Diferenciación de una función compleja de varias variables, ejemplos de soluciones. Las derivadas parciales son derivadas parciales de una función compleja de dos variables. Diferenciar funciones complejas

) ya nos hemos encontrado repetidamente con derivadas parciales de funciones complejas como ejemplos más difíciles. Entonces, ¿de qué más puedes hablar? ...Y todo es como en la vida: no hay complejidad que no pueda ser complicada =) Pero las matemáticas son para eso, para encajar la diversidad de nuestro mundo en un marco estricto. Y a veces esto se puede hacer con una sola frase:

En general, la función compleja tiene la forma , Dónde, al menos uno de letras representa función, que puede depender de arbitrario número de variables.

La opción mínima y más simple es la conocida función compleja de una variable, cuyo derivado Aprendimos a encontrar el semestre pasado. También tienes las habilidades para diferenciar funciones. (eche un vistazo a las mismas funciones ) .

Por lo tanto, ahora nos interesará solo el caso. Debido a la gran variedad de funciones complejas, las fórmulas generales de sus derivadas son muy engorrosas y difíciles de digerir. En este sentido, me limitaré a ejemplos específicos a partir de los cuales se puede entender el principio general de encontrar estas derivadas:

Ejemplo 1

Dada una función compleja donde . Requerido:
1) encuentre su derivada y escriba el diferencial total de primer orden;
2) calcular el valor de la derivada en .

Solución: Primero, veamos la función en sí. Se nos ofrece una función dependiendo de y , que a su vez son funciones una variable:

En segundo lugar, prestemos mucha atención a la tarea en sí: debemos encontrar derivado, es decir, ¡no estamos hablando de derivadas parciales, que estamos acostumbrados a encontrar! Desde la función En realidad depende de una sola variable, entonces la palabra "derivada" significa derivada total. ¿Cómo encontrarla?

Lo primero que me viene a la mente es la sustitución directa y una mayor diferenciación. sustituyamos para funcionar:
, después de lo cual no hay problemas con la derivada deseada:

Y, en consecuencia, el diferencial total:

Esta solución es matemáticamente correcta, pero un pequeño matiz es que cuando el problema se formula como está formulado, nadie espera tal barbarie de usted =) Pero en serio, aquí realmente se pueden encontrar fallas. Imagine que una función describe el vuelo de un abejorro y las funciones anidadas cambian según la temperatura. Realizar una sustitución directa , solo obtenemos información privada, que caracteriza el vuelo, digamos, sólo en climas cálidos. Además, si a una persona que no sabe nada de abejorros se le presenta el resultado final e incluso se le dice cuál es esta función, ¡nunca aprenderá nada sobre la ley fundamental del vuelo!

Entonces, de manera completamente inesperada, nuestro animado hermano nos ayudó a comprender el significado y la importancia de la fórmula universal:

Acostúmbrese a la notación de "dos pisos" para las derivadas: en la tarea que estamos considerando, son las que se utilizan. En este caso, uno debería ser muy limpio en la entrada: los derivados con símbolos directos “de” son derivadas completas, y los derivados con iconos redondeados son derivadas parciales. Empecemos por los últimos:

Bueno, con las “colas” todo es generalmente elemental:

Sustituyamos las derivadas encontradas en nuestra fórmula:

Cuando una función se propone inicialmente de forma intrincada, será lógico (¡y esto se explica arriba!) Deja los resultados como están:

Al mismo tiempo, en las respuestas "sofisticadas" es mejor abstenerse de simplificaciones mínimas. (aquí, por ejemplo, pide que le eliminen 3 desventajas)- y tienes menos trabajo, y tu amigo peludo estará feliz de revisar la tarea más fácilmente.

Sin embargo, una verificación aproximada no será superflua. sustituyamos en la derivada encontrada y realizar simplificaciones:


(en el último paso utilizamos fórmulas trigonométricas , )

Como resultado, se obtuvo el mismo resultado que con el método de solución "bárbaro".

Calculemos la derivada en el punto. Primero conviene conocer los valores de “tránsito” (valores de función ) :

Ahora hacemos los cálculos finales, que en este caso se pueden realizar de diferentes formas. Utilizo una técnica interesante en la que los "pisos" tercero y cuarto no se simplifican según las reglas habituales, sino que se transforman como el cociente de dos números:

Y, por supuesto, es pecado no comprobar utilizando una notación más compacta. :

Respuesta:

Sucede que el problema se plantea en forma “semigeneral”:

"Encuentra la derivada de la función donde »

Es decir, no se da la función "principal", pero sus "inserciones" son bastante específicas. La respuesta debe darse en el mismo estilo:

Además, la condición se puede cifrar ligeramente:

"Encuentra la derivada de la función. »

En este caso necesitas por cuenta propia designar funciones anidadas con algunas letras adecuadas, por ejemplo, mediante y usa la misma fórmula:

Por cierto, sobre las designaciones de letras. En repetidas ocasiones he instado a no "aferrarse a las letras" como si fueran un salvavidas, ¡y ahora esto es especialmente relevante! Al analizar varias fuentes sobre el tema, en general tuve la impresión de que los autores "se volvieron locos" y comenzaron a arrojar sin piedad a los estudiantes al tormentoso abismo de las matemáticas =) Así que perdóname :))

Ejemplo 2

Encuentra la derivada de una función. , Si

¡Otras designaciones no deberían causar confusión! Cada vez que te encuentres con una tarea como esta, debes responder dos preguntas simples:

1) ¿De qué depende la función “principal”? En este caso, la función “zet” depende de dos funciones (“y” y “ve”).

2) ¿De qué variables dependen las funciones anidadas? En este caso, ambas “inserciones” dependen únicamente de la “X”.

¡Así que no deberías tener ninguna dificultad para adaptar la fórmula a esta tarea!

Una breve solución y respuesta al final de la lección.

Se pueden encontrar ejemplos adicionales del primer tipo en El libro de problemas de Ryabushko (IDZ 10.1) Bueno, nos dirigimos hacia función de tres variables:

Ejemplo 3

Dada una función donde .
Calcular la derivada en el punto

La fórmula para la derivada de una función compleja, como muchos suponen, tiene una forma relacionada:

Decide una vez que lo hayas adivinado =)

Por si acaso, daré una fórmula general para la función:
, aunque en la práctica es poco probable que vea algo más largo que el Ejemplo 3.

Además, a veces es necesario diferenciar una versión "truncada", como regla general, una función de la forma o. Dejo esta pregunta para que la estudies por tu cuenta: crea algunos ejemplos simples, piensa, experimenta y deriva fórmulas abreviadas para derivadas.

Si algo aún no está claro, vuelva a leer lentamente y comprenda la primera parte de la lección, porque ahora la tarea se volverá más complicada:

Ejemplo 4

Encuentra las derivadas parciales de una función compleja, donde

Solución: esta función tiene la forma , y después de sustitución directa obtenemos la función habitual de dos variables:

Pero ese miedo no sólo no se acepta, sino que ya no se quiere diferenciar =) Por lo tanto, utilizaremos fórmulas ya preparadas. Para ayudarte a comprender rápidamente el patrón, tomaré algunas notas:

Mire atentamente la imagen de arriba a abajo y de izquierda a derecha….

Primero, encontremos las derivadas parciales de la función "principal":

Ahora encontramos las derivadas “X” de los “liners”:

y escribe la derivada final “X”:

Lo mismo ocurre con el “juego”:

Y

Puedes ceñirte a otro estilo: encuentra todas las "colas" a la vez y luego escribe ambas derivadas.

Respuesta:

Acerca de la sustitución De alguna manera no pienso en nada =) =), pero puedes modificar un poco los resultados. Aunque, de nuevo, ¿por qué? – sólo hará que al profesor le resulte más difícil comprobarlo.

Si es necesario, entonces diferencial completo aquí está escrito según la fórmula habitual y, por cierto, es en este paso donde se vuelven apropiados los cosméticos ligeros:


Esto es... ...un ataúd sobre ruedas.

Debido a la popularidad del tipo de función compleja que estamos considerando, existen un par de tareas que usted debe resolver. Un ejemplo más sencillo en forma “semigeneral” es para entender la fórmula misma ;-):

Ejemplo 5

Encuentra las derivadas parciales de la función, donde

Y más complicado, con la inclusión de técnicas de diferenciación:

Ejemplo 6

Encuentra el diferencial completo de una función. , Dónde

No, no estoy tratando de "enviarte al fondo" en absoluto; todos los ejemplos están tomados de trabajos reales y "en alta mar" puedes encontrar cualquier letra. En cualquier caso, será necesario analizar la función. (respondiendo 2 preguntas – ver arriba), presentarlo en forma general y modificar cuidadosamente las fórmulas de derivadas parciales. Puede que ahora estés un poco confundido, ¡pero comprenderás el principio mismo de su construcción! Porque los verdaderos desafíos apenas comienzan :)))

Ejemplo 7

Encuentra derivadas parciales y crea el diferencial completo de una función compleja.
, Dónde

Solución: la función "principal" tiene la forma y aún depende de dos variables: "x" e "y". Pero en comparación con el ejemplo 4, se agregó otra función anidada y, por lo tanto, las fórmulas de derivada parcial también se alargan. Como en ese ejemplo, para una mejor visualización del patrón, resaltaré las derivadas parciales “principales” en diferentes colores:

Y nuevamente, estudie cuidadosamente el registro de arriba a abajo y de izquierda a derecha.

Dado que el problema está formulado en forma “semigeneral”, todo nuestro trabajo se limita esencialmente a encontrar derivadas parciales de funciones integradas:

Un niño de primer grado puede manejar:

E incluso el diferencial completo resultó bastante bueno:

Deliberadamente no les ofrecí ninguna función específica, para que un desorden innecesario no interfiera con una buena comprensión del concepto de la tarea.

Respuesta:

Muy a menudo se pueden encontrar inversiones de “tamaño mixto”, por ejemplo:

Aquí la función "principal", aunque tiene la forma, todavía depende tanto de "x" como de "y". Por lo tanto, funcionan las mismas fórmulas: solo que algunas derivadas parciales serán iguales a cero. Además, esto también es cierto para funciones como , en el que cada “revestimiento” depende de una variable.

Una situación similar ocurre en los dos últimos ejemplos de la lección:

Ejemplo 8

Encuentra el diferencial total de una función compleja en un punto.

Solución: la condición se formula de forma "presupuestaria" y debemos etiquetar las funciones anidadas nosotros mismos. Creo que esta es una buena opción:

Los “insertos” contienen ( ¡ATENCIÓN!) TRES letras son el viejo “X-Y-Z”, lo que significa que la función “principal” en realidad depende de tres variables. Puede reescribirse formalmente como , y las derivadas parciales en este caso están determinadas por las siguientes fórmulas:

Escaneamos, profundizamos, capturamos….

En nuestra tarea:

Considere una función de dos variables:

Dado que las variables $x$ e $y$ son independientes, para dicha función podemos introducir el concepto de derivada parcial:

La derivada parcial de la función $f$ en el punto $M=\left(((x)_(0));((y)_(0)) \right)$ con respecto a la variable $x$ es el limite

\[(((f)")_(x))=\underset(\Delta x\to 0)(\mathop(\lim ))\,\frac(f\left(((x)_(0) )+\Delta x;((y)_(0)) \right))(\Delta x)\]

De manera similar, puedes definir la derivada parcial con respecto a la variable $y$ :

\[(((f)")_(y))=\underset(\Delta y\to 0)(\mathop(\lim ))\,\frac(f\left(((x)_(0) );((y)_(0))+\Delta y \right))(\Delta y)\]

En otras palabras, para encontrar la derivada parcial de una función de varias variables, es necesario fijar todas las demás variables excepto la deseada y luego encontrar la derivada ordinaria con respecto a esta variable deseada.

Esto lleva a la técnica principal para calcular tales derivadas: simplemente suponga que todas las variables excepto ésta son constantes y luego derive la función como lo haría con una función "ordinaria", con una variable. Por ejemplo:

$\begin(align)& ((\left(((x)^(2))+10xy \right))_(x))^(\prime )=((\left(((x)^(2 )) \right))^(\prime ))_(x)+10y\cdot ((\left(x \right))^(\prime ))_(x)=2x+10y, \\& (( \left(((x)^(2))+10xy \right))_(y))^(\prime )=((\left(((x)^(2)) \right))^(\ primo ))_(y)+10x\cdot ((\left(y \right))^(\prime ))_(y)=0+10x=10x. \\\end(alinear)$

Obviamente, las derivadas parciales con respecto a diferentes variables dan respuestas diferentes; esto es normal. Es mucho más importante entender por qué, digamos, en el primer caso eliminamos con calma $10y$ de debajo del signo de la derivada, y en el segundo caso eliminamos completamente el primer término. Todo esto se debe a que todas las letras, excepto la variable por la que se realiza la diferenciación, se consideran constantes: se pueden sacar, “quemar”, etc.

¿Qué es la "derivada parcial"?

Hoy hablaremos de funciones de varias variables y derivadas parciales de ellas. Primero, ¿qué es una función de varias variables? Hasta ahora, estamos acostumbrados a considerar una función como $y\left(x \right)$ o $t\left(x \right)$, o cualquier variable y una sola función de la misma. Ahora tendremos una función, pero varias variables. A medida que $y$ y $x$ cambien, el valor de la función cambiará. Por ejemplo, si $x$ se duplica, el valor de la función cambiará, mientras que si $x$ cambia, pero $y$ no cambia, el valor de la función cambiará de la misma manera.

Por supuesto, una función de varias variables se puede diferenciar, al igual que una función de una variable. Sin embargo, al existir varias variables, es posible diferenciar según diferentes variables. En este caso surgen reglas específicas que no existían al diferenciar una variable.

En primer lugar, cuando calculamos la derivada de una función a partir de cualquier variable, debemos indicar para qué variable estamos calculando la derivada; esto se llama derivada parcial. Por ejemplo, tenemos una función de dos variables y podemos calcularla tanto en $x$ como en $y$: dos derivadas parciales para cada una de las variables.

En segundo lugar, tan pronto como fijamos una de las variables y comenzamos a calcular la derivada parcial con respecto a ella, todas las demás incluidas en esta función se consideran constantes. Por ejemplo, en $z\left(xy \right)$, si consideramos la derivada parcial con respecto a $x$, entonces dondequiera que encontremos $y$, la consideramos una constante y la tratamos como tal. En particular, al calcular la derivada de un producto, podemos sacar $y$ entre paréntesis (tenemos una constante), y al calcular la derivada de una suma, si en algún lugar obtenemos la derivada de una expresión que contiene $y$ y que no contiene $x$, entonces la derivada de esta expresión será igual a “cero” como derivada de una constante.

A primera vista, puede parecer que estoy hablando de algo complicado y muchos estudiantes se confunden al principio. Sin embargo, no hay nada sobrenatural en las derivadas parciales, y ahora lo veremos usando el ejemplo de problemas específicos.

Problemas con radicales y polinomios.

Tarea número 1

Para no perder el tiempo, comencemos desde el principio con ejemplos serios.

Para empezar, déjame recordarte esta fórmula:

Este es el valor de la tabla estándar que conocemos del curso estándar.

En este caso, la derivada $z$ se calcula de la siguiente manera:

\[(((z)")_(x))=((\left(\sqrt(\frac(y)(x)) \right))^(\prime ))_(x)=\frac( 1)(2\sqrt(\frac(y)(x)))((\left(\frac(y)(x) \right))^(\prime ))_(x)\]

Hagámoslo de nuevo, ya que la raíz no es $x$, sino alguna otra expresión, en este caso $\frac(y)(x)$, entonces primero usaremos el valor estándar de la tabla, y luego, ya que la raíz es no $x $, y otra expresión, necesitamos multiplicar nuestra derivada por otra de esta expresión con respecto a la misma variable. Primero calculemos lo siguiente:

\[((\left(\frac(y)(x) \right))^(\prime ))_(x)=\frac(((((y)"))_(x))\cdot x-y \cdot ((((x)"))_(x)))(((x)^(2)))=\frac(0\cdot x-y\cdot 1)(((x)^(2)) )=-\frac(y)(((x)^(2)))\]

Volvemos a nuestra expresión y escribimos:

\[(((z)")_(x))=((\left(\sqrt(\frac(y)(x)) \right))^(\prime ))_(x)=\frac( 1)(2\sqrt(\frac(y)(x)))((\left(\frac(y)(x) \right))^(\prime ))_(x)=\frac(1) (2\sqrt(\frac(y)(x)))\cdot \left(-\frac(y)(((x)^(2))) \right)\]

Básicamente, eso es todo. Sin embargo, es incorrecto dejarlo en esta forma: tal construcción es inconveniente de usar para cálculos posteriores, así que transformémoslo un poco:

\[\frac(1)(2\sqrt(\frac(y)(x)))\cdot \left(-\frac(y)(((x)^(2))) \right)=\frac (1)(2)\cdot \sqrt(\frac(x)(y))\cdot \frac(y)(((x)^(2)))=\]

\[=-\frac(1)(2)\cdot \sqrt(\frac(x)(y))\cdot \sqrt(\frac(((y)^(2)))(((x)^ (4))))=-\frac(1)(2)\sqrt(\frac(x\cdot ((y)^(2)))(y\cdot ((x)^(4)))) =-\frac(1)(2)\sqrt(\frac(y)(((x)^(3))))\]

Se ha encontrado la respuesta. Ahora tratemos con $y$:

\[(((z)")_(y))=((\left(\sqrt(\frac(y)(x)) \right))^(\prime ))_(y)=\frac( 1)(2\sqrt(\frac(y)(x)))\cdot ((\left(\frac(y)(x) \right))^(\prime ))_(y)\]

Anotémoslo por separado:

\[((\left(\frac(y)(x) \right))^(\prime ))_(y)=\frac(((((y)"))_(y))\cdot x-y \cdot ((((x)"))_(y)))(((x)^(2)))=\frac(1\cdot x-y\cdot 0)(((x)^(2)) )=\frac(1)(x)\]

Ahora anotamos:

\[(((z)")_(y))=((\left(\sqrt(\frac(y)(x)) \right))^(\prime ))_(y)=\frac( 1)(2\sqrt(\frac(y)(x)))\cdot ((\left(\frac(y)(x) \right))^(\prime ))_(y)=\frac( 1)(2\sqrt(\frac(y)(x)))\cdot \frac(1)(x)=\]

\[=\frac(1)(2)\cdot \sqrt(\frac(x)(y))\cdot \sqrt(\frac(1)(((x)^(2))))=\frac (1)(2)\sqrt(\frac(x)(y\cdot ((x)^(2))))=\frac(1)(2\sqrt(xy))\]

Todo está hecho.

Problema número 2

Este ejemplo es a la vez más simple y complejo que el anterior. Es más complicado porque hay más acciones, pero es más sencillo porque no hay raíz y, además, la función es simétrica respecto a $x$ y $y$, es decir si intercambiamos $x$ y $y$, la fórmula no cambiará. Esta observación simplificará aún más nuestro cálculo de la derivada parcial, es decir basta con contar uno de ellos, y en el segundo simplemente intercambiar $x$ e $y$.

Pongámonos manos a la obra:

\[(((z)")_(x))=((\left(\frac(xy)(((x)^(2))+((y)^(2))+1) \right ))^(\prime ))_(x)=\frac(((\left(xy \right))^(\prime ))_(x)\left(((x)^(2))+( (y)^(2))+1 \right)-xy((\left(((x)^(2))+((y)^(2))+1 \right))^(\prime ) )_(x))(((\left(((x)^(2))+((y)^(2))+1 \right))^(2)))\]

Contemos:

\[((\left(xy \right))^(\prime ))_(x)=y\cdot ((\left(x \right))^(\prime ))=y\cdot 1=y\ ]

Sin embargo, muchos estudiantes no entienden esta notación, así que escribámosla así:

\[((\left(xy \right))^(\prime ))_(x)=((\left(x \right))^(\prime ))_(x)\cdot y+x\cdot ((\left(y \right))^(\prime ))_(x)=1\cdot y+x\cdot 0=y\]

Así, volvemos a estar convencidos de la universalidad del algoritmo de la derivada parcial: no importa cómo los calculemos, si se aplican todas las reglas correctamente, la respuesta será la misma.

Ahora veamos una derivada parcial más de nuestra gran fórmula:

\[((\left(((x)^(2))+((y)^(2))+1 \right))^(\prime ))_(x)=((\left((( x)^(2)) \right))^(\prime ))_(x)+((\left(((y)^(2)) \right))^(\prime ))_(x) +(((1)")_(x))=2x+0+0\]

Sustituyamos las expresiones resultantes en nuestra fórmula y obtenemos:

\[\frac(((\left(xy \right))^(\prime ))_(x)\left(((x)^(2))+((y)^(2))+1 \ derecha)-xy((\left(((x)^(2))+((y)^(2))+1 \right))^(\prime ))_(x))(((\left (((x)^(2))+((y)^(2))+1 \right))^(2)))=\]

\[=\frac(y\cdot \left(((x)^(2))+((y)^(2))+1 \right)-xy\cdot 2x)(((\left((( x)^(2))+((y)^(2))+1 \right))^(2)))=\]

\[=\frac(y\left(((x)^(2))+((y)^(2))+1-2((x)^(2)) \right))(((\ izquierda(((x)^(2))+((y)^(2))+1 \right))^(2)))=\frac(y\left(((y)^(2)) -((x)^(2))+1 \right))(((\left(((x)^(2))+((y)^(2))+1 \right))^(2 )))\]

Basado en $x$ contado. Y para calcular $y$ a partir de la misma expresión, no realicemos la misma secuencia de acciones, sino que aprovechemos la simetría de nuestra expresión original: simplemente reemplazamos todos los $y$ en nuestra expresión original con $x$ y viceversa:

\[(((z)")_(y))=\frac(x\left(((x)^(2))-((y)^(2))+1 \right))((( \left(((x)^(2))+((y)^(2))+1 \right))^(2)))\]

Debido a la simetría, calculamos esta expresión mucho más rápido.

Matices de la solución.

Para las derivadas parciales, funcionan todas las fórmulas estándar que usamos para las ordinarias, es decir, la derivada del cociente. Al mismo tiempo, sin embargo, surgen características específicas: si consideramos la derivada parcial de $x$, entonces cuando la obtenemos de $x$, la consideramos como una constante y, por lo tanto, su derivada será igual a “cero”. .

Como en el caso de las derivadas ordinarias, el cociente (la misma derivada) se puede calcular de varias formas diferentes. Por ejemplo, la misma construcción que acabamos de calcular se puede reescribir de la siguiente manera:

\[((\left(\frac(y)(x) \right))^(\prime ))_(x)=y\cdot ((\left(\frac(1)(x) \right)) ^(\prime ))_(x)=-y\frac(1)(((x)^(2)))\]

\[((\left(xy \right))^(\prime ))_(x)=y\cdot (((x)")_(x))=y\cdot 1=y\]

Al mismo tiempo, por otro lado, puedes utilizar la fórmula de la suma derivada. Como sabemos, es igual a la suma de las derivadas. Por ejemplo, escribamos lo siguiente:

\[((\left(((x)^(2))+((y)^(2))+1 \right))^(\prime ))_(x)=2x+0+0=2x \]

Ahora, sabiendo todo esto, intentemos trabajar con expresiones más serias, ya que las derivadas parciales reales no se limitan solo a polinomios y raíces: también existen trigonometría, logaritmos y la función exponencial. Ahora hagamos esto.

Problemas con funciones trigonométricas y logaritmos.

Tarea número 1

Escribamos las siguientes fórmulas estándar:

\[((\left(\sqrt(x) \right))^(\prime ))_(x)=\frac(1)(2\sqrt(x))\]

\[((\left(\cos x \right))^(\prime ))_(x)=-\sin x\]

Armados con este conocimiento, intentemos resolver:

\[(((z)")_(x))=((\left(\sqrt(x)\cdot \cos \frac(x)(y) \right))^(\prime ))_(x )=((\left(\sqrt(x) \right))^(\prime ))_(x)\cdot \cos \frac(x)(y)+\sqrt(x)\cdot ((\left (\cos \frac(x)(y) \right))^(\prime ))_(x)=\]

Escribamos una variable por separado:

\[((\left(\cos \frac(x)(y) \right))^(\prime ))_(x)=-\sin \frac(x)(y)\cdot ((\left( \frac(x)(y)\right))^(\prime ))_(x)=-\frac(1)(y)\cdot \sin \frac(x)(y)\]

Volvamos a nuestro diseño:

\[=\frac(1)(2\sqrt(x))\cdot \cos \frac(x)(y)+\sqrt(x)\cdot \left(-\frac(1)(y)\cdot \sin \frac(x)(y) \right)=\frac(1)(2\sqrt(x))\cdot \cos \frac(x)(y)-\frac(\sqrt(x))( y)\cdot \sin \frac(x)(y)\]

Eso es todo, lo encontramos para $x$, ahora hagamos los cálculos para $y$:

\[(((z)")_(y))=((\left(\sqrt(x)\cdot \cos \frac(x)(y) \right))^(\prime ))_(y )=((\left(\sqrt(x) \right))^(\prime ))_(y)\cdot \cos \frac(x)(y)+\sqrt(x)\cdot ((\left (\cos \frac(x)(y) \right))^(\prime ))_(y)=\]

Nuevamente, calculemos una expresión:

\[((\left(\cos \frac(x)(y) \right))^(\prime ))_(y)=-\sin \frac(x)(y)\cdot ((\left( \frac(x)(y) \right))^(\prime ))_(y)=-\sin \frac(x)(y)\cdot x\cdot \left(-\frac(1)(( (y)^(2))) \derecha)\]

Volvemos a la expresión original y continuamos la solución:

\[=0\cdot \cos \frac(x)(y)+\sqrt(x)\cdot \frac(x)(((y)^(2)))\sin \frac(x)(y) =\frac(x\sqrt(x))(((y)^(2)))\cdot \sin \frac(x)(y)\]

Todo está hecho.

Problema número 2

Anotemos la fórmula que necesitamos:

\[((\left(\ln x \right))^(\prime ))_(x)=\frac(1)(x)\]

Ahora contemos por $x$:

\[(((z)")_(x))=((\left(\ln \left(x+\ln y \right) \right))^(\prime ))_(x)=\frac( 1)(x+\ln y).((\left(x+\ln y \right))^(\prime ))_(x)=\]

\[=\frac(1)(x+\ln y)\cdot \left(1+0 \right)=\frac(1)(x+\ln y)\]

Encontrado por $x$. Contamos por $y$:

\[(((z)")_(y))=((\left(\ln \left(x+\ln y \right) \right))^(\prime ))_(y)=\frac( 1)(x+\ln y).((\left(x+\ln y \right))^(\prime ))_(y)=\]

\[=\frac(1)(x+\ln y)\left(0+\frac(1)(y) \right)=\frac(1)(y\left(x+\ln y \right))\ ]

El problema está resuelto.

Matices de la solución.

Entonces, no importa de qué función tomemos la derivada parcial, las reglas siguen siendo las mismas, sin importar si estamos trabajando con trigonometría, con raíces o con logaritmos.

Las reglas clásicas para trabajar con derivadas estándar permanecen sin cambios, es decir, la derivada de una suma y una diferencia, un cociente y una función compleja.

La última fórmula se encuentra con mayor frecuencia al resolver problemas con derivadas parciales. Los encontramos en casi todas partes. Nunca ha habido una sola tarea en la que no la hayamos encontrado. Pero no importa qué fórmula usemos, todavía tenemos un requisito más agregado, a saber, la peculiaridad de trabajar con derivadas parciales. Tan pronto como fijamos una variable, todas las demás resultan ser constantes. En particular, si consideramos la derivada parcial de la expresión $\cos \frac(x)(y)$ con respecto a $y$, entonces $y$ es la variable y $x$ permanece constante en todas partes. Lo mismo ocurre al revés. Se puede quitar del signo de la derivada, y la derivada de la constante misma será igual a "cero".

Todo esto lleva al hecho de que las derivadas parciales de la misma expresión, pero con respecto a diferentes variables, pueden verse completamente diferentes. Por ejemplo, veamos las siguientes expresiones:

\[((\left(x+\ln y \right))^(\prime ))_(x)=1+0=1\]

\[((\left(x+\ln y \right))^(\prime ))_(y)=0+\frac(1)(y)=\frac(1)(y)\]

Problemas con funciones exponenciales y logaritmos.

Tarea número 1

Para empezar, escribamos la siguiente fórmula:

\[((\left(((e)^(x)) \right))^(\prime ))_(x)=((e)^(x))\]

Conociendo este hecho, así como la derivada de una función compleja, intentemos calcularla. Ahora lo solucionaré de dos formas diferentes. La primera y más obvia es la derivada del producto:

\[(((z)")_(x))=((\left(((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac(x)(y))) \right) )^(\prime ))_(x)=((\left(((e)^(x)) \right))^(\prime ))_(x)\cdot ((e)^(\frac (x)(y)))+((e)^(x))\cdot ((\left(((e)^(\frac(x)(y))) \right))^(\prime ) )_(x)=\]

\[=((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac(x)(y)))+((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac (x)(y)))\cdot ((\left(\frac(x)(y) \right))^(\prime ))_(x)=\]

Resolvamos la siguiente expresión por separado:

\[((\left(\frac(x)(y) \right))^(\prime ))_(x)=\frac(((((x)"))_(x))\cdot y-x .((((y)"))_(x)))(((y)^(2)))=\frac(1\cdot y-x\cdot 0)(((y)^(2))) =\frac(y)(((y)^(2)))=\frac(1)(y)\]

Volvemos a nuestro diseño original y continuamos con la solución:

\[=((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac(x)(y)))+((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac (x)(y)))\cdot \frac(1)(y)=((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac(x)(y)))\left(1 +\frac(1)(y)\derecha)\]

Todo, se calcula $x$.

Sin embargo, como prometí, ahora intentaremos calcular esta misma derivada parcial de otra forma. Para hacer esto, tenga en cuenta lo siguiente:

\[((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac(x)(y)))=((e)^(x+\frac(x)(y)))\]

Escribámoslo así:

\[((\left(((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac(x)(y))) \right))^(\prime ))_(x)=( (\left(((e)^(x+\frac(x)(y))) \right))^(\prime ))_(x)=((e)^(x+\frac(x)(y) )))\cdot ((\left(x+\frac(x)(y) \right))^(\prime ))_(x)=((e)^(x+\frac(x)(y)) )\cdot \left(1+\frac(1)(y) \right)\]

Como resultado, obtuvimos exactamente la misma respuesta, pero la cantidad de cálculos resultó ser menor. Para ello, basta tener en cuenta que al realizar el producto se pueden añadir indicadores.

Ahora contemos por $y$:

\[(((z)")_(y))=((\left(((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac(x)(y))) \right) )^(\prime ))_(y)=((\left(((e)^(x)) \right))^(\prime ))_(y)\cdot ((e)^(\frac (x)(y)))+((e)^(x))\cdot ((\left(((e)^(\frac(x)(y))) \right))^(\prime ) )_(y)=\]

\[=0\cdot ((e)^(\frac(x)(y)))+((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac(x)(y))) \cdot ((\left(\frac(x)(y) \right))^(\prime ))_(y)=\]

Resolvamos una expresión por separado:

\[((\left(\frac(x)(y) \right))^(\prime ))_(y)=\frac(((((x)"))_(y))\cdot y-x \cdot ((((y)"))_(y)))(((y)^(2)))=\frac(0-x\cdot 1)(((y)^(2))) =-\frac(1)(((y)^(2)))=-\frac(x)(((y)^(2)))\]

Sigamos resolviendo nuestra construcción original:

\[=((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac(x)(y)))\cdot \left(-\frac(x)(((y)^(2) )) \right)=-\frac(x)(((y)^(2)))\cdot ((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac(x)(y) ))\]

Por supuesto, esta misma derivada podría calcularse de la segunda forma, y ​​la respuesta sería la misma.

Problema número 2

Contemos por $x$:

\[(((z)")_(x))=((\left(x \right))_(x))\cdot \ln \left(((x)^(2))+y \right )+x\cdot ((\left(\ln \left(((x)^(2))+y \right) \right))^(\prime ))_(x)=\]

Calculemos una expresión por separado:

\[((\left(\ln \left(((x)^(2))+y \right) \right))^(\prime ))_(x)=\frac(1)(((x )^(2))+y)\cdot ((\left(((x)^(2))+y \right))^(\prime ))_(x)=\frac(2x)((( x)^(2))+y)\]

Sigamos resolviendo la construcción original: $$

Ésta es la respuesta.

Queda por encontrar por analogía usando $y$:

\[(((z)")_(y))=((\left(x \right))^(\prime ))_(y).\ln \left(((x)^(2)) +y \right)+x\cdot ((\left(\ln \left(((x)^(2))+y \right) \right))^(\prime ))_(y)=\]

Como siempre, calculamos una expresión por separado:

\[((\left(((x)^(2))+y \right))^(\prime ))_(y)=((\left(((x)^(2)) \right) )^(\prime ))_(y)+(((y)")_(y))=0+1=1\]

Seguimos resolviendo el diseño básico:

Todo ha sido calculado. Como puedes ver, dependiendo de qué variable se tome para la diferenciación, las respuestas son completamente diferentes.

Matices de la solución.

A continuación se muestra un ejemplo sorprendente de cómo la derivada de la misma función se puede calcular de dos formas diferentes. Mira aquí:

\[(((z)")_(x))=\left(((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac(x)(y))) \right)=( (\left(((e)^(x)) \right))^(\prime ))_(x)\cdot ((e)^(\frac(x)(y)))+((e) ^(x))\cdot ((\left(((e)^(\frac(x)(y))) \right))^(\prime ))_(x)=\]

\[=((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac(x)(y)))+((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac (x)(y)))\cdot \frac(1)(y)=((e)^(x))\cdot ((e)^(^(\frac(x)(y))))\ izquierda(1+\frac(1)(y) \derecha)\]

\[(((z)")_(x))=((\left(((e)^(x)).((e)^(\frac(x)(y))) \right)) ^(\prime ))_(x)=((\left(((e)^(x+\frac(x)(y))) \right))^(\prime ))_(x)=(( e)^(x+\frac(x)(y))).((\left(x+\frac(x)(y) \right))^(\prime ))_(x)=\]

\[=((e)^(x))\cdot ((e)^(^(\frac(x)(y))))\left(1+\frac(1)(y) \right)\ ]

Al elegir diferentes caminos, la cantidad de cálculos puede ser diferente, pero la respuesta, si todo se hace correctamente, será la misma. Esto se aplica tanto a las derivadas clásicas como a las parciales. Al mismo tiempo, os recuerdo una vez más: dependiendo de con qué variable se tome la derivada, es decir diferenciación, la respuesta puede resultar completamente diferente. Mirar:

\[((\left(\ln \left(((x)^(2))+y \right) \right))^(\prime ))_(x)=\frac(1)(((x )^(2))+y)\cdot ((\left(((x)^(2))+y \right))^(\prime ))_(x)=\frac(1)((( x)^(2))+y)\cdot 2x\]

\[((\left(\ln \left(((x)^(2))+y \right) \right))^(\prime ))_(y)=\frac(1)(((x )^(2))+y)\cdot ((\left(((x)^(2))+y \right))^(\prime ))_(y)=\frac(1)((( x)^(2))+y)\cdot 1\]

En conclusión, para consolidar todo este material, intentemos calcular dos ejemplos más.

Problemas con funciones trigonométricas y funciones con tres variables.

Tarea número 1

Anotemos las siguientes fórmulas:

\[((\left(((a)^(x)) \right))^(\prime ))=((a)^(x))\cdot \ln a\]

\[((\left(((e)^(x)) \right))^(\prime ))=((e)^(x))\]

Resolvamos ahora nuestra expresión:

\[(((z)")_(x))=((\left(((3)^(x\sin y)) \right))^(\prime ))_(x)=((3 )^(x.\sin y))\cdot \ln 3\cdot ((\left(x\cdot \sin y \right))^(\prime ))_(x)=\]

Calculemos por separado la siguiente construcción:

\[((\left(x\cdot \sin y \right))^(\prime ))_(x)=(((x)")_(x))\cdot \sin y+x((\ left(\sin y \right))^(\prime ))_(x)=1\cdot \sin y+x\cdot 0=\sin y\]

Seguimos resolviendo la expresión original:

\[=((3)^(x\sin y))\cdot \ln 3\cdot \sin y\]

Esta es la respuesta final de la variable privada en $x$. Ahora contemos por $y$:

\[(((z)")_(y))=((\left(((3)^(x\sin y)) \right))^(\prime ))_(y)=((3 )^(x\sin y))\cdot \ln 3\cdot ((\left(x\sin y \right))^(\prime ))_(y)=\]

Resolvamos una expresión por separado:

\[((\left(x\cdot \sin y \right))^(\prime ))_(y)=(((x)")_(y))\cdot \sin y+x((\ left(\sin y \right))^(\prime ))_(y)=0\cdot \sin y+x\cdot \cos y=x\cdot \cos y\]

Resolvamos nuestra construcción hasta el final:

\[=((3)^(x\cdot \sin y))\cdot \ln 3\cdot x\cos y\]

Problema número 2

A primera vista, este ejemplo puede parecer bastante complicado porque hay tres variables. De hecho, esta es una de las tareas más sencillas del vídeo tutorial de hoy.

Encontrar por $x$:

\[(((t)")_(x))=((\left(x((e)^(y))+y((e)^(z)) \right))^(\prime ) )_(x)=((\left(x\cdot ((e)^(y)) \right))^(\prime ))_(x)+((\left(y\cdot ((e) ^(z)) \right))^(\prime ))_(x)=\]

\[=((\left(x \right))^(\prime ))_(x)\cdot ((e)^(y))+x\cdot ((\left(((e)^(y )) \right))^(\prime ))_(x)=1\cdot ((e)^(y))+x\cdot o=((e)^(y))\]

Ahora tratemos con $y$:

\[(((t)")_(y))=((\left(x\cdot ((e)^(y))+y\cdot ((e)^(z)) \right))^ (\prime ))_(y)=((\left(x\cdot ((e)^(y)) \right))^(\prime ))_(y)+((\left(y\cdot) ((e)^(z)) \right))^(\prime ))_(y)=\]

\[=x\cdot ((\left(((e)^(y)) \right))^(\prime ))_(y)+((e)^(z))\cdot ((\left (y \right))^(\prime ))_(y)=x\cdot ((e)^(y))+((e)^(z))\]

Hemos encontrado la respuesta.

Ahora todo lo que queda es encontrar por $z$:

\[(((t)")_(z))=((\left(x\cdot ((e)^(y))+((y)^(z)) \right))^(\prime ))_(z)=((\left(x\cdot ((e)^(y)) \right))^(\prime ))_(z)+((\left(y\cdot ((e )^(z)) \right))^(\prime ))_(z)=0+y\cdot ((\left(((e)^(z)) \right))^(\prime )) _(z)=y\cdot ((e)^(z))\]

Hemos calculado la tercera derivada, que completa la solución del segundo problema.

Matices de la solución.

Como puedes ver, no hay nada complicado en estos dos ejemplos. Lo único de lo que estamos convencidos es que la derivada de una función compleja se utiliza a menudo y dependiendo de qué derivada parcial calculemos obtenemos diferentes respuestas.

En la última tarea, se nos pidió que trabajáramos con una función de tres variables a la vez. No hay nada de malo en esto, pero al final estábamos convencidos de que todos son significativamente diferentes entre sí.

Puntos clave

Las conclusiones finales del vídeo tutorial de hoy son las siguientes:

1. Las derivadas parciales se calculan de la misma manera que las ordinarias, pero para calcular la derivada parcial con respecto a una variable, tomamos todas las demás variables incluidas en esta función como constantes.
2. Cuando trabajamos con derivadas parciales, utilizamos las mismas fórmulas estándar que con las derivadas ordinarias: suma, diferencia, derivada del producto y cociente y, por supuesto, derivada de una función compleja.

Por supuesto, ver esta lección en video por sí solo no es suficiente para comprender completamente este tema, por lo que ahora mismo en mi sitio web hay una serie de problemas para este video dedicado específicamente al tema de hoy: ingrese, descárguelo, resuelva estos problemas y verifique la respuesta. . Y después de esto no tendrás ningún problema con las derivadas parciales ni en los exámenes ni en el trabajo independiente. Por supuesto, esta no es la última lección de matemáticas superiores, así que visite nuestro sitio web, agregue VKontakte, suscríbase a YouTube, haga clic en Me gusta y quédese con nosotros.

Las derivadas parciales se utilizan en problemas que involucran funciones de varias variables. Las reglas para encontrar son exactamente las mismas que para las funciones de una variable, con la única diferencia de que una de las variables debe considerarse constante (número constante) en el momento de la diferenciación.

Fórmula

Las derivadas parciales de una función de dos variables $ z(x,y) $ se escriben de la siguiente forma $ z"_x, z"_y $ y se encuentran usando las fórmulas:

Derivadas parciales de primer orden

$$ z"_x = \frac(\partial z)(\partial x) $$

$$ z"_y = \frac(\partial z)(\partial y) $$

Derivadas parciales de segundo orden

$$ z""_(xx) = \frac(\partial^2 z)(\partial x \partial x) $$

$$ z""_(yy) = \frac(\partial^2 z)(\partial y \partial y) $$

Derivado mixto

$$ z""_(xy) = \frac(\partial^2 z)(\partial x \partial y) $$

$$ z""_(yx) = \frac(\partial^2 z)(\partial y \partial x) $$

Derivada parcial de una función compleja

a) Sea $ z (t) = f(x(t), y(t)) $, entonces la derivada de una función compleja está determinada por la fórmula:

$$ \frac(dz)(dt) = \frac(\partial z)(\partial x) \cdot \frac(dx)(dt) + \frac(\partial z)(\partial y) \cdot \frac (día)(dt)$$

b) Sea $ z (u,v) = z(x(u,v),y(u,v)) $, entonces las derivadas parciales de la función se encuentran mediante la fórmula:

$$ \frac(\partial z)(\partial u) = \frac(\partial z)(\partial x) \cdot \frac(\partial x)(\partial u) + \frac(\partial z)( \partial y) \cdot \frac(\partial y)(\partial u) $$

$$ \frac(\partial z)(\partial v) = \frac(\partial z)(\partial x) \cdot \frac(\partial x)(\partial v) + \frac(\partial z)( \partial y) \cdot \frac(\partial y)(\partial v) $$

Derivadas parciales de una función implícita

a) Sea $ F(x,y(x)) = 0 $, entonces $$ \frac(dy)(dx) = -\frac(f"_x)(f"_y) $$

b) Sea $ F(x,y,z)=0 $, entonces $$ z"_x = - \frac(F"_x)(F"_z); z"_y = - \frac(F"_y)( F"_z) $$

Ejemplos de soluciones

Ejemplo 1

Encuentre derivadas parciales de primer orden $ z (x,y) = x^2 - y^2 + 4xy + 10 $

Solución

Para encontrar la derivada parcial con respecto a $ x $, consideraremos que $ y $ es un valor constante (número): $$ z"_x = (x^2-y^2+4xy+10)"_x = 2x - 0 + 4y + 0 = 2x+4y $$ Para encontrar la derivada parcial de una función con respecto a $y$, definimos $y$ mediante una constante: $$ z"_y = (x^2-y^2+4xy+10)"_y = -2y+4x $$ Si no puede resolver su problema, envíenoslo. Proporcionaremos una solución detallada. Podrás ver el progreso del cálculo y obtener información. ¡Esto te ayudará a obtener tu calificación de tu maestro de manera oportuna!

Respuesta

$$ z"_x = 2x+4y; z"_y = -2y+4x $$

Ejemplo 2

Encuentre las derivadas parciales de la función de segundo orden $ z = e^(xy) $

Solución

Primero necesitas encontrar las derivadas de primer orden y luego, conociéndolas, puedes encontrar las derivadas de segundo orden. Sea $y$ una constante: $$ z"_x = (e^(xy))"_x = e^(xy) \cdot (xy)"_x = ye^(xy) $$ Ahora establezcamos $ x $ como un valor constante: $$ z"_y = (e^(xy))"_y = e^(xy) \cdot (xy)"_y = xe^(xy) $$ Conociendo las primeras derivadas, encontramos de manera similar la segunda. Establezca $y$ como una constante: $$ z""_(xx) = (z"_x)"_x = (ye^(xy))"_x = (y)"_x e^(xy) + y(e^(xy))"_x = 0 + ye^(xy)\cdot (xy)"_x = y^2e^(xy) $$ Establecemos $ x $ como una constante: $$ z""_(yy) = (z"_y)"_y = (xe^(xy))"_y = (x)"_y e^(xy) + x(e^(xy))"_y = 0 + x^2e^(xy) = x^2e^(xy) $$ Ahora sólo queda encontrar la derivada mixta. Puedes diferenciar $ z"_x $ por $ y $, y puedes diferenciar $ z"_y $ por $ x $, ya que según el teorema $ z""_(xy) = z""_(yx) $ $$ z""_(xy) = (z"_x)"_y = (ye^(xy))"_y = (y)"_y e^(xy) + y (e^(xy))"_y = ye^(xy)\cdot (xy)"_y = yxe^(xy) $$

Respuesta

$$ z"_x = ye^(xy); z"_y = xe^(xy); z""_(xy) = yxe^(xy) $$

Ejemplo 4

Dejemos que $ 3x^3z - 2z^2 + 3yz^2-4x+z-5 = 0 $ defina la función implícita $ F(x,y,z) = 0 $. Encuentre derivadas parciales de primer orden.

Solución

Escribimos la función en el formato: $ F(x,y,z) = 3x^3z - 2z^2 + 3yz^2-4x+z-5 = 0 $ y encontramos las derivadas: $$ z"_x (y,z - const) = (x^3 z - 2z^2 + 3yz^2-4x+z-5)"_x = 3 x^2 z - 4 $$ $$ z"_y (x,y - const) = (x^3 z - 2z^2 + 3yz^2-4x+z-5)"_y = 3z^2 $$

Respuesta

$$ z"_x = 3x^2 z - 4; z"_y = 3z^2; $$

Ejemplo. Encuentra si, dónde.

Solución. Según la fórmula (1) tenemos:

Ejemplo. Encuentre la derivada parcial y la derivada total si .

Solución. .

Basado en la fórmula (2) obtenemos .

2°. El caso de varias variables independientes.

Dejar z = f(x;y) - función de dos variables incógnita Y y, cada una de las cuales es una función

variable independiente t: x = x(t), y = y(t). En este caso la función z=f(x(t);y(t)) es

función compleja de una variable independiente t; variables x e y son variables intermedias.

Teorema. Si z == F(incógnita; y) - diferenciable en un punto M(x;y)D función

Y x = x(t) Y en =y(t) - funciones diferenciables de la variable independiente t,

entonces la derivada de una función compleja z(t) == F(x(t);y(t)) calculado por la fórmula

(3)

Caso especial: z = f(x;y), donde y = y(x), aquellos. z = f(x;y(x)) - función compleja de uno

variable independiente INCÓGNITA. Este caso se reduce al anterior, y el papel de la variable

t juega INCÓGNITA. Según la fórmula (3) tenemos:

.

La última fórmula se llama Fórmulas de derivadas totales.

Caso general: z = f(x;y), Dónde x = x(u;v), y=y(u;v). Entonces z = f(x(u;v);y(u;v)) - complejo

función de variables independientes Y Y v. Sus derivadas parciales se pueden encontrar.

usando la fórmula (3) de la siguiente manera. habiendo arreglado v, reemplazarlo,

derivadas parciales correspondientes

Así, la derivada de la función compleja (z) con respecto a cada variable independiente (Y Y v)

es igual a la suma de los productos de las derivadas parciales de esta función (z) con respecto a su intermedio

variables (xey) a sus derivados con respecto a la variable independiente correspondiente (u y v).

En todos los casos considerados, la fórmula es válida.

(propiedad de invariancia de un diferencial total).

Ejemplo. Encuentra y si z= F(x,y), donde x=uv, .

Sea z=ƒ(x;y) una función de dos variables x e y, cada una de las cuales es función de una variable independiente t: x = x(t), y = y(t). En este caso, la función z = f(x(t);y(t)) es una función compleja de una variable independiente t; las variables xey son variables intermedias.

Teorema 44.4. Si z = ƒ(x;y) es una función diferenciable en el punto M(x;y) є D y x = x(t) e y = y(t) son funciones diferenciables de la variable independiente t, entonces la derivada de la función compleja z(t ) = f(x(t);y(t)) se calcula mediante la fórmula

Démosle a la variable independiente t un incremento Δt. Entonces las funciones x = = x(t) e y = y(t) recibirán incrementos Δx y Δy, respectivamente. Ellos, a su vez, harán que la función z incremente Az.

Dado que por condición la función z - ƒ(x;y) es diferenciable en el punto M(x;y), su incremento total se puede representar en la forma

donde а→0, β→0 en Δх→0, Δу→0 (ver párrafo 44.3). Dividamos la expresión Δz por Δt y vayamos al límite en Δt→0. Entonces Δх→0 y Δу→0 debido a la continuidad de las funciones x = x(t) e y = y(t) (según las condiciones del teorema, son diferenciables). Obtenemos:

Caso especial: z=ƒ(x;y), donde y=y(x), es decir, z=ƒ(x;y(x)) es una función compleja de una variable independiente x. Este caso se reduce al anterior, y el papel de la variable t lo desempeña x. Según la fórmula (44.8) tenemos:

La fórmula (44.9) se llama fórmula derivada total.

Caso general: z=ƒ(x;y), donde x=x(u;v), y=y(u;v). Entonces z= f(x(u;v);y(u;v)) es una función compleja de las variables independientes u y v. Sus derivadas parciales se pueden encontrar usando la fórmula (44.8) de la siguiente manera. Habiendo fijado v, lo reemplazamos con las derivadas parciales correspondientes.

De manera similar obtenemos:

Así, la derivada de una función compleja (z) con respecto a cada variable independiente (u y v) es igual a la suma de los productos de las derivadas parciales de esta función (z) con respecto a sus variables intermedias (x e y ) y sus derivadas con respecto a la correspondiente variable independiente (u y v).

Ejemplo 44.5. Encuentre si z=ln(x 2 +y 2), x=u v, y=u/v.

Solución: Encontremos dz/du (dz/dv - independientemente), usando la fórmula (44.10):

Simplifiquemos el lado derecho de la igualdad resultante:

40. Derivadas parciales y diferenciales totales de funciones de varias variables.

Sea la función z = ƒ (x; y). Dado que xey son variables independientes, una de ellas puede cambiar mientras la otra mantiene su valor. Démosle a la variable independiente x un incremento Δx, manteniendo el valor y sin cambios. Entonces z recibirá un incremento, que se llama incremento parcial de z con respecto a x y se denota ∆ x z. Entonces,

Δxz=ƒ(x+Δx;y)-ƒ(x;y).

De manera similar, obtenemos el incremento parcial de z respecto de y:

Δ y z=ƒ(x;y+Δy)-ƒ(x;y).

El incremento total Δz de la función z está determinado por la igualdad

Δz = ƒ(x + Δx;y + Δy) - ƒ(x;y).

Si hay un límite

entonces se llama derivada parcial de la función z = ƒ (x; y) en el punto M (x; y) con respecto a la variable x y se denota con uno de los símbolos:

Las derivadas parciales con respecto a x en el punto M 0 (x 0 ; y 0) generalmente se denotan con los símbolos

La derivada parcial de z=ƒ(x;y) con respecto a la variable y se define y denota de manera similar:

Así, la derivada parcial de una función de varias (dos, tres o más) variables se define como la derivada de una función de una de estas variables, siempre que los valores de las restantes variables independientes sean constantes. Por lo tanto, las derivadas parciales de la función ƒ(x;y) se encuentran usando las fórmulas y reglas para calcular las derivadas de una función de una variable (en este caso, x o y se consideran un valor constante, respectivamente).

Ejemplo 44.1. Encuentra las derivadas parciales de la función z = 2y + e x2-y +1. Solución:

Significado geométrico de las derivadas parciales de una función de dos variables.

La gráfica de la función z= ƒ (x; y) es una superficie determinada (ver sección 12.1). La gráfica de la función z = ƒ (x; y 0) es la línea de intersección de esta superficie con el plano y = y o. Con base en el significado geométrico de la derivada para una función de una variable (ver párrafo 20.2), concluimos que ƒ"x(x o; y o) = tan a, donde a es el ángulo entre el eje Ox y la tangente trazada a la curva z = ƒ (x; y 0) en el punto Mo(xo;yo; ƒ(xo;yo)) (ver Fig. 208).

De manera similar, f"y (x 0;y 0)=tgβ.

La función Z=f(x,y) se llama diferenciable en el punto P(x,y) si su incremento total ΔZ se puede representar como Δz = A∙Δx+B∙Δy+ω(Δx,Δy), donde Δx y Δy – cualquier incremento de los argumentos correspondientes x e y en una determinada vecindad del punto P, A y B son constantes (no dependen de Δx,Δy),

ω(Δx,Δy) – un infinitesimal de orden superior a la distancia:

Si una función es diferenciable en un punto, entonces su incremento total en ese punto consta de dos partes:

1. La parte principal del incremento de la función A∙Δx+B∙Δy es lineal con respecto a Δx,Δy

2. Y ω(Δx,Δy) no lineal es un infinitesimal de orden superior a la parte principal del incremento.

La parte principal del incremento de una función, lineal con respecto a Δx,Δy, se llama diferencial total de esta función y se denota:Δz = A∙Δx+B∙Δy, Δx=dx y Δy=dy o el diferencial completo de una función de dos variables:

Diferencial de visualización. Diferencial y derivada de una función numérica de una variable. Tabla de derivadas. Diferenciabilidad. ) es una función del argumento , que es infinitesimal como →0, es decir

Aclaremos ahora la conexión entre la diferenciabilidad en un punto y la existencia de una derivada en el mismo punto.

Teorema. Para que la función F(incógnita) era diferenciable en un punto dado incógnita , es necesario y suficiente que tenga una derivada finita en este punto.

Tabla de derivadas.