7 topología. Topologías básicas de red. Vea qué es “topología” en otros diccionarios

La franja de Möbius es interesante porque tiene una sola superficie; Estas formas son objeto de estudio de la topología. Topología(griego – lugar, logotipos– ciencia) es una rama de las matemáticas cercana a la geometría. Mientras que el álgebra comienza mirando operaciones, geometría – figuras, y análisis matemático - funciones; concepto fundamental de topología – continuidad. El mapeo continuo deforma el espacio sin romperlo, mientras que los puntos individuales o partes del espacio pueden unirse (conectarse), pero los puntos cercanos permanecen cerca. A diferencia de la geometría, que considera principalmente métrico características como longitud, ángulo y área, en topología estas características se consideran insignificante En el contexto, se estudian propiedades tan fundamentales de una figura como la conectividad (número de piezas, agujeros, etc.) o la posibilidad de deformarla continuamente hasta formar una esfera y viceversa (esto es posible para la superficie de un cubo, pero imposible para la superficie de un toroide).
La axiomática de la topología se basa en los principios de la teoría de conjuntos, pero el papel principal en la investigación de la topología moderna lo desempeñan principalmente los métodos algebraicos y geométricos. Los objetos de la investigación topológica son los espacios topológicos, la generalización conjunta de estructuras tales como un gráfico, una superficie en el espacio tridimensional y el conjunto de Cantor y las correspondencias entre ellos. Al mismo tiempo, se estudian las propiedades de los espacios topológicos tanto en el pequeño (local), y en general (global). Entre las diversas áreas de la topología, destacamos la topología general, cercana a la teoría de conjuntos, que estudia propiedades generales de espacios topológicos abstractos como la compacidad o la conectividad, y la topología algebraica, que intenta describir espacios topológicos utilizando sus invariantes algebraicas, por ejemplo. , Los números de Betti y el grupo fundamental. La topología geométrica estudia espacios topológicos de origen geométrico, nodos en el espacio euclidiano tridimensional y variedades tridimensionales. La topología geométrica incluye uno de los problemas matemáticos más grandes y famosos, la conjetura de Poincaré, que fue finalmente demostrada (2003) por el matemático ruso Grigory Perelman.
Junto con el álgebra y la geometría, los métodos topológicos se utilizan ampliamente en el análisis funcional, la teoría de sistemas dinámicos y la física matemática moderna.
Término topología utilizado para denotar tanto una disciplina matemática como una estructura matemática específica, ver espacio topológico.
Los siete puentes de Königsberg son el primer problema de topología considerado por L. Euler. La investigación inicial sobre topología pertenece a Leonhard Euler. Se cree que el artículo de Euler "Solutio problematis ad geometriam situs pertinentis" ("Solución de un problema relacionado con la geometría de posición"), publicado en 1736, contenía los primeros resultados en topología. El nuevo punto de vista propuesto por Euler fue abandonar la consideración de las propiedades métricas de las figuras geométricas, como la longitud y el área, al estudiar determinadas cuestiones de geometría. Así, en 1750, en una carta a Goldbach, Euler anunció su gloriosa fórmula

B – P + GRAMO = 2,

Que conecta el número de vértices B, aristas P y caras G de un poliedro convexo.
En 1895, Henri Poincaré publicó una serie de artículos Análisis situacional, en el que sentó las bases de la topología algebraica. Al mejorar los estudios preliminares sobre la conectividad de los espacios topológicos, Poincaré introdujo los conceptos de homotopía y homología y proporcionó una definición del grupo fundamental.
En cierto sentido, la obra de Poincaré resumió las investigaciones de Euler, Lhuillier, Gauss, Riemann, Listing, Möbius, Jordan, Klein, Betti, etc. combinacional Y geométrico topología. Una característica importante de casi todas estas obras, incluido Poincaré, fue su intuitivo personaje. Junto con un número significativo de ejemplos de objetos topológicos y resultados de sus propiedades, al nuevo campo de las matemáticas le faltaba lo más importante: una definición estricta de los objetos de su estudio, es decir, en el lenguaje moderno, espacios topológicos.
La conciencia de la importancia del paradigma topológico en el análisis matemático, asociado con la estricta justificación de los límites, la continuidad y la compacidad en las obras de Bolzano, Cauchy, Weierstrass, Cantor y otros, llevó a axiomático definición de los conceptos básicos de topología y desarrollo de la topología general, y con ella la topología de espacios vectoriales, análisis funcional. Así, los problemas de análisis forman una segunda fuente, en gran medida independiente de las cuestiones de geometría, para el desarrollo de la topología. Cabe señalar que hasta ahora los caminos de desarrollo de la topología general y algebraica casi no se cruzan.
La axiomática de la topología hoy generalmente aceptada se basa en la teoría de conjuntos, que fue formada por Georg Cantor en la segunda mitad del siglo XIX. En 1872, Cantor proporcionó una definición de conjuntos abiertos y cerrados de números reales. Es interesante notar que Cantor introdujo algunas de las ideas de la teoría de conjuntos, como el conjunto de Cantor, dentro de sus estudios de las series de Fourier. Sistematizando las obras de Georg Cantor, Vito Volterra, Cesare Arzela, Jacques Hadamard y otros, en 1906 Maurice Fréchet esbozó el concepto de espacio métrico. Un poco más tarde se comprendió que el espacio métrico es un caso especial de un concepto más general, el espacio topológico. En 1914, Felix Hausdorff utilizó el término "espacio topológico" en un sentido cercano al moderno (los espacios topológicos que consideró ahora se llaman Hausdorff).
Origen del nombre
En realidad, el término "topología" ("topologie" en alemán) apareció por primera vez en 1847 en el artículo Listado Vorstudien zur Topologie. Sin embargo, en ese momento Listing había estado utilizando este término en su correspondencia durante más de 10 años. "Topología", una forma inglesa del término, fue propuesta en 1883 en la revista Naturaleza para distinguir la geometría cualitativa de la geometría ordinaria, en la que prevalecen las relaciones cuantitativas. Palabra topólogo- es decir. topólogo, en el sentido de "especialista en topología", se utilizó por primera vez en 1905 en la revista Espectador. Gracias a la influencia de los artículos de Poincaré mencionados anteriormente, la topología fue conocida durante mucho tiempo con el nombre Análisis situacional(lat. análisis del sitio).
Los espacios topológicos aparecen de forma natural en muchas ramas de las matemáticas. Esto hace que la topología sea una herramienta extremadamente versátil para los matemáticos. Topología general define y estudia propiedades de los espacios y asignaciones entre ellos como conectividad, compacidad y continuidad. Topología algebraica utiliza objetos de álgebra abstracta, y especialmente teoría de categorías, para estudiar espacios topológicos y asignaciones entre ellos.
Para entender por qué se necesita la topología, podemos dar el siguiente ejemplo: en algunos problemas geométricos, no es tan importante conocer la forma exacta de los objetos como saber cómo están ubicados. Si consideras un cuadrado y un círculo (contornos), figuras aparentemente tan diferentes, notarás varias similitudes: ambos objetos son unidimensionales y ambos dividen el espacio en dos partes: el interior y el exterior.
El tema de uno de los artículos (de Leonhard Euler) sobre topología era demostrar que es imposible encontrar en Konigsberg (hoy Kaliningrado) un camino que pase por cada uno de los siete puentes de la ciudad exactamente una vez. Este resultado no dependió de la longitud de los puentes ni de la distancia entre ellos. Sólo influyeron las propiedades de la conectividad: qué puentes conectan qué islas o costas. esta tarea Siete puentes de Königsberg es indicativo en el estudio de las matemáticas, también se ha vuelto fundamental en la sección de matemáticas, llamada teoría de grafos.
Similar es teorema de la bola peluda con topología algebraica, que establece lo siguiente: “es imposible peinar el pelo de una bola en una dirección”. Este hecho es bastante obvio y muchas personas lo entienden de inmediato, pero su notación formal no es obvia para muchos: no existe un campo continuo distinto de cero de vectores tangentes en la esfera. como con puentes de Königsberg, el resultado no depende de la forma exacta de la esfera; la afirmación también es válida para formas en forma de pera, incluso para formas más generales en forma de lágrima (con algunas condiciones sobre la suavidad de la superficie), bajo la condición general de ausencia de agujeros.
Entonces, para resolver tales problemas, que en realidad no requieren información sobre la forma exacta de los objetos, es necesario saber claramente de qué propiedades depende la solución de dichos problemas. Inmediatamente surge la necesidad de definir equivalencia topológica. La imposibilidad de cruzar cada puente una vez también se aplica a cualquier disposición de puente equivalente a Königsberg; El teorema de la bola peluda se puede aplicar a cualquier objeto bola topológicamente equivalente.
Deformación continua de una taza de café en un barril (toro). Esta transformación se llama homotopía. Fases de la transformación de una taza en bolsa Intuitivamente, dos espacios topológicos son equivalentes (homeomórficos) si uno puede transformarse en el otro sin segmentos ni empalmes. Hay un chiste tradicional: un topólogo no puede distinguir la taza de café que bebe del panecillo que come, ya que un panecillo suficientemente flexible se puede transformar fácilmente en una taza creando hendiduras y agrandándola, al mismo tiempo que se reduce el tamaño. agujero del tamaño de un mango.
Como problema inicial sencillo, se pueden clasificar las letras del alfabeto latino en términos de equivalencia topológica. (Asumiremos que el grosor de las líneas que forman las letras es distinto de cero) En la mayoría de las fuentes que se utilizan ahora, hay una clase de letras con exactamente un agujero (a, b, d, e, o, p , q), una clase de letras sin agujeros: (c, f, h, k, l, m, n, r, s, t, u, v, w, x, y, z), y una clase de letras compuesto por dos piezas: (i, j). La letra "g" puede pertenecer a la clase de letras con un agujero o (en algunas fuentes) puede ser una letra con dos agujeros (si la cola está cerrada). Para un ejemplo más complejo, podemos considerar el caso de espesor de línea cero; Puede considerar diferentes topologías según la fuente que elija. La topología de las letras tiene su aplicación práctica en la impresión con esténciles: por ejemplo, el tipo de letra Braggadocio se puede recortar de un plano sin desmoronarse después.
La topología es una de las disciplinas matemáticas más centralizadas, en términos del número de conexiones y el grado de influencia mutua con otras ramas de las matemáticas. Pongamos los siguientes ejemplos.
La comunidad matemática ha elogiado la contribución de las topologías al desarrollo de las matemáticas. Durante el período de 1936 a 2006, uno de los más altos premios en matemáticas, la Medalla Fields, fue otorgado a 48 matemáticos, 9 de ellos por investigaciones en topología. En el trabajo de varios otros galardonados, los métodos topológicos desempeñaron un papel importante.
Tres de ellos recibieron el premio por resolver la conjetura de Poincaré: Grigory Perelman por presentar la hipótesis original sobre la esfera tridimensional, y Michael Friedman y Stephen Smale por resolver una pregunta similar en cuatro (Friedman) y cinco o más dimensiones (Smale). ). Curiosamente, se otorgaron dos medallas Fields más por resultados en esferas: John Milnor por el descubrimiento de 28 estructuras diferenciables en una esfera de siete mundos, y Jean-Pierre Serra por desarrollar métodos para calcular grupos homotópicos de esferas. ¡Así, cinco de los cuarenta y ocho premios Fields fueron otorgados a investigadores de esferas!

Una red local es un elemento importante de cualquier empresa moderna, sin la cual es imposible lograr la máxima productividad. Sin embargo, para aprovechar todo el potencial de la red, es necesario configurarla correctamente, teniendo en cuenta también que la ubicación de los ordenadores conectados afectará al rendimiento de la LAN.

Concepto de topología

La topología de las redes informáticas locales es la ubicación de las estaciones de trabajo y los nodos entre sí y las opciones para su conexión. De hecho, esta es una arquitectura LAN. La ubicación de las computadoras determina las características técnicas de la red, y la elección de cualquier tipo de topología afectará:

• Tipos y características de los equipos de red.
• Fiabilidad y escalabilidad de LAN.
• Método de gestión de la red local.

Existen muchas opciones de este tipo para la ubicación de los nodos de trabajo y los métodos para conectarlos, y su número aumenta en proporción directa al aumento en el número de computadoras conectadas. Las principales topologías de las redes locales son "estrella", "bus" y "anillo".

Factores a considerar al elegir una topología

Antes de decidir finalmente la elección de la topología, es necesario tener en cuenta varias características que afectan el rendimiento de la red. En base a ellos se puede seleccionar la topología más adecuada, analizando las ventajas y desventajas de cada una de ellas y correlacionando estos datos con las condiciones disponibles para la instalación.

• La funcionalidad y capacidad de servicio de cada una de las estaciones de trabajo conectadas a la LAN. Algunos tipos de topologías de redes locales dependen completamente de esto.
• Capacidad de servicio de los equipos (enrutadores, adaptadores, etc.). Una avería en el equipo de la red puede interrumpir por completo el funcionamiento de la LAN o detener el intercambio de información con una computadora.
• Fiabilidad del cable utilizado. Su daño interrumpe la transmisión y recepción de datos en toda la LAN o en un segmento de ella.
• Limitación de la longitud del cable. Este factor también es importante a la hora de elegir una topología. Si no hay mucho cable disponible, puede elegir un arreglo que requiera menos cantidad.

Acerca de la topología en estrella

Este tipo de disposición de estación de trabajo tiene un centro dedicado: un servidor, al que están conectados todos los demás ordenadores. Es a través del servidor que se realizan los procesos de intercambio de datos. Por tanto, su equipamiento debe ser más complejo.

Ventajas:

• La topología de las redes locales "en estrella" se compara favorablemente con otras en ausencia total de conflictos en la LAN; esto se logra mediante una gestión centralizada.
• El fallo de uno de los nodos o el daño del cable no tendrán ningún efecto en la red en su conjunto.
• Tener solo dos suscriptores, principal y periférico, le permite simplificar el equipo de red.
• Un grupo de puntos de conexión dentro de un radio pequeño simplifica el proceso de control de la red y también mejora su seguridad al limitar el acceso a personas no autorizadas.

Defectos:

• Una red local de este tipo queda completamente inoperable en caso de un fallo del servidor central.
• El coste de una estrella es mayor que el de otras topologías, ya que se requiere mucho más cable.

Topología de bus: sencilla y económica

En este método de conexión, todas las estaciones de trabajo están conectadas a una sola línea: un cable coaxial, y los datos de un suscriptor se envían a los demás en modo de intercambio semidúplex. Las topologías de red local de este tipo requieren la presencia de un terminador especial en cada extremo del bus, sin el cual la señal se distorsiona.

Ventajas:

• Todas las computadoras son iguales.
• La capacidad de escalar fácilmente la red incluso mientras está en ejecución.
• El fallo de un nodo no afecta a los demás.
• El consumo de cable se reduce significativamente.

Defectos:

• Fiabilidad de la red insuficiente debido a problemas con los conectores de los cables.
• Bajo rendimiento debido a la división del canal entre todos los suscriptores.
• Dificultad para gestionar y detectar fallos debido a adaptadores conectados en paralelo.
• La longitud de la línea de comunicación es limitada, por lo que estos tipos de topologías de red local se utilizan solo para una pequeña cantidad de computadoras.

Características de la topología en anillo.

Este tipo de comunicación implica conectar un nodo de trabajo con otros dos, se reciben datos de uno de ellos y se transmiten al segundo. La característica principal de esta topología es que cada terminal actúa como un repetidor, eliminando la posibilidad de atenuación de la señal en la LAN.

Ventajas:

• Cree y configure rápidamente esta topología de red local.
• Fácil escalamiento, que, sin embargo, requiere apagar la red mientras se instala un nuevo nodo.
• Un gran número de posibles suscriptores.
• Resistencia a sobrecargas y ausencia de conflictos de red.
• La capacidad de aumentar la red a tamaños enormes transmitiendo la señal entre computadoras.

Defectos:

• Falta de fiabilidad de la red en su conjunto.
• Falta de resistencia al daño del cable, por lo que generalmente se proporciona una línea de respaldo paralela.
• Alto consumo de cables.

Tipos de redes locales

La elección de la topología de la red local también debe realizarse en función del tipo de LAN disponible. La red se puede representar mediante dos modelos: peer-to-peer y jerárquico. No son muy diferentes funcionalmente, lo que permite cambiar de uno a otro si es necesario. Sin embargo, todavía existen algunas diferencias entre ellos.

En cuanto al modelo peer-to-peer, se recomienda su uso en situaciones en las que no existe la posibilidad de organizar una gran red, pero aún es necesaria la creación de algún tipo de sistema de comunicación. Se recomienda crearlo solo para una pequeña cantidad de computadoras. Las comunicaciones de control centralizadas se utilizan comúnmente en varias empresas para monitorear las estaciones de trabajo.

Red de igual a igual

Este tipo de LAN implica igualdad de derechos para cada estación de trabajo, distribuyendo datos entre ellas. El usuario puede permitir o denegar el acceso a la información almacenada en un nodo. Como regla general, en tales casos, la topología de la red informática local "bus" será la más adecuada.

Una red peer-to-peer implica la disponibilidad de recursos de la estación de trabajo para otros usuarios. Esto significa la capacidad de editar un documento en una computadora mientras se trabaja en otra, imprimir e iniciar aplicaciones de forma remota.

Ventajas de un tipo de LAN peer-to-peer:

• Facilidad de implementación, instalación y mantenimiento.
• Pequeños costos financieros. Este modelo elimina la necesidad de comprar un servidor costoso.

Defectos:

• El rendimiento de la red disminuye en proporción al aumento en el número de nodos trabajadores conectados.
• No existe un sistema de seguridad unificado.
• Disponibilidad de información: cuando apaga su computadora, los datos que contiene serán inaccesibles para otros.
• No existe una única base de información.

Modelo jerárquico

Las topologías de red local más utilizadas se basan en este tipo de LAN. También se le llama “cliente-servidor”. La esencia de este modelo es que si hay un cierto número de suscriptores, hay un elemento principal: el servidor. Este ordenador de control almacena todos los datos y los procesa.

Ventajas:

• Excelente rendimiento de la red.
• Sistema de seguridad unificado y confiable.
• Una base de información común para todos.
• Gestión simplificada de toda la red y sus elementos.

Defectos:

• La necesidad de tener una unidad de personal especial: un administrador que monitoree y mantenga el servidor.
• Grandes costos financieros para la compra de una computadora principal.

La configuración (topología) más utilizada de una red informática local en un modelo jerárquico es una "estrella".

La elección de la topología (disposición de los equipos de red y las estaciones de trabajo) es un punto extremadamente importante a la hora de organizar una red local. El tipo de comunicación seleccionado debe garantizar el funcionamiento más eficiente y seguro de la LAN. También es importante prestar atención a los costos financieros y la posibilidad de una mayor expansión de la red. Encontrar una solución racional no es una tarea fácil, que se logra mediante un análisis cuidadoso y un enfoque responsable. Es en este caso que las topologías de red local seleccionadas correctamente garantizarán el máximo rendimiento de toda la LAN en su conjunto.

TOPOLOGÍA
Rama de las matemáticas que se ocupa del estudio de las propiedades de figuras (o espacios) que se conservan bajo deformaciones continuas, como estiramiento, compresión o flexión. La deformación continua es una deformación de una figura en la que no hay roturas (es decir, violación de la integridad de la figura) ni pegado (es decir, identificación de sus puntos). Estas propiedades geométricas están asociadas con la posición y no con la forma o el tamaño de la figura. A diferencia de las geometrías euclidiana y riemanniana, la geometría de Lobachevsky y otras geometrías que se ocupan de la medición de longitudes y ángulos, la topología tiene un carácter no métrico y cualitativo. Anteriormente, se llamaba "análisis de situación" (análisis de posición), así como "teoría de conjuntos de puntos". En la literatura científica popular, la topología a menudo se denomina "geometría de láminas de caucho" porque puede visualizarse como la geometría de formas dibujadas en láminas de caucho perfectamente elásticas que están sujetas a tensión, compresión o flexión. La topología es una de las ramas más nuevas de las matemáticas.
Historia. En 1640, el matemático francés R. Descartes (1596-1650) encontró una relación invariante entre el número de vértices, aristas y caras de poliedros simples. Descartes expresó esta relación con la fórmula V - E + F = 2, donde V es el número de vértices, E es el número de aristas y F es el número de caras. En 1752, el matemático suizo L. Euler (1707-1783) demostró rigurosamente esta fórmula. Otra contribución de Euler al desarrollo de la topología fue la solución del famoso problema de los puentes de Königsberg. Se trataba de una isla en el río Pregel en Königsberg (en el lugar donde el río se divide en dos brazos: el Viejo y el Nuevo Pregel) y siete puentes que conectan la isla con las orillas. La tarea consistía en averiguar si era posible rodear los siete puentes siguiendo una ruta continua, visitando cada uno de ellos una sola vez y regresando al punto de partida. Euler reemplazó las masas de tierra con puntos y los puentes con líneas. Euler llamó gráfico a la configuración resultante, a los puntos, sus vértices y a las líneas, aristas. Dividió los vértices en pares e impares, dependiendo de si el número de aristas que salían del vértice era par o impar.
Euler demostró que todas las aristas de un gráfico se pueden recorrer exactamente una vez a lo largo de un camino cerrado continuo sólo si el gráfico contiene sólo vértices pares. Dado que la gráfica del problema de los puentes de Königsberg contiene sólo vértices impares, es imposible rodear los puentes a lo largo de una ruta continua, visitar cada uno exactamente una vez y regresar al inicio de la ruta. La solución al problema de los puentes de Königsberg propuesta por Euler depende únicamente de la posición relativa de los puentes. Marcó el comienzo formal de la topología como rama de las matemáticas. K. Gauss (1777-1855) creó la teoría de los nudos, que luego fue estudiada por I. Listing (1808-1882), P. Tate (1831-1901) y J. Alexander. En 1840, A. Moebius (1790-1868) formuló el llamado problema de los cuatro colores, que posteriormente fue estudiado por O. de Morgan (1806-1871) y A. Cayley (1821-1895). El primer trabajo sistemático sobre topología fueron los Estudios preliminares sobre topología de Listing (1874). Los fundadores de la topología moderna son G. Cantor (1845-1918), A. Poincaré (1854-1912) y L. Brouwer (1881-1966). La topología se puede dividir en tres áreas: 1) topología combinatoria, que estudia las formas geométricas descomponiéndolas en figuras simples que regularmente son adyacentes entre sí; 2) topología algebraica, que se ocupa del estudio de estructuras algebraicas asociadas a espacios topológicos, con énfasis en la teoría de grupos; 3) topología de teoría de conjuntos, que estudia conjuntos como grupos de puntos (a diferencia de los métodos combinatorios que representan un objeto como una unión de objetos más simples) y describe conjuntos en términos de propiedades topológicas como apertura, cierre, conectividad, etc. Por supuesto, esta división de la topología en regiones es algo arbitraria; Muchos topólogos prefieren distinguir otras secciones en él.
Algunos conceptos básicos. Un espacio topológico consta de un conjunto de puntos S y un conjunto S de subconjuntos del conjunto S que satisfacen los siguientes axiomas: (1) el conjunto completo S y el conjunto vacío pertenecen al conjunto S; (2) la unión de cualquier colección de conjuntos de S es un conjunto de S; (3) la intersección de cualquier número finito de conjuntos de S es un conjunto de S. Los conjuntos incluidos en un conjunto S se denominan conjuntos abiertos, y este conjunto en sí se denomina topología en S.
Ver TEORÍA DE CONJUNTOS. Una transformación topológica, u homeomorfismo, de una figura geométrica S sobre otra, S", es una aplicación (p (r) p") de puntos p de S a puntos p" de S", que satisfacen las siguientes condiciones: 1) la las correspondencias que establece entre puntos de S y S" son uno a uno, es decir, a cada punto p de S le corresponde sólo un punto p" de S" y a cada punto p" sólo se le asigna un punto p; 2) el mapeo es mutuamente continuo (continuo en ambas direcciones), es decir si se dan dos puntos p, q de S y el punto p se mueve de modo que la distancia entre él y el punto q tiende a cero, entonces la distancia entre los puntos correspondientes p, q" de S" también tiende a cero, y viceversa. Las figuras geométricas que se transforman entre sí mediante transformaciones topológicas se denominan homeomórficas. El círculo y el límite de un cuadrado son homeomórficos, ya que pueden transformarse entre sí mediante una transformación topológica (es decir, doblarse y estirarse sin romperse ni pegarse, por ejemplo). , estirando el borde de un cuadrado sobre un círculo circunscrito a su alrededor). La esfera y la superficie del cubo también son homeomórficas, basta indicar la transformación correspondiente, pero el hecho de que. que no podamos encontrar una transformación para algunas figuras no prueba que estas figuras no sean homeomórficas.

Arroz. 1. LA SUPERFICIE DEL CUBO Y LA ESFERA son homeomorfas, es decir. se pueden convertir entre sí mediante una transformación topológica, pero ni la superficie del cubo ni la esfera son homeomórficas con respecto al toro (la superficie del "rosquilla").

Una propiedad topológica (o invariante topológica) de las figuras geométricas es una propiedad que, junto con una figura dada, también la posee cualquier figura en la que se transforme durante una transformación topológica. Cualquier conjunto abierto y conexo que contenga al menos un punto se llama región. Una región en la que cualquier curva cerrada simple (es decir, homeomórfica a un círculo) puede contraerse hasta un punto mientras permanece en esta región todo el tiempo se llama simplemente conexa, y la propiedad correspondiente de la región es simplemente conexa. Si alguna curva simple cerrada de esta región no se puede reducir a un punto y permanece todo el tiempo en esta región, entonces la región se llama conexa múltiple y la propiedad correspondiente de la región se llama conexa múltiple. Imagine dos áreas circulares, o discos, uno sin agujeros y otro con agujeros. La primera región es simplemente conexa, la segunda es multiconexa. Las propiedades topológicas son simplemente conexas y múltiplemente conexas. Una región con un agujero no puede someterse al homeomorfismo de una región sin agujeros. Es interesante observar que si en un disco conexo múltiple se realiza un corte desde cada uno de los orificios hasta el borde del disco, entonces se vuelve simplemente conexo. El número máximo de curvas cerradas simples y disjuntas a lo largo de las cuales se puede cortar una superficie cerrada sin dividirla en partes separadas se denomina género de la superficie. El género es una invariante topológica de una superficie. Se puede demostrar que el género de una esfera es igual a cero, el género de un toro (una superficie de rosquilla) es igual a uno, el género de un pretzel (un toro con dos agujeros) es igual a dos y el género de una superficie con p agujeros es igual a p. De ello se deduce que ni la superficie de un cubo ni la esfera son homeomórficas con respecto a un toro. Entre las invariantes topológicas de una superficie, también se puede observar el número de lados y el número de aristas. El disco tiene 2 lados, 1 arista y género 0. El toro tiene 2 lados, no tiene aristas y su género es 1. Los conceptos introducidos anteriormente nos permiten aclarar la definición de topología: la topología es la rama de las matemáticas que estudia las propiedades. que se conservan bajo homeomorfismos.
Cuestiones y resultados importantes. Teorema de la curva cerrada de Jordan. Si se dibuja una curva cerrada simple sobre una superficie, ¿existe alguna propiedad de la curva que se conserva cuando se deforma la superficie? La existencia de tal propiedad se deriva del siguiente teorema: una curva cerrada simple en un plano divide el plano en dos regiones, interna y externa. Este teorema aparentemente trivial es obvio para curvas simples, como un círculo; sin embargo, para polilíneas cerradas complejas la situación es diferente. El teorema fue formulado y demostrado por primera vez por C. Jordan (1838-1922); sin embargo, la prueba de Jordan resultó ser errónea. O. Veblen (1880-1960) propuso una prueba satisfactoria en 1905.
Teorema del punto fijo de Brouwer. Sea D una región cerrada formada por un círculo y su interior. El teorema de Brouwer establece que para cualquier transformación continua que lleve cada punto de una región D a un punto en la misma región, hay algún punto que permanece fijo bajo esta transformación. (No se supone que la transformación sea uno a uno.) El teorema del punto fijo de Brouwer es de particular interés porque parece ser el teorema topológico más comúnmente utilizado en otras ramas de las matemáticas.
El problema de los cuatro colores. El problema es este: ¿se puede colorear cualquier mapa en cuatro colores de modo que dos países que comparten una frontera tengan colores diferentes? El problema de los cuatro colores es topológico, ya que no importan ni la forma de los países ni la configuración de las fronteras. La hipótesis de que cuatro colores son suficientes para colorear adecuadamente cualquier mapa se propuso por primera vez en 1852. La experiencia demostró que cuatro colores eran suficientes, pero no se pudo obtener una prueba matemática rigurosa hasta después de cien años. No fue hasta 1976 que K. Appel y W. Haken de la Universidad de Illinois, tras pasar más de 1.000 horas en el ordenador, lograron el éxito.
Superficies unilaterales. La superficie unilateral más simple es la tira de Möbius, que lleva el nombre de A. Möbius, quien descubrió sus extraordinarias propiedades topológicas en 1858. Sea ABCD (Fig. 2a) una tira de papel rectangular. Si pega el punto A al punto B y el punto C al punto D (Fig. 2, b), obtendrá un anillo con una superficie interior, una superficie exterior y dos bordes. Un lado del anillo (Fig. 2, b) se puede pintar. La superficie pintada quedará limitada a los bordes del anillo. El escarabajo puede viajar alrededor del mundo en un anillo, permaneciendo sobre una superficie pintada o sin pintar. Pero si, antes de pegar los extremos, gira la tira media vuelta y pega el punto A al punto C y B al D, obtendrás una tira de Möbius (Fig. 2c). Esta figura tiene sólo una superficie y una arista. Cualquier intento de colorear sólo un lado de la tira de Mobius está condenado al fracaso, ya que la tira de Mobius sólo tiene un lado. Un escarabajo que se arrastra por el centro de una franja de Mobius (sin cruzar los bordes) regresará a su punto de partida en posición invertida. Al cortar una tira de Mobius a lo largo de la línea media, no se divide en dos partes.

Nudos. Se puede considerar un nudo como un trozo de cuerda delgada enredado con extremos conectados ubicados en el espacio. El ejemplo más sencillo es hacer un bucle con un trozo de cuerda, pasar uno de sus extremos a través del bucle y conectar los extremos. Como resultado, obtenemos una curva cerrada que permanece topológicamente igual, sin importar cómo la estiremos o la giremos, sin romper ni pegar puntos individuales. El problema de clasificar los nodos según un sistema de invariantes topológicas aún no se ha resuelto.
LITERATURA
Hu Si-chiang. Teoría de la homotopía. M., 1964 Kuratovsky A. Topología, vol. 1-2. M., 1966, 1969 Spenier E. Topología algebraica. M., 1971 Alexandrov P.S. Introducción a la teoría de conjuntos y topología general. M., 1977 Kelly J. Topología general. M., 1981

Enciclopedia de Collier. - Sociedad Abierta. 2000 .

Sinónimos:

Vea qué es "TOPOLOGÍA" en otros diccionarios:

Topología… Diccionario de ortografía-libro de referencia

topología- Distribución física o lógica de los nodos de la red. La topología física define las conexiones físicas (enlaces) entre nodos. La topología lógica describe las posibles conexiones entre los nodos de la red. En las redes locales, las tres más comunes... ... Guía del traductor técnico

En sentido amplio, el área de las matemáticas que estudia la topología. propiedades descomp. matemáticas. y físico objetos. Intuitivamente, a topológico Estas incluyen propiedades estables y de alta calidad que no cambian con la deformación. Matemáticas. formalización de la idea de topológico. propiedades... ... Enciclopedia física

La ciencia, el estudio de las localidades. Diccionario de palabras extranjeras incluidas en el idioma ruso. Chudinov A.N., 1910. topología (gr. topos lugar, terreno + ...logía) una rama de las matemáticas que estudia las propiedades más generales de las figuras geométricas (propiedades, no ... ... Diccionario de palabras extranjeras de la lengua rusa.

TOPOLOGÍA, rama de las matemáticas que estudia las propiedades de las figuras geométricas que permanecen inalteradas ante cualquier deformación: apretadas, estiradas, torcidas (pero sin romperlas ni pegarlas). Una taza con asa es topológicamente equivalente a un donut; cubo,... ... Diccionario enciclopédico científico y técnico.

- (del griego topos lugar y...logía) una rama de las matemáticas que estudia las propiedades topológicas de las figuras, es decir, propiedades que no cambian bajo ninguna deformación producida sin roturas ni pegados (más precisamente, bajo uno a uno y continuo... ... Gran diccionario enciclopédico

TOPOLOGÍA, topologías, muchas. no, mujer (del griego topos lugar y logos enseñanza) (mat.). Parte de la geometría que estudia las propiedades cualitativas de las figuras (es decir, independientes de conceptos como longitud, ángulos, rectitud, etc.). Diccionario explicativo... ... Diccionario explicativo de Ushakov

Bajo topología(diseño, configuración, estructura) de una red informática generalmente se refiere a la disposición física de las computadoras en la red una en relación con otra y la forma en que están conectadas mediante líneas de comunicación. Es importante señalar que el concepto de topología se refiere principalmente a redes locales, en las que se puede rastrear fácilmente la estructura de las conexiones. En las redes globales, la estructura de las conexiones suele estar oculta a los usuarios y no es muy importante, porque cada sesión de comunicación se puede realizar por su propio camino.
La topología determina los requisitos de equipo, el tipo de cable utilizado, los métodos posibles y más convenientes para gestionar el intercambio, la confiabilidad de operación y las posibilidades de expandir la red.

Hay tres topologías de red principales:

1. Bus de topología de red(bus), en el que todas las computadoras están conectadas en paralelo a una línea de comunicación y la información de cada computadora se transmite simultáneamente a todas las demás computadoras (Fig. 1);

2. Topología de red en estrella(estrella), en el que otras computadoras periféricas están conectadas a una computadora central, cada una de ellas usando su propia línea de comunicación separada (Fig. 2);

3. Anillo de topología de red(anillo), en el que cada computadora siempre transmite información a solo una computadora siguiente en la cadena, y recibe información solo de la computadora anterior en la cadena, y esta cadena está cerrada en un "anillo" (Fig. 3).

Arroz. 1. Topología de red “bus”

Arroz. 2. Topología de red en estrella

Arroz. 3. Topología de red en “anillo”

En la práctica, a menudo se utilizan combinaciones de topología básica, pero la mayoría de las redes se centran en estas tres. Consideremos ahora brevemente las características de la topología de red enumerada.

Topología de bus(o, como también se le llama, "bus común"), por su propia estructura, permite la identidad de los equipos de red de las computadoras, así como la igualdad de todos los suscriptores. Con tal conexión, las computadoras solo pueden transmitir por turnos, porque solo hay una línea de comunicación. De lo contrario, la información transmitida se distorsionará como resultado de una superposición (conflicto, colisión). Así, el bus implementa un modo de intercambio semidúplex (en ambas direcciones, pero a su vez, no simultáneamente).
En la topología "bus", no existe un abonado central a través del cual se transmite toda la información, lo que aumenta su confiabilidad (después de todo, si falla algún centro, todo el sistema controlado por este centro deja de funcionar). Agregar nuevos suscriptores al bus es bastante sencillo y normalmente es posible incluso mientras la red está en funcionamiento. En la mayoría de los casos, un bus requiere una cantidad mínima de cable de conexión en comparación con otras topologías. Sin embargo, hay que tener en cuenta que cada ordenador (excepto los dos exteriores) tiene dos cables, lo que no siempre es cómodo.
Dado que la resolución de posibles conflictos en este caso recae en el equipo de red de cada suscriptor individual, el equipo del adaptador de red con la topología "bus" es más complicado que con otras topologías. Sin embargo, debido al uso generalizado de redes con topología de "bus" (Ethernet, Arcnet), el costo del equipo de red no es demasiado alto.
El bus no teme los fallos de los ordenadores individuales, porque todos los demás ordenadores de la red pueden seguir intercambiando normalmente. Puede parecer que el autobús no está dañado y el cable está roto, ya que en este caso tenemos dos autobuses totalmente funcionales. Sin embargo, debido a las peculiaridades de la propagación de señales eléctricas a lo largo de líneas de comunicación largas, es necesario prever la inclusión en los extremos del bus de dispositivos especiales: terminadores, como se muestra en la Fig. 1 en forma de rectángulos. Sin la inclusión de terminadores, la señal se refleja desde el final de la línea y se distorsiona de modo que la comunicación a través de la red se vuelve imposible. Entonces, si el cable se rompe o daña, la coordinación de la línea de comunicación se interrumpe y la comunicación se detiene incluso entre aquellos ordenadores que permanecen conectados entre sí. Un cortocircuito en cualquier punto del cable del bus desactiva toda la red. Cualquier falla en el equipo de red en el bus es muy difícil de localizar, porque todos los adaptadores están conectados en paralelo y no es tan fácil entender cuál falló.
Al pasar por una línea de comunicación de una red con topología de “bus”, las señales de información se debilitan y no se renuevan de ninguna manera, lo que impone restricciones estrictas en la longitud total de las líneas de comunicación, además, cada suscriptor puede recibir señales de diferentes niveles; de la red dependiendo de la distancia al abonado transmisor. Esto impone requisitos adicionales a los nodos receptores de equipos de red. Para aumentar la longitud de una red con topología de "bus", a menudo se utilizan varios segmentos (cada uno de los cuales es un bus), conectados entre sí mediante actualizadores de señales especiales: repetidores.
Sin embargo, tal aumento en la longitud de la red no puede durar indefinidamente, porque también existen limitaciones asociadas con la velocidad finita de propagación de la señal a lo largo de las líneas de comunicación.

Topología en estrella- Se trata de una topología con un centro claramente designado al que están conectados todos los demás suscriptores. Todo el intercambio de información se produce exclusivamente a través de la computadora central, lo que de esta manera supone una carga muy pesada, por lo que no puede hacer nada más que la red. Está claro que el equipamiento de red del abonado central debe ser mucho más complejo que el equipamiento de los abonados periféricos. En este caso, no es necesario hablar de igualdad de derechos para los suscriptores. Por regla general, el ordenador central es el más potente y es a él a quien se asignan todas las funciones de gestión del intercambio. En principio, en una red con topología en estrella no son posibles conflictos, ya que la gestión está completamente centralizada y no hay motivo para conflictos.
Si hablamos de la resistencia de la estrella a las fallas de la computadora, entonces la falla de una computadora periférica no afecta de ninguna manera el funcionamiento de la parte de la red que queda, pero cualquier falla de la computadora central hace que la red sea completamente inoperable. Por lo tanto, se deben tomar medidas especiales para mejorar la confiabilidad de la computadora central y su equipo de red. Un corte en cualquier cable o un cortocircuito en él en topología en estrella interrumpe la comunicación con una sola computadora, y todas las demás computadoras pueden continuar funcionando normalmente.
En la declinación del bus, en la estrella solo hay dos abonados en cada línea de comunicación: el central y uno de los periféricos. La mayoría de las veces, se utilizan dos líneas de comunicación para conectarlos, cada una de las cuales transmite información en una sola dirección. Por tanto, sólo hay un receptor y un transmisor en cada enlace de comunicación. Todo esto simplifica significativamente la instalación de la red en comparación con un bus y elimina la necesidad de utilizar terminadores externos adicionales. El problema de la atenuación de la señal en una línea de comunicación también se resuelve más fácilmente en una “estrella” que en un “bus”, porque cada receptor recibe siempre una señal del mismo nivel. Una grave desventaja de la topología en estrella es la estricta limitación del número de suscriptores. Normalmente, el abonado central no puede atender a más de 8 a 16 abonados periféricos. Si dentro de estos límites es bastante fácil conectar nuevos suscriptores, si se exceden es simplemente imposible. Es cierto que a veces una estrella ofrece la posibilidad de expansión, es decir, conectar otro abonado central en lugar de uno de los abonados periféricos (el resultado es una topología de varias estrellas interconectadas).
La estrella que se muestra en la Fig. 2, se llama estrella activa o real. También existe una topología llamada estrella pasiva, que sólo es similar superficialmente a una estrella (Fig. 4). En este momento está mucho más extendida que la estrella activa. Baste decir que se utiliza en la red Ethernet más popular en la actualidad.

Arroz. 4. Topología en estrella pasiva

El centro de una red con esta topología no contiene una computadora, sino un concentrador o hub, que realiza la misma función que un repetidor. Renueva las señales que recibe y las reenvía a otras líneas de comunicación. Aunque el patrón de cableado es similar al de una estrella verdadera o activa, en realidad estamos tratando con una topología de bus porque la información de cada computadora se transmite simultáneamente a todas las demás computadoras y no hay un suscriptor central. Naturalmente, una estrella pasiva es más cara que un autobús normal, porque en este caso también se necesita un hub. Sin embargo, proporciona una serie de funciones adicionales asociadas con los beneficios estrella. Por esta razón, últimamente la estrella pasiva está reemplazando cada vez más a la estrella real, lo que se considera una topología poco prometedora.
También es posible distinguir un tipo de topología intermedia entre una estrella activa y una pasiva. En este caso, el hub no sólo transmite las señales, sino que también gestiona el intercambio, pero no participa en él.
Grande ventaja estrella(tanto activo como pasivo) es que todos los puntos de conexión se recogen en un solo lugar. Esto le permite controlar fácilmente el funcionamiento de la red, localizar fallas en la red simplemente desconectando a ciertos suscriptores del centro (lo cual es imposible, por ejemplo, en el caso de un autobús) y también limitar el acceso de personas no autorizadas a los puntos de conexión vitales. para la red. En el caso de una estrella, se puede acceder a cada abonado periférico mediante un cable (que transmite en ambas direcciones) o dos cables (cada uno de ellos transmite en una dirección), siendo más común la segunda situación. Una desventaja común de toda la topología en estrella es que el consumo de cable es significativamente mayor que en otras topologías. Por ejemplo, si las computadoras están ubicadas en una línea (como en la Fig. 1), al elegir una topología de "estrella" necesitará varias veces más cable que con una topología de "bus". Esto puede afectar significativamente el costo de toda la red en su conjunto.

Topología de anillo Es una topología en la que cada computadora está conectada por líneas de comunicación solo a otras dos: de una solo recibe información y de la otra solo transmite. En cada línea de comunicación, como en el caso de una estrella, sólo hay un transmisor y un receptor. Esto le permite evitar el uso de terminadores externos. Una característica importante del anillo es que cada computadora transmite (renueva) la señal, es decir, actúa como un repetidor, por lo que la atenuación de la señal en todo el anillo no importa, solo es importante la atenuación entre las computadoras vecinas del anillo. En este caso no existe un centro claramente definido; todos los ordenadores pueden ser iguales. Sin embargo, muy a menudo se asigna un suscriptor especial en el espadín que gestiona o controla el intercambio. Está claro que la presencia de dicho suscriptor de control reduce la confiabilidad de la red, porque su falla paralizará inmediatamente toda la central.
Estrictamente hablando, las computadoras en un espadín no son completamente iguales (a diferencia, por ejemplo, de una topología de bus). Algunos de ellos necesariamente reciben información de la computadora que se transmite en este momento antes, mientras que otros, más tarde. Es en esta característica de la topología que se basan los métodos para controlar el intercambio de redes, especialmente diseñados para el "anillo". En estos métodos, el derecho a la siguiente transmisión (o, como también dicen, a hacerse cargo de la red) pasa secuencialmente a la siguiente computadora del círculo.
Conectar nuevos suscriptores al "anillo" suele ser completamente sencillo, aunque requiere un apagado obligatorio de toda la red mientras dure la conexión. Como en el caso de la topología "bus", el número máximo de suscriptores en un espadín puede ser bastante grande (hasta mil o más). La topología en anillo suele ser la más resistente a las sobrecargas; garantiza un funcionamiento confiable con los mayores flujos de información transmitidos a través de la red porque, por regla general, no hay conflictos (a diferencia de un bus) y no hay un abonado central (a diferencia de un bus). una estrella).
Debido a que la señal en el espadín pasa a través de todas las computadoras de la red, la falla de al menos una de ellas (o su instalación de red) interrumpe el funcionamiento de toda la red en su conjunto. Asimismo, cualquier rotura o cortocircuito en cada uno de los cables del anillo imposibilita el funcionamiento de toda la red. El anillo es más vulnerable a daños en los cables, por lo que esta topología suele implicar el tendido de dos (o más) líneas de comunicación paralelas, una de las cuales está en reserva.
Al mismo tiempo, la gran ventaja del anillo es que la retransmisión de señales por parte de cada suscriptor permite aumentar significativamente el tamaño de toda la red en su conjunto (a veces hasta varias decenas de kilómetros). El anillo es relativamente superior a cualquier otra topología.

Desventaja Se puede considerar que los anillos (en comparación con una estrella) deben conectarse dos cables a cada computadora de la red.

A veces, una topología en anillo se basa en dos líneas de comunicación en anillo que transmiten información en direcciones opuestas. El objetivo de esta solución es aumentar (idealmente duplicar) la velocidad de transferencia de información. Además, si uno de los cables se daña, la red podrá funcionar con otro cable (aunque la velocidad máxima disminuirá).
Además de las tres topologías básicas principales consideradas, también se utiliza a menudo la topología de red. árbol" (árbol), que puede considerarse como una combinación de varias estrellas. Como en el caso de una estrella, un árbol puede ser activo, real (Fig. 5) o pasivo (Fig. 6). En un árbol activo, las computadoras centrales están ubicadas en los centros de combinación de varias líneas de comunicación, y en un árbol pasivo, hay concentradores (hubs).

Arroz. 5. Topología de “árbol activo”

Arroz. 6. Topología de “árbol pasivo”. K - concentradores

También se utilizan con bastante frecuencia topologías combinadas, por ejemplo bus en estrella o anillo en estrella.

La ambigüedad del concepto de topología.

La topología de la red determina no solo la ubicación física de las computadoras, sino, mucho más importante, la naturaleza de las conexiones entre ellas y las características de la propagación de la señal a través de la red. Es la naturaleza de las conexiones lo que determina el grado de tolerancia a fallos de la red, la complejidad requerida del equipo de red, el método más adecuado para gestionar el intercambio, los posibles tipos de medios de transmisión (canales de comunicación), el tamaño permitido de la red (la longitud de las líneas de comunicación y el número de suscriptores), la necesidad de coordinación eléctrica y mucho más.
Cuando la gente piensa en la topología de red en la literatura, puede tener en mente cuatro conceptos muy diferentes que se relacionan con diferentes niveles de arquitectura de red:

1. Topología física (es decir, la disposición de las computadoras y el enrutamiento de los cables). En este contenido, por ejemplo, una estrella pasiva no se diferencia de una estrella activa, por lo que a menudo se la llama simplemente “estrella”.

2. Topología lógica (es decir, la estructura de las conexiones, la naturaleza de la propagación de la señal a través de la red). Esta es probablemente la definición más correcta de topología.

3. Topología de control de intercambio (es decir, el principio y la secuencia de transferencia del derecho a operar la red entre computadoras individuales).

4. Topología de la información (es decir, la dirección de los flujos de información transmitidos a través de la red).

Por ejemplo, una red con una topología de "bus" física y lógica puede, como método de gestión, utilizar la transmisión por retransmisión del derecho a apoderarse de la red (es decir, ser un anillo en este contenido) y transmitir simultáneamente toda la información a través de un canal dedicado. computadora (sé una estrella en este contenido).

¿Qué es la topología?

Introducción

1. Principales etapas del desarrollo de la topología.

2. Características generales de la topología.

3. Topología general

4. Espacio topológico

5. Cuestiones y resultados importantes

Conclusión

Introducción

La topología es una ciencia matemática relativamente joven. En aproximadamente cien años de existencia, ha logrado resultados que son importantes para muchas ramas de las matemáticas. Por lo tanto, la penetración en el "mundo de la topología" es algo difícil para un principiante, ya que requiere el conocimiento de muchos aspectos de la geometría, el álgebra, el análisis y otras ramas de las matemáticas, así como la capacidad de razonar.

La topología influye en muchas ramas de las matemáticas. Ella estudia, en particular, las propiedades de imágenes geométricas arbitrarias que se conservan bajo transformaciones que ocurren sin roturas ni pegados o, como dicen los matemáticos, bajo transformaciones uno a uno y mutuamente continuas. Estas transformaciones se denominan topológicas. En topología, dos imágenes geométricas se consideran "idénticas" si una de ellas puede transformarse en la otra mediante una transformación topológica. Por ejemplo, un círculo y un cuadrado en un plano se pueden transformar entre sí mediante una transformación topológica; estas son figuras topológicamente equivalentes. Al mismo tiempo, el círculo y la región anular obtenidos del círculo “tirando” un círculo concéntrico de radio más pequeño son diferentes desde un punto de vista topológico.

La topología se divide en dos secciones: topología general o de teoría de conjuntos y topología algebraica. Esta división es en gran medida arbitraria. Una de las principales tareas de la topología general es el análisis del concepto matemático de continuidad en su forma más general. Para ello se introdujo el concepto de espacio topológico. La topología ha desarrollado una técnica algebraica y analítica muy sofisticada, cuya importancia va mucho más allá de su alcance original. Esto incluye, en particular, el llamado álgebra homológica, que también es una herramienta de trabajo en la teoría de ecuaciones diferenciales parciales, en la teoría de funciones de muchas variables complejas, etc. Una de las ramas de la topología general es la teoría de las dimensiones. ¿Qué significa que algún espacio sea bidimensional, tridimensional o, en general, n-dimensional? La dimensión es una de las características fundamentales del espacio topológico. Determinarlo en el caso general resulta muy difícil. V. Kuzminov construyó una serie de ejemplos que muestran el comportamiento paradójico de las dimensiones en determinadas situaciones. I. Shvedov estudió el problema de la determinación axiomática de dimensiones y refutó, en particular, algunas hipótesis bien conocidas relacionadas con este problema. Otra sección de la topología se llama teoría de Hodge. Esta teoría combina ideas relacionadas con la teoría de ecuaciones diferenciales parciales, la geometría y la topología de Riemann. En una serie de artículos, V. Kuzminov, I. Shvedov y V. Goldstein construyeron una generalización de la teoría de Hodge, aplicable al estudio de variedades con singularidades y variedades que satisfacen requisitos de suavidad reducidos (en comparación con la teoría de Hodge ordinaria). La diferencia entre esta teoría generalizada de Hodge, desde el punto de vista de las ecuaciones diferenciales, es que esta teoría es esencialmente no lineal.

1. Principales etapas del desarrollo de la topología.

2. Características generales de la topología.

Uno de los fenómenos más inesperados en el desarrollo de las matemáticas en el siglo XX. Fue el meteórico ascenso de la ciencia conocida como topología.

La topología (del griego τόπος - lugar y λόγος - palabra, doctrina) es una rama de la geometría que estudia en su forma más general el fenómeno de la continuidad, en particular las propiedades del espacio que permanecen sin cambios bajo deformaciones continuas, por ejemplo, la conectividad, orientabilidad.

Queriendo explicar qué es la topología, a veces se dice que es “geometría sobre una superficie de goma”. Sin embargo, esta descripción oscura y vaga permite captar la esencia del tema. La topología estudia aquellas propiedades de los objetos geométricos que se conservan bajo transformaciones continuas. Las transformaciones continuas se caracterizan por el hecho de que los puntos ubicados "cerca uno del otro" antes de la transformación permanecen así después de que se completa la transformación. Durante las transformaciones topológicas, se permiten estiramientos y flexiones, pero no se permiten roturas ni desgarros. (Sin embargo, con una advertencia: cuando se trata de transformaciones, no nos interesa lo que sucede durante el proceso de estas transformaciones, solo la posición inicial y el resultado final son importantes. Por lo tanto, se permite, digamos, cortes a lo largo de algunas líneas , que luego se pegan de la misma manera. Por ejemplo, si el cordón está atado con un nudo y sus extremos están conectados, puede cortarlo en algún lugar, desatar el nudo y volver a conectarlo en el punto de corte).

La topología se puede dividir en tres áreas:

1) topología combinatoria, que estudia las formas geométricas dividiéndolas en figuras simples regularmente adyacentes entre sí;

2) topología algebraica, que se ocupa del estudio de estructuras algebraicas asociadas a espacios topológicos, con énfasis en la teoría de grupos;

3) topología de teoría de conjuntos, que estudia conjuntos como grupos de puntos (a diferencia de los métodos combinatorios que representan un objeto como una unión de objetos más simples) y describe conjuntos en términos de propiedades topológicas como apertura, cierre, conectividad, etc. Por supuesto, esta división de la topología en regiones es algo arbitraria; Muchos topólogos prefieren distinguir otras secciones en él.

¿Qué tipos de propiedades son topológicas? Está claro que no son los que se estudian en la geometría euclidiana ordinaria. La rectitud no es una propiedad topológica, porque una línea recta puede doblarse y volverse ondulada. Un triángulo tampoco es una propiedad topológica, porque un triángulo puede deformarse continuamente en un círculo.

Entonces, en topología, un triángulo y un círculo son lo mismo. Longitudes de segmentos, magnitudes de ángulos, áreas: todos estos conceptos cambian durante las transformaciones continuas y conviene olvidarlos. Muy pocos conceptos familiares de geometría son adecuados para la topología, por lo que tenemos que buscar otros nuevos. Esto hace que la topología sea difícil para los principiantes hasta que comprendan la esencia del asunto.

Un ejemplo de propiedad topológica de un objeto es la presencia de un agujero en un donut (y un aspecto bastante sutil de este asunto es el hecho de que el agujero no es parte del donut). No importa cuánta deformación continua sufra el donut, el agujero permanecerá. Hay un eslogan que dice que un topólogo (un matemático que estudia topología) es una persona que no distingue un panecillo de una taza de té. Esto significa que las propiedades más generales (topológicas) de un donut y una taza son las mismas (son sólidos y tienen el mismo agujero).

Otra propiedad topológica es la presencia de una arista. La superficie de una esfera no tiene bordes, pero un hemisferio vacío sí los tiene, y ninguna transformación continua puede cambiar esto.

Los principales objetos de estudio en topología se denominan espacios topológicos. Intuitivamente, pueden considerarse formas geométricas. Matemáticamente, se trata de conjuntos (a veces subconjuntos del espacio euclidiano) dotados de una estructura adicional llamada topología, que nos permite formalizar el concepto de continuidad. La superficie de una esfera, un donut (más correctamente, un toroide) o un doble toroide son ejemplos de espacios topológicos.

Dos espacios topológicos son equivalentes topológicos si es posible moverse continuamente de uno de ellos al otro y regresar continuamente.

Tenemos que introducir el requisito de continuidad, tanto del mapeo directo como de su inverso, por la siguiente razón. Tomemos dos trozos de arcilla y moldeémoslos juntos. Esta transformación es continua, ya que los puntos cercanos entre sí seguirán siéndolo.

Sin embargo, durante la transformación inversa, una pieza se divide en dos y, por lo tanto, los puntos cercanos en lados opuestos de la línea divisoria estarán lejos uno del otro, es decir, la transformación inversa no será continua. Esas transformaciones no nos convienen.

Las figuras geométricas que se transforman unas en otras durante transformaciones topológicas se denominan homeomórficas. El círculo y el límite de un cuadrado son homeomórficos, ya que pueden convertirse entre sí mediante una transformación topológica (es decir, doblar y estirar sin romper ni pegar, por ejemplo, estirar el límite de un cuadrado hasta el círculo circunscrito a su alrededor). . La esfera y la superficie del cubo también son homeomorfas. Para demostrar que las figuras son homeomórficas, basta con indicar la transformación correspondiente, pero el hecho de que no podamos encontrar una transformación para algunas figuras no prueba que estas figuras no sean homeomórficas. Las propiedades topológicas ayudan aquí.