El concepto de lógica difusa. Lógica difusa en la práctica

La lógica clásica, por definición, no puede operar con conceptos vagamente definidos, ya que todos los enunciados en los sistemas lógicos formales sólo pueden tener dos estados mutuamente excluyentes: "verdadero" con un valor de verdad de "1" y "falso" con un valor de verdad de "0". ”. Uno de los intentos de alejarse de la lógica binaria de dos valores para describir la incertidumbre fue la introducción por parte de Lukashevich de la lógica de tres valores con un tercer estado "posible" con un valor de verdad de "0,5". Habiendo introducido en consideración los conjuntos difusos, Zadeh propuso generalizar la lógica binaria clásica basándose en la consideración de un conjunto infinito de valores de verdad. En la versión de lógica difusa propuesta por Zadeh, el conjunto de valores de verdad de los enunciados se generaliza al intervalo 0;

1, es decir incluye la lógica binaria clásica y la lógica de Lukashevich de tres valores como casos especiales. Este enfoque permite considerar afirmaciones con diferentes valores de verdad y realizar razonamientos con incertidumbre. declaración vaga

- es un pensamiento completo, cuya verdad o falsedad sólo puede juzgarse con cierto grado de certeza 0 ; 1: “posiblemente verdadero”, “posiblemente falso”, etc. Cuanto mayor sea la confianza en la verdad de una afirmación, más cercano será el grado de valor de verdad a 1. En casos extremos, 0 si estamos absolutamente seguros de la falsedad del enunciado, y 1 si estamos absolutamente seguros de la verdad del enunciado, lo que corresponde a la lógica binaria clásica. En lógica difusa, las declaraciones difusas se denotan de la misma manera que los conjuntos difusos: A, B, C.... Introduzcamos una aplicación difusa T: Ω → 0 ;

1, que actúa sobre el conjunto de enunciados difusos Ω = A, B, C…. En este caso, el valor de verdad de un enunciado A ∈ Ω se define como T A ∈ 0;

Además de la definición básica históricamente aceptada anterior de negación lógica difusa ("NO" difusa) introducida por Zadeh, se pueden utilizar las siguientes fórmulas alternativas:

T ¬ A = 1 − T A 1 + λT A , λ > − 1, es el complemento λ difuso de Sugeno;

T ¬ A = 1 − T A p , p > 0, es complemento p difuso según Yager.

conjunción lógica Las declaraciones difusas A y B se denotan por A ∩ B: esta es una operación lógica binaria (es decir, realizada con dos argumentos), cuyo resultado es una declaración difusa "A y B", cuyo valor de verdad es:

T A ∩ B = mín T A ;

TB.

Además de la definición básica históricamente aceptada de conjunción lógica ("Y" difusa) introducida por Zadeh, se pueden utilizar las siguientes fórmulas alternativas:

T A ∩ B = T A T B – en la base de Bandler-Kohout;

T A ∩ B = máx T A + T B − 1 ;

0 – según la base Lukashevich-Giles; T A ∩ B = T B , con T A = 1 ;

T A, en T B = 1;

0, en otros casos;

– en la base de Weber.

Disyunción lógica

Las declaraciones difusas A y B se denotan por A ∪ B; esta es una operación lógica binaria, cuyo resultado es una declaración difusa "A o B", cuyo valor de verdad es:

T A ∪ B = máx T A ; TB.

Además de la definición básica históricamente aceptada de disyunción lógica ("O" difusa) introducida anteriormente por Zadeh, se pueden utilizar las siguientes fórmulas alternativas:

T A ∪ B = T A + T B − T A T B – en la base de Bandler-Kohout;

T A ∪ B = mín T A + T B ;

1 – según la base Lukashevich-Giles;

T A ∪ B = T B , con T A = 0 ;

T A ⊃ B = mín 1 ;

T B T A , T A > 0 – Gauguin;

T A ⊃ B = mín T A + T B ;

1 – Lukashevich-Giles;

T A ⊃ B = T A T B – Bandler-Kohout;

T A ⊃ B = máx T A T B ;

1 − T A – Wadi; T A ⊃ B = 1, T A ≤ T B ;

T B , T A > T B ;

- Bauer.

El número total de definiciones introducidas de implicación difusa no se limita a las dadas anteriormente. Un gran número de trabajos sobre el estudio de diversas variantes de implicación difusa se debe a que el concepto de implicación difusa es clave en las inferencias difusas y en la toma de decisiones en condiciones difusas. La implicación difusa de Zadeh se utiliza más ampliamente para resolver problemas aplicados de control difuso.

equivalencia difusa

Las declaraciones difusas A y B se denotan por A ≡ B; esta es una operación lógica binaria, cuyo resultado es la declaración difusa "A es equivalente a B", cuyo valor de verdad es:

T A ≡ B = mín máx T ¬ A ;

T B ;máx T A ;

Una variable lingüística es una variable para la que se utilizan valores lingüísticos que expresan valoraciones cualitativas o números difusos. Un ejemplo de variable lingüística podría ser la velocidad o la temperatura, un ejemplo de valor lingüístico sería una característica: grande, mediana, pequeña, un ejemplo de número difuso sería un valor: aproximadamente 5, aproximadamente 0.

Un conjunto de términos lingüísticos es el conjunto de todos los valores lingüísticos utilizados para definir una determinada variable lingüística. El rango de valores de una variable es el conjunto de todos los valores numéricos que puede tomar un determinado parámetro del sistema en estudio, o un conjunto de valores que es significativo desde el punto de vista del problema que se resuelve. .

Conjuntos difusos:

Sea un conjunto universal, - elemento, y - alguna propiedad. Subconjunto regular (crujiente) conjunto universal , cuyos elementos satisfacen la propiedad , se definen como un conjunto de pares ordenados
,Dónde
‒ una función característica que toma el valor 1 si satisface la propiedad y 0 en caso contrario.

Un subconjunto difuso se diferencia de un subconjunto regular en que los elementos de No hay una respuesta clara de sí o no con respecto a la propiedad. En este sentido, un subconjunto difuso del conjunto universal se define como el conjunto de pares ordenados
, Dónde
es una función de membresía característica que toma valores en algún conjunto ordenado (por ejemplo,
). La función de membresía indica el grado de membresía de un elemento. muchos . Muchos
llamado conjunto de accesorios. Si
, entonces el conjunto difuso puede considerarse como un conjunto nítido ordinario.

Muchos elementos espaciales
, para lo cual
, se llama portador del conjunto difuso y es designado apoyo A:

Altura del conjunto difuso se define como

conjunto difuso se llama normal si y sólo si
. Si un conjunto difuso no es normal, entonces se puede normalizar usando la transformación

,

Dónde
- la altura de este conjunto.

conjunto difuso
, es convexo si y sólo si para arbitrario
Y
se cumple la condición

2.1.1 Operaciones sobre conjuntos difusos

Encender. Dejar Y - conjuntos difusos en el conjunto universal . Dicen que contenido en , Si

Igualdad. y son iguales si

Suma. Dejar
,Y - conjuntos difusos definidos en .Y se complementan si.

Intersección.
- el subconjunto difuso más grande contenido simultáneamente en Y :

Asociación.
- el subconjunto difuso más grande que contiene todos los elementos de Y :

Diferencia.
- subconjunto con función de membresía:

2.1.2 Relaciones difusas

Dejar
- producto directo de conjuntos universales y
- un determinado conjunto de accesorios. Una relación n-aria difusa se define como un subconjunto difuso en , tomando sus valores en
. En caso
Y
actitud poco clara entre conjuntos
Y
se llamará la función
, que asigna cada par de elementos
tamaño
.

Dejar - actitud poco clara
entre
Y , Y actitud poco clara
entre Y . relación difusa entre
Y , denotado
, definido a través de Y expresión se llama composición de relaciones Y .

Implicación difusa.

La implicación difusa es una regla de la forma: SI
ESO
,Dónde
– condición, y
- conclusión, y Y - conjuntos difusos definidos por sus funciones de membresía
,
y áreas de definición
,respectivamente. La implicación se denota como
.

La diferencia entre implicación clásica y difusa es que en el caso de la implicación clásica, la condición y la conclusión pueden ser absolutamente verdaderas o absolutamente falsas, mientras que para la implicación difusa se permite que sean parcialmente verdaderas, con el valor perteneciente al intervalo. Este enfoque tiene una serie de ventajas, ya que en la práctica rara vez hay situaciones en las que las condiciones de las reglas se cumplan plenamente y, por esta razón, no se puede suponer que la conclusión sea absolutamente cierta.

Hay muchos operadores de implicación diferentes en lógica difusa. Todos ellos dan resultados diferentes, cuyo grado de eficacia depende especialmente del sistema que se esté modelando. Uno de los operadores de implicación más comunes es el operador Mamdani, basado en el supuesto de que el grado de verdad de la conclusión
no puede ser superior al grado de cumplimiento de la condición
:

2.2 Construcción de un sistema difuso

Entre los avances de la inteligencia artificial, los sistemas expertos han ganado un reconocimiento constante como sistemas de apoyo a las decisiones. Son capaces de acumular conocimientos adquiridos por una persona en diversos campos de actividad. A través de sistemas expertos, es posible resolver muchos problemas modernos, incluidos los problemas de gestión. Uno de los principales métodos de representación del conocimiento en sistemas expertos son las reglas de producción, que permiten acercarse al estilo de pensamiento humano. Normalmente, una regla de producción se escribe en la forma: "SI (premisa) (conexión) (premisa)... (premisa) ENTONCES (conclusión)". se combinan mediante conectivos lógicos “Y”, “O”.

Los sistemas difusos (FS) también se basan en reglas de tipo producción, pero se utilizan variables lingüísticas como premisas y conclusiones en la regla, lo que evita las limitaciones inherentes a las reglas de producción clásicas.

Así, un sistema difuso es un sistema cuya característica de descripción es:

especificación difusa de parámetros;

descripción difusa de las variables de entrada y salida del sistema;

Descripción poco clara del funcionamiento del sistema basada en las reglas de producción “SI...ENTONCES...”.

La clase más importante de sistemas difusos son los sistemas de control difusos (FCS). Uno de los componentes más importantes de los FCS es la base de conocimientos, que es un conjunto de reglas difusas "SI-ENTONCES" que determinan la relación entre las entradas y salidas de los sistemas. el sistema en estudio. Existen diferentes tipos de reglas difusas: lingüísticas, relacionales, modelo Takagi-Sugeno, etc.

Para muchas aplicaciones relacionadas con el control de procesos, es necesario construir un modelo del proceso en cuestión. Conocer el modelo le permite seleccionar el regulador apropiado (módulo de control). Sin embargo, a menudo construir un modelo correcto es un problema difícil, que a veces requiere la introducción de varias simplificaciones. El uso de la teoría de conjuntos difusos para el control de procesos no implica conocimiento de los modelos de estos procesos. Sólo es necesario formular las reglas de comportamiento en forma de proposiciones condicionales difusas del tipo “SI-ENTONCES”.

Figura 2.1 -. Estructura de un sistema de control difuso.

El proceso de control del sistema está directamente relacionado con la variable de salida del sistema de control difuso, pero el resultado de la inferencia lógica difusa es difuso y el actuador físico no es capaz de percibir tal comando. Se necesitan métodos matemáticos especiales para hacer posible pasar de valores de cantidades difusos a valores bien definidos. En general, todo el proceso de control difuso se puede dividir en varias etapas: fusificación, desarrollo de reglas difusas y defusificación.

La borrosidad implica una transición a la vaguedad. En esta etapa, los valores exactos de las variables de entrada se convierten en valores de variables lingüísticas aplicando algunas disposiciones de la teoría de conjuntos difusos, es decir, utilizando ciertas funciones de pertenencia.

En lógica difusa, los valores de cualquier cantidad no están representados por números, sino por palabras del lenguaje natural y se denominan "términos". Por tanto, el valor de la variable lingüística "Distancia" son los términos "Lejos", "Cerca", etc. Para implementar una variable lingüística, es necesario determinar los valores físicos exactos de sus términos. Digamos que la variable “Distancia” puede tomar cualquier valor en el rango de 0 a 60 metros. Según lo establecido en la teoría de conjuntos difusos, cada valor de distancia dentro de un rango de 60 metros puede asociarse a un número determinado, de cero a uno, que determina el grado en que un determinado valor de distancia física (por ejemplo, 10 metros ) pertenece a uno u otro término de la variable lingüística “Distancia”. Entonces a una distancia de 50 metros se le puede asignar un grado de pertenencia al término “Lejos” igual a 0,85, y al término “Cerca” igual a 0,15. Cuando se pregunta cuántos términos en una variable se necesitan para una representación suficientemente precisa de una cantidad física, generalmente se acepta que de 3 a 7 términos por variable son suficientes para la mayoría de las aplicaciones. La mayoría de las aplicaciones se agotan por completo al utilizar un número mínimo de términos. Esta definición contiene dos valores extremos (mínimo y máximo) y un promedio. En cuanto al número máximo de términos, no está limitado y depende enteramente de la aplicación y de la precisión requerida de la descripción del sistema. El número 7 está determinado por la capacidad de la memoria a corto plazo de una persona, que, según las ideas modernas, puede almacenar hasta siete datos.

La pertenencia de cada valor exacto a uno de los términos de la variable lingüística se determina mediante una función de pertenencia. Su forma puede ser absolutamente arbitraria, pero se ha formado el concepto de las llamadas funciones de membresía estándar.

Figura 2.2 - Funciones de membresía estándar

Las funciones de membresía estándar son fácilmente aplicables para resolver la mayoría de los problemas. Sin embargo, si tiene que resolver un problema específico, puede elegir una forma más adecuada de la función de membresía y puede lograr mejores resultados de rendimiento del sistema que cuando utiliza funciones de la forma estándar.

La siguiente etapa es la etapa de desarrollo de reglas difusas.

Define reglas de producción que conectan variables lingüísticas. La mayoría de los sistemas difusos utilizan reglas de producción para describir dependencias entre variables lingüísticas. Una regla de producción típica consta de un antecedente (parte SI...) y un consecuente (ENTONCES parte...). Un antecedente puede contener más de una premisa. En este caso, se combinan mediante conectivos lógicos “Y” u “O”.

El proceso de calcular una regla difusa se llama inferencia difusa y se divide en dos etapas: generalización y conclusión.

Sea la siguiente regla:

SI “Distancia” = media Y “Ángulo” = pequeño, ENTONCES “Potencia” = media.

En el primer paso de la inferencia lógica, es necesario determinar el grado de pertenencia de todo el antecedente de la regla. Para ello, existen dos operadores en lógica difusa: Min(…) y Max(…). El primero calcula el valor mínimo del grado de afiliación y el segundo calcula el valor máximo. Cuándo utilizar uno u otro operador depende de con qué tipo de conectivo estén conectadas las premisas de la regla. Si se utiliza el conector “Y”, se utiliza el operador Min(…). Si las premisas están combinadas por el conectivo “O”, es necesario utilizar el operador Max(…). Bueno, si la regla tiene una sola premisa, los operadores no son necesarios en absoluto.

El siguiente paso es la conclusión o conclusión real. De la misma forma, el valor del consecuente se calcula utilizando los operadores Min/Max. Los datos iniciales son los valores de los grados de pertenencia de los antecedentes de las reglas calculados en el paso anterior.

Después de realizar todos los pasos de inferencia difusa, encontramos el valor difuso de la variable de control. Para que el actuador pueda procesar el comando recibido, es necesaria una etapa de control, en la que eliminamos la borrosidad y que se llama defuzzificación.

En la etapa de defusificación, se realiza una transición de valores difusos de cantidades a ciertos parámetros físicos que pueden servir como comandos para el actuador.

El resultado de una inferencia difusa será, por supuesto, confuso. Por ejemplo, si estamos hablando de controlar un mecanismo y el comando para el motor eléctrico estará representado por el término "Promedio" (potencia), entonces para el actuador esto no significa absolutamente nada. En la teoría de conjuntos difusos, el procedimiento de defusificación es similar a encontrar las características de la posición (expectativa matemática, moda, mediana) de variables aleatorias en la teoría de la probabilidad. La forma más sencilla de realizar el procedimiento de defusificación es seleccionar un número claro correspondiente al máximo de la función de membresía. Sin embargo, la idoneidad de este método está limitada únicamente por funciones de membresía extremas. Para eliminar la vaguedad del resultado final, existen varios métodos: el método del centro máximo, el método del valor más grande, el método del centroide y otros. Para funciones de pertenencia multiextremales, la desdifusificación se utiliza con mayor frecuencia encontrando el centro de gravedad de una figura plana delimitada por los ejes de coordenadas y la función de pertenencia.

2.3. Modelos de inferencia difusa

La inferencia lógica difusa es una aproximación de la relación “entrada-salida” basada en declaraciones lingüísticas como “SI-ENTONCES” y operaciones en conjuntos difusos. El modelo difuso contiene los siguientes bloques:

- fuzzificador que transforma un vector fijo de factores influyentes X en un vector de conjuntos difusos , necesario para realizar inferencias lógicas difusas;

‒ base de conocimiento difusa que contiene información sobre la dependencia
en forma de reglas lingüísticas como “SI-ENTONCES”;

‒ una máquina de inferencia lógica difusa que, basándose en las reglas de la base de conocimientos, determina el valor de la variable de salida en forma de un conjunto difuso , correspondiente a los valores difusos de las variables de entrada ;

‒ defuzzificador que transforma el conjunto difuso de salida a un número Y claro.

Figura 2.3 – Estructura de un modelo difuso.

2.3.1 Modelo difuso de tipo Mamdani

Este algoritmo describe varias etapas ejecutadas secuencialmente. En este caso, cada etapa posterior recibe como entrada los valores obtenidos en el paso anterior.

Figura 2.4 – Diagrama de actividad del proceso de inferencia difusa

El algoritmo destaca por el hecho de que funciona según el principio de "caja negra". Los valores cuantitativos se reciben como entrada y lo mismo que como salida. En las etapas intermedias se utilizan los aparatos de lógica difusa y la teoría de conjuntos difusos. Ésta es la elegancia de utilizar sistemas difusos. Puede manipular datos numéricos familiares, pero al mismo tiempo utilizar las capacidades flexibles que proporcionan los sistemas de inferencia difusa.

En un modelo tipo Mamdani, la relación entre las entradas X = (x 1, x 2,…, x n) y la salida y está determinada por una base de conocimiento difusa del siguiente formato:

,

Dónde
- término lingüístico que evalúa la variable x i en el número de línea
;
), Dónde - el número de líneas de conjunción en las que la salida evaluado por término lingüístico ;
- número de términos utilizados para la evaluación lingüística de la variable de salida .

Usando las operaciones ∪(OR) y ∩(AND), la base de conocimiento difuso se puede reescribir en una forma más compacta:

(1)

Todos los términos lingüísticos de la base de conocimientos (1) se representan como conjuntos difusos definidos por las funciones de membresía correspondientes.

La base de conocimiento difuso (1) puede interpretarse como una determinada partición del espacio de factores influyentes en subregiones con límites borrosos, en cada una de las cuales la función de respuesta toma el valor especificado por el conjunto difuso correspondiente. Una regla en la base de conocimientos es un "coágulo de información" que refleja una de las características de la relación "entrada-salida". Se puede considerar que estos “grupos de información rica” o “gránulos de conocimiento” son análogos a la codificación verbal que los psicólogos han descubierto que ocurre en el cerebro humano durante el aprendizaje. Por lo tanto, aparentemente, la formación de una base de conocimientos difusa en un área temática específica, por regla general, no es difícil para un experto.

Introduzcamos la siguiente notación:

- función de membresía de entrada término difuso
,
aquellos

- función de pertenencia de la salida y al término difuso
, es decir.

Grado de pertenencia del vector de entrada.
términos confusos de la base de conocimientos (1) está determinada por el siguiente sistema de ecuaciones lógicas difusas:

Las siguientes implementaciones se utilizan con mayor frecuencia: para la operación O, encontrar el máximo, para la operación Y, encontrar el mínimo.

El conjunto difuso correspondiente al vector de entrada X* se define de la siguiente manera:

donde imp es una implicación, generalmente implementada como la operación de encontrar el mínimo; agg: agregación de conjuntos difusos, que se implementa con mayor frecuencia mediante la operación de encontrar el máximo.

Borrar valor de salida , correspondiente al vector de entrada
, se determina como resultado de la defusificación del conjunto difuso . El método de defusificación más utilizado es el método del centro de gravedad:

Los modelos del tipo Mamdani y del tipo Sugeno serán idénticos cuando las conclusiones de las reglas estén dadas por números claros, es decir, si:

1) los términos d j de la variable de salida en un modelo tipo Mamdani se especifican mediante singletons, análogos difusos de números nítidos. En este caso, los grados de pertenencia de todos los elementos del conjunto universal son iguales a cero, con excepción de uno con un grado de pertenencia igual a uno;

2) las conclusiones de las reglas en la base de conocimientos del modelo tipo Sugeno se especifican mediante funciones en las que todos los coeficientes de las variables de entrada son iguales a cero.

2.3.2 Modelo difuso de tipo Sugeno

Hoy en día existen varios modelos de control difuso, uno de los cuales es el modelo Takagi-Sugeno.

El modelo Takagi-Sugeno a veces se denomina Takagi-Sugeno-Kang. La razón es que este tipo de modelo difuso fue propuesto originalmente por Takagi y Sugeno. Sin embargo, Kang y Sugeno han realizado un trabajo excelente en la identificación de modelos difusos. De ahí viene el nombre del modelo.

En un modelo tipo Sugeno, la relación entre entradas
y la salida y viene dada por una base de conocimiento difusa de la forma:

Dónde - algunos números.

La base de conocimientos (3) es similar a (1) excepto por las conclusiones de las reglas. , que no se especifican mediante términos difusos, sino mediante una función lineal de las entradas:

,

Por tanto, la base de conocimiento en un modelo tipo Sugeno es híbrida: sus reglas contienen premisas en forma de conjuntos difusos y conclusiones en forma de una función lineal clara. La base de conocimientos (3) puede interpretarse como una determinada partición del espacio de factores que influyen en subáreas difusas, en cada una de las cuales el valor de la función de respuesta se calcula como una combinación lineal de entradas. Las reglas son una especie de cambios de una ley lineal de “entrada-salida” a otra, también lineal. Los límites de las subregiones son borrosos, por lo tanto, se pueden cumplir varias leyes lineales simultáneamente, pero con pesos diferentes. Valor de salida resultante definido como una superposición de dependencias lineales cumplidas en un punto dado
Espacio factorial n-dimensional. Podría ser un promedio ponderado

,

o suma ponderada

.

Valores
se calculan como para el modelo tipo Mamdani, es decir, según la fórmula (2). Tenga en cuenta que en el modelo de Sugeno, el OR probabilístico y la multiplicación se suelen utilizar como operaciones ˄ y ˅, respectivamente. En este caso, un modelo difuso del tipo Sugeno puede considerarse como una clase especial de redes neuronales de alimentación directa multicapa, cuya estructura es isomorfa a la base de conocimientos. Estas redes se denominan neurodifusas.

Conferencia número 1

lógica difusa

1. El concepto de lógica difusa.
2. Operaciones con conjuntos difusos.
3. Variable lingüística.
4. Número difuso.

1. 1. Concepto de lógica difusa

La lógica difusa es una lógica de valores múltiples que permite determinar valores intermedios para estimaciones generalmente aceptadas como sí|no, verdadero|falso, negro|blanco etc. Expresiones como ligeramente cálido o bastante frio pueden formularse matemáticamente y procesarse en computadoras. La lógica difusa apareció en 1965 en las obras de Lotfi A. Zadeh ( Lotfi A. Zadeh), profesor de ingeniería en la Universidad de California, Berkeley.

Teoría matemática de conjuntos difusos propuesta por L.Zade Hace más de un cuarto de siglo, permite describir conceptos y conocimientos confusos, operar con estos conocimientos y sacar conclusiones confusas. Los métodos para construir sistemas informáticos difusos basados ​​​​en esta teoría amplían significativamente el alcance de las aplicaciones informáticas. Recientemente, el control difuso ha sido una de las áreas de investigación más activas y productivas en la aplicación de la teoría de conjuntos difusos. El control difuso es particularmente útil cuando los procesos tecnológicos son demasiado complejos para ser analizados utilizando métodos cuantitativos convencionales, o cuando las fuentes de información disponibles se interpretan de manera cualitativa, imprecisa o vaga. Se ha demostrado experimentalmente que el control difuso proporciona mejores resultados que los obtenidos con algoritmos de control convencionales. Los métodos difusos ayudan a controlar altos hornos y laminadores, automóviles y trenes, reconocer el habla y las imágenes y diseñar robots con el tacto y la visión. La lógica difusa, en la que se basa el control difuso, tiene un espíritu más cercano al pensamiento humano y a los lenguajes naturales que los sistemas lógicos tradicionales.

La lógica difusa es una rama de las matemáticas que constituye una nueva y poderosa tecnología.

La lógica difusa surgió como la forma más conveniente de construir sistemas de control para metros y procesos tecnológicos complejos, y también encontró aplicación en electrónica de consumo, diagnóstico y otros sistemas expertos. A pesar de que el aparato matemático de la lógica difusa se desarrolló por primera vez en los EE. UU., el desarrollo activo de este método comenzó en Japón y la nueva ola llegó nuevamente a los EE. UU. y Europa. En Japón, la lógica difusa sigue en auge y el número de patentes está aumentando exponencialmente, la mayoría de las cuales se relacionan con aplicaciones simples de control difuso.

Término difuso (inglés difuso, borroso - pronunciado " difuso") se ha convertido en una palabra clave en el mercado. Los artículos sobre electrónica sin componentes borrosos fueron desapareciendo gradualmente y desaparecieron por completo, como si alguien hubiera cerrado el grifo. Esto muestra cuán popular se ha vuelto la lógica difusa; Incluso había papel higiénico con las palabras "Fuzzy Logic" impresas.

En Japón, la investigación sobre lógica difusa ha recibido un amplio apoyo financiero. En Europa y Estados Unidos, los esfuerzos se dirigieron a cerrar la enorme brecha con los japoneses. Por ejemplo, la agencia de investigación espacial NASA empezó a utilizar la lógica difusa en las maniobras de atraque.

Por tanto, la lógica difusa básicamente proporciona un medio eficaz para representar las incertidumbres e imprecisiones del mundo real. La presencia de medios matemáticos para reflejar la vaguedad de la información inicial nos permite construir un modelo adecuado a la realidad.

2. Operaciones con conjuntos difusos

Definición y características principales

conjuntos difusos

conjunto difuso(conjunto difuso) es una colección de elementos de naturaleza arbitraria, de los cuales es imposible decir con seguridad si estos elementos tienen alguna propiedad característica que se utiliza para definir un conjunto difuso.

Dejar mi- conjunto universal, incógnita - elemento mi, A R- alguna propiedad. Subconjunto regular (crujiente) A conjunto universal mi, cuyos elementos satisfacen la propiedad R, se define como el conjunto de pares ordenados A = (μ A ( incógnita)/incógnita} , Dónde

µA ( incógnita) - función característica, tomando el valor 1 , Si incógnita satisface la propiedad R, Y 0 - de lo contrario.

Un subconjunto difuso se diferencia de un subconjunto regular en que los elementos incógnita de mi no hay una respuesta clara "No precisamente" con respecto a la propiedad R. En este sentido, el subconjunto difuso A conjunto universal mi se define como el conjunto de pares ordenados A = (μ A ( incógnita)/incógnita} , Dónde

µA ( incógnita) - función de membresía característica(o simplemente una función de membresía) que toma valores en algún conjunto bien ordenado METRO(Por ejemplo, m =). La función de membresía indica grado(o nivel) de membresía del elemento incógnita subconjunto A. Muchos METRO llamado muchos accesorios. Si METRO = (0,1), entonces el subconjunto difuso A Puede considerarse como un conjunto ordinario o nítido.

Ejemplos de escritura de un conjunto difuso

Dejar mi = ( x1, x2, x3, x4, x5 } , m = ; A es un conjunto difuso para el cual

µ A ( incógnita 1)=0,3;

µ A ( incógnita 2)=0;

µ A ( incógnita 3)=1;

µ A ( incógnita 4)=0,5;

µ A ( incógnita 5)=0,9.

Entonces A se puede representar como:

A = {0,3/incógnita 1 ; 0/incógnita 2 ; 1/incógnita 3 ; 0,5/incógnita 4 ; 0,9/incógnita 5 } o

A = 0,3/incógnita 1 + 0/incógnita 2 + 1/incógnita 3 + 0,5/incógnita 4 + 0,9/incógnita 5 , o

Comentario. Aquí está el cartel " + "No es una designación para la operación de suma, sino que tiene el significado de unión.

Características básicas de los conjuntos difusos.

Dejar m = Y A- conjunto difuso con elementos del conjunto universal mi y muchos accesorios METRO.

Magnitud µA ( incógnita) llamado altura conjunto difuso A. conjunto difuso A Bien , si su altura es 1 , es decir. el límite superior de su función de membresía es 1 (µA ( incógnita)=1 ). En µA ( incógnita) <1 el conjunto difuso se llama subnormal .

conjunto difuso vacío, Si µ A ( incógnita)=0. Un conjunto subnormal no vacío se puede normalizar mediante la fórmula A ( incógnita) = .

conjunto difuso unimodal , Si µA ( incógnita)=1 solo en uno incógnita de e.

Transportador conjunto difuso A es un subconjunto ordinario con la propiedad µA ( incógnita)>0 , es decir. transportador A = (x/μ A ( incógnita)>0} , incógnitami.

Elementos incógnitami, para lo cual µA ( incógnita)=0,5 son llamados puntos de transición conjuntos A.

Ejemplos de conjuntos difusos

1) dejar mi=(0,1,2,...,10), M =. conjunto difuso "alguno" se puede definir de la siguiente manera: " alguno" = 0,5/3+0,8/4+1/5+1/6+0,8/7+0,5/8; sus características: altura = 1 , transportador= {3,4,5,6,7,8}, puntos de transición - {3,8}.

2) dejar mi = ( 0,1,2,3,...,norte ,...}. Conjunto difuso " pequeño"se puede definir:

"pequeño" = .

3) dejar mi= (1,2,3,...,100) y corresponde al concepto " edad"entonces el conjunto difuso" joven", se puede definir usando

4) Conjunto difuso " joven"en el conjunto universal MI" ={Ivanov, Petrov, Sidorov,...) se especifica utilizando la función de membresía µ " joven" (incógnita) en mi= (1,2,3,..100) (edad), llamado en relación con MI" función de compatibilidad, mientras que:

µ "joven" (Sidorov)= µ "joven " (incógnita), Dónde incógnita - La edad de Sidorov.

5) dejar mi = {Zaporozhets, Lada, Mercedes,....) - muchas marcas de automóviles, y MI"= , formando una función de pertenencia vectorial { µ A(x1), µ A(x2),... µ A(x9)}.

En directo Los métodos también utilizan métodos directos de grupo, cuando, por ejemplo, a un grupo de expertos se le presenta una persona específica y todos deben dar una de dos respuestas: " este hombre es calvo" o "esta persona no es calva", entonces el número de respuestas afirmativas dividido por el número total de expertos da el valor µ "calvo" (de esta persona). (En este ejemplo, puedes actuar a través de la función de compatibilidad, pero luego tendrás que contar el número de pelos de la cabeza de cada persona presentada al experto).

Indirecto Los métodos para determinar los valores de la función de pertenencia se utilizan en los casos en que no existen propiedades elementales mensurables a través de las cuales se determina el conjunto difuso que nos interesa. Normalmente, se trata de métodos de comparación por pares. Si conociéramos los valores de las funciones de membresía, por ejemplo, µ A(xyo) = yo , i =1,2,...,norte , entonces las comparaciones por pares se pueden representar mediante una matriz de relaciones A = {un ij ), Dónde un ij =w i / w j (operación de división).

En la práctica, el propio experto forma la matriz. A, se supone que los elementos diagonales son iguales a 1, y para elementos simétricos con respecto a la diagonal un ij = 1/a ij , es decir. Si un elemento es n veces más fuerte que otro, entonces este último debe ser 1/n veces más fuerte que el primero. En el caso general, el problema se reduce a encontrar el vector. w , satisfaciendo una ecuación de la forma A w = λmáx w , donde λ max es el valor propio más grande de la matriz A. Desde la matriz A es positivo por construcción, existe una solución a este problema y es positiva.

Ejemplo. Consideremos el conjunto difuso A correspondiente al concepto de “pequeño flujo de refrigerante”. Objeto x - flujo de refrigerante, x0; x max es el conjunto de valores físicamente posibles de la tasa de cambio de temperatura. Al experto se le presentan varios valores del caudal de refrigerante x y se le pregunta: ¿con qué grado de confianza 0 ≤ μ A (x) ≤ 1 cree el experto que este caudal de refrigerante x es pequeño? Cuando μ A (x) = 0, el experto está absolutamente seguro de que el flujo de refrigerante x es pequeño. Cuando μ A (x) = 1, el experto está absolutamente seguro de que el flujo de refrigerante x no puede clasificarse como pequeño.

Operaciones sobre conjuntos difusos

Habilitando .

Dejar A Y B- conjuntos difusos en el conjunto universal E.

Dicen que A contenido en B, Si .

Designación: .

A veces el término " dominio", es decir, en el caso de que A Ì B, dicen que B domina A.

Igualdad .

A Y B son iguales si " incógnita Î mi metroA(incógnita) = metroB (incógnita).

Designación: A = B.

Suma.

Sea M = , A Y B- conjuntos difusos definidos en mi. A Y B complementarse si

" incógnita Î mi metroA(incógnita) = 1 - metroB ( incógnita).

Designación: o.

Obviamente. (Adición definida para METRO= , pero es obvio que se puede definir para cualquier orden METRO).

Intersección .

AÇ B- el subconjunto difuso más grande contenido simultáneamente en A Y B.

metroAÇ B( incógnita) = mín(metroA(incógnita), metroB ( incógnita)).

Asociación.

AÈ EN- el subconjunto difuso más pequeño, incluidos ambos A, entonces EN, con función de membresía:

metroAÈ B( incógnita) = máx(metroA(incógnita), metroB ( incógnita)).

Diferencia.

A - B = AÇ con función de membresía:

metroAB(incógnita) = metroAÇ (incógnita) = mín(metroA(incógnita), 1 - metroB ( incógnita)).

Suma disyuntiva.

AÅ B = (A-B)È (B-A) = (AÇ ) È (Ç B) con función de membresía:

metroAB(incógnita) = máx(; )

Ejemplos.

A = 0,4/ incógnita 1 + 0,2/ incógnita 2 +0/ incógnita 3 +1/ incógnita 4 ;

B = 0,7/ incógnita 1 +0,9/ incógnita 2 +0,1/ incógnita 3 +1/ incógnita 4 ;

do = 0,1/ incógnita 1 +1/ incógnita 2 +0,2/ incógnita 3 +0,9/ incógnita 4 .

AÌ B, es decir. A contenido en B o B domina A, CON incomparablemente ni con A, ni con B, es decir. pares ( A, C) Y ( A, C) - pares de conjuntos difusos no dominados.

0,6/ incógnita 1 + 0,8/incógnita 2 + 1/incógnita 3 + 0/incógnita 4 ;

0,3/incógnita 1 + 0,1/incógnita 2 + 0,9/incógnita 3 + 0/incógnita 4 .

AÇ B = 0,4/incógnita 1 + 0,2/incógnita 2 + 0/incógnita 3 + 1/incógnita 4 .

AÈ EN = 0,7/incógnita 1 + 0,9/incógnita 2 + 0,1/incógnita 3 + 1/incógnita 4 .

A-B = AÇ = 0,3/incógnita 1 + 0,1/incógnita 2 + 0/incógnita 3 + 0/incógnita 4 ;

B-A =Ç EN = 0,6/incógnita 1 + 0,8/incógnita 2 + 0,1/incógnita 3 + 0/incógnita 4 .

AÅ EN = 0,6/incógnita 1 + 0,8/incógnita 2 + 0,1/incógnita 3 + 0/incógnita 4 .

Representación visual de operaciones en conjuntos difusos.

Para conjuntos difusos, puede crear una representación visual. Consideremos un sistema de coordenadas rectangular, en cuyo eje de ordenadas se trazan los valores. metroA(incógnita) , los elementos están ubicados en el eje de abscisas en orden aleatorio mi(ya hemos utilizado esta representación en ejemplos de conjuntos difusos). Si mi es de naturaleza ordenada, entonces es deseable preservar este orden en la disposición de los elementos en el eje x. Esta representación aclara las operaciones simples en conjuntos difusos.

En la parte superior de la figura la parte sombreada corresponde al conjunto difuso A y, para ser precisos, representa el rango de valores A y todos los conjuntos difusos contenidos en A. En la parte inferior - dado, AÇ , AÈ .

Propiedades de las operaciones È y Ç.

Dejar A, B, C- conjuntos difusos, entonces se satisfacen las siguientes propiedades:

Conmutatividad;

asociatividad;

Idempotencia;

Distributividad;

AÈÆ = Un, Dónde Æ - conjunto vacío, es decir. mÆ(x) = 0" >xÎ mi;

AÇ E=A, Dónde mi- conjunto universal;

Los teoremas de De Morgan.

A diferencia de los conjuntos nítidos, para conjuntos difusos en el caso general:

Comentario. Las operaciones introducidas anteriormente en conjuntos difusos se basan en el uso de las operaciones máximo Y mín.. En la teoría de conjuntos difusos se desarrollan cuestiones de construcción de operadores de intersección, unión y suma generalizados y parametrizados, que permiten tener en cuenta los diversos matices semánticos de los conectivos correspondientes " Y", "o", "No".

Distancia entre conjuntos difusos

Dejar A Y B- subconjuntos difusos del conjunto universal mi. Introduzcamos el concepto de distancia r( A, B) entre conjuntos difusos. Al ingresar una distancia, generalmente se cumplen los siguientes requisitos:

r( A, B) ³ 0 - no negatividad;

r( A, B) = r( B, A) - simetría;

r( A, B) < r(A, C) + r( C, B).

A estos tres requisitos podemos añadir un cuarto: r( Una, una) = 0.

Distancia euclidiana o cuadrática:

mi( A,B) = , mi( A,B)Î.

Pasemos a índices de borrosidad o indicadores de desenfoque conjuntos difusos.

Si el objeto incógnita tiene la propiedad R (generando un conjunto difuso A) sólo en una medida particular, es decir

0< metroA(incógnita) <1, то внутренняя неопределенность, двусмысленность объекта incógnita acerca de R se manifiesta en el hecho de que, aunque en diversos grados, pertenece a dos clases opuestas a la vez: la clase de objetos “que poseen la propiedad R", y la clase de objetos "que no tienen la propiedad R". Esta ambigüedad es máxima cuando los grados de pertenencia de un objeto a ambas clases son iguales, es decir metroA(incógnita) = (incógnita) = 0,5, y es mínimo cuando el objeto pertenece a una sola clase, es decir, o metroA(incógnita) = 1 y (incógnita) = 0, o metroA(incógnita) = 0 y (incógnita) = 1.

3. Variable lingüística

En lógica difusa, los valores de cualquier cantidad no están representados por números, sino por palabras del lenguaje natural y se denominan TÉRMINOS. Así, el significado de la variable lingüística DISTANCIA son los términos LEJOS, CERCA, etc.

Por supuesto, para implementar una variable lingüística es necesario determinar los significados físicos exactos de sus términos. Supongamos, por ejemplo, que la variable DISTANCIA tome cualquier valor del rango de 0 a 60 metros. ¿Qué debemos hacer? Según lo establecido por la teoría de conjuntos difusos, cada valor de distancia a partir de un rango de 60 metros puede asociarse a un número determinado, de cero a uno, que determina el GRADO DE Afiliación de un valor de distancia física determinado (por ejemplo, 10 metros) a uno u otro término de la variable lingüística DISTANCIA. En nuestro caso, una distancia de 50 metros se puede establecer con un grado de pertenencia al término FAR igual a 0,85 y al término CLOSE - 0,15. Una determinación específica del grado de membresía sólo es posible cuando se trabaja con expertos. Cuando se discute la cuestión de los términos de una variable lingüística, es interesante estimar cuántos términos totales de la variable son necesarios para una representación suficientemente precisa de la cantidad física. El consenso actual es que de 3 a 7 términos por variable son suficientes para la mayoría de las aplicaciones. El valor mínimo del número de términos está bastante justificado. Esta definición contiene dos valores extremos (mínimo y máximo) y un promedio. Para la mayoría de aplicaciones esto es suficiente. En cuanto al número máximo de términos, no está limitado y depende enteramente de la aplicación y de la precisión requerida de la descripción del sistema. El número 7 está determinado por la capacidad de la memoria a corto plazo de una persona, que, según las ideas modernas, puede almacenar hasta siete datos.

El concepto de variables difusas y lingüísticas se utiliza para describir objetos y fenómenos mediante conjuntos difusos.

variable difusa caracterizado por tres<α, X, A>, Dónde

α - nombre de la variable,

X es un conjunto universal (dominio α),

A es un conjunto difuso en X que describe restricciones (es decir, μ A ( incógnita)) a los valores de la variable difusa α.

Variable lingüística llamado un conjunto<β ,T,X,G,M>, Dónde

β - nombre de la variable lingüística;

T es el conjunto de sus valores (conjunto de términos), que son los nombres de variables difusas, cuyo dominio de definición de cada uno de ellos es el conjunto X.

El conjunto T se denomina conjunto de términos básicos de la variable lingüística;

G es un procedimiento sintáctico que permite operar con elementos del conjunto de términos T, en particular, para generar nuevos términos (valores). El conjunto TÈ G(T), donde G(T) es el conjunto de términos generados, se denomina conjunto de términos extendidos de una variable lingüística;

M es un procedimiento semántico que permite convertir cada nuevo valor de una variable lingüística generada por el procedimiento G en una variable difusa, es decir forman el conjunto difuso correspondiente.

Comentario. Para evitar una gran cantidad de caracteres

el símbolo β se utiliza tanto para el nombre de la variable como para todos sus valores;

use el mismo símbolo para indicar un conjunto difuso y su nombre, por ejemplo el término " joven", que es el valor de la variable lingüística β = " edad", al mismo tiempo también hay un conjunto difuso M (" joven").

Asignar múltiples significados a los símbolos supone que el contexto permite resolver posibles ambigüedades.

Ejemplo: Deje que un experto determine el espesor de un producto fabricado utilizando los conceptos " espesor fino", "espesor promedio" Y " gran espesor", siendo el espesor mínimo de 10 mm y el máximo de 80 mm.

Tal descripción se puede formalizar utilizando la siguiente variable lingüística< β, T, X, G, M>, Dónde

β - espesor del producto;

T - (" espesor fino", "espesor promedio", "gran espesor"};

G - el procedimiento para formar nuevos términos utilizando conectivos " Y", "o" y modificadores como " Muy", "No", "levemente" y otros. Por ejemplo: " espesor pequeño o mediano", "espesor muy fino"etc.;

M - procedimiento para especificar subconjuntos difusos A 1 =" en X = espesor fino", un 2 = "espesor promedio", A 3 =" gran espesor", así como conjuntos difusos para términos de G(T) de acuerdo con las reglas de traducción de conectivos difusos y modificadores " Y", "o", "No", "Muy", "levemente"y otras operaciones sobre conjuntos difusos de la forma: A Ç B, AÈ B, CON A = A 2, DIL A = A 0.5, etc.

Comentario. Junto con los valores básicos de la variable lingüística comentados anteriormente " espesor"(T=(" espesor fino", "espesor promedio", "gran espesor")) los valores son posibles dependiendo del dominio de definición de X. En este caso, los valores de la variable lingüística "espesor del producto" se pueden definir como " unos 20mm", "unos 50mm", "unos 70mm", es decir, en la forma números borrosos.

Continuación del ejemplo:

Funciones de membresía de conjuntos difusos:

"pequeño espesor"= Un 1, " espesor promedio"=Un 2," gran espesor"= Un 3.

Función de membresía:

conjunto borroso" espesor pequeño o mediano" = Un 1 ? Un 1 .

4. Número difuso

Números difusos - variables difusas definidas en el eje numérico, es decir un número difuso se define como un conjunto difuso A sobre el conjunto de números reales R con función de pertenencia m A ( incógnita)О, donde incógnita- número real, es decir incógnitaÎ r.

Número difuso A Bien , si μ A ( incógnita)=1, convexo , si para cualquier x≤y≤z μ A ( incógnita)≥ μ A ( y)∩ μ A ( z).

El subconjunto S A МR se llama transportador número difuso A, si

S = ( incógnita/μ A ( incógnita)>0}.

Número difuso A unimodal , si la condición m A ( incógnita) = 1 es válido sólo para un punto del eje real.

Un número difuso convexo A se llama cero difuso , Si

m un (0) = (m un ( incógnita)).

Número difuso A afirmativamente , Si " incógnitaÎ SA, incógnita>0 y negativo , Si " incógnitaÎ SA, incógnita<0.

Operaciones con números difusos

Las operaciones aritméticas binarias extendidas (suma, multiplicación, etc.) para números difusos se definen mediante las operaciones correspondientes para números nítidos utilizando el principio de generalización de la siguiente manera.

Sean A y B números difusos, y sea una operación difusa correspondiente a una operación con números ordinarios. Entonces

C = ABÛm C ( z)=(m A ( incógnita)Lm B ( y))).

C = Ûm C ( z)=(m A ( incógnita)Lm B ( y))),

C = Û metro C ( z)=(m A ( incógnita)Lm B ( y))),

C = Û metro C ( z)=(m A ( incógnita)L m B ( y))),

C = Û metro C ( z)=(m A ( incógnita)Lm B ( y))),

C = Û metro C ( z)=(m A ( incógnita)Lm B ( y))),

C = Û metro C ( z)=(m A ( incógnita)Lm B ( y))).

Comentario. Resolver problemas de modelado matemático de sistemas complejos utilizando el aparato de conjuntos difusos requiere realizar un gran volumen de operaciones con varios tipos de variables lingüísticas y otras variables difusas. Para facilitar la ejecución de las operaciones, así como para la entrada/salida y el almacenamiento de datos, es recomendable trabajar con funciones de membresía de tipo estándar.

Los conjuntos difusos, que deben utilizarse en la mayoría de los problemas, son, por regla general, unimodales y normales. Uno de los métodos posibles para aproximar conjuntos difusos unimodales es la aproximación utilizando funciones de tipo (L-R).

Referencias

1. Orlov a.i. Teoría de la decisión. Libro de texto / A.I. Orlov - M.: Editorial "Examen", 2005. - 656 p.

2. Borisov A. N., Kromberg O. A., Fedorov I. P. Toma de decisiones basada en modelos difusos: ejemplos de uso. - Riga: Zinatve, 1990. - 184 p.

3. Andreychikov A.V., Andreychikova O.N. Análisis, síntesis, planificación de decisiones en economía - M.: Finanzas y Estadística, 2000. - 368 p.

4. Conjuntos difusos en modelos de control e inteligencia artificial / Ed. D. A. Pospelova. - M.: Nauka, 1986. - 312 p.

5. Borosov A.N. Toma de decisiones basada en modelos difusos: Ejemplos de uso. Riga: Zinante, 1990.

6. Cuestiones de análisis y procedimientos de toma de decisiones / Ed. SI. Shakhnova. M.: Mir, 1976.

7. Kofman A. Introducción a la teoría de conjuntos difusos/Traducido del francés. M,: Radio y comunicación, 1982.

9. Lebesgue A. Sobre la medida de cantidades. - M.: Uchpedgiz, 1960. - 204 p.

10. Orlov a.i. Fundamentos de la teoría de conjuntos difusos (generalización del aparato de Zadeh). Tolerancias aleatorias. - En: Algoritmos para análisis estadístico multivariado y sus aplicaciones. - M.: Editorial TsEMI AN URSS, 1975. - P.169-175.

Epiménides de Knossos de la isla de Creta es un poeta y filósofo semimítico que vivió en el siglo VI. BC, una vez declaró: “¡Todos los cretenses son mentirosos!” Como él mismo era cretense, se le recuerda como el inventor de la llamada paradoja cretense.

En términos de la lógica aristotélica, en la que una afirmación no puede ser a la vez verdadera y falsa, y tales autonegaciones no tienen significado. Si son verdaderas entonces son falsas, pero si son falsas entonces son verdaderas.

Y aquí entra en juego la lógica difusa, donde las variables pueden ser miembros parciales de conjuntos. La verdad o la falsedad ya no son absolutas: las afirmaciones pueden ser en parte verdaderas y en parte falsas. El uso de este enfoque nos permite demostrar estrictamente matemáticamente que la paradoja de Epiménides es exactamente un 50% verdadera y un 50% falsa.

Por tanto, la lógica difusa es fundamentalmente incompatible con la lógica aristotélica, especialmente en lo que respecta a la ley Tertium non datur (“No se da ningún tercero” - latín), que también se llama ley de exclusión de la media1. Para decirlo brevemente, dice así: si una afirmación no es verdadera, entonces es falsa. Estos postulados son tan básicos que a menudo simplemente se dan por sentados.

Se puede dar un ejemplo más trivial de la utilidad de la lógica difusa en el contexto del concepto de frío. La mayoría de las personas son capaces de responder a la pregunta: "¿Tienes frío ahora?" En la mayoría de los casos (a menos que esté hablando con un estudiante de posgrado en física), la gente entiende que no estamos hablando de temperatura absoluta en la escala Kelvin. Aunque una temperatura de 0 K puede, sin duda, considerarse fría, muchos no considerarán fría una temperatura de +15 C.

Pero las máquinas no son capaces de realizar gradaciones tan finas. Si la definición estándar de frío es “temperatura inferior a +15 C”, entonces +14,99 C se considerará frío, pero +15 C no.

Teoría de conjuntos difusos

Veamos la figura. 1. Muestra una gráfica que te ayuda a entender cómo percibe una persona la temperatura. Una persona percibe una temperatura de +60 F (+12 C) como fría y una temperatura de +80 F (+27 C) como caliente. Las temperaturas de +65 F (+15 C) parecen frías para algunos, pero bastante cómodas para otros. A este grupo de definiciones lo llamamos función de pertenencia a conjuntos que describen la percepción subjetiva de la temperatura de una persona.

Es igual de fácil crear conjuntos adicionales que describan la percepción humana de la temperatura. Por ejemplo, puedes agregar conjuntos como “muy frío” y “muy caliente”. Es posible describir funciones similares para otros conceptos, como estados abierto y cerrado, temperatura del enfriador o temperatura de la torre del enfriador.

Es decir, los sistemas difusos se pueden utilizar como aproximador universal (promediador) para una clase muy amplia de sistemas lineales y no lineales. Esto no sólo hace que las estrategias de control sean más confiables en casos no lineales, sino que también permite el uso de evaluaciones de expertos para construir circuitos lógicos de computadora.

Operadores difusos

Para aplicar álgebra a valores difusos, es necesario determinar los operadores que se utilizarán. Normalmente, la lógica booleana utiliza solo un conjunto limitado de operadores, con la ayuda de los cuales se realizan otras operaciones: NOT (operador NOT), AND (operador AND) y OR (operador OR).

Se pueden dar muchas definiciones para estos tres operadores básicos, tres de las cuales se dan en la tabla. Por cierto, todas las definiciones son igualmente válidas para la lógica booleana (para comprobarlo, basta con sustituir 0 y 1 en ellas). En lógica booleana, FALSO equivale a 0 y VERDADERO equivale a 1. De manera similar, en lógica difusa, el grado de verdad puede variar de 0 a 1, por lo que el valor "Frío" es verdadero elevado a 0,1, y la operación NOT("Frío") dará el valor 0,9.

Puedes volver a la paradoja de Epiménides e intentar resolverla (matemáticamente se expresa como A = NOT(A), donde A es el grado de verdad del enunciado correspondiente). Si quieres un problema más desafiante, intenta resolver el problema del sonido de una palmada hecha con una mano...

Resolver problemas utilizando métodos de lógica difusa.

Sólo unas pocas válvulas son capaces de abrirse “sólo un poquito”. Al operar equipos se suelen utilizar valores claros (por ejemplo, en el caso de una señal bimodal 0-10 V), que se pueden obtener mediante la denominada “resolución de problemas de lógica difusa”. Este enfoque permite transformar el conocimiento semántico contenido en el sistema difuso en una estrategia de control implementable2.

Esto se puede hacer utilizando varias técnicas, pero para ilustrar el proceso en su conjunto, veamos sólo un ejemplo.

En el método de defusificación de altura, el resultado es la suma de los picos del conjunto difuso, calculada mediante pesos. Este método tiene varias desventajas, incluido el manejo deficiente de funciones de pertenencia a conjuntos no simétricos, pero tiene la ventaja de ser el método más fácil de entender.

Supongamos que el conjunto de reglas que regulan la apertura de la válvula nos da el siguiente resultado:

"Válvula parcialmente cerrada": 0,2

"Válvula parcialmente abierta": 0,7

"Válvula abierta": 0,3

Si utilizamos el método de defusificación de altura para determinar el grado de apertura de la válvula, obtendremos el resultado:

"Válvula cerrada": 0,1

(0,1*0% + 0,2*25% + 0,7*75% + 0,3*100%)/ /(0,1 + 0,2 + 0,7 + 0,3) =

= (0% + 5% + 52,5% + 30%)/(1,3) = = 87,5/1,3 = = 67,3%,

aquellos. la válvula debe abrirse al 67,3%.

Aplicación práctica de la lógica difusa

Cuando apareció por primera vez la teoría de la lógica difusa, en las revistas científicas se podían encontrar artículos sobre sus posibles áreas de aplicación. A medida que avanzaban los avances en este campo, el número de aplicaciones prácticas de la lógica difusa comenzó a crecer rápidamente. Esta lista sería demasiado larga en este momento, pero aquí hay algunos ejemplos que le ayudarán a comprender hasta qué punto se utiliza la lógica difusa en los sistemas de control y sistemas expertos3.

– Dispositivos para mantener automáticamente la velocidad de los vehículos y aumentar la eficiencia/estabilidad de los motores de los automóviles (empresas Nissan, Subaru).

Fundamentos de la teoría de conjuntos difusos y lógica difusa

Uno de los métodos para estudiar conjuntos sin especificar sus límites es la teoría de conjuntos difusos, propuesta en 1965 por el profesor Lotfi Zadeh de la Universidad de California. Fue desarrollado originalmente como un medio para modelar la incertidumbre en lenguaje natural. Sin embargo, posteriormente la gama de problemas resueltos utilizando el aparato de conjuntos difusos se ha ampliado significativamente y ahora incluye áreas tales como análisis de datos, reconocimiento, investigación operativa, modelado de sistemas complejos, soporte de decisiones, etc.

A menudo, al determinar y describir las características de los objetos, operan no solo con valores cuantitativos, sino también cualitativos. En particular, la altura de una persona se puede medir cuantitativamente en centímetros o se puede describir mediante valores cualitativos: enano, bajo, mediano, alto o gigante. La interpretación de los valores cualitativos es subjetiva, es decir. pueden ser interpretados de manera diferente por diferentes personas (sujetos). Debido a la vaguedad de los valores cualitativos, cuando es necesario pasar de ellos a valores cuantitativos, surgen ciertas dificultades.

En los sistemas construidos sobre la base de conjuntos difusos se utilizan reglas de la forma “SI A ENTONCES B” (A ® B), en las que tanto A (condición, premisa) como B (resultado, hipótesis) pueden incluir valores cualitativos. Por ejemplo, “SI Altura = “alto” ENTONCES Tipo_deporte = “baloncesto””.

Una variable cuyo valor está determinado por un conjunto de valores cualitativos de alguna propiedad se llama en teoría de conjuntos difusos lingüístico. La regla de ejemplo utiliza dos variables lingüísticas: altura y deporte.

Cada valor de una variable lingüística se determina mediante el llamado conjunto difuso. conjunto difuso determinado a través de alguna escala básica incógnita y función de membresía (función característica) m( incógnita), Dónde incógnita Î incógnita. Además, si en un conjunto de Cantor clásico un elemento pertenece al conjunto (m( incógnita) = 1), o no pertenece a (m( incógnita) = 0), entonces en la teoría de conjuntos difusos m( incógnita) puede tomar cualquier valor en el intervalo. Puede realizar operaciones estándar en conjuntos difusos: suma (negación), unión, intersección, diferencia, etc. (Fig. 33).

Para los conjuntos difusos también existen una serie de operaciones especiales: suma, multiplicación, concentración, expansión, etc.

Al especificar una variable lingüística, sus valores, es decir, conjuntos difusos, deben satisfacer ciertos requisitos (Fig. 34).

1. Orden. Los conjuntos difusos deben ordenarse (dispuestos en una escala básica) de acuerdo con el orden en que se especifican los valores cualitativos para una variable lingüística.

2. Limitado. Se debe definir claramente el alcance de la variable lingüística (se definen los valores mínimo y máximo de la variable lingüística en la escala base). En los límites del conjunto universal donde se define una variable lingüística, los valores de las funciones de pertenencia de sus conjuntos difusos mínimo y máximo deben ser la unidad. En la figura, T 1 tiene una función de membresía incorrecta y T 6 tiene la correcta.

3. Consistencia. Se debe observar una distinción natural entre conceptos (los valores de una variable lingüística) cuando un mismo punto del conjunto universal no puede pertenecer simultáneamente a m( incógnita) = 1 a dos o más conjuntos difusos (el requisito es violado por el par T 2 – T 3).

4. Integridad. Cada valor del dominio de definición de una variable lingüística debe ser descrito por al menos un conjunto difuso (el requisito se viola entre el par T 3 - T 4).

5. Normalidad. Cada concepto en una variable lingüística debe tener al menos una referencia u objeto típico, es decir, en algún momento la función de pertenencia de un conjunto difuso debe ser unitaria (el requisito es violado por T 5).

incógnita

Conjunto difuso “altura corta” m n ( incógnita)

0 20 40 60 80 100 110 120 140 160 incógnita

Conjunto difuso de “alto crecimiento” m en ( incógnita)

0 20 40 60 80 100 110 120 140 160 incógnita

D = N: Complemento del conjunto difuso “altura corta”

metro re ( incógnita) = 1 – metro norte ( incógnita)

0 20 40 60 80 100 110 120 140 160 incógnita

N È V: Combinando conjuntos difusos de “bajo crecimiento” y “alto crecimiento”

m nv ( incógnita) = máximo(metro norte ( incógnita), m en ( incógnita))

0 20 40 60 80 100 110 120 140 160 incógnita

N Ç V: Intersección de conjuntos difusos de “bajo crecimiento” y “alto crecimiento”

m nv ( incógnita) = mín.(metro norte ( incógnita), m en ( incógnita))

Arroz. 33. Operaciones sobre conjuntos difusos

metro( incógnita) T 1 T 2 T 3 T 4 T 5 T 6

Arroz. 34. Un ejemplo de especificación de conjuntos difusos para una variable lingüística con violación de requisitos

Los requisitos 2 a 4 pueden reemplazarse por uno universal: la suma de las funciones de membresía m( incógnita) para todos los conjuntos difusos en cada punto del dominio de definición de la variable debe ser igual a 1.

Cuando se procesan reglas con variables lingüísticas (reglas difusas), se utilizan reglas de lógica difusa para calcular la verdad de una hipótesis. lógica difusa– un tipo de lógica continua en la que las premisas, hipótesis y fórmulas lógicas mismas pueden tomar valores de verdad con cierto grado de probabilidad.

Principios básicos de la lógica difusa:

· la verdad de una premisa, hipótesis o fórmula reside en el intervalo;

· si dos premisas (E 1 y E 2) están conectadas por Ù (Y lógico), entonces la verdad de la hipótesis H se calcula mediante la fórmula t(H) = MIN(t(E 1), t(E 2)) ;

· si dos premisas (E 1 y E 2) están conectadas por Ú (OR lógico), entonces la verdad de la hipótesis H se calcula mediante la fórmula t(H) = MAX(t(E 1), t(E 2) );

· si la regla (P) tiene su propia estimación de verdad, entonces la verdad final de la hipótesis N total se ajusta teniendo en cuenta la verdad de la regla t(N total) = MIN(t(N), t(P)) .