Interpolación inversa en línea. Interpolación lineal

El tipo de interpolación local más simple y más comúnmente utilizado es interpolación lineal. Consiste en que los puntos dados ( incógnita i , y i) en ( yo = 0, 1, ..., norte) están conectados por segmentos rectos, y la función F(incógnita) se accede mediante una línea discontinua con vértices en estos puntos.

Las ecuaciones de cada segmento de la línea discontinua son generalmente diferentes. Como hay n intervalos ( incógnita i - 1, incógnita i), entonces para cada uno de ellos se utiliza como ecuación del polinomio de interpolación la ecuación de una línea recta que pasa por dos puntos. En particular, para el intervalo i-ésimo podemos escribir la ecuación de una línea recta que pasa por los puntos ( incógnita i -1, y i -1 ) Y ( incógnita i , y i), en la forma

y=a i x+b i , x i-1 xx i

un yo =

Por lo tanto, cuando se utiliza la interpolación lineal, primero debe determinar el intervalo en el que cae el valor del argumento x, luego sustituirlo en la fórmula (*) y encontrar el valor aproximado de la función en este punto.

Figura 3-3-Gráfico de interpolación lineal.

1. Resolver un problema profesional

Mantenemos datos experimentales.

ORIGEN:=0 Comienzo de la matriz de datos - contando desde cero

i:=1..6 Número de elementos en la matriz

Los datos experimentales se organizan en dos vectores.

Realicemos interpolación utilizando funciones integradas de MathCad

Interpolación lineal

Lf(x i):=linterp(x,y,x)

Interpolación de pino cúbico

CS:=cspline(x,y)

Construyendo un spline cúbico usando datos experimentales

Lf(x i):=linterp(x,y,xi)

Interpolación B-spline

Establezca el orden de interpolación. El vector u debe tener (n-1) menos elementos que el vector incógnita, y el primer elemento debe ser menor o igual que el primer elemento incógnita, y el último es mayor o igual que el último elemento de x.

BS:=bspline(x,y,u,n)

Construimos un B-spline basado en datos experimentales.

BSf(x i):=(BS, x,y,xi)

Construimos una gráfica de todas las funciones de aproximación en un plano de coordenadas.

Figura 4.1-Gráfica de todas las funciones de aproximación en un plano de coordenadas.

Conclusión

En matemáticas computacionales, la interpolación de funciones juega un papel importante, es decir Usando una función dada, construyendo otra función (generalmente más simple) cuyos valores coinciden con los valores de la función dada en un cierto número de puntos. Además, la interpolación tiene importancia tanto práctica como teórica. En la práctica, a menudo surge el problema de restaurar una función continua a partir de sus valores tabulados, por ejemplo, obtenidos durante algún experimento. Para evaluar muchas funciones, resulta que es eficaz aproximarlas mediante polinomios o funciones racionales fraccionarias. La teoría de la interpolación se utiliza en la construcción y estudio de fórmulas de cuadratura para la integración numérica, para obtener métodos de resolución de ecuaciones diferenciales e integrales. La principal desventaja de la interpolación polinomial es que es inestable en una de las cuadrículas más convenientes y comúnmente utilizadas: la cuadrícula con nodos equidistantes. Si la tarea lo permite, este problema se puede resolver eligiendo una malla con nodos de Chebyshev. Si no podemos elegir libremente los nodos de interpolación, o simplemente necesitamos un algoritmo que no sea demasiado exigente en la elección de los nodos, entonces la interpolación racional puede ser una alternativa adecuada a la interpolación polinómica.

Las ventajas de la interpolación spline incluyen la alta velocidad de procesamiento del algoritmo computacional, ya que spline es una función polinómica por partes y durante la interpolación se procesan simultáneamente datos para una pequeña cantidad de puntos de medición que pertenecen al fragmento que se está considerando actualmente. La superficie interpolada describe la variabilidad espacial de diferentes escalas y al mismo tiempo es suave. Esta última circunstancia permite analizar directamente la geometría y topología de la superficie mediante procedimientos analíticos.

Hay casos en los que es necesario conocer los resultados del cálculo de una función fuera del área conocida. Esta cuestión es especialmente relevante para el procedimiento de previsión. En Excel existen varias formas en las que puedes realizar esta operación. Veámoslos con ejemplos específicos.

Método 2: extrapolación para gráfico

Puede realizar un procedimiento de extrapolación para un gráfico trazando una línea de tendencia.

1. En primer lugar, construimos el gráfico en sí. Para hacer esto, use el cursor mientras mantiene presionado el botón izquierdo del mouse para seleccionar toda el área de la tabla, incluidos los argumentos y los valores de función correspondientes. Luego, pasando a la pestaña "Insertar", haga clic en el botón "Cronograma". Este icono está ubicado en el bloque. "Diagramas" en el cinturón de herramientas. Aparece una lista de opciones de gráficos disponibles. Elegimos el más adecuado a nuestro criterio.



2. Una vez construido el gráfico, elimine la línea de argumento adicional seleccionándola y haciendo clic en el botón Borrar en el teclado de la computadora.



3. A continuación, necesitamos cambiar las divisiones de la escala horizontal, ya que no muestra los valores de los argumentos como necesitamos. Para hacer esto, haga clic derecho en el diagrama y en la lista que aparece, seleccione el valor "Seleccionar datos".



4. En la ventana de selección de fuente de datos que se abre, haga clic en el botón "Cambiar" en el bloque de edición de etiquetas del eje horizontal.



5. Se abre la ventana para configurar la firma del eje. Coloque el cursor en el campo de esta ventana y luego seleccione todos los datos en la columna. "INCÓGNITA" sin su nombre. Luego haga clic en el botón "DE ACUERDO".



6. Luego de regresar a la ventana de selección de fuente de datos, repetimos el mismo procedimiento, es decir, hacemos clic en el botón "DE ACUERDO".



7. Ahora nuestro gráfico está preparado y podemos comenzar directamente a construir una línea de tendencia. Haga clic en el gráfico, después de lo cual se activará un conjunto adicional de pestañas en la cinta: "Trabajar con diagramas". Pasar a la pestaña "Disposición" y presione el botón "Línea de tendencia" en el bloque "Análisis". Haga clic en el artículo "Aproximación lineal" o "Aproximación exponencial".



8. Se ha añadido la línea de tendencia, pero está completamente debajo de la línea del propio gráfico, ya que no hemos especificado el valor del argumento al que debe tender. Para hacer esto, haga clic nuevamente en el botón. "Línea de tendencia", pero ahora seleccione el elemento "Opciones avanzadas de línea de tendencia".



9. Se abre la ventana de formato de línea de tendencia. en la sección "Opciones de línea de tendencia" hay un bloque de configuración "Pronóstico". Como en el método anterior, tomemos el argumento a favor de la extrapolación. 55 . Como podemos ver, hasta ahora el gráfico tiene una longitud hasta el argumento 50 inclusivo. Resulta que necesitaremos extenderlo por otro 5 unidades. En el eje horizontal puedes ver que 5 unidades equivalen a una división. Entonces este es un período. en el campo "Adelante" introduce el valor "1". Haga clic en el botón "Cerca" en la esquina inferior derecha de la ventana.



10. Como puede ver, el gráfico se ha ampliado en la longitud especificada utilizando la línea de tendencia.

Entonces, hemos considerado los ejemplos más simples de extrapolación para tablas y gráficos. En el primer caso se utiliza la función PREDICCIÓN, y en el segundo, la línea de tendencia. Pero basándose en estos ejemplos, se pueden resolver problemas de previsión mucho más complejos.

Este es un capítulo del libro de Bill Jelen.

Desafío: algunos problemas de diseño de ingeniería requieren el uso de tablas para calcular los valores de los parámetros. Dado que las tablas son discretas, el diseñador utiliza interpolación lineal para obtener un valor de parámetro intermedio. La tabla (Fig. 1) incluye la altura sobre el suelo (parámetro de control) y la velocidad del viento (parámetro calculado). Por ejemplo, si necesitas encontrar la velocidad del viento correspondiente a una altura de 47 metros, entonces debes aplicar la fórmula: 130 + (180 – 130) * 7 / (50 – 40) = 165 m/seg.

Descarga la nota en formato o, ejemplos en formato

¿Qué pasa si hay dos parámetros de control? ¿Es posible realizar cálculos utilizando una fórmula? La tabla (Fig. 2) muestra los valores de presión del viento para diferentes alturas y luces de estructuras. Se requiere calcular la presión del viento a una altura de 25 metros y una luz de 300 metros.

Solución: Resolvemos el problema ampliando el método utilizado para el caso con un parámetro de control. Siga estos pasos:

Comience con la tabla que se muestra en la Fig. 2. Agregue celdas de origen para la altura y el alcance en J1 y J2 respectivamente (Figura 3).

Arroz. 3. Las fórmulas de las celdas J3:J17 explican el funcionamiento de la megafórmula.

Para facilitar el uso de las fórmulas, defina los nombres (Fig. 4).

Observe cómo funciona la fórmula moviéndose secuencialmente desde la celda J3 a la celda J17.

Utilice sustitución secuencial inversa para construir la megafórmula. Copie el texto de la fórmula de la celda J17 a la J19. Reemplace la referencia a J15 en la fórmula con el valor en la celda J15: J7+(J8-J7)*J11/J13. Etcétera. El resultado es una fórmula de 984 caracteres que no se puede percibir de esta forma. Puedes consultarlo en el archivo Excel adjunto. No estoy seguro de que este tipo de megafórmula sea útil.

Resumen: la interpolación lineal se utiliza para obtener un valor de parámetro intermedio si los valores de la tabla se especifican solo para los límites del rango; Se propone un método de cálculo utilizando dos parámetros de control.

Este término tiene otros significados, consulte Interpolación. Sobre la función, ver: Interpolante.

Interpolación, interpolación (de lat. entre polis - « suavizado, renovado, renovado; convertido") - en matemáticas computacionales, un método para encontrar valores intermedios de una cantidad a partir de un conjunto discreto existente de valores conocidos. El término "interpolación" fue utilizado por primera vez por John Wallis en su tratado "La aritmética del infinito" (1656).

En análisis funcional, la interpolación de operadores lineales es una sección que trata los espacios de Banach como elementos de alguna categoría.

Muchos de quienes se ocupan de cálculos científicos y de ingeniería a menudo tienen que operar con conjuntos de valores obtenidos empíricamente o mediante muestreo aleatorio. Como regla general, basándose en estos conjuntos, es necesario construir una función en la que otros valores obtenidos puedan caer con alta precisión. Este problema se llama aproximación. La interpolación es un tipo de aproximación en la que la curva de la función construida pasa exactamente por los puntos de datos disponibles.

También existe una tarea cercana a la interpolación, que consiste en aproximar una función compleja por otra función más simple. Si una determinada función es demasiado compleja para realizar cálculos productivos, puede intentar calcular su valor en varios puntos y, a partir de ellos, construir, es decir, interpolar, una función más simple. Por supuesto, utilizar una función simplificada no producirá resultados tan precisos como la función original. Pero en algunas clases de problemas, la ganancia lograda en simplicidad y velocidad de los cálculos puede compensar el error resultante en los resultados.

También vale la pena mencionar un tipo completamente diferente de interpolación matemática conocida como interpolación de operadores. Los trabajos clásicos sobre interpolación de operadores incluyen el teorema de Riesz-Thorin y el teorema de Marcinkiewicz, que son la base de muchos otros trabajos.

Definiciones

Considere un sistema de puntos no coincidentes x i (\displaystyle x_(i)) (i ∈ 0 , 1 , … , N (\displaystyle i\in (0,1,\dots ,N))) de alguna región D ( \displaystyle D). Dejemos que los valores de la función f (\displaystyle f) se conozcan sólo en estos puntos:

Y yo = f (x yo), yo = 1,…, norte. (\displaystyle y_(i)=f(x_(i)),\quad i=1,\ldots ,N.)

El problema de interpolación consiste en encontrar una función F (\displaystyle F) de una clase dada de funciones tal que

F (x yo) = y yo, yo = 1,…, norte. (\displaystyle F(x_(i))=y_(i),\quad i=1,\ldots ,N.)

• Los puntos x i (\displaystyle x_(i)) se denominan nodos de interpolación, y su totalidad es cuadrícula de interpolación.
• Los pares (x i , y i) (\displaystyle (x_(i),y_(i))) se llaman puntos de datos o puntos base.
• La diferencia entre valores “vecinos” Δ x i = x i − x i − 1 (\displaystyle \Delta x_(i)=x_(i)-x_(i-1)) - paso de cuadrícula de interpolación. Puede ser variable o constante.
• Función F (x) (\displaystyle F(x)) - función de interpolación o interpolante.

Ejemplo

1. Tengamos una función de tabla, como la que se describe a continuación, que para varios valores de x (\displaystyle x) determina los valores correspondientes de f (\displaystyle f):

X (\displaystyle x) f (x) (\displaystyle f(x))

0
1	0,8415
2	0,9093
3	0,1411
4	−0,7568
5	−0,9589
6	−0,2794

La interpolación nos ayuda a saber qué valor podría tener dicha función en un punto distinto de los puntos especificados (por ejemplo, cuando incógnita = 2,5).

Hoy en día existen muchos métodos de interpolación diferentes. La elección del algoritmo más apropiado depende de las respuestas a las preguntas: qué tan preciso es el método elegido, cuál es el costo de usarlo, qué tan fluida es la función de interpolación, cuántos puntos de datos requiere, etc.

2. Encuentre el valor intermedio (mediante interpolación lineal).

6000	15.5
6378	?
8000	19.2

15,5 + (6378 − 6000) 8000 − 6000 ∗ (19,2 − 15,5) 1 = 16,1993 (\displaystyle ?=15,5+(\frac ((6378-6000))(8000-6000))*(\frac ((19,2- 15,5))(1))=16,1993)

En lenguajes de programación

Un ejemplo de interpolación lineal para la función y = 3 x + x 2 (\displaystyle y=3x+x^(2)) . El usuario puede ingresar un número del 1 al 10.

fortran

programa interpol entero i real x, y, xv, yv, yv2 dimensión x(10) dimensión y(10) llamar a prisv(x, i) llamar a func(x, y, i) escribir(*,*) "ingrese el número: " leer(*,*) xv si ((xv >= 1).y.(xv xv)) entonces yv2 = ((xv - x(i)) * (y(i+1) - y(i)) / (x(i+1) - x(i))) + y(i) finaliza si finaliza la subrutina

C++

int main() ( sistema("COLOR 0A"); doble ob, x1, x2, y1, y2, p1, p2, pi, skolko, estado; sistema("echo Interpolación X1 - X2 "); sistema("echo Enter número: "); cin >> ob; system("echo Por ejemplo 62, C1 = 60, L1 = 1.31, C2 = 80, L2 = 1.29"); cout > x1; cout > x2; cout > y1; cout > y2 ; p1 = y1 - x1; pi = p2 / p1 estado = x2 + (pi * skolko);

Métodos de interpolación

Interpolación del vecino más cercano

El método de interpolación más simple es el método de interpolación del vecino más cercano.

Interpolación por polinomios

En la práctica, la interpolación por polinomios se utiliza con mayor frecuencia. Esto se debe principalmente al hecho de que los polinomios son fáciles de calcular, sus derivadas son fáciles de encontrar analíticamente y el conjunto de polinomios es denso en el espacio de funciones continuas (teorema de Weierstrass).

• Interpolación lineal
• Fórmula de interpolación de Newton
• método de diferencias finitas
• IMN-1 y IMN-2
• Polinomio de Lagrange (polinomio de interpolación)
• esquema aitken
• función de línea
• spline cúbico

Interpolación inversa (calculando x dado y)

• Polinomio de Lagrange
• Interpolación inversa usando la fórmula de Newton
• Interpolación inversa usando la fórmula de Gauss

Interpolación de una función de varias variables.

• Interpolación bilineal
• interpolación bicúbica

Otros métodos de interpolación

• Interpolación racional
• Interpolación trigonométrica

Conceptos relacionados

• Extrapolación: métodos para encontrar puntos fuera de un intervalo determinado (extensión de curva)
• Aproximación: métodos para construir curvas aproximadas.

Interpolación inversa

sobre la clase de funciones del espacio C2 cuyas gráficas pasan por los puntos del conjunto (xi, yi), i = 0, 1, . . . , m.

Solución. Entre todas las funciones que pasan por los puntos de referencia (xi, f(xi)) y pertenecen al espacio mencionado, se encuentra el spline cúbico S(x), que satisface las condiciones de contorno S00(a) = S00(b) = 0 , que proporciona el funcional extremo (mínimo) I (f).

A menudo, en la práctica surge el problema de buscar el valor de un argumento utilizando un valor dado de una función. Este problema se resuelve mediante métodos de interpolación inversa. Si la función dada es monótona, entonces la interpolación inversa se logra más fácilmente reemplazando la función con un argumento y viceversa y luego interpolando. Si la función dada no es monótona, entonces esta técnica no se puede utilizar. Luego, sin cambiar los roles de la función y el argumento, escribimos una u otra fórmula de interpolación; Utilizando los valores conocidos del argumento y, asumiendo que se conoce la función, resolvemos la ecuación resultante con respecto al argumento.

La estimación del término restante cuando se utiliza la primera técnica será la misma que con la interpolación directa, solo que las derivadas de la función directa deben reemplazarse por las derivadas de la función inversa. Estimemos el error del segundo método. Si nos dan una función f(x) y Ln (x) es un polinomio de interpolación de Lagrange construido para esta función a partir de los nodos x0, x1, x2,. . . , xn, entonces

f (x) − Ln (x) =(n + 1)! (x-x0) . . . (x−xn) .

Supongamos que necesitamos encontrar el valor de x¯ para el cual f (¯x) = y¯ (se da y¯). Resolveremos la ecuación Ln (x) = y¯. Consigamos algún valor x¯. Sustituyendo en la ecuación anterior obtenemos:

manga+1

f (x¯) − Ln (x¯) = f (x¯) − y¯ = f (x¯) − f (¯x) =
Aplicando la fórmula de Langrange, obtenemos
(x¯ − x¯) f0 (η) =
donde η está entre x¯ y x¯. Si es un intervalo que contiene x¯ y x¯ y min

De la última expresión se sigue:

|x¯ − x¯| 6m1(n+1)! |$n(x¯)| .

En este caso, por supuesto, se supone que hemos resuelto exactamente la ecuación Ln (x) = y¯.

Usar interpolación para crear tablas

La teoría de la interpolación tiene aplicaciones en la compilación de tablas de funciones. Habiendo recibido un problema de este tipo, el matemático debe resolver una serie de preguntas antes de comenzar los cálculos. Se debe elegir una fórmula mediante la cual se realizarán los cálculos. Esta fórmula puede variar de un sitio a otro. Normalmente, las fórmulas para calcular los valores de las funciones son engorrosas y por ello se utilizan para obtener algunos valores de referencia y luego, mediante subtabulación, se condensa la tabla. La fórmula que dé los valores de referencia de la función debe proporcionar la precisión requerida de las tablas, teniendo en cuenta la siguiente subtabulación. Si necesita crear tablas con un paso constante, primero debe determinar su paso.

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La mayoría de las veces, las tablas de funciones se compilan de modo que sea posible la interpolación lineal (es decir, la interpolación utilizando los dos primeros términos de la fórmula de Taylor). En este caso, el término restante tendrá la forma

R1 (x) =f00 (ξ)h2t(t − 1).

Aquí ξ pertenece al intervalo entre dos valores de tabla adyacentes del argumento, en el que se encuentra x y t está entre 0 y 1. El producto t(t − 1) toma el módulo más grande

valor en t = 12. Este valor es 14. Entonces,

Hay que recordar que junto con este error, el error del método, en el cálculo práctico de valores intermedios también surgirá un error inamovible y un error de redondeo. Como vimos anteriormente, el error fatal en la interpolación lineal será igual al error en los valores tabulados de la función. El error de redondeo dependerá del medio de cálculo y del programa de cálculo.

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Fórmula para interpolar datos tabulares

Se utiliza en la segunda acción, cuando la cantidad de NHR (Q, t) de la condición es intermedio entre 100 t y 300 t.

(Excepción: si Q por condición es igual a 100 o 300, entonces no es necesaria la interpolación).

y oh- Su cantidad inicial de NHR de la condición, en toneladas

(corresponde a la letra Q)

y 1 – menor

(de las tablas 11-16, normalmente es igual a 100).

y 2 – más el valor de la cantidad de NHR más cercana a la suya, en toneladas

(de las tablas 11-16, normalmente es igual a 300).

incógnita 1 y 1 (incógnita 1 ubicado enfrente y 1 ), km.

incógnita 2 – valor de la tabla de la profundidad de distribución de una nube de aire contaminado (Gt), respectivamente y 2 (incógnita 2 ubicado enfrente y 2 ), km.

incógnita 0 – valor requerido GRAMO t adecuado y oh(según la fórmula).

Ejemplo.

NHR – cloro; Q = 120 toneladas;

Tipo de SVSP (grado de resistencia vertical del aire) – inversión.

Encontrar GRAMO t- valor tabular de la profundidad de distribución de una nube de aire contaminado.

Revisamos las tablas 11 a 16 y encontramos datos que coinciden con su condición (cloro, inversión).

La tabla 11 es adecuada.

Seleccionar valores y 1 , y 2, incógnita 1 , incógnita 2 . Importante – tomar la velocidad del viento como 1 m/s, tomar la temperatura como 20 °C.

Sustituimos los valores seleccionados en la fórmula y encontramos incógnita 0 .

Importante – el cálculo es correcto si incógnita 0 tendrá un valor entre incógnita 1 , incógnita 2 .

1.4. Fórmula de interpolación de Lagrange

El algoritmo propuesto por Lagrange para construir interpolación.

funciones de las tablas (1) prevén la construcción de un polinomio de interpolación Ln(x) en la forma

Obviamente, el cumplimiento de las condiciones (11) para (10) determina el cumplimiento de las condiciones (2) para plantear el problema de interpolación.

Los polinomios li(x) se escriben de la siguiente manera

Tenga en cuenta que ningún factor en el denominador de la fórmula (14) es igual a cero. Habiendo calculado los valores de las constantes ci, puedes utilizarlos para calcular los valores de la función interpolada en puntos dados.

La fórmula del polinomio de interpolación de Lagrange (11), teniendo en cuenta las fórmulas (13) y (14), se puede escribir como

qi (x − x0)(x − x1) K (x − xi −1)(x − xi +1) K (x − xn)

1.4.1.Organización de cálculos manuales mediante la fórmula de Lagrange

La aplicación directa de la fórmula de Lagrange conduce a una gran cantidad de cálculos similares. Para tablas pequeñas, estos cálculos se pueden realizar manualmente o en software.

En la primera etapa, consideraremos un algoritmo para cálculos manuales. En el futuro, estos mismos cálculos deberían repetirse en el medio ambiente.

Microsoft Excel u OpenOffice.org Calc.

En la figura. La Figura 6 muestra un ejemplo de la tabla original de una función interpolada definida por cuatro nodos.

Fig.6. Tabla que contiene datos iniciales para cuatro nodos de la función interpolada

En la tercera columna de la tabla escribimos los valores de los coeficientes qi calculados mediante las fórmulas (14). A continuación se muestra un registro de estas fórmulas para n=3.

q0=Y0/(x0-x1)/(x0-x2)/(x0-x3)q1=Y1/(x1-x0)/(x1-x2)/(x1-x3)(16) q2=Y2/( x2-x0)/(x2-x1)/(x2-x3)q3=Y3/(x3-x0)/(x3-x1)/(x3-x2)

El siguiente paso en la implementación de cálculos manuales es el cálculo de los valores de li(x) (j=0,1,2,3), realizado según las fórmulas (13).

Escribamos estas fórmulas para la versión de la tabla con cuatro nodos que estamos considerando:

l0(x)=q0(x-x1)·(x-x2)·(x-x3),

l1(x)=q1(x-x0)·(x-x2)·(x-x3),

l2(x)=q2(x-x0)·(x-x1)·(x-x3),(17) l3(x)=q3(x-x0)·(x-x1)·(x-x2) .

Calculemos los valores de los polinomios li(xj) (j=0,1,2,3) y escribámoslos en las celdas de la tabla. Los valores de la función Ycalc(x), según la fórmula (11), se obtendrán como resultado de sumar los valores li(xj) por fila.

El formato de la tabla, incluidas las columnas de valores calculados li(xj) y una columna de valores Ycalc(x), se muestra en la Fig. 8.

Arroz. 8. Tabla con los resultados de los cálculos manuales realizados utilizando las fórmulas (16), (17) y (11) para todos los valores del argumento xi.

Habiendo generado la tabla que se muestra en la Fig. 8, usando las fórmulas (17) y (11) se puede calcular el valor de la función interpolada para cualquier valor del argumento X. Por ejemplo, para X=1 calculamos los valores li(1) (i=0, 1,2,3):

l0(1)= 0,7763; l1(1)= 3,5889; l2(1)=-1,5155;l3(1)= 0,2966.

Sumando los valores de li(1) obtenemos el valor Yinterp(1)=3.1463.

1.4.2. Implementación de un algoritmo de interpolación utilizando fórmulas de Lagrange en el entorno del programa Microsoft Excel.

La implementación del algoritmo de interpolación comienza, como ocurre con los cálculos manuales, escribiendo fórmulas para calcular los coeficientes qi en la figura. La Figura 9 muestra las columnas de la tabla con los valores dados del argumento, la función interpolada y los coeficientes qi. A la derecha de esta tabla se encuentran las fórmulas escritas en las celdas de la columna C para calcular los valores de los coeficientes qi.

ВС2: "=B2/((A2-A3)*(A2-A4)*(A2-A5))" Ж q0

ВС3: "=B3/((A3-A4)*(A3-A5)*(A3-A2))" Ж q1

ВС4: "=B4/((A4-A5)*(A4-A2)*(A4-A3))" Ж q2

ВС5: "=B5/((A5-A2)*(A5-A3)*(A5-A4))" Ж q3

Arroz. 9 Tabla de coeficientes qi y fórmulas de cálculo.

Después de ingresar la fórmula q0 en la celda C2, se extiende a través de las celdas C3 a C5. Después de lo cual las fórmulas en estas celdas se ajustan de acuerdo con (16) a la forma que se muestra en la Fig. 9.

Ycalc(xi),

Implementando las fórmulas (17), escribimos fórmulas para calcular los valores li(x) (i=0,1,2,3) en las celdas de las columnas D, E, F y G. En la celda D2 para calcular el valor l0(x0) escribimos la fórmula:

=$C$2*($A2-$A$3)*($A2-$A$4)*($A2-$A$5),

obtenemos los valores l0 (xi) (i=0,1,2,3).

El formato de enlace $A2 le permite extender la fórmula a través de las columnas E, F, G para formar fórmulas computacionales para calcular li(x0) (i=1,2,3). Cuando arrastra una fórmula a lo largo de una fila, el índice de la columna de argumentos no cambia. Para calcular li(x0) (i=1,2,3) después de dibujar la fórmula l0(x0), es necesario corregirlos según las fórmulas (17).

En la columna H colocamos fórmulas de Excel para sumar li(x) según la fórmula

(11)algoritmo.

En la figura. La Figura 10 muestra una tabla implementada en el entorno del programa Microsoft Excel. Un signo de la exactitud de las fórmulas escritas en las celdas de la tabla y las operaciones computacionales realizadas son la matriz diagonal resultante li(xj) (i=0,1,2,3),(j=0,1,2, 3), repitiendo los resultados mostrados en la Fig. 8, y una columna de valores que coinciden con los valores de la función interpolada en los nodos de la tabla fuente.

Arroz. 10. Tabla de valores li(xj) (j=0,1,2,3) e Ycalc(xj)

Para calcular valores en algunos puntos intermedios basta

En las celdas de la columna A, comenzando desde la celda A6, ingrese los valores del argumento X para el cual desea determinar los valores de la función interpolada. Seleccionar

en la última (quinta) fila de la tabla, las celdas desde l0(xn) hasta Ycalc(xn) y estire las fórmulas escritas en las celdas seleccionadas hasta la línea que contiene la última

el valor especificado del argumento x.

En la figura. La Figura 11 muestra una tabla en la que se calcula el valor de la función en tres puntos: x=1, x=2 y x=3. Se ha introducido una columna adicional en la tabla con los números de fila de la tabla de datos de origen.

Arroz. 11. Cálculo de valores de funciones interpoladas usando fórmulas de Lagrange

Para mayor claridad al mostrar los resultados de la interpolación, crearemos una tabla que incluya una columna de valores del argumento X ordenados en orden ascendente, una columna de valores iniciales de la función Y(X) y una columna

Dime cómo utilizar la fórmula de interpolación y cuál para resolver problemas de termodinámica (ingeniería térmica)

Iván Shestakóvich

La interpolación más simple, pero a menudo no lo suficientemente precisa, es la lineal. Cuando ya tienes dos puntos conocidos (X1 Y1) y (X2 Y2) y necesitas encontrar los valores Y del día de algún X que se ubica entre X1 y X2. Entonces la fórmula es sencilla.
Y=(U2-U1)*(X-X1)/(X2-X1)+Y1
Por cierto, esta fórmula también funciona para valores de X fuera del intervalo X1..X2, pero esto ya se llama extrapolación y a una distancia significativa de este intervalo da un error muy grande.
Hay muchas otras malas palabras. Métodos de interpolación: le aconsejo que lea un libro de texto o busque en Internet.
El método de interpolación gráfica también es posible: dibuje manualmente un gráfico a través de puntos conocidos y encuentre Y en el gráfico para la X requerida. ;)

Novedoso

Tienes dos significados. Y aproximadamente la dependencia (lineal, cuadrática, ..)
La gráfica de esta función pasa por tus dos puntos. Necesitas un valor en algún punto intermedio. Bueno, ¡lo expresas!
Por ejemplo. En la tabla, a una temperatura de 22 grados, la presión de vapor saturado es de 120.000 Pa, y a 26, 124.000 Pa. Luego a una temperatura de 23 grados 121000 Pa.

Interpolación (coordenadas)

Hay una cuadrícula de coordenadas en el mapa (imagen).
Hay algunos puntos de control bien conocidos (n>3), cada uno con dos valores x, y: coordenadas en píxeles y coordenadas en metros.
Es necesario encontrar valores de coordenadas intermedias en metros, conociendo las coordenadas en píxeles.
La interpolación lineal no es adecuada: el error fuera de la línea es demasiado grande.
Así: (Xc es la coordenada en metros a lo largo de ox, Xp es la coordenada en píxeles a lo largo de ox, Xc3 es el valor deseado en ox)
Xc3= (Xc1-Xc2)/(Xp1-Xp2)*(Xp3-Xp2)+Xc2
Yc3= (Yc1-Yc2)/(Yp1-Yp2)*(Yp3-Yp2)+Yc2

¿Cómo encontrar la misma fórmula para encontrar Xc e Yc, teniendo en cuenta no dos (como aquí), sino N puntos de referencia conocidos?

Helecho joka bajo

A juzgar por las fórmulas escritas, ¿coinciden los ejes de los sistemas de coordenadas en píxeles y en metros?
Es decir, Xp -> Xc se interpola de forma independiente e Yp -> Yc se interpola de forma independiente. De lo contrario, es necesario utilizar la interpolación bidimensional Xp,Yp->Xc y Xp,Yp->Yc, lo que complica un poco la tarea.
Se supone además que las coordenadas Xp y Xc están relacionadas por alguna dependencia.
Si se conoce la naturaleza de la dependencia (o se supone, por ejemplo, asumimos que Xc=a*Xp^2+b*Xp+c), entonces es posible obtener los parámetros de esta dependencia (para la dependencia dada a, b, c) mediante análisis de regresión (Método de mínimos cuadrados). En este método, si especifica una determinada dependencia Xc(Xp), puede obtener una fórmula para los parámetros de la dependencia de los datos de referencia. Este método permite, en particular, encontrar la relación lineal que mejor se adapte a un conjunto de datos determinado.
Desventaja: En este método, las coordenadas Xc obtenidas de los datos de los puntos de control Xp pueden diferir de las especificadas. Por ejemplo, una línea de aproximación trazada a través de puntos experimentales no pasa exactamente por estos puntos.
Si se requiere una coincidencia exacta y se desconoce la naturaleza de la dependencia, se deben utilizar métodos de interpolación. El más sencillo matemáticamente es el polinomio de interpolación de Lagrange, que pasa exactamente por los puntos de referencia. Sin embargo, debido al alto grado de este polinomio con una gran cantidad de puntos de control y una mala calidad de interpolación, es mejor no utilizarlo. La ventaja es la fórmula relativamente simple.
Es mejor utilizar la interpolación spline. La esencia de este método es que en cada tramo entre dos puntos vecinos, la dependencia en estudio se interpola mediante un polinomio y se escriben condiciones de suavidad en los puntos de unión de los dos intervalos. La ventaja de este método es la calidad de la interpolación. Desventajas: es casi imposible derivar una fórmula general; hay que encontrar los coeficientes del polinomio en cada sección algorítmicamente. Otra desventaja es la dificultad de generalizar a interpolación bidimensional.

Instrucciones

A menudo, al realizar una investigación empírica, hay que lidiar con un conjunto de valores obtenidos mediante muestreo aleatorio. A partir de esta serie de valores, es necesario construir una gráfica de una función en la que los demás valores obtenidos encajarán con la máxima precisión. Este método, o más bien la solución a este problema, es la aproximación de una curva, es decir Reemplazo de algunos objetos o fenómenos por otros que se aproximan en el parámetro original. La interpolación, a su vez, es un tipo de aproximación. La interpolación de curvas es el proceso en el que la curva de una función construida pasa por los puntos de datos disponibles.

Existe un problema muy cercano a la interpolación, cuya esencia será aproximar la función compleja original con otra función mucho más simple. Si una función separada es muy difícil de calcular, entonces puede intentar calcular su valor en varios puntos y utilizar los resultados para construir (interpolar) una función más simple. Sin embargo, la función simplificada no proporcionará datos tan precisos y fiables como la función original.

Interpolación mediante binomial algebraica o interpolación lineal
En forma general: se realiza la interpolación de alguna función dada f(x), tomando un valor en los puntos x0 y x1 del segmento por el binomio algebraico P1(x) = ax + b. Si se especifican más de dos valores de función, entonces la función lineal deseada se reemplaza por una función lineal por partes, cada parte de la función se encuentra entre dos valores de función especificados en estos puntos del segmento interpolado.

Interpolación en diferencias finitas
Este método es uno de los métodos de interpolación más simples y más extendidos. Su esencia es reemplazar los coeficientes diferenciales de la ecuación con coeficientes diferenciales. Esta acción nos permitirá pasar a resolver la ecuación diferencial usando su análogo en diferencias, en otras palabras, construir su esquema en diferencias finitas.

Construcción de una función spline
En modelado matemático, un spline es una función dada por partes que, con funciones que tienen una más simple en cada elemento de la partición, tiene su dominio de definición. Un spline de una variable se construye dividiendo el dominio de definición en un número finito de segmentos, y en cada uno de los cuales el spline coincidirá con un determinado polinomio algebraico. El grado máximo utilizado es el spline.
Funciones spline para especificar y describir superficies en varios sistemas de modelado por computadora.