Integración de las funciones irracionales más simples. Integración - MT1205: Análisis Matemático para Economistas - Informática Empresarial

Consideremos integrales con raíz de una función fraccionaria lineal:
(1) ,
donde R es la función racional de sus argumentos. Es decir, una función compuesta por sus argumentos y constantes arbitrarias que utiliza un número finito de operaciones de suma (resta), multiplicación y división (elevando a una potencia entera).

Ejemplos de integrales consideradas con irracionalidad lineal fraccionaria

Demos ejemplos de integrales con raíces de la forma (1) .

Ejemplo 1

Aunque aquí el signo integral incluye raíces de varios grados, la expresión del integrando se puede transformar de la siguiente manera:
;
;
.

Así, el integrando se compone de la variable de integración x y la raíz de la función lineal utilizando un número finito de operaciones de resta, división y multiplicación. Por lo tanto es una función racional de x y y pertenece al tipo considerado (1) con valores constantes n = 6 , α = β = δ = 1 , γ = 0 :
.

Ejemplo 2

Aquí hacemos la conversión:
.
Esto muestra que el integrando es una función racional de x y .

Por tanto pertenece al tipo en cuestión.

Ejemplo general de irracionalidad lineal fraccionaria
(2) ,
En un caso más general, el integrando puede incluir cualquier número finito de raíces de la misma función fraccionaria lineal:
donde R es la función racional de sus argumentos,
- números racionales, metro 1, n 1, ..., ms, n s
- números enteros.
,
De hecho, sea n el denominador común de los números r 1, ..., r s. Entonces se pueden representar como: donde k (2) 1 , k 2 , ..., k s
,
,
. . . . .
.

- números enteros. Entonces todos los incluidos en (2) las raíces son potencias de:
.

Es decir, todo el integrando

compuesto por x y la raíz usando un número finito de operaciones de suma, multiplicación y división. Por tanto es una función racional de x y :
(1)
Método de integración raíz
(3) .

Integral con irracionalidad lineal fraccionaria

se reduce a la integral de una función racional por sustitución (3) :
.

Prueba (3) :
;
;
.

Extrayendo la raíz de grado n de ambos lados

;
;
.
transformemos
.

Encontrar la derivada: (1) :
.

Esto muestra que la función integrando se compone de constantes y una variable de integración t usando un número finito de operaciones de suma (resta), multiplicación (elevando a una potencia entera) y división. Por tanto, el integrando es una función racional de la variable de integración. Así, el cálculo de la integral se redujo a la integración de una función racional. Q.E.D.

Ejemplo de integración de irracionalidad lineal.

Encuentra la integral:

Solución

Dado que la integral incluye raíces de la misma función lineal (fraccional) x + 1 , y el integrando se forma mediante las operaciones de resta y división, entonces esta integral pertenece al tipo considerado.

Transformemos el integrando para que incluya raíces del mismo grado:
;
;
.

Hacer una sustitución
x+ 1 = t 6.
Tomemos el diferencial:
d (x + 1) = dx = ( t 6 )′ dt = 6 t 5 dt.
Sustituyamos:
x =t 6 - 1 ;
;
;
.
Seleccionamos la parte entera de la fracción, observando que
t 6 - 1 = (t - 1)(t 5 + t 4 + t 3 + t 2 + t + 1).
Entonces

.

Respuesta

,
Dónde .

Ejemplo de integración de irracionalidad lineal fraccionaria

Encuentra la integral

Solución

Seleccionemos la raíz de la función fraccionaria lineal:
.
Entonces
.
Hacer una sustitución
.
toma el diferencial
.
Encontrar la derivada
.
Entonces
.
A continuación notamos que
.
Sustituir en el integrando


.

Respuesta

Literatura usada:
NUEVO MÉJICO. Gunter, R.O. Kuzmin, Colección de problemas de matemáticas superiores, “Lan”, 2003.

Seguimos considerando integrales de fracciones y raíces. No todos son súper complejos, es solo que por una razón u otra los ejemplos estaban un poco “fuera de tema” en otros artículos.

Ejemplo 9

Encuentra la integral indefinida

En el denominador debajo de la raíz hay un trinomio cuadrático más un “apéndice” en forma de “X” fuera de la raíz. Una integral de este tipo se puede resolver mediante una sustitución estándar.

.

El reemplazo aquí es simple:

Veamos la vida después del reemplazo:

(1) Después de la sustitución, reducimos los términos bajo la raíz a un denominador común.

(2) Lo sacamos de debajo de la raíz.

(3) El numerador y el denominador se reducen en . Al mismo tiempo, reorganizamos los términos bajo la raíz en un orden conveniente. Con algo de experiencia se pueden saltar los pasos (1), (2), realizando las acciones comentadas de forma oral.

(4) La integral resultante, como recordarás, se resuelve método de extracción de cuadrado completo. Selecciona un cuadrado completo.

(5) Por integración obtenemos un logaritmo “largo” ordinario.

(6) Realizamos la sustitución inversa. Si inicialmente , luego regresa: .

(7) La acción final tiene como objetivo enderezar el resultado: bajo la raíz volvemos a llevar los términos a un denominador común y los sacamos de debajo de la raíz.

Ejemplo 10

Encuentra la integral indefinida

.

Este es un ejemplo para que lo resuelvas por tu cuenta. Aquí se agrega una constante a la solitaria “X”, y el reemplazo es casi el mismo:

.

Lo único que hace falta es expresar adicionalmente la “x” de la sustitución que se está realizando:

.

Solución completa y respuesta al final de la lección.

A veces, en una integral de este tipo puede haber un binomio cuadrático debajo de la raíz, esto no cambia el método de solución, será aún más simple. Siente la diferencia:

Ejemplo 11

Encuentra la integral indefinida

Ejemplo 12

Encuentra la integral indefinida

Breves soluciones y respuestas al final de la lección. Cabe señalar que el ejemplo 11 es exactamente integral binomial, cuya solución se discutió en clase Integrales de funciones irracionales.

Integral de un polinomio de 2do grado indescomponible en el denominador a la potencia

Un tipo de integral más raro, pero que aún se encuentra en ejemplos prácticos.

Ejemplo 13

Encuentra la integral indefinida

El denominador del integrando contiene un binomio cuadrático que no se puede factorizar. Destacamos que la no factorizabilidad es una característica esencial. Si se factoriza el polinomio, entonces todo queda mucho más claro, por ejemplo:

Volvamos al ejemplo del número de la suerte 13. Esta integral también es de esas que pueden resultar bastante dolorosas si no sabes cómo resolverlas.

La solución comienza con una transformación artificial:

Creo que todo el mundo ya entiende cómo dividir el numerador por el denominador término por término.

La integral resultante se toma en partes:

Para una integral de la forma

Dónde ( k≥ 2) – número natural, derivado recurrente fórmula de reducción:

; es una integral de grado menor en 1.

¿Qué pasa si hay un polinomio adicional en el numerador? En este caso, se utiliza el método de coeficientes indefinidos y el integrando se expande a una suma de fracciones. Si encuentra una integral de este tipo, consulte el libro de texto: allí todo es sencillo.

Definición 1

El conjunto de todas las primitivas de una función dada $y=f(x)$, definida en un determinado segmento, se llama integral indefinida de una función dada $y=f(x)$. La integral indefinida se denota con el símbolo $\int f(x)dx $.

Comentario

La definición 2 se puede escribir de la siguiente manera:

\[\int f(x)dx =F(x)+C.\]

No todas las funciones irracionales pueden expresarse como integrales mediante funciones elementales. Sin embargo, la mayoría de estas integrales se pueden reducir mediante sustituciones de integrales de funciones racionales, que se pueden expresar en términos de funciones elementales.

$\int R\left(x,x^(m/n) ,...,x^(r/s) \right)dx $;

$\int R\left(x,\left(\frac(ax+b)(cx+d) \right)^(m/n) ,...,\left(\frac(ax+b)(cx +d) \right)^(r/s) \right)dx $;

$\int R\left(x,\sqrt(ax^(2) +bx+c) \right)dx $.

I

Al encontrar una integral de la forma $\int R\left(x,x^(m/n) ,...,x^(r/s) \right)dx $ es necesario realizar la siguiente sustitución:

Con esta sustitución, cada potencia fraccionaria de la variable $x$ se expresa mediante una potencia entera de la variable $t$. Como resultado, la función integrando se transforma en una función racional de la variable $t$.

Ejemplo 1

Realizar integración:

\[\int \frac(x^(1/2) dx)(x^(3/4) +1).\]

Solución:

$k=4$ es el denominador común de las fracciones $\frac(1)(2) ,\, \, \frac(3)(4) $.

\ \[\begin(array)(l) (\int \frac(x^(1/2) dx)(x^(3/4) +1) =4\int \frac(t^(2) ) (t^(3) +1) \cdot t^(3) dt =4\int \frac(t^(5) )(t^(3) +1) dt =4\int \left(t^( 2) -\frac(t^(2) )(t^(3) +1) \right)dt =4\int t^(2) dt -4\int \frac(t^(2) )(t ^(3) +1) dt =\frac(4)(3) \cdot t^(3) -) \\ (-\frac(4)(3) \cdot \ln |t^(3) +1 |+C)\end(matriz)\]

\[\int \frac(x^(1/2) dx)(x^(3/4) +1) =\frac(4)(3) \cdot \left+C\]

II

Al encontrar una integral de la forma $\int R\left(x,\left(\frac(ax+b)(cx+d) \right)^(m/n) ,...,\left(\frac (ax+ b)(cx+d) \right)^(r/s) \right)dx $ es necesario realizar la siguiente sustitución:

donde $k$ es el denominador común de las fracciones $\frac(m)(n) ,...,\frac(r)(s) $.

Como resultado de esta sustitución, el integrando se transforma en una función racional de la variable $t$.

Ejemplo 2

Realizar integración:

\[\int \frac(\sqrt(x+4) )(x) dx .\]

Solución:

Hagamos la siguiente sustitución:

\ \[\int \frac(\sqrt(x+4) )(x) dx =\int \frac(t^(2) )(t^(2) -4) dt =2\int \left(1 +\frac(4)(t^(2) -4) \right)dt =2\int dt +8\int \frac(dt)(t^(2) -4) =2t+2\ln \left |\frac(t-2)(t+2) \right|+C\]

Después de realizar la sustitución inversa, obtenemos el resultado final:

\[\int \frac(\sqrt(x+4) )(x) dx =2\sqrt(x+4) +2\ln \left|\frac(\sqrt(x+4) -2)(\ raíz cuadrada (x+4) +2) \right|+C.\]

III

Al encontrar una integral de la forma $\int R\left(x,\sqrt(ax^(2) +bx+c) \right)dx $, se realiza la llamada sustitución de Euler (una de tres posibles sustituciones es usado).

Primera sustitución de Euler

Para el caso $a>

Tomando el signo “+” delante de $\sqrt(a) $, obtenemos

Ejemplo 3

Realizar integración:

\[\int \frac(dx)(\sqrt(x^(2) +c) ).\]

Solución:

Hagamos la siguiente sustitución (caso $a=1>0$):

\[\sqrt(x^(2) +c) =-x+t,\, \, x=\frac(t^(2) -c)(2t) ,\, \, dx=\frac(t ^(2) +c)(2t^(2) ) dt,\, \, \sqrt(x^(2) +c) =-\frac(t^(2) -c)(2t) +t= \frac(t^(2) +c)(2t).\] \[\int \frac(dx)(\sqrt(x^(2) +c) ) =\int \frac(\frac(t^ (2) +c)(2t^(2) ) dt)(\frac(t^(2) +c)(2t) ) =\int \frac(dt)(t) =\ln |t|+C \]

Después de realizar la sustitución inversa, obtenemos el resultado final:

\[\int \frac(dx)(\sqrt(x^(2) +c) ) =\ln |\sqrt(x^(2) +c) +x|+C.\]

Segunda sustitución de Euler

Para el caso $c>0$ es necesario realizar la siguiente sustitución:

Tomando el signo “+” delante de $\sqrt(c) $, obtenemos

Ejemplo 4

Realizar integración:

\[\int \frac((1-\sqrt(1+x+x^(2) ))^(2) )(x^(2) \sqrt(1+x+x^(2) ) ) dx .\]

Solución:

Hagamos la siguiente sustitución:

\[\sqrt(1+x+x^(2) ) =xt+1.\]

\ \[\sqrt(1+x+x^(2) ) =xt+1=\frac(t^(2) -t+1)(1-t^(2) ) \] \

$\int \frac((1-\sqrt(1+x+x^(2) ))^(2) )(x^(2) \sqrt(1+x+x^(2) ) ) dx = \int \frac((-2t^(2) +t)^(2) (1-t)^(2) (1-t^(2))(2t^(2) -2t+2))( (1-t^(2))^(2) (2t-1)^(2) (t^(2) -t+1)(1-t^(2))^(2) ) dt =\ int \frac(t^(2) )(1-t^(2) ) dt =-2t+\ln \left|\frac(1+t)(1-t) \right|+C$ Habiendo hecho lo inverso sustitución, obtenemos el resultado final:

\[\begin(array)(l) (\int \frac((1-\sqrt(1+x+x^(2) ))^(2) )(x^(2) \sqrt(1+x +x^(2) ) dx =-2\cdot \frac(\sqrt(1+x+x^(2) ) -1)(x) +\ln \left|\frac(x+\sqrt(1 + x+x^(2) ) -1)(x-\sqrt(1+x+x^(2) ) +1) \right|+C=-2\cdot \frac(\sqrt(1+x + x^(2) ) -1)(x) +) \\ (+\ln \left|2x+2\sqrt(1+x+x^(2) ) +1\right|+C) \end ( formación)\]

Tercera sustitución de Euler

Bajo irracional comprender una expresión en la que la variable independiente %%x%% o el polinomio %%P_n(x)%% de grado %%n \in \mathbb(N)%% está incluido bajo el signo radical(del latín base- raíz), es decir elevado a una potencia fraccionaria. Al reemplazar una variable, algunas clases de integrandos que son irracionales con respecto a %%x%% se pueden reducir a expresiones racionales con respecto a una nueva variable.

El concepto de función racional de una variable se puede extender a múltiples argumentos. Si para cada argumento %%u, v, \dotsc, w%% al calcular el valor de una función solo se proporcionan operaciones aritméticas y elevación a una potencia entera, entonces hablamos de una función racional de estos argumentos, que generalmente es denotado %%R(u, v, \ dotsc, w)%%. Los argumentos de dicha función pueden ser en sí mismos funciones de la variable independiente %%x%%, incluidos los radicales de la forma %%\sqrt[n](x), n \in \mathbb(N)%%. Por ejemplo, la función racional $$ R(u,v,w) = \frac(u + v^2)(w) $$ con %%u = x, v = \sqrt(x)%% y %% w = \sqrt(x^2 + 1)%% es una función racional de $$ R\left(x, \sqrt(x), \sqrt(x^2+1)\right) = \frac(x + \sqrt(x ^2))(\sqrt(x^2 + 1)) = f(x) $$ de %%x%% y radicales %%\sqrt(x)%% y %%\sqrt(x ^2 + 1 )%%, mientras que la función %%f(x)%% será una función irracional (algebraica) de una variable independiente %%x%%.

Consideremos integrales de la forma %%\int R(x, \sqrt[n](x)) \mathrm(d)x%%. Estas integrales se racionalizan reemplazando la variable %%t = \sqrt[n](x)%%, luego %%x = t^n, \mathrm(d)x = nt^(n-1)%%.

Ejemplo 1

Encuentre %%\displaystyle\int \frac(\mathrm(d)x)(\sqrt(x) + \sqrt(x))%%.

El integrando del argumento deseado se escribe en función de los radicales de grado %%2%% y %%3%%. Dado que el mínimo común múltiplo de %%2%% y %%3%% es %%6%%, esta integral es una integral de tipo %%\int R(x, \sqrt(x)) \mathrm(d) x %% y se puede racionalizar reemplazando %%\sqrt(x) = t%%. Entonces %%x = t^6, \mathrm(d)x = 6t \mathrm(d)t, \sqrt(x) = t^3, \sqrt(x) =t^2%%. Por lo tanto, $$ \int \frac(\mathrm(d)x)(\sqrt(x) + \sqrt(x)) = \int \frac(6t^5 \mathrm(d)t)(t^3 + t^2) = 6\int\frac(t^3)(t+1)\mathrm(d)t. $$ Tomemos %%t + 1 = z, \mathrm(d)t = \mathrm(d)z, z = t + 1 = \sqrt(x) + 1%% y $$ \begin(array)( ll ) \int \frac(\mathrm(d)x)(\sqrt(x) + \sqrt(x)) &= 6\int\frac((z-1)^3)(z) \mathrm(d ) t = \\ &= 6\int z^2 dz -18 \int z \mathrm(d)z + 18\int \mathrm(d)z -6\int\frac(\mathrm(d)z)( z ) = \\ &= 2z^3 - 9 z^2 + 18z -6\ln|z| + C = \\ &= 2 \left(\sqrt(x) + 1\right)^3 - 9 \left(\sqrt(x) + 1\right)^2 + \\ &+~ 18 \left( \sqrt(x) + 1\right) - 6 \ln\left|\sqrt(x) + 1\right| + C \end(matriz) $$

Las integrales de la forma %%\int R(x, \sqrt[n](x)) \mathrm(d)x%% son un caso especial de irracionalidades lineales fraccionarias, es decir integrales de la forma %%\displaystyle\int R\left(x, \sqrt[n](\dfrac(ax+b)(cd+d))\right) \mathrm(d)x%%, donde %% ad - bc \neq 0%%, que se puede racionalizar reemplazando la variable %%t = \sqrt[n](\dfrac(ax+b)(cd+d))%%, luego %%x = \dfrac (dt^n - b)(a - ct^n)%%. Entonces $$ \mathrm(d)x = \frac(n t^(n-1)(ad - bc))(\left(a - ct^n\right)^2)\mathrm(d)t. $$

Ejemplo 2

Encuentre %%\displaystyle\int \sqrt(\dfrac(1 -x)(1 + x))\dfrac(\mathrm(d)x)(x + 1)%%.

Tomemos %%t = \sqrt(\dfrac(1 -x)(1 + x))%%, luego %%x = \dfrac(1 - t^2)(1 + t^2)%%, $ $ \begin(array)(l) \mathrm(d)x = -\frac(4t\mathrm(d)t)(\left(1 + t^2\right)^2), \\ 1 + x = \ frac(2)(1 + t^2), \\ \frac(1)(x + 1) = \frac(1 + t^2)(2). \end(array) $$ Por lo tanto, $$ \begin(array)(l) \int \sqrt(\dfrac(1 -x)(1 + x))\frac(\mathrm(d)x)(x + 1) = \\ = \frac(t(1 + t^2))(2)\left(-\frac(4t \mathrm(d)t)(\left(1 + t^2\right)^2 )\right) = \\ = -2\int \frac(t^2\mathrm(d)t)(1 + t^2) = \\ = -2\int \mathrm(d)t + 2\int \frac(\mathrm(d)t)(1 + t^2) = \\ = -2t + \text(arctg)~t + C = \\ = -2\sqrt(\dfrac(1 -x)( 1 + x)) + \text(arctg)~\sqrt(\dfrac(1 -x)(1 + x)) + C. \end(array) $$

Consideremos integrales de la forma %%\int R\left(x, \sqrt(ax^2 + bx + c)\right) \mathrm(d)x%%. En los casos más simples, tales integrales se reducen a tabulares si, después de aislar el cuadrado completo, se realiza un cambio de variables.

Ejemplo 3

Encuentra la integral %%\displaystyle\int \dfrac(\mathrm(d)x)(\sqrt(x^2 + 4x + 5))%%.

Considerando que %%x^2 + 4x + 5 = (x+2)^2 + 1%%, tomamos %%t = x + 2, \mathrm(d)x = \mathrm(d)t%%, entonces $$ \begin(array)(ll) \int \frac(\mathrm(d)x)(\sqrt(x^2 + 4x + 5)) &= \int \frac(\mathrm(d)t) (\sqrt(t^2 + 1)) = \\ &= \ln\left|t + \sqrt(t^2 + 1)\right| + C = \\ &= \ln\left|x + 2 + \sqrt(x^2 + 4x + 5)\right| + C.\end(matriz) $$

En casos más complejos, para encontrar integrales de la forma %%\int R\left(x, \sqrt(ax^2 + bx + c)\right) \mathrm(d)x%% se utilizan

La clase de funciones irracionales es muy amplia, por lo que simplemente no puede haber una forma universal de integrarlas. En este artículo intentaremos identificar los tipos más característicos de funciones integrandos irracionales y asociarles el método de integración.

Hay casos en los que conviene utilizar el método de suscripción del signo diferencial. Por ejemplo, al encontrar integrales indefinidas de la forma, donde pag– fracción racional.

Ejemplo.

Encuentra la integral indefinida .

Solución.

No es difícil notarlo. Por tanto, lo ponemos bajo el signo diferencial y utilizamos la tabla de antiderivadas:

Respuesta:

.

13. Sustitución lineal fraccionaria

Las integrales del tipo donde a, b, c, d son números reales, a, b,..., d, g son números naturales, se reducen a integrales de una función racional por sustitución, donde K es el mínimo común múltiplo de los denominadores de las fracciones

De hecho, de la sustitución se deduce que

es decir, x y dx se expresan mediante funciones racionales de t. Además, cada grado de la fracción se expresa mediante una función racional de t.

Ejemplo 33.4. Encuentra la integral

Solución: El mínimo común múltiplo de los denominadores de las fracciones 2/3 y 1/2 es 6.

Por lo tanto, ponemos x+2=t 6, x=t 6 -2, dx=6t 5 dt, Por lo tanto,

Ejemplo 33.5. Especifique la sustitución para encontrar integrales:

Solución: Para I 1 sustitución x=t 2, para I 2 sustitución

14. Sustitución trigonométrica

Las integrales de tipo se reducen a integrales de funciones que dependen racionalmente de funciones trigonométricas utilizando las siguientes sustituciones trigonométricas: x = a sint para la primera integral; x=a tgt para la segunda integral; para la tercera integral.

Ejemplo 33.6. Encuentra la integral

Solución: Pongamos x=2 sin t, dx=2 cos tdt, t=arcsin x/2. Entonces

Aquí el integrando es una función racional con respecto a x y Seleccionando un cuadrado completo debajo del radical y haciendo una sustitución, las integrales del tipo indicado se reducen a integrales del tipo ya considerado, es decir, a integrales del tipo Estas integrales se pueden calcular utilizando sustituciones trigonométricas apropiadas.

Ejemplo 33.7. Encuentra la integral

Solución: Dado que x 2 +2x-4=(x+1) 2 -5, entonces x+1=t, x=t-1, dx=dt. Es por eso vamos a poner

Nota: tipo integral Es conveniente encontrar utilizando la sustitución x=1/t.

15. Integral definida

Dejemos que una función se defina en un segmento y tenga una primitiva. La diferencia se llama integral definida funciones a lo largo del segmento y denotar. Entonces,

La diferencia se escribe en la forma, luego . los numeros se llaman límites de integración .

Por ejemplo, una de las antiderivadas de una función. Es por eso

16 . Si c es un número constante y la función ƒ(x) es integrable en , entonces

es decir, el factor constante c se puede sacar del signo de la integral definida.

▼Compongamos la suma integral de la función con ƒ(x). Tenemos:

Entonces se deduce que la función c ƒ(x) es integrable en [a; b] y la fórmula (38.1) es válida.▲

2. Si las funciones ƒ 1 (x) y ƒ 2 (x) son integrables en [a;b], entonces integrables en [a; b] su suma u

es decir, la integral de la suma es igual a la suma de las integrales.

▼
▲

La propiedad 2 se aplica a la suma de cualquier número finito de términos.

3.

Esta propiedad puede aceptarse por definición. Esta propiedad también la confirma la fórmula de Newton-Leibniz.

4. Si la función ƒ(x) es integrable en [a; b] y un< с < b, то

es decir, la integral de todo el segmento es igual a la suma de las integrales de las partes de este segmento. Esta propiedad se llama aditividad de una integral definida (o propiedad de aditividad).

Al dividir el segmento [a;b] en partes, incluimos el punto c en el número de puntos de división (esto se puede hacer debido a la independencia del límite de la suma integral del método de división del segmento [a;b] en partes). Si c = x m, entonces la suma integral se puede dividir en dos sumas:

Cada una de las sumas escritas es integral, respectivamente, para los segmentos [a; b], [a; s] y [s; b]. Pasando al límite en la última igualdad como n → ∞ (λ → 0), obtenemos la igualdad (38.3).

La propiedad 4 es válida para cualquier ubicación de los puntos a, b, c (asumimos que la función ƒ (x) es integrable en el mayor de los segmentos resultantes).

Así, por ejemplo, si un< b < с, то

(Se utilizaron las propiedades 4 y 3).

5. "Teorema de los valores medios". Si la función ƒ(x) es continua en el intervalo [a; b], luego hay una tonka con є [a; b] tal que

▼Por la fórmula de Newton-Leibniz tenemos

donde F"(x) = ƒ(x). Aplicando el teorema de Lagrange (el teorema del incremento finito de una función) a la diferencia F(b)-F(a), obtenemos

F(b)-F(a) = F"(c) (b-a) = ƒ(c) (b-a).▲

La propiedad 5 (“el teorema del valor medio”) para ƒ (x) ≥ 0 tiene un significado geométrico simple: el valor de la integral definida es igual, para algún c є (a; b), al área de un rectángulo con altura ƒ (c) y base b-a (ver fig. 170). Número

se llama valor promedio de la función ƒ(x) en el intervalo [a; b].

6. Si la función ƒ (x) mantiene su signo en el segmento [a; b], donde un< b, то интегралимеет тот же знак, что и функция. Так, если ƒ(х)≥0 на отрезке [а; b], то

▼Por el “teorema del valor medio” (propiedad 5)

donde c є [a; b]. Y dado que ƒ(x) ≥ 0 para todo x О [a; b], entonces

ƒ(с)≥0, b-а>0.

Por lo tanto ƒ(с) (b-а) ≥ 0, es decir ▲

7. Desigualdad entre funciones continuas en el intervalo [a; b], (un

▼Dado que ƒ 2 (x)-ƒ 1 (x)≥0, entonces cuando un< b, согласно свойству 6, имеем

O, según la propiedad 2,

Tenga en cuenta que es imposible diferenciar las desigualdades.

8. Estimación de la integral. Si m y M son, respectivamente, los valores más pequeño y más grande de la función y = ƒ (x) en el segmento [a; b], (un< b), то

▼Dado que para cualquier x є [a;b] tenemos m≤ƒ(x)≤М, entonces, según la propiedad 7, tenemos

Aplicando la Propiedad 5 a las integrales extremas, obtenemos

▲

Si ƒ(x)≥0, entonces la propiedad 8 se ilustra geométricamente: el área de un trapecio curvilíneo está encerrada entre las áreas de rectángulos cuya base es , y cuyas alturas son my M (ver Fig. 171).

9. El módulo de una integral definida no excede la integral del módulo del integrando:

▼Aplicando la propiedad 7 a las desigualdades obvias -|ƒ(x)|≤ƒ(x)≤|ƒ(x)|, obtenemos

Resulta que

▲

10. La derivada de una integral definida con respecto a un límite superior de variable es igual al integrando en el que la variable de integración es reemplazada por este límite, es decir

Calcular el área de una figura es uno de los problemas más difíciles de la teoría de áreas. En el curso de geometría de la escuela aprendimos a encontrar las áreas de formas geométricas básicas, por ejemplo, un círculo, un triángulo, un rombo, etc. Sin embargo, mucho más a menudo tienes que lidiar con el cálculo de las áreas de figuras más complejas. Para resolver este tipo de problemas hay que recurrir al cálculo integral.

En este artículo consideraremos el problema de calcular el área de un trapezoide curvilíneo y lo abordaremos en un sentido geométrico. Esto nos permitirá descubrir la conexión directa entre la integral definida y el área de un trapezoide curvilíneo.