Una misma tabla puede ser una tabla con un cambio casi uniforme en la función en un intervalo y con un cambio marcadamente desigual en otro. Esto es, por ejemplo, tabla 10, donde en las primeras líneas el cambio de función es marcadamente desigual. Al tener una tabla con un cambio de función marcadamente desigual, puedes convertirla en una tabla con un cambio casi uniforme de dos maneras: reduciendo el nivel de la tabla, es decir, reemplazándola por otra más detallada, que no es tan fácil de hacer (debe tener una tabla más detallada o compilarla de nuevo), o redondeando los valores de la tabla, lo cual se hace de manera muy simple, pero conlleva una pérdida de precisión. Por ejemplo, las tangentes de los ángulos indicadas en la Tabla 10 en la línea 89°20" con precisión de centésimas y que cambian marcadamente de manera desigual, después de redondear a décimas, cambian casi de manera uniforme.
Cada tabla contiene valores de función no para todos, sino solo para algunos valores de argumento. Surge la pregunta: ¿cómo obtener valores de función para valores de argumentos intermedios? La operación para obtener dichos valores se llama "interpolación". A veces se le llama en sentido figurado "lectura entre las filas de la tabla".
En el caso de una tabla con un cambio uniforme o casi uniforme en la función, se utiliza la llamada “interpolación lineal”, que consiste en lo siguiente. Si, cuando el valor del argumento aumenta en Y unidades de cualquier dígito, la función aumenta en d unidades de algún dígito, entonces, debido a la uniformidad del cambio en la función, un aumento en el argumento en 1 provoca un aumento en la función en unidades d/h, y un aumento en el argumento en u provoca un aumento en la función en v = unidades du/h. Obviamente, para obtener el valor deseado de la función, debe tomar el valor más pequeño de la tabla más cercano y agregar esta "corrección" v. Por ejemplo, para saber a qué es igual el cuadrado del número 8,053, toma tabla 3 8,05 2 = 64,80, 8,06 2 = 64,96, 8,07 2 = 65,12 y estamos convencidos de que el cambio en la función aquí es casi uniforme: con un paso h = 0,01 o 10 milésimas, la diferencia tabulada aquí es de 16 centésimas. Este valor del argumento 8,053 excede el valor tabular más pequeño más cercano de 8,05 en u = 3 (milésimas) y, por lo tanto, la corrección v es igual a 16 3/10 = 4,8 = 5 (centésimas). Sumándolo al valor de tabla más pequeño más cercano de la función 8,05 2 = 64,80, obtenemos 8,053 2 = 64,80 + 0,05 = 64,85 (la multiplicación directa da exactamente 8,053 2 = 64,850809).
En lugar de tomar una corrección por el “exceso” de un valor de argumento dado sobre su valor tabular menor más cercano, como acabamos de hacer, podemos corregir su “deficiencia” en comparación con el valor tabular mayor más cercano y restar la corrección del valor tabular mayor más cercano. valor de la función. Por ejemplo, para obtener el cuadrado del número 8.057, tomamos 8.06 2 = 8.060 2 = 64.96 y leemos la corrección por 3 milésimas, igual a 5 centésimas, obteniendo 8.057 2 = 64.91 (con el valor exacto igual a 64.915249). La corrección del exceso es más beneficiosa si el exceso no supera el medio paso; de lo contrario, es más rentable hacer un ajuste por la deficiencia.
El funcionamiento de la interpolación lineal se puede explicar no por la uniformidad del cambio en la función, como lo hicimos ahora, sino por la proporcionalidad de los incrementos del argumento y la función, es decir, por la proporcionalidad del exceso del argumento y la corrección para la función, perfectamente ilustrada en el gráfico , donde obtenemos dos triángulos rectángulos semejantes, uno con catetos h y d, el otro con catetos u y v. En esencia, ambos métodos son, por supuesto, idénticos, ya que ambos se basan en la misma proporción u:v=h:d.
¿Cuál es la precisión de los resultados obtenidos mediante interpolación lineal? Aquí hay tres fuentes de errores: la inexactitud del valor de la función tabular más cercana tomada, que no excede la mitad de la unidad de su último dígito; inexactitud de la corrección debido a inexactitudes en los valores de la tabla y redondeo de la corrección y, finalmente, inexactitud de la corrección causada por una uniformidad incompleta de los cambios en la función. Una consideración más profunda del problema muestra que si la diferencia entre dos valores adyacentes de la diferencia tabulada no excede las 4 unidades, la tercera fuente de error no tiene ninguna influencia notable y el error general del resultado de la interpolación lineal solo puede excede ligeramente la unidad en casos extremadamente raros dígito del último dígito. Esta conclusión puede verificarse fácilmente experimentalmente. Por ejemplo, usando tabla de cuadrados, encontramos, mediante interpolación lineal, los cuadrados de los números que se indican a continuación en la primera línea, y los escribimos en la segunda línea, y en la tercera línea colocamos los cuadrados exactos correspondientes, redondeados al cuarto decimal, en el cuarto - la diferencia de los números de la segunda y tercera línea, expresada en centésimas.
|
(y1 - y2) 100 |
Como podemos ver, los errores en los valores interpolados en ningún caso superan un dígito del último dígito.
Para facilitar la interpolación lineal, la mayoría de las tablas de esta colección contienen “correcciones ya hechas” en las columnas de la derecha, escritas en cursiva. Si las diferencias de la tabla cambian poco a lo largo de toda la fila, entonces se pueden calcular correcciones usando la fórmula v = du/h para todos los números de la fila. Por ejemplo, para la línea 8.0 tablas de cuadrados la corrección de 0,001 al principio de la línea es igual a (8,01 2 - 8,00 2): 10 = 0,01601, o 1,601 (centésimas), y al final de la misma (8,102 - 8,092): 10 = 0,01619, o 1,619, y el promedio es 1.610 (centésimas). Multiplicando esta corrección promedio por números del 1 al 9, obtenemos 1,61; 3,22; 4,83; 6,44; 8,05; 9,66; 11,27; 12,88; 14,49 o después de redondear al 2 más cercano; 3; 5; 6; 8; 10; 11; 13; 14.
Son estos números los que se dan en la línea 8.0 de la tabla de cuadrados de la derecha (escritos en cursiva). La experiencia demuestra que el uso de estas modificaciones ya preparadas ahorra hasta un 50% del tiempo dedicado a trabajar con tablas.
Si las diferencias en las tablas cambian más notablemente a lo largo de una fila, se deben calcular correcciones ya preparadas para partes de la fila, como se hizo, por ejemplo, en tabla 9 para líneas 73°, 74°, 75° o para las primeras líneas tablas de mantisas de logaritmos. Si el cambio en las diferencias tabulares a lo largo de la línea es aún más pronunciado, hay que abandonar las correcciones ya hechas. En tales casos, la operación de interpolación lineal debe realizarse completamente, encontrando h, d, u, v = du/h, como, por ejemplo, en tabla 15 y varios otros.
Si hay una gran diferencia en la tabla, se debe realizar una corrección no solo en el primer dígito del exceso, sino también en el segundo, si lo hubiera, reduciendo las correcciones ya preparadas que figuran en la tabla en 10 veces. Entonces, para encontrar 2.9345 2, en tabla 3 toma 2,93 2 = 8,585 y suma la corrección por 4 milésimas, igual a 24 (milésimas), y luego la corrección por 5 diezmilésimas, igual a 29:10 = 3 (milésimas), y el resultado final es 8,612 (multiplicación directa da 8,61129...).
Como ya hemos visto, si el exceso de un valor dado del argumento es más de medio paso, es más rentable utilizar el valor mayor más cercano de la función, restándole la corrección por la deficiencia del valor dado de el argumento comparado con su valor mayor más cercano. Por lo tanto, en todas las tablas donde el argumento es el ángulo y donde el paso es 6", las correcciones ya preparadas se dan sólo para 1", 2", 3". Si el exceso es de 4" o 5", es necesario realizar una corrección de 2" o 1", restándolo del valor mayor más cercano de la función. Además de ahorrar el espacio que ocupa la tabla, esto da cierta ganancia en la precisión de los resultados obtenidos, ya que las pequeñas correcciones son más precisas que las grandes.
Es necesario advertir fuertemente contra el uso de la interpolación lineal en el caso de cambios muy desiguales en la función. Siempre que no se proporcionen correcciones ya preparadas, pero sea necesario interpolarlas, se debe averiguar qué tan uniforme es la función y aplicar la interpolación lineal solo en el caso de que las diferencias tabuladas adyacentes difieran poco entre sí (no más de 4 unidades), y de lo contrario busque otras formas. Entonces, por ejemplo, si queremos encontrar log sen 1 ° 04 "36", tomamos tabla 15, donde no hay correcciones listas para usar, log sin 1°04" - 2.2699, log sin 1°05" = 2.2766, log sin 1°06" = 2.2832 y nos aseguramos de que la interpolación lineal sea aceptable aquí, ya que la tabla las diferencias son 67 y 66. Calculando v = 67 36/60 = 40,2 = 40 y sumando esta corrección al logaritmo tabular 2,2699, obtenemos log sen 1°04 "36" = 2,2739 (de tablas de siete dígitos obtenemos 2,2739331 ). Pero si necesitamos obtener log sen 0°05"30" y aplicamos el mismo método de interpolación lineal, obtendremos log sen 0°05" = 3,1627, d = 792, h =60", u = 30. ", v = 792/60 · 30 = 396, log sen 0°05"30" =60= 3,2023, mientras que un valor más preciso de este logaritmo, encontrado en tablas de siete dígitos, es 3,2040886. El error inaceptablemente grande en nuestro resultado se debe a un cambio marcadamente desigual en la función: junto a la diferencia tabulada 792 que usamos está la diferencia 669, la interpolación lineal es inaceptable aquí. Aquí podemos aprovechar que en ángulos muy pequeños el seno difiere muy poco de la medida en radianes (menos de una sexta parte del cubo de esta medida en radianes). EN tabla 11 tomamos la medida en radianes de un ángulo de 5", igual a 0.0014544, así como un ángulo de 30", igual a 0.00014544, y sumando obtenemos el número 0.0015998, que es un valor aproximado de sen 0°05" 30" con 7 decimales exactos. Habiendo encontrado su logaritmo en la Tabla 13, obtenemos 3,2041, es decir, justo lo que necesitamos.
En muchos casos, las tablas dan directamente valores de función solo en un rango limitado de valores de argumentos, pero mediante simples cálculos adicionales, generalmente realizados en la cabeza, este rango se puede ampliar significativamente. Este es el caso de las tablas de cuadrados, cubos, recíprocos y muchos otros. Tomemos por ejemplo tabla 7, que da directamente el área de un círculo con un diámetro de d = 1 a d = 10, observando que cuando el diámetro de un círculo aumenta 10 veces, su área aumenta 10 2 = 100 veces, podemos usar la misma tabla para encontrar el área del círculo de cualquier diámetro. Por ejemplo, si queremos encontrar el área de un círculo con un diámetro d = 49,52, primero encontramos en la tabla el área de un círculo con un diámetro de 4,952 (línea 49, columna 5, corrección por 2), igual a 19,26 , y luego aumentamos este resultado 100 veces y finalmente obtenemos 1926. Para encontrar el área de un círculo con un diámetro d = 0,04567, primero obtenemos el área de un círculo con un diámetro de 4,567 (línea 45, columna 7, restamos la corrección en 3), igual a 16,38, luego lo reducimos en 100 2 = 10000 veces y obtenemos 0,001638.
Habiendo examinado con todo detalle la cuestión de encontrar el valor de una función utilizando tablas basadas en un valor dado de su argumento, es decir, la llamada "pregunta directa", pasamos a la "pregunta inversa" cuando, utilizando una dado el valor de la función para la cual se compila la tabla, es necesario encontrar el valor del argumento correspondiente.
Si un valor de función determinado está en la tabla, todo el asunto se reduce a escribir el valor del argumento correspondiente. Si el valor de esta función no está en la tabla, utilice la misma operación de interpolación lineal, realizando los cambios apropiados y primero asegurándose de que sea admisible. Toman el valor más pequeño de la función en la tabla más cercano y encuentran cuánto se debe agregar al valor correspondiente del argumento para llevar este valor más pequeño de la función al dado. Aquí usamos la misma proporción u:v = h:d que antes, con la única diferencia de que ahora se da y, y buscamos a usando la fórmula u = hv/d. Entonces, para encontrar, usando una tabla de cuadrados, un número cuyo cuadrado es igual a 4,235, es decir, la raíz cuadrada del número 4,235, toma los cuadrados de la tabla más cercanos, menor y mayor, 4,203 = 2,05 2 y 4,244 = 2,06 2. Aquí el paso es h = 10 (milésimas), la diferencia tabular d = 41 (milésimas), la siguiente diferencia tabular también es 41, se permite la interpolación lineal. Para acercar el valor de tabla más pequeño más cercano al dado, es necesario aumentar este valor más cercano en 4,235 - 4,203 = 0,032, por lo tanto v = 32 (milésimas). Por lo tanto u = 10·32/41 =8 y la raíz deseada es 2,050 + 0,008 = 2,058. Puede tomar no el valor menor más cercano, sino el mayor más cercano de la función y reducirlo a uno dado, averiguando cuál es la disminución correspondiente en el valor mayor más cercano del argumento. En este ejemplo, en consecuencia, tomamos 4,244 - 4,235 = 0,009, es decir, u = 9 (milésimas), y encontramos u = 10 9/41 ≈ 2, y luego la raíz deseada 2,060 - 0,002 = 2,058. En general, es mejor utilizar el de los valores de la tabla más cercanos de la función que esté más cerca del valor deseado.
El uso de correcciones ya preparadas aquí también facilita mucho el trabajo: habiendo encontrado la diferencia entre un valor dado de una función y su valor tabular más cercano (menor o mayor), miramos qué corrección, impresa en cursiva en la misma línea , es el más cercano a esta diferencia y toma el número que está en el encabezado de la columna correspondiente. Para obtener la raíz cuadrada del número 4,235, basta tener en cuenta que este número difiere del cuadrado más pequeño de la tabla más cercano en 32 (milésimas) y que entre las correcciones impresas en la misma línea, el 32 más cercano a este número es 33. Al agregar al argumento de valor de la tabla correspondiente 2,05 el número 8 (milésimas), tomado del encabezado de esta columna de enmiendas, finalmente obtenemos 2,05 + 0,008 = 2,058. Si tomamos el valor mayor más cercano de la función (4.244), entonces la diferencia es 4.244 - 4.235 = 0.009. En las columnas de corrección, encontramos el dígito 8 más cercano en la columna 2 y restamos 2,06 - 0,002, lo que lleva al mismo resultado 2,058.
La cuestión de la precisión con la que la interpolación lineal inversa da el valor deseado de la función es bastante compleja. Resulta que aquí son posibles una amplia variedad de casos y que el resultado aquí es más preciso cuanto mayor sea la diferencia tabulada (suponiendo que se permita la interpolación lineal). Por ejemplo, si se da un valor aproximado de sen A = 0,9997 con 4 decimales exactos, entonces tabla 8 encontramos hasta tres ángulos con dicho seno (88°30", 88°36", 88°42"). Suponiendo A = 88°36", debemos tener en cuenta que este valor del ángulo deseado es muy impreciso: puede diferir del exacto hasta en 9". Si sen A = 0,1070, entonces el valor 6°08" encontrado en la Tabla 8 utilizando correcciones ya hechas difiere del exacto, como se puede demostrar, en ningún más de 1": la aplicación del método de límites lleva a la conclusión de que 6°08"< А < 6°09".
Entonces, cada tabla sirve no solo para obtener los valores de la función para la cual fue compilada, sino también para obtener los valores del argumento, es decir, para obtener los valores de la función inversa: de la tabla de cuadrados también puedes encontrar raíces cuadradas, de la tabla de logaritmos - antilogaritmos, etc. Sin embargo, la experiencia demuestra que resolver la pregunta inversa requiere un poco más de trabajo que resolver la directa, y por eso en esta colección, junto con la tabla de logaritmos, Se coloca una tabla de antilogaritmos, junto con la tabla de cuadrados -una tabla de cuadrados- de raíces, aunque sería posible prescindir de ellas.
Hasta ahora sólo hemos discutido tablas de funciones crecientes. Es fácil ver cómo cambia la forma en que se usa la tabla si la función es decreciente, como en tabla 2, dando valores de fracciones de la forma 1/u, o en la tabla 8 cuando se buscan cosenos. Cuando se trabaja con una tabla de funciones crecientes, los errores por atención insuficiente ocurren con menos frecuencia y, por lo tanto, se puede recomendar reemplazar la búsqueda de cosenos con la búsqueda de senos de ángulos adicionales y la búsqueda de cotangentes con la búsqueda de tangentes de ángulos adicionales.
Las tablas de esta colección, en general, proporcionan los valores requeridos con 4, a veces con 5 cifras significativas. Pero hay casos de cálculo especialmente desfavorables (restar de un número aproximado otro número aproximado cercano al primero, elevar un número aproximado a una potencia con mayor exponente, etc.), cuando el resultado final se obtiene con menor precisión. Si se requiere una mayor precisión del resultado, es necesario recurrir a una tabla más detallada (cinco dígitos, siete dígitos, etc.), o realizar el cálculo directamente, lo que no presenta dificultades insuperables a la hora de elevar a una potencia. extrayendo la raíz y algunas otras operaciones. A continuación se muestran algunas “series” que le permiten encontrar, con una precisión arbitrariamente alta, los valores de logaritmos, antilogaritmos, senos, cosenos, tangentes, raíces cuadradas y cúbicas.
