¿Qué es una función? Una dependencia funcional, o función, es una dependencia entre dos variables de modo que cada valor de la variable independiente. Dependencia funcional completa

a. Al considerar el lado cuantitativo de diversos procesos, casi siempre observamos que las cantidades variables dependen unas de otras; por ejemplo, el camino recorrido por un cuerpo que cae libremente en el vacío depende únicamente del tiempo, la presión en una caldera de vapor depende únicamente de la temperatura del vapor.

La profundidad del océano en un punto es constante, pero varía en diferentes puntos, depende sólo de dos variables: de la longitud geográfica y la latitud geográfica del lugar;

La altura de un árbol en crecimiento depende de muchas variables: luz solar, humedad, cantidad de nutrientes en el suelo, etc.

Vemos que algunas variables cambian de forma independiente, se llaman variables independientes o argumentos, mientras que otras dependen de ellas y se llaman funciones.

La dependencia en sí se llama funcional. Por cierto, la dependencia funcional es uno de los conceptos más importantes en matemáticas.

b. Siempre debes distinguir de cuántas variables independientes depende una función. Las funciones de una variable son las más fáciles de estudiar; las abordaremos primero. Estudiar funciones de muchas variables es más difícil, pero de una forma u otra todo se reduce a estudiar funciones de una variable.

do. Si queremos escribir matemáticamente de qué depende la variable y, entonces usaremos la siguiente notación:

Esta entrada dice así:

No; hay que pensar que la letra está multiplicada por , es sólo una abreviatura de la palabra “función”, y toda la entrada es una abreviatura de la frase (2).

De manera similar, si una función U depende de dos argumentos, entonces esta dependencia se denota de la siguiente manera:

Aquí las letras f, xey tampoco son factores.

Está absolutamente claro cómo se denota la función de tres, cuatro o más argumentos.

En lugar de una letra, se utilizan con mayor frecuencia otras letras.

d. Las notaciones de tipo (1) y (3) son las designaciones de funciones más generales, ya que pueden entenderse como cualquier función y, por lo tanto, teniendo solo estas designaciones a mano, no podemos aprender nada sobre las propiedades de estas funciones.

Para poder estudiar una función, es necesario definirla.

mi. Hay muchas formas de definir una función, pero todas se reducen a tres tipos básicos:

1) una función se puede especificar mediante una tabla de sus valores numéricos correspondientes a los valores numéricos de su argumento;

2) la función se puede especificar gráficamente;

3) la función se puede especificar mediante una fórmula matemática.

F. Pongamos ejemplos. Se sabe que cuando el volante gira, surgen tensiones que tienden a romper su borde. Si la llanta está hecha de un material homogéneo, las tensiones dependen únicamente de la velocidad de rotación. Denotando la velocidad por v y el voltaje en el borde por , podemos escribir que

La teoría de la resistencia de los materiales proporciona la siguiente tabla para los valores de la función (4), si la llanta está hecha de acero fundido:

Aquí v se mide en metros por segundo: newtons por centímetro cuadrado.

La gran ventaja del método tabular para crear una función es que los números de la tabla se pueden utilizar directamente para varios cálculos.

La desventaja es que cada tabla no se proporciona para todos los valores de los argumentos, sino en ciertos intervalos, por lo que si no hay valores de función en la tabla, entonces debe tomar una tabla más detallada; si este último no está disponible, entonces debe seleccionar el número requerido más o menos aproximadamente de acuerdo con la naturaleza del cambio en los números de la tabla,

gramo. Una gran desventaja también es que si la tabla contiene muchos números, entonces la naturaleza del cambio en la función es difícil de comprender. Finalmente, la tercera desventaja es que resulta difícil estudiar las propiedades de una función dada por una tabla; además, las propiedades resultantes serán inexactas.

h. El método gráfico para especificar una función está libre de las dos primeras desventajas.

Para ilustrar el método gráfico, considere el siguiente ejemplo.

Si algún material se somete a tensión, la fuerza necesaria para estirarlo dependerá de cuánto estiramiento sea necesario realizar, es decir, la fuerza es función del alargamiento. Si el porcentaje de alargamiento se denota por X, y la fuerza de tracción, que generalmente se mide en newtons por centímetro cuadrado, se denota por , entonces

Para diferentes materiales esta dependencia será diferente. Tomemos los ejes de coordenadas y consideremos k como abscisa y ordenada, luego para cada par de sus valores obtendremos un punto en el plano.

Todos estos puntos estarán ubicados en una determinada curva, que tiene un aspecto diferente para diferentes materiales. Hay dispositivos que dibujan dichas curvas automáticamente.

Para acero dulce obtenemos la siguiente curva (Fig. 31):

k. Como podemos ver, la demostración gráfica es realmente clara y proporciona los valores de la función para todos los valores de los argumentos. Pero aquí también se presenta el tercer inconveniente. Todavía es difícil estudiar gráficamente las propiedades de una función dada.

l. Ahora veamos cómo definir una función usando una fórmula. Tomemos este ejemplo. El área de un círculo depende obviamente del radio. Si el radio se denota por i y el área por y, entonces, como se sabe por geometría, ¿dónde está la relación entre la circunferencia y la longitud del diámetro? Vemos que aquí la dependencia viene dada por una fórmula matemática, por lo que el tercer método se llama método matemático. Otro ejemplo: la longitud de la hipotenusa de un triángulo rectángulo depende de las longitudes de ambos catetos. Si denotamos la longitud de la hipotenusa por , y las longitudes de los catetos por , entonces por el teorema de Pitágoras tendremos

Como podemos cambiar ambos catetos independientemente uno del otro, tenemos aquí un ejemplo de una función de dos argumentos, definida matemáticamente.

Se pueden dar muchos más ejemplos de funciones definidas matemáticamente desde el campo de diversas ciencias.

metro. El método matemático tiene una gran ventaja sobre otros métodos para especificar funciones, a saber: el análisis matemático se puede utilizar para estudiar funciones definidas matemáticamente.

Además, si es necesario, siempre puedes convertir el método matemático en uno tabular. De hecho, tenemos derecho a establecer los argumentos en los valores numéricos que deseemos y utilizar la fórmula para calcular tantos valores de función como queramos. Por tanto, una fórmula reemplaza toda la tabla.

norte. El método matemático sólo tiene un inconveniente: la fórmula no proporciona una representación visual del cambio en la función. Sin embargo, siempre podemos compensar esta deficiencia, ya que el método matemático de asignación siempre se puede convertir en gráfico. Se hace así.

o. Si tenemos una función de una variable, entonces hacemos una tabla y tomamos cada par de valores del argumento y la función como coordenadas, después de lo cual construimos el mayor número posible de puntos. Todos los puntos resultantes estarán ubicados sobre una determinada línea curva, que será la gráfica de la función. Si tenemos una función de dos o más argumentos, entonces se puede representar gráficamente. Pero esto es mucho más complicado y, por lo tanto, abordaremos este tema un poco más adelante.

pag. Todo lo anterior indica que el método matemático para especificar funciones es el más ventajoso.

Por eso, siempre se esfuerzan, si una función viene dada por una tabla o gráfica, por expresarla con una fórmula. Esta tarea suele ser muy difícil, pero extremadamente importante para las ciencias naturales y técnicas. Sin exagerar, podemos decir que todos los problemas de la mecánica, las ciencias naturales y las ciencias aplicadas se reducen al establecimiento y estudio de dependencias funcionales entre aquellas variables que tratan estas disciplinas. Bel logra expresar estas dependencias funcionales en fórmulas, entonces la ciencia adquiere una palanca confiable para aplicar todo el enorme poder del análisis matemático y avanza mucho en su desarrollo.

Por otro lado, el análisis matemático, al recibir este excelente alimento, crece y mejora.

q. Debido a que traducir fórmulas de dependencia funcional al lenguaje no es una tarea directa de las matemáticas, asumiremos que las funciones ya están expresadas mediante fórmulas. Por tanto, en lo que sigue nos ocuparemos sólo de funciones definidas matemáticamente.

Tema 3. Conceptos generales y definiciones. Clasificación de funciones. Límite de función. Funciones infinitamente pequeñas e infinitamente grandes. Teoremas básicos sobre funciones infinitesimales.

Función

Al resolver diversos problemas, normalmente hay que lidiar con cantidades constantes y variables.

Definición

Una cantidad constante es una cantidad que conserva el mismo valor ya sea en general o en un proceso determinado: en este último caso se llama parámetro.

Una cantidad variable es una cantidad que puede tomar diferentes valores numéricos.

Concepto de función

Al estudiar diversos fenómenos, generalmente nos ocupamos de un conjunto de cantidades variables que están interconectadas de tal manera que los valores de algunas cantidades (variables independientes) determinan completamente los valores de otras (variables y funciones dependientes).

Definición

Una cantidad variable y se denomina función (de un solo valor) de una cantidad variable x si están relacionadas entre sí de tal manera que cada valor de x considerado corresponde a un valor único bien definido de la cantidad y (formulado por N.I. Lobachevski).

Designación y=f(x) (1)

incógnita– variable o argumento independiente;

y– variable dependiente (función);

F– característica de la función.

El conjunto de todos los valores de la variable independiente para la que se define la función se denomina dominio de definición o dominio de existencia de esta función. El dominio de definición de una función puede ser: un segmento, un medio intervalo, un intervalo o todo el eje numérico.

Cada valor de radio corresponde a un valor de área circular. El área es una función del radio definido en un intervalo infinito.

2. Función (2). Función definida en

Para representar visualmente el comportamiento de una función, construya una gráfica de función.

Definición

Gráfico de funciones y=f(x) se llama conjunto de puntos M(x,y) avión OXI, cuyas coordenadas están relacionadas por esta dependencia funcional. O la gráfica de una función es una recta cuya ecuación es una igualdad que define la función.

Por ejemplo, la gráfica de la función (2) es un semicírculo de radio 2 con centro en el origen.

Las dependencias funcionales más simples.

Veamos algunas dependencias funcionales simples.

1. Dependencia funcional directa

Definición

Dos variables se llaman directamente proporcionales si cuando una de ellas cambia en una determinada proporción, la otra cambia en la misma proporción.

y=kx, Dónde k– coeficiente de proporcionalidad.

Gráfica de una función

1. dependencia lineal

Definición

Dos cantidades variables están relacionadas por una relación lineal, si , donde hay algunas cantidades constantes.

Gráfica de una función

1. Relación proporcional inversa

Definición

Dos variables se llaman inversamente proporcionales si cuando una de ellas cambia en alguna proporción, la otra cambia en la proporción opuesta.

1. dependencia cuadrática

La dependencia cuadrática en el caso más simple tiene la forma , donde k es un valor constante. La gráfica de una función es una parábola.

1. Dependencia sinusoidal.

Al estudiar fenómenos periódicos, la dependencia sinusoidal juega un papel importante.

- la función se llama armónica.

A– amplitud;

Frecuencia;

Fase inicial.

La función es periódica con punto. Valores de función en puntos. incógnita Y x+t, que difieren según el período, son iguales.

La función se puede reducir a la forma , Dónde . De aquí obtenemos que la gráfica armónica es una sinusoide deformada con amplitud A y período T, desplazada a lo largo del eje OX en la cantidad

t

Métodos para especificar una función.

Normalmente, se consideran tres formas de especificar una función: analítica, tabular y gráfica.

1. Método analítico para especificar una función.

Si una función se expresa mediante una fórmula, entonces se especifica analíticamente.

Por ejemplo

Si la función y=f(x) está dada por una fórmula, entonces su característica F denota el conjunto de acciones que deben realizarse en un orden determinado según el valor del argumento incógnita para obtener el valor de la función correspondiente.

Ejemplo . Se realizan tres acciones sobre el valor del argumento.

1. Método tabular para especificar una función.

Este método establece correspondencia entre variables mediante una tabla. Conociendo la expresión analítica de una función, podemos representar dicha función para los valores de los argumentos que nos interesen mediante una tabla.

¿Es posible pasar de una asignación de función tabular a una expresión analítica?

Tenga en cuenta que la tabla no proporciona todos los valores de la función y los valores intermedios de la función solo se pueden encontrar de forma aproximada. Este es el llamado interpolación funciones. Por lo tanto, en el caso general, es imposible encontrar una expresión analítica exacta para una función utilizando datos tabulares. Sin embargo, siempre es posible construir una fórmula, y más de una, que, para los valores del argumento disponibles en la tabla, dará los valores tabulares correspondientes de la función. Este tipo de fórmula se llama interpolación.

1. Manera gráfica de especificar una función.

Los métodos analíticos y tabulares no proporcionan una idea clara de la función.

El método gráfico para especificar una función no tiene este inconveniente. y=f(x), cuando la correspondencia entre el argumento incógnita y función y establecer usando un horario.

El concepto de función implícita.

Una función se llama explícita si está dada por una fórmula cuyo lado derecho no contiene la variable dependiente.

Función y del argumento incógnita se llama implícito si está dado por la ecuación

F(x,y)=0(1) pendiente respecto de la variable dependiente.

Concepto de función inversa

Sea dada la función y=f(x)(1). Al especificar los valores del argumento x, obtenemos los valores de la función y.

Es posible, considerando y argumento, y incógnita– función, valores establecidos y y obtener valores incógnita. En este caso, la ecuación (1) determinará incógnita, como una función implícita de y. Esta última función se llama contrarrestar en relación con esta función y.

Suponiendo que la ecuación (1) se resuelve con respecto a incógnita, obtenemos una expresión explícita para la función inversa

(2), donde la función para todos los valores válidos y satisface la condición

Método de formas normales

Maestro

nombre completo	Debería	Salario	Experiencia	BDAN	kaf	Sujeto	Grupo	VidZan
Ivánov I.M.	Rdo.					SGBD		Laboratorio
Ivánov I.M.	Rdo.					Informar		Laboratorio
Petrov M.I.	profesor senior					SGBD		Conferencia
Petrov M.I.	profesor senior					Gráficos		Laboratorio
Sidorov N.G.	Rdo.					Informar		Conferencia
Sidorov N.G.	Rdo.					Gráficos		Conferencia
Yegorov V.V.	Rdo.					ordenador personal		Conferencia

Arroz. 6.4. Actitud inicial PROFESOR

Redundancia implícita se manifiesta en los mismos salarios para todos los docentes y en las mismas bonificaciones salariales por el mismo tiempo de servicio. Si el salario cambia de 500 rublos. hasta 510 rublos, este valor debe cambiarse para todos los profesores. Si se omite a Sidorov, la base de datos se volverá inconsistente. Este es un ejemplo de una anomalía en la edición de relaciones con redundancia implícita.

La eliminación del despido consiste en normalizar las relaciones.

El método de forma normal es un método clásico para diseñar bases de datos relacionales. Se basa en el concepto fundamental de dependencia entre atributos de una relación.

Atributo B funcionalmente dependiente del atributo A, si cada valor de A corresponde exactamente a un valor de B. Matemáticamente, la dependencia funcional de B respecto de A se denota mediante la notación A ® B. Esto significa que en todas las tuplas con el mismo valor del atributo a, ATRIBUTO B TAMBIÉN TENDRÁ EL MISMO VALOR. Los atributos A y B pueden ser compuestos, es decir, constar de dos o más atributos. En relación al Docente, las dependencias funcionales son las siguientes: Nombre Completo ® Departamento, Nombre Completo ® Turno, Turno ® Salario, etc.

Interdependencia funcional. Si existe una dependencia funcional de la forma A ® B y B ® A, entonces entre A y B existe una correspondencia uno a uno o interdependencia funcional. Matemáticamente, la interdependencia se denota como A "B o B "A.

Ejemplo. El atributo N (serie y número de pasaporte) es funcionalmente interdependiente con el atributo de nombre completo (apellido, nombre y patronímico), si se supone que se excluye la situación de completa coincidencia de apellidos, nombres y patronímicos de dos personas. .

Dependencia funcional parcial Se denomina dependencia de un atributo que no es clave de parte de una clave compuesta. En la relación Profesor, la clave es compuesta y consta de los atributos Nombre completo, Materia y Grupo. Todos los atributos que no son clave dependen funcionalmente de la clave, con distintos grados de dependencia. Por ejemplo, el atributo Posición depende funcionalmente del atributo Nombre completo, que es parte de la clave, es decir depende parcialmente de la clave.

Dependencia funcional total – la dependencia de un atributo que no es clave de toda la clave compuesta. Por ejemplo, el atributo ViewZan depende completamente funcionalmente de la clave compuesta.

El atributo C depende del atributo A transitivamente (existe dependencia transitiva ), si para los atributos A, B, C se cumplen las condiciones A ® B y B ® C, pero no existe una relación inversa. En el ejemplo, los atributos están conectados por una dependencia transitiva:

Nombre completo ® Cargo ® Salario

En relación con R, atributo B depende mucho del atributo A si cada valor de A corresponde a un conjunto de valores de B que no están asociados con otros atributos de R. Las dependencias multivaluadas pueden ser de uno a muchos (1:M), de muchos a uno (M :1) o de muchos a uno a muchos” (M:M), denotados respectivamente: A Þ B, A Ü B y A Û B.

En el ejemplo que estamos considerando, existe una relación M:M multivaluada entre los atributos Nombre completo Û Materia (un profesor puede impartir varias materias y una materia puede ser impartida por varios profesores).

Dado que la dependencia entre atributos es la causa de las anomalías, intentan dividir dichas relaciones en varias relaciones. Como resultado, se forma un conjunto de relaciones relacionadas (tablas) con conexiones de la forma 1:1, 1:M, M:1 y M:M. Las relaciones entre tablas reflejan dependencias entre atributos de diferentes relaciones.

Atributos mutuamente independientes. Se dice que dos o más atributos son mutuamente independientes si ninguno de ellos depende funcionalmente de los demás. Matemáticamente, la ausencia de dependencia del atributo A del atributo B se denota como A Ø® B. Si tienen lugar A Ø® B y B Ø® A, entonces la independencia mutua se denota A Ø = B.

Identificar dependencias entre atributos. Es necesario identificar dependencias entre atributos para realizar el diseño de bases de datos utilizando el método de formularios normales.

Ejemplo. Sea una relación R dada con un esquema R(A1, A2, A3) de la forma:

A1	A2	A3

Se sabe a priori que existen dependencias funcionales:

A1®A2 y A2®A3.

Del análisis se desprende claramente que también existen dependencias en la relación:

A1®A3, A1A2®A3, A1A2A3®A1A2, A1A2®A2A3, etc.

En la relación no existe dependencia funcional del atributo A1 con respecto al atributo A2 y con el atributo A3, es decir

A2 Ø® A1, A3 Ø® A1.

La ausencia de dependencia de A1 de A2 se explica por el hecho de que al mismo valor del atributo A2 (21) le corresponden diferentes valores del atributo A1 (12 y 17).

Todas las dependencias funcionales existentes en una relación son conjunto completo de dependencias funcionales , que denotamos por F + . El conjunto completo de dependencias funcionales se puede inferir con base en 8 axiomas de inferencia: reflectividad, compleción, transitividad, extensión, continuación, pseudotransitividad, unión y descomposición.

Para la relación Profesor, puede derivar las siguientes dependencias funcionales:

Nombre completo ® Salario

Nombre completo ® Deber

Nombre completo ® Experiencia

Nombre completo ® Nadb

Nombre completo ® Kaf

Experiencia ® BDAN

Deuda ® Salario

Salario ® Deber

nombre completo Sujeto Grupo ® Salario

Arroz. 6.5. Dependencias entre atributos.

Se supone que un profesor de un grupo puede impartir un tipo de clase (conferencias o trabajo de laboratorio). Nombre completo – único. Existe una dependencia Nombre completo ® Experiencia, pero la afirmación inversa no es cierta, porque Varios profesores tienen la misma experiencia. Respecto a otras dependencias, el razonamiento es similar. Se establece una relación uno a uno entre puesto y salario.

Un profesor de un grupo de diferentes materias puede impartir diferentes tipos de clases. La definición del Tipo de Ocupación está asociada a la indicación del nombre completo, materia y grupo. De hecho, Petrov M.I. en el grupo 256 da conferencias y realiza clases de laboratorio, pero también da conferencias sobre DBMS y trabajos de laboratorio sobre gráficos.

Las dependencias entre los atributos Nombre, Asunto y Grupo no se muestran, porque Forman una clave compuesta y no se tienen en cuenta en el proceso de normalización de la relación (tabla).

Formas normales. El proceso de diseño de bases de datos utilizando formas normales es iterativo y consiste en transferir secuencialmente relaciones desde la primera forma normal a formas normales de orden superior. Cada formulario posterior limita un cierto tipo de dependencia funcional, elimina las anomalías correspondientes al realizar operaciones en las relaciones de la base de datos y conserva las propiedades de los formularios anteriores.

Se distingue la siguiente secuencia de formas normales:

° Primera forma normal (1NF);

° Segunda forma normal (2NF);

° Tercera forma normal (3NF);

° Tercera forma normal fortalecida, o forma normal de Boyce-Codd (BCNF);

° Cuarta forma normal (4NF);

° Quinta forma normal (5NF).

Primera forma normal Una relación está en 1NF si todos sus atributos son simples (tienen un solo valor). La relación original se construye de tal manera que esté en 1NF.

La transformación de una relación a la siguiente forma normal se lleva a cabo mediante el método de “descomposición sin pérdidas”, es decir Las consultas (muestreo de datos por condición) a la relación original y a las relaciones obtenidas como resultado de la descomposición deben dar el mismo resultado.

La operación principal del método de descomposición es la operación de proyección.

Ejemplo. Sea la relación R(A,B,C,D,E,...) una dependencia funcional C ® D. Descomposición de la relación R en dos nuevas relaciones R1(A, B,C,E,...) y R2(C,D) eliminará la dependencia funcional de los atributos y transferirá la relación R a la siguiente forma normal. La relación R2 es una proyección de la relación R sobre los atributos C y D.

La relación original Profesor tiene una clave compuesta. Nombre completo, Asunto, Grupo y está en 1NF. Los atributos Experiencia, BDAN, Caf, Deber, Salario dependen funcionalmente de parte de la clave compuesta: el atributo nombre completo. Esta dependencia parcial conduce a una redundancia de datos explícita e implícita, lo que crea problemas con la edición de datos. Parte de la redundancia se elimina convirtiendo la relación a 2NF.

Segunda forma normal. Una relación está en 2NF si está en 1NF y cada atributo que no es clave depende completamente funcionalmente de la clave primaria (compuesta).

Para eliminar la dependencia parcial, es necesario utilizar la operación de proyección, expandiendo la relación original en varias relaciones de la siguiente manera:

° Construir una proyección sin atributos que dependan parcialmente de la clave primaria;

° Construir proyecciones sobre partes de una clave primaria compuesta y atributos que dependen de estas partes.

Traduzcamos la relación Maestro a 2NF. Como resultado, obtenemos dos relaciones R1 y R2.

R1

nombre completo	Sujeto	Grupo	VidZan
Ivánov I.M.	SGBD		Laboratorio
Ivánov I.M.	Informar		Laboratorio
Petrov M.I.	SGBD		Conferencia
Petrov M.I.	Gráficos		Laboratorio
Sidorov N.G.	Informar		Conferencia
Sidorov N.G.	Gráficos		Conferencia
Yegorov V.V.	ordenador personal		Conferencia

Arroz. 6.6. Relaciones de bases de datos PROFESOR en 2 SF

En la relación R1, la clave primaria es compuesta. Nombre completo, Asunto, Grupo, en relación con R2 la clave es nombre completo Como resultado, se elimina la evidente redundancia de datos sobre los docentes. Todavía existe una duplicación implícita de datos en R2.

Para mejorar aún más, convertiremos las relaciones a 3NF.

Al diseñar una base de datos en un DBMS relacional, el objetivo principal de desarrollar un modelo de datos lógico es crear una representación precisa de los datos, las relaciones entre ellos y las restricciones requeridas. Para ello, es necesario determinar primero un conjunto adecuado de relaciones. El método utilizado para esto se llama normalización. La normalización es una variante del enfoque ascendente para el diseño de bases de datos que comienza estableciendo relaciones entre atributos.

Propósito de la normalización

Normalización - un método para crear un conjunto de relaciones con propiedades específicas basadas en los requisitos de datos establecidos en alguna organización.

La normalización a menudo se realiza como una serie de pruebas sobre una relación para comprobar si cumple (o no) los requisitos de una forma normal determinada.

El proceso de normalización es un método formal que permite identificar relaciones en función de sus claves primarias (o claves candidatas, como en el caso de BCNF) y las dependencias funcionales que existen entre sus atributos. Los diseñadores de bases de datos pueden utilizar la normalización en forma de conjuntos de pruebas aplicadas a relaciones individuales para normalizar el esquema relacional a una forma específica determinada, evitando así la posible aparición de anomalías de actualización.

El objetivo principal del diseño de bases de datos relacionales es agrupar atributos y relaciones para minimizar la redundancia de datos y así reducir la cantidad de memoria necesaria para almacenar físicamente las relaciones representadas como tablas.

Dependencias funcionales

La dependencia funcional describe la relación entre atributos y es uno de los conceptos básicos de la normalización. Esta sección proporciona una definición de este concepto y las siguientes secciones describen su relación con los procesos de normalización de las relaciones de bases de datos.

Dependencia funcional- describe la relación entre los atributos de una relación. Por ejemplo, si en relación. R contiene los atributos A y B, el atributo B depende funcionalmente del atributo A (que se denota como AB), entonces cada valor del atributo A está asociado con un solo valor del atributo B. (Además, cada uno de los atributos A y B puede constar de uno o varios atributos).

La dependencia funcional es una propiedad semántica (o semántica) de los atributos de una relación. La semántica de una relación especifica cómo se pueden relacionar sus atributos entre sí y también define dependencias funcionales entre atributos en forma de restricciones impuestas a algunos atributos.

La relación entre los atributos A y B se puede representar esquemáticamente en forma de diagrama como se muestra en la Figura 5.

Determinante- el determinante de una dependencia funcional es un atributo o grupo de atributos ubicado en el diagrama de dependencia funcional a la izquierda del símbolo de la flecha.

Figura 5 - Diagrama de dependencia funcional

Cuando existe una dependencia funcional, el atributo o grupo de atributos ubicado en su diagrama a la izquierda del símbolo de la flecha se denomina determinante. Por ejemplo, en la Fig. 6.1 el atributo A es el determinante del atributo B.

El concepto de dependencia funcional es un concepto central en el proceso de normalización.

Al representar un diagrama conceptual como modelo relacional, son posibles varias opciones para elegir esquemas de relación. Algunas opciones de selección se consideraron en secciones anteriores (sección 6.2.3), otras se obtienen combinando (o dividiendo) algunos esquemas de relación. La elección correcta de los diagramas de relaciones que representen el esquema conceptual determinará en gran medida la eficacia de la base de datos.

Consideremos, como ejemplo, un esquema de relación específico y analicemos sus deficiencias. Supongamos que los datos de estudiantes, facultades, especialidades están incluidos en una tabla con el siguiente esquema de relación: ESTUDIANTE (Código de Estudiante, Apellido, Nombre de la Facultad, Nombre de la Especialidad).

Este esquema de relación provoca las siguientes desventajas de la base de datos correspondiente:

• Duplicación de información (redundancia). Para estudiantes que estudien en el mismo departamento, se repetirá el nombre del departamento. Las especialidades se repetirán para diferentes facultades.
• Posible inconsistencia ( actualizar anomalías). Si, por ejemplo, cambia el nombre de una especialidad, al cambiarlo en una tupla (para un estudiante), es necesario cambiarlo en todas las demás tuplas donde esté presente.
• Posible pérdida de información ( anomalías de eliminación). Cuando eliminamos información sobre todos los estudiantes que ingresan a una determinada especialidad, perdemos toda la información sobre esta especialidad.
• Posibilidad de que la información no se incluya en la base de datos ( anomalías de conmutación). La base de datos no contendrá información sobre una especialidad si no hay estudiantes estudiando en ella.

EN teorías de bases de datos relacionales Existen métodos formales para construir un modelo de base de datos relacional en el que no hay redundancia y actualizar anomalías, eliminación e inclusión.

Normalización. Primera forma normal.

La construcción de una versión racional de los esquemas de relaciones (que tiene mejores propiedades para las operaciones de inclusión, modificación y eliminación de datos que todos los demás conjuntos de esquemas) se lleva a cabo utilizando el llamado normalización patrones de relación. La normalización se lleva a cabo en varias etapas. En la etapa inicial, el diagrama de relaciones debe estar en la primera forma normal(1NF).

La relación está en el primero. forma normal, si todos los atributos de una relación toman valores simples (atómicos o indivisibles) que no son un conjunto o tupla de componentes más elementales.

Considere el siguiente ejemplo.

La tabla representa la entidad INFORME DE EXAMEN

código de estudiante	Apellido	código de examen	Asunto y fecha	Calificación
1	sergeev	1	Matemáticas 5.06.08	4
2	Ivánov	1	Matemáticas 5.06.08	5
1	sergeev	2	Física 9.06.08	5
2	Ivánov	2	Física 9.06.08	5

Ahora en la intersección de cualquier fila y cualquier columna hay un valor y, por lo tanto, esta tabla está en la primera forma normal.

A continuación, la relación presentada en el primer forma normal, se transforma secuencialmente en el segundo y tercer formas normales. El proceso de construcción de la segunda y tercera formas normales se describirá en las siguientes subsecciones. Bajo algunas suposiciones sobre los datos, el tercero forma normal es la mejor opción deseada.

Si no se cumplen estos supuestos, entonces el proceso de normalización continúa y la relación se convierte al cuarto y quinto formas normales. La construcción de las formas correspondientes se describe en la literatura y no se analiza en este libro.

Antes de continuar con la construcción del segundo forma normal, es necesario definir una serie de conceptos formales.

8.2. Dependencias funcionales (dependencias entre atributos de una relación)

Sea R(A 1, A 2, ..., An n) un esquema de relación, y X e Y sean subconjuntos (A 1, A 2, ..., An).

Dependencia funcional en actitud R es una declaración de la forma “Si dos tuplas R coincidir con los atributos del conjunto(es decir, estas tuplas tienen los mismos valores en sus componentes correspondientes para cada atributo del conjunto X ), entonces deben coincidir en los atributos del conjunto . Formalmente, esta dependencia está escrita por la expresión X->Y, y se dice que incógnita define funcionalmente y. Otra afirmación de uso frecuente es: X define funcionalmente Y o Y funcionalmente depende de INCÓGNITA( denotado por X->Y) si y sólo si cada valor del conjunto incógnita relación R asociado con un valor del conjunto Y relación r. En otras palabras, si dos tuplas R coinciden en significado INCÓGNITA, son iguales en significado y.

Comentario. En términos generales, el término “relación” puede significar dos conceptos:

• una relación como variable que puede tomar diferentes valores (una tabla cuyas filas y columnas pueden contener diferentes valores);
• una relación como un conjunto de valores específicos (una tabla con elementos rellenos).

Dependencias funcionales caracterizar todas las relaciones que pueden ser valores del esquema de relaciones R en principio. Por lo tanto, la única manera de determinar dependencias funcionales– analizar cuidadosamente la semántica (significado) de los atributos.

Dependencias funcionales son, en particular, restricciones de integridad, por lo que es aconsejable comprobarlas cada vez que se actualiza la base de datos.

Ejemplo de dependencias funcionales para la relación INFORME DE EXAMEN

Código de estudiante -> Apellido Código de estudiante, Código de examen -> Calificación

Un ejemplo de dependencias funcionales para la relación ESTUDIANTE dado al comienzo de esta conferencia.

Código de estudiante -> Apellido, Código de estudiante -> Facultad

Tenga en cuenta que la última dependencia existe bajo la condición de que un estudiante no pueda estudiar en varias facultades.

Conjunto completo de dependencias funcionales.

Para cada relación, existe un conjunto bien definido de dependencias funcionales entre los atributos de esta relación. Además, de una o más dependencias funcionales inherentes a la relación considerada, se pueden derivar otras. dependencias funcionales, también inherente a esta relación.

Un conjunto dado de dependencias funcionales para una relación. R vamos a denotar F un conjunto completo de dependencias funcionales que pueden derivarse lógicamente de F llamado cierre F y es designado F+.

Si el conjunto de dependencias funcionales coincide con el cierre de este conjunto, entonces dicho conjunto de dependencias funcionales se llama completo.

Los conceptos introducidos nos permiten definir formalmente el concepto de clave.

Que haya algún esquema R con atributos A 1 A 2 ... A n , F – algún conjunto de dependencias funcionales y X – algún subconjunto r. Entonces incógnita se llama clave si, en primer lugar, en F+ hay una dependencia X -> A 1 A 2 ...A n y en segundo lugar, para ningún subconjunto Y incluido en INCÓGNITA, adicción Y -> A 1 A 2 ...A n no pertenece F+.

Una dependencia funcional completa es la dependencia de un atributo que no es clave de toda la clave compuesta..

Una dependencia funcional parcial es la dependencia de un atributo que no es clave de parte de una clave compuesta..

para calcular cerrar múltiples dependencias funcionales se utilizan los siguientes reglas de inferencia (