Conferencia. Variables lingüísticas. Conjuntos difusos.
Hogar 2.9.1. Definición.
Utilizando los métodos de la teoría de conjuntos difusos, se describen conceptos semánticos, por ejemplo, para el concepto de "confiabilidad de un nodo" es posible definir componentes tales como "valor pequeño de confiabilidad del nodo", "valor promedio de confiabilidad del nodo", "Gran valor de confiabilidad del nodo", que se especifican como conjuntos difusos en un conjunto básico definido por todos los valores posibles de confiabilidad.
Una generalización de la descripción de variables lingüísticas desde un punto de vista formal es la introducción de variables lingüísticas y difusas. norte variable clara se llama triplete de conjuntos, donde a - nombre de la variable difusa, incógnita se llama triplete de conjuntos, donde.
- dominio de definición, - subconjunto difuso en el conjunto X, que describe restricciones sobre los posibles valores de la variable Variable lingüística
conjunto difuso: el significado de una variable difusa
De la definición se desprende que una variable lingüística es una variable especificada en una escala cuantitativa (medible) y que toma valores que son palabras o frases del lenguaje natural de comunicación. Las variables difusas describen los valores de una variable lingüística. En la figura. La Figura 2.20 muestra la relación entre los conceptos básicos.
Por tanto, las variables lingüísticas se pueden utilizar para describir conceptos difíciles de formalizar en forma de una descripción verbal cualitativa. Al describir una variable lingüística y todos sus valores, se asocia con una escala cuantitativa específica que, por analogía con el conjunto básico, a veces se denomina escala básica.
Utilizando variables lingüísticas es posible formalizar información cualitativa en sistemas de gestión, la cual es formulada en forma verbal por especialistas (expertos). Esto le permite construir modelos difusos de sistemas de control (controladores difusos). Consideremos los requisitos que se plantean para el tipo de funciones de pertenencia de conjuntos difusos que describen los términos de variables lingüísticas.
Sea la variable lingüística
Muchos t ordenar según la expresión
"T i ,T j ÎT i>j«($xÎC i)("yÎC j)(x>y). (2.5)
La expresión (2.5) requiere que un término que tiene un soporte ubicado a la izquierda reciba un número menor. Entonces el conjunto de términos de cualquier variable lingüística debe satisfacer las condiciones:
("T i ÎT)($xÎX)( ); (2.8)
("b)($x 1 ОR 1)($x 2 ОR 2)("xОX)(x 1
La condición (2.6) requiere que los valores de las funciones de membresía de los términos extremos (T 1 Y T2) en puntos x1 Y x2 en consecuencia, igual a uno y de modo que no se permite la aparición de curvas en forma de campana, como se muestra en la Fig. 2.21.
Fig.2.21
La condición (2.7) prohíbe en el conjunto básico - nombre de la variable difusa, pares de términos de tipo T 1 Y T 2, T 2 Y T 3. para una pareja T 1 Y T 2 no hay diferenciación natural de conceptos. para una pareja T 2 Y T 3 segmento ningún concepto coincide. La condición (2.7) prohíbe la existencia de términos del tipo T 4, ya que cada concepto tiene al menos un objeto típico. La condición (2.8) determina la limitación física (en el marco del problema) de los valores numéricos de los parámetros.
En la figura. La Figura 2.22 muestra un ejemplo de cómo especificar las funciones de pertenencia de los términos "valor de precio pequeño", "valor de precio pequeño", "valor de precio promedio", "valor de precio suficientemente grande", "valor de precio grande" de la variable lingüística "precio del producto". ”.
2.9.3. Balanzas universales. Las funciones de membresía se construyen sobre la base de los resultados de encuestas de expertos. Sin embargo, el procedimiento para utilizar conjuntos difusos construidos a partir de los resultados de una encuesta de expertos tiene la desventaja de que un cambio en las condiciones operativas del modelo (objeto) requiere un ajuste de los conjuntos difusos. Se pueden hacer ajustes basados en los resultados de una encuesta repetida de expertos.
Una de las formas de superar esta deficiencia es la transición a escalas universales para medir los valores de los parámetros estimados. La conocida metodología para construir escalas universales implica describir la frecuencia de fenómenos y procesos, que a nivel cualitativo en el lenguaje natural está determinado por las siguientes palabras y frases: "nunca", "muy raramente", "rara vez", "ninguna". raramente ni frecuentemente”, “a menudo”, “muy a menudo”, “casi siempre” (o similar). Una persona utiliza estos conceptos para evaluar las frecuencias subjetivas de eventos (la relación entre el número de eventos caracterizados por el concepto y el número total de eventos).
La escala universal se construye sobre un segmento y representa una serie de curvas en forma de campana que se cruzan y que corresponden a las estimaciones de frecuencia escaladas. Se construye una escala universal de una variable lingüística para un parámetro estimado dado de un objeto de control según el siguiente procedimiento.
1. Según la encuesta de expertos, el mínimo xmin y máximo xmax valores de escala variables - nombre de la variable difusa,.
2. A partir de los resultados de una encuesta de expertos, se construyen funciones de membresía de conjuntos difusos que describen los valores de una variable lingüística definida en una escala. - nombre de la variable difusa,. En la figura. La figura 2.23 muestra un ejemplo de construcción de funciones de membresía, donde un 1, un 2, un 3- algunos nombres de variables difusas.
3. Puntos ( xmin,0) y ( xmax,1) están conectados por una línea recta página 0, que es la función de mapeo p 0:X®.
4. La transición de una escala de frecuencias relativas de ocurrencia de eventos a estimaciones de frecuencia, llamadas cuantificadores, ocurre de la siguiente manera.
Por un punto arbitrario z en la escala universal su prototipo está construido en la escala - nombre de la variable difusa,. Luego, utilizando las funciones de membresía de conjuntos difusos correspondientes a los términos un 1, un 2, un 3, los valores se determinan y se toman como valores de las funciones de pertenencia correspondientes en el punto z de la escala universal. Función p(p=p 0 en el ejemplo considerado) se determina mediante una encuesta de expertos, porque su elección afecta la adecuación del modelo al objeto en estudio.
2.9.4. Múltiples funciones de visualización. Definición inequívoca de la función de mapeo. pag limitar la posibilidad de consideración simultánea de diferentes criterios en el sistema de control, que incluso pueden estar en antagonismo entre sí, así como la posibilidad de consideración simultánea de varias condiciones de control determinadas por las propiedades del objeto controlado.
La consideración de diversas condiciones y criterios está determinada por un enfoque subjetivo para resolver el problema. Si aceptamos la función de mapeo de una forma inequívoca, entonces los diferentes puntos de vista se reducirán a un “denominador común” o incluso se rechazarán. La práctica demuestra que en la gestión de procesos difíciles de formalizar, tener en cuenta todas las variantes de puntos de vista subjetivos mejora la calidad de la gestión, aumentando la resistencia a diversos tipos de perturbaciones. Sin embargo, cabe señalar que casi nunca es posible tener en cuenta en las personas todas las condiciones que influyen en la elección del control y todas las características del objeto. Consideremos cómo se lleva a cabo la contabilidad formalizada de las condiciones de control al entrevistar a expertos en forma de múltiples funciones de mapeo.
Dejemos que la composición de los estados del objeto en estudio se determine cuantitativa y cualitativamente a partir de encuestas de expertos. La evaluación de los estados de los objetos se realiza en función de los valores de los atributos. y i ОY=(y 1 ,y 2 ,…,y p ).
Es imposible tener todo en cuenta, por lo tanto, al evaluar estados, es mejor usar categorías difusas, y las definiciones difusas de los valores de los parámetros deben realizarse con un cierto grado de incertidumbre sobre la exactitud de las definiciones. De hecho, siempre se puede suponer que hay algún conjunto de signos 
, no indicados por los expertos por diversos motivos: fueron olvidados; Los expertos creen que estas características no afectan la precisión; Estos parámetros no pueden evaluarse debido a dificultades técnicas.
Funciones de visualización p i ОP=(p 1 ,p 2 ,…,p b ) Se comparan los grados de confianza. b(p i)О, que son preguntados por los expertos. También cada función de visualización. p yo se compara el peso un(pi), que corresponde al nivel de competencia del experto. Valores de peso un(pi) están determinados por los números del segmento. Entonces la función de mapeo múltiple P=(p 1 ,p 2 ,…,p b ) Consta de un conjunto de funciones de mapeo. p yo, cada uno de los cuales está asociado con un título gramo(pi), definido como una conjunción de grados de competencia y confianza en la definición correcta de funciones cartográficas p yo, es decir. gramo(pi)=a(p i)&b(p i).
El uso práctico de funciones múltiples ha demostrado que, dentro de una cierta competencia de los expertos, la función de mapeo múltiple construida concuerda bien con sus opiniones individuales sobre la correspondencia más plausible de conceptos difusos con puntos en la escala temática. - nombre de la variable difusa,.
LÓGICA BORROSA
Operación difusa Y
La definición de conjuntos difusos permite generalizar operaciones lógicas claras en sus análogos difusos. Una extensión difusa de la operación AND es la norma triangular t, Otro nombre t– las normas son S–conorma. En la figura. 3.1 muestra una representación esquemática t-normas.
La operación AND difusa en forma general se define como el mapeo:
para lo cual se cumplen los axiomas:
Axiomas de condiciones de contorno t– normas:
Axioma de orden:
En la teoría de conjuntos difusos existe una innumerable cantidad de operaciones difusas “Y”, las cuales están determinadas por las formas de especificar la operación (T) cuando se cumplen las condiciones (3.1) - (3.2). En la teoría del control difuso, son aplicables los siguientes métodos para especificar una operación (T), que se enumeran a continuación.
Producto lógico[Zadeh, 1973]:
, "xÎ R. (3.6)
Producto algebraico[Bandler, Kohout, 1980]:
, "xÎ R, (3.7)
Dónde "." - un producto aceptado en álgebra clásica.
Producto límite[Lukashevich, Giles, 1976]:
, (3.8)
¿Dónde está el símbolo del producto límite?
Trabajo fuerte o drástico (drástico)[Weber, 1983]:
(3.9)
donde D es el símbolo fuerte del producto.
En la figura. La Figura 3.2 muestra la función de pertenencia para productos lógicos, algebraicos, de frontera y fuertes de conjuntos difusos.
Operación OR difusa
Una extensión difusa de la operación OR es S-norma. A veces se utiliza el nombre t–conorma. En la figura. 3.3 muestra una representación esquemática S-normas.
La operación OR difusa se define como el mapeo
para los cuales se realizan asignaciones:
Axiomas de condiciones de contorno t– normas:
, ; (3.10)
Axiomas de unificación (recombinación):
Axioma de orden:
Del infinito número de operaciones difusas que satisfacen los axiomas (3.10) – (3.14), las siguientes operaciones enumeradas a continuación han encontrado aplicación en la teoría del control.
Suma lógica[Zadeh, 1973]:
, "xÎ R. (3.15)
suma algebraica[Bandler y Kohout, 1980]:
, "xÎ R, (3.16)
Cantidad límite[Lukashevich, Giles, 1976]:
, (3.17)
Cantidad fuerte o drástica (drástica)[Weber, 1983]:
(3.18)
Comparación de axiomas t–normas con axiomas S-normas muestra que la diferencia entre ellas radica únicamente en los axiomas de las condiciones de contorno.
En la figura. La Figura 3.4 muestra la función de pertenencia para conjuntos lógicos, algebraicos, de frontera y de suma fuerte de conjuntos difusos.
Operación difusa "NO"
La operación difusa “NOT” se define como un mapeo para el cual se cumplen los siguientes axiomas:
El conjunto de aplicaciones que satisfacen los axiomas (3.19) – (3.21) es una negación difusa. El funcionamiento de la negación difusa en forma de diagrama se muestra en la figura. 3.5.
Del infinito número de operaciones difusas “NO” que satisfacen los axiomas (3.19) – (3.21), las siguientes operaciones enumeradas a continuación han encontrado aplicación en la teoría del control.
Borroso "NO" según Zadeh(1973) se define como restar de uno:
. (3.22)
Borroso "NO" según Sugeno(1977) o el complemento L se define como
. (3.23)
En l=0 la ecuación (3.23) coincide con la ecuación (3.22).
Borroso "NO" según Yager(1980) se define como:
, (3.24)
Dónde p>0- parámetro. En p=1 la ecuación (3.24) coincide con la ecuación (3.22).
Para T- normas y S- normas, puede haber varias versiones de negaciones debido al número infinito de posibles operaciones difusas de “NO”. Sin embargo, es aconsejable elegir opciones de negación que cumplan las siguientes condiciones:
Estas condiciones, por analogía con la lógica clara, se denominan leyes difusas de De Morgan. Las operaciones (3.25) y (3.26) se llaman mutuamente duales, porque en la teoría de conjuntos difusos se demuestra que de (3.25) se sigue (3.26) y, a la inversa, de (3.26) se sigue (3.25).
Las siguientes operaciones difusas también son mutuamente duales:
; (3.29)
Álgebra de inferencia difusa
3.4.1. Base de reglas difusas. En lógica difusa existe el concepto de proposición difusa. Una oración difusa se define como la declaración " ". Símbolo " incógnita" denota una cantidad física (corriente, voltaje, presión, velocidad, etc.), el símbolo " " denota una variable lingüística (LP) y el símbolo " pag" - proposición de abreviatura - propuesta. Por ejemplo, en la afirmación “la magnitud de la corriente es grande” de la variable física incógnita es la "magnitud de la corriente" que puede medirse con un sensor de corriente. El conjunto difuso está definido por el LP “grande” y formalizado por la función de membresía. m A (x). El conectivo “es” corresponde a una operación ordenante en forma de igualdad, que se denota con el símbolo “=". Recibe una forma formalizada de la sentencia " » .
Una oración difusa puede consistir en varias oraciones difusas separadas conectadas entre sí mediante los conectivos "Y" y "O". La elección de conectivos lógicos “Y”, “O” a partir del significado y contexto de las oraciones, de la relación entre ellas. Tenga en cuenta que las operaciones de “Y” y “O” difusas según Zadeh (fórmulas (3.6) y (3.15)) en la teoría del control son preferibles a las demás, porque no tienen redundancia. Cuando las oraciones difusas no son equivalentes, sino que están correlacionadas e interconectadas, entonces es posible utilizar T- normas y S- normas según Lukashevich (fórmulas (3.8) y (3.17)).
Oferta pag se puede representar como una relación difusa R con función de membresía: . Para componer una oración difusa que consta de varias oraciones difusas separadas conectadas por conectivos "Y", use el indicador "si". Como resultado, obtenemos un sistema de declaraciones difusas condicionales:
.
Las oraciones difusas se llaman condiciones o requisitos previos.
Un conjunto de condiciones permite construir un conjunto. conclusiones o conclusiones. En este caso, se utiliza el indicador "entonces".
Regla difusa de producción(regla difusa) es un conjunto de condiciones y conclusiones:
R 1: si x 1 = y x 2 = y..., entonces y 1 = y y 2 = Y …
……………………………………………………………,
donde esta el simbolo R 1– abreviatura “regla” - regla.
Por ejemplo, la regla para controlar la temperatura del agua se formula de la siguiente manera: “ R 1: si la temperatura del agua es fría y la temperatura del aire es fría, gire la válvula de agua caliente hacia la izquierda en un ángulo grande y la válvula de agua fría hacia la derecha en un ángulo grande ".
Condiciones difusas para resolver el problema:
-x1- temperatura del agua (medida por sensor); - frío;
-x2- temperatura del aire (medida por sensor); - frío;
Condiciones de inferencia difusa:
-y 1- el ángulo de rotación de la válvula hacia la izquierda es grande;
-y 2- el ángulo de rotación de la válvula hacia la derecha es grande.
Esta regla lingüística difusa corresponde a una notación formalizada:
R 1: si x 1 = y x 2 = , entonces y 1 = y y 2 = , (3.31)
Dónde , , y – conjuntos difusos definidos por funciones de pertenencia.
El conjunto de reglas de producción difusas forma una base de reglas difusas, donde R i: si..., entonces...;. Las siguientes propiedades son válidas para la base de reglas difusas: continuidad, consistencia, integridad.
La continuidad se define mediante los siguientes conceptos: una colección ordenada de conjuntos difusos; conjuntos borrosos adyacentes.
Colección de conjuntos difusos (Ai) llamado ordenado, si se especifica la relación de pedido para ellos: «<»:A 1 <…
Si una colección de conjuntos difusos { } está ordenado, entonces los conjuntos y , y se llaman adyacente siempre que estos conjuntos difusos se superpongan.
La base de las reglas difusas se llama continuo, si por reglas
R k: si x 1 = y x 2 = , entonces y= y k'¹k
se cumplen las condiciones:
‑ Ù y son adyacentes;
‑ Ù y son adyacentes;
- y son adyacentes.
Consideremos la coherencia de la base de reglas difusas utilizando un ejemplo. La base de las reglas difusas para controlar el robot se da en la forma:
………………………………….
R i: si hay un obstáculo más adelante, muévase hacia la izquierda,
R i +1: si hay un obstáculo más adelante, muévase hacia la derecha,
……………………………………
La base de reglas es inconsistente.
Un ejemplo de una base de reglas difusa consistente es el siguiente:
R 1: si x 1 = o x 2 = , entonces y= ;
R 2: si x 1 = o x 2 = , entonces y= ;
R 3: si x 1 = o x 2 = , entonces y= .
Si las reglas contienen dos condiciones y una salida, entonces estas reglas representan un sistema con dos entradas. x1 Y x2 y una salida y. Este sistema se puede presentar en forma matricial:
| x2 | x1 | ||
| y= | |||
| y= | |||
| y= |
La base de las reglas difusas es consistente.
Recordemos que una variable lingüística es una variable que toma valores de un conjunto de palabras o frases de algún lenguaje natural o artificial. El conjunto de valores permisibles de una variable lingüística se denomina conjunto de términos. Establecer el valor de una variable en palabras, sin utilizar números, es más natural para los humanos. Todos los días tomamos decisiones basadas en información lingüística como: “temperatura muy alta”; "viaje largo"; "respuesta rápida"; "hermoso ramo"; “sabor armonioso”, etc. Los psicólogos han descubierto que en el cerebro humano casi toda la información numérica se codifica verbalmente y se almacena en forma de términos lingüísticos. El concepto de variable lingüística juega un papel importante en la inferencia difusa y en la toma de decisiones basadas en razonamiento aproximado. Formalmente, una variable lingüística se define de la siguiente manera.
Definición 44.Variable lingüística está dado por cinco, donde -; nombre de la variable; - ; conjunto de términos, cada elemento del cual (término) se representa como un conjunto difuso en el conjunto universal; - ; reglas sintácticas, a menudo en forma de gramática, que dan lugar a los nombres de los términos; - ; reglas semánticas que especifican las funciones de membresía de términos difusos generados por reglas sintácticas.
Ejemplo 9. Considere una variable lingüística llamada "temperatura ambiente". Entonces los cuatro restantes se pueden definir de la siguiente manera:
Tabla 4 - Reglas para calcular las funciones de membresía
En la figura 1 se muestran gráficas de las funciones de pertenencia de los términos “frío”, “no muy frío”, “cómodo”, “más o menos cómodo”, “caliente” y “muy caliente” de la variable lingüística “temperatura ambiente”. 13.
Figura 13 - Variable lingüística "temperatura ambiente"
verdad confusa
Un lugar especial en la lógica difusa lo ocupa la variable lingüística "verdad". En la lógica clásica, la verdad sólo puede tomar dos significados: verdadero y falso. En lógica confusa, la verdad es "confusa". La verdad difusa se define axiomáticamente y diferentes autores lo hacen de diferentes maneras. El intervalo se utiliza como conjunto universal para definir la variable lingüística "verdad". La verdad clara y ordinaria se puede representar mediante conjuntos únicos difusos. En este caso, un concepto claro corresponderá verdaderamente a la función de membresía. 
, y el concepto claro es falso -; 
, .
Para definir la verdad difusa, Zadeh propuso las siguientes funciones de membresía para los términos "verdadero" y "falso":
;
Dónde - ; un parámetro que determina las portadoras de los conjuntos difusos “verdadero” y “falso”. Para un conjunto difuso “verdadero” la portadora será el intervalo, y para un conjunto difuso “falso” - ;
Las funciones de pertenencia de los términos difusos "verdadero" y "falso" se muestran en la figura. 14. Se construyen con el valor del parámetro. Como puede ver, las gráficas de las funciones de pertenencia de los términos "verdadero" y "falso" son imágenes especulares.
Figura 14 - Variable lingüística “verdad” según Zadeh
Para definir la verdad difusa, Baldwin propuso las siguientes funciones de membresía para “verdadero” y “falso” difuso:
Los cuantificadores “más o menos” y “muy” suelen aplicarse a los conjuntos difusos “verdadero” y “falso”, obteniendo así los términos “muy falso”, “más o menos falso”, “más o menos verdadero”, “ muy cierto”, “muy, muy cierto”, “muy, muy falso”, etc. Las funciones de pertenencia de nuevos términos se obtienen realizando las operaciones de concentración y estiramiento de los conjuntos difusos “verdadero” y “falso”. La operación de concentración corresponde a elevar al cuadrado la función de pertenencia, y la operación de estiramiento corresponde a elevarla a la potencia de ½. En consecuencia, las funciones de pertenencia de los términos “muy, muy falso”, “muy falso”, “más o menos falso”, “más o menos cierto”, “verdadero”, “muy cierto” y “muy, muy cierto” son dado de la siguiente manera.
La formalización de conceptos y relaciones difusas en el lenguaje natural es posible sobre la base de los conceptos de variables lingüísticas y difusas.
variable difusa llamado tupla
Muchos do describe la semántica de una variable difusa y a menudo se la denomina función de compatibilidad de variable difusa. La variable u es la variable base para X. Muchos do determina el grado en que el elemento x corresponde al valor u. Los valores de una variable difusa son números.
Ejemplo. Variable difusa X, denominada "hombre alto". Pongamos U = (170-200), y do vamos a definirlo de la siguiente manera:
La gráfica de esta función de compatibilidad se muestra en la Fig. 2.13.
Variable lingüística llamado tupla
Una variable lingüística es una variable de orden superior que una variable difusa porque los valores de una variable lingüística son variables difusas.
Hay variables lingüísticas numéricas y no numéricas. Una variable lingüística se llama numérica si su dominio de definición U es un subconjunto de R 1, es decir del conjunto de los números reales. Los valores de una variable lingüística numérica se denominan números difusos.
Ejemplo. La variable lingüística numérica "CONFIABILIDAD" se puede describir de la siguiente manera:
< НАДЕЖНОСТЬ, T, , G, METRO >
donde T = (muy baja, baja, media, alta, muy alta); G - procedimiento para enumerar elementos de T; METRO- restricciones condicionadas por los valores de T y determinantes del significado de los significados lingüísticos. En particular, METRO se puede elegir así:
METRO[muy bajo] 
METRO[bajo] 
METRO[medio] 
METRO[alto] 
METRO[muy alto] 
Un ejemplo de variable lingüística no numérica es la variable HERMOSA, que formaliza el concepto de “ciudad hermosa” con los significados “no muy hermosa”, “hermosa”, “muy hermosa”, “muy, muy hermosa”, etc.
En lo que sigue consideraremos sólo variables lingüísticas numéricas.
Generar elementos a partir de T(X) es posible de dos maneras: viendo los elementos de un conjunto de términos e implementando un determinado algoritmo. Si un término establece T(X) y una función METRO se puede establecer algorítmicamente, entonces dicha variable lingüística se llama estructurada.
Consideremos una de las posibles formas de especificar algorítmicamente G sintáctica y semántica METRO reglas asociadas con una variable lingüística dada. Para hacer esto, identifiquemos las palabras: “o”, “y”, “no”, “muy” con operaciones individuales en conjuntos difusos de la siguiente manera:
"o" es una operación sindical; "y" - operación de intersección;
"no" es la operación de tomar el complemento;
“muy” es la operación de concentración.
Ahora bien, al disponer sólo de un pequeño conjunto de términos primarios, es posible escribir analíticamente construcciones lingüísticas bastante complejas. Consideremos, por ejemplo, la variable lingüística "PESO" de un conjunto de personas. Como términos primarios, elegimos los términos “ligero” T 1 y “pesado” T 2 . Entonces el término “ni muy ligero ni muy pesado” se puede escribir de la siguiente manera: ù(T 1 2) Ç ù(T 2 2), y “muy, muy, muy pesado” - (T 2 3), etc.
Dejemos que el significado del significado lingüístico "fácil" esté determinado por la expresión
METRO(fácil) 
y el significado de “pesado” es la expresión:
METRO(pesado) 
Entonces el valor “no muy pesado” viene dado por la expresión
METRO(no muy pesado) 
S.D.Shtovba "Introducción a la teoría de conjuntos difusos y lógica difusa"
1.7. lógica difusa
La lógica difusa es una generalización de la lógica aristotélica tradicional al caso en que se considera la verdad como una variable lingüística que toma valores como: “muy cierto”, “más o menos cierto”, “no muy falso”, etc. Los significados lingüísticos especificados están representados por conjuntos difusos.
1.7.1. Variables lingüísticas
Recordemos que una variable lingüística es una variable que toma valores de un conjunto de palabras o frases de algún lenguaje natural o artificial. El conjunto de valores permisibles de una variable lingüística se denomina conjunto de términos. Establecer el valor de una variable en palabras, sin utilizar números, es más natural para los humanos. Todos los días tomamos decisiones basadas en información lingüística como: “temperatura muy alta”; "viaje largo"; "respuesta rápida"; "hermoso ramo"; “sabor armonioso”, etc. Los psicólogos han descubierto que en el cerebro humano casi toda la información numérica se codifica verbalmente y se almacena en forma de términos lingüísticos. El concepto de variable lingüística juega un papel importante en la inferencia difusa y en la toma de decisiones basadas en razonamiento aproximado. Formalmente, una variable lingüística se define de la siguiente manera.
Definición 44.Variable lingüística está dado por cinco, donde -; nombre de la variable; - ; conjunto de términos, cada elemento del cual (término) se representa como un conjunto difuso en el conjunto universal; - ; reglas sintácticas, a menudo en forma de gramática, que dan lugar a los nombres de los términos; - ; reglas semánticas que especifican las funciones de membresía de términos difusos generados por reglas sintácticas.
Ejemplo 9. Considere una variable lingüística llamada "temperatura ambiente". Entonces los cuatro restantes se pueden definir de la siguiente manera:
Tabla 4 - Reglas para calcular las funciones de membresía
En la figura 1 se muestran gráficas de las funciones de pertenencia de los términos “frío”, “no muy frío”, “cómodo”, “más o menos cómodo”, “caliente” y “muy caliente” de la variable lingüística “temperatura ambiente”. 13.
Figura 13 - Variable lingüística "temperatura ambiente"
1.7.2. verdad confusa
Un lugar especial en la lógica difusa lo ocupa la variable lingüística "verdad". En la lógica clásica, la verdad sólo puede tomar dos significados: verdadero y falso. En lógica confusa, la verdad es "confusa". La verdad difusa se define axiomáticamente y diferentes autores lo hacen de diferentes maneras. El intervalo se utiliza como conjunto universal para definir la variable lingüística "verdad". La verdad clara y ordinaria se puede representar mediante conjuntos únicos difusos. En este caso, un concepto claro corresponderá verdaderamente a la función de membresía. 
, y el concepto claro es falso -; 
, .
Para definir la verdad difusa, Zadeh propuso las siguientes funciones de membresía para los términos "verdadero" y "falso":
;
Dónde - ; un parámetro que determina las portadoras de los conjuntos difusos “verdadero” y “falso”. Para un conjunto difuso “verdadero” la portadora será el intervalo, y para un conjunto difuso “falso” - ;
Las funciones de pertenencia de los términos difusos "verdadero" y "falso" se muestran en la figura. 14. Se construyen con el valor del parámetro. Como puede ver, las gráficas de las funciones de pertenencia de los términos "verdadero" y "falso" son imágenes especulares.
Figura 14 - Variable lingüística “verdad” según Zadeh
Para definir la verdad difusa, Baldwin propuso las siguientes funciones de membresía para “verdadero” y “falso” difuso:
Los cuantificadores “más o menos” y “muy” suelen aplicarse a los conjuntos difusos “verdadero” y “falso”, obteniendo así los términos “muy falso”, “más o menos falso”, “más o menos verdadero”, “ muy cierto”, “muy, muy cierto”, “muy, muy falso”, etc. Las funciones de pertenencia de nuevos términos se obtienen realizando las operaciones de concentración y estiramiento de los conjuntos difusos “verdadero” y “falso”. La operación de concentración corresponde a elevar al cuadrado la función de pertenencia, y la operación de estiramiento corresponde a elevarla a la potencia de ½. En consecuencia, las funciones de pertenencia de los términos “muy, muy falso”, “muy falso”, “más o menos falso”, “más o menos cierto”, “verdadero”, “muy cierto” y “muy, muy cierto” son dado de la siguiente manera:
Las gráficas de las funciones de pertenencia de estos términos se muestran en la Fig. 15.
Figura 15 - Variable lingüística “verdad” según Baldwin
1.7.3. Operaciones lógicas difusas
Primero, recordemos brevemente los principios básicos de la lógica ordinaria (booleana). Considere dos afirmaciones A y B, cada una de las cuales puede ser verdadera o falsa, es decir tomar valores "1" o "0". Para estas dos declaraciones, hay un total de operaciones lógicas diferentes, de las cuales solo cinco se interpretan de manera significativa: AND (), OR (), OR exclusivo (), implicación () y equivalencia (). Las tablas de verdad para estas operaciones se dan en la tabla. 5.
Tabla 5 - Tablas de verdad de la lógica booleana
Supongamos que un enunciado lógico puede tomar no dos valores de verdad, sino tres, por ejemplo: “verdadero”, “falso” e “incierto”. En este caso, no nos ocuparemos de una lógica de dos valores, sino de una lógica de tres valores. El número total de operaciones binarias y, por tanto, de tablas de verdad, en lógica de tres valores es igual a . La lógica difusa es un tipo de lógica multivaluada en la que los valores de verdad se especifican mediante variables lingüísticas o términos de la variable lingüística "verdad". Las reglas para realizar operaciones lógicas difusas se obtienen a partir de operaciones lógicas booleanas utilizando el principio de generalización.
Definición 45. Denotemos las variables lógicas difusas por y , y las funciones de membresía que especifican los valores de verdad de estas variables por y , . Operaciones lógicas difusas Y(), O(),
NOT () e implicación () se realizan de acuerdo con las siguientes reglas:
;
En lógica multivalor, las operaciones lógicas se pueden especificar mediante tablas de verdad. En lógica difusa, el número de valores de verdad posibles puede ser infinito, por lo que, en general, una representación tabular de operaciones lógicas es imposible. Sin embargo, en forma tabular es posible presentar operaciones lógicas difusas para un número limitado de valores de verdad, por ejemplo, para un conjunto de términos (“verdadero”, “muy cierto”, “no verdadero”, “más o menos falso”, "FALSO"). Para lógica de tres valores con valores de verdad difusos T - ; "verdadero", F - ; “falso” y T+F - “desconocido” L Zade propuso las siguientes tablas de verdad lingüística:
Al aplicar las reglas para realizar operaciones lógicas difusas de la Definición 45, es posible expandir las tablas de verdad para una mayor cantidad de términos. Veamos cómo hacer esto usando el siguiente ejemplo.
Ejemplo 10. Se dan los siguientes valores de verdad difusa:
Aplicando la regla de la Definición 45, encontramos la verdad difusa de la expresión “casi cierto O verdadero”:
Comparemos el conjunto difuso resultante con el conjunto difuso “más o menos verdadero”. Son casi iguales, lo que significa:
Como resultado de realizar operaciones lógicas, a menudo se obtiene un conjunto difuso que no es equivalente a ninguno de los valores de verdad difusos introducidos anteriormente. En este caso, es necesario encontrar entre los valores de verdad difusos uno que corresponda al máximo al resultado de la operación lógica difusa. En otras palabras, es necesario llevar a cabo la llamada aproximación lingüística, que puede considerarse como un análogo de la aproximación de una distribución estadística empírica mediante funciones de distribución estándar de variables aleatorias. Como ejemplo, presentamos las tablas de verdad lingüísticas propuestas por Baldwin para las que se muestran en la Fig. 15 valores de verdad difusa:
| impreciso |
impreciso |
||
| impreciso |
impreciso |
||
| impreciso |
impreciso |
impreciso |
impreciso |
| muy cierto |
muy cierto |
||
| más o menos cierto |
más o menos cierto |
1.7.3. Base de conocimientos difusa
Definición 46.Base de conocimientos difusa Es un conjunto de reglas difusas de "si-entonces" que determinan la relación entre las entradas y salidas del objeto en estudio. El formato general de reglas difusas es:
Sireglas del paquete,Esoconclusión de la regla.
La premisa de la regla o antecedente es una afirmación como “x es bajo”, donde “bajo” es un término (significado lingüístico) definido por un conjunto difuso en el conjunto universal de la variable lingüística x. Cuantificadores “mucho”, “más o menos”, “no”, “casi”, etc. se puede utilizar para modificar términos antecedentes.
La conclusión o consecuencia de una regla es una afirmación como “y es d”, en la que se puede dar el valor de la variable de salida (d):
- término confuso: “y es alto”;
- clase de soluciones: “tengo bronquitis”
- una constante clara: "y=5";
- una función clara de las variables de entrada: "y=5+4*x".
Si el valor de la variable de salida en una regla se especifica mediante un conjunto difuso, entonces la regla se puede representar mediante una relación difusa. Para la regla difusa “Si x es, entonces y es”, la relación difusa se especifica en el producto cartesiano, donde -; conjunto universal de variables de entrada (salida). La implicación difusa y la norma t se pueden utilizar para calcular una relación difusa. Cuando se utiliza la operación de encontrar el mínimo como norma t, el cálculo de la relación difusa se realiza de la siguiente manera:
Ejemplo 11. La siguiente base de conocimiento difuso describe la relación entre la edad del conductor (x) y la posibilidad de sufrir un accidente de tráfico (y):
Six = joven,Esoy = Alto;
Six = promedio,Esoy = Bajo;
Six = Muy viejo,Esoy = Alto.
Sea las funciones de pertenencia de los términos la forma que se muestra en la figura. 16. Entonces las relaciones difusas correspondientes a las reglas de la base de conocimiento serán como en la Fig. 17.
Figura 16 - Funciones de membresía a término
Figura 17 - Relaciones difusas correspondientes a las reglas de la base de conocimiento del ejemplo 11
Para especificar dependencias multidimensionales de entrada-salida, se utilizan operaciones lógicas difusas Y y O. Es conveniente formular reglas de modo que dentro de cada regla las variables se combinen mediante la operación lógica AND y las reglas en la base de conocimiento se conecten mediante la operación OR. En este caso, la base de conocimiento difusa que conecta las entradas 
con salida, se puede representar de la siguiente forma.
En nuestra discusión informal sobre el concepto de variable lingüística en §1, afirmamos que una variable lingüística se diferencia de una variable numérica en que sus valores no son números, sino palabras u oraciones en un lenguaje natural o formal. Dado que las palabras son generalmente menos precisas que los números, el concepto de variable lingüística permite aproximarse a fenómenos que son tan complejos que no pueden describirse en términos cuantitativos convencionales. En particular, un conjunto difuso, que es una restricción asociada con los valores de una variable lingüística, puede considerarse como una característica colectiva de varias subclases de elementos de un conjunto universal. En este sentido, el papel de los conjuntos difusos es similar al papel que desempeñan las palabras y oraciones en el lenguaje natural. Por ejemplo, adjetivo Hermoso refleja un complejo de características de la apariencia de un individuo. Este adjetivo también puede considerarse como el nombre de un conjunto difuso, que es una restricción impuesta por una variable difusa. Hermoso. Desde este punto de vista, los términos muy hermoso, feo, extremadamente hermosa, bastante hermoso etc. - nombres de conjuntos difusos formados por la acción de modificadores Muy, No, extremadamente, bastante etc. en un conjunto difuso Hermoso. En esencia, estos conjuntos difusos, junto con el hermoso conjunto difuso, desempeñan el papel de valores de una variable lingüística. Apariencia.
Un aspecto importante del concepto de variable lingüística es que es una variable de orden superior que una variable difusa en el sentido de que los valores de una variable lingüística son variables difusas. Por ejemplo, los valores de la variable lingüística. Edad tal vez: joven, de mediana edad, viejo, muy viejo, de mediana edad y no viejo, bastante viejo etc. Cada uno de estos valores es el nombre de una variable difusa. Si es el nombre de una variable difusa, entonces la restricción impuesta por este nombre puede interpretarse como el significado de la variable difusa. Entonces, si la restricción debida a la variable difusa viejo, es un subconjunto difuso de un conjunto de la forma
, , (5.1)
Otro aspecto importante del concepto de variable lingüística es que una variable lingüística corresponde a dos reglas: (1) una regla sintáctica, que puede darse en forma de gramática que genera los nombres de los valores de la variable; (2) una regla semántica que especifica un procedimiento algorítmico para calcular el significado de cada valor. Estas reglas forman parte esencial de la descripción de la estructura de una variable lingüística.
Arroz. 5.1. Funciones de compatibilidad para valores y 
.
Dado que una variable lingüística es una variable de orden superior que una variable difusa, su descripción debería ser más compleja que la descripción de una variable difusa dada en la Definición 4.1.
Definición 5.1. Una variable lingüística se caracteriza por un conjunto 
, en el cual está el nombre de la variable; (o simplemente) denota un conjunto de términos de una variable, es decir, un conjunto de nombres de valores lingüísticos de una variable, siendo cada uno de esos valores una variable difusa con valores de un conjunto universal con una variable base ;
(5.2)
- una regla sintáctica (que suele tener forma de gramática) que genera los nombres de los valores de la variable, y - una regla semántica que asocia cada variable difusa con su significado, es decir, un subconjunto difuso del conjunto universal. El nombre específico generado por una regla sintáctica se llama término. Un término que consta de una o varias palabras que siempre aparecen juntas se llama término atómico. Un término que consta de uno o más términos atómicos se llama término compuesto. La concatenación de algunos componentes de un término compuesto es un subtérmino. Si son términos en , entonces se pueden representar como una unión.
Si es necesario indicar explícitamente lo que generó la gramática, escribiremos .
, (5.3)
El significado de un término se define como una restricción sobre una variable base condicionada por una variable difusa:
teniendo en cuenta que y, por tanto, puede considerarse como un subconjunto difuso del conjunto que lleva el nombre . La relación entre su significado lingüístico y la variable subyacente se ilustra en la Fig. 1.3. Observación 5.2.
a) A menudo usaremos el símbolo para indicar tanto el nombre de la variable en sí como el nombre general de sus valores. Asimismo, denotará tanto el nombre general de los valores de la variable como el nombre de la propia variable.
b) Usaremos el mismo símbolo para indicar el conjunto y su nombre. Así, los símbolos y serán intercambiables, aunque, en rigor, como nombre (o) no es lo mismo que como conjunto difuso. En otras palabras, cuando decimos que un término (por ejemplo, joven) hay un valor variable (por ejemplo, Edad), entonces queremos decir que el valor real es y es solo el nombre de este valor.
Ejemplo 5.3. Edad, es decir. , y deja. Significado lingüístico de la variable. Edad tal vez, por ejemplo, viejo, y el valor viejo es un término atómico. Otro significado podría ser muy viejo, es decir, un término compuesto en el que viejo - término atómico, y Muy Y viejo- subtérminos.
Significado mas o menos joven variable Edad - un término compuesto en el que el término joven - atómico y más o menos- subtérmino. Conjunto de términos de variable Edad se puede escribir de la siguiente manera:
(5.4)
Aquí, cada término es el nombre de una variable difusa del conjunto universal. La limitación impuesta por el término, digamos, es el significado del significado lingüístico. viejo. Por lo tanto, si se determina de acuerdo con (5.1), entonces el significado del significado lingüístico viejo está determinada por la expresión
, (5.5)
o más simple (ver observación 5.2)
. (5.6)
De manera similar, el significado de un significado lingüístico como muy viejo, se puede expresar de la siguiente manera (ver Fig. 5.1):
La ecuación de asignación en el caso de una variable lingüística toma la forma
de donde se sigue que el significado asignado al término se expresa por la igualdad
En otras palabras, el significado de un término se obtiene aplicando una regla semántica al significado del término asignado según el lado derecho de la ecuación (5.8). Además, de la definición (5.3) se deduce que es idéntica a la limitación debida al término .
Observación 5.4. De acuerdo con la Observación 5.2(a), la ecuación de asignación generalmente se escribirá como
, (5.10)
entendiendo esto de tal manera que viejo- restricción de los valores de la variable base, definida por (5.1), - asignado a la variable lingüística Edad. Es importante señalar que el signo igual en (5.10) no denota una relación simétrica, como en el caso de la igualdad aritmética. Por tanto, no tiene sentido escribir (5.11) en la forma
Para ilustrar el concepto de variable lingüística, consideremos primero un ejemplo muy simple que contiene sólo una pequeña cantidad de términos y las reglas sintácticas y semánticas son triviales.
Ejemplo 5.5. Considere la variable lingüística Número, cuyo conjunto de términos finitos tiene la forma
donde cada término representa una restricción sobre los valores de la variable base en el conjunto universal
Se supone que estas restricciones son subconjuntos difusos del conjunto y se definen de la siguiente manera:
, (5.15) con restricción binaria aproximadamente igual.
Para asignar un valor, digamos aproximadamente igual variable lingüística, escribimos
donde, como en (5.18), se entiende que se asigna una relación binaria difusa como valor de la variable aproximadamente igual, que es una restricción binaria sobre los valores de la variable base en el conjunto universal (5.20).
Arroz. 5.2. La analogía del bolso de mano para una variable lingüística
Observación 5.7. Usando la analogía de la bolsa de viaje (ver Observación 4.3), una variable lingüística en el sentido de la Definición 5.1 puede compararse con una bolsa de viaje dura en la que se pueden colocar bolsas de viaje blandas, como se muestra en la Fig. 5.2. La bolsa blanda corresponde a una variable difusa, que es el valor lingüístico de la variable y desempeña el papel de una etiqueta en la bolsa blanda.
