Los números complejos son funciones de una variable compleja. Teoría de funciones de una variable compleja.

Dónde
son números reales y - un personaje especial llamado unidad imaginaria . Para una unidad imaginaria, por definición se supone que
.

(4.1) – forma algebraica número complejo y
llamado parte real número complejo y
-parte imaginaria .

Número
llamado conjugado complejo al numero
.

Sean dados dos números complejos
,
.

1. Cantidad
números complejos Y se llama numero complejo

2. Por diferencia
números complejos Y se llama numero complejo

3. La obra
números complejos Y se llama numero complejo

4. Privado de dividir un número complejo a un número complejo
se llama numero complejo

.

Observación 4.1. Es decir, las operaciones con números complejos se introducen de acuerdo con las reglas habituales de las operaciones aritméticas con expresiones literales en álgebra.

Ejemplo 4.1. Se dan números complejos. Encontrar

.

Solución. 1) .

4) Multiplicando el numerador y el denominador por el conjugado complejo del denominador, obtenemos

forma trigonométrica número complejo:

Dónde
- módulo de un número complejo,
es el argumento de un número complejo. Esquina no definido unívocamente, hasta un término
:

,
.

- el valor principal del argumento, determinado por la condición

, (o
).

forma demostrativa número complejo:

.

Raíz
ésima potencia del número tiene diferentes valores, que se encuentran mediante la fórmula

,

Dónde
.

Puntos correspondientes a valores.
, son los vértices de la correcta
un cuadrado inscrito en una circunferencia de radio
con centro en el origen.

Ejemplo 4.2. Encuentra todos los valores raíz
.

Solución. Imaginemos un número complejo
en forma trigonométrica:

,

, dónde
.

Entonces
. Por tanto, según la fórmula (4.2)
tiene cuatro significados:

,
.

Creyendo
, encontramos

,
,

, .

Aquí convertimos los valores del argumento a su valor principal.

Conjuntos en el plano complejo.

numero complejo
representado en un avión
punto
con coordenadas
. Módulo
y argumento
corresponden a las coordenadas polares del punto
.

Es útil recordar que la desigualdad
define un círculo con centro en un punto radio . Desigualdad
define un semiplano ubicado a la derecha de la recta
, y la desigualdad
- semiplano situado encima de la recta
. Además, el sistema de desigualdades
establece el ángulo entre los rayos
Y
, dejando el origen de coordenadas.

Ejemplo 4.3. Dibuja el área definida por las desigualdades:
.

Solución. La primera desigualdad corresponde a un anillo con centro en el punto
y dos radios 1 y 2, los círculos no están incluidos en el área (Fig. 4.1).

La segunda desigualdad corresponde al ángulo entre los rayos.
(bisectriz del cuarto ángulo coordenado) y
(dirección positiva del eje
). Los propios rayos no entran en la región (fig. 4.2).

El área deseada es la intersección de las dos áreas obtenidas (Fig. 4.3)

4.2. Funciones de una variable compleja

Deje que la función de un solo valor
definido y continuo en la región
, A - curva orientada, cerrada o no cerrada, suave a trozos que se encuentra en
. Dejemos, como siempre,
,, Dónde
,
- funciones reales de variables Y .

Calcular la integral de una función.
variable compleja se reduce al cálculo de las integrales curvilíneas habituales, a saber

.

Si la función
analítica en un dominio simplemente conectado
, que contiene puntos Y , entonces se cumple la fórmula de Newton-Leibniz:

,

Dónde
- alguna antiderivada de la función
, eso es
en el área
.

En integrales de funciones de variable compleja se puede hacer un cambio de variable, y la integración por partes es similar a como se hace al calcular integrales de funciones de variable real.

Tenga en cuenta también que si el camino de integración es parte de una línea que emana de un punto , o parte de un círculo centrado en un punto , entonces es útil realizar un reemplazo de variable del formulario
. En el primer caso
, A - variable de integración real; en el segundo caso
, A - variable de integración real.

Ejemplo 4.4. Calcular
por parábola
desde el punto
al punto
(Figura 4.4).

Solución. Reescribamos el integrando en la forma Entonces , . Apliquemos la fórmula (4.3): Porque , , Eso

. Es por eso
Ejemplo 4.5. calcular integrales
,
, Dónde

Solución.- arco de círculo (Figura 4.5). , , digamos

, Entonces
.
Obtenemos: Función

, monovaluador y analítico en el ring.
llamado , se descompone en este anillo en serie laurent
llamado En la fórmula (4.5) la serie parte principal

La serie de Laurent y la serie. la parte correcta Serie Laurent.Definición 4.1. Punto
llamado
punto singular aislado .

funciones
, si hay una vecindad de este punto en la que la función Analítico en todas partes excepto en el punto mismo.

1) Función
, eso es

en las proximidades de un punto se puede ampliar a una serie de Laurent. En este caso, son posibles tres casos diferentes cuando se trata de la serie Laurent: no contiene términos con poderes de diferencia negativos Punto
;

2) (La serie de Laurent no contiene la parte principal). En este caso
, eso es

,

llamado
punto singular removible Serie Laurent. contiene un número finito de términos con poderes de diferencia negativos Punto
;

3) y

.

. En este caso, el punto se puede ampliar a una serie de Laurent. En este caso, son posibles tres casos diferentes cuando se trata de la serie Laurent: polo de orden Punto
.

contiene un número infinito de términos con potencias negativas:

1) En este caso, el punto
esencialmente un punto especial
Al determinar el carácter de un punto singular aislado, no es necesario buscar una expansión en serie de Laurent. Puede utilizar varias propiedades de puntos singulares aislados. :

.

2) es un punto singular removible de la función
, si hay un límite finito de la función

.

3) es un punto esencialmente singular de la función
, si en
una función no tiene límite, ni finita ni infinita.

Definición 4.2. la parte correcta Serie Laurent.cero
primer orden (o multiplicidad ) Punto
, si se cumplen las siguientes condiciones:

…,

.

Observación 4.2. la parte correcta si y solo si es cero
primer orden Punto
, cuando en alguna vecindad de este punto se cumple la igualdad

,

donde esta la funcion
analítico en un punto Y

4) punto es el polo del orden (
) funciones
, si este punto es de orden cero para función
.

5) dejar - punto singular aislado de una función
Ejemplo 4.5.
- funciones analíticas en un punto . Y deja el punto es de orden cero funciones
y orden cero funciones
.

En
punto es el polo del orden
funciones
.

En
punto es un punto singular removible de la función
.

Ejemplo 4.6. Encuentra puntos aislados y determina su tipo para una función.
.

Solución. Funciones
Y
- analítico en todo el plano complejo. Esto significa que los puntos singulares de la función
son los ceros del denominador, es decir, los puntos donde
. Hay infinitos puntos de este tipo. En primer lugar, este es el punto
, así como puntos que satisfacen la ecuación
. Desde aquí
Y
.

Considere el punto
. En este punto obtenemos:

,
,

,
.

El orden de cero es
.

,
,

,
,

,
,

,
.

.

Entonces, punto
es un polo de segundo orden (
).

. Entonces

,
.

El orden del numerador cero es
.

,
,
.

El orden de cero del denominador es
. Por lo tanto, los puntos
en
son polos de primer orden ( postes simples ).

Teorema 4.1. (Teorema de Cauchy sobre los residuos ). Si la función
es analítico en el límite región
y en todas partes dentro de la región, excepto por un número finito de puntos singulares
, Eso

.

Al calcular integrales, vale la pena encontrar cuidadosamente todos los puntos singulares de la función.
, luego dibuje un contorno y puntos singulares, y luego seleccione solo aquellos puntos que caen dentro del contorno de integración. A menudo resulta difícil tomar la decisión correcta sin una imagen.

Método de cálculo de la deducción.
Depende del tipo de punto singular. Por lo tanto, antes de calcular el residuo, es necesario determinar el tipo de punto singular.

1) residuo de una función en un punto igual al coeficiente para menos el primer grado en la expansión de Laurent
en las proximidades de un punto :

.

Esta afirmación es válida para todo tipo de puntos aislados y, por tanto, en este caso no es necesario determinar el tipo de punto singular.

2) el residuo en un punto singular removible es igual a cero.

3) si es un polo simple (polo de primer orden), y la función
se puede representar en la forma
Ejemplo 4.5.
,
(tenga en cuenta que en este caso
), entonces el residuo está en el punto es igual

.

En particular, si
, Eso
.

4) si - poste simple, entonces

5) si - poste
función de orden
, Eso

Ejemplo 4.7. Es por eso
.

Solución. Encontrar puntos singulares del integrando. . Función Y tiene dos puntos singulares Sólo un punto cae dentro del contorno. (Figura 4.6). Punto - polo de segundo orden, ya que .

Luego, usando la fórmula (4.7), encontramos el residuo en este punto:

Por el teorema 4.1 encontramos

Agencia Federal para la Educación

___________________________________

Estado de San Petersburgo

Universidad Electrotécnica "LETI"

_______________________________________

Teoría de funciones de una variable compleja.

Pautas

a clases practicas

en matemáticas superiores

San Petersburgo

Editorial SPbSETU "LETI"

CDU 512.64(07)

TFKP: Instrucciones metodológicas para la resolución de problemas / compilado por: V.G. Dyumin, A.M. Kotochigov, N.N Sosnovsky: Editorial de la Universidad Electrotécnica Estatal de San Petersburgo "LETI", 2010. 32 p.

Aprobado

Consejo Editorial y Editorial de la Universidad

como pautas

© SPbSETU "LETI", 2010

Las funciones de una variable compleja, en el caso general, difieren de las asignaciones del plano real.
en sí mismo sólo por la forma de grabación. Un objeto importante y extremadamente útil es la clase de funciones de una variable compleja,

tener la misma derivada que funciones de una variable. Se sabe que las funciones de varias variables pueden tener derivadas parciales y derivadas direccionales, pero, por regla general, las derivadas en diferentes direcciones no coinciden y no es posible hablar de derivada en un punto. Sin embargo, para funciones de una variable compleja es posible describir las condiciones bajo las cuales permiten la diferenciación. El estudio de las propiedades de funciones diferenciables de una variable compleja es el contenido de las instrucciones metodológicas. Las instrucciones tienen como objetivo demostrar cómo se pueden utilizar las propiedades de dichas funciones para resolver una variedad de problemas. El dominio exitoso del material presentado es imposible sin habilidades básicas en cálculos con números complejos y familiaridad con los objetos geométricos más simples definidos en términos de desigualdades que conectan las partes real e imaginaria de un número complejo, así como su módulo y argumento. En las directrices se puede encontrar un resumen de toda la información necesaria para ello.

El aparato estándar de análisis matemático: límites, derivadas, integrales, series se utiliza ampliamente en el texto de las directrices. Cuando estos conceptos tienen sus propias particularidades, en comparación con funciones de una variable, se dan las explicaciones adecuadas, pero en la mayoría de los casos basta con separar las partes real e imaginaria y aplicarles el aparato estándar del análisis real.

1. Funciones elementales de una variable compleja

Es natural comenzar una discusión sobre las condiciones de diferenciabilidad de funciones de una variable compleja averiguando qué funciones elementales tienen esta propiedad. De la relación obvia

De ello se deduce que cualquier polinomio es diferenciable. Y, dado que una serie de potencias se puede diferenciar término por término dentro de su círculo de convergencia,

entonces cualquier función es derivable en puntos en cuya vecindad puede expandirse en una serie de Taylor. Ésta es una condición suficiente, pero, como pronto quedará claro, también es necesaria. Es conveniente apoyar el estudio de funciones de una variable con respecto a su derivada monitoreando el comportamiento de la gráfica de funciones. Esto no es posible para funciones de una variable compleja. Los puntos del gráfico se encuentran en un espacio de dimensión 4,.

Sin embargo, se puede obtener alguna representación gráfica de la función considerando las imágenes de conjuntos bastante simples en el plano complejo.
, que surge bajo la influencia de una función determinada. Por ejemplo, consideremos varias funciones simples desde este punto de vista.

función lineal

Esta función simple es muy importante, ya que cualquier función diferenciable es localmente similar a una lineal. Consideremos la acción de la función con el máximo detalle.

Aquí
-- módulo de un número complejo Y --su argumento. Así, la función lineal realiza estiramiento, rotación y traslación. Por lo tanto, una aplicación lineal lleva cualquier conjunto a un conjunto similar. En particular, bajo la influencia de un mapeo lineal, las líneas rectas se convierten en líneas rectas y los círculos en círculos.

, Entonces

Esta función es la siguiente más compleja después de la lineal. Es difícil esperar que transforme cualquier línea en una línea recta, y un círculo en un círculo muestra que esto no sucede, sin embargo, se puede demostrar que esta función transforma el conjunto de todas las líneas y círculos en; sí mismo. Para verificar esto es conveniente acudir a la descripción real (coordenada) del mapeo.

La prueba requiere una descripción del mapeo inverso.

Considere la ecuación si
, entonces obtenemos la ecuación general de la recta. Si
, Eso

Por lo tanto, cuando
Se obtiene la ecuación de un círculo arbitrario.

Tenga en cuenta que si
Y
, entonces la circunferencia pasa por el origen. Si
Y
, entonces obtienes una línea recta que pasa por el origen.

Bajo la acción de la inversión, la ecuación considerada se reescribirá en la forma

, (
)

o . Se puede ver que esta también es una ecuación que describe círculos o líneas rectas. El hecho de que los coeficientes en la ecuación Y
lugares intercambiados, significa que durante la inversión, las líneas rectas que pasan por 0 se convertirán en círculos y los círculos que pasan por 0 se convertirán en líneas rectas.

Funciones de potencia

La principal diferencia entre estas funciones y las analizadas anteriormente es que no son uno a uno (
). Podemos decir que la función
transforma un plano complejo en dos copias del mismo plano. Un tratamiento preciso de este tema requiere el uso del engorroso aparato de superficies de Riemann y va más allá del alcance de las cuestiones aquí consideradas. Es importante comprender que el plano complejo se puede dividir en sectores, cada uno de los cuales está mapeado uno a uno en el plano complejo. Este es el desglose de la función.
se ve así, por ejemplo, la función asigna el semiplano superior uno a uno al plano complejo.
. Las distorsiones geométricas de tales imágenes son más difíciles de describir que en el caso de la inversión. Como ejercicio, puedes rastrear en qué se transforma la cuadrícula de coordenadas rectangulares del semiplano superior al mostrar

Se puede observar que la cuadrícula de coordenadas rectangulares entra en una familia de parábolas que forman un sistema de coordenadas curvilíneas en el plano.
. La partición del plano descrita anteriormente es tal que la función
muestra cada uno de sectores en todo el plano. La descripción del mapeo directo e inverso se ve así

Entonces la función
tiene varias funciones inversas,

especificado en varios sectores del avión

En tales casos se dice que el mapeo es de varias hojas.

función de Zhukovsky

La función tiene su propio nombre, ya que formó la base de la teoría del ala de avión creada por Zhukovsky (la descripción de este diseño se puede encontrar en el libro). La función tiene varias propiedades interesantes, centrémonos en una de ellas: descubra en qué conjuntos actúa esta función uno a uno. Considere la igualdad

, dónde
.

En consecuencia, la función de Zhukovsky es uno a uno en cualquier dominio en el que para cualquier Y su producto no es igual a uno. Estos son, por ejemplo, el círculo unitario abierto.
y el complemento del círculo unitario cerrado
.

Considere la acción de la función Zhukovsky sobre un círculo, entonces

Separando las partes real e imaginaria obtenemos la ecuación paramétrica de la elipse

,
.

Si
, entonces estas elipses llenan todo el plano. Se puede comprobar de forma similar que las imágenes de segmentos son hipérbolas.

.

función exponencial

La función se puede expandir a una serie de potencias que es absolutamente convergente en todo el plano complejo, por lo tanto, es diferenciable en todas partes; Describamos los conjuntos en los que la función es uno a uno. Igualdad obvia
muestra que el plano se puede dividir en una familia de franjas, cada una de las cuales se asigna uno a uno mediante una función en todo el plano complejo. Esta partición es esencial para comprender cómo funciona la función inversa o, más precisamente, las funciones inversas. En cada una de las franjas hay un mapeo inverso definido naturalmente.

La función inversa en este caso también es multivalente y el número de funciones inversas es infinito.

La descripción geométrica del mapeo es bastante simple: líneas rectas
convertirse en rayos
, segmentos

convertirse en círculos
.

Funciones de una variable compleja.
Diferenciación de funciones de una variable compleja.

Este artículo abre una serie de lecciones en las que consideraré problemas típicos relacionados con la teoría de funciones de una variable compleja. Para dominar con éxito los ejemplos, debes tener conocimientos básicos de números complejos. Para consolidar y repetir el material, basta con visitar la página. También necesitarás las habilidades para encontrar derivadas parciales de segundo orden. Aquí están, estas derivadas parciales... incluso ahora me sorprendió un poco la frecuencia con la que ocurren...

El tema que empezamos a considerar no presenta especiales dificultades, y en las funciones de una variable compleja, en principio, todo es claro y accesible. Lo principal es cumplir con la regla básica que deduje experimentalmente. ¡Sigue leyendo!

Concepto de función de variable compleja.

Primero, refresquemos nuestro conocimiento sobre la función escolar de una variable:

Función de variable única es una regla según la cual cada valor de la variable independiente (del dominio de definición) corresponde a uno y sólo un valor de la función. Naturalmente, "x" e "y" son números reales.

En el caso complejo, la dependencia funcional se especifica de manera similar:

Función de un solo valor de una variable compleja- esta es la regla según la cual todos integral el valor de la variable independiente (del dominio de definición) corresponde a uno y sólo uno integral valor de la función. La teoría también considera funciones multivaluadas y algunos otros tipos, pero por simplicidad me centraré en una definición.

¿Cuál es la diferencia entre una función de variable compleja?

La principal diferencia: números complejos. No estoy siendo irónico. Estas preguntas suelen dejar a la gente estupefacta; al final del artículo te contaré una historia divertida. en clase Números complejos para tontos consideramos un número complejo en la forma . Desde ahora la letra “z” se ha convertido variable, entonces lo denotaremos de la siguiente manera: , mientras que “x” e “y” pueden tomar diferentes válido significados. En términos generales, la función de una variable compleja depende de las variables y , que toman valores "ordinarios". De este hecho se desprende lógicamente el siguiente punto:

La función de una variable compleja se puede escribir como:
, donde y son dos funciones de dos válido variables.

La función se llama parte real funciones
La función se llama parte imaginaria funciones

Es decir, la función de una variable compleja depende de dos funciones reales y . Para aclararlo todo finalmente, veamos ejemplos prácticos:

Ejemplo 1

Solución: La variable independiente “zet”, como recordarás, se escribe en la forma , por lo tanto:

(1) Sustituimos.

(2) Para el primer término se utilizó la fórmula de multiplicación abreviada. En el término se han abierto los paréntesis.

(3) Cuadrado cuidadosamente, sin olvidar que

(4) Reordenamiento de términos: primero reescribimos los términos , en el que no existe ninguna unidad imaginaria(primer grupo), luego los términos donde los hay (segundo grupo). Cabe señalar que no es necesario barajar los términos y que este paso se puede omitir (realizándolo oralmente).

(5) Para el segundo grupo lo quitamos de paréntesis.

Como resultado, nuestra función resultó estar representada en la forma

Respuesta:
– parte real de la función.
– parte imaginaria de la función.

¿Qué tipo de funciones resultaron ser estas? Las funciones más comunes de dos variables de las que puedes encontrar tan populares. derivadas parciales. Sin piedad, lo encontraremos. Pero un poco más tarde.

Brevemente, el algoritmo para el problema resuelto se puede escribir de la siguiente manera: sustituimos , en la función original, realizamos simplificaciones y dividimos todos los términos en dos grupos: sin una unidad imaginaria (parte real) y con una unidad imaginaria (parte imaginaria). .

Ejemplo 2

Encuentra la parte real e imaginaria de la función.

Este es un ejemplo para que lo resuelvas por tu cuenta. Antes de lanzarte a la batalla en el complejo plano con tus fichas dibujadas, déjame darte el consejo más importante sobre el tema:

¡TEN CUIDADO! Por supuesto, debes tener cuidado en todas partes, ¡pero en números complejos debes tener más cuidado que nunca! Recuerda que, abre con cuidado los soportes, no pierdas nada. Según mis observaciones, el error más común es la pérdida de una señal. ¡No te apresures!

Solución completa y respuesta al final de la lección.

Ahora el cubo. Usando la fórmula de multiplicación abreviada, derivamos:
.

Las fórmulas son muy cómodas de utilizar en la práctica, ya que aceleran significativamente el proceso de solución.

Diferenciación de funciones de una variable compleja.

Tengo dos noticias: buena y mala. Empezaré por el bueno. Para una función de variable compleja, son válidas las reglas de derivación y la tabla de derivadas de funciones elementales. Por tanto, la derivada se toma exactamente de la misma forma que en el caso de una función de una variable real.

La mala noticia es que para muchas funciones variables complejas no existe ninguna derivada y hay que averiguar ¿Es diferenciable? una función u otra. Y "descubrir" cómo se siente su corazón se asocia con problemas adicionales.

Consideremos la función de una variable compleja. Para que esta función sea diferenciable es necesario y suficiente:

1) De modo que existen derivadas parciales de primer orden. Olvídese de estas notaciones de inmediato, ya que en la teoría de funciones de una variable compleja se usa tradicionalmente una notación diferente: .

2) Realizar las denominadas Condiciones de Cauchy-Riemann:

¡Solo en este caso existirá la derivada!

Ejemplo 3

Solución se divide en tres etapas sucesivas:

1) Encontremos las partes real e imaginaria de la función. Esta tarea se analizó en ejemplos anteriores, así que la escribiré sin comentarios:

Desde entonces:

De este modo:

– parte imaginaria de la función.

Permítanme tocar un punto técnico más: en que orden escribir los términos en las partes real e imaginaria? Sí, en principio no importa. Por ejemplo, la parte real se puede escribir así: , y el imaginario – así: .

2) Comprobemos el cumplimiento de las condiciones de Cauchy-Riemann. Hay dos de ellos.

Comencemos comprobando el estado. encontramos derivadas parciales:

Por tanto, se cumple la condición.

Por supuesto, la buena noticia es que las derivadas parciales casi siempre son muy simples.

Comprobamos el cumplimiento de la segunda condición:

El resultado es el mismo, pero con signos opuestos, es decir, también se cumple la condición.

Se cumplen las condiciones de Cauchy-Riemann, por lo tanto la función es diferenciable.

3) Encontremos la derivada de la función. La derivada también es muy sencilla y se obtiene según las reglas habituales:

La unidad imaginaria se considera una constante durante la diferenciación.

Respuesta: – parte real, – parte imaginaria.
Se cumplen las condiciones de Cauchy-Riemann.

Hay dos formas más de encontrar la derivada; por supuesto, se usan con menos frecuencia, pero la información será útil para comprender la segunda lección: ¿Cómo encontrar una función de una variable compleja?

La derivada se puede encontrar usando la fórmula:

En este caso:

De este modo

Tenemos que resolver el problema inverso: en la expresión resultante debemos aislar . Para ello es necesario en los términos y fuera de paréntesis:

La acción inversa, como muchos habrán notado, es algo más difícil de verificar, siempre es mejor tomar la expresión en un borrador o abrir oralmente los paréntesis, asegurándose de que el resultado sea exacto;

Fórmula especular para encontrar la derivada:

En este caso: , Es por eso:

Ejemplo 4

Determinar las partes real e imaginaria de una función. . Comprobar el cumplimiento de las condiciones de Cauchy-Riemann. Si se cumplen las condiciones de Cauchy-Riemann, encuentre la derivada de la función.

Una breve solución y una muestra aproximada del diseño final al final de la lección.

¿Se cumplen siempre las condiciones de Cauchy-Riemann? En teoría, no se cumplen con más frecuencia de la que se cumplen. Pero en ejemplos prácticos, no recuerdo un caso en el que no se cumplieron =) Por lo tanto, si sus derivadas parciales "no convergen", entonces con una probabilidad muy alta puede decir que cometió un error en alguna parte.

Compliquemos nuestras funciones:

Ejemplo 5

Determinar las partes real e imaginaria de una función. . Comprobar el cumplimiento de las condiciones de Cauchy-Riemann. Calcular

Solución: El algoritmo de solución se conserva por completo, pero al final se añadirá un nuevo punto: encontrar la derivada en un punto. Para el cubo, ya se ha obtenido la fórmula requerida:

Definamos las partes real e imaginaria de esta función:

¡Atención y atención de nuevo!

Desde entonces:


De este modo:
– parte real de la función;
– parte imaginaria de la función.

Comprobando la segunda condición:

El resultado es el mismo, pero con signos opuestos, es decir, también se cumple la condición.

Se cumplen las condiciones de Cauchy-Riemann, por lo tanto la función es diferenciable:

Calculemos el valor de la derivada en el punto requerido:

Respuesta:, , se cumplen las condiciones de Cauchy-Riemann,

Las funciones con cubos son comunes, así que aquí tienes un ejemplo para reforzar:

Ejemplo 6

Determinar las partes real e imaginaria de una función. . Comprobar el cumplimiento de las condiciones de Cauchy-Riemann. Calcular.

Solución y ejemplo de finalización al final de la lección.

La teoría del análisis complejo también define otras funciones de un argumento complejo: exponente, seno, coseno, etc. Estas funciones tienen propiedades inusuales e incluso extrañas, ¡y esto es realmente interesante! Tengo muchas ganas de decírselo, pero resulta que aquí no es un libro de referencia o de texto, sino un libro de soluciones, por lo que consideraré el mismo problema con algunas funciones comunes.

Primero sobre el llamado. las fórmulas de euler:

Para cualquiera válido números, las siguientes fórmulas son válidas:

También puedes copiarlo en tu cuaderno como material de referencia.

Estrictamente hablando, solo hay una fórmula, pero generalmente por conveniencia también escriben un caso especial con un signo menos en el exponente. El parámetro no tiene que ser una sola letra; puede ser una expresión o función compleja, solo es importante que acepten; solo válido significados. De hecho, veremos esto ahora mismo:

Ejemplo 7

Encuentra la derivada.

Solución: La línea general del partido sigue siendo inquebrantable: es necesario distinguir las partes real e imaginaria de la función. Daré una solución detallada y comentaré cada paso a continuación:

Desde entonces:

(1) Sustituya "z" en su lugar.

(2) Después de la sustitución, debe seleccionar las partes real e imaginaria. primero en el indicador expositores. Para hacer esto, abra los corchetes.

(3) Agrupamos la parte imaginaria del indicador, colocando la unidad imaginaria fuera de paréntesis.

(4) Usamos la acción escolar con títulos.

(5) Para el multiplicador utilizamos la fórmula de Euler, y .

(6) Abra los corchetes, lo que resulta en:

– parte real de la función;
– parte imaginaria de la función.

Otras acciones son estándar; comprobemos el cumplimiento de las condiciones de Cauchy-Riemann:

Ejemplo 9

Determinar las partes real e imaginaria de una función. . Comprobar el cumplimiento de las condiciones de Cauchy-Riemann. Que así sea, no encontraremos la derivada.

Solución: El algoritmo de solución es muy similar a los dos ejemplos anteriores, pero hay puntos muy importantes, por lo que volveré a comentar la etapa inicial paso a paso:

Desde entonces:

1) Sustituya "z" en su lugar.

(2) Primero, seleccionamos las partes real e imaginaria. dentro del seno. Para estos efectos, abrimos los corchetes.

(3) Usamos la fórmula, y .

(4) Uso paridad del coseno hiperbólico: Y rareza del seno hiperbólico: . Las hiperbólicas, aunque fuera de este mundo, recuerdan en muchos aspectos a funciones trigonométricas similares.

Como resultado:
– parte real de la función;
– parte imaginaria de la función.

¡Atención! El signo menos hace referencia a la parte imaginaria, ¡y bajo ningún concepto debemos perderla! Para una ilustración clara, el resultado anterior se puede reescribir de la siguiente manera:

Comprobemos el cumplimiento de las condiciones de Cauchy-Riemann:

Se cumplen las condiciones de Cauchy-Riemann.

Respuesta:, , se cumplen las condiciones de Cauchy-Riemann.

Damas y caballeros, averigüémoslo por nuestra cuenta:

Ejemplo 10

Determina las partes real e imaginaria de la función. Comprobar el cumplimiento de las condiciones de Cauchy-Riemann.

Elegí deliberadamente ejemplos más difíciles, porque todo el mundo parece poder afrontar algo, como un maní sin cáscara. ¡Al mismo tiempo, entrenarás tu atención! Galleta de nueces al final de la lección.

Bueno, para concluir, veremos otro ejemplo interesante cuando un argumento complejo está en el denominador. Ha sucedido un par de veces en la práctica, veamos algo simple. Eh, me estoy haciendo viejo...

Ejemplo 11

Determina las partes real e imaginaria de la función. Comprobar el cumplimiento de las condiciones de Cauchy-Riemann.

Solución: Nuevamente es necesario distinguir las partes real e imaginaria de la función.
Si entonces

Surge la pregunta, ¿qué hacer cuando “Z” está en el denominador?

Todo es simple: el estándar ayudará método de multiplicar el numerador y el denominador por la expresión conjugada, ya se ha utilizado en los ejemplos de la lección. Números complejos para tontos. Recordemos la fórmula escolar. Ya tenemos en el denominador, lo que significa que la expresión conjugada será. Por lo tanto, debes multiplicar el numerador y el denominador por: