Investigación de una función para continuidad uniforme. Funciones uniformemente continuas

Si una función es continua en algún intervalo (prohibido o abierto), entonces esto, como ya sabemos, significa que para cualquier punto en este intervalo para un predeterminado e> 0 existe un e> 0 tal que a partir de la desigualdad

x 0 - x< д

sigue la desigualdad

f(x 0) - f(x)<

de modo que sólo los puntos x también estén en este intervalo.

Entonces, está claro que q depende de e. Además, para diferentes puntos del intervalo y es igual, el número q también puede resultar diferente, es decir d depende no sólo de e, sino también de x0. Entonces, el hecho de que entre los valores de d para diferentes puntos del intervalo y al mismo tiempo sea el valor más pequeño de d es de fundamental importancia, no existe tal cosa. En el primer caso, para un e > 0 dado, se puede encontrar el valor q común a todos los puntos del intervalo, y luego se dice que la función en el intervalo considerado e es uniformemente continua.

Definición. Se dice que una función es uniformemente continua en un intervalo dado si, en primer lugar, está definida en todos los puntos de este intervalo y, en segundo lugar, si se cumple la siguiente condición: para cada arbitrariamente pequeño e> 0 podemos asociar tal e> 0, de la desigualdad x 2 - x 1< д следует неравенство f(x 2) - f(x 1) < , причем х 1 и х 2 - два значения х, взятые в котором угодно месте промежутка.

La definición de continuidad uniforme de una función implica que la función es uniformemente continua en algún intervalo y continua en cada punto de este intervalo. La afirmación inversa, como se muestra en el ejemplo de una función en el intervalo piv (0, 1], no siempre es cierta.

Teorema de Cantor (sobre la continuidad uniforme de una función). Si una función es continua en un segmento [a, b], entonces es uniformemente continua en este segmento.

Prueba. Tengamos un número arbitrariamente pequeño e > 0. Dividamos el segmento [a, b] en un número finito m de partes de modo que las oscilaciones de la función continua dada en (a, b] en cada una de las partes obtenidas de los segmentos

[a, c 1 ], [c 1 , c 2 ], [c 2 , c 3 ],…….., [c i , c i+1 ], ……., [a, b],

era menor que. Dado que hay un número finito de segmentos parciales, entonces sus longitudes son números finitos y, por lo tanto, entre ellos está el más pequeño, que denotamos por d. Ahora tomemos dos puntos cualesquiera x 1 y x 2 en el segmento [a, b]. para que la distancia entre ellos fuera menor:

x2 - x1< д (95)

Estos dos puntos pueden estar en el mismo segmento privado o en segmentos privados adyacentes. En el primer caso

f(x 2) - f(x 1)< , (96)

En el segundo caso, si denotamos el extremo común de los segmentos privados adyacentes por c i, obtenemos:

f(x 2) - f(x 1) =|f(x 2) - f(con i)+ f(con i) - f(x 1)|?,

f(x 2) - f(x 1)< (97)

Entonces, en el primer caso, la desigualdad (96) se deriva de la desigualdad (95), y en el segundo, la desigualdad (97) se deriva de la desigualdad (95). El teorema ha sido demostrado.

(Esta propiedad es cierta sólo para segmentos, y no para intervalos y semiintervalos).

La función es continua en el intervalo (0, a), pero no es uniformemente continua en él, porque hay un número >0 tal que existen valores x 1 y x 2 tales que f(x 1) - f(x 2)>, - cualquier número siempre que x 1 y x 2 sean cercanos a cero.

Se dice que una función $%f(x)$% es continua en el punto $%x_0$% si $$\forall\varepsilon>0\ \ \exists\delta(x_0,\varepsilon)>0:\ \forall x: |x -x_0|<\delta =>|f(x)-f(x_0)|<\varepsilon.$$ На словах это означает, что в точках $%x$% близких к $%x_0$% значения функции $%f(x)$% будет близко к $%f(x_0)$%.

¿Y cuál es la diferencia con la continuidad regular?>

La continuidad ordinaria (puntual) es una propiedad local de una función. Esto significa que se realiza en un punto específico. Tenga en cuenta que la definición de continuidad de una función se da precisamente en un punto. Además, sabemos que hay funciones que son continuas no solo en un punto, sino también en algún conjunto (por ejemplo, $%f(x)=\sin x$% es continua en $%\mathbb(R )$% ). Esto no cancela la naturaleza local de la continuidad, es decir, simplemente significa que si verificamos la continuidad de $%\sin x$% en cada punto individual $%\mathbb(R)$%, entonces la función la satisfará. en este punto específico. Dado que en cada punto $%x_0$% del conjunto $%\mathbb(R)$% se cumple la condición para la continuidad de la función $%\sin x$% en el punto $%x_0$%, la función es llamado continuo en este conjunto. Además, cuando estudiamos la continuidad de la función en cada punto individual, (dado $%\varepsilon$%) para este punto tomamos $%\delta=\delta(x_0,\varepsilon)$%. Es decir, para diferentes puntos del conjunto (en general) se obtendrán diferentes deltas. Por tanto, existe una desigualdad en la propiedad de una función de “ser continua” con respecto a delta: en términos generales, en el punto $%x_1$% la función es continua con un delta, y en el punto $%x_2$% - con otro delta.

Cómo entender δ>0, si la función es continua, entonces para cualquier épsilon debe haber un delta.>

Has notado correctamente que Si la función es continua, entonces para cualquier épsilon hay un delta. Sin embargo, en la práctica la situación suele ser así: se le asigna una función (por ejemplo, $%y=3+x$%) y un punto (por ejemplo, $%x_0=2$%). La pregunta es, ¿la función $%f$% será continua en el punto $%x_0$%? ¿Cómo saberlo? La forma más básica es comprobar si se cumple la definición de continuidad de una función en un punto. Es decir, te daré un épsilon diferente ($%\varepsilon=1,\space\varepsilon=1/2,\space\varepsilon=1/100$% y así sucesivamente), y tú seleccionarás para mí dicho delta dependiendo de este épsilon y el punto x son cero, entonces se cumple la definición. Si, después de enumerarle todos los épsilons positivos (esto no será fácil, pero aún así), resulta que ha encontrado dicho delta para cada épsilon, entonces estaremos de acuerdo en que la función en este punto es continua. Si en algún momento te digo un épsilon (por ejemplo, $%\varepsilon=1/1000$%), para el cual no puedes encontrar un delta tal que se cumpla la definición, entonces la función no puede ser continua en este punto ( si no satisface la definición de continuidad).

Cuando la condición |x−x0|<δ может не выполняться, и значит, функция не является непрерывной?>

En esta cita suya, reemplacé la continuidad uniforme con la continuidad ordinaria (parece que primero debes lidiar con eso). Tenga en cuenta que para reconocer una función como discontinua (no continua), es necesario que definición de continuidad(que está al principio del mensaje) no se ejecutó. Y no sólo una parte de esta definición, sino el conjunto. En lugar de definir en este caso debería ejecutarse negación lógica. La regla mnemotécnica para componer una negación es la siguiente: es necesario reemplazar todos los cuantificadores “existe” (icono $%\existe$%) y “para cualquiera” (icono $%\forall$%) con sus opuestos (es decir , $%\exists$% debe reemplazarse con $ %\forall$% y reemplazar $%\forall$% con $%\exists$%). También necesitas cambiar el signo de la última desigualdad al opuesto (en este caso $%|f(x)-f(x_0)|<$% заменить на $%|f(x)-f(x_0)|\geqslant \varepsilon$%). Получим следующее:
La función $%f(x)$% es discontinua (es decir, no continua) en el punto $%x_0$% si $$\exists\varepsilon>0:\forall\delta>0\space\exists x: |x -x_0|<\delta\space \& |f(x)-f(x_0)|\geqslant\varepsilon.$$
De esto vemos que su criterio de falta de continuidad (condición $%|x-x_0|<\delta$% не выполняется, значит функция не является непрерывной) не имеет ничего общего с отрицанием определения непрерывности, которое мы только что построили. Также отметим, что при смене кванторов $%\forall$% и $%\exists$% на противоположные меняется природа того выражения, которое стоит под квантором. Скажем, в определении непрерывности мы имели $%\exists \delta=\delta(x_0,\varepsilon)$%, а в отрицании определения непрерывности $%\forall \delta$%. То есть дельта в первом случае является функцией эпсилон и точки икс нулевое, а во втором является произвольным числом. Если задуматься, то это абсолютно логично - в первом случае мы для заданных наперёд $%x_0$% и $%\varepsilon$% подбираем $%\delta(x_0,\varepsilon)$%, а во втором случае дельта может быть абсолютно любым и ни от чего не зависит. Аналогично, в определении непрерывности мы имеем $%\forall x$%, а в его отрицании $%\exists x=x(\varepsilon, \delta)$%.
Para entender esto mejor, es útil analizar de forma independiente un par de ejemplos básicos sobre este tema (por ejemplo, examinar alguna función muy simple para la continuidad en el punto $%x_0$% y si es continua allí, entonces indicar explícitamente $% \delta (x_0,\varepsilon)$%, y si es discontinuo, indique el $%\varepsilon$% para el cual se realiza la negación, etc.). Una vez que se familiarice con la definición de continuidad y su negación (en general y en el lenguaje $%\varepsilon$%-$%\delta$% en particular), la transición a la continuidad uniforme será mucho más fácil. Y, por supuesto, es necesario leer sobre continuidad y continuidad uniforme en un libro de texto de análisis. El enlace que proporcionó contiene algunos materiales que recuerdan más a una guía de examen, donde se explica la continuidad uniforme en una línea. No me queda del todo claro cómo se puede dominar este (y otros conceptos) en matemáticas en este formato.
PD Solicitamos a otros participantes que revisen esta respuesta (para ver si he dicho todo correctamente), ya que es de carácter metodológico.

Comentario

La elección de δ en la definición de continuidad uniforme depende de ε, pero no de incógnita 1 ,incógnita 2 .

Propiedades

• Función uniformemente continua en el conjunto. METRO, es continuo en él. Lo contrario, en términos generales, no es cierto. Por ejemplo, la función

es continuo en todo el dominio de definición, pero no es uniformemente continuo, ya que para cualquier src="/pictures/wiki/files/98/b0f19c5714fe9f9891ed26ff783cf639.png" border="0"> puede especificar un segmento de longitud arbitrariamente pequeña, como que en sus extremos de la función los valores diferirán más que en Otro ejemplo: función

es continua en toda la recta numérica, pero no es uniformemente continua, ya que

Para cualquier src="/pictures/wiki/files/98/b0f19c5714fe9f9891ed26ff783cf639.png" border="0"> puede elegir un segmento de longitud arbitrariamente pequeña tal que la diferencia en los valores de la función F(incógnita) = incógnita 2 en los extremos del segmento habrá más. En particular, en el segmento la diferencia en los valores de las funciones tiende a ser.

Ver también

Fundación Wikimedia.

• 2010.
• Escala igualmente templada

Escala igualmente templada

Vea qué es una “Función uniformemente continua” en otros diccionarios: Función continua

- Este artículo trata sobre una función numérica continua. Para mapeos continuos en varias ramas de las matemáticas, consulte mapeo continuo. Una función continua es una función sin “saltos”, es decir, que tiene pequeños cambios... ... Wikipedia- uno de los conceptos básicos del análisis matemático. Dejemos que la función real f se defina en un cierto subconjunto de E números reales, es decir. La función f se llama continua en un punto (o, con más detalle, continua en un punto sobre el conjunto E), si para... ... Enciclopedia Matemática

Función absolutamente continua- Una función se llama función absolutamente continua en un intervalo finito o infinito si es tal que para cualquier conjunto finito de intervalos disjuntos el dominio de definición de la función ... Wikipedia

FUNCIÓN RECURRENTE- una función que es un punto recurrente de cambios dinámicos. sistemas. Definición equivalente: función donde S es métrica. espacio, llamado recurrente si tiene un conjunto precompacto de valores, es uniformemente continuo y para cada... ... Enciclopedia Matemática

Función casi periódica- una función cuyos valores, cuando se añaden al argumento números constantes seleccionados correctamente (casi períodos), se repiten aproximadamente. Más precisamente: una función continua f (x), definida para todos los valores reales de x, ... ... Gran enciclopedia soviética

FUNCIÓN SELECTIVA- función del argumento t, que corresponde unívocamente a cada observación de un proceso aleatorio; Hay muchos eventos elementales aquí. A menudo se utilizan V. f. términos implementación, trayectoria. El proceso aleatorio se caracteriza por picazón... ... Enciclopedia Matemática

FUNCIÓN DE DISTRIBUCIÓN- cualquier variable aleatoria X es función de una variable real x, tomando para cada x un valor igual a la probabilidad de desigualdad X Enciclopedia Matemática

FUNCIÓN ANALÍTICA GENERALIZADA- una función que satisface un sistema con coeficientes reales que son funciones de variables reales x y En notación, el sistema original se escribe en la forma Si los coeficientes A y B del sistema (1) en todo el plano Ecocomplex... ... Enciclopedia Matemática

FUNCIÓN ARMÓNICA- una función real definida en el dominio del espacio euclidiano que tiene derivadas parciales continuas de 1º y 2º orden en D y es una solución de la ecuación de Laplace donde están las coordenadas rectangulares cartesianas del punto x. A veces esta definición... ... Enciclopedia Matemática

Función plurisubarmónica- La función plurisubarmónica es una función de valor real de variables complejas en el dominio del espacio complejo, que satisface las siguientes condiciones... Wikipedia