Cómo multiplicar la matriz a por la matriz b. Acciones con matrices

Este tema cubrirá operaciones como sumar y restar matrices, multiplicar una matriz por un número, multiplicar una matriz por una matriz y transponer una matriz. Todos los símbolos utilizados en esta página están tomados del tema anterior.

Suma y resta de matrices.

La suma de $A+B$ de las matrices $A_(m\times n)=(a_(ij))$ y $B_(m\times n)=(b_(ij))$ se llama matriz $C_(m \times n) =(c_(ij))$, donde $c_(ij)=a_(ij)+b_(ij)$ para todos $i=\overline(1,m)$ y $j=\overline( 1,n)$.

Se introduce una definición similar para la diferencia de matrices:

La diferencia entre las matrices $A-B$ $A_(m\times n)=(a_(ij))$ y $B_(m\times n)=(b_(ij))$ es la matriz $C_(m\times n)=( c_(ij))$, donde $c_(ij)=a_(ij)-b_(ij)$ para todos $i=\overline(1,m)$ y $j=\overline(1, norte)$.

Explicación de la entrada $i=\overline(1,m)$: show\hide

La notación "$i=\overline(1,m)$" significa que el parámetro $i$ varía de 1 a m. Por ejemplo, la notación $i=\overline(1,5)$ indica que el parámetro $i$ toma los valores 1, 2, 3, 4, 5.

Vale la pena señalar que las operaciones de suma y resta se definen solo para matrices del mismo tamaño. En general, la suma y resta de matrices son operaciones que son claras intuitivamente, porque esencialmente significan solo la suma o resta de los elementos correspondientes.

Ejemplo No. 1

Se dan tres matrices:

$$ A=\left(\begin(array) (ccc) -1 & -2 & 1 \\ 5 & 9 & -8 \end(array) \right)\;\; B=\left(\begin(array) (ccc) 10 & -25 & 98 \\ 3 & 0 & -14 \end(array) \right); \;\; F=\left(\begin(array) (cc) 1 y 0 \\ -5 y 4 \end(array) \right). $$

¿Es posible encontrar la matriz $A+F$? Encuentre las matrices $C$ y $D$ si $C=A+B$ y $D=A-B$.

La matriz $A$ contiene 2 filas y 3 columnas (en otras palabras, el tamaño de la matriz $A$ es $2\times 3$), y la matriz $F$ contiene 2 filas y 2 columnas. Los tamaños de las matrices $A$ y $F$ no coinciden, por lo que no podemos sumarlos, es decir la operación $A+F$ no está definida para estas matrices.

Los tamaños de las matrices $A$ y $B$ son iguales, es decir Los datos de la matriz contienen el mismo número de filas y columnas, por lo que la operación de suma es aplicable a ellas.

$$ C=A+B=\left(\begin(array) (ccc) -1 & -2 & 1 \\ 5 & 9 & -8 \end(array) \right)+ \left(\begin(array ) (ccc) 10 & -25 & 98 \\ 3 & 0 & -14 \end(array) \right)=\\= \left(\begin(array) (ccc) -1+10 & -2+( -25) & 1+98 \\ 5+3 & 9+0 & -8+(-14) \end(array) \right)= \left(\begin(array) (ccc) 9 & -27 & 99 \\ 8 y 9 y -22 \end(array) \right) $$

Encontremos la matriz $D=A-B$:

$$ D=A-B=\left(\begin(array) (ccc) -1 & -2 & 1 \\ 5 & 9 & -8 \end(array) \right)- \left(\begin(array) ( ccc) 10 y -25 y 98 \\ 3 y 0 y -14 \end(array) \right)=\\= \left(\begin(array) (ccc) -1-10 y -2-(-25 ) & 1-98 \\ 5-3 & 9-0 & -8-(-14) \end(array) \right)= \left(\begin(array) (ccc) -11 & 23 & -97 \ \2 y 9 y 6 \end(array) \right) $$

Respuesta: $C=\left(\begin(array) (ccc) 9 & -27 & 99 \\ 8 & 9 & -22 \end(array) \right)$, $D=\left(\begin(array) (ccc) -11 y 23 y -97 \\ 2 y 9 y 6 \end(array) \right)$.

Multiplicar una matriz por un número.

El producto de la matriz $A_(m\times n)=(a_(ij))$ por el número $\alpha$ es la matriz $B_(m\times n)=(b_(ij))$, donde $ b_(ij)= \alpha\cdot a_(ij)$ para todos $i=\overline(1,m)$ y $j=\overline(1,n)$.

En pocas palabras, multiplicar una matriz por un número determinado significa multiplicar cada elemento de una matriz determinada por ese número.

Ejemplo No. 2

La matriz está dada: $ A=\left(\begin(array) (ccc) -1 & -2 & 7 \\ 4 & 9 & 0 \end(array) \right)$. Encuentre las matrices $3\cdot A$, $-5\cdot A$ y $-A$.

$$ 3\cdot A=3\cdot \left(\begin(array) (ccc) -1 & -2 & 7 \\ 4 & 9 & 0 \end(array) \right) =\left(\begin( matriz) (ccc) 3\cdot(-1) & 3\cdot(-2) & 3\cdot 7 \\ 3\cdot 4 & 3\cdot 9 & 3\cdot 0 \end(array) \right)= \left(\begin(array) (ccc) -3 & -6 & 21 \\ 12& 27 & 0 \end(array) \right).\\ -5\cdot A=-5\cdot \left(\begin (matriz) (ccc) -1 & -2 & 7 \\ 4 & 9 & 0 \end(matriz) \right) =\left(\begin(matriz) (ccc) -5\cdot(-1) & - 5\cdot(-2) & -5\cdot 7 \\ -5\cdot 4 & -5\cdot 9 & -5\cdot 0 \end(array) \right)= \left(\begin(array) ( ccc) 5 y 10 y -35 \\ -20 y -45 y 0 \end(array) \right). $$

La notación $-A$ es una notación abreviada de $-1\cdot A$. Es decir, para encontrar $-A$ necesitas multiplicar todos los elementos de la matriz $A$ por (-1). Básicamente, esto significa que el signo de todos los elementos de la matriz $A$ cambiará al contrario:

$$ -A=-1\cdot A=-1\cdot \left(\begin(array) (ccc) -1 & -2 & 7 \\ 4 & 9 & 0 \end(array) \right)= \ izquierda(\begin(array) (ccc) 1 y 2 y -7 \\ -4 y -9 y 0 \end(array) \right) $$

Respuesta: $3\cdot A=\left(\begin(array) (ccc) -3 & -6 & 21 \\ 12& 27 & 0 \end(array) \right);\; -5\cdot A=\left(\begin(array) (ccc) 5 & 10 & -35 \\ -20 & -45 & 0 \end(array) \right);\; -A=\left(\begin(array) (ccc) 1 & 2 & -7 \\ -4 & -9 & 0 \end(array) \right)$.

Producto de dos matrices.

La definición de esta operación es engorrosa y, a primera vista, poco clara. Por tanto, primero indicaré una definición general, y luego analizaremos en detalle qué significa y cómo trabajar con ella.

El producto de la matriz $A_(m\times n)=(a_(ij))$ por la matriz $B_(n\times k)=(b_(ij))$ es la matriz $C_(m\times k )=(c_( ij))$, para lo cual cada elemento $c_(ij)$ es igual a la suma de los productos de los elementos correspondientes de la i-ésima fila de la matriz $A$ por los elementos de la j -ésima columna de la matriz $B$: $$c_(ij)=\sum\limits_ (p=1)^(n)a_(ip)b_(pj), \;\; i=\overline(1,m), j=\overline(1,n).$$

Veamos la multiplicación de matrices paso a paso usando un ejemplo. Sin embargo, debes tener en cuenta de inmediato que no todas las matrices se pueden multiplicar. Si queremos multiplicar la matriz $A$ por la matriz $B$, primero debemos asegurarnos de que el número de columnas de la matriz $A$ sea igual al número de filas de la matriz $B$ (tales matrices a menudo se llaman acordado). Por ejemplo, la matriz $A_(5\times 4)$ (la matriz contiene 5 filas y 4 columnas) no se puede multiplicar por la matriz $F_(9\times 8)$ (9 filas y 8 columnas), ya que el número de columnas de la matriz $A $ no es igual al número de filas de la matriz $F$, es decir $4\neq 9$. Pero puedes multiplicar la matriz $A_(5\times 4)$ por la matriz $B_(4\times 9)$, ya que el número de columnas de la matriz $A$ es igual al número de filas de la matriz $ B$. En este caso, el resultado de multiplicar las matrices $A_(5\times 4)$ y $B_(4\times 9)$ será la matriz $C_(5\times 9)$, que contiene 5 filas y 9 columnas:

Ejemplo No. 3

Matrices dadas: $ A=\left(\begin(array) (cccc) -1 & 2 & -3 & 0 \\ 5 & 4 & -2 & 1 \\ -8 & 11 & -10 & -5 \end (matriz) \right)$ y $ B=\left(\begin(array) (cc) -9 & 3 \\ 6 & 20 \\ 7 & 0 \\ 12 & -4 \end(array) \right) $. Encuentra la matriz $C=A\cdot B$.

Primero, determinemos inmediatamente el tamaño de la matriz $C$. Dado que la matriz $A$ tiene un tamaño $3\times 4$, y la matriz $B$ tiene un tamaño $4\times 2$, entonces el tamaño de la matriz $C$ es: $3\times 2$:

Entonces, como resultado del producto de las matrices $A$ y $B$, debemos obtener una matriz $C$, que consta de tres filas y dos columnas: $ C=\left(\begin(array) (cc) c_ (11) & c_( 12) \\ c_(21) & c_(22) \\ c_(31) & c_(32) \end(array) \right)$. Si la designación de elementos plantea dudas, entonces se puede consultar el tema anterior: “Tipos de matrices”, al principio del cual se explica la designación de elementos matriciales. Nuestro objetivo: encontrar los valores de todos los elementos de la matriz $C$.

Comencemos con el elemento $c_(11)$. Para obtener el elemento $c_(11)$, necesitas encontrar la suma de los productos de los elementos de la primera fila de la matriz $A$ y la primera columna de la matriz $B$:

Para encontrar el elemento $c_(11)$, es necesario multiplicar los elementos de la primera fila de la matriz $A$ por los elementos correspondientes de la primera columna de la matriz $B$, es decir el primer elemento al primero, el segundo al segundo, el tercero al tercero, el cuarto al cuarto. Resumimos los resultados obtenidos:

$$ c_(11)=-1\cdot (-9)+2\cdot 6+(-3)\cdot 7 + 0\cdot 12=0. $$

Continuamos con la solución y encontramos $c_(12)$. Para hacer esto, tendrás que multiplicar los elementos de la primera fila de la matriz $A$ y la segunda columna de la matriz $B$:

Similar al anterior, tenemos:

$$ c_(12)=-1\cdot 3+2\cdot 20+(-3)\cdot 0 + 0\cdot (-4)=37. $$

Se han encontrado todos los elementos de la primera fila de la matriz $C$. Pasemos a la segunda línea, que comienza con el elemento $c_(21)$. Para encontrarlo, tendrás que multiplicar los elementos de la segunda fila de la matriz $A$ y la primera columna de la matriz $B$:

$$ c_(21)=5\cdot (-9)+4\cdot 6+(-2)\cdot 7 + 1\cdot 12=-23. $$

Encontramos el siguiente elemento $c_(22)$ multiplicando los elementos de la segunda fila de la matriz $A$ por los elementos correspondientes de la segunda columna de la matriz $B$:

$$ c_(22)=5\cdot 3+4\cdot 20+(-2)\cdot 0 + 1\cdot (-4)=91. $$

Para encontrar $c_(31)$, multiplica los elementos de la tercera fila de la matriz $A$ por los elementos de la primera columna de la matriz $B$:

$$ c_(31)=-8\cdot (-9)+11\cdot 6+(-10)\cdot 7 + (-5)\cdot 12=8. $$

Y finalmente, para encontrar el elemento $c_(32)$, tendrás que multiplicar los elementos de la tercera fila de la matriz $A$ por los elementos correspondientes de la segunda columna de la matriz $B$:

$$ c_(32)=-8\cdot 3+11\cdot 20+(-10)\cdot 0 + (-5)\cdot (-4)=216. $$

Se han encontrado todos los elementos de la matriz $C$, solo queda escribir que $C=\left(\begin(array) (cc) 0 & 37 \\ -23 & 91 \\ 8 & 216 \end( matriz) \derecha)$ . O, para escribir completo:

$$ C=A\cdot B =\left(\begin(array) (cccc) -1 & 2 & -3 & 0 \\ 5 & 4 & -2 & 1 \\ -8 & 11 & -10 & - 5 \end(array) \right)\cdot \left(\begin(array) (cc) -9 y 3 \\ 6 y 20 \\ 7 y 0 \\ 12 y -4 \end(array) \right) =\left(\begin(array) (cc) 0 y 37 \\ -23 y 91 \\ 8 y 216 \end(array) \right). $$

Respuesta: $C=\left(\begin(array) (cc) 0 y 37 \\ -23 y 91 \\ 8 y 216 \end(array) \right)$.

Por cierto, a menudo no hay razón para describir en detalle la ubicación de cada elemento de la matriz de resultados. Para matrices cuyo tamaño es pequeño, puedes hacer esto:

También vale la pena señalar que la multiplicación de matrices no es conmutativa. Esto significa que en el caso general $A\cdot B\neq B\cdot A$. Sólo para algunos tipos de matrices, que se denominan permutable(o desplazamientos), la igualdad $A\cdot B=B\cdot A$ es verdadera. Precisamente en base a la no conmutatividad de la multiplicación debemos indicar exactamente cómo multiplicamos la expresión por tal o cual matriz: a la derecha o a la izquierda. Por ejemplo, la frase “multiplica ambos lados de la igualdad $3E-F=Y$ por la matriz $A$ de la derecha” significa que quieres obtener la siguiente igualdad: $(3E-F)\cdot A=Y\cdot A$.

Transpuesta con respecto a la matriz $A_(m\times n)=(a_(ij))$ está la matriz $A_(n\times m)^(T)=(a_(ij)^(T))$, para elementos que $a_(ij)^(T)=a_(ji)$.

En pocas palabras, para obtener una matriz transpuesta $A^T$, es necesario reemplazar las columnas de la matriz original $A$ con las filas correspondientes de acuerdo con este principio: había una primera fila, habrá una primera columna. ; había una segunda fila; habrá una segunda columna; había una tercera fila; habrá una tercera columna y así sucesivamente. Por ejemplo, encontremos la matriz transpuesta a la matriz $A_(3\times 5)$:

En consecuencia, si la matriz original tenía un tamaño de $3\times 5$, entonces la matriz transpuesta tiene un tamaño de $5\times 3$.

Algunas propiedades de las operaciones sobre matrices.

Aquí se supone que $\alpha$, $\beta$ son algunos números y $A$, $B$, $C$ son matrices. Para las primeras cuatro propiedades indiqué nombres; el resto puede nombrarse por analogía con las cuatro primeras.

1. $A+B=B+A$ (conmutatividad de la suma)
2. $A+(B+C)=(A+B)+C$ (asociatividad de la suma)
3. $(\alpha+\beta)\cdot A=\alpha A+\beta A$ (distributividad de la multiplicación por una matriz con respecto a la suma de números)
4. $\alpha\cdot(A+B)=\alpha A+\alpha B$ (distributividad de la multiplicación por un número relativa a la suma de matrices)
5. $A(BC)=(AB)C$
6. $(\alfa\beta)A=\alfa(\beta A)$
7. $A\cdot (B+C)=AB+AC$, $(B+C)\cdot A=BA+CA$.
8. $A\cdot E=A$, $E\cdot A=A$, donde $E$ es la matriz identidad del orden correspondiente.
9. $A\cdot O=O$, $O\cdot A=O$, donde $O$ es una matriz cero del tamaño apropiado.
10. $\izquierda(A^T \derecha)^T=A$
11. $(A+B)^T=A^T+B^T$
12. $(AB)^T=B^T\cdot A^T$
13. $\left(\alpha A \right)^T=\alpha A^T$

En la siguiente parte, consideraremos la operación de elevar una matriz a una potencia entera no negativa y también resolveremos ejemplos en los que es necesario realizar varias operaciones con matrices.

Las principales aplicaciones de las matrices están relacionadas con la operación multiplicación.

Se dan dos matrices:

A – talla mn

B – tamaño norte k

Porque la longitud de una fila en la matriz A coincide con la altura de una columna en la matriz B, se puede definir una matriz C=AB, que tendrá dimensiones m k. Elemento La matriz C, ubicada en una i-ésima fila arbitraria (i=1,...,m) y una j-ésima columna arbitraria (j=1,...,k), por definición, es igual al producto escalar de dos vectores de
:i-ésima fila de la matriz A y j-ésima columna de la matriz B:

Propiedades:

¿Cómo se define la operación de multiplicar una matriz A por un número λ?

El producto de A y el número λ es una matriz en la que cada elemento es igual al producto del elemento correspondiente de A y λ. Corolario: El factor común de todos los elementos de la matriz se puede sacar del signo de la matriz.

13. Definición de la matriz inversa y sus propiedades.

Definición. Si existen matrices cuadradas X y A del mismo orden que satisfacen la condición:

donde E es la matriz identidad del mismo orden que la matriz A, entonces la matriz X se llama contrarrestar a la matriz A y se denota por A -1.

Propiedades de matrices inversas

Indiquemos las siguientes propiedades de las matrices inversas:

1) (A -1) -1 = A;

2) (AB) -1 = B -1 A -1

3) (A T) -1 = (A -1) T .

1. Si existe la matriz inversa, entonces es única.

2. No todas las matrices cuadradas distintas de cero tienen inversa.

14. Da las principales propiedades de los determinantes. Comprobar la validez de la propiedad |AB|=|A|*|B| para matrices

A= y B=

Propiedades de los determinantes:

1. Si alguna fila del determinante consta de ceros, entonces el determinante en sí es igual a cero.

2. Al reorganizar dos filas, el determinante se multiplica por -1.

3. El determinante con dos filas idénticas es igual a cero.

4. Del signo determinante se puede sacar el factor común de los elementos de cualquier fila.

5. Si los elementos de una determinada fila del determinante A se presentan como la suma de dos términos, entonces el determinante en sí es igual a la suma de dos determinantes B y D. En el determinante B, la línea especificada consta de los primeros términos, en D - de los segundos términos. Las líneas restantes de determinantes B y D son las mismas que en A.

6. El valor del determinante no cambiará si se suma otra línea a una de las líneas, multiplicada por cualquier número.

7. La suma de los productos de elementos de cualquier fila por complementos algebraicos a los elementos correspondientes de otra fila es igual a 0.

8. El determinante de la matriz A es igual al determinante de la matriz transpuesta A m, es decir el determinante no cambia cuando se transpone.

15. Defina el módulo y el argumento de un número complejo. Escribe los números √3+ en forma trigonométrica.i, -1+ i.

Cada número complejo z=a+ib puede asociarse a un vector (a,b)€R 2. La longitud de este vector igual a √a 2 + b 2 se llama módulo de un número complejo z y se denota por |z|. El ángulo φ entre un vector dado y la dirección positiva del eje Ox se llama argumento de número complejo z y se denota por arg z.

Cualquier número complejo z≠0 se puede representar como z=|z|(cosφ +isinφ).

Esta forma de escribir un número complejo se llama trigonométrica.

√3+i=2(√3/2+1/2i)=2(cosπ/6+isinπ/6);

1+i=2(-√2/2+i√2/2)=2(cosπ/4+isinπ/4).

A cada número complejo Z = a + ib se le puede asignar un vector (a; b) perteneciente a R^2. La longitud de este vector, igual a KB de a^2 + b^2, se llama módulo de un número complejo y se denota por el módulo Z. El ángulo entre este vector y la dirección positiva del eje Ox se llama argumento del número complejo (denotado por arg Z).

Suma de matriz:

Resta y suma de matrices. se reduce a las correspondientes operaciones sobre sus elementos. Operación de suma de matrices ingresado solo para matrices el mismo tamaño, es decir, para matrices, en el que el número de filas y columnas es respectivamente igual. Suma de matrices A y B se llaman matriz C, cuyos elementos son iguales a la suma de los elementos correspondientes. C = A + B c ij = a ij + b ij Definido de manera similar diferencia de matriz.

Multiplicar una matriz por un número:

Operación de multiplicación (división) de matrices de cualquier tamaño por un número arbitrario se reduce a multiplicar (dividir) cada elemento matrices para este número. Producto de matriz Y el numero k se llama matriz B, tal que

b ij = k × a ij . B = k × A b ij = k × a ij . Matriz- A = (-1) × A se llama lo contrario matriz A.

Propiedades de sumar matrices y multiplicar una matriz por un número:

Operaciones de suma de matrices Y multiplicación de matrices por número tienen las siguientes propiedades: 1. A + B = B + A; 2. A + (B + C) = (A + B) + C; 3. A + 0 = A; 4. A - A = 0; 5. 1×A = A; 6. α × (A + B) = αA + αB; 7. (α + β) × A = αA + βA; 8. α × (βA) = (αβ) × A; , donde A, B y C son matrices, α y β son números.

Multiplicación de matrices (producto de matrices):

Operación de multiplicar dos matrices. se ingresa solo para el caso en que el número de columnas de la primera matrices igual al número de líneas del segundo matrices. Producto de matriz Y m×n en matriz En n×p, llamado matriz Con m×p tal que con ik = a i1 × b 1k + a i2 × b 2k + ... + a in × b nk , es decir, se encuentra la suma de los productos de los elementos de la i-ésima fila matrices Y a los elementos correspondientes de la j-ésima columna. matrices B. Si matrices A y B son cuadrados del mismo tamaño, entonces los productos AB y BA siempre existen. Es fácil demostrar que A × E = E × A = A, donde A es cuadrado matriz, E - unidad matriz el mismo tamaño.

Propiedades de la multiplicación de matrices:

Multiplicación de matrices no conmutativo, es decir AB ≠ BA incluso si ambos productos están definidos. Sin embargo, si por alguna matrices se cumple la relación AB=BA, entonces tal matrices se llaman conmutativos. El ejemplo más típico es un solo matriz, que conmuta con cualquier otro matriz el mismo tamaño. Sólo los cuadrados pueden ser permutables matrices del mismo orden. A × E = E × A = A

Multiplicación de matrices tiene las siguientes propiedades: 1. A × (B × C) = (A × B) × C; 2. A × (B + C) = AB + AC; 3. (A + B) × C = AC + BC; 4. α × (AB) = (αA) × B; 5. A × 0 = 0; 0×A = 0; 6. (AB) T = B T A T; 7. (ABC) T = C T V T A T; 8. (A + B) T = A T + B T;

2. Determinantes de 2º y 3º orden. Propiedades de los determinantes.

Determinante de matriz segundo orden, o determinante El segundo orden es un número que se calcula mediante la fórmula:

Determinante de matriz tercer orden, o determinante El tercer orden es un número que se calcula mediante la fórmula:

Este número representa una suma algebraica que consta de seis términos. Cada término contiene exactamente un elemento de cada fila y cada columna. matrices. Cada término consta del producto de tres factores.

Señales con las que miembros. determinante de la matriz incluido en la fórmula encontrar el determinante de la matriz El tercer orden se puede determinar utilizando el esquema dado, que se llama regla de los triángulos o regla de Sarrus. Los primeros tres términos se toman con un signo más y se determinan a partir de la figura de la izquierda, y los tres términos siguientes se toman con un signo menos y se determinan a partir de la figura de la derecha.

Determinar el número de términos a encontrar. determinante de la matriz, en una suma algebraica, puedes calcular el factorial: 2! = 1 × 2 = 2 3! = 1 × 2 × 3 = 6

Propiedades de los determinantes matriciales

Propiedades de los determinantes matriciales:

Propiedad #1:

Determinante de matriz no cambiará si sus filas se reemplazan con columnas, cada fila con una columna con el mismo número, y viceversa (Transposición). |A| = |A| t

Consecuencia:

Columnas y filas determinante de la matriz son iguales, por lo tanto, las propiedades inherentes a las filas también se cumplen para las columnas.

Propiedad #2:

Al reorganizar 2 filas o columnas determinante de la matriz cambiará el signo al contrario, manteniendo el valor absoluto, es decir:

Propiedad #3:

Determinante de matriz tener dos filas idénticas es igual a cero.

Propiedad #4:

Factor común de elementos de cualquier serie. determinante de la matriz puede tomarse como una señal determinante.

Corolarios de las propiedades No. 3 y No. 4:

Si todos los elementos de una determinada serie (fila o columna) son proporcionales a los elementos correspondientes de una serie paralela, entonces tales determinante de la matriz igual a cero.

Propiedad #5:

determinante de la matriz son iguales a cero, entonces determinante de la matriz igual a cero.

Propiedad #6:

Si todos los elementos de una fila o columna determinante presentado como una suma de 2 términos, entonces determinante matrices se puede representar como la suma de 2 determinantes según la fórmula:

Propiedad #7:

Si a cualquier fila (o columna) determinante sumar los elementos correspondientes de otra fila (o columna), multiplicarlos por el mismo número, luego determinante de la matriz no cambiará su valor.

Ejemplo de uso de propiedades para el cálculo. determinante de la matriz:

Este manual le ayudará a aprender cómo realizar operaciones con matrices: suma (resta) de matrices, transposición de una matriz, multiplicación de matrices, búsqueda de la matriz inversa. Todo el material se presenta de forma sencilla y accesible, se dan ejemplos relevantes, para que incluso una persona que no esté preparada pueda aprender a realizar acciones con matrices. Para el autocontrol y la autocomprobación, puede descargar una calculadora matricial de forma gratuita >>>.

Intentaré minimizar los cálculos teóricos, en algunos lugares son posibles explicaciones "con los dedos" y el uso de términos no científicos. Amantes de la teoría sólida, por favor no hagan críticas, nuestra tarea es aprender a realizar operaciones con matrices.

Para una preparación SÚPER RÁPIDA sobre el tema (quién está “en llamas”) hay un curso intensivo en pdf Matriz, determinante y prueba!

Una matriz es una tabla rectangular de algunos elementos. Como elementos Consideraremos números, es decir, matrices numéricas. ELEMENTO es un término. Es recomendable recordar el término, aparecerá con frecuencia, no es casualidad que usé negrita para resaltarlo.

Designación: Las matrices generalmente se indican con letras latinas mayúsculas.

Ejemplo: Considere una matriz de dos por tres:

Esta matriz consta de seis elementos:

Todos los números (elementos) dentro de la matriz existen por sí solos, es decir, no se trata de ninguna resta:

¡Es solo una tabla (conjunto) de números!

También estaremos de acuerdo no reorganizar números, a menos que se indique lo contrario en las explicaciones. ¡Cada número tiene su propia ubicación y no se puede mezclar!

La matriz en cuestión tiene dos filas:

y tres columnas:

ESTÁNDAR: cuando se habla de tamaños de matriz, entonces en primer lugar indique el número de filas, y solo entonces el número de columnas. Acabamos de descomponer la matriz de dos por tres.

Si el número de filas y columnas de una matriz es el mismo, entonces la matriz se llama cuadrado, Por ejemplo: – una matriz de tres por tres.

Si una matriz tiene una columna o una fila, entonces dichas matrices también se denominan vectores.

De hecho, conocemos el concepto de matriz desde la escuela; consideremos, por ejemplo, un punto con coordenadas “x” e “y”: . Básicamente, las coordenadas de un punto se escriben en una matriz de uno por dos. Por cierto, aquí tienes un ejemplo de por qué es importante el orden de los números: y son dos puntos completamente diferentes en el plano.

Ahora pasemos a estudiar. operaciones con matrices:

1) Primer acto. Eliminar un menos de la matriz (introducir un menos en la matriz).

Volvamos a nuestra matriz. . Como probablemente habrás notado, hay demasiados números negativos en esta matriz. Esto es muy inconveniente desde el punto de vista de realizar varias acciones con la matriz, es inconveniente escribir tantas desventajas y simplemente se ve feo en el diseño.

Movemos el menos fuera de la matriz, cambiando el signo de CADA elemento de la matriz.:

En cero, como comprenderán, el signo no cambia; cero también es cero en África.

Ejemplo inverso: . Parece feo.

Introduzcamos un menos en la matriz cambiando el signo de CADA elemento de la matriz.:

Bueno, resultó mucho mejor. Y, lo más importante, será MÁS FÁCIL realizar cualquier acción con la matriz. Porque existe un signo popular tan matemático: Cuantos más inconvenientes, más confusión y errores..

2) Segundo acto. Multiplicar una matriz por un número.

Ejemplo:

Es simple, para multiplicar una matriz por un número, necesitas cada elemento de la matriz multiplicado por un número dado. En este caso, un tres.

Otro ejemplo útil:

– multiplicar una matriz por una fracción

Primero veamos qué hacer. NO HAY NECESIDAD:

NO ES NECESARIO ingresar una fracción en la matriz, en primer lugar, solo complica las acciones adicionales con la matriz y, en segundo lugar, dificulta que el maestro verifique la solución (especialmente si – respuesta final de la tarea).

Y especialmente, NO HAY NECESIDAD divide cada elemento de la matriz por menos siete:

Del artículo Matemáticas para tontos o por dónde empezar, recordamos que en matemáticas superiores se intenta de todas las formas posibles evitar las fracciones decimales con comas.

La unica cosa es preferiblemente Lo que hacer en este ejemplo es agregar un menos a la matriz:

Pero si solo TODO los elementos de la matriz se dividieron por 7 sin dejar rastro, entonces sería posible (¡y necesario!) dividir.

Ejemplo:

En este caso, puedes NECESITAR multiplica todos los elementos de la matriz por , ya que todos los números de la matriz son divisibles por 2 sin dejar rastro.

Nota: en la teoría de las matemáticas de la escuela superior no existe el concepto de "división". En lugar de decir "esto dividido por aquello", siempre puedes decir "esto multiplicado por una fracción". Es decir, la división es un caso especial de multiplicación.

3) Tercer acto. Transposición de matriz.

Para transponer una matriz, es necesario escribir sus filas en las columnas de la matriz transpuesta.

Ejemplo:

Transponer matriz

Aquí solo hay una línea y, según la regla, debe escribirse en una columna:

– matriz transpuesta.

Una matriz transpuesta generalmente se indica mediante un superíndice o un número primo en la parte superior derecha.

Ejemplo paso a paso:

Transponer matriz

Primero reescribimos la primera fila en la primera columna:

Luego reescribimos la segunda línea en la segunda columna:

Y finalmente, reescribimos la tercera fila en la tercera columna:

Listo. En términos generales, transponer significa girar la matriz de lado.

4) Cuarto acto. Suma (diferencia) de matrices.

La suma de matrices es una operación sencilla.
NO TODAS LAS MATRICES SE PUEDEN DOBLAR. Para realizar sumas (restas) de matrices, es necesario que sean del MISMO TAMAÑO.

Por ejemplo, si se da una matriz de dos por dos, ¡entonces solo se puede sumar con una matriz de dos por dos y ninguna otra!

Ejemplo:

Agregar matrices Y

Para sumar matrices, es necesario sumar sus elementos correspondientes.:

Para la diferencia de matrices la regla es similar, es necesario encontrar la diferencia de los elementos correspondientes.

Ejemplo:

encontrar diferencia matricial ,

¿Cómo puedes resolver este ejemplo más fácilmente, para no confundirte? Es aconsejable deshacerse de las desventajas innecesarias; para ello, agregue un signo menos a la matriz:

Nota: en la teoría de las matemáticas de la escuela superior no existe el concepto de "resta". En lugar de decir "resta esto de esto", siempre puedes decir "suma un número negativo a esto". Es decir, la resta es un caso especial de suma.

5) Acto quinto. Multiplicación de matrices.

¿Qué matrices se pueden multiplicar?

Para que una matriz se pueda multiplicar por una matriz, es necesario de modo que el número de columnas de la matriz sea igual al número de filas de la matriz.

Ejemplo:
¿Es posible multiplicar una matriz por una matriz?

Esto significa que los datos matriciales se pueden multiplicar.

Pero si se reorganizan las matrices, entonces, en este caso, ¡la multiplicación ya no es posible!

Por tanto, la multiplicación no es posible:

No es tan raro encontrar tareas con un truco, cuando se le pide al estudiante que multiplique matrices, cuya multiplicación es obviamente imposible.

Cabe señalar que en algunos casos es posible multiplicar matrices de ambas formas.
Por ejemplo, para matrices, y tanto la multiplicación como la multiplicación son posibles.

1er año, matemáticas superiores, estudiando. matrices y acciones básicas sobre ellos. Aquí sistematizamos las operaciones básicas que se pueden realizar con matrices. ¿Por dónde empezar a familiarizarse con las matrices? Por supuesto, desde las cosas más simples: definiciones, conceptos básicos y operaciones simples. ¡Te aseguramos que las matrices serán comprendidas por todo aquel que les dedique al menos un poco de tiempo!

Definición de matriz

Matriz es una tabla rectangular de elementos. Bueno, en términos simples: una tabla de números.

Normalmente, las matrices se indican con letras latinas mayúsculas. Por ejemplo, matriz A , matriz B etcétera. Las matrices pueden ser de diferentes tamaños: rectangulares, cuadradas y también existen matrices de filas y columnas llamadas vectores. El tamaño de la matriz está determinado por el número de filas y columnas. Por ejemplo, escribamos una matriz rectangular de tamaño metro en norte , Dónde metro – número de líneas, y norte - número de columnas.

Artículos para los cuales yo=j (a11, a22, .. ) forman la diagonal principal de la matriz y se llaman diagonales.

¿Qué se puede hacer con las matrices? Sumar/Restar, multiplicar por un numero, multiplicarse entre ellos, transponer. Ahora sobre todas estas operaciones básicas con matrices en orden.

Operaciones de suma y resta de matrices.

Permítanos advertirle de inmediato que solo puede sumar matrices del mismo tamaño. El resultado será una matriz del mismo tamaño. Sumar (o restar) matrices es simple: solo necesitas agregar sus elementos correspondientes . Pongamos un ejemplo. Realicemos la suma de dos matrices A y B de tamaño dos en dos.

La resta se realiza por analogía, solo que con el signo opuesto.

Cualquier matriz se puede multiplicar por un número arbitrario. Para hacer esto, necesitas multiplicar cada uno de sus elementos por este número. Por ejemplo, multipliquemos la matriz A del primer ejemplo por el número 5:

Operación de multiplicación de matrices

No todas las matrices se pueden multiplicar entre sí. Por ejemplo, tenemos dos matrices: A y B. Se pueden multiplicar entre sí solo si el número de columnas de la matriz A es igual al número de filas de la matriz B. En este caso cada elemento de la matriz resultante, ubicado en la i-ésima fila y j-ésima columna, será igual a la suma de los productos de los elementos correspondientes en la i-ésima fila del primer factor y la j-ésima columna de el segundo. Para entender este algoritmo, escribamos cómo se multiplican dos matrices cuadradas:

Y un ejemplo con números reales. Multipliquemos las matrices:

Operación de transposición de matriz

La transposición de matrices es una operación en la que se intercambian las filas y columnas correspondientes. Por ejemplo, transpongamos la matriz A del primer ejemplo:

Determinante de matriz

Determinante, o determinante, es uno de los conceptos básicos del álgebra lineal. Érase una vez, a la gente se le ocurrieron ecuaciones lineales y, después de ellas, hubo que encontrar un determinante. Al final, depende de ti lidiar con todo esto, así que ¡el último empujón!

El determinante es una característica numérica de una matriz cuadrada, que se necesita para resolver muchos problemas.
Para calcular el determinante de la matriz cuadrada más simple, es necesario calcular la diferencia entre los productos de los elementos de las diagonales principal y secundaria.

El determinante de una matriz de primer orden, es decir, formada por un elemento, es igual a este elemento.

¿Y si la matriz es de tres por tres? Esto es más difícil, pero puedes afrontarlo.

Para tal matriz, el valor del determinante es igual a la suma de los productos de los elementos de la diagonal principal y los productos de los elementos que se encuentran en los triángulos con una cara paralela a la diagonal principal, de donde se obtiene el producto de la Se restan los elementos de la diagonal secundaria y el producto de los elementos que se encuentran en los triángulos con la cara de la diagonal secundaria paralela.

Afortunadamente, en la práctica rara vez es necesario calcular determinantes de matrices de gran tamaño.

Aquí analizamos las operaciones básicas con matrices. Por supuesto, en la vida real es posible que nunca encuentres ni siquiera un indicio de un sistema matricial de ecuaciones o, por el contrario, puedes encontrar casos mucho más complejos en los que realmente tengas que devanarte los sesos. Es para estos casos que existen servicios profesionales para estudiantes. Solicite ayuda, obtenga una solución detallada y de alta calidad, disfrute del éxito académico y del tiempo libre.