Ejemplo de multiplicación de matrices rectangulares. Multiplicación de matrices

Secuencialmente “excluiremos” las incógnitas. Para ello dejaremos la primera ecuación del sistema sin cambios y transformaremos la segunda y la tercera:

1) a la segunda ecuación le sumamos la primera, la multiplicamos por –2 y la llevamos a la forma –3 incógnita 2 –2incógnita 3 = –2;

2) a la tercera ecuación le sumamos la primera, multiplicada por – 4, y la llevamos a la forma –3 incógnita 2 – 4incógnita 3 = 2.

Como resultado, la incógnita quedará excluida de la segunda y tercera ecuaciones. incógnita 1 y el sistema tomará la forma

Multiplicamos la segunda y tercera ecuaciones del sistema por –1, obtenemos

Coeficiente 1 en la primera ecuación para la primera incógnita incógnita 1 se llama elemento principal el primer paso de la eliminación.

En el segundo paso, la primera y segunda ecuaciones permanecen sin cambios y el mismo método de eliminar la variable se aplica a la tercera ecuación. incógnita 2 . elemento protagonista del segundo paso es el coeficiente 3. A la tercera ecuación le sumamos la segunda, multiplicada por –1, luego el sistema se transforma a la forma

(1.2)

El proceso de reducir el sistema (1.1) a (1.2) se llama directo progreso del método Gauss.

El procedimiento para resolver el sistema (1.2) se llama marcha atrás. De la última ecuación obtenemos incógnita 3 = –2. Sustituyendo este valor en la segunda ecuación, obtenemos incógnita 2 = 2. Después de esto, la primera ecuación da incógnita 1 = 1. Por tanto, es una solución al sistema (1.1).

Concepto de matriz

Consideremos las cantidades incluidas en el sistema (1.1). Un conjunto de nueve coeficientes numéricos que aparecen antes de las incógnitas en las ecuaciones forma una tabla de números llamada matriz:

A= .

(1.3)

Los números de la tabla se llaman elementos matrices. Forma de elementos filas y columnas matrices. El número de filas y el número de columnas forman dimensión matrices. Matriz A tiene una dimensión de 3´3 (“tres por tres”), indicando el primer número el número de filas y el segundo el número de columnas. Una matriz a menudo se denota indicando su dimensión A (3 ´ 3). Dado que el número de filas y columnas de la matriz A lo mismo, la matriz se llama cuadrado. El número de filas (y columnas) de una matriz cuadrada se llama en orden, Es por eso A– matriz tercer orden.

Los lados derechos de las ecuaciones también forman una tabla de números, es decir matriz:

Cada fila de esta matriz está formada por un solo elemento, por lo que B(3 ´ 1) se llama columna-matriz, su dimensión es 3´1. El conjunto de incógnitas también se puede representar como una matriz de columnas:

Multiplicar una matriz cuadrada por una matriz de columnas

Se pueden realizar varias operaciones con matrices, que se analizarán en detalle más adelante. Aquí solo analizaremos la regla para multiplicar una matriz cuadrada por una matriz de columnas. Por definición, el resultado de la multiplicación de matrices A(3 ´ 3) por columna EN(3 ´ 1) es la columna D(3 ´ 1) , cuyos elementos son iguales a las sumas de los productos de los elementos de las filas de la matriz A a elementos de columna EN:

2)segundo elemento de columna D igual a la suma de los productos de los elementos segundo filas de matriz A a elementos de columna EN:

De las fórmulas anteriores queda claro que multiplicar una matriz por una columna EN sólo es posible si el número de columnas de la matriz A igual al número de elementos de la columna EN.

Veamos dos ejemplos numéricos más de multiplicación de matrices. (3 ´3) por columna (3 ´1) :

Ejemplo 1.1

AB =
.

Ejemplo 1.2

AB= .

Este manual le ayudará a aprender cómo realizar operaciones con matrices: suma (resta) de matrices, transposición de una matriz, multiplicación de matrices, búsqueda de la matriz inversa. Todo el material se presenta de forma sencilla y accesible, se dan ejemplos relevantes, para que incluso una persona que no esté preparada pueda aprender a realizar acciones con matrices.

Para el autocontrol y la autocomprobación, puede descargar una calculadora matricial de forma gratuita >>>. Intentaré minimizar los cálculos teóricos, en algunos lugares son posibles explicaciones "con los dedos" y el uso de términos no científicos. Amantes de la teoría sólida, por favor no hagan críticas, nuestra tarea es.

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Matriz, determinante y prueba! Una matriz es una tabla rectangular de algunos elementos Una matriz es una tabla rectangular de algunos. Como Consideraremos números, es decir, matrices numéricas. ELEMENTO

es un término. Es recomendable recordar el término, aparecerá con frecuencia, no es casualidad que usé negrita para resaltarlo. Designación:

Las matrices generalmente se indican con letras latinas mayúsculas. Ejemplo:

Considere una matriz de dos por tres: Una matriz es una tabla rectangular de algunos:

Esta matriz consta de seis

Todos los números (elementos) dentro de la matriz existen por sí solos, es decir, no se trata de ninguna resta:

¡Es solo una tabla (conjunto) de números! También estaremos de acuerdo no reorganizar

números, a menos que se indique lo contrario en las explicaciones. ¡Cada número tiene su propia ubicación y no se puede mezclar!

La matriz en cuestión tiene dos filas:

y tres columnas: ESTÁNDAR : cuando se habla de tamaños de matriz, entonces en primer lugar

Si el número de filas y columnas de una matriz es el mismo, entonces la matriz se llama cuadrado, Por ejemplo: – una matriz de tres por tres.

Si una matriz tiene una columna o una fila, entonces dichas matrices también se denominan vectores.

De hecho, conocemos el concepto de matriz desde la escuela; consideremos, por ejemplo, un punto con coordenadas “x” e “y”: . Básicamente, las coordenadas de un punto se escriben en una matriz de uno por dos. Por cierto, aquí tienes un ejemplo de por qué es importante el orden de los números: y son dos puntos completamente diferentes en el plano.

Ahora pasemos a estudiar. operaciones con matrices:

1) Primer acto. Eliminar un menos de la matriz (introducir un menos en la matriz).

Volvamos a nuestra matriz. . Como probablemente habrás notado, hay demasiados números negativos en esta matriz. Esto es muy inconveniente desde el punto de vista de realizar varias acciones con la matriz, es inconveniente escribir tantas desventajas y simplemente se ve feo en el diseño.

Muevamos el menos fuera de la matriz cambiando el signo de CADA elemento de la matriz.:

En cero, como comprenderán, el signo no cambia; cero también es cero en África.

Ejemplo inverso: . Parece feo.

Introduzcamos un menos en la matriz cambiando el signo de CADA elemento de la matriz.:

Bueno, resultó mucho mejor. Y, lo más importante, será MÁS FÁCIL realizar cualquier acción con la matriz. Porque existe un signo popular tan matemático: Cuantos más inconvenientes, más confusión y errores..

2) Segundo acto. Multiplicar una matriz por un número.

Las matrices generalmente se indican con letras latinas mayúsculas.

Es simple, para multiplicar una matriz por un número, necesitas cada elemento de la matriz multiplicado por un número dado. En este caso, un tres.

Otro ejemplo útil:

– multiplicar una matriz por una fracción

Primero veamos qué hacer. NO HAY NECESIDAD:

NO ES NECESARIO ingresar una fracción en la matriz, en primer lugar, solo complica las acciones adicionales con la matriz y, en segundo lugar, dificulta que el maestro verifique la solución (especialmente si – respuesta final de la tarea).

Y, además, NO HAY NECESIDAD divide cada elemento de la matriz por menos siete:

Del artículo Matemáticas para tontos o por dónde empezar, recordamos que en matemáticas superiores se intenta de todas las formas posibles evitar las fracciones decimales con comas.

Lo único es preferiblemente Lo que hacer en este ejemplo es agregar un menos a la matriz:

Pero si solo TODO los elementos de la matriz se dividieron por 7 sin dejar rastro, entonces sería posible (¡y necesario!) dividir.

Las matrices generalmente se indican con letras latinas mayúsculas.

En este caso, puedes NECESITA multiplica todos los elementos de la matriz por , ya que todos los números de la matriz son divisibles por 2 sin dejar rastro.

Nota: en la teoría de las matemáticas de la escuela superior no existe el concepto de "división". En lugar de decir "esto dividido por aquello", siempre puedes decir "esto multiplicado por una fracción". Es decir, la división es un caso especial de multiplicación.

3) Tercer acto. Transposición de matriz.

Para transponer una matriz, es necesario escribir sus filas en las columnas de la matriz transpuesta.

Las matrices generalmente se indican con letras latinas mayúsculas.

Transponer matriz

Aquí solo hay una línea y, según la regla, debe escribirse en una columna:

– matriz transpuesta.

Una matriz transpuesta generalmente se indica mediante un superíndice o un número primo en la parte superior derecha.

Ejemplo paso a paso:

Transponer matriz

Primero reescribimos la primera fila en la primera columna:

Luego reescribimos la segunda línea en la segunda columna:

Y finalmente, reescribimos la tercera fila en la tercera columna:

Listo. En términos generales, transponer significa girar la matriz de lado.

4) Cuarto acto. Suma (diferencia) de matrices.

La suma de matrices es una operación sencilla.
NO TODAS LAS MATRICES SE PUEDEN DOBLAR. Para realizar sumas (restas) de matrices, es necesario que sean del MISMO TAMAÑO.

Por ejemplo, si se da una matriz de dos por dos, ¡entonces solo se puede sumar con una matriz de dos por dos y ninguna otra!

Las matrices generalmente se indican con letras latinas mayúsculas.

Agregar matrices Y

Para sumar matrices, es necesario sumar sus elementos correspondientes.:

Para la diferencia de matrices la regla es similar, es necesario encontrar la diferencia de los elementos correspondientes.

Las matrices generalmente se indican con letras latinas mayúsculas.

encontrar diferencia matricial ,

¿Cómo puedes resolver este ejemplo más fácilmente, para no confundirte? Es aconsejable deshacerse de las desventajas innecesarias; para ello, agregue un signo menos a la matriz:

Nota: en la teoría de las matemáticas de la escuela superior no existe el concepto de "resta". En lugar de decir "resta esto de esto", siempre puedes decir "suma un número negativo a esto". Es decir, la resta es un caso especial de suma.

5) Acto quinto. Multiplicación de matrices.

¿Qué matrices se pueden multiplicar?

Para que una matriz se pueda multiplicar por una matriz, es necesario de modo que el número de columnas de la matriz sea igual al número de filas de la matriz.

Las matrices generalmente se indican con letras latinas mayúsculas.
¿Es posible multiplicar una matriz por una matriz?

Esto significa que los datos matriciales se pueden multiplicar.

Pero si se reorganizan las matrices, entonces, en este caso, ¡la multiplicación ya no es posible!

Por tanto, la multiplicación no es posible:

No es tan raro encontrar tareas con un truco, cuando se le pide al estudiante que multiplique matrices, cuya multiplicación es obviamente imposible.

Cabe señalar que en algunos casos es posible multiplicar matrices de ambas formas.
Por ejemplo, para matrices, y tanto la multiplicación como la multiplicación son posibles.

1er año, matemáticas superiores, estudiando. matrices y acciones básicas sobre ellos. Aquí sistematizamos las operaciones básicas que se pueden realizar con matrices. ¿Por dónde empezar a familiarizarse con las matrices? Por supuesto, desde las cosas más simples: definiciones, conceptos básicos y operaciones simples. ¡Te aseguramos que las matrices serán comprendidas por todo aquel que les dedique al menos un poco de tiempo!

Definición de matriz

Matriz es una tabla rectangular de elementos. Bueno, en términos simples: una tabla de números.

Normalmente, las matrices se indican con letras latinas mayúsculas. Por ejemplo, matriz A , matriz B etcétera. Las matrices pueden ser de diferentes tamaños: rectangulares, cuadradas y también existen matrices de filas y columnas llamadas vectores. El tamaño de la matriz está determinado por el número de filas y columnas. Por ejemplo, escribamos una matriz rectangular de tamaño metro en norte , Dónde metro – número de líneas, y norte – número de columnas.

Artículos para los cuales yo=j (a11, a22, .. ) forman la diagonal principal de la matriz y se llaman diagonales.

¿Qué se puede hacer con las matrices? Sumar/Restar, multiplicar por un numero, multiplicarse entre ellos, transponer. Ahora sobre todas estas operaciones básicas con matrices en orden.

Operaciones de suma y resta de matrices.

Permítanos advertirle de inmediato que solo puede sumar matrices del mismo tamaño. El resultado será una matriz del mismo tamaño. Sumar (o restar) matrices es simple: solo necesitas sumar sus elementos correspondientes . Pongamos un ejemplo. Realicemos la suma de dos matrices A y B de tamaño dos en dos.

La resta se realiza por analogía, solo que con el signo opuesto.

Cualquier matriz se puede multiplicar por un número arbitrario. para hacer esto necesitas multiplicar cada uno de sus elementos por este número. Por ejemplo, multipliquemos la matriz A del primer ejemplo por el número 5:

Operación de multiplicación de matrices

No todas las matrices se pueden multiplicar entre sí. Por ejemplo, tenemos dos matrices: A y B. Se pueden multiplicar entre sí solo si el número de columnas de la matriz A es igual al número de filas de la matriz B. En este caso cada elemento de la matriz resultante, ubicado en la i-ésima fila y j-ésima columna, será igual a la suma de los productos de los elementos correspondientes en la i-ésima fila del primer factor y la j-ésima columna de el segundo. Para entender este algoritmo, escribamos cómo se multiplican dos matrices cuadradas:

Y un ejemplo con números reales. Multipliquemos las matrices:

Operación de transposición de matriz

La transposición de matrices es una operación en la que se intercambian las filas y columnas correspondientes. Por ejemplo, transpongamos la matriz A del primer ejemplo:

Determinante de matriz

Determinante, o determinante, es uno de los conceptos básicos del álgebra lineal. Érase una vez, a la gente se le ocurrieron ecuaciones lineales y, después de ellas, hubo que encontrar un determinante. Al final, depende de ti lidiar con todo esto, así que ¡el último empujón!

El determinante es una característica numérica de una matriz cuadrada, que se necesita para resolver muchos problemas.
Para calcular el determinante de la matriz cuadrada más simple, es necesario calcular la diferencia entre los productos de los elementos de las diagonales principal y secundaria.

El determinante de una matriz de primer orden, es decir, formada por un elemento, es igual a este elemento.

¿Y si la matriz es de tres por tres? Esto es más difícil, pero puedes afrontarlo.

Para tal matriz, el valor del determinante es igual a la suma de los productos de los elementos de la diagonal principal y los productos de los elementos que se encuentran en los triángulos con una cara paralela a la diagonal principal, de donde se obtiene el producto de la Se restan los elementos de la diagonal secundaria y el producto de los elementos que se encuentran en los triángulos con la cara de la diagonal secundaria paralela.

Afortunadamente, en la práctica rara vez es necesario calcular determinantes de matrices de gran tamaño.

Aquí analizamos las operaciones básicas con matrices. Por supuesto, en la vida real es posible que nunca encuentres ni siquiera un indicio de un sistema matricial de ecuaciones o, por el contrario, puedes encontrar casos mucho más complejos en los que realmente tengas que devanarte los sesos. Es para estos casos que existen servicios profesionales para estudiantes. Solicite ayuda, obtenga una solución detallada y de alta calidad, disfrute del éxito académico y del tiempo libre.

Este tema cubrirá operaciones como sumar y restar matrices, multiplicar una matriz por un número, multiplicar una matriz por una matriz y transponer una matriz. Todos los símbolos utilizados en esta página están tomados del tema anterior.

Suma y resta de matrices.

La suma de $A+B$ de las matrices $A_(m\times n)=(a_(ij))$ y $B_(m\times n)=(b_(ij))$ se llama matriz $C_(m \times n) =(c_(ij))$, donde $c_(ij)=a_(ij)+b_(ij)$ para todos $i=\overline(1,m)$ y $j=\overline( 1,n)$.

Se introduce una definición similar para la diferencia de matrices:

La diferencia entre las matrices $A-B$ $A_(m\times n)=(a_(ij))$ y $B_(m\times n)=(b_(ij))$ es la matriz $C_(m\times n)=( c_(ij))$, donde $c_(ij)=a_(ij)-b_(ij)$ para todos $i=\overline(1,m)$ y $j=\overline(1, norte)$.

Explicación de la entrada $i=\overline(1,m)$: show\hide

La notación "$i=\overline(1,m)$" significa que el parámetro $i$ varía de 1 a m. Por ejemplo, la entrada $i=\overline(1,5)$ indica que el parámetro $i$ toma los valores 1, 2, 3, 4, 5.

Vale la pena señalar que las operaciones de suma y resta se definen solo para matrices del mismo tamaño. En general, la suma y resta de matrices son operaciones que son claras intuitivamente, porque esencialmente significan solo la suma o resta de los elementos correspondientes.

Ejemplo No. 1

Se dan tres matrices:

$$ A=\left(\begin(array) (ccc) -1 & -2 & 1 \\ 5 & 9 & -8 \end(array) \right)\;\; B=\left(\begin(array) (ccc) 10 & -25 & 98 \\ 3 & 0 & -14 \end(array) \right); \;\; F=\left(\begin(array) (cc) 1 y 0 \\ -5 y 4 \end(array) \right). $$

¿Es posible encontrar la matriz $A+F$? Encuentre las matrices $C$ y $D$ si $C=A+B$ y $D=A-B$.

La matriz $A$ contiene 2 filas y 3 columnas (en otras palabras, el tamaño de la matriz $A$ es $2\times 3$), y la matriz $F$ contiene 2 filas y 2 columnas. Los tamaños de las matrices $A$ y $F$ no coinciden, por lo que no podemos sumarlos, es decir la operación $A+F$ no está definida para estas matrices.

Los tamaños de las matrices $A$ y $B$ son iguales, es decir Los datos de la matriz contienen el mismo número de filas y columnas, por lo que la operación de suma es aplicable a ellas.

$$ C=A+B=\left(\begin(array) (ccc) -1 & -2 & 1 \\ 5 & 9 & -8 \end(array) \right)+ \left(\begin(array ) (ccc) 10 & -25 & 98 \\ 3 & 0 & -14 \end(array) \right)=\\= \left(\begin(array) (ccc) -1+10 & -2+( -25) & 1+98 \\ 5+3 & 9+0 & -8+(-14) \end(array) \right)= \left(\begin(array) (ccc) 9 & -27 & 99 \\ 8 y 9 y -22 \end(array) \right) $$

Encontremos la matriz $D=A-B$:

$$ D=A-B=\left(\begin(array) (ccc) -1 & -2 & 1 \\ 5 & 9 & -8 \end(array) \right)- \left(\begin(array) ( ccc) 10 y -25 y 98 \\ 3 y 0 y -14 \end(array) \right)=\\= \left(\begin(array) (ccc) -1-10 y -2-(-25 ) & 1-98 \\ 5-3 & 9-0 & -8-(-14) \end(array) \right)= \left(\begin(array) (ccc) -11 & 23 & -97 \ \2 y 9 y 6 \end(array) \right) $$

Respuesta: $C=\left(\begin(array) (ccc) 9 & -27 & 99 \\ 8 & 9 & -22 \end(array) \right)$, $D=\left(\begin(array) (ccc) -11 y 23 y -97 \\ 2 y 9 y 6 \end(array) \right)$.

Multiplicar una matriz por un número.

El producto de la matriz $A_(m\times n)=(a_(ij))$ por el número $\alpha$ es la matriz $B_(m\times n)=(b_(ij))$, donde $ b_(ij)= \alpha\cdot a_(ij)$ para todos $i=\overline(1,m)$ y $j=\overline(1,n)$.

En pocas palabras, multiplicar una matriz por un número determinado significa multiplicar cada elemento de una matriz determinada por ese número.

Ejemplo No. 2

La matriz está dada: $ A=\left(\begin(array) (ccc) -1 & -2 & 7 \\ 4 & 9 & 0 \end(array) \right)$. Encuentre las matrices $3\cdot A$, $-5\cdot A$ y $-A$.

$$ 3\cdot A=3\cdot \left(\begin(array) (ccc) -1 & -2 & 7 \\ 4 & 9 & 0 \end(array) \right) =\left(\begin( matriz) (ccc) 3\cdot(-1) & 3\cdot(-2) & 3\cdot 7 \\ 3\cdot 4 & 3\cdot 9 & 3\cdot 0 \end(array) \right)= \left(\begin(array) (ccc) -3 & -6 & 21 \\ 12& 27 & 0 \end(array) \right).\\ -5\cdot A=-5\cdot \left(\begin (matriz) (ccc) -1 & -2 & 7 \\ 4 & 9 & 0 \end(matriz) \right) =\left(\begin(matriz) (ccc) -5\cdot(-1) & - 5\cdot(-2) & -5\cdot 7 \\ -5\cdot 4 & -5\cdot 9 & -5\cdot 0 \end(array) \right)= \left(\begin(array) ( ccc) 5 y 10 y -35 \\ -20 y -45 y 0 \end(array) \right). $$

La notación $-A$ es una notación abreviada de $-1\cdot A$. Es decir, para encontrar $-A$ necesitas multiplicar todos los elementos de la matriz $A$ por (-1). Básicamente, esto significa que el signo de todos los elementos de la matriz $A$ cambiará al opuesto:

$$ -A=-1\cdot A=-1\cdot \left(\begin(array) (ccc) -1 & -2 & 7 \\ 4 & 9 & 0 \end(array) \right)= \ izquierda(\begin(array) (ccc) 1 y 2 y -7 \\ -4 y -9 y 0 \end(array) \right) $$

Respuesta: $3\cdot A=\left(\begin(array) (ccc) -3 & -6 & 21 \\ 12& 27 & 0 \end(array) \right);\; -5\cdot A=\left(\begin(array) (ccc) 5 & 10 & -35 \\ -20 & -45 & 0 \end(array) \right);\; -A=\left(\begin(array) (ccc) 1 & 2 & -7 \\ -4 & -9 & 0 \end(array) \right)$.

Producto de dos matrices.

La definición de esta operación es engorrosa y, a primera vista, poco clara. Por tanto, primero indicaré una definición general, y luego analizaremos en detalle qué significa y cómo trabajar con ella.

El producto de la matriz $A_(m\times n)=(a_(ij))$ por la matriz $B_(n\times k)=(b_(ij))$ es la matriz $C_(m\times k )=(c_( ij))$, para lo cual cada elemento $c_(ij)$ es igual a la suma de los productos de los elementos correspondientes de la i-ésima fila de la matriz $A$ por los elementos de la j -ésima columna de la matriz $B$: $$c_(ij)=\sum\limits_ (p=1)^(n)a_(ip)b_(pj), \;\; i=\overline(1,m), j=\overline(1,n).$$

Veamos la multiplicación de matrices paso a paso usando un ejemplo. Sin embargo, debes tener en cuenta de inmediato que no todas las matrices se pueden multiplicar. Si queremos multiplicar la matriz $A$ por la matriz $B$, primero debemos asegurarnos de que el número de columnas de la matriz $A$ sea igual al número de filas de la matriz $B$ (tales matrices a menudo se llaman acordado). Por ejemplo, la matriz $A_(5\times 4)$ (la matriz contiene 5 filas y 4 columnas) no se puede multiplicar por la matriz $F_(9\times 8)$ (9 filas y 8 columnas), ya que el número de columnas de la matriz $A $ no es igual al número de filas de la matriz $F$, es decir $4\neq 9$. Pero puedes multiplicar la matriz $A_(5\times 4)$ por la matriz $B_(4\times 9)$, ya que el número de columnas de la matriz $A$ es igual al número de filas de la matriz $ B$. En este caso, el resultado de multiplicar las matrices $A_(5\times 4)$ y $B_(4\times 9)$ será la matriz $C_(5\times 9)$, que contiene 5 filas y 9 columnas:

Ejemplo No. 3

Matrices dadas: $ A=\left(\begin(array) (cccc) -1 & 2 & -3 & 0 \\ 5 & 4 & -2 & 1 \\ -8 & 11 & -10 & -5 \end (matriz) \right)$ y $ B=\left(\begin(array) (cc) -9 & 3 \\ 6 & 20 \\ 7 & 0 \\ 12 & -4 \end(array) \right) $. Encuentra la matriz $C=A\cdot B$.

Primero, determinemos inmediatamente el tamaño de la matriz $C$. Dado que la matriz $A$ tiene un tamaño $3\times 4$, y la matriz $B$ tiene un tamaño $4\times 2$, entonces el tamaño de la matriz $C$ es: $3\times 2$:

Entonces, como resultado del producto de las matrices $A$ y $B$, debemos obtener una matriz $C$, que consta de tres filas y dos columnas: $ C=\left(\begin(array) (cc) c_ (11) & c_( 12) \\ c_(21) & c_(22) \\ c_(31) & c_(32) \end(array) \right)$. Si la designación de elementos plantea dudas, entonces se puede consultar el tema anterior: “Tipos de matrices”, al principio del cual se explica la designación de elementos matriciales. Nuestro objetivo: encontrar los valores de todos los elementos de la matriz $C$.

Comencemos con el elemento $c_(11)$. Para obtener el elemento $c_(11)$, necesitas encontrar la suma de los productos de los elementos de la primera fila de la matriz $A$ y la primera columna de la matriz $B$:

Para encontrar el elemento $c_(11)$, es necesario multiplicar los elementos de la primera fila de la matriz $A$ por los elementos correspondientes de la primera columna de la matriz $B$, es decir el primer elemento al primero, el segundo al segundo, el tercero al tercero, el cuarto al cuarto. Resumimos los resultados obtenidos:

$$ c_(11)=-1\cdot (-9)+2\cdot 6+(-3)\cdot 7 + 0\cdot 12=0. $$

Continuamos con la solución y encontramos $c_(12)$. Para hacer esto, tendrás que multiplicar los elementos de la primera fila de la matriz $A$ y la segunda columna de la matriz $B$:

Similar al anterior, tenemos:

$$ c_(12)=-1\cdot 3+2\cdot 20+(-3)\cdot 0 + 0\cdot (-4)=37. $$

Se han encontrado todos los elementos de la primera fila de la matriz $C$. Pasemos a la segunda línea, que comienza con el elemento $c_(21)$. Para encontrarlo, tendrás que multiplicar los elementos de la segunda fila de la matriz $A$ y la primera columna de la matriz $B$:

$$ c_(21)=5\cdot (-9)+4\cdot 6+(-2)\cdot 7 + 1\cdot 12=-23. $$

Encontramos el siguiente elemento $c_(22)$ multiplicando los elementos de la segunda fila de la matriz $A$ por los elementos correspondientes de la segunda columna de la matriz $B$:

$$ c_(22)=5\cdot 3+4\cdot 20+(-2)\cdot 0 + 1\cdot (-4)=91. $$

Para encontrar $c_(31)$, multiplica los elementos de la tercera fila de la matriz $A$ por los elementos de la primera columna de la matriz $B$:

$$ c_(31)=-8\cdot (-9)+11\cdot 6+(-10)\cdot 7 + (-5)\cdot 12=8. $$

Y finalmente, para encontrar el elemento $c_(32)$, tendrás que multiplicar los elementos de la tercera fila de la matriz $A$ por los elementos correspondientes de la segunda columna de la matriz $B$:

$$ c_(32)=-8\cdot 3+11\cdot 20+(-10)\cdot 0 + (-5)\cdot (-4)=216. $$

Se han encontrado todos los elementos de la matriz $C$, solo queda escribir que $C=\left(\begin(array) (cc) 0 & 37 \\ -23 & 91 \\ 8 & 216 \end( matriz) \derecha)$ . O, para escribir completo:

$$ C=A\cdot B =\left(\begin(array) (cccc) -1 & 2 & -3 & 0 \\ 5 & 4 & -2 & 1 \\ -8 & 11 & -10 & - 5 \end(array) \right)\cdot \left(\begin(array) (cc) -9 y 3 \\ 6 y 20 \\ 7 y 0 \\ 12 y -4 \end(array) \right) =\left(\begin(array) (cc) 0 y 37 \\ -23 y 91 \\ 8 y 216 \end(array) \right). $$

Respuesta: $C=\left(\begin(array) (cc) 0 y 37 \\ -23 y 91 \\ 8 y 216 \end(array) \right)$.

Por cierto, a menudo no hay razón para describir en detalle la ubicación de cada elemento de la matriz de resultados. Para matrices cuyo tamaño es pequeño, puedes hacer esto:

También vale la pena señalar que la multiplicación de matrices no es conmutativa. Esto significa que en el caso general $A\cdot B\neq B\cdot A$. Sólo para algunos tipos de matrices, que se denominan permutable(o desplazamientos), la igualdad $A\cdot B=B\cdot A$ es verdadera. Precisamente en base a la no conmutatividad de la multiplicación debemos indicar exactamente cómo multiplicamos la expresión por una matriz particular: a la derecha o a la izquierda. Por ejemplo, la frase “multiplica ambos lados de la igualdad $3E-F=Y$ por la matriz $A$ de la derecha” significa que quieres obtener la siguiente igualdad: $(3E-F)\cdot A=Y\cdot A$.

Transpuesta con respecto a la matriz $A_(m\times n)=(a_(ij))$ está la matriz $A_(n\times m)^(T)=(a_(ij)^(T))$, para elementos que $a_(ij)^(T)=a_(ji)$.

En pocas palabras, para obtener una matriz transpuesta $A^T$, es necesario reemplazar las columnas de la matriz original $A$ con las filas correspondientes de acuerdo con este principio: había una primera fila, habrá una primera columna. ; había una segunda línea; habrá una segunda columna; había una tercera fila; habrá una tercera columna y así sucesivamente. Por ejemplo, encontremos la matriz transpuesta a la matriz $A_(3\times 5)$:

En consecuencia, si la matriz original tenía un tamaño de $3\times 5$, entonces la matriz transpuesta tiene un tamaño de $5\times 3$.

Algunas propiedades de las operaciones sobre matrices.

Aquí se supone que $\alpha$, $\beta$ son algunos números y $A$, $B$, $C$ son matrices. Para las primeras cuatro propiedades indiqué nombres; el resto puede nombrarse por analogía con las primeras cuatro.

1. $A+B=B+A$ (conmutatividad de la suma)
2. $A+(B+C)=(A+B)+C$ (asociatividad de la suma)
3. $(\alpha+\beta)\cdot A=\alpha A+\beta A$ (distributividad de la multiplicación por una matriz con respecto a la suma de números)
4. $\alpha\cdot(A+B)=\alpha A+\alpha B$ (distributividad de la multiplicación por un número relativa a la suma de matrices)
5. $A(BC)=(AB)C$
6. $(\alfa\beta)A=\alfa(\beta A)$
7. $A\cdot (B+C)=AB+AC$, $(B+C)\cdot A=BA+CA$.
8. $A\cdot E=A$, $E\cdot A=A$, donde $E$ es la matriz identidad del orden correspondiente.
9. $A\cdot O=O$, $O\cdot A=O$, donde $O$ es una matriz cero del tamaño apropiado.
10. $\izquierda(A^T \derecha)^T=A$
11. $(A+B)^T=A^T+B^T$
12. $(AB)^T=B^T\cdot A^T$
13. $\left(\alpha A \right)^T=\alpha A^T$

En la siguiente parte, consideraremos la operación de elevar una matriz a una potencia entera no negativa y también resolveremos ejemplos en los que es necesario realizar varias operaciones con matrices.

Entonces, en la lección anterior vimos las reglas para sumar y restar matrices. Estas son operaciones tan simples que la mayoría de los estudiantes las entienden literalmente desde el principio.

Sin embargo, te alegras temprano. Se acabó el obsequio: pasemos a la multiplicación. Te lo advierto de inmediato: multiplicar dos matrices no es en absoluto multiplicar números ubicados en celdas con las mismas coordenadas, como podrías pensar. Aquí todo es mucho más divertido. Y tendremos que empezar con definiciones preliminares.

Matrices emparejadas

Una de las características más importantes de una matriz es su tamaño. Ya hemos hablado de esto cientos de veces: la notación $A=\left[ m\times n \right]$ significa que la matriz tiene exactamente $m$ filas y $n$ columnas. También ya hemos comentado cómo no confundir filas con columnas. Algo más es importante ahora.

Definición. Matrices de la forma $A=\left[ m\times n \right]$ y $B=\left[ n\times k \right]$, en las que el número de columnas de la primera matriz coincide con el número de filas en el segundo, se llaman consistentes.

Una vez más: ¡el número de columnas de la primera matriz es igual al número de filas de la segunda! De aquí sacamos dos conclusiones a la vez:

1. El orden de las matrices es importante para nosotros. Por ejemplo, las matrices $A=\left[ 3\times 2 \right]$ y $B=\left[ 2\times 5 \right]$ son consistentes (2 columnas en la primera matriz y 2 filas en la segunda) , pero viceversa: las matrices $B=\left[ 2\times 5 \right]$ y $A=\left[ 3\times 2 \right]$ ya no son consistentes (5 columnas en la primera matriz no son 3 filas en el segundo).
2. La coherencia se puede comprobar fácilmente anotando todas las dimensiones una tras otra. Usando el ejemplo del párrafo anterior: “3 2 2 5” - los números en el medio son iguales, por lo que las matrices son consistentes. Pero “2 5 3 2” no son consistentes, ya que hay números diferentes en el medio.

Además, Captain Obviousness parece insinuar que las matrices cuadradas del mismo tamaño $\left[ n\times n \right]$ son siempre consistentes.

En matemáticas, cuando el orden de enumeración de los objetos es importante (por ejemplo, en la definición analizada anteriormente, el orden de las matrices es importante), a menudo hablamos de pares ordenados. Los conocimos en la escuela: creo que es una obviedad que las coordenadas $\left(1;0 \right)$ y $\left(0;1 \right)$ definen diferentes puntos en el plano.

Entonces: las coordenadas también son pares ordenados que están formados por números. Pero nada le impide formar ese par a partir de matrices. Entonces podemos decir: “Un par ordenado de matrices $\left(A;B \right)$ es consistente si el número de columnas de la primera matriz es el mismo que el número de filas de la segunda”.

¿Así que lo que?

Definición de multiplicación

Considere dos matrices consistentes: $A=\left[ m\times n \right]$ y $B=\left[ n\times k \right]$. Y definimos la operación de multiplicación para ellos.

Definición. El producto de dos matrices coincidentes $A=\left[ m\times n \right]$ y $B=\left[ n\times k \right]$ es la nueva matriz $C=\left[ m\times k \ derecha] $, cuyos elementos se calculan mediante la fórmula:

\[\begin(align) & ((c)_(i;j))=((a)_(i;1))\cdot ((b)_(1;j))+((a)_ (i;2))\cdot ((b)_(2;j))+\ldots +((a)_(i;n))\cdot ((b)_(n;j))= \\ & =\sum\limits_(t=1)^(n)(((a)_(i;t))\cdot ((b)_(t;j))) \end(align)\]

Dicho producto se denota de la forma estándar: $C=A\cdot B$.

Quien ve esta definición por primera vez tiene inmediatamente dos preguntas:

1. ¿Qué clase de juego feroz es este?
2. ¿Por qué es tan difícil?

Bueno, lo primero es lo primero. Comencemos con la primera pregunta. ¿Qué significan todos estos índices? ¿Y cómo no cometer errores al trabajar con matrices reales?

En primer lugar, observamos que la larga línea para calcular $((c)_(i;j))$ (especialmente pongo un punto y coma entre los índices para no confundirme, pero no es necesario ponerlos en todo (yo mismo me cansé de escribir la fórmula en la definición) en realidad se reduce a una regla simple:

1. Tome la $i$ésima fila de la primera matriz;
2. Tome la columna $j$ésima en la segunda matriz;
3. Obtenemos dos secuencias de números. Multiplicamos los elementos de estas secuencias por los mismos números y luego sumamos los productos resultantes.

Este proceso es fácil de entender en la imagen:

Esquema para multiplicar dos matrices.

Una vez más: fijamos la fila $i$ en la primera matriz, la columna $j$ en la segunda matriz, multiplicamos los elementos con los mismos números y luego sumamos los productos resultantes: obtenemos $((c)_(ij))$ . Y así sucesivamente para todos $1\le i\le m$ y $1\le j\le k$. Aquellos. Habrá m\veces k$ de tales “perversiones” en total.

De hecho, ya nos hemos encontrado con la multiplicación de matrices en el currículo escolar, sólo que en una forma muy reducida. Sean dados los vectores:

\[\begin(align) & \vec(a)=\left(((x)_(a));((y)_(a));((z)_(a)) \right); \\ & \overrightarrow(b)=\left(((x)_(b));((y)_(b));((z)_(b)) \right). \\ \end(alinear)\]

Entonces su producto escalar será exactamente la suma de productos por pares:

\[\overrightarrow(a)\times \overrightarrow(b)=((x)_(a))\cdot ((x)_(b))+((y)_(a))\cdot ((y )_(b))+((z)_(a))\cdot ((z)_(b))\]

Básicamente, cuando los árboles eran más verdes y los cielos más brillantes, simplemente multiplicamos el vector fila $\overrightarrow(a)$ por el vector columna $\overrightarrow(b)$.

Nada ha cambiado hoy. Es solo que ahora hay más de estos vectores de filas y columnas.

¡Pero basta de teoría! Veamos ejemplos reales. Y comencemos con el caso más simple: las matrices cuadradas.

Multiplicación de matrices cuadradas

Tarea 1. Haz la multiplicación:

\[\left[ \begin(array)(*(35)(r)) 1 y 2 \\ -3 y 4 \\\end(array) \right]\cdot \left[ \begin(array)(* (35)(r)) -2 y 4 \\ 3 y 1 \\\end(array) \right]\]

Solución. Entonces, tenemos dos matrices: $A=\left[ 2\times 2 \right]$ y $B=\left[ 2\times 2 \right]$. Está claro que son consistentes (las matrices cuadradas del mismo tamaño siempre son consistentes). Por tanto, realizamos la multiplicación:

\[\begin(align) & \left[ \begin(array)(*(35)(r)) 1 y 2 \\ -3 y 4 \\\end(array) \right]\cdot \left[ \ comenzar(matriz)(*(35)(r)) -2 y 4 \\ 3 y 1 \\\end(matriz) \right]=\left[ \begin(matriz)(*(35)(r)) 1\cdot \left(-2 \right)+2\cdot 3 y 1\cdot 4+2\cdot 1 \\ -3\cdot \left(-2 \right)+4\cdot 3 y -3\cdot 4+4\cdot 1 \\\end(array) \right]= \\ & =\left[ \begin(array)(*(35)(r)) 4 y 6 \\ 18 y -8 \\\ fin(matriz)\derecha]. \end(alinear)\]

¡Eso es todo!

Respuesta: $\left[ \begin(array)(*(35)(r))4 & 6 \\ 18 & -8 \\\end(array) \right]$.

Tarea 2. Haz la multiplicación:

\[\left[ \begin(matrix) 1 y 3 \\ 2 y 6 \\\end(matrix) \right]\cdot \left[ \begin(array)(*(35)(r))9 y 6 \\ -3 y -2 \\\end(array) \right]\]

Solución. De nuevo, matrices consistentes, por lo que realizamos las siguientes acciones:\[\]

\[\begin(align) & \left[ \begin(matrix) 1 & 3 \\ 2 & 6 \\\end(matrix) \right]\cdot \left[ \begin(array)(*(35)( ) r)) 9 y 6 \\ -3 y -2 \\\end(array) \right]=\left[ \begin(array)(*(35)(r)) 1\cdot 9+3\cdot \ left(-3 \right) & 1\cdot 6+3\cdot \left(-2 \right) \\ 2\cdot 9+6\cdot \left(-3 \right) & 2\cdot 6+6 \ cdot \left(-2 \right) \\\end(array) \right]= \\ & =\left[ \begin(matrix) 0 & 0 \\ 0 & 0 \\\end(matrix) \right ] . \end(alinear)\]

Como puede ver, el resultado es una matriz llena de ceros.

Respuesta: $\left[ \begin(matrix) 0 & 0 \\ 0 & 0 \\\end(matrix) \right]$.

De los ejemplos anteriores se desprende claramente que la multiplicación de matrices no es una operación tan complicada. Al menos para matrices cuadradas de 2 por 2.

En el proceso de cálculo, compilamos una matriz intermedia, donde describimos directamente qué números están incluidos en una celda en particular. Esto es exactamente lo que se debe hacer al resolver problemas reales.

Propiedades básicas del producto matricial.

En una palabra. Multiplicación de matrices:

1. No conmutativo: $A\cdot B\ne B\cdot A$ en el caso general. Por supuesto, existen matrices especiales para las cuales la igualdad $A\cdot B=B\cdot A$ (por ejemplo, si $B=E$ es la matriz identidad), pero en la gran mayoría de los casos esto no funciona. ;
2. Asociativamente: $\left(A\cdot B \right)\cdot C=A\cdot \left(B\cdot C \right)$. Aquí no hay opciones: las matrices adyacentes se pueden multiplicar sin preocuparse por lo que hay a la izquierda y a la derecha de estas dos matrices.
3. Distributivamente: $A\cdot \left(B+C \right)=A\cdot B+A\cdot C$ y $\left(A+B \right)\cdot C=A\cdot C+B\cdot C $ (debido a la no conmutatividad del producto, es necesario especificar por separado la distributividad derecha e izquierda.

Y ahora todo sigue igual, pero con más detalle.

La multiplicación de matrices es en muchos aspectos similar a la multiplicación de números clásica. Pero hay diferencias, la más importante de las cuales es que La multiplicación de matrices es, en términos generales, no conmutativa..

Miremos nuevamente las matrices del Problema 1. Ya conocemos su producto directo:

\[\left[ \begin(array)(*(35)(r)) 1 y 2 \\ -3 y 4 \\\end(array) \right]\cdot \left[ \begin(array)(* (35)(r)) -2 y 4 \\ 3 y 1 \\\end(array) \right]=\left[ \begin(array)(*(35)(r))4 y 6 \\ 18 & -8 \\\end(matriz) \right]\]

Pero si intercambiamos las matrices, obtenemos un resultado completamente diferente:

\[\left[ \begin(array)(*(35)(r)) -2 y 4 \\ 3 y 1 \\\end(array) \right]\cdot \left[ \begin(array)(* (35)(r)) 1 y 2 \\ -3 y 4 \\\end(array) \right]=\left[ \begin(matrix) -14 y 4 \\ 0 y 10 \\\end(matriz )\bien]\]

Resulta que $A\cdot B\ne B\cdot A$. Además, la operación de multiplicación solo está definida para las matrices consistentes $A=\left[ m\times n \right]$ y $B=\left[ n\times k \right]$, pero nadie ha garantizado que permanecerán consistentes si se intercambian. Por ejemplo, las matrices $\left[ 2\times 3 \right]$ y $\left[ 3\times 5 \right]$ son bastante consistentes en el orden especificado, pero las mismas matrices $\left[ 3\times 5 \right] $ y $\left[ 2\times 3 \right]$ escritos en orden inverso ya no son consistentes. Triste.:(

Entre las matrices cuadradas de un tamaño dado $n$ siempre habrá aquellas que den el mismo resultado tanto cuando se multiplican en orden directo como inverso. Cómo describir todas estas matrices (y cuántas hay en general) es un tema para una lección aparte. No hablaremos de eso hoy :)

Sin embargo, la multiplicación de matrices es asociativa:

\[\left(A\cdot B \right)\cdot C=A\cdot \left(B\cdot C \right)\]

Por lo tanto, cuando es necesario multiplicar varias matrices seguidas a la vez, no es necesario hacerlo de inmediato: es muy posible que algunas matrices adyacentes, cuando se multiplican, den un resultado interesante. Por ejemplo, una matriz cero, como en el problema 2 analizado anteriormente.

En problemas reales, lo más frecuente es multiplicar matrices cuadradas de tamaño $\left[ n\times n \right]$. El conjunto de todas estas matrices se denota por $((M)^(n))$ (es decir, las entradas $A=\left[ n\times n \right]$ y \ significan lo mismo), y necesariamente contiene la matriz $E$, que se llama matriz identidad.

Definición. Una matriz identidad de tamaño $n$ es una matriz $E$ tal que para cualquier matriz cuadrada $A=\left[ n\times n \right]$ la igualdad se cumple:

Una matriz así siempre tiene el mismo aspecto: hay unos en su diagonal principal y ceros en todas las demás celdas.

\[\begin(align) & A\cdot \left(B+C \right)=A\cdot B+A\cdot C; \\ & \left(A+B \right)\cdot C=A\cdot C+B\cdot C. \\ \end(align)\]

En otras palabras, si necesitas multiplicar una matriz por la suma de otras dos, puedes multiplicarla por cada una de estas “otras dos” y luego sumar los resultados. En la práctica, normalmente tenemos que realizar la operación contraria: notamos la misma matriz, la sacamos de paréntesis, realizamos la suma y así simplificamos nuestra vida :)

Nota: para describir la distributividad, tuvimos que escribir dos fórmulas: donde la suma está en el segundo factor y donde la suma está en el primero. Esto sucede precisamente porque la multiplicación de matrices no es conmutativa (y en general, en álgebra no conmutativa hay muchas cosas divertidas que ni siquiera vienen a la mente cuando se trabaja con números ordinarios). Y si, por ejemplo, necesitas escribir esta propiedad en un examen, asegúrate de escribir ambas fórmulas, de lo contrario el profesor puede enfadarse un poco.

Bien, todos estos eran cuentos de hadas sobre matrices cuadradas. ¿Qué pasa con los rectangulares?

El caso de las matrices rectangulares.

Pero nada, todo es igual que con los cuadrados.

Tarea 3. Haz la multiplicación:

\[\left[ \begin(matrix) \begin(matrix) 5 \\ 2 \\ 3 \\\end(matrix) & \begin(matrix) 4 \\ 5 \\ 1 \\\end(matrix) \ \\end(matrix) \right]\cdot \left[ \begin(array)(*(35)(r)) -2 y 5 \\ 3 y 4 \\\end(array) \right]\]

Solución. Tenemos dos matrices: $A=\left[ 3\times 2 \right]$ y $B=\left[ 2\times 2 \right]$. Anotemos los números que indican las tallas en una fila:

Como puedes ver, los dos números centrales coinciden. Esto significa que las matrices son consistentes y se pueden multiplicar. Además, en la salida obtenemos la matriz $C=\left[ 3\times 2 \right]$:

\[\begin(align) & \left[ \begin(matrix) \begin(matrix) 5 \\ 2 \\ 3 \\\end(matrix) & \begin(matrix) 4 \\ 5 \\ 1 \\ \end(matrix) \\\end(matrix) \right]\cdot \left[ \begin(array)(*(35)(r)) -2 y 5 \\ 3 y 4 \\\end(array) \right]=\left[ \begin(array)(*(35)(r)) 5\cdot \left(-2 \right)+4\cdot 3 & 5\cdot 5+4\cdot 4 \\ 2 \cdot \left(-2 \right)+5\cdot 3 y 2\cdot 5+5\cdot 4 \\ 3\cdot \left(-2 \right)+1\cdot 3 y 3\cdot 5+1 \cdot 4 \\\end(array) \right]= \\ & =\left[ \begin(array)(*(35)(r)) 2 y 41 \\ 11 y 30 \\ -3 y 19 \ \\end(array)\right]. \end(alinear)\]

Todo está claro: la matriz final tiene 3 filas y 2 columnas. Bastante $=\left[ 3\times 2 \right]$.

Respuesta: $\left[ \begin(array)(*(35)(r)) \begin(array)(*(35)(r)) 2 \\ 11 \\ -3 \\\end(array) & \begin(matriz) 41 \\ 30 \\ 19 \\\end(matriz) \\\end(array) \right]$.

Ahora veamos una de las mejores tareas de formación para quienes recién comienzan a trabajar con matrices. En él no es necesario simplemente multiplicar unas dos tabletas, sino primero determinar: ¿está permitida dicha multiplicación?

Problema 4. Encuentre todos los posibles productos de matrices por pares:

\\]; $B=\left[ \begin(matrix) \begin(matrix) 0 \\ 2 \\ 0 \\ 4 \\\end(matrix) & \begin(matrix) 1 \\ 0 \\ 3 \\ 0 \ \\end(matriz) \\\end(matriz) \right]$; $C=\left[ \begin(matrix)0 & 1 \\ 1 & 0 \\\end(matrix) \right]$.

Solución. Primero, anotemos los tamaños de las matrices:

\;\ B=\izquierda[ 4\veces 2 \derecha];\ C=\izquierda[ 2\veces 2 \derecha]\]

Encontramos que la matriz $A$ solo se puede conciliar con la matriz $B$, ya que el número de columnas de $A$ es 4, y solo $B$ tiene este número de filas. Por tanto, podemos encontrar el producto:

\\cdot \left[ \begin(array)(*(35)(r)) 0 y 1 \\ 2 y 0 \\ 0 y 3 \\ 4 y 0 \\\end(array) \right]=\ izquierda[ \begin(array)(*(35)(r))-10 & 7 \\ 10 & 7 \\\end(array) \right]\]

Sugiero al lector completar los pasos intermedios de forma independiente. Solo señalaré que es mejor determinar el tamaño de la matriz resultante de antemano, incluso antes de realizar cualquier cálculo:

\\cdot \left[ 4\times 2 \right]=\left[ 2\times 2 \right]\]

En otras palabras, simplemente eliminamos los coeficientes de “tránsito” que aseguraban la consistencia de las matrices.

¿Qué otras opciones son posibles? Por supuesto, uno puede encontrar $B\cdot A$, ya que $B=\left[ 4\times 2 \right]$, $A=\left[ 2\times 4 \right]$, entonces el par ordenado $\ left(B ;A \right)$ es consistente y la dimensión del producto será:

\\cdot \left[ 2\times 4 \right]=\left[ 4\times 4 \right]\]

En resumen, el resultado será una matriz $\left[ 4\times 4 \right]$, cuyos coeficientes se pueden calcular fácilmente:

\\cdot \left[ \begin(array)(*(35)(r)) 1 & -1 & 2 & -2 \\ 1 & 1 & 2 & 2 \\\end(array) \right]=\ izquierda[ \begin(array)(*(35)(r))1 & 1 & 2 & 2 \\ 2 & -2 & 4 & -4 \\ 3 & 3 & 6 & 6 \\ 4 & -4 & 8 y -8 \\\end(array) \right]\]

Obviamente, también pueden ponerse de acuerdo en $C\cdot A$ y $B\cdot C$, y eso es todo. Por tanto, simplemente anotamos los productos resultantes:

Fue fácil :)

Respuesta: $AB=\left[ \begin(array)(*(35)(r)) -10 & 7 \\ 10 & 7 \\\end(array) \right]$; $BA=\left[ \begin(array)(*(35)(r)) 1 y 1 y 2 y 2 \\ 2 y -2 y 4 y -4 \\ 3 y 3 y 6 y 6 \\ 4 & -4 & 8 & -8 \\\end(array) \right]$; $CA=\left[ \begin(array)(*(35)(r)) 1 & 1 & 2 & 2 \\ 1 & -1 & 2 & -2 \\\end(array) \right]$; $BC=\left[ \begin(array)(*(35)(r))1 & 0 \\ 0 & 2 \\ 3 & 0 \\ 0 & 4 \\\end(array) \right]$.

En general, recomiendo encarecidamente que realice esta tarea usted mismo. Y una tarea más similar que está en la tarea. Estos pensamientos aparentemente simples te ayudarán a practicar todas las etapas clave de la multiplicación de matrices.

Pero la historia no termina ahí. Pasemos a casos especiales de multiplicación :)

Vectores de fila y vectores de columna

Una de las operaciones matriciales más comunes es la multiplicación por una matriz que tiene una fila o una columna.

Definición. Un vector columna es una matriz de tamaño $\left[ m\times 1 \right]$, es decir que consta de varias filas y una sola columna.

Un vector fila es una matriz de tamaño $\left[ 1\times n \right]$, es decir que consta de una fila y varias columnas.

De hecho, ya nos hemos encontrado con estos objetos. Por ejemplo, un vector tridimensional ordinario de estereometría $\overrightarrow(a)=\left(x;y;z \right)$ no es más que un vector fila. Desde un punto de vista teórico, casi no hay diferencia entre filas y columnas. Sólo debes tener cuidado al coordinar con las matrices multiplicadoras circundantes.

Tarea 5. Haz la multiplicación:

\[\left[ \begin(array)(*(35)(r)) 2 & -1 & 3 \\ 4 & 2 & 0 \\ -1 & 1 & 1 \\\end(array) \right] \cdot \left[ \begin(array)(*(35)(r)) 1 \\ 2 \\ -1 \\\end(array) \right]\]

Solución. Aquí tenemos el producto de matrices coincidentes: $\left[ 3\times 3 \right]\cdot \left[ 3\times 1 \right]=\left[ 3\times 1 \right]$. Encontremos esta pieza:

\[\left[ \begin(array)(*(35)(r)) 2 & -1 & 3 \\ 4 & 2 & 0 \\ -1 & 1 & 1 \\\end(array) \right] \cdot \left[ \begin(array)(*(35)(r)) 1 \\ 2 \\ -1 \\\end(array) \right]=\left[ \begin(array)(*(35 )(r)) 2\cdot 1+\left(-1 \right)\cdot 2+3\cdot \left(-1 \right) \\ 4\cdot 1+2\cdot 2+0\cdot 2 \ \ -1\cdot 1+1\cdot 2+1\cdot \left(-1 \right) \\\end(array) \right]=\left[ \begin(array)(*(35)(r) ) -3 \\ 8 \\ 0 \\\end(array) \right]\]

Respuesta: $\left[ \begin(array)(*(35)(r))-3 \\ 8 \\ 0 \\\end(array) \right]$.

Tarea 6. Haz la multiplicación:

\[\left[ \begin(array)(*(35)(r)) 1 & 2 & -3 \\\end(array) \right]\cdot \left[ \begin(array)(*(35) (r)) 3 y 1 y -1 \\ 4 y -1 y 3 \\ 2 y 6 y 0 \\\end(array) \right]\]

Solución. Nuevamente todo es consistente: $\left[ 1\times 3 \right]\cdot \left[ 3\times 3 \right]=\left[ 1\times 3 \right]$. Contamos el producto:

\[\left[ \begin(array)(*(35)(r)) 1 & 2 & -3 \\\end(array) \right]\cdot \left[ \begin(array)(*(35) (r)) 3 y 1 y -1 \\ 4 y -1 y 3 \\ 2 y 6 y 0 \\\end(array) \right]=\left[ \begin(array)(*(35)( ) r))5 & -19 & 5 \\\end(array) \right]\]

Respuesta: $\left[ \begin(matrix) 5 & -19 & 5 \\\end(matrix) \right]$.

Como puede ver, cuando multiplicamos un vector fila y un vector columna por una matriz cuadrada, el resultado siempre resulta en una fila o columna del mismo tamaño. Este hecho tiene muchas aplicaciones, desde la resolución de ecuaciones lineales hasta todo tipo de transformaciones de coordenadas (que en última instancia también se reducen a sistemas de ecuaciones, pero no hablemos de cosas tristes).

Creo que aquí todo era obvio. Pasemos a la parte final de la lección de hoy.

Exponenciación matricial

Entre todas las operaciones de multiplicación, la exponenciación merece especial atención: esto es cuando multiplicamos el mismo objeto por sí mismo varias veces. Las matrices no son una excepción; también pueden elevarse a varias potencias.

Dichos trabajos siempre se pactan:

\\cdot \left[ n\times n \right]=\left[ n\times n \right]\]

Y se designan exactamente de la misma forma que los títulos ordinarios:

\[\begin(align) & A\cdot A=((A)^(2)); \\ & A\cdot A\cdot A=((A)^(3)); \\ & \underbrace(A\cdot A\cdot \ldots \cdot A)_(n)=((A)^(n)). \\ \end(alinear)\]

A primera vista, todo es sencillo. Veamos cómo se ve esto en la práctica:

Tarea 7. Eleve la matriz a la potencia indicada:

$((\left[ \begin(matrix) 1 y 1 \\ 0 y 1 \\\end(matrix) \right])^(3))$

Solución. Bueno, está bien, construyamos. Primero vamos a cuadrarlo:

\[\begin(align) & ((\left[ \begin(matrix) 1 & 1 \\ 0 & 1 \\\end(matrix) \right])^(2))=\left[ \begin(matrix) ) 1 y 1 \\ 0 y 1 \\\end(matriz) \right]\cdot \left[ \begin(matrix) 1 y 1 \\ 0 y 1 \\\end(matriz) \right]= \\ & =\left[ \begin(array)(*(35)(r)) 1\cdot 1+1\cdot 0 & 1\cdot 1+1\cdot 1 \\ 0\cdot 1+1\cdot 0 & 0\cdot 1+1\cdot 1 \\\end(array) \right]= \\ & =\left[ \begin(array)(*(35)(r)) 1 & 2 \\ 0 & 1 \ \\end(array) \right] \end(align)\]

\[\begin(align) & ((\left[ \begin(matrix) 1 & 1 \\ 0 & 1 \\\end(matrix) \right])^(3))=((\left[ \begin (matriz) 1 y 1 \\ 0 y 1 \\\end(matriz) \right])^(3))\cdot \left[ \begin(matriz) 1 y 1 \\ 0 y 1 \\\end( matriz) \right]= \\ & =\left[ \begin(array)(*(35)(r)) 1 & 2 \\ 0 & 1 \\\end(array) \right]\cdot \left[ \begin(matriz) 1 y 1 \\ 0 y 1 \\\end(matriz) \right]= \\ & =\left[ \begin(array)(*(35)(r)) 1 y 3 \\ 0 y 1 \\\end(array) \right] \end(align)\]

Eso es todo :)

Respuesta: $\left[ \begin(matrix)1 & 3 \\ 0 & 1 \\\end(matrix) \right]$.

Problema 8. Elevar la matriz a la potencia indicada:

\[((\left[ \begin(matrix) 1 y 1 \\ 0 y 1 \\\end(matrix) \right])^(10))\]

Solución. Simplemente no llores ahora por el hecho de que "el título es demasiado grande", "el mundo no es justo" y "los profesores han perdido completamente sus fronteras". En realidad es fácil:

\[\begin(align) & ((\left[ \begin(matrix) 1 & 1 \\ 0 & 1 \\\end(matrix) \right])^(10))=((\left[ \begin (matriz) 1 y 1 \\ 0 y 1 \\\end(matriz) \right])^(3))\cdot ((\left[ \begin(matrix) 1 y 1 \\ 0 y 1 \\\ end(matrix) \right])^(3))\cdot ((\left[ \begin(matrix) 1 & 1 \\ 0 & 1 \\\end(matrix) \right])^(3))\ cdot \left[ \begin(matrix) 1 & 1 \\ 0 & 1 \\\end(matrix) \right]= \\ & =\left(\left[ \begin(matrix) 1 & 3 \\ 0 & 1 \\\end(matrix) \right]\cdot \left[ \begin(matrix) 1 & 3 \\ 0 & 1 \\\end(matrix) \right] \right)\cdot \left(\left[ \begin(matrix) 1 y 3 \\ 0 y 1 \\\end(matrix) \right]\cdot \left[ \begin(matrix) 1 y 1 \\ 0 y 1 \\\end(matrix) \right ] \right)= \\ & =\left[ \begin(matrix) 1 & 6 \\ 0 & 1 \\\end(matrix) \right]\cdot \left[ \begin(matrix) 1 & 4 \\ 0 y 1 \\\end(matrix) \right]= \\ & =\left[ \begin(matrix) 1 & 10 \\ 0 & 1 \\\end(matrix) \right] \end(align)\ ]

Observe que en la segunda línea usamos asociatividad de multiplicación. En realidad, lo usamos en la tarea anterior, pero estaba implícito allí.

Respuesta: $\left[ \begin(matrix) 1 & 10 \\ 0 & 1 \\\end(matrix) \right]$.

Como puedes ver, no hay nada complicado en elevar una matriz a una potencia. El último ejemplo se puede resumir:

\[((\left[ \begin(matrix) 1 y 1 \\ 0 y 1 \\\end(matrix) \right])^(n))=\left[ \begin(array)(*(35) (r)) 1 & n \\ 0 & 1 \\\end(array) \right]\]

Este hecho es fácil de demostrar mediante inducción matemática o multiplicación directa. Sin embargo, no siempre es posible detectar estos patrones cuando se eleva a una potencia. Por tanto, tenga cuidado: muchas veces multiplicar varias matrices “al azar” resulta más fácil y rápido que buscar algún tipo de patrones.

En general, no busques un significado superior donde no lo hay. En conclusión, consideremos la exponenciación de una matriz más grande: tanto como $\left[ 3\times 3 \right]$.

Problema 9. Elevar la matriz a la potencia indicada:

\[((\left[ \begin(matrix) 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\\end(matrix) \right])^(3))\]

Solución. No busquemos patrones. Trabajamos por delante:

\[((\left[ \begin(matrix) 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\\end(matrix) \right])^(3))=(( \left[ \begin(matrix) 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\\end(matrix) \right])^(2))\cdot \left[ \begin (matriz)0 y 1 y 1 \\ 1 y 0 y 1 \\ 1 y 1 y 0 \\\end(matriz) \right]\]

Primero, elevamos al cuadrado esta matriz:

\[\begin(align) & ((\left[ \begin(matrix) 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\\end(matrix) \right])^( 2))=\left[ \begin(matrix) 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\\end(matrix) \right]\cdot \left[ \begin(matrix) ) 0 y 1 y 1 \\ 1 y 0 y 1 \\ 1 y 1 y 0 \\\end(matriz) \right]= \\ & =\left[ \begin(array)(*(35)(r )) 2 y 1 y 1 \\ 1 y 2 y 1 \\ 1 y 1 y 2 \\\end(array) \right] \end(align)\]

Ahora vamos a cubos:

\[\begin(align) & ((\left[ \begin(matrix) 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\\end(matrix) \right])^( 3))=\left[ \begin(array)(*(35)(r)) 2 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \\\end(array) \right] \cdot \left[ \begin(matrix) 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\\end(matrix) \right]= \\ & =\left[ \begin( matriz)(*(35)(r)) 2 y 3 y 3 \\ 3 y 2 y 3 \\ 3 y 3 y 2 \\\end(array) \right] \end(align)\]

Eso es todo. El problema está resuelto.

Respuesta: $\left[ \begin(matrix) 2 & 3 & 3 \\ 3 & 2 & 3 \\ 3 & 3 & 2 \\\end(matrix) \right]$.

Como puede ver, el volumen de cálculos ha aumentado, pero el significado no ha cambiado en absoluto :)

Esto concluye la lección. La próxima vez consideraremos la operación inversa: utilizando el producto existente buscaremos los factores originales.

Como probablemente ya habrás adivinado, hablaremos sobre la matriz inversa y los métodos para encontrarla.